人行结构(如：人行天桥)“轻”化、“柔”化、大跨度等趋势明显^[1-5]，自振频率易与人致荷载频率吻合。此类结构的动力设计中，人致结构振动舒适度往往决定最终的结构设计方案^[1-5]。为满足舒适度要求，一般需要将结构振动加速度控制在舒适度指标范围内^[6-9]。因此，在设计阶段，准确预测人致结构振动加速度十分关键。为准确施加步行荷载，需要预先知道结构建成之后其上面活动的人群行为，如：行走路径和速度等^[7-9]。

社会力模型^[10-11]已广泛用于疏散人群行为的模拟。考虑到日常状态下人群行为与疏散状态下的不同，本文作者对经典的社会力模型进行了修正^[7-9]。结果表明：修正后的社会力模型能更好地模拟日常状态下的人群行为，如：随着人群密度的增加，人群行进速度呈下降趋势，并与Weidmann等^[12-13]提出的人群速度-密度关系吻合。

本文采用修正后的社会力模型进行随机人群行为的模拟。第1节阐释了修正后社会力模型的主要理论和公式；第2节通过介绍随机人群模拟中各参数的设定，阐释如何考虑和模拟人群行为的随机性；第3节以一个典型桥面上的随机人群为例进行模拟；最后，第4节归纳了本文主要内容。

1   修正后的社会力模型

人在人行结构(如：人行桥)上行走时，会受到心理上的力(虚拟的力)和物理上的力(实际的力)等的支配。每个人身上所受到的社会力(${\boldsymbol F_\alpha }\left( t \right)$)为三个方面的总和，可以表达为：

即包括：来自其内心的自激励力 ${\boldsymbol {F}}_{\alpha }^{0}({\boldsymbol {v}}_{\alpha }, {v}_{\alpha }^{0}\left(t\right) {\boldsymbol {e}}_{\alpha }\left(t\right))$，该力指引着行人向目标方向行进；同时，在行走过程中，每个人都会设法与他人保持适当的距离，以避免与他人相撞，每两个人之间的相斥力可以通过任意两个人(以第$\alpha$号和第$\beta$号行人为例)之间的相互作用力${\boldsymbol F_{\alpha \beta }}( {{{\boldsymbol r}_{\alpha \beta }}} )$来表达；另外，每个人还需要与避开障碍物，比如：墙壁或结构的边界等，这些力用$\displaystyle \mathop \sum \limits_B {\boldsymbol F_{\alpha B}}\left( {{{\boldsymbol r}_{\alpha B}}} \right)$表示。式(1)的社会力表达式以第$\alpha$号行人为例加以说明，其中：$v_\alpha ^0\left( t \right)$和${\boldsymbol e_\alpha }\left( t \right)$分别为该行人的目标行走速度和目标方向；${\boldsymbol r_{\alpha \beta }}$为第$\alpha$号和第$\beta$号行人之间的相对距离；${\boldsymbol r_{\alpha B}}$为第$\alpha$号行人与离其最近的障碍物之间的距离。图1 将社会力模型进行可视化，以第$\alpha$号行人为例展示每个行人身上受到的社会力。本节以下内容也均以第$\alpha$号行人为例进行说明。

图  1  第$\alpha$号行人身上受到的社会力

Figure  1.  The social forces acting on pedestrian $\alpha$

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自激励力主要取决于${\boldsymbol e_\alpha }\left( t \right)$(目标方向)、${v}_{\alpha }^{0}\left(t\right)$(目标行走速度)、${\boldsymbol v_\alpha }\left( t \right)$(实际行走速度)和${\tau _\alpha }$(调整所需时间，或称为放松时间)，可表达为：

其中，目标行走速度由${v}_{\alpha }^{0}\left(0\right)$和${n_\alpha }\left( t \right)$决定：

式中：${v}_{\alpha }^{0}\left(0\right)$为初始目标行走速度；将其乘以1.3倍后得到的是最大目标行走速度$v_\alpha ^{{\rm{max}}}$^[10-11]；${n_\alpha }\left( t \right)$为无量纲的量，体现的是人在人群中行走过程时因无法自由行走而会出现的紧张感和焦虑感，可由平均行走速度${\bar v_\alpha }\left( t \right)$和初始目标行走速度确定：

人与人之间的相互作用力(相斥力)可以表达为：

式中：$A_\alpha ^1$和$B_\alpha ^1$分别为相互作用力强度和相斥力作用范围；${r_{\alpha \beta }}$和${d_{\alpha \beta }}$为两人的半径之和和之间的距离；${\lambda _\alpha }$考虑的是相互作用力的各向异性特征，比如：人对前后方的感知能力不同；${\boldsymbol n_{\alpha \beta }}$为从第$\beta$号行人指向第$\alpha$号行人的标准化向量：

式中：${\boldsymbol r_\alpha }\left( t \right)$和${\boldsymbol r_\beta }\left( t \right)$分别为两人在行走区域所处的实时位置${\boldsymbol r_\alpha }\left( t \right)$和${\boldsymbol r_\beta }\left( t \right)$；${\phi _{\alpha \beta }}$为${\boldsymbol n_{\alpha \beta }}$和${\boldsymbol e_\alpha }\left( t \right)$之间的夹角：

人与障碍物之间的相斥力可以表达为，

式中：$A_\alpha ^B$和$B_\alpha ^B$分别为相斥作用力强度和范围；${d_{\alpha B}}$为行人与障碍物之间的最近距离；${\boldsymbol n_{\alpha B}}$为从障碍物最近点指向第$\alpha$号行人的标准化向量：

式中，${\boldsymbol r_B}\left( t \right)$为行人与障碍物之间的最近点。

回到式(1)，把与除自身之外($\beta \ne \alpha$)的所有人之间的相互作用力和与所有障碍物之间的相斥力考虑后，得到作用在第$\alpha$号行人上的社会力。然后，通过求解以下两个微分方程可以得到该行人的行进路径${\boldsymbol r_\alpha }\left( t \right)$和速度${\boldsymbol v_\alpha }\left( t \right)$。

由于行人$\alpha$不失一般性，因而，其他各行人的行进路径和速度也可以通过类似的方式求解。

2   随机人群参数设定

对于一个给定的结构(图2)，其所处地域是确定的，其上可经过不同的人群，比如：不同的人群密度、行走目的和方向等。欧洲指南HiVoSS 2008^[6]和法国指南Sétra 2006^[14]建议在人行结构的动力设计中考虑6种典型的人群密度，即0.1 人/m²、0.2 人/m²、0.5 人/m²、0.8 人/m²、1.0 人/m²和1.5人/m²。行走目的可以大致分为匆忙赶时间、工作通勤、日常休闲等^[15]。每个人的行走方向可能不相同，对于人行结构，一般为从结构的一侧走向另一侧或按相反方向。如图2所示桥面，行人方向主要为从X=0~L或从L~0。确定人群密度、所处地域、行走目的和方向后，人群中每个行人到达结构的时间、初始位置、初始目标行走速度一般也不相同。

图  2  行走桥面尺寸及坐标系

Figure  2.  The bridge deck dimension and coordinate system

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根据行人到达结构时间的随机性特征，一般可将其描述为泊松分布^[7-9]。为了与欧洲指南HiVoSS 2008^[6]和法国指南Sétra 2006^[14]建议的恒定密度保持一致，需稍作处理：人群达到目标密度前，按泊松分布；人群达到目标密度后，按“一下一上”的原则来控制后续行人到达结构时间，也即当有一人从右侧离开时，就马上在左侧上来另外一个人，以此保持桥面人群密度的恒定。泊松分布的控制参数$\lambda$可用每秒钟到达人数来定义：

式中：$W$为桥梁宽度；$d$为目标人群密度；$\bar v\left( d \right)$为与密度相对应的人群平均速度。根据文献[15]，人群平均速度主要跟人群密度、所处地域和行走目的有关：

表1和表2分别给出了根据不同所处地域和行走目的对人群平均速度进行的调整。从所处地域看，欧洲人比美国人和亚洲人走路都要更快一些，亚洲走路相对最慢。从行走目的看，当人们处于匆忙赶时间时，速度最快；日常休闲时最慢；工作通勤时居中。

表  1  地域调整系数${\alpha _{{{\rm{G}}}}}$

Table  1.  Adjusting coefficient for geographic areas ${\alpha _{{{\rm{G}}}}}$

欧洲	美国	亚洲
1.05	1.01	0.92

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表  2  行走目的调整系数${\alpha _{{{\rm{T}}}}}$

Table  2.  Adjusting coefficient for travel purposes ${\alpha _{{{\rm{T}}}}}$

匆忙赶时间	工作通勤	日常休闲
1.20	1.11	0.84

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${\bar v_{{\text{f}}}} \cdot \left\{ {1 - \exp \left[ { - \gamma \cdot \left( {\dfrac{1}{d} - \dfrac{1}{{{d_{{\text{jam}}}}}}} \right)} \right]} \right\}$作为一个整体(式(13)中)，为不同人群密度下的行走速度；而${\bar v_{{\text{f}}}}$为自由行走下的平均行走速度，一般取1.34 m/s；${d_{{\text{jam}}}}$为拥堵人群密度，一般取5.4 人/m²，人群密度达到此限值后人群速度降为0；参数$\gamma$按不同行走目的取值：

各行人到达结构的初始位置坐标，若按如图2桥面考虑，则其X方向坐标值均为0，即均从桥面入口进入；而Y方向坐标值各不相同，可用均匀分布来确定：$U\left( {{r_\alpha },W - {r_\alpha }} \right)$ m，即Y方向坐标值在[${r_\alpha }$, $W - {r_\alpha }$]范围内^[7-9]。各行人的初始目标行走速度${v}_{\alpha }^{0}\left(0\right)$也不同，根据统计数据，符合正态分布：${\rm{N}}\left( {1.34,0.26} \right)$ m/s^[10-11]。该社会力模型的其他主要参数值可参见表3。

表  3  社会力模型主要参数值

Table  3.  Main parameter values

参数	值		参数	值		参数	值
${\tau _\alpha }$/s	0.50		$A_\alpha ^1$/(m/s2)	9.43		$B_\alpha ^1$/m	0.35
${\lambda _\alpha }$	0.82		$A_\alpha ^B$/(m/s2)	5.00		$B_\alpha ^B$/m	0.10
${r_\alpha }$/m	0.30		${r_{\alpha \beta }}$/m	0.60		−	−

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3   模拟实例及结果

按前2节所述，该模型能考虑不同的人群密度、所处地域、行走目的和方向，还能考虑行人到达结构的时间、初始位置、初始行走速度等的随机性。本节将展示一个典型桥面上随机人群的相关模拟结果。该桥面长50 m、宽4 m，相关参数设定如下：按设计工况考虑，目标人群密度可取0.1 人/m²、0.2 人/m²、0.5 人/m²、0.8 人/m²、1.0 人/m²、1.5人/m²等；所处地域为亚洲；以工作通勤为目的。假定人群从结构的左侧进入，从右侧离开。行人到达结构的时间按泊松分布和“一上一下”原则考虑。初始位置符合均匀分布：${\rm{U}}\left(0.3, 3.7\right)$ m，初始目标行走速度按正态分布考虑，其均值和标准方差分别为1.34 m/s和0.26 m/s。由于篇幅所限，以下展示0.2人/m²工况下的相关结果。

3.1   人群行为

作为整体考虑，人群行为可用行人位置分布、实时人群密度、实时人群平均速度、人群速度分布直方图等加以描述和表征。随着人群的运动，行人在结构上的位置分布随时间变化(图3)。图3(a)展示了77 s这一时刻桥面上行人的位置分布，即X坐标值在[0, L=50 m]范围内的所有行人的位置分布。从图3(b)和图3(c)的细部放大图可知，77号行人和78号行人正在进入结构；而40号行人和41号行人正在离开结构。

图  3  行人在结构上的位置分布

Figure  3.  The pedestrian location distributions on the structure

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图4展示了实时人群密度。由于行人到达结构时间符合泊松分布，人群密度先经历了一个不断增加的过程。达到目标人群密度后，人群密度就稳定在一个恒定的值(0.2人/m²)，这跟事先设定的“一上一下”原则的预期结果是相吻合的。

图  4  实时人群密度

Figure  4.  The crowd density in real-time

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通过对每一时刻在结构上的人的行走速度取平均得到实时人群平均速度。由于人群中的每个人都实时与其他人和周围环境在进行中相互作用，因此，每个人都不断地在调整其走路行为和步行速度。图5绘制了人群中行人速度分布直方图。通过该直方图可知，人群行走速度的离散程度较大，散布在均值1.3 m/s附近，且多数在[1.2, 1.4] m/s范围内，也有少量速度低于1.2 m/s或高于1.4 m/s。各行人行走速度存在个体间变异性。相应地，实时人群平均速度也会变化且低于自由行走速度，待人群稳定后，在稳定范围内波动(图6)。当人群密度更大时，实时人群平均速度比自由行走速度低的幅度会更大。

图  5  人群中行人速度分布直方图

Figure  5.  The histogram of walking speeds for the crowd

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图  6  实时人群平均速度

Figure  6.  The real-time mean speed of the crowd

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3.2   个体行为

人群中，每个行人的行为各不相同。跟人致结构振动计算直接相关的个体行为主要包括行走路径和速度。图7绘制了第57号行人的行走路径。如图7所示，该行人在行进过程中有较明显的路径调整，实际路径与初始沿桥面长度中线附近路径有一定的偏离，这跟该行人受到的社会力有关。

图  7  第57号行人的行走路径

Figure  7.  The walking trajectory of the pedestrian 57

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图8绘制了第57号行人的行走速度。如图8所示，该行人在刚刚进入结构之初的前10 m内速度的调整尤为明显。这比较容易解释，其原因在于行人刚刚进入结构之时，从自由行走到受人群中他人的影响，其他行人及结构边界等对其施加的社会力也就较为明显。

图  8  第57号行人的行走速度

Figure  8.  The walking speed of the pedestrian 57

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图9为第57号行人的行走速度直方图。该行人速度值散落的范围较广，表明因与他人和环境相互作用所产生的社会力对其影响明显，使行人速度不恒定、存在个体内变异性。

图  9  第57号行人的行走速度直方图

Figure  9.  The histogram of walking speeds for pedestrian 57

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4   结论

本文采用修正后的社会力模型，为准确施加步行荷载提供人群中各行人的行走路径和速度，主要结论如下：

(1)按照实际需要，该模型能考虑不同地域、密度、行走目的和方向的人群。对于每个人群，还能考虑行人到达结构的时间、初始位置、初始行走速度等的随机性。

(2)通过模拟一个典型桥面上的随机人群，表明：跟自由行走不同，人群中，各行人因受他人和周围环境的影响，行走路径不按直线路线，行走速度低于自由行走速度且存在个体内变异性。由于各行人走路路径和行走速度的变化，人群作为一个整体，行人位置分布实时变化，人群平均速度也实时变化且低于自由行走速度，待人群稳定后，在稳定范围内波动。

(3)本文工作可为准确施加步行荷载提供参考。