我国国土面积辽阔，冻土区约占国土面积的75%^[1]。当自然界温度下降时，上层土体先冻结，下层非冻结土体中水分在水势温度梯度作用下向上层冻结区迁移汇聚，水分冻结导致土体膨胀，产生土体举升力，造成拱起开裂，当温度回升时，土体中冰化为水，在重力作用下，固结排水，孔隙水排出，土体下沉^[2]。高纬度地区如西比利亚西北部铺设的天然气管道承受冻结与解冻循环过程的考验^[3]。而我国东北地区仍旧面临着土体冻胀与融沉的巨大考验。在我国兴建的一些重大项目中，例如格尔木—拉萨的成品油输送管线、西气东输管道工程、中俄原油管道工程等，不可避免的需要穿过冻土区，然而冻土区所产生的冻胀与融沉的冻害机理必然会对管道的结构产生影响。这不仅是对国家资源的浪费，更易形成安全隐患，对国民的生产生活产生重大影响^[4-5]。冻土区管道研究随着20世纪70年代计算机数字分析的出现而蓬勃发展^[6]。NIXON和MACLNNES^[7]开发伪三维地热模型模拟冻土区地热变化状况以规划管道路线；LAWRENCE等^[8]对与管道相关的冻胀理论和实验测试进行了总结归纳，建立数据基础。有学者提出冻胀敏感性土地段将可能产生较大的冻胀量的问题^[9]，但由于在多年冻土区进行输油管道建设的相关经验还不是很多，绝大部分都还为理论计算^[10]，还不能为冻土区输油管道工程的设计、施工及安全运行提供良好的保证。因此，在冻融环境下，研究管道变形检测与结构性能变化的方法，对管道的安全运营具有十分重要的意义。

现今，新颖的结构损伤检测识别技术如数字图像三维重建法^[11]、基于分级免疫萤火虫算法的传感器优化方案布置法^[12]、基于长短时记忆神经网络的模型建立法^[13]等像雨后春笋般涌现。管道工程中常用通径检测器法^[14]、管内摄像法^[15-16]、超声导波测量法^[17-18]和涡流检测法^[19]等，但这些方法大多具有精度效率低、使用成本高、测量周期长、抗电磁能力弱等缺点。而使用应变-形状算法的形状传感技术，可真实反映被测物体的形状变化与空间分布。钱晋武等^[20]在被检管道外等距离铺设光纤光 栅传感器，通过获取被测管道的弯曲变形信息，实现管道空间位置形状的位置重建。陈星明^[21]提出采用带温度的振弦应变计作为主监测传感器，将应变计固定在管道本体上，通过测定频率的大小反映应变大小，进行管道本体的变形监测。几何法原理简单，但精度较差，误差积累较大。而李振眠等^[22]采用向量式有限元方法，分析管道结构屈曲行为并模拟屈曲传播过程，但模拟精度随经验系数的取值而波动较大。

TESSLER和SPANGLER^[23]提出一种用于求解结构位移与应变应力关系的强大算法，通过分析有限单元的反问题来推演结构变化，即通过应变应力信息求解得出结构位移量。这种方法被称为逆有限元算法(iFEM)。iFEM通过最小化加权最小二乘函数，凭借实际测量的表面应变，无需任何材质与荷载信息，便可重建结构变形，在多种动静荷载作用的复杂结构中具有优势。iFEM具有计算精度高、适用性强、效率高、能耗低的优点，能够运用于结构监测领域^[24]。通过将iFEM与光纤光栅传感系统结合运用于管道健康监测领域，既能实时获取管道应变数据，又能循环处理数据，及时生成测量结果并实时更新。因为不需要荷载与结构材质信息，所以精简了计算过程，在保证效率的同时能够获得稳定的计算精度，这便是iFEM算法能逐步发展并运用于结构监测领域的重要因素。

本文建立了基于iBeam3单元的逆有限元方法的理论框架模型，并首次将光纤光栅传感技术与逆有限元法结合运用于冻土区管道变形模拟试验中。该方法兼备光纤光栅传感技术耐腐蚀、抗干扰，稳定性好，以及iFEM计算精度高、简便高效的优点。基于iBeam3单元的逆有限元理论分析模型，运用传感器准确测量并实时传输的表面应变数据，便可及时还原管道的结构变形。试验不仅验证了基于iBeam3单元的逆有限元法分析冻土区管道变形的合理性和准确性，而且为管道健康监测与维护工作提供了一种切实可靠的技术方法。

1   基于iBeam3单元的逆有限元方法

1.1   原理

管道变形还原的理论基础是双节点iBeam3逆梁单元，该单元以基础梁理论为基础，以逆有限元理论为框架，通过加权最小二次泛函导出。通过测量结构表面应变分量，利用平截面假设，仅仅需要2个端点便可有效还原单元变形状况^[25]。

图  1  两节点逆梁单元

Figure  1.  Two-node inverse beam element

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图  2  梁单元应变传感器测量的离散表面应变

Figure  2.  Discrete surface strain measured by strain sensors within the beam element

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以厚度为2h的直梁单元为例，建立整体坐标系$(X,Y,Z)$和局部坐标系$(x,y,{\textit{z}})$。局部坐标系位于单元节点上，每个节点包含3个位移自由度(见图1、图2)。

依据经典梁理论和有限元理论^[26]定义结构位移场：

式中：${l_e}$为逆有限单元的长度，$e=1,2,\cdot\cdot\cdot,n$；${N_i}$为形函数，节点位移量表示为$({u}_{i},{v}_{i},{\phi }_{i})$，$u$、$v$分别是局部坐标系x、y轴的平动量，$\phi$为z轴的转动量。

考虑到小变形假设，则应变$\varepsilon$和曲率$k$表示为：

式中：${B}_{\text{b}}、{B}_{\text{m}}$为形函数的导数；${\boldsymbol{u}}_{e}$为节点位移向量。

实际测量中最关键的一步便是结构表面离散变形数据的测量。$n$对应变传感器分别贴在单元的上、下表面，测量处理得出上表面应变值${\varepsilon }_{i}^{+}$和下表面应变值${\varepsilon }_{i}^{-}$。由此，被测单元轴向应变${\varepsilon }_{i}$和曲率${k}_{i}$分别为：

式中：i为逆有限单元中传感器的数量，$i= 1,2,\cdot\cdot\cdot,n$；$2h$为单元的厚度。

与轴向拉伸和弯曲变形相关的加权最小二乘函数${\boldsymbol{\varPhi }}_{e}\left({\boldsymbol{u}}_{e}\right)$通过对整个离散化的节点自由度进行最小化来重新生成离散化结构的变形形状。${\boldsymbol{\varPhi }}_{e}\left({\boldsymbol{u}}_{e}\right)$表示为：

式中：$w_{\mathrm{b}}\mathrm{和}w_{\rm m}$为加权常数，与各截面应变有关，当每个分析截面应变都有实验值时，取$w_{\mathrm{b}}=w_{\mathrm{m}}=1$。

将加权最小二乘函数${\boldsymbol{\varPhi }}_{e}\left({\boldsymbol{u}}_{e}\right)$最小化处理得：

式中：${\bf\textit{κ}}_{e}$为常数矩阵，只与结构单元的长度和厚度有关；${\boldsymbol{f}}_{e}$为列向量，与测量应变数据有关；${\boldsymbol{u}}_{e}$为单元的节点位移向量。

一旦局部坐标系下的${\bf\textit{κ}}_{e}$和${\boldsymbol{f}}_{e}$被求出，便可选取合适的坐标变化矩阵将其转换成全局坐标系下的方程组。

式中：${\boldsymbol{T}}_{e}$为局部坐标系到全局坐标系的转换矩阵；$\theta$为局部坐标系下x轴与全局坐标系X轴间的夹角。

1.2   试验测试

基于其他研究^[25]发现：单元长度的选取和每个单元中应变传感器的数量是影响逆有限元方法准确性和鲁棒性的重要因素。依据该研究成果并考虑监测成本，试验决定将管道划分为6段，单元长度为1000 mm，每个单元配置2对传感器，分别位于单元长度的1/4和3/4处。

1.2.1   试验设备与过程

试验设计管道承受均布荷载以模拟管道在土体中受力的理想状态。预制管道采用304不锈钢无缝钢管，设计长度为6 m，外直径64 mm，壁厚2 mm。为模拟均布荷载的施加，试验采用60个重量为0.5 kg的砝码沿管道全长布置，布置间距为100 mm；且每隔1000 mm安置1个精度为0 mm~12.7 mm(0"~0.5")的千分表进行管道的挠度测量。将管道分为6段，每段布置2对FBG传感器，分别处于每段的1/4与3/4处。夹具通过环氧树脂胶紧密贴合管道，传感器安装于管道上、下侧，对称布置(如图3所示)，安装完毕后施以一定预加力保证传感器全部正常工作。

图  3  传感器布置与安装

Figure  3.  Sensor arrangement and installation

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1.2.2   试验结果与分析

在试验设备安装结束并且完成加载后，连接设备，保证传感器全部正常工作；待结构变形稳定，便可采集传感器数据并读取记录千分表示数。通过基于iBeam3单元的逆有元算法还原管道结构位移量，试验结果如图4所示。

图  4  测量值对比

Figure  4.  Comparison of measured values

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如图4所示，基于iBeam3单元的逆有限元算法可及时、高效地还原管道结构变形，还原效果好。将还原值与千分表测量数值对比，最大误差仅为1.152 mm。由此可见，基于iBeam3单元的逆有限元算法精度高、易操作实现，完全适用于工程实际的测量工作。

2   冻土区管道变形模拟试验

2.1   试验设备与准备过程

试验预制直径为63 mm、壁厚2 mm、长度为1.2 m的304不锈钢管，均分6段，焊接实验用350 mm高参照标杆，每段安装3支FBG应变传感器，2支传感器用于应变测量、1支传感器用于温度补偿。将安装完毕的实验钢管置于1.2 m长、0.9 m高的实验箱体中，并覆盖含水率为25%左右自然粉土至700 mm预设高度。箱体两侧孔道用玻璃胶封装以模拟管道两端处于铰支状态。试验用钢管与覆土埋设过程如图5所示。

图  5  钢管模型与覆土埋设过程

Figure  5.  Steel pipe model and overburden burying process

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经过封装的FBG应变传感器克服了传统裸光纤抗剪性弱的缺点，适用范围更广。考虑到管道置于土体之中，为了避免土体对传感器的直接作用，并且考虑到低温对于传感器影响，试验研究了传感器的布设过程及保护措施，具体操作如下：预先清理管道表面，将定制支座通过环氧树脂胶水与管道外壁紧密连接，实现管道与传感器共同变形。在每段管道中央处安装FBG应变传感器，管道上、下各安装1个传感器用于应变测量，同时在管侧中性轴位置安装1个传感器，传感器仅一端支座固定，另一端为自由变形，使其所测量的应变值只受温度影响，用于温度补偿。传感器与支座间通过盖板与螺丝连接，并对传感器施以一定预应力，保证传感器正常且有效工作。为得到管道变形的准确数据，必须避免传感器与土体直接接触。试验设计了保护壳(如图6所示)，不仅有效隔绝土体，而且能起到一定防潮防水的功用。经过以上的布设过程，在安装结束之后，连接SM130解调设备，确定传感器全部正常工作。

图  6  传感器安装与保护过程

Figure  6.  Sensor installation and protection process

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试验将箱体放置于−30℃冷库冷冻，设置SM130解调设备数据采集的间隔为30 min，每隔2 h采集1次参照标杆露土高度。20 h后将箱中土体完全冻实，将箱体取出冷库进行加热设备升温融化，36 h后土体完全融化，完成一次冻融循环过程。此时，暂停采集设备数据采集，完成试验测量。

2.2   数据采集与处理

试验采集实验管道分段节点的传感器波长测量数据，得到管道的应变信息。试验中FBG应变传感器能在寒冷环境下稳定测量且测量精度高、安全性能好，验证了FBG应变传感器在寒冷环境下长期健康监测的鲁棒性与适用性。其次，运用逆有限元算法对管道变形进行冻胀与融沉工况下的还原处理，并将逆有限元算法得出节点位移值与试验测量值进行对比(图7、图8)。

图  7  冻胀工况管道形状还原： ①4 h；②10 h；③20 h

Figure  7.  Pipe shape reduction under frost heave condition: ①4 h; ②10 h; ③20 h

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图  8  融沉工况管道形状还原: ①10 h；②20 h；③30 h；④36 h

Figure  8.  Pipe shape reduction under thawing settlement condition: ①10 h; ②20 h; ③30 h; ④36 h

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试验由图7可见在冷冻10 h时，管道呈现凸状，出现明显位移量；20 h时，箱体中土体完全冻结，管道变形达到最大值，并且不再显著增加，位移量维持在稳定值。而在融沉工况(图8)中，由①组曲线可以看出在10 h时，管道变形形状仍呈现上拱状，箱中土体未达到融化的临界点，但随着土体持续融化，测量点位移量下降。30 h时，管道出现明显下沉现象，沉降位移量达到最大值，土体完全融化。随后36 h时，试验观察到土体析出水分，并在上表面出现一层明显水膜，土体开始固结排水，管底土体承载力变大，管道出现上浮现象(如图8中④组所示)。土体复杂的物理性状具有一定的保温作用，这将使结构变形存在一定的延迟效应。

试验通过基于iBeam3单元的逆有限元算法来还原管道，以获得更完整全面而非局部零星的管道应变信息。结果发现，在均质土体中，管道在冻胀与融沉工况下中间区域变形较大，最大变形量出现在管道中央附近，且iFEM测量值与试验测量值的结果相近。但由于土体条件、温度变化等外界环境影响，如图8中①组曲线所示，管道最大变形量在中间偏左段，而基于iBeam3单元的逆有限元算法可有效还原最大变形量的位置，iFEM测量值与试验测值拟合曲线趋势一致。由于管道在土体中受力较为复杂并且试验测量存在误差的缘故，试验两次测量值存在一定的误差，但误差较小，均在可控范围内。而试验用土体是为未经过沉降固结过程的新填土，其土体密度与含水率略有不均，这便导致了个别测量点出现位移量变化较大的情况。

3   结论

本文设计试验模拟在自然界冻土区域管道的变形状况，通过光纤光栅应变传感器测量管道表面应变数据，运用逆有限元算法还原结构变形并进行实测对比。试验结果表明：通过基于iBeam3单元的逆有限元算法可有效还原管道变形状况，还原值与实测值相近。在整个冻融循环过程中，该算法快速还原管道形状，效率高，易操作实现，并且能保证足够的精度，具有良好的应用前景。

在了解寒区埋地管道服役性能评价模型分析的基础上，本文设计试验进行测量验证。与此同时，试验还使用基于iBeam3单元的逆有限元算法，仅凭借管道表面应变信息便实现了管道变形的还原。在埋地管道上合理布设传感器，便可通过设备实时监测管道运行状况，同时建立算法模型还原管道形状，及时了解被监测管道区段的屈曲变形状况，极大方便了管道检修与维护工作。