STUDY ON THE INTERACTION MECHANISM BETWEEN SURROUNDING ROCK AND LINER WITH HIGHLY DEFORMABLE ELEMENTS IN SQUEEZING TUNNELS
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摘要: 内置高压缩性元件衬砌作为一种环向让压衬砌，能够通过高压缩性元件的压缩来适应大变形，达到让压的目的。针对挤压大变形隧道中围岩与该种让压衬砌相互作用的力学机制，采用改进的分数阶Burgers蠕变模型表征围岩的时效变形特征，推导了考虑掌子面效应和支护延迟作用下隧道位移及支护压力的解析解，并通过在Lyon-Torino Base隧道中的应用，验证了理论解答的正确性。进一步，基于理论解答，探讨了围岩分数阶阶数、支护时间、高压缩性元件的屈服应力对支护效果的影响。得到主要结论如下：随着围岩本构模型分数阶阶数的增加，围岩的变形能力越强，隧道位移和支护压力也呈现上升的趋势；衬砌的安装时间对支护效果具有重要影响。为保证围岩不产生失稳，支护结构应尽早地安装；另一方面，为确保支护压力处于衬砌结构的承载范围内，应该合理地确定高压缩性元件的长度和个数，以降低支护压力；高压缩性元件的屈服应力对隧道位移和支护压力的影响并不显著，但这不意味着可以盲目地确定高压缩性元件的屈服应力，需根据围岩性质和衬砌特性来确定其合理范围。在该范围内，既能够保证隧道稳定，也能充分发挥高压缩性元件的让压作用。Abstract: As a type of circumferential yielding supports, liner embedded with highly deformable elements can achieve the release of rock deformations through the compressible deformation of highly deformable elements. The paper aims to investigate the interaction mechanism between surrounding rock and liner with highly deformable elements. In this paper, the improved fractional Burgers model is established to describe the time-dependent behavior of rock, and then the analytical solutions for tunnel displacement and support pressure are derived taking into account the tunnel face advancement effect and the installation delay of support. In addition, the reliability and effectiveness of analytical solutions are well validated by comparing the monitoring data in Lyon-Torino Base tunnel. Furthermore, based on the analytical solutions proposed in this paper, a comprehensive parametric investigation including the influences of fractional order of rock constitutive model, supporting time and yield stress of highly deformable elements is carried out. The main conclusions are made as follows: The deforming ability of surrounding rock becomes stronger as fractional order of Burgers model increases, and the tunnel displacement and support pressure also exhibit an increasing trend; Supporting time has a great influence on tunnel performance. On the one hand, in order to keep rock stability it is recommended to install support structures as early as possible. On the other hand, the optimal number and length of highly deformable elements should be determined for ensuring that the support pressure varies within a range of bearing capacity of liner; The yield stress of highly deformable elements does not pose a significant effect on tunnel displacement and support pressure. However, this does not mean the yield stress of highly deformable elements can be determined randomly. There should be an appropriate range for this yield stress, where the purposes for both the tunnel stability and the release of rock deformation can be achieved.
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Keywords:
- squeezing tunnel /
- creep /
- fractional derivatives /
- highly deformable elements /
- analytical solution
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近年来，随着我国交通运输业的快速发展，作为交通基础设施的重要构成部分，越来越多的隧道不可避免地修建在复杂的地质环境中[1-2]。其中，软弱的挤压岩层在我国分布广泛，大多数交通线路都会穿越该类型岩层。由于软岩强度低、流变性强，深埋高地应力隧道软岩挤压大变形问题一直是困扰山岭隧道施工的难题之一[3-5]。
其中，岩石流变模型的研究是当前岩石力学领域研究的热点与难点[3]。目前，岩石流变模型的研究主要集中在经验模型、物理模型、内时理论模型以及基于损伤、断裂理论等得到的理论模型[6]。徐卫亚等[7]将非线性黏塑性体(NVPB)与五元件线性粘弹性模型串联，提出了新的岩石非线性粘弹塑性流变模型。陈沅江等[8]基于连续介质不可逆热力学基本原理，从内时理论出发，推导了软岩内时流变本构方程。由于分数阶导数能够描述材料复杂的力学行为，近年来，众多学者尝试将分数阶微积分理论应用于岩石的流变本构模型研究[9]。Zhou等[10]。建立了基于分数阶导数的盐岩流变模型，并验证了该模型能够较好地吻合盐岩流变曲线。吴斐等[11]基于Zhou的研究成果，建立了新的分数阶粘弹塑性蠕变模型，并基于实验结果验证了模型的合理性。刘泉声等[12]采用Abel粘壶元件替代传统Burgers蠕变模型中的粘弹性体，并串联非线性粘塑性体，建立了现场软弱岩体的非线性分数阶蠕变模型。
而针对挤压隧道软岩大变形的控制方法，目前存在两种主流支护理念。一种是“强制硬顶”，即采用高强度、大刚度支护约束围岩的变形[13-15]。但是，众多的工程实践表明：该种支护方法在处理软岩挤压大变形问题时并不是最有效的，围岩变形常常在经历支护-破坏-拆除多次循环后才能得到一定的控制。随着对软岩变形研究的不断深入，“让压支护”理念也愈来愈受到学者们的关注。所谓让压支护，即要求隧道衬砌具有适应围岩变形的能力，在提供较高支护阻力的同时，也能够允许围岩产生一定的变形，释放部分围岩压力[3, 16-17]。Cantieni和Anagnostou[18]认为隧道在穿越严重挤压地层时，支护结构必须具备让压能力才能有效避免围岩挤压大变形导致的风险。其中，根据让压机理，让压支护可以被总结为两种基本类型：径向让压和环向让压。径向让压支护通常在围岩与刚性衬砌之间设置可压缩层，通过可压缩层的压缩变形来吸收围岩的蠕变变形[19-20]。环向让压衬砌通常利用钢架间接头的滑动或衬砌间内置高压缩性元件的压缩来实现让压。以U型钢为代表，通过钢架间接头滑动实现让压的支护已经取得了众多研究成果[21-22]。内置高压缩性元件衬砌在承受围岩压力的同时，能够通过高压缩性元件的压缩来适应大变形[23]。Schubert等[24]根据制作材料的不同，将高压缩性元件大致分为两种类型：一类是基于多孔材料，如泡沫混凝土等；另一类是基于钢管构件。Moritz[25]认为，基于多孔材料的高压缩元件其性能受材料组成的影响较大，相比之下，基于钢管构件的高压缩元件更具灵活性。雷升祥和赵伟[23]认为：环向让压装置能够与支护结构的内力相一致，既能够实现一定的支护阻力，又通过周长的环向收缩调整支护的受力。Barla等[26-28]利用衬砌内嵌泡沫混凝土元件成功解决了Lyon-Torino Base隧道挤压大变形问题。Tian等[29]采用数值方法研究了喷射混凝土衬砌内置泡沫混凝土构件对隧道变形的影响，发现：在安装高压缩性元件之后，衬砌的压缩和剪切破坏能够得到极大的改善。仇文革等[13]开发了基于钢材峰后性能实现能量释放的“限阻器”，并成功应用在蒙华铁路阳山隧道中。尽管，从工程实际和研究现状来看，让压支护愈来愈受到科研工作者的重视，但是，围岩-让压衬砌间的相互作用机理并不明确，围岩让压变形的控制理论仍处于探索之中。
本文针对挤压大变形隧道中围岩与内置高压缩性元件衬砌相互作用的力学机制，采用改进的分数阶Burgers蠕变模型表征围岩的时效变形特征，推导了考虑掌子面效应和支护延迟作用下隧道位移及支护压力的解析解，并进行了相应的工程验证。进一步，基于理论解答，本文还探讨了围岩和支护参数对支护效果的影响。本文的结果可为相关工程的初步设计提供理论指导。
1 力学模型与求解方法
本文针对围岩与内置高压缩性元件衬砌相互作用的力学机制进行研究，考虑隧道开挖及衬砌施做延迟对支护效果的影响。为了便于讨论，在理论推导中依据实际情况，做出如下若干假设[30]：1)与隧道尺寸相比，隧道埋深大，可简化为无穷域开挖问题；2)忽略重度梯度的影响，认为隧道在无穷远处受静水压力的作用；3)围岩与支护均为均质、连续且各项同性材料，围岩的时效变形行为可采用粘弹性本构模型描述，衬砌视为弹性材料。
1.1 围岩本构模型
Abel黏壶是一种介于理想虎克弹性体和牛顿黏体之间的黏性元件，如图1所示，能够很好地反映岩土材料蠕变现象的非线性渐变过程。
牛顿黏壶的本构方程表达式为：
σ(t)=ηdε(t)dt (1) 式中：σ(t)和ε(t) 分别为应力和应变；η表示黏滞系数。
而Abel黏性元件的本构方程可写为：
σ(t)=ξdαε(t)dtα,0⩽ (2) 式中：ξ为黏滞系数；α为求导阶数。发现：当α=0时，式(2)即为理想的虎克弹性体本构方程。当α=1时，式(2)转化为式(1)。
利用拉普拉斯变换方法，式(2)又可写成：
\varepsilon \left( t \right){\rm{ = }}\frac{{\sigma \left( t \right)}}{{{\xi ^\alpha }}}\frac{{{t^\alpha }}}{{\varGamma \left( {1{\rm{ + }}\alpha } \right)}},\quad \; {0 \leqslant \alpha \leqslant 1} (3) Maxwell模型由一虎克弹性元件和牛顿黏壶串联而成，若将Maxwell体中牛顿黏壶由Abel黏壶替代，则分数阶Maxwell模型的蠕变本构方程表达式为：
{\varepsilon ^{\rm M}}\left( t \right){\rm{ = }}{\sigma _0}\left[ {\frac{1}{{{E^{\rm M}}}} + \frac{1}{\xi }\frac{{{t^\alpha }}}{{\varGamma \left( {1 + \alpha } \right)}}} \right] (4) 式中：σ0为常应力；E为虎克弹性体常数；上标M表示修正的Maxwell模型相应的分量。
由流变力学基本原理，Kelvin模型(由一虎克弹性元件和牛顿黏壶并联而成)的蠕变本构方程可写为：
{\varepsilon ^{\rm K}}\left( t \right) = \frac{{{\sigma _0}}}{{{E^{\rm K}}}}\left( {1 - {{\rm e}^{ - \frac{{{E^{\rm K}}}}{{{\eta ^{\rm K}}}}t}}} \right)\qquad\quad (5) 式中，上标K表示Kelvin模型相应的分量。
Burgers模型由一Maxwell体和Kelvin模型串联而成，能够描述围岩的弹性形变、蠕变(包括弹性后效和流动)、松弛等力学行为，是一种性能优越的流变模型。根据Goodman[31]，由于Burgers模型简单，涉及参数少，且能够较为全面地描述软岩的时效变形行为，特别适用于工程分析。因为分数阶导数正是微分-积分卷积算子，充分体现了系统函数发展的历史依赖性，若将Abel黏壶引入Burgers模型，替代原Maxwell模型中的牛顿黏体，如图2所示，则改进的分数阶Burgers流变模型能够更好地模拟软岩的蠕变变形规律。因此，本文采用以上改进的分数阶Burgers蠕变模型来表征围岩的时效变形行为。
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图 2 改进的分数阶Burgers蠕变模型Figure 2. Improved Burgers creep model based on fractional derivatives根据元件的串联法则，分数阶Burgers流变模型有：
\left\{ \begin{array}{l} \varepsilon {\rm{ = }}{\varepsilon ^{\rm M}} + {\varepsilon ^{\rm K}} \\ \sigma = {\sigma ^{\rm M}}{\rm{ + }}{\sigma ^{\rm K}} \\ \end{array} \right. (6) 将式(4)和式(5)代入式(6)，可以得到分数阶Burgers蠕变模型的本构方程为：
\varepsilon \left( t \right) = {\sigma _0}J\left( t \right) (7) 式中，J(t)为蠕变柔量，其表达式可表示为：
J\left( t \right) = \frac{1}{{{E^{\rm M}}}} + \frac{1}{{{E^{\rm K}}}}\left( {1 - {{\rm e}^{ - \frac{{{E^{\rm K}}t}}{{{\eta ^{\rm K}}}}}}} \right) + \frac{1}{\xi }\frac{{{t^\alpha }}}{{\varGamma \left( {1 + \alpha } \right)}} (8) 1.2 解析解
在隧道开挖过程中，离掌子面较近截面的位移及应力分析实际属于三维问题[32]。但是，在研究中通常将其简化为一个二维问题进行分析。可以认为掌子面能够给附近隧道截面提供一个虚拟的内部支护力，Panet和Guenot[33]给出了掌子面影响系数λ(x) 的经验公式，其表达式如下：
\lambda \left( x \right) = 0.28 + 0.72\left[ {1 - {{\left( {\frac{X}{{X + x}}} \right)}^2}} \right] (9) 式中，x为计算截面距掌子面的距离，可根据x=vt计算，其中v为隧道开挖速率。X=0.84倍的隧道半径。系数λ在0~1范围内变化，当λ=1时为不考虑掌子面影响的远截面情况。
1.2.1 未安装支护
如图3所示，为一受内置高压缩性元件衬砌支护的圆形隧道受力示意图。对于未安装支护结构的隧道而言，其中支护作用力ps(t)大小为0。根据弹性理论可以得到无限大平面孔洞的位移场及应力场的表达式。若考虑掌子面效应，Sulem等[34]给出了相应的径向及切向应力场公式：
\left\{ \begin{aligned} & {\sigma _{\rm{r}}} = \left( {1 - \lambda \frac{{{R^2}}}{{{r^2}}}} \right){p_0} \\& {\sigma _{\text{θ}} } = \left( {1 + \lambda \frac{{{R^2}}}{{{r^2}}}} \right){p_0} \end{aligned} \right. (10) 式中：σr和σθ分别表示径向和切向应力；p0为初始地应力；R和r分别为隧道半径和距隧道中心的距离。
则根据式(10)，可以得到围岩的偏应力场表达式如下：
\left\{ \begin{aligned} & \sigma _{\rm{r}}^{{\rm{dev}}} = - \lambda {p_0}{\left( {\frac{R}{r}} \right)^2} \\& \sigma _{\text{θ}} ^{{\rm{dev}}} = \lambda {p_0}{\left( {\frac{R}{r}} \right)^2} \end{aligned} \right. (11) 式中，
\sigma _{\rm{r}}^{{\rm{dev}}} 和\sigma _{\text{θ}} ^{{\rm{dev}}} 分别为径向和切向偏应力。由于考虑岩体的不可压缩特性，且造成岩石蠕变的为偏应力，围岩的径向应变公式可以写为：
{\varepsilon _{\rm{r}}} = \frac{{\sigma _{\rm{r}}^{{\rm{dev}}}}}{{2{G^*}\left( t \right)}} (12) 其中：
\frac{1}{{{G^*}\left( t \right)}}=J\left( t \right) = \frac{1}{{{G^{\rm M}}}} + \frac{1}{{{G^{\rm K}}}}\left( {1 - {{\rm e}^{ - \frac{{{G^{\rm K}}t}}{{{\eta ^{\rm K}}}}}}} \right) + \frac{1}{\xi }\frac{{{t^\alpha }}}{{\varGamma \left( {1 + \alpha } \right)}} (13) 式中，G表示剪切模量。
将式(11)代入式(12)，式(12)可以转化为：
{\varepsilon _{\rm{r}}} = \frac{{ - \lambda {p_0}{R^2}}}{{2{G^*}\left( t \right){r^2}}} (14) 对围岩径向应变进行积分，且令r=R，可以得到隧道洞周的径向位移表达式：
\begin{split} & {u_{\rm{R}}}\left( t \right) ={\left. {\int {{\varepsilon _{\rm{r}}}{\rm d}r} } \right|_{r = R}} = \\&\quad \frac{{\lambda {p_0}R}}{2}\left[ {\frac{1}{{{G^{\rm M}}}} + \frac{1}{{{G^{\rm K}}}}\left( {1 - {{\rm e}^{ - \frac{{{G^{\rm K}}t}}{{{\eta ^{\rm K}}}}}}} \right) + \frac{1}{\xi }\frac{{{t^\alpha }}}{{\varGamma \left( {1 + \alpha } \right)}}} \right] \end{split} (15) 利用式(15)，在t=0时刻，隧道开挖完毕。此时x=0 m，即为隧道掌子面处，有λ=0.28。则由隧道开挖引起的瞬时弹性位移为：
{u_{\rm{R}}}\left( t \right) = \frac{{0.14{p_0}R}}{{{G^{\rm M}}}} (16) 1.2.2 第一阶段变形
若在t0时刻安装支护结构，此时隧道的变形值为u0，可利用式(15)求出。由于让压衬砌由普通混凝土衬砌和高压缩性元件组成，与原衬砌材料相比，因高压缩性元件的易压缩变形特性，在支护结构受到围岩形变载荷时，其首先产生环向弹性压缩以适应围岩的变形。在此阶段，认为衬砌单元产生的压缩变形予以忽略。
由材料力学理论可知，若长度为l的高压缩性元件受到大小为σ的压缩应力时，其压缩变形为：
\Delta l = \frac{\sigma }{{{E_1}}}l\qquad\qquad\qquad (17) 式中：
\Delta l 为压缩变形量；E1为材料的弹性模量。在围岩与支护结构相互作用的过程中，支护结构的环向压缩变形可由围岩的径向变形位移表示：
\Delta l = \frac{{2\pi \left[ {{u_{\rm{R}}}\left( t \right) - {u_{\rm{R}}}\left( {{t_0}} \right)} \right]}}{n} (18) 式中，n为衬砌中高压缩性元件的个数。
将式(18)代入式(17)，可以得到：
\sigma {\rm{ = }}\frac{{2\pi {E_1}\left[ {{u_{\rm{R}}}\left( t \right) - {u_{\rm{R}}}\left( {{t_0}} \right)} \right]}}{{nl}} (19) 基于围岩与衬砌的相互作用，衬砌所受围岩载荷与其环向压缩应力存在如下关系：
{p_{\rm{s}}}\left( t \right) = \frac{{2\left( {R - {R_1}} \right)}}{{R + {R_1}}}{\sigma _{\text{θ}} }\qquad (20) 式中：ps(t)为围岩与衬砌间相互作用力；R1为衬砌结构的内半径；σθ为衬砌环向应力。
式(19)和式(20)中，σ和σθ是等价的。将式(20)代入式(19)，可得支护压力与隧道径向位移的表达式如下：
{p_{\rm{s}}}\left( t \right) = \frac{{4\pi {E_1}\left( {R - {R_1}} \right)\left[ {{u_{\rm{R}}}\left( t \right) - {u_{\rm{R}}}\left( {{t_0}} \right)} \right]}}{{nl\left( {R + {R_1}} \right)}} (21) 在这一变形阶段中，由于支护结构的安装，围岩与支护结构间存在相互作用力ps(t)，则围岩的应力场变为：
\left\{ \begin{aligned} & {\sigma _{\rm{r}}} = \left( {1 - \lambda \frac{{{R^2}}}{{{r^2}}}} \right){p_0}{\rm{ + }}\frac{{{R^2}}}{{{r^2}}}{p_{\rm{s}}}\left( t \right) \\& {\sigma _{\text{θ}} } = \left( {1 + \lambda \frac{{{R^2}}}{{{r^2}}}} \right){p_0} - \frac{{{R^2}}}{{{r^2}}}{p_{\rm{s}}}\left( t \right) \end{aligned}\right. (22) 利用式(22)，则与围岩蠕变相关的偏应力场可写为：
\left\{ \begin{aligned} & \sigma _{\rm{r}}^{{\rm{dev}}} = \left[ { - \lambda {p_0} + {p_{\rm{s}}}\left( t \right)} \right]\frac{{{R^2}}}{{{r^2}}} \\& \sigma _{\text{θ}} ^{{\rm{dev}}} = \left[ {\lambda {p_0} - {p_{\rm{s}}}\left( t \right)} \right]\frac{{{R^2}}}{{{r^2}}} \end{aligned}\right.\quad (23) 将式(23)中的径向偏应变代入式(12)，得到：
{\varepsilon _{\rm{r}}} = \frac{{\left[ {{p_{\rm{s}}}\left( t \right) - \lambda {p_0}} \right]{R^2}}}{{2{G^*}\left( t \right){r^2}}} (24) 同样地，对式(24)径向应变进行积分可得到支护结构安装后隧道洞周的位移表达式，如下：
{u_{\rm{R}}}\left( t \right) = {\left. {\int {{\varepsilon _{\rm{r}}}{\rm d}r} } \right|_{r = R}} = \frac{{\left[ {\lambda {p_0} - {p_{\rm{s}}}\left( t \right)} \right]R}}{{2{G^*}\left( t \right)}} (25) 显然，式(25)为一隐式解。结合式(21)和式(25)，可以解得支护结构安装后，在第一变形阶段(高压缩性元件弹性压缩变形)隧道的显式位移表达式：
{u_{\rm{R}}}\left( t \right) = \frac{{\lambda {p_0}nl\left( {R + {R_1}} \right)R + 4\pi {E_1}\left( {R - {R_1}} \right)R{u_0}}}{{2{G^*}\left( t \right)nl\left( {R + {R_1}} \right) + 4\pi {E_1}\left( {R - {R_1}} \right)R}} (26) 将式(26)代入式(21)，则可得到该阶段支护压力的表达式。
1.2.3 第二阶段变形
若在t=t1时刻，高压缩性元件进入屈服变形，此时ps(t1)=p1，uR(t1)=u1。由于在该阶段，高压缩性元件产生塑性变形，整个支护结构内力并不增加，围岩在恒定的支护阻力ps(t)=p1下继续产生变形。
则该阶段围岩的偏应力场可写为：
\left\{ \begin{aligned} & \sigma _{\rm{r}}^{{\rm{dev}}} = \left[ { - \lambda {p_0} + {p_{\rm{1}}}} \right]\frac{{{R^2}}}{{{r^2}}} \\& \sigma _{\text{θ}} ^{{\rm{dev}}} = \left[ {\lambda {p_0} - {p_{\rm{1}}}} \right]\frac{{{R^2}}}{{{r^2}}} \end{aligned} \right. (27) 同理，将式(27)代入式(12)，有：
{\varepsilon _{\rm{r}}} = \frac{{\left[ {{p_{\rm{1}}} - \lambda {p_0}} \right]{R^2}}}{{2{G^*}\left( t \right){r^2}}} (28) 对式(28)进行积分可以得到这一阶段隧道的位移表达式为：
{u_{\rm{R}}}\left( t \right) = {\left. {\int {{\varepsilon _{\rm{r}}}{\rm d}r} } \right|_{r = R}} = \frac{{\left[ {\lambda {p_0} - {p_{\rm{1}}}} \right]R}}{{2{G^*}\left( t \right)}} (29) 1.2.4 第三阶段变形
假设在t=t2时刻，ps(t)=p1，uR(t)=u2，认为：高压缩性元件的屈服变形结束，其将与衬砌单元视为统一体，为限制围岩的变形继续提供支护阻力。
在这一阶段，衬砌结构的力学表达式可以写为：
{p_{\rm{s}}}\left( t \right){\rm{ = }}{p_1} + {K_{\rm{S}}}\frac{{{u_{\rm{R}}}\left( t \right) - {u_{\rm{2}}}}}{R}\qquad\;\; (30) 式中，KS为衬砌结构的支护刚度，其计算公式为：
{K_{\rm{S}}} = \frac{{{E_2}( {{R^2} - R_1^2} )}}{{( {1 + {\mu _2}} )[ {( {1 - 2{\mu _2}} ){R^2} + R_1^2} ]}} (31) 式中，E2和μ2分别为衬砌材料弹性模量和泊松比。
将式(30)代入式(25)，可以得到：
{u_{\rm{R}}}\left( t \right) = \frac{{R\left\{ {\lambda {p_0} - {p_1} - {{{K_{\rm{S}}}\left[ {{u_{\rm{R}}}\left( t \right) - {u_{\rm{2}}}} \right]} / R}} \right\}}}{{2{G^*}\left( t \right)}} (32) 解上述方程，能够求得该阶段的隧道位移表达式如下：
{u_{\rm{R}}}\left( t \right) = \frac{{\lambda {p_0}R - {p_1}R{\rm{ + }}{K_{\rm{S}}}{u_{\rm{2}}}}}{{2{G^*}\left( t \right){\rm{ + }}{K_{\rm{S}}}}} (33) 同样地，将式(33)代入式(30)可得到该变形阶段支护压力的表达式。
2 结果与讨论
2.1 理论验证
为了验证本文理论研究的正确性，本节选取Lyon-Torino Base隧道(其中，Saint Martin La Porte access adit段采用了含高压缩性元件的衬砌)的位移进行比对分析[26-28]。Lyon-Torino Base隧道是连接意大利与法国的重要通道。该隧道在软弱岩层中开挖，埋深为250 m~650 m。在开挖初期，采用了大刚度支护以抵抗围岩的挤压变形，包括：8 m长的锚杆，纵向间距为1 m的钢拱架和厚度为20 cm的喷射混凝土。但是，结果表明：该支护系统并不能有效地约束围岩的变形，且支护发生了极为严重的破坏。最后，通过调整支护型式，采用了内置高压缩性元件衬砌成功解决了支护难题，如图4所示。
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资料显示：隧道在安装含高压缩性元件衬砌(第30天)之前，采取了一定的加固措施。根据Chu等[30]的研究，可以认为隧道在开挖之后直接采用了衬砌支护。但是，这并不意味着忽略了超前加固措施的作用，该加固效果而是通过增强围岩的力学参数来体现的。在未安装衬砌之前，隧道的收敛如图5所示。通过利用隧道收敛的平均值，基于参数反演，得到了围岩的蠕变参数，见表1。此外，根据文献[28]，该隧道初始应力场可视为静水压力状态，大小为9.8 MPa，隧道等效半径为6 m，其中采用的高压缩性元件长40 cm，厚20 cm，屈服强度为8.5 MPa，极限应变为50%。其他计算参数如表1所示[28]。
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图 5 围岩蠕变参数反演曲线图Figure 5. Curves for rock creep parameters based on back analysis method表 1 隧道计算参数Table 1. Calculation parameters in tunnel隧道参数 衬砌参数 隧道半径R/m 初始地应力
p0/ MPa开挖速度
v/ (m/d)厚度h/m 弹性模量E2/GPa 泊松比μ2 6 9.8 0.54 0.2 23 0.2 围岩参数 剪切模量GK/MPa 粘滞系数ηK/(MPa·d) 剪切模量GM/MPa 粘滞系数
ξ/(MPa·d)分数阶阶数α 105 6.5 685 36.5 0.82 高压缩性元件参数 厚度h/m 个数n 长度l/m 弹性模量E1/MPa 泊松比μ1 屈服应力σy/MPa 极限应变ε/(%) 0.2 9 0.4 510 0.2 8.5 50 图6给出了本文的理论结果与Lyon-Torino Base隧道监测数据的对比结果。可以发现，本文的理论解答能够较好地预测Lyon-Torino Base隧道的平均收敛。此外，利用本文的理论解答得到：高压缩性元件在衬砌安装后4.6 d开始产生屈服变形，与之对应的支护压力为0.288 MPa。Lyon-Torino Base隧道监测数据显示：高压缩性元件在衬砌安装后很快屈服，且此时监测的衬砌压力大小为0.283 MPa[30]。综上，可以认为本文理论解答的可靠性和有效性得到了较好地验证。
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图 6 含高压缩性元件衬砌安装后隧道收敛曲线Figure 6. Tunnel convergence after installation of liner with highly deformable elements2.2 参数分析
隧道的支护效果受多种参数的影响，如围岩自身力学性质、支护结构力学特性等。基于本文的理论解答，将针对围岩本构模型分数阶阶数、衬砌安装时间以及高压缩性元件的屈服压力展开参数分析。
2.2.1 分数阶阶数
围岩的变形能力对支护效果具有重要影响。本文所采用的围岩分数阶本构模型的阶数能够表征围岩变形能力的大小，为了对比分析不同的分数阶阶数工况下隧道的位移与压力演化规律，本文选取了五种不同的参数值，分别为：α=0、0.25、0.5、0.75、1.0。在该计算中，认为：安装支护结构在隧道开挖30 d后完成，让压衬砌中高压缩性元件的个数n=4，此外，其他计算参数均取自表1。不同分数阶阶数工况下隧道位移和支护压力的曲线图如图7和图8所示。
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图 7 不同分数阶阶数工况下隧道位移曲线Figure 7. Curves for tunnel displacement with different frictional orders![]()
图 8 不同分数阶阶数工况下支护压力曲线Figure 8. Curves for support pressure with different frictional orders由图7和图8所示，围岩分数阶阶数对支护效果具有重要影响。可以发现：随着围岩分数阶阶数的增加，隧道位移和支护压力也呈现上升的趋势。如图7所示，在高压缩性元件未达到极限应变时，隧道位移保持较快的增长，一旦高压缩性元件达到其极限应变，隧道位移的增长速率急剧减小，基本进入稳定状态，仅呈极小幅度的增加。但是，分数阶阶数越大，位移进入稳定的时间就越早，这可以解释为：由于象征围岩变形能力的分数阶阶数越大，围岩的位移也越大，在高压缩性元件保持相同压缩应变时，高压缩性元件达到极限应变所需要的时间就越少。从图8中可以发现：在变形前期，高压性元件在很短时间就进入屈服状态。若高压缩性元件达到极限应变后，此时衬砌还原成刚性，在隧道位移仅有较小增加的情况下，支护压力呈现快速增长的趋势。因此，若围岩的变形能力过强，在采取让压支护的同时，应采用注浆加固等措施来改善围岩自身的力学性能，以弱化围岩的变形能力，最终达到较好的支护效果。
2.2.2 支护时间
对于挤压大变形隧道而言，支护的安装时间是影响支护效果的重要因素之一。为此，本节选取了以下不同的支护时间进行分析，分别为：t0=0 d、15 d、30 d。在该计算中，取高压缩性元件的个数n=4，此外，其他所有计算参数均取自表1。
如图9所示，衬砌的安装时间对支护效果具有重要影响。若衬砌安装得越及时，则隧道位移越小，相反，支护压力越大。这是因为：衬砌越早安装则围岩的位移就被限制得越早，包括围岩的流变位移与受隧道开挖影响的释放位移，因此，最终作用在支护结构上的压力就越大。从图9中也可以发现：衬砌安装得越早，高压缩性元件达到极限应变所需要的时间就越少，隧道位移进入稳定状态就越早。值得注意的是：在高压缩性元件让压变形保持一定的情况时，衬砌安装得越早，支护压力显著增加，这可能导致支护承载力不足的情况发生。若支护安装的不及时，围岩在无限制情况下又可能产生失稳。因此，可以得出结论：在挤压大变形隧道中，为保证围岩不产生失稳，支护结构应尽早地安装；另一方面，为确保支护压力处于衬砌结构的承载范围内，应该合理地确定高压缩性元件的长度和个数，以降低支护压力。
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图 9 不同支护时间下隧道位移与支护压力曲线Figure 9. Curves for tunnel displacement and support pressure with different supporting time2.2.3 屈服应力
为了研究高压缩性元件的屈服应力对支护效果的影响，在本节中选取了以下不同的参数值进行分析，分别为：σy=5 MPa、10 MPa、15 MPa。在该计算中，认为衬砌在隧道开挖30 d后安装，取高压缩性元件的个数n=4，同样地，其他所有计算参数均取自表1。
由图10可知，高压缩性元件的屈服应力对隧道位移和支护压力的影响并不显著。当高压缩性元件的屈服应力越大时，隧道位移仅略微减小，而支护压力有极小的增加。这并不意味着可以盲目地选取高压缩性元件的屈服应力。因为，围岩在释放变形的过程中存在由“松弛”到“离散”突变的风险，若选择较低的屈服应力，支护在让压的过程中，围岩可能产生失稳。而若选择较高的屈服应力，可能导致高压缩性元件未能够充分发挥作用，而衬砌混凝土已产生破坏，未达到支护的目的。因此，应根据围岩的性质和衬砌的特性来确定高压缩性元件屈服应力的合理范围，在该范围内，既能够保证围岩不产生失稳，也能充分发挥高压缩性元件的让压作用。
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图 10 不同屈服压力下隧道位移与支护压力曲线Figure 10. Curves for tunnel displacement and support pressure with different yield stress3 结论
让压衬砌具有适应围岩变形的能力，是解决高地应力软岩隧道挤压大变形问题更有效的手段。内置高压缩性元件衬砌作为一种环向让压衬砌，能够通过高压缩性元件的压缩来适应大变形，以达到让压的目的。本文针对挤压大变形隧道中围岩与该种让压衬砌相互作用的力学机制展开了相应的理论分析。并基于理论解答，进一步探讨了隧道及支护参数对支护效果的影响。得到的主要结论如下：
(1)采用改进的分数阶Burgers蠕变模型表征围岩的时效变形特征，推导了考虑掌子面效应和支护延迟作用下隧道位移及支护压力的解析解，并通过在Lyon-Torino Base隧道中的应用，验证了理论解答的正确性。
(2)随着围岩本构模型分数阶阶数的增加，围岩的变形能力不断增强，隧道位移和支护压力也呈现上升的趋势。隧道位移在快速增长后基本保持稳定，仅呈极小幅度的增加，而支护压力在高压缩性元件达到极限应变后，呈现快速增长的趋势。
(3)衬砌的安装时间对支护效果具有重要影响。在大变形隧道中，为保证围岩不产生失稳，支护结构应尽早地安装；另一方面，为确保支护压力处于衬砌结构的承载范围内，应该合理地确定高压缩性元件的长度和个数，以降低支护压力。
(4)高压缩性元件的屈服应力对隧道位移和支护压力的影响并不显著。但不意味着可以盲目地确定高压缩性元件的屈服应力，需根据围岩性质和衬砌特性来确定其合理范围。在该范围内，既能够保证围岩不产生失稳，也能充分发挥高压缩性元件的让压作用。
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图 2 改进的分数阶Burgers蠕变模型
Figure 2. Improved Burgers creep model based on fractional derivatives
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图 5 围岩蠕变参数反演曲线图
Figure 5. Curves for rock creep parameters based on back analysis method
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图 6 含高压缩性元件衬砌安装后隧道收敛曲线
Figure 6. Tunnel convergence after installation of liner with highly deformable elements
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图 7 不同分数阶阶数工况下隧道位移曲线
Figure 7. Curves for tunnel displacement with different frictional orders
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图 8 不同分数阶阶数工况下支护压力曲线
Figure 8. Curves for support pressure with different frictional orders
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图 9 不同支护时间下隧道位移与支护压力曲线
Figure 9. Curves for tunnel displacement and support pressure with different supporting time
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图 10 不同屈服压力下隧道位移与支护压力曲线
Figure 10. Curves for tunnel displacement and support pressure with different yield stress
表 1 隧道计算参数
Table 1 Calculation parameters in tunnel
隧道参数 衬砌参数 隧道半径R/m 初始地应力
p0/ MPa开挖速度
v/ (m/d)厚度h/m 弹性模量E2/GPa 泊松比μ2 6 9.8 0.54 0.2 23 0.2 围岩参数 剪切模量GK/MPa 粘滞系数ηK/(MPa·d) 剪切模量GM/MPa 粘滞系数
ξ/(MPa·d)分数阶阶数α 105 6.5 685 36.5 0.82 高压缩性元件参数 厚度h/m 个数n 长度l/m 弹性模量E1/MPa 泊松比μ1 屈服应力σy/MPa 极限应变ε/(%) 0.2 9 0.4 510 0.2 8.5 50 
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