一种非比例振型阻尼模型及在大规模非线性分析中的应用

曹胜涛1,2,李志山1,刘付钧3

(1.广州大学广东省地震工程与应用技术重点实验室,广州 510405;2.中国建筑科学研究院,北京 100013;3.广州容柏生建筑结构设计事务所,广州 510170)

摘 要:该文通过有限元模型的节点振型阻尼比构造了一种非比例振型阻尼模型;给出了非线性显式格式中该文模型阻尼力的高效算法,并结合实际工程对显式求解的稳定性进行了分析。将该文提出的非比例阻尼模型和高效算法在自主研发的CPU+GPU并行非线性分析软件中进行实现,对有限元模型自由度数达到百万量级的超高层钢-混凝土混合结构广西东盟塔进行动力时程分析,对该文并行算法的效率和非比例阻尼对结构动力响应的影响进行了研究。

关键词:节点振型阻尼比;非比例振型阻尼模型;非线性显式动力分析;CPU+GPU并行计算;混合结构

为满足建筑功能和抗震性能的要求,外部钢框架并联内部混凝土核心筒[1]、下部钢结构串联上部混凝土结构[2-3]、减隔震结构[4]、组合结构[5-6]等混合结构体系被广泛采用。上述结构体系中,钢、混凝土、减隔震材料的阻尼特性差异很大。阻尼是反映结构动力耗能特性的重要物理参数之一,直接影响结构的动力响应[7-8]。如何反映不同材料阻尼性能差异,已经成为混合结构分析和设计的关键问题之一。

根据阻尼矩阵是否与振型向量正交,可以分为比例阻尼和非比例阻尼[9]。比例阻尼主要包括:将阻尼矩阵假定为质量矩阵和刚度矩阵的线性组合形成的Rayleigh阻尼模型[10],其阻尼系数需根据结构形式、外荷载等进行优化[11-12],且不同优化方法[13-14]的计算结果也有一定差异[15];将Rayleigh阻尼扩展形成的Cauchy阻尼模型[16];在模态分析的基础上直接指定振型阻尼比形成的Clough振型阻尼模型[17];将Rayleigh阻尼模型和Clough振型阻尼模型结合形成的修正振型阻尼[18]。比例阻尼应用方便,但无法从根本上反映材料阻尼性能的差异。

根据材料阻尼性能差异,将Rayleigh阻尼矩阵分块,并对分块的质量矩阵和刚度矩阵的系数进行调整,形成Rayleigh非比例阻尼[19-20]。一般情况下,Rayleigh非比例阻尼会过高估计高阶振型的阻尼比,同时容易影响显式直接积分求解的稳定性。Liang和 Lee[21]在Rayleigh阻尼矩阵基础上引入对角矩阵形成了一种非比例阻尼模型,但阻尼参数识别较为复杂[22]。闫维明[23]和梁超锋等[24]分别基于材料阻尼模型,通过有限元法给出了结构阻尼矩阵,此方法可较好地反映材料内阻尼。

振型阻尼在工程中被广泛应用,混合结构经常将结构振型阻尼比等效为子结构阻尼比关于某个物理量的加权[3]。其中,振型应变能加权法[25-27]被我国《建筑抗震设计规范》(GB 50011—2010)[28](下文简称“抗规”)、美国和日本的相关规范[29-30]所采用。这种等效阻尼比法将阻尼特性在振型层面上平均化,无法准确考虑因材料阻尼性能不同而导致的阻尼力的差异。

本文将振型阻尼比推广到有限元模型每个节点,在节点振型阻尼比的基础上构造了非比例振型阻尼(下文简称“本文模型”)。本文提出的非比例振型阻尼可较好地反映材料阻尼比的差异,当材料阻尼比相同时,可退化为 Clough振型阻尼模型。非比例振型阻尼矩阵为满阵,为避免存储满阵,本文结合CPU+GPU异构高性能计算和王进廷与杜修力[31]提出的一种显式差分格式,提出了非比例振型阻尼模型阻尼力的高效计算方法(下文简称“本文算法”),并对显式求解的稳定性进行了分析。将本文模型和本文算法在自主研发的非线性分析软件SAUSAGE中进行了实现,利用SAUSAGE对高度528 m的超高层混合结构东盟塔进行动力时程分析,研究了非比例阻尼对结构动力响应的影响。

1 非比例振型阻尼及算法实现

1.1 构造非比例振型阻尼

Clough[17]给出了空间直角坐标系到无阻尼振型坐标系的转换矩阵:

式中:m为集中质量矩阵;M为广义质量矩阵;Φ为无阻尼振型矩阵。

i阶振型的振型坐标速度为:

式中:ΓiiφMi分别为第i阶振型的转换向量、特征向量、广义质量;u˙为节点速度向量。

i阶振型的广义阻尼力为:

式中,Ciωiξi分别为第i阶振型的阻尼系数、自振频率和振型阻尼比。

通过F转换为第i阶振型阻尼对空间D,i直角坐标系中节点力的贡献量:

fD,i累加得到节点阻尼力向量:

式中,n为振型数。

由空间直角坐标系中阻尼矩阵cF得到fD

Clough[17]联立式(1)~式(8),将振型坐标系中的振型阻尼转换为空间直角坐标系中的阻尼矩阵:

式中,特征向量对cF有正交性,其为比例阻尼。

本文为体现不同材料阻尼比的差异,将第i阶振型的节点阻尼比表示为向量ξi,其中ξi,j为节点j的第i阶振型阻尼比,且假定节点的各自由度阻尼比相同。将式(4)中iξ替换为ξi,得到第i阶振型广义阻尼力向量:

广义阻尼力向量与相应节点阻尼比为线性关系,反映了不同阻尼比材料对阻尼力的影响。

ΓiFD,i进行逐点乘积得到空间直角坐标系中的节点阻尼力:

式中:“·”表示维度相同矩阵对应元素相乘(即:逐点乘积)。

将式(8)中cF替换为c并联立式(1)~式(3)、式(7)、式(10)~式(11)可得阻尼矩阵:

当节点阻尼比不同时,特征向量对c不具有正交性,c为非比例阻尼;当所有节点阻尼比相同时,c退化为cF

为考虑有限元单元由不同阻尼比材料组成和有限元节点被不同阻尼比单元共用的情况,本文采用了有限元模型局部应变能等效的方法获得单元和节点阻尼比。

当单元由不同阻尼比材料组成时,该单元第i阶振型的阻尼比为所在单元不同材料阻尼比关于此单元中第j种材料应变能的加权:

式中:q为单元中不同阻尼比材料的数量;为第j种材料第i阶振型的单元阻尼比。

当节点所属单元阻尼比不同时,该节点的第i阶振型的阻尼比iξ为节点所在单元阻尼比关于第e个单元应变能Wi,e的加权:

式中:en为该节点所在单元的数量;ξi,e为该节点所在的第e个单元的第i阶振型的阻尼比。

1.2 动力方程求解格式

在非线性显式动力分析中未形成整体刚度矩阵k和整体阻尼矩阵c,而是直接给出节点内力和节点阻尼力fD。将fintfD代入王进廷和杜修力[31]所给格式中得到非线性显式动力方程求解格式(简称“王-杜”格式):

式中:un+1unun-1分别表示tn+1tntn-1时刻的节点位移向量;分别表示tn+1tn时刻的节点速度向量;表示tn+1时刻的节点加速度向量;fext,nfint,nfD,n分别表示tn时刻的节点的外力向量、内力向量、阻尼力向量;Δt为动力分析时间步长。

“王-杜”格式为显式格式且具有二阶精度,但稳定分析步长Δt随阻尼比的增大而减小,因此Δt为阻尼比和自振频率ω的函数。

式中:ξω和Ωξ为有阻尼振型的自振频率和稳定性参数;ωmax和 Ωω,max为无阻尼最高阶振型的自振频率和稳定性参数。(注:此格式无阻尼时,Ω=ωΔt=2)

实际工程中混凝土和钢材的振型阻尼比一般取为 0.05和 0.02,减隔震构件阻尼比一般为0.1~0.3。在实际建筑结构工程中ωmax约为105rad/s量级,本文模型最高阶振型阻尼比为0,因此为2;“王-杜”格式中Ω随ξ增大而减小,偏于保守,阻尼比为0.5时,Ωξ为0.75,实际工程取前n阶振型构造振型阻尼(n一般取30左右),ξω最大约为103rad/s量级。

由上述条件可知:

本文模型应用于“王-杜”格式时,最大稳定分析步长基本仍由最高阶振型频率控制:

1.3 算法实现

由式(9)和式(12)可知,Clough振型阻尼模型和本文模型的阻尼矩阵为N×N的满阵,N为有限元模型自由度数。建筑结构的精细有限元模型自由度常为百万量级,如果将此满阵存储在内存中,按单精度计算,所需内存空间约为103GB量级,当前普通计算机无法满足要求。所以本文利用式(1)~式(3)和式(10)~式(11),通过向量点乘和逐点乘积分别得到振型速度和节点阻尼力,无需形成阻尼矩阵。在大型实际工程中,结构显式动力分析的分析步长小,需频繁计算阻尼力,计算量巨大;而普通计算机CPU内核数量少,无法有效提高计算效率。

普通计算机独立显卡就具有数千计算内核,本文基于CUDA运算平台,利用CPU+GPU异构并行计算[32]求解fD,可有效提高计算效率。算法流程图和伪代码如图1所示:首先,将全局显存(Global Memory)中存储的˙和φi在Block间进行逐点相加并累加到相应线程ID的;然后,利用Block内共享内存(Sheared Memory)读取速度快并可被同一Block中所有线程访问的特点,将存储在共享内存;并采用了向量前半部分和后半部分对位累加的归约算法。上述算法可使每个Warp中的所有线程避免分支问题和Bank Conflict,有利于提高计算效率。

2 阻尼对东盟塔抗震性能分析的影响

东盟塔拟建于南宁市五象新区五象大道北侧,抗震设防烈度为7度,场地类别为II类,设计地震分组为第一组。

图1 振型阻尼力算法流程图和伪代码
Fig.1 The algorithm flowchart and pseudo code of modal damping force

如图2所示,建筑高度528 m,结构主体高度501 m,地上共115层,其中111层~115层为钢框架构成的塔冠,塔楼平面为切面三角形。结构采用内筒外框的结构体系。在3个角部设置6根巨型钢管混凝土柱,与钢撑形成空间框架。沿塔楼分别在30层~32层、61层~63层、84层~86层、107层~108层设置4组带状钢桁架、伸臂钢桁架,将空间框架和核心筒连接,形成结构完整的抗侧力体系。

将本文模型和本文算法在非线性分析软件SAUSAGE[33]中进行了开发实现,分析了非比例阻尼对超高层混合结构东盟塔的动力响应的影响。

图2 东盟塔结构体系
Fig.2 The structure system of Dongmeng tower

柱、梁和撑构件采用纤维梁元,混凝土纤维单轴本构模型采用单轴塑性损伤模型,钢筋纤维本构模型采用双线性随动强化模型。剪力墙和楼板采用分层壳单元[34-36],混凝土本构模型采用平面塑性损伤模型[37-38],钢筋采用钢筋纤维。材料参数取《混凝土结构设计规范》(GB 50010―2010)[39]标准值。东盟塔有限元模型中,纤维梁元数100293、四边形壳单元数158353、三角形壳单元数11806、节点数178263、自由度数1069578。

采用的地震动加速度时程持时70 s,如图3所示。x向为主震方向,幅值2.2 m/s2y向为次震方向,幅值1.87 m/s2z向为竖向,幅值为1.43 m/s2

图3 地震动加速度时程
Fig.3 Seismic acceleration history

利用 SAUSAGE分别采用比例振型阻尼(阻尼比取规范方法计算得到的等效阻尼比,形成比例振型阻尼,下文简称“规范模型”)和本文模型进行弹性和弹塑性动力时程分析。本文模型和规范模型均取前 27阶振型进行构造。本文模型中混凝土和钢材的阻尼比分别为5%和2%;规范模型按“抗规”方法得到的各振型的等效阻尼比,如图4所示。

图4 等效阻尼比
Fig.4 The equivalent damping ratio

由式(19)和式(20)可知,此结构有阻尼振型和无阻尼最高阶振型的稳定分析时间步长分别为:

式中,ωξ,27表示第27阶振型频率,为11.21 rad/s。

由式(18)、式(23)和式(24)可知,此结构显式分析的最大稳定时间步长由最高阶振型频率控制,未受本文阻尼模型影响。

表1 并行计算效率对比
Table 1 Comparison of parallel computing efficiency

注:计算速度提升为CPU计算时间比CPU+GPU计算时间。

分析采用的计算机配置:CPU为i7-4770,4核8线程,内存32 GB;GPU为NVIDIA GTX980Ti,CUDA核心数2816,显存6 GB。CPU+GPU异构并行利用CUDA8.0结合C++开发实现,CPU并行利用OpenCL1.1结合C++开发实现。

本文模型和规范模型计算效率基本一致。如表1所示,CPU+GPU异构并行的弹性和弹塑性计算速度分别为CPU并行计算速度的4.97倍和5.66倍,计算效率提升显著;弹塑性异构并行计算提速更明显则是由于非线性单元内力计算的并行度高于振型阻尼力计算的并行度;弹性分析耗时均超过弹塑性耗时的75%以上,说明振型阻尼力的计算量已经明显大于非线性单元内力的计算量。

如图5和表2所示,本文模型弹性和弹塑性计算得到的最大层间角均大于规范模型计算结果;弹性最大差异为17.74%,弹塑性最大差异为11.41%。

两阻尼模型弹性和弹塑性计算得到的柱、斜撑、剪力墙及楼层最大剪力如图6~图9和表2所示。本文模型的计算结果均不同程度大于规范模型计算结果;柱和斜撑差异值分别为17.73%和17.16%,明显大于剪力墙差异值 6.38%。这是由于外框架分别为阻尼比较小的钢管混凝土和钢材组成,规范模型的等效方法将阻尼比平均化后,提高了外框架构件的阻尼比。本文模型计算得到的剪力墙剪力大于规范模型计算结果,但差异值明显小于框架剪力差异值。这是由于规范模型整体耗能大于本文模型,下文能量分析说明了这一点。

图5 最大层间位移角
Fig.5 Maximun story drift angle

图6 柱子的最大层间剪力
Fig.6 Maximun colmun story shear

图7 斜撑的最大层间剪力
Fig.7 Maximun brace story shear

图8 剪力墙的最大层间剪力
Fig.8 Maximun wall story shear

图9 最大层间剪力
Fig.9 Maximun story shear

如图10、图11和表3所示,结构弹性动力响应过程中阻尼耗能和最大动能均大于弹塑性计算结果。本文模型阻尼耗能小于规范模型计算结果,弹性和弹塑性差异值分别为-6.70%和-15.28%;最大动能大于规范模型计算结果,弹性和弹塑性差异值分别为17.74%和14.79%;非线性耗能和最大应变能均大于规范模型计算结果,差异值分别为26.50%和14%左右。

表2 楼层最大响应值对比
Table 2 Comparison of maximum response values

注:差异/(%)=(本文模型结果-规范模型结果)/本文模型结果×100。

图10 结构能量时程(弹性分析)
Fig.10 The structural energy time history(elastic analysis)

图11 结构能量时程(弹塑性分析)
Fig.11 The structural energy time history(elastic-plastic analysis)

表3 能量对比
Table 3 Comparison of energy

注:1)表中阻尼耗能、非线性耗能和外力做功为最终时刻结果;最大应变能和最大动能出现在不同的中间时刻;
2)差异/(%)=(本文模型结果-规范模型结果)/本文模型结果×100。

剪力墙和框架柱的混凝土损伤,如图12所示,核心筒连梁出现明显破坏;在剪力墙收进层及加强层,核心筒出现局部损伤;框架柱局部出现轻微损伤。在剪力墙收进楼层和加强层,两阻尼模型计算得到的剪力墙损伤差异较小;但本文模型计算得到框架柱混凝土损伤程度略高于规范模型计算结果。

此结构楼层最大响应和能量分析结果表明,本文模型更偏于保守,其耗能能力弱于规范模型,结构响应偏大。弹性动力响应过程只有阻尼耗能,所以阻尼模型对弹性结果影响更大。在弹塑性动力响应过程中,阻尼模型耗能弱将加剧结构非线性的发展。

图12 核心筒和框架柱的混凝土损伤
Fig.12 The concrete damage of core tube and frame column

(左:本文模型,右:规范模型)
(Left: proposed model,Right: code model)

3 结论

(1)基于有限元模型的节点振型阻尼比,构造了非比例振型阻尼,可较合理地反映不同材料的阻尼比特性;当材料阻尼比相同时,本文模型将退化为比例振型阻尼。

(2)将本文模型和非线性显式动力求解相结合,给出了求解大规模模型阻尼力的CPU+GPU异构并行高效算法,并结合实际工程讨论了显式求解的稳定性。

(3)将本文模型和本文算法在SAUSAGE中进行开发实现,利用SAUSAGE对有限元模型自由度数达到百万量级的超高层混合结构东盟塔进行动力时程分析。计算结果表明,本文算法采用的CPU+GPU异构并行计算明显提高了计算效率;本文模型更偏于保守,耗能能力小于规范模型,计算得到的结构响应更大,非线性发展更为明显;阻尼模型差异对弹性计算影响更显著。

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A NON-PROPORTIONAL MODAL DAMPING MODEL AND ITS APPLICATION IN NONLINEAR ANALYSIS OF LARGE-SCALE STRUCTURES

CAO Sheng-tao1,2,LI Zhi-shan1,LIU Fu-jun3
(1.Earthquake Engineering Research & Test Center of Guangzhou University,Guangzhou 510405,China;2.China Academy of Building Research,Beijing 100013,China; 3.RBS Architectural Engineering Design Associates,Guangzhou 510170,China)

Abstract:A non-proportional modal damping model was proposed by the nodal mode-damping-ratio of a finite element model.The efficient algorithm of the damping force was presented in a nonlinear explicit format.Base on practical engineering,the stability of the explicit format was analyzed.The non-proportional damping model and efficient algorithm were implemented in CPU+GPU parallel nonlinear software.The dynamic time history response of a super high-rise steel-concrete structure,Guangxi Dongmeng tower,with millions degrees of freedom was analyzed by this software.The efficiency of parallel algorithms and the effect of non-proportional damping on the dynamic response of the structure were studied.

Key words:nodal mode-damping-ratio; non-proportional modal damping model; nonlinear explicit dynamic analysis; CPU+GPU parallel computing; mixed structure

刘付钧(1970―),男,广东人,教授级高级工程师,博士,广州容柏生建筑结构设计事务所常务副总工程师,主要从事建筑结构设计与研究(E-mail: liufujun @gzrbs.com).

曹胜涛(1985―),男,河北人,博士生,主要从事非线性有限元和结构振动控制研究(E-mail: caoshengtao@cabrtech.com);

作者简介:

通讯作者:李志山(1966―),男,广东人,教授,博士,博导,主要从事结构抗震减震方面的数值分析研究(E-mail: lizhishan@gzhu.edu.cn).

基金项目:十三五高性能计算重点专项项目(2016YFB0200605)

收稿日期:2017-08-23;修改日期:2018-03-16

文章编号:1000-4750(2018)11-0162-10

doi:10.6052/j.issn.1000-4750.2017.08.0640

文献标志码:A

中图分类号:TU311.3; TU311.41