滑坡坡脚处应力和地下水集中区，最易发生破坏而引起整个坡体失稳^[1-3]。目前工程中主要采取的滑坡防治措施包括排水、削坡减载、坡前压脚、支挡工程等^[4-7]。当滑坡前缘具有一定堆载空间，尤其当前缘滑面呈反坡形，反压不存在推动下方坡体滑动的情况下，在滑坡的抗滑段进行堆载压脚，能够较大程度地提高滑体的抗滑力，使已有变形迹象的滑坡快速达到新的力学平衡直至稳定^[8]。在滑坡治理措施中，堆载压脚是最快速有效能够防止滑坡继续变形的措施之一。

压脚措施在实际工程中取得了较好的应用。殷跃平等^[9]在四川省丹巴县城滑坡应急治理中，及时在滑坡前缘堆载约4000 m³的沙袋压脚，位移量明显降低为5 mm/d，有效控制了滑坡整体滑动。彭赵等^[10]对某局部滑移堆积体边坡开展塘渣反压控制工程实践，通过治理前后的监测成果，验证反压起到了有效稳定控制效果。刘艳辉等^[11]基于龙滩水电站左岸蠕变体B区边坡压脚工程实施前后的位移监测资料，通过对比分析得到，压脚工程不仅减小了B区边坡的变形，还降低了降雨对边坡地表位移的影响。

工程实践已表明压脚能够显著抑制滑坡的变形，针对压脚的计算方法国内外学者做了相关的研究。陈金锋和宋二祥^[12]采用圆弧滑动和折线滑动的计算方法，对西南某山区机场高填方地基的单级反压护道进行设计计算，并提出了位于硬壳层与相对软弱层地层之上的边坡及回填压脚区的整体稳定性计算方法。陈富强等^[13]通过抛石反压法在珠海某软土填方边坡挡土墙加固处理中的成功应用，验证了抛石反压法在软土填方边坡中的经济适用性。黄立明^[14]总结了压脚计算中可采用的简化Bishop法、改进不平衡推力法隐式解法、有限宽度无粘性填土的被动土压力法等三种极限平衡计算方法，并结合数值模拟，对改进的不平衡推力法和无粘性土中的被动土压力计算公式做出了进一步分析。

压脚与滑坡之间的作用机制仍缺少明确的解释，其计算方法仍需完善。本文针对压脚工程中面临的压脚断面设计以及压脚方量计算难题开展研究，提出一种基于剩余下滑力的滑坡等效压脚方量计算方法，推导了圆弧滑面等效压脚方量计算公式。在此基础上，结合ACADS典型案例边坡EX11，以最小压脚方量为设计目标，进一步提出压脚断面各设计参数的取值方法。

1   等效压脚方量计算方法

图1(a)为一均质坡体，FH为假定的圆弧滑动面，圆心为O(x₀，y₀)，半径为R。ABCD为压脚区，分为I、II、III、IV区，BC为压脚顶部水平向马道，宽为L。

图  1  均质坡体压脚样条受力分析

Figure  1.  Force analysis of spline of pressure foot of a homogeneous slope

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压脚对坡体下滑的防治作用体现在：若不考虑压脚IV区对上部压脚区的影响，以图1(a)中宽为Δx_i的条块为例，第i个压脚条块对下部第i个滑体条块为竖直向下的重力作用G_i，使得条块底滑面受到法向反力N_i和切向反力T_i，如图1(b)所示，压脚条块总数为n。

第i个压脚条块使下部第i个滑体条块增加的抗滑力${F_{{\rm p}i}}$为：

式中：${\alpha _i}$为坡体第i个滑体条块底滑面倾角；${T_i} = {N_i}\tan \varphi = {G_i}\cos {\alpha _i}\tan \varphi$。

压脚使坡体增加的总抗滑力${F_{\rm p}}$为：

令$\Delta x \to 0$，$f\left( \alpha \right) = \cos \alpha \tan \varphi - \sin\alpha$，${y_{BC}} = {y_B}$，${y_{AB}} = {k_{AB}}x + {b_{AB}}$，${y_{CD}} = {k_{CD}}x + {b_{CD}}$，${y_{AF}} = {y_A}$。

① 若${x_C} > {x_A}$，可得：

② 若${x_F} < {x_C} \leqslant {x_A}$，可得：

③ 若${x_C} \leqslant {x_F}$，可得：

式中，$F_{\rm p}^{\text{I}}$、$F_{\rm p}^{{\text{II}}}$、$F_{\rm p}^{{\text{III}}}$分别为压脚I、II、III区使坡体增加的抗滑力。

令${k_1} = - {k_{AB}}$，${b_1} = {y_B} - {b_{AB}} = {k_{AB}}{x_B}$；

对于圆弧滑动面上的任意一点，有$x = {x_0} + R\sin \alpha$，代入式 (3)至(5)。

① 若${x_C} > {x_A}$，可以得到：

式中，${\gamma _{\rm p}}$为压脚材料容重。

令${f_1}\left( \alpha \right) = \tan \varphi \sin2\alpha + \cos 2\alpha + 2\alpha \tan \varphi$，${f_2}\left( \alpha \right) = \tan \varphi {\cos ^3}\alpha + {\sin ^3}\alpha$，则有：

式中：${\alpha _1} = \arcsin \dfrac{{{x_F} - {x_0}}}{R}$；${\alpha _2} = \arcsin \dfrac{{{x_A} - {x_0}}}{R}$；${\alpha _3} = \arcsin \dfrac{{{x_B} - {x_0} - L}}{R}$；${\alpha _4} = \arcsin \dfrac{{{x_B} - {x_0}}}{R}$。

② 若${x_F} < {x_C} \leqslant {x_A}$，可得：

③ 若${x_C} \leqslant {x_F}$，可得：

式(9)、式(10)可以写成以下形式，当${x_C} > {x_F}$时：

基于坡体设计安全系数F_s0，可计算得到坡体基于设计安全系数的剩余下滑力，即坡体达到设计要求所需增加的总抗滑力F_p0(单位压宽)：

式中：${F}_{\rm S}$为滑体沿滑面的下滑力；${F}_{\rm R}$为滑面上的抗滑力。

压脚断面设计参数包括：压脚顶部水平向马道宽度L、压脚堆载高程(B点纵坐标y_B)、压坡比k_CD和压脚底部堆载位置(D点横坐标x_D)。压坡比一般小于坡比，压坡后坡体最危险滑面极有可能出现在压脚顶部以上的坡体内，因此压脚应具有一定高度，才能预防坡体“越顶”滑动。由于坡脚处堆载空间有限，压脚底部外缘堆载位置也有所限制。

综合以上考虑，基于设计抗滑力，在确定马道宽度L的前提下，可以分别根据压脚堆载高程y_B、压坡比k_CD、压脚底部堆载位置x_D计算得到压脚断面其他设计参数，进而确定等效压脚方量。

1) 若压脚堆载高程y_B已知，${x_B} = {{\left( {{y_B} - {b_{AB}}} \right)}/ {{k_{AB}}}}$。

① 若x_C≤x_F，滑面以上压脚区不随k_CD变化，验算滑面范围内的压脚区使滑体增加的抗滑力是否满足设计要求。一般来说，压脚设计坡比应小于坡体坡比，可根据坡体实际情况进行选取。

② 若x_C > x_F，将x_B代入式(12)可得：

压脚底部堆载位置${x_D} = {{\left( {{y_A} - {y_B}} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {{y_A} - {y_B}} \right)} {{k_{CD}}}}} \right. } {{k_{CD}}}} + {x_B} - L$。

等效压脚方量(单位压宽)计算公式如下：

2) 若压坡比k_CD已知，式(14)中仅${x_B}$为待求解项，其余均为已知项，${x_B}$可由隐式求解求得。等效压脚方量按照式(15)计算。

3) 若压脚底部堆载位置${x_D}$已知，可得${k_{CD}} = {{{k_{AB}}\left( {{x_B} - {x_A}} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{{k_{AB}}\left( {{x_B} - {x_A}} \right)} {\left( {{x_B} - {x_D} - L} \right)}}} \right. } {\left( {{x_B} - {x_D} - L} \right)}}$，代入式(14)中，此时仅${x_B}$为待求解项，可由隐式求解求得。等效压脚方量按照式(15)计算。

对于不规则非均质坡体，其坡表由多段折线组成，底滑面分布在不同土层内，可以将坡表和底滑面拆分成多段，采用上述计算公式进行累加计算。

2   压脚断面设计研究

基于提出的等效压脚方量计算公式，结合澳大利亚计算机应用协会(ACADS)典型均质边坡考题EX11^[15]，计算滑动面为圆弧时，边坡达到设计要求时所需的等效压脚方量，以最小压脚方量为设计目标，进一步确定压脚断面各设计参数的取值。

EX11边坡剖面几何特征以及岩土体材料参数如图2所示，分别采用Bishop法、Janbu修正法、M-P法对该边坡进行最危险圆弧滑动面搜索。设计安全系数取1.200，根据边坡滑体部分整体的下滑力和抗滑力，计算边坡基于设计安全系数的剩余下滑力，即达到设计安全系数所需增加的抗滑力，如表1所示。取Janbu修正法对应的剩余下滑力进行压脚设计，设计抗滑力F_p0=77.17 kN。

图  2  EX11边坡剖面示意图

Figure  2.  Profile of slope EX11

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表  1  EX11边坡极限平衡计算结果

Table  1.  Limit equilibrium results of slope EX11

极限平衡法	计算安全系数	设计安全系数	圆弧圆心/m	圆弧半径/m	下滑力/kN	抗滑力/kN	剩余下滑力/kN
Bishop	0.986	1.200	(29.5, 53.7)	28.7	334.01	329.18	71.63
Janbu修正	0.986	1.200	(30.1, 50.0)	25.0	360.87	355.87	77.17
M-P	0.985	1.200	(29.5, 53.7)	28.7	335.83	330.66	72.34

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压脚布置如图2所示，为ABCD区域，划分为I、II、III区，BC为压脚顶部设置的水平向马道，宽为L。坡体上表面为f_AF(x)=0.5x+10。AE为搜索得到的圆弧滑面，圆心为O(30.1, 50.0)，半径为R=25.0 m。压脚堆载体重度${\gamma _{\rm p}}$取20 kN/m³。

压坡后坡体最危险滑面一般出现在压脚顶部以上的坡体内，其他条件不变时，坡体稳定性系数随着坡高减小而增加，因此压脚应具有一定高度，才能保证压脚顶部以上坡体的稳定性满足设计要求。压脚堆载高程y_B可在坡脚高程25.0 m到坡顶高程35.0 m之间取值，计算不同堆载高程下，压脚顶部以上坡体的最小安全系数，绘制曲线如图3所示。由图3可知，下一步计算应取y_B≥30.7 m，才能保证压脚顶部以上的坡体不发生“越顶”滑动。

图  3  压脚以上坡体最小安全系数随y_B变化曲线

Figure  3.  Change of the minimum factor of safety of slope body above the pressure foot with y_B

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一般来说，为了保持压脚内部土体的稳定性，压坡比不宜大于边坡坡比，且坡脚处堆载位置有限，本研究案例取压坡比0<k_CD≤0.500，压脚底部堆载位置x_D≥20.0 m。为了保证k_CD、x_D的取值，马道宽度L最大可取10.0 m。设计抗滑力F_p0=77.17 kN，若确定了马道宽度L和压脚堆载高程y_B的取值，当x_C≤x_A时，滑面以上的压脚区不随k_CD变化，需验算滑面范围内的压脚区使滑体增加的抗滑力是否满足设计要求；当x_C>x_A时，可根据式(14)、式(15)计算得到满足设计要求的压坡比k_CD、压脚底部堆载位置x_D和等效压脚方量V_p。由于y_B取值应大于等于30.7 m，即便L取最大值10.0 m，相应的x_C≥31.4 m，始终大于x_A，因此，本研究案例只需考虑x_C>x_A的情况。

2.1   压脚方量以及各设计参数之间的变化关系

当马道宽度L由0 m以0.1 m间距增长到10.0 m，以提供相同设计抗滑力F_p0为前提，计算单个L下，压脚堆载高程y_B从25.0 m以0.1 m间距增长至35.0 m时，对应的各压坡比k_CD、压脚底部堆载位置x_D和压脚方量V_p。不同L下，k_CD、x_D和V_p随y_B的变化曲线如图4~图6所示，取y_B≥30.7 m，0<k_CD≤0.500且x_D≥20.0 m对应的计算结果为有效结果，为实线部分。当y_B≤28.9 m时，只有取k_CD<0，压脚使滑体增加的抗滑力才能满足设计要求，因此这部分结果未在图中绘制。图4和图5中曲线由下往上、图6中曲线由上往下依次对应L=0.0 m, 0.1 m, ···, 10.0 m。

图  4  压坡比k_CD随堆载高程y_B变化曲线

Figure  4.  Change of the ratio of pressure slope k_CD with the loading elevation y_B

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图  5  压脚底部堆载位置x_D随堆载高程y_B变化曲线

Figure  5.  Change of the bottom position of loading of pressure foot x_D with the loading elevation y_B

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图  6  压脚方量V_p随堆载高程y_B变化曲线

Figure  6.  Change of the volume of pressure foot V_p with the loading elevation y_B

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图4~图6中曲线变化规律可以解释为：底滑面上存在一点E(x_E, y_E)，该点对应的底滑面倾角α_E等于边坡岩土体材料的内摩擦角$\varphi$，使得该点以上压脚区为滑坡体提供的抗滑力为0，即$\Delta {F_{\rm p}} = \Delta G\cos \alpha \tan \varphi - \Delta G{\rm sin}\alpha$$= 0$。本研究案例x_E=38.4 m，对应的坡表纵坐标$y_E'$=29.2 m。首先考虑k_CD≤0.500的情况，当压脚堆载高程y_B≤$y_E'$时，随着y_B的提高，压脚新增区域底部对应的滑面倾角均小于α_E，为滑坡体提供的抗滑力大于0，为有利压脚区。此时若压坡比k_CD保持不变，滑面上部作用的I区、II区有利压脚区均随着y_B的提高而不断扩大，压脚为滑坡体提供的抗滑力也不断增大。在提供同等抗滑力F_p0的前提下，只有不断增大k_CD，来缩小压脚II区的范围，才能与新增的有利压脚区平衡，以维持F_p不变。当y_B>$y_E'$时，E点左侧新增压脚区为滑坡体提供的抗滑力F_pl大于0，E点右侧新增压脚区为滑坡体提供的抗滑力F_pr小于0。当y_B由$y_E'$逐步提高至y_E，初始阶段，新增压脚区为滑坡体提供的总抗滑力仍大于0，即F_pl+F_pr>0，为了保持F_p不变，k_CD仍继续增大；当y_B达到某一高程y_K，使得F_pl+F_pr=0，随着y_B的进一步提高，新增压脚区为滑坡体提供的总抗滑力小于0，即F_pl+F_pr<0，这时只有减小k_CD，来增大有利压脚区的范围，才能维持F_p不变。

当y_B由29.0 m逐步提高至y_K，也就是k_CD不断增大的过程中，初始阶段，若保持k_CD不变，新增有利压脚区提供的抗滑力F_pl相对于新增不利压脚区减少的抗滑力|F_pr|要大很多，F_pl+F_pr较大，因此k_CD的增幅较大，压脚底部堆载位置x_D不断靠近坡脚，底部堆载宽度相应减小，x_D对V_p的减小作用大于y_B对V_p的增大作用，因此V_p也不断减小，如图7(a)所示；随着y_B的提高，F_pl+F_pr逐步减小，k_CD的增幅变小，相应地，x_D的增幅也变小，当x_D对V_p的减小作用等于y_B对V_p的增大作用时，V_p达到凹点最小值，如图7(b)所示；随着y_B进一步提高，F_pl+F_pr持续减小，k_CD的增幅继续变小，相应地，x_D的增幅也变小直至为0，达到凸点最大值，如图7(c)所示，这一阶段，x_D对V_p的减小作用小于y_B对V_p的增大作用，V_p逐渐增大；y_B继续提高，k_CD继续增大直至达到最大值，这一阶段x_D已呈减小趋势，压脚底部堆载宽度逐渐增大，V_p相应增大，如图7(d)所示。当y_B由y_K提高至y_E，k_CD不断减小，x_D随之减小，V_p则不断增大，如图7(e)所示。

图  7  压脚k_CD、x_D、V_p随y_B变化示意图

Figure  7.  Diagram of changes of k_CD, x_D, V_p with y_B of the pressure foot

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对于k_CD>0.500的情况，当y_B≤y_R时，若保持k_CD不变，随着y_B的提高，滑面上部作用的I区有利压脚区不断扩大，II区有利压脚区不断缩小。当L≤7.1 m时，在y_B提高至y_R的过程中，新增压脚区为滑坡体提供的抗滑力始终大于0，因此k_CD不断增大；当y_B>y_R时，随着R点右侧新增的不利压脚区不断扩大，F_pl+F_pr逐渐趋于0，k_CD增大至最大值，达到曲线凸点后，随着y_B的进一步提高，F_pl+F_pr<0，k_CD随之减小。由于y_B不变时，k_CD随着L的增大而增大(下一段落中解释)，将y_B提高同等高度的情况下，L越大，II区有利压脚区的缩小范围也越大，当L≥7.2 m时，在y_B提高至y_R的过程中，新增压脚区为滑坡体提供的抗滑力先是大于0，此阶段k_CD增大；随着y_B的提高，在提高至y_R之前，F_pl+F_pr已达到0，k_CD增至曲线凸点；随后，k_CD随y_B的提高而减小。x_D、V_p随y_B的变化规律与k_CD≤0.500的情况相似，不同在于，k_CD>0.500时，随着y_B的提高，k_CD先于x_D达到曲线凸点，在此不赘述。

图4~图6中，同一y_B下，k_CD、x_D均随L的增大而增大，V_p随L的增大而减小。仅当L≤4.8 m时，在曲线凹凸点右侧压脚堆载高程较大的范围内，曲线变化规律相反，同一y_B下，k_CD、x_D均随L的增大而减小，V_p随L的增大而增大。这是因为，当y_B较小时，压脚底部对应的滑面倾角较小，L的增大使滑面上部作用的有利压脚区扩大，相应地k_CD增大，x_D更靠近坡脚，x_D对的V_p减小作用大于L对V_p的增大作用，V_p减小。当y_B较大时，同一y_B下，随着L的增大，马道下方新增压脚区底部对应的滑面倾角较大，新增区域为滑坡体提供的抗滑力小于0，因此k_CD相应减小，x_D远离坡脚，V_p增大；当L增大到一定宽度时，随着L的继续增大，新增区域底部对应的滑面倾角变缓，新增区域为滑坡体提供的抗滑力大于0，k_CD相应增大，x_D靠近坡脚，V_p减小。相应地，各虚实线整体最大k_CD、最大x_D也随着L的增大而增大，最小V_p随着L的增大而减小。

一般来说，压脚方量V_p越小，工程经济效益越高，若压脚坡比k_CD和底部堆载位置x_D取值合理，可根据最小方量确定压脚断面的布设。已知不同马道宽度L下，压脚方量V_p均先随堆载高程y_B的提高而减小，达到凹点最小值后，再随y_B的提高而增大，因此y_B应尽量在V_p曲线凹点横坐标附近取值；若y_B取小值，则压坡比小，压脚III区方量过大，若y_B取大值，则不利压脚区较大，需增大有利压脚区维持平衡，均造成堆载材料的浪费。虽然压脚顶部马道越宽，V_p最小值越小，但是，V_p最小值对应的压坡比也更大，对于过宽的马道，V_p最小值对应的压坡比往往大于坡比，只有提高压脚堆载高程至V_p曲线凹点右侧，其压坡比才能小于坡比，此时的压脚方量却远大于V_p最小值，因此马道宽度L不宜过大。若马道宽度L太小，不仅压脚方量大，且压脚底部堆载宽度过宽，因此L也不宜太小。

以下具体分析当限制了压脚堆载高程y_B、压坡比k_CD、压脚底部堆载位置x_D的范围时，图4~图6中实线与虚线的分布特征，探讨压脚断面各设计参数的适宜取值。

为了保证压脚顶部以上的坡体不发生“越顶”滑动，压脚堆载高程应满足y_B≥30.7 m。图4~图6中，y_B≤30.6 m的区域为虚线。由于限制了压坡比k_CD的范围，图4中，当L≥5.2 m时，在k_CD>0.500对应的压脚高程范围内，k_CD随y_B的变化曲线“凸”顶为虚线，且L越大，虚线范围也越大，压脚可取的堆载高程范围逐步向高处缩小；相应地，在这个压脚高程范围内，图5中x_D随y_B变化的曲线顶部即x_D距坡脚较近处也为虚线，图6中V_p随y_B的变化曲线在V_p小值段也为虚线，位于曲线底部。同样的，由于限制了压脚底部堆载位置x_D的范围，图5中，在x_D<20.0 m对应的压脚高程范围内，x_D随y_B的变化曲线两端为虚线，且L越小，虚线范围越大，压脚可取的堆载高程范围逐步向低处缩小，当L≤2.7 m时，x_D随y_B变化的曲线完全为虚线；相应地，由于x_D≥20.0 m，压坡比不会太小，压脚方量也不会过大，图4中，k_CD、V_p随y_B的变化曲线在该压脚高程范围内也为虚线，k_CD随y_B变化的虚线段在曲线底部，V_p随y_B变化的虚线段在曲线顶部。此外，当L=9.3 m、9.6 m、9.7 m、9.9 m、10.0 m时，y_B所有取值点下计算得到的k_CD、x_D均不满足限制要求，因此，对应的k_CD、x_D和V_p随y_B的曲线整体也为虚线。

由上述分析可知，压坡比k_CD的上限影响压脚底部堆载位置x_D的最大值和压脚方量V_p的最小值，x_D的下限，也就是最大堆载宽度，影响k_CD的最小值和V_p的最大值。在y_B、k_CD和x_D的共同限制下，本研究案例边坡压脚各参数的变化范围为：马道宽度L∈[2.8 m, 9.8 m](不包括L=9.3 m, 9.6 m, 9.7 m)，堆载高程y_B∈[30.7 m, 34.2 m]，压坡比k_CD∈[0.312, 0.500]，底部堆载位置x_D∈[20.0 m, 24.8 m]，堆载方量V_p∈[29.30 m³, 90.90 m³]。

2.2   基于最小压脚方量的压脚断面设计参数取值

基于上述分析，将压脚断面设计分为两种情况。

1) 若压脚顶部水平向马道宽度L、堆载高程y_B、压坡比k_CD以及底部堆载位置x_D未指定取值，可根据图4~图6中曲线的实线部分，以最小压脚方量为主要设计目标，同时要求压脚底部外缘堆载位置尽量靠近坡脚，综合确定压脚方量的取值，进而得到该压脚方量下各设计参数的取值。

首先，以马道宽度L为横坐标，绘制不同L下，图4~图6中各曲线实线部分的最大压坡比k_CDmax、最大堆载位置x_Dmax和最小压脚方量V_p,min随L的变化曲线，如图8至图10所示，k_CDmax、x_Dmax和V_p,min对应的堆载高程y_B随L的变化曲线绘制于图11中。

图  8  实线部分k_CDmax随L变化曲线

Figure  8.  Change of k_CDmax with L of the solid lines

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图  9  实线部分x_Dmax随L变化曲线

Figure  9.  Change of x_Dmax with L of the solid lines

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由图8~图10可知，当2.8 m≤L≤5.1 m时，各曲线最大压坡比k_CDmax和最大堆载位置x_Dmax均随L的增大而增大，最小压脚方量V_p,min随L的增大而减小，其中，k_CDmax由0.325增大至0.500，x_Dmax由20.2 m增大至24.8 m，即压脚最小堆载宽度由9.8 m减小至5.2 m，V_p,min则由38.21 m³减小至29.30 m³。当L≥5.2 m时，随着L的增大，k_CDmax在0.489~0.500浮动；x_Dmax呈波动减小的趋势，压脚底部最大堆载位置随L的增大逐渐远离坡脚，当L=9.8 m时，x_Dmax减小至20.0 m；V_p,min则快速波动增长，当L=9.8 m时，V_p,min增大至90.90 m³。

分析图11可知，马道宽度L由2.8 m增长至10.0 m的初始阶段，k_CDmax、x_Dmax和V_p,min对应的压脚堆载高程y_B均随着L的增大而减小，对应图4~图6中的曲线凹凸点，仅当L=2.8 m时，k_CDmax对应的y_B为图4中曲线右端点横坐标，小于L=2.9 m时k_CDmax对应的y_B；随后各参数最值对应的y_B保持在30.7 m处不变，当L≥5.2 m时，又随着L的增大而增大，对应图4~图6中的实线段左端点。

图  10  实线部分V_p,min随L变化曲线

Figure  10.  Change of V_p,min with L of the solid lines

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图  11  实线部分k_CDmax、x_Dmax、V_p,min对应的y_B随L变化曲线

Figure  11.  Changes of y_B corresponding to k_CDmax, x_Dmax, V_p,min with L of the solid lines

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由图9和图10已知，V_p,min的最小值29.30 m³和x_Dmax的最大值24.8 m均在L=5.1 m处取得，且由图11可知，当L=5.1 m时，x_Dmax和V_p,min均对应同一个y_B，y_B=30.7 m。因此，当L=5.1 m、y_B=30.7 m时，既能取到V_p,min的最小值，又能取到x_Dmax的最大值，V_p=29.30 m³，x_D=24.8 m，相应的k_CD=0.496，可取这组参数作为压脚断面的设计参数取值。

2) 若分别指定压脚堆载高程y_B、压坡比k_CD、压脚底部堆载位置x_D，可结合图12~图14，以最小压脚方量为设计目标确定马道宽度L的取值，再根据式(14)计算压脚断面其他参数。由前文分析已知，本研究案例边坡各设计参数的取值范围为：L∈[2.8 m, 9.8 m](不包括L=9.3 m, 9.6 m, 9.7 m)，y_B∈[30.7 m, 34.2 m]，k_CD∈[0.312, 0.500]，x_D∈[20.0 m, 24.8 m]，相应地，V_p在29.30 m³~90.90 m³变化。

图  12  压脚方量V_p随堆载高程y_B变化曲线

Figure  12.  Change of the volume of pressure foot V_p with the loading elevation y_B

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图  13  压脚方量V_p随压坡比k_CD变化曲线

Figure  13.  Change of the volume of pressure foot V_p with the ratio of pressure slope k_CD

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① 计算条件1：压脚堆载高程已知，y_B=31.0 m。

图12中，压脚堆载高程为31.0 m时，对应的最小压脚方量在L=5.1 m处取得，取L=5.1 m进行压脚设计。x_B=42.0 m，x_C=36.9 m，由式(14)可得：

② 计算条件2：压坡比已知，k_CD=0.400。

图13中，压坡比取0.400时，对应的压脚方量在L=4.2 m处取值最小，取L=4.2 m进行压脚设计。将k_CD代入式(14)，通过隐式求解得到两组解，取第一组解作为压脚断面参数设计值。

第一组解：x_B=41.6 m，y_B=30.8 m，x_D=22.9 m，V_p=32.67 m³。

第二组解：x_B=42.8 m，y_B=31.4 m，x_D=22.6 m，V_p=37.16 m³。

③ 计算条件3：压脚底部堆载位置已知，x_D=24.5 m。

图14中，压脚底部堆载位置为24.5 m时，对应的最小压脚方量在L=5.0 m处取得，取L=5.0 m进行压脚设计。将x_D代入k_CD，再将k_CD代入式(14)，通过隐式求解得到：x_B=41.9 m，y_B=30.9 m，k_CD=0.480，V_p=31.14 m³。

图  14  压脚方量V_p随底部堆载位置x_D变化曲线

Figure  14.  Change of the volume of pressure foot V_p with the bottom position of loading x_D

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压脚III区对上部压脚以及滑体起一定的支挡作用，本文未考虑该压脚区的影响，压脚计算方量相对于实际会有所增大，在后续研究中有待进一步完善。且在某一压脚形态下，滑坡潜在圆弧滑面相对初始滑面会发生一定改变，本文主要针对滑坡静态滑面开展了压脚方量计算推理以及压脚断面设计研究，在后续研究中，需考虑动态滑面与压脚断面形态之间的相互影响。此外，目前滑坡工程中压脚最优断面研究较少，缺乏考虑不同压脚断面设计的实际应用数据作对比支撑，后期可采用数值模拟和物理模型试验两种手段，综合验证案例边坡压脚断面参数取值的合理性，从更明确的物理意义角度阐释本文方法。在今后的研究中，本文提出的方法还将进一步应用于已采取压脚措施的实际工程滑坡，以对比分析本文方法的合理性和有效性。

3   结论

在滑坡治理措施中，堆载压脚能最快速有效地防止滑坡继续变形。本文针对压脚工程中压脚断面布设难题，建立了滑坡圆弧滑面等效压脚方量计算公式，结合案例边坡，进一步提出了压脚断面各设计参数的取值方法。主要结论如下：

(1)以坡体剩余下滑力作为压脚设计抗滑力，推导了圆弧滑面等效压脚方量计算公式，公式中考虑的压脚断面设计参数包括压脚顶部马道宽度、堆载高程、压坡比以及底部堆载位置，可为压脚方量的计算提供一种量化理论思路。

(2)基于提出的等效压脚方量计算公式，结合典型圆弧滑面边坡，绘制了同一设计抗滑力下，压脚方量及压脚断面各设计参数之间的变化曲线。结果表明：同一设计抗滑力下，在考虑了压脚顶部以上坡体的稳定性，以及压脚坡比和底部堆载条件的限制后，不同马道宽度下，随着压脚堆载高程的提高，压脚坡比和底部堆载位置均先增大后减小，压脚方量则先减小再增大；同一压脚高程下，随着马道宽度的增大，压脚坡比和底部堆载位置均逐渐增大，压脚方量则逐渐减小。

(3)以最小压脚方量为设计目标，进一步提出了压脚断面的设计方法，分为以下两种情况：① 若压脚各设计参数取值未定，可基于不同马道宽度以及不同堆载高程下压脚方量的最小值，确定压脚其他设计参数的取值；② 若分别指定压脚堆载高程、压坡比以及压脚底部堆载位置，可结合压脚方量随这三个参数的变化曲线，确定指定参数下最小压脚方量对应的马道宽度的取值，再根据等效压脚方量计算公式求解压脚断面其他设计参数。