FINITE ELEMENT MODEL UPDATING AND DAMAGE PREDICTION METHOD OF HISTORICAL TIMBER BUILDINGS CONSIDERING EXISTING DAMAGE
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摘要:
古建筑木结构因构造复杂且在服役过程中产生了多种损伤，使得有限元模型难以准确地表征其实际力学状态，同时也无法精确预测古建筑的损伤发展。为此，本文提出了一种古建筑木结构有限元模型修正方法：采用三维激光扫描获取古木建筑的既有损伤作为修正依据，结合响应面技术及多目标遗传算法通过参数优化对古建筑模型进行修正，并基于修正后模型提出了古建筑结构损伤的预测方法。以福建省泉州市开元寺拜亭为研究对象，建立有限元模型并进行了修正，同时对其结构的损伤发展进行了预测、评估与预警。结果表明，拜亭模型与真实结构之间的脱榫长度与柱倾斜均值的误差相较于修正前分别下降了79%和69.5%；经预测，当拜亭柱的沉降增长值超过2.5 mm时，结构的脱榫及柱倾斜损伤将超过规范限值。
Abstract:Historical timber buildings are complicated and there are many types of existing damage, which bring challenges for Finite Element (FE) model to represent the actual mechanical condition and predict the structural damage accurately. For this purpose, an FE model updating method is proposed: the existing damage of historical timber buildings is obtained through 3D Laser scanning, and the FE model is updated through parameter optimization combined with Response Surface (RS) methodology and Multi-Objective Genetic Algorithm (MOGA). Moreover, a structural damage prediction method of historical buildings is proposed based on the updated model. Using pavilion of Kaiyuan Temple in Quanzhou, Fujian as an example, the FE model was established and updated, and the damage development of pavilion was evaluated and predicted. The results showed that the discrepancies of pulled-out of mortise and tenon and inclination between the FE model and the actual structure were reduced by 79% and 69.5%, respectively, after model updating. The prediction indicated that the pulled-out of mortise and tenon and inclination will exceed the specification limits when the settlement of the pillar exceeds 2.5 mm.
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中国古建筑木结构是世界建筑遗产的重要组成部分，具有极高的艺术、历史和科学价值[1 − 3]，许多学者对其结构性能展开了研究[4]。其中，有限单元法因可靠、高效等优势被广泛应用于复杂古建筑的研究中[5 − 7]。由于古木建筑的复杂性以及在建模简化过程中的不确定参数和假设，初始建立的有限元模型通常与真实古木结构存在较大差异[8]。为保证结构分析的可靠性，需要对有限元模型进行修正。
目前的模型修正方法主要采用力学试验或结构监测中获得的动力和静力响应作为修正依据，以此来优化初始模型中的材料或接触属性等不确定参数[9 − 12]。按修正依据的不同，主要可分为基于动态响应及基于静态响应的模型修正两类，二者均得到了广泛研究。其中，动态测试的效益较高、易于实施[13]，杨庆山等[9]和ALTUNISIK等[10]通过试验或测量获得的动态响应对不同类型的古建筑模型进行了修正。静态数据的测量和处理较为简便、精度较高[14]，吴铭昊等[11]和SANAYEI等[12]通过静力荷载试验的响应结果分别修正了木楼和桥梁的有限元模型。
此外，古建筑的状态评估和行为预测也是学者们所广泛关注的问题。张秀亮[15]采用时变模型对绿绮楼的剩余使用寿命进行了预测。李瑜[16]采用数值模拟法基于修正后的损伤累积模型对古建筑木构件的剩余寿命做了预测评估。CHEN等[17]使用了logistic回归模型预测了古建筑的整体劣化情况。CHANG等[18]使用波阻模量无损检测方法预测了中国古建筑受损木构件的抗压承载力。
上述的研究均取得了较好的效果，但目前针对中国传统古建筑的模型修正及结构预测研究仍存在以下不足：① 目前的模型修正研究中较少引入传统古建筑的结构既有损伤，尤其是由于既有损伤导致的内力重分布难以在后续的研究中准确模拟；② 在传统的基于灵敏度的参数优化方法中，模型待优化参数对于结构响应的影响规律不明晰，大量的模型试验会导致优化效率低下；③ 现有的古建筑预测性研究多针对结构整体寿命或构件及材料的性能变化，较少开展基于精细有限元模型的古建筑损伤发展的预测研究。
本文以福建省泉州市开元寺拜亭为研究对象，利用三维激光扫描数据建立了拜亭的有限元模型。基于真实结构的既有损伤情况，确定了待优化参数，并使用响应面法和多目标遗传算法对选定的模型参数进行了优化，实现了模型修正。基于修正后模型，通过加大外部不利作用，评估及预测了拜亭既有损伤的发展。本研究为古建筑的数值模拟分析提供了基础，也为后续的结构安全评估等提供了支撑。
1 模型修正与损伤预测方法
现有的模型修正过程大多使用额外的力学试验结果或结构监测数据，较少考虑到古建筑的既有损伤。因此，在现有的模型参数优化研究的基础上提出了一种考虑结构既有损伤的古建筑有限元模型修正方法。该方法通过三维激光扫描[19 − 20]得到的点云模型获取古建筑的既有损伤情况并与模型进行对比评估，并以此为依据开展模型修正。该过程也为结构几何模型以及实体有限元模型的建立提供了参考[21 − 22]。在修正过程中，相较于传统的基于灵敏度的参数优化法，采用效率更高、收敛性能更好的响应面法[23 − 25]优化模型参数，使模型产生与真实结构相同的损伤响应，从而使模型反映真实古建筑的力学性能。此外，外部不利作用的持续发展会加重结构的既有损伤，因此逐步增大关键外部作用并施加于修正后的模型，计算、分析模型的损伤响应并与规范进行对比，从而准确预测与评估真实结构的损伤行为，做出安全预警。如图1所示，该方法的流程可主要分为模型建立、模型修正及损伤预测三部分，共6个步骤，各步骤详细内容如下：
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图 1 考虑既有损伤的模型修正及损伤预测方法流程图Figure 1. Flow chart of model updating and damage prediction method considering existing damages步骤1：确定目标建筑并进行三维激光扫描，经过对初始点云数据的拼接和去噪获得目标建筑的完整点云模型。通过点云模型获取目标古建筑的精确构件尺寸和空间关系，并在BIM软件中建立精确的几何模型。将BIM中的模型通过ACIS文件导入有限元软件并进行前处理，建立目标古建筑的实体单元有限元模型。
步骤2：根据获取的点云模型对目标建筑的损伤情况进行整体分析并确定影响显著的既有损伤(在修正过程中被称为“特征损伤”)以及导致损伤的外部不利作用，并将该作用施加于模型以开展初步数值模拟。
步骤3：根据步骤2中所确定的特征损伤，通过比较相同外部作用下未修正模型与实际结构的误差对模拟结果进行分析。选择适当的待优化参数，构建响应面，建立目标函数，并使用多目标遗传算法进行迭代。根据收敛结果，获得目标函数的极值以得到优化结果，使模型的特征损伤逼近结构真实值。
步骤4：采用优化后的参数完成有限元模型的修正，并再次进行有限元分析。通过修正后模型的特征损伤与结构真实值的对比评估修正效果。
步骤5：确定目标建筑结构损伤的限值，并通过对结构多个外部作用点的综合分析，选出对损伤影响显著的关键作用点。若结构的损伤和外部作用较为复杂，关键作用点难以通过分析直接获得，则可通过模拟得到不同作用点对于结构损伤的影响，并由此选定对既有损伤影响最显著的关键作用点。
步骤6：在修正后的有限元模型上增加选定点的不利作用并计算模型的响应，从而预测真实结构的损伤发展，并通过多次的预测模拟，评估外部作用与结构损伤的关系，从而实现结构安全监测和预警。
相较于传统的静态模型修正及预测，本方法主要有以下三点优点：① 模型修正以已存在的结构损伤为基础，因而无需对古建筑进行额外的力学试验，可防止古建筑产生二次损伤；② 本方法可在考虑既有损伤引起结构内力重分布的基础上开展后续的模拟计算和分析，这使得后续研究结果更加可靠；③ 结构损伤发展的预测基于精细化有限元模型，因此可在计算分析过程中观察到具体的损伤行为变化。本文的其余小节将以开元寺拜亭为例，针对提出的修正及预测方法进行详细说明。
2 开元寺拜亭简介
泉州开元寺始建于公元686年，是福建省最大的佛教建筑群。作为世界文化遗产和国家重点文物保护单位，具有极高的历史文化价值。拜亭位于开元寺南门内，背靠天王殿并正对开元寺的主广场及大雄宝殿，如图2所示。
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图 2 拜亭及寺内建筑分布示意图Figure 2. Diagram of pavilion and building distribution in Kaiyuan temple拜亭高5.4 m、长7.4 m、宽5.9 m，主体为框架结构。四根主柱截面为边长0.32 m的正方形，下方为石质、上方为木质。其中石质部分长约2.87 m，木质部分长约0.98 m，二者接触紧密。柱顶木质部分与梁通采用榫卯连接，南侧的横梁和后方的天王殿相连。在南北向的主梁上方设有数层梁枋，总高度约为1 m，并在上方布设檩条以支撑屋顶。
当前拜亭结构存在多处既有损伤，其中以下损伤最为显著且对结构安全影响较大：① 东北和西北主柱产生了较为严重的东北向倾斜，其程度由倾斜导致的柱顶偏移进行评估，评估点如图3(a)中所示；② 西南柱顶的榫卯节点发生了明显的脱榫，其程度由榫头和卯口的脱开长度进行评估。通过对拜亭及其所在区域的调研和测量，发现拜亭柱的柱脚产生了不同程度的沉降位移，该位移也被认为是导致拜亭结构产生上述损伤的主要外部作用。
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图 3 拜亭结构既有损伤位置及损伤状况示意图Figure 3. The position and situation of existing damage diagram of pavilion本研究中，拜亭的脱榫及柱顶偏移将作为本文后续模型修正过程中的特征损伤与修正依据。而对于结构内部不可见的材料损伤，本文通过修正过程中考虑材料力学性能的降低予以表征[9]。
3 拜亭有限元模型的建立
3.1 基于点云和BIM的几何模型建立
对拜亭进行了三维激光扫描[26]，进行点云数据处理[27 − 28]并得到了完整的拜亭点云模型，如图4所示。通过对点云模型的测量得到拜亭的尺寸信息及空间关系，在Revit中建立拜亭的BIM模型并使用ACIS文件将其导入Ansys Workbench平台中，从而建立基于实体单元的拜亭精细化有限元模型，该建模流程可以表示为图4。图5及表1给出了拜亭主要构件的位置及尺寸信息。
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图 4 基于点云模型和BIM技术的拜亭建模过程Figure 4. Pavilion model establish process based on point cloud and BIM technology表 1 拜亭主要构件尺寸表Table 1. Dimension table of main components of pavilion构件序号 构件名称 长×宽×高(或直径)/mm 1 小通 1200×230 2 雀替 800×80×260 3 大通 3750×260 4 南北挑檐檩 5055×230 5 主柱木质部分 320×320×980 6 主柱石质部分 320×320×2870 7 东西挑檐檩 6760×230 8 梁 5390×200 9 檩 5970×240 10 二通 2300×220 11 双脊檩 5950×240 12 檐枋 5390×80×200 由于上方屋面未见明显损伤，因此不对其进行详细建模，而将其作为外荷载施加于模型上，从而简化模型、提高计算效率。拜亭主柱的石质与木质部分连接界面无纵向缝隙或横向错动，二者可视为完整传力、协同变形的整体结构，因此，在模拟中采用绑定接触约束接触面的所有自由度。几何模型建立完成后，即可在有限元软件中对其进行网格划分，除雀替等不规则构件划分为四面体网格外，其余构件划分为六面体网格，综合网格尺寸为50 mm，加密区网格尺寸控制为20 mm~30 mm。
3.2 材料本构
拜亭主柱下方为石质，其余构件均为木质。为确定石质部分的力学性能，采用手持式回弹仪对拜亭柱的石质部分进行了回弹强度试验[29]，所测石质部分的材料性能参数如表2所示。
表 2 拜亭石质部分材料性能Table 2. Material properties of stone part in pavilion密度/(g·cm−3) 弹性模量/MPa 泊松比 剪切模量/MPa 抗压强度/MPa 2.7 80 000 0.25 32 000 69.5 如图6所示，木材通常可视为正交各向异性材料。其弹性阶段的材料性能可由三个正交方向(顺纹、径向及弦向)的弹性模量、剪切模量及泊松比来表征[30]，屈服后的塑性行为则通过Hill屈服函数来予以确定并模拟[31]。
由于开元寺地处福建泉州，因此拜亭木质部分的材料性能参照已有的福建省木材的材性测试[32]数据进行定义，如表3和表4所示。根据已有研究[31 − 32]，木材的屈服后的切线模量设置为0，以描述木材在屈服后应力不再增加，而应变继续发展直至材料失效的性质。
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图 6 木材不同力学方向及其材料微元应力分量示意图Figure 6. Different directions and stress component of timber element.表 3 福建杉木弹性阶段材料性能参数Table 3. Elastic mechanical properties of timber in FujianEX/
MPaEY/
MPaEZ/
MPaGXY/
MPaGYZ/
MPaGZX/
MPaνXY νXZ νYZ 4720 378 236 337 33.7 317 0.37 0.47 0.42 注：X、Y、Z分别为木材的顺纹、径向和弦向；EX、EY和EZ分别为顺纹、径向和弦向的弹性模量；GXY、GYZ和GZX分别为顺纹、径向和弦向的剪切模量；νXY、νXZ和νYZ为顺纹、径向和弦向的泊松比。 表 4 福建杉木塑性阶段材料性能参数Table 4. Plastic mechanical properties of timber in Fujian方向 σyi/MPa Eyi/MPa τyi/MPa Gyi/MPa 顺纹 20.00 0 4.2 0 径向 2.50 0 4.2 0 弦向 2.08 0 4.2 0 注：σyi为屈服强度；Eyi为屈服后模量；τyi为剪切强度；Gyi为屈服后剪切模量。 3.3 非线性接触设置
榫卯结构作为古建筑木结构中重要的受力和耗能构件，需要选择一种合适的模拟方法。根据已有研究，榫头与卯口的接触界面设置为有限滑移的非线性摩擦接触[33]。在Ansys中，该接触关系允许两个面在切向之间产生有摩擦的滑动，也可在两个表面之间传递法向应力，并允许这两个表面在接触后分离。因此在切向可模拟榫卯界面的横向滑动，在法向可模拟榫头与卯口之间的相互挤压作用，如图7所示。接触算法设置为广义拉格朗日法，摩擦系数设置为0.58[33]。
3.4 外部作用
拜亭所受的外部作用包括两部分：① 上方屋顶结构的重力作用；② 由于基础不均匀沉降引起的柱脚垂直位移。拜亭檩条上方的屋顶从下至上大致可分为椽板层、望砖层、瓦片层和屋脊层。通过点云模型确定了屋面与屋脊的几何尺寸，计算了各层重力[34]，其上部总重力荷载约为105.24 kN。
沉降引起的柱脚位移同样通过点云模型获取，经测量得到了每根方柱底部的四个顶点，共16个点位的柱脚位移值，测量点位如图8所示，具体位移值如表5所示。由表可得，东北、西北两根柱的总体沉降情况最为严重，与拜亭现场观测及调研结果相吻合。
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图 8 拜亭柱不同方位柱脚位移测量点位示意图Figure 8. Measuring points of foot displacements of pavilion pillars表 5 拜亭柱各柱脚垂直位移值Table 5. Vertical displacement of each pillar foot/mm 西南柱 东南柱 西北柱 东北柱 东南侧柱脚 7.0 2.0 −14.0 −13.0 西南侧柱脚 0.0 4.0 −10.0 −12.0 西北侧柱脚 1.0 2.0 −19.0 −22.0 东北侧柱脚 3.0 2.0 −20.0 −23.0 注：正值表示位移方向向上；负值表示位移方向向下。 在确定了拜亭的外部作用后，将结构模型的自重、上方屋面的重力荷载及柱脚的位移依次施加在结构上，以模拟拜亭先建造结构框架；再铺设上方屋面；最后产生柱脚位移的损伤过程。
4 基于既有损伤和响应面优化的模型修正
根据上文提出的模型修正方法及流程，选择拜亭榫卯脱榫和柱顶偏移作为修正过程中的“特征损伤”。以此为修正依据，通过与未修正模型的对比定量评估了拜亭模型与真实结构之间的误差。之后，使用响应面参数优化方法，选取拜亭关键区域的材料性能作为待优化参数，结合多目标遗传算法对拜亭有限元模型进行了修正，并对比修正前后拜亭有限元模型与真实结构之间的脱榫及柱顶偏移的误差验证了修正效果。
4.1 模型误差分析
拜亭结构的损伤情况已在第2节进行了介绍，其脱榫具体长度和柱顶偏移大小可通过点云模型方便地获取，大小如表6所示。
表 6 拜亭结构既有损伤值Table 6. Existing damage value of pavilion structure拜亭结构损伤项 数值/mm 东北柱柱顶北向偏移量 39.0 东北柱柱顶东向偏移量 13.0 西北柱柱顶北向偏移量 44.0 西北柱柱顶东向偏移量 13.5 西南柱顶榫卯脱榫长度 30.0 经过初步模拟可发现，未经修正的有限元模型的损伤情况和真实结构相似，如图9所示。然而，表征其特征损伤的五个数值和原型结构之间还存在一定误差，如表7所示。其中最大的误差为榫卯的脱榫长度，达到了25.5%。
表 7 未修正有限元模型特征损伤值及其误差Table 7. Characteristic damage value and difference of FE model without updating拜亭结构损伤项 初始模拟值/mm 误差/mm 误差百分比/(%) 东北柱柱顶北向偏移量 40.48 1.48 3.8 东北柱柱顶东向偏移量 12.69 0.31 2.4 西北柱柱顶北向偏移量 37.83 6.17 13.9 西北柱柱顶东向偏移量 13.24 0.26 1.9 西南柱顶榫卯脱榫长度 22.34 7.66 25.5 4.2 采用响应面参数优化的模型修正过程
根据本文提出的模型修正方法，使用Ansys Workbench中的响应面优化模块对拜亭模型进行了参数优化，从而达到模型修正的目的[35]。响应面法的具体步骤如图10所示。
本章的模型修正中的优化试验设计过程(design of experiment，DOE)采用了中心复合设计方法(central composite design，CCD)[36]，并采用了遗传聚合方法生成响应面模型[37]。响应面模型生成后，设置了多个优化目标函数并利用多目标遗传算法(multi-objective genetic algorithm，MOGA)[38]对目标函数进行迭代，最终得到了模型修正的最优解。
4.2.1 待优化参数选择
在模型修正中，首先应确定待优化参数，该过程往往是模型修正的关键[39]。修正过程中模型的待优化参数将作为输入参数(input parameters)，而模拟后的响应结果则作为输出参数(output parameters)。一般而言，待优化参数的数量不应过多，选择的参数应拥有真实的物理意义且对模型响应较为敏感[40]。经过对拜亭不同部位的材料参数敏感性测试，拜亭4个区域(如图11所示)的材料性能对结构的脱榫与倾斜影响显著，敏感性较高。因此，将对应区域的材料性能作为输入参数，编号为IP1~IP4，其初始值与取值范围如表8所示。描述模型特征损伤行为的5个数值为输出参数，编号为OP1~OP5。
表 8 优化输入参数及其取值范围Table 8. Optimization input parameters and its range/MPa 参数名称 初始值 下限值 上限值 IP1 80 000 60 000 100 000 IP2 80 000 60 000 100 000 IP3 4720 900 6000 IP4 4720 900 6000 值得注意的是，拜亭的木质部分存在不同程度的糟朽，其材料性能降低的概率较大，因此木材部分参数的取值范围的下限值设置较低，石材的性能参数在实测值附近呈对称波动，如表8中所示。
4.2.2 优化设计及响应面的构建
优化设计(DOE)可生成合适的设计点并通过数值模拟得到输入与输出参数之间的关系，从而为响应面的生成提供依据。本研究选择了目前应用最为广泛的中心复合设计方法(CCD)[36]，该方法可搜寻输入参数变化范围的中心点，并以此为基准均匀地生成设计点。一般而言，CCD适用于具有连续变量的多参数优化过程，同时也是最适合二阶响应面的DOE方法[10]。本次优化过程中CCD共构建出25个设计点，通过多次模拟即可得到多组输入与输出参数之间的响应关系。响应面的生成选择遗传聚合法[37]，该方法通过迭代寻找最佳的响应面形状和输出设置，相较于Kriging法和非参数回归法，虽然计算时间较长，但生成的响应面模型最为平滑和准确[37]。图12为5个输出参数OP1~OP5关于输入参数(IP1、IP2为例)的响应面示意图。
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图 12 输出参数OP1~OP5关于IP1和IP2的响应面Figure 12. Respond Surface of output parameters for IP1 and IP2响应面通常需进行可靠性评估后才能用于参数优化。本研究采用R2准则和RMSE准则评估其可靠性[41]，R2的意义为设计点的有限元模拟值与响应面模型输出值的一致性程度。R2值越接近1则一致度越高，大于等于0.99即可满足可靠性要求[37]。RMSE可以反映预测值与实际值的偏差程度，衡量模型的预测效果。RMSE值越小模型的预测精度则越好[37]。如表9所示，本次优化的响应面R2和RMSE值分别接近于1和0，表明生成的响应面具有较高的回归精度和可靠性。
表 9 不同输出参数对应响应面的R2和RMSE值Table 9. R2 and RMSE values of response surface of output parameters参数名称 R2 RMSE OP1 1.000 00 0.004 685 90 OP2 0.999 99 0.000 930 26 OP3 0.999 99 0.009 451 80 OP4 1.000 00 0.000 777 23 OP5 0.999 98 0.005 684 60 4.2.3 目标函数建立及优化过程
在响应面优化过程中，目标函数的建立在模型修正过程中起着重要作用[42]，它是衡量不同解决方案优劣的标准，并引导优化过程朝着提高(或降低)该函数值的方向进行，从而达到期望的优化目标。
为了使模型的特征损伤值逼近真实值，将表征模型特征损伤的输出参数(OP1~OP5)及结构真实损伤值之间差的绝对值定义为目标函数并在优化过程中使函数值趋于最小，其表达式分别为：
F(1)=|OP1−39.0/mm| (1) F(2)=|OP2−13.0/mm| (2) F(3)=|OP3−44.0/mm| (3) F(4)=|OP4−13.5/mm| (4) F(5)=|OP5−30.0/mm| (5) 目标函数迭代过程中的优化算法选择为多目标遗传算法(MOGA)[38]。与传统优化方法相比，MOGA可以在单次运行中获得优化问题的最优解集[43]。因此，该方法目前被认为是最适合多目标优化问题的算法之一，被广泛应用于多目标优化问题中[44]。
在本研究中，初始样本数被设定为100，每次迭代生成100个样本。在优化迭代过程中，目标函数经过1012次评估后收敛，其迭代与收敛过程如图13所示。
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图 13 目标函数F(1)~F(5)的迭代与收敛过程Figure 13. Process of iteration and convergence of objective function F(1) to F(5)经多目标遗传算法优化后，优化系统可输出多个候选点及其目标函数的预测值。在这些候选点中，选择误差均值和标准差均最小的点作为结构模型的修正结果，该优化候选点的输入及输出的目标函数值如表10所示。
表 10 多目标遗传算法生成的候选参数值及其目标函数值Table 10. Candidate points value and their objective function values generated by MOGA参数或目标函数名 参数值或函数值 IP1 74 464.70 IP2 93 203.58 IP3 2035.81 IP4 922.85 F(1) 0.205 F(2) 0.003 F(3) 1.753 F(4) 0.202 F(5) 1.750 注：IP1~IP4单位为MPa；F(1)~F(5)单位为mm。 4.3 模型修正效果评估
将优化后的结构参数值导入模型并进行数值模拟，结果显示修正后模型与实际结构间的特征损伤误差明显减小，损伤情况如图14所示，修正结果如表11所示。与未修正模型相比，特征损伤的误差均值由3.17 mm下降到0.75 mm，最大误差从25.5%下降到5.4%，缩小了约79%，修正效果明显。
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图 14 修正后模型特征损伤模拟结果Figure 14. The characteristic damage simulation results of updated model表 11 模型修正后特征损伤误差值及其百分比Table 11. Difference value and its percentage of characteristic damage after model updating拜亭损伤项 修正后
误差值/mm修正后误差
百分比/(%)误差缩小
百分比/(%)东北柱柱顶北向偏移量 0.20 0.5 86 东北柱柱顶东向偏移量 0.01 0.1 97 西北柱柱顶北向偏移量 1.71 3.9 72 西北柱柱顶东向偏移量 0.20 1.5 23 西南柱顶榫卯脱榫长度 1.63 5.4 79 修正后石质部分的弹性模量(IP1、IP2)与实测值较为接近，变化范围小于20%，而木材的弹性模量(IP3、IP4)则低于新木材的试验值[32]。该项参数的修正考虑了木材在自然环境中产生的损伤和劣化，合理反映了拜亭本体的真实情况，并在修正后的模型中考虑了该材料损伤。
与修正前相比，修正后的模型与原型结构的特征损伤误差值显著减小，可较好反映真实结构的损伤性能。因此，修正后模型可为真实结构的损伤预测及评估提供依据。
5 结构损伤预测
5.1 结构损伤限值
根据《古建筑木结构维护与加固技术标准》(GB/T 50165−2020)[45]及《古建筑砖石结构维修与加固技术规范》(GB/T 39056−2020)[46]可知，拜亭榫卯脱榫和主柱倾斜的限值规定如下：榫卯节点的脱榫长度不应超过40 mm，而由倾斜引起的柱顶偏移则不应超过28.70 mm。需要注意的是，目前两根柱的北向倾斜均已超过规范限值，需要进行修复和加固。
5.2 关键外部作用点选择
由3.3节可知，拜亭东北柱和西北柱的柱脚沉降均较严重，而由于拜亭的脱榫发生在西南柱的顶部，可推断该脱榫是由西北柱的柱脚沉降位移引起。如图15所示，西北柱北侧柱脚(编号为柱脚1和柱脚2)的沉降引起该柱的北倾，而柱顶的北向位移沿水平构件传递至西南柱顶部，从而导致西南柱顶部的榫卯发生脱榫。因此，西北柱的北倾与西南柱顶的脱榫存在一定的相关性，同时，柱脚1和2的沉降对北倾和脱榫均有一定影响。
此外，拜亭的东北柱和西北柱由倾斜产生的柱顶偏移值十分接近。因此可初步认为，西北柱的东侧柱脚(编号为柱脚2和柱脚3)的沉降引起了该柱顶端的东向偏移。东向的位移通过水平构件传递至东北柱，从而导致了东北柱的东向倾斜，如图16所示。因此，两柱的东向倾斜存在相关性，柱脚2和柱脚3的沉降可能同时导致二者倾斜。
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图 15 柱脚沉降导致榫卯脱榫机理分析图Figure 15. Mechanism analysis diagram of mortise and tenon separation caused by settlement of pillar foot![]()
图 16 柱脚沉降导致柱子向东倾斜机理分析图Figure 16. Mechanism analysis diagram of pillar east inclination caused by pillar foot settlement5.3 损伤预测评估
为了预测拜亭脱榫损伤的发展情况，逐渐增大修正后模型中柱脚1和柱脚2的沉降位移，并在此过程中逐步计算模型脱榫损伤的响应，从而预测拜亭原型结构脱榫损伤的发展。在该过程中，模型的两柱脚位移每同步增大0.5 mm提取一次模型响应，直到修正后模型的脱榫长度超过规范限值。经过4步模拟即沉降增加2 mm后，模型输出的脱榫长度超过规范规定的40 mm，达到了40.11 mm，停止位移增长。脱榫随沉降位移的增加而变化的过程如图17所示。
由图17可看出，随着柱脚1和柱脚2沉降位移的增加，脱榫发展明显且迅速，说明该柱脚对脱榫影响显著。此外，脱榫与西北柱顶北向偏移的发展趋势相似，具有明显的相关性，与5.2节中的初步分析结果一致。
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图 17 榫卯脱榫与西北柱顶北向偏移发展趋势对比图Figure 17. The comparison of development situation of mortise-tenon separation and the offset of northwest pillar为预测拜亭的倾斜发展，逐渐增大模型柱脚2和柱脚3的位移来模拟沉降的增长，并通过模拟结果进行评估及预测。在该过程中，模型的两柱脚位移每增加0.5 mm提取一次模型响应，直到修正后模型东北柱和西北柱的东向倾斜中的任意一个超过规范限值。经过5步模拟即沉降增加2.5 mm后，西北柱顶的东向偏移超过了规范规定的28.70 mm，达到了30.11 mm，停止位移增长。柱倾斜偏移随柱脚沉降位移的增加而变化的情况如图18所示。
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图 18 东北柱与西北柱顶东向偏移发展趋势对比图Figure 18. The comparison of development situation of the offset of northeast and northwest pillar如图18所示，随着柱脚2和柱脚3的沉降，东北和西北柱的东向倾斜均显著增大，说明2号及3号柱脚对拜亭柱倾斜损伤的发展影响显著。此外，二者发展趋势同样具有相关性，与5.2节中初步分析结果保持一致。
经过模拟评估，得到了模型损伤随外部作用发展的变化情况，并由此预测了拜亭真实结构的损伤发展情况如下：拜亭西北柱的多个柱脚位移对于结构的既有损伤影响显著，随着选定柱脚沉降位移的增长，结构的既有损伤将随之发展，并于柱脚位移增长至2 mm~2.5 mm后超过规范限值。
6 结论
本文以福建泉州开元寺拜亭为例，提出了一种古建筑有限元模型修正及损伤预测方法。该方法利用古建筑已产生的损伤及响应面优化等方法获得古建筑的准确有限元模型，并通过外部不利作用的加重对其既有损伤的发展进行了预测。由于模型的修正及损伤的预测基于古建筑的既有损伤，因此本方法适用于已存在显著结构性损伤的古建筑，并可为其后续的安全性评估和保护提供依据。主要研究内容及结论如下：
(1)本文利用三维激光扫描方法，获取了拜亭结构的点云模型，由此确定了拜亭的既有损伤和外部不利作用，并结合BIM技术建立了有限元模型。经过误差分析，未修正模型与真实结构间既有损伤的最大误差出现在西南柱顶榫卯节点的脱榫处，二者脱榫长度之间的误差值为7.66 mm，误差百分比达到25.5%。
(2) 考虑既有损伤及响应面参数优化的模型修正方法，可减少有限元模型与真实结构的误差。选取拜亭关键区域的材料强度作为输入参数并进行修正后，模型与真实结构间既有损伤的平均误差减小了约76%，最大误差由25.5%减小到约5%。
(3) 以修正后的有限元模型为依据，通过增加关键外部作用对模型既有损伤的发展进行了评估，并以此预测了拜亭真实结构的损伤发展。结果表明，当拜亭的数个关键柱脚沉降增加2 mm~2.5 mm时，结构的脱榫长度及柱的倾斜损伤将超过规范规定的安全限值。
本研究仍存在一些不足，例如本文主要针对古建筑的既有损伤进行评估和模拟，而随着外部不利作用的持续增加，发生新损伤的可能性则未进行讨论。除了外部不利作用的发展之外，其他可能导致结构损伤发展的因素(如材料的持续腐朽与退化)同样尚未考虑在内，有待进行讨论和研究。
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图 1 考虑既有损伤的模型修正及损伤预测方法流程图
Figure 1. Flow chart of model updating and damage prediction method considering existing damages
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图 2 拜亭及寺内建筑分布示意图
Figure 2. Diagram of pavilion and building distribution in Kaiyuan temple
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图 3 拜亭结构既有损伤位置及损伤状况示意图
Figure 3. The position and situation of existing damage diagram of pavilion
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图 4 基于点云模型和BIM技术的拜亭建模过程
Figure 4. Pavilion model establish process based on point cloud and BIM technology
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图 6 木材不同力学方向及其材料微元应力分量示意图
Figure 6. Different directions and stress component of timber element.
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图 8 拜亭柱不同方位柱脚位移测量点位示意图
Figure 8. Measuring points of foot displacements of pavilion pillars
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图 12 输出参数OP1~OP5关于IP1和IP2的响应面
Figure 12. Respond Surface of output parameters for IP1 and IP2
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图 13 目标函数F(1)~F(5)的迭代与收敛过程
Figure 13. Process of iteration and convergence of objective function F(1) to F(5)
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图 14 修正后模型特征损伤模拟结果
Figure 14. The characteristic damage simulation results of updated model
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图 15 柱脚沉降导致榫卯脱榫机理分析图
Figure 15. Mechanism analysis diagram of mortise and tenon separation caused by settlement of pillar foot
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图 16 柱脚沉降导致柱子向东倾斜机理分析图
Figure 16. Mechanism analysis diagram of pillar east inclination caused by pillar foot settlement
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图 17 榫卯脱榫与西北柱顶北向偏移发展趋势对比图
Figure 17. The comparison of development situation of mortise-tenon separation and the offset of northwest pillar
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图 18 东北柱与西北柱顶东向偏移发展趋势对比图
Figure 18. The comparison of development situation of the offset of northeast and northwest pillar
表 1 拜亭主要构件尺寸表
Table 1 Dimension table of main components of pavilion
构件序号 构件名称 长×宽×高(或直径)/mm 1 小通 1200×230 2 雀替 800×80×260 3 大通 3750×260 4 南北挑檐檩 5055×230 5 主柱木质部分 320×320×980 6 主柱石质部分 320×320×2870 7 东西挑檐檩 6760×230 8 梁 5390×200 9 檩 5970×240 10 二通 2300×220 11 双脊檩 5950×240 12 檐枋 5390×80×200 
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表 2 拜亭石质部分材料性能
Table 2 Material properties of stone part in pavilion
密度/(g·cm−3) 弹性模量/MPa 泊松比 剪切模量/MPa 抗压强度/MPa 2.7 80 000 0.25 32 000 69.5
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表 3 福建杉木弹性阶段材料性能参数
Table 3 Elastic mechanical properties of timber in Fujian
EX/
MPaEY/
MPaEZ/
MPaGXY/
MPaGYZ/
MPaGZX/
MPaνXY νXZ νYZ 4720 378 236 337 33.7 317 0.37 0.47 0.42 注：X、Y、Z分别为木材的顺纹、径向和弦向；EX、EY和EZ分别为顺纹、径向和弦向的弹性模量；GXY、GYZ和GZX分别为顺纹、径向和弦向的剪切模量；νXY、νXZ和νYZ为顺纹、径向和弦向的泊松比。
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表 4 福建杉木塑性阶段材料性能参数
Table 4 Plastic mechanical properties of timber in Fujian
方向 σyi/MPa Eyi/MPa τyi/MPa Gyi/MPa 顺纹 20.00 0 4.2 0 径向 2.50 0 4.2 0 弦向 2.08 0 4.2 0 注：σyi为屈服强度；Eyi为屈服后模量；τyi为剪切强度；Gyi为屈服后剪切模量。
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表 5 拜亭柱各柱脚垂直位移值
Table 5 Vertical displacement of each pillar foot
/mm 西南柱 东南柱 西北柱 东北柱 东南侧柱脚 7.0 2.0 −14.0 −13.0 西南侧柱脚 0.0 4.0 −10.0 −12.0 西北侧柱脚 1.0 2.0 −19.0 −22.0 东北侧柱脚 3.0 2.0 −20.0 −23.0 注：正值表示位移方向向上；负值表示位移方向向下。
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表 6 拜亭结构既有损伤值
Table 6 Existing damage value of pavilion structure
拜亭结构损伤项 数值/mm 东北柱柱顶北向偏移量 39.0 东北柱柱顶东向偏移量 13.0 西北柱柱顶北向偏移量 44.0 西北柱柱顶东向偏移量 13.5 西南柱顶榫卯脱榫长度 30.0
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表 7 未修正有限元模型特征损伤值及其误差
Table 7 Characteristic damage value and difference of FE model without updating
拜亭结构损伤项 初始模拟值/mm 误差/mm 误差百分比/(%) 东北柱柱顶北向偏移量 40.48 1.48 3.8 东北柱柱顶东向偏移量 12.69 0.31 2.4 西北柱柱顶北向偏移量 37.83 6.17 13.9 西北柱柱顶东向偏移量 13.24 0.26 1.9 西南柱顶榫卯脱榫长度 22.34 7.66 25.5
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表 8 优化输入参数及其取值范围
Table 8 Optimization input parameters and its range
/MPa 参数名称 初始值 下限值 上限值 IP1 80 000 60 000 100 000 IP2 80 000 60 000 100 000 IP3 4720 900 6000 IP4 4720 900 6000
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表 9 不同输出参数对应响应面的R2和RMSE值
Table 9 R2 and RMSE values of response surface of output parameters
参数名称 R2 RMSE OP1 1.000 00 0.004 685 90 OP2 0.999 99 0.000 930 26 OP3 0.999 99 0.009 451 80 OP4 1.000 00 0.000 777 23 OP5 0.999 98 0.005 684 60
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表 10 多目标遗传算法生成的候选参数值及其目标函数值
Table 10 Candidate points value and their objective function values generated by MOGA
参数或目标函数名 参数值或函数值 IP1 74 464.70 IP2 93 203.58 IP3 2035.81 IP4 922.85 F(1) 0.205 F(2) 0.003 F(3) 1.753 F(4) 0.202 F(5) 1.750 注：IP1~IP4单位为MPa；F(1)~F(5)单位为mm。
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表 11 模型修正后特征损伤误差值及其百分比
Table 11 Difference value and its percentage of characteristic damage after model updating
拜亭损伤项 修正后
误差值/mm修正后误差
百分比/(%)误差缩小
百分比/(%)东北柱柱顶北向偏移量 0.20 0.5 86 东北柱柱顶东向偏移量 0.01 0.1 97 西北柱柱顶北向偏移量 1.71 3.9 72 西北柱柱顶东向偏移量 0.20 1.5 23 西南柱顶榫卯脱榫长度 1.63 5.4 79
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