作为有效的抗震技术之一，基底隔震在过去30多年的理论与实践中已展现出了优越的抗震性能。然而实际工程中，当涉及到位于沿海的隔震建筑为防止隔震层被海水腐蚀、高密度建筑区的隔震建筑为避免过大底部位移时，隔震层会被设置在中间某层从而形成层间隔震建筑^[1]。另外，在现代城市中位于多层的大型商用空间之上的大底盘的塔楼结构，大底盘和塔楼之间通常采用隔震系统构成“软转换”层连接^[2-3]；以及利用隔震技术在既有建筑顶部进行加层改造等^[4]。此类结构把建筑分割为2个部分，更好地实现了整体建筑的多功能化^[5]，因而受到了越来越多的关注。在日本已建成了多座层间隔震高层建筑^[6-8]，最高达230 m。

国内外学者对层间隔震建筑的地震反应开展了较多的研究，其中在理论研究方面多是基于简化的两质点或三质点模型^[9-14]，可以精确模拟结构的一阶模态特性，然而结构的高阶模态却不能被准确估计。实际上，层间隔震建筑的下部结构本身受高阶模态影响较大^[15]；当上部结构变得高柔，高阶模态贡献也将不可忽略。为此，者LI等^[16]提出了可以准确包含结构前任意阶模态的简化自由度折减模型，该模型能够精确估计结构地震响应，例如受高阶模态影响较大的下部结构顶部加速度。

尽管基于简化模型的时程计算方法可以显著提高计算效率，作为频域计算方法的地震反应谱法更容易被工程师所熟悉。就隔震建筑而言，实施反应谱方法的前提是将隔震层非线性滞回恢复力等效为线性力，此时整个结构系统的阻尼矩阵通常不满足Rayleigh阻尼条件，因此基于振型的结构分析需要在复模态框架内进行。进一步，引入规范反应谱对解耦的单自由度方程进行求解，考虑模态响应间的相关系数，利用在复模态下的完全平方组合法则(Complex Complete Quadratic Combination, CCQC) 即可计算结构响应极值^[17-18]。在这个过程中存在多次近似假设，即非线性项等效近似为线性项、少量的低阶模态替代全部模态、伪速度近似为最大相对速度、速度和位移有相同峰值因子，以及相关系数源于白噪声假设。尽管基于复模态反应谱的CCQC方法在基底隔震建筑地震响应计算中被证实是有效的，对于结构形式更复杂的层间隔震建筑，验证基于复模态反应谱的CCQC方法的有效性、量化各响应的计算精度是非常有意义的。

本文首先建立了层间隔震建筑在模态坐标下的非线性运动方程，基于等效线性化和模态叠加，给出了可预测层间隔震高层建筑地震响应的复模态反应谱分析方法。以日本的某层间隔震建筑为工程案例，比较了非线性时域分析和等效线性化方法下的楼层响应；分析了结构响应的高阶模态贡献；量化了实模态分析方法造成的响应误差。进一步，评估了基于复模态反应谱的结构地震响应计算方法的有效性。本研究为层间隔震建筑地震反应的规范计算提供理论依据。

1   理论框架

1.1   动力方程

如图1所示的层间隔震建筑，其下部结构和上部结构的楼层数分别为$M$和$N$，质量矩阵为${{\boldsymbol{M}}_{\rm{l}}}$和${{\boldsymbol{M}}_{\rm{u}}}$、阻尼矩阵为${{\boldsymbol{C}}_{\rm{l}}}$和${{\boldsymbol{C}}_{\rm{u}}}$、刚度矩阵为${{\boldsymbol{K}}_{\rm{l}}}$和${{\boldsymbol{K}}_{\rm{u}}}$。下部结构和上部结构各楼层的位移矢量分别表示为${{\boldsymbol{Y}}_{\rm{l}}} = {({y_{{\rm{l}},1}},{y_{{\rm{l}},2}}, \cdots ,{y_{{\rm{l}},M}})^{\text{T}}}$和${{\boldsymbol{Y}}_{\rm{u}}} = {({y_{{\rm{u}},1}},{y_{{\rm{u}},2}}, \cdots ,{y_{{\rm{u}},N}})^{\text{T}}}$，其中${{\boldsymbol{Y}}_{\rm{l}}}$ 和${{\boldsymbol{Y}}_{\rm{u}}}$是以各自的首层位置为参考点。隔震层的质量、阻尼系数分别为${m_{\rm{b}}}$和${c_{\rm{b}}}$，位移${u_{\rm{b}}}$是以下部结构顶层为参考点。在遭遇地面运动加速度${\ddot u_{\rm{g}}}(t)$时，层间隔震建筑各部分结构在物理坐标下的运动方程为：

图  1  层间隔震建筑模型

Figure  1.  Inter-story isolated tall building model

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式中：${{\boldsymbol{F}}_{{\rm{l}},{\rm{load}}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{0}}_{{\text{(}}M - 1) \times {\text{1}}}}} \\ { - {m_{\rm{b}}}{{\ddot u}_{\rm{g}}}(t) - {\boldsymbol{r}}_N^{\text{T}}{{\boldsymbol{M}}_{\rm{u}}}{{\boldsymbol{r}}_N}{{\ddot u}_{\rm{g}}}(t)} \end{array}} \right]$和${{\boldsymbol{F}}_{{\rm{l}},{\rm{inertial}}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{0}}_{(M - 1) \times {\text{1}}}}} \\ {({m_{\rm{b}}}({{\ddot u}_{\rm{b}}} + {{\ddot y}_{{\rm{l}},M}}) + {\boldsymbol{r}}_N^{\text{T}}{{\boldsymbol{M}}_{\rm{u}}}\left[ {{{\boldsymbol{r}}_N}({{\ddot u}_{\rm{b}}} + {{\ddot y}_{{\rm{l}},M}}) + {{{\boldsymbol{\ddot Y}}}_{\rm{u}}}} \right]} \end{array}} \right]$分别是上部结构及隔震层施加于下部结构顶层的地震力和惯性力；${{\boldsymbol{r}}_M}$和${{\boldsymbol{r}}_N}$分别为M和N维列向量；$f({u_{\rm{b}}},{\dot u_{\rm{b}}})$为隔震层恢复力，采用双线性模型模拟^[19]：

式中：${k_{\rm{b}}}$为隔震层初始刚度；$\beta$为二次刚度比；$U(·)$表示阶跃函数；${x_y}$为屈服位移。

假设上下部结构的反应均在弹性范围，下部结构和上部结构的位移可分别用它们的前$r (r \leqslant M)$和前$s(s \leqslant N)$阶模态形状与广义坐标表示：

式中：${{\boldsymbol{\varPhi }}_{\rm{l}}} = \left( {{{\boldsymbol{\phi }}_{{\rm{l}}1}}}\;\;{{{\boldsymbol{\phi }}_{{\rm{l}}2}}}\;\; \cdots \;\;{{{\boldsymbol{\phi }}_{{\rm{l}}r}}} \right)$和${{\boldsymbol{\varPhi }}_{\rm{u}}} = \left( {{{\boldsymbol{\phi }}_{{\rm{u}}1}}}\;\;{{{\boldsymbol{\phi }}_{{\rm{u}}2}}}\;\; \cdots \;\;{{{\boldsymbol{\phi }}_{{\rm{u}}s}}} \right)$分别为下部和上部结构的前$r$和前$s$阶模态矩阵，由下部和上部结构的刚度矩阵与质量矩阵通过特征值分析得到；广义坐标向量为${{\boldsymbol{q}}_{\rm{l}}} = {\left( {{q_{{\rm{l}}1}},{q_{{\rm{l}}2}}, \cdots ,{q_{{\rm{l}}r}}} \right)^{\text{T}}}$，${{\boldsymbol{q}}_{\rm{u}}}{\text{ = }}{\left( {{q_{{\rm{u}}1}},{q_{{\rm{u}}2}}, \cdots ,{q_{{\rm{u}}s}}} \right)^{\text{T}}}$。

将式(6)代入到式(1)~式(3)后，并对下部和上部结构控制方程分别左乘${\boldsymbol{\varPhi }}_{\rm{l}}^{\text{T}}$和${\boldsymbol{\varPhi }}_{\rm{u}}^{\text{T}}$，由正交特性，可以建立层间隔震结构在模态坐标下的运动方程：

式中：${r_{{\rm{l}}i}} = \dfrac{{{\boldsymbol{\phi }}_{{\rm{l}}i}^{\text{T}}{{\boldsymbol{M}}_{\rm{l}}}{{\boldsymbol{\phi }}_{{\rm{l}}i}}}}{m}$；${r_{{\rm{u}}j}} {\text{ = }} \dfrac{{{\boldsymbol{\phi }}_{{\rm{u}}j}^{\text{T}}{{\boldsymbol{M}}_{\rm{u}}}{{\boldsymbol{\phi }}_{{\rm{u}}j}}}}{m}$；$m = {m_{\rm{b}}} + {\boldsymbol{r}}_N^{\text{T}}{{\boldsymbol{M}}_{\rm{u}}}{{\boldsymbol{r}}_N}$；${\varGamma _{{\rm{l}}i}} = \dfrac{{{\boldsymbol{\phi }}_{{\rm{l}}i}^{\text{T}}{{\boldsymbol{M}}_{\rm{l}}}{{\boldsymbol{r}}_M}}}{{{\boldsymbol{\phi }}_{{\rm{l}}i}^{\text{T}}{{\boldsymbol{M}}_{\rm{l}}}{{\boldsymbol{\phi }}_{{\rm{l}}i}}}}$；${\varGamma _{{\rm{u}}j}} = \dfrac{{{\boldsymbol{\phi }}_{{\rm{u}}j}^{\text{T}}{{\boldsymbol{M}}_{{\rm{u}}}}{{\boldsymbol{r}}_N}}}{{{\boldsymbol{\phi }}_{{\rm{u}}j}^{\text{T}}{{\boldsymbol{M}}_{\rm{u}}}{{\boldsymbol{\phi }}_{{\rm{u}}j}}}}$； ${\omega _{{\rm{l}}i}} = \sqrt {\dfrac{{{\boldsymbol{\phi }}_{{\rm{l}}i}^{\text{T}}{{\boldsymbol{K}}_{\rm{l}}}{{\boldsymbol{\phi }}_{{\rm{l}}i}}}}{{{\boldsymbol{\phi }}_{{\rm{l}}i}^{\text{T}}{{\boldsymbol{M}}_{\rm{l}}}{{\boldsymbol{\phi }}_{{\rm{l}}i}}}}}$；${\omega _{{\rm{u}}j}} = \sqrt {\dfrac{{{\boldsymbol{\phi }}_{{\rm{u}}j}^{\text{T}}{{\boldsymbol{K}}_{\rm{u}}}{{\boldsymbol{\phi }}_{{\rm{u}}j}}}}{{{\boldsymbol{\phi }}_{{\rm{u}}j}^{\text{T}}{{\boldsymbol{M}}_{\rm{u}}}{{\boldsymbol{\phi }}_{{\rm{u}}j}}}}}$；${\zeta _{{\rm{l}}i}} = \dfrac{{{\boldsymbol{\phi }}_{{\rm{l}}i}^{\text{T}}{{\boldsymbol{C}}_{\rm{l}}}{{\boldsymbol{\phi }}_{{\rm{l}}i}}}}{{2{\boldsymbol{\phi }}_{{\rm{l}}i}^{\text{T}}{{\boldsymbol{M}}_{\rm{l}}}{{\boldsymbol{\phi }}_{{\rm{l}}i}}{\omega _{{\rm{l}}i}}}}$；${\zeta _{{\rm{u}}j}} = \dfrac{{{\boldsymbol{\phi }}_{{\rm{u}}j}^{\text{T}}{{\boldsymbol{C}}_{\rm{u}}}{{\boldsymbol{\phi }}_{{\rm{u}}j}}}}{{2{\boldsymbol{\phi }}_{{\rm{u}}j}^{\text{T}}{{\boldsymbol{M}}_{\rm{u}}}{{\boldsymbol{\phi }}_{{\rm{u}}j}}{\omega _{{\rm{u}}j}}}}$；${\omega _{\rm{b}}} = \sqrt {{k_{\rm{b}}}/m}$和${\zeta _{\rm{b}}} = {c_{\rm{b}}}/2m{\omega _{\rm{b}}}$。

把式(7)~式(9)写成矩阵形式：

式中：质量矩阵${\boldsymbol{M}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{\varLambda }}_{\rm{l}}} + {{\boldsymbol{r}}_r}{\boldsymbol{r}}_r^{\text{T}}}&{{{\boldsymbol{r}}_r}}&{{{\boldsymbol{r}}_r}{{\boldsymbol{\varGamma }}_{\rm{u}}}{{\boldsymbol{\varLambda }}_{\rm{u}}}} \\ {}&1&{{{\boldsymbol{\varGamma }}_{\rm{u}}}{{\boldsymbol{\varLambda }}_{\rm{u}}}} \\ {{\text{sym}}}&{}&{{{\boldsymbol{\varLambda }}_{\rm{u}}}} \end{array}} \right]$；${{\boldsymbol{\varLambda }}_{\rm{l}}} = {\text{diag}}\left( {{r_{{\rm{l}}1}}, \cdots ,{r_{{\rm{l}}r}}} \right)$；${{\boldsymbol{\varLambda }}_{\rm{u}}} = {\text{diag}}\left( {{r_{{\rm{u}}1}}, \cdots ,{r_{{\rm{u}}s}}} \right)$；${{\boldsymbol{\varGamma }}_{\rm{u}}} = \left[ {{\varGamma _{{\rm{u}}1}}, \cdots ,{\varGamma _{{\rm{u}}s}}} \right]$；${{\boldsymbol{r}}_r} = \left[ {1,{\text{ 1,}} \cdots ,{\text{ 1}}} \right]_{1 \times r}^{\text{T}}$；广义坐标向量${\boldsymbol{q}}{\text{ = }}{\left[ {{\boldsymbol{q}}_{\rm{l}}^{\text{T}}\;\;{u_{\rm{b}}}\;\;{\boldsymbol{q}}_{\rm{u}}^{\text{T}}} \right]^{\text{T}}}$；阻尼矩阵${\boldsymbol{C}} = {\text{diag}}( {2{\omega _{{\rm{l}}1}}{\zeta _{{\rm{l}}1}}{r_{{\rm{l}}1}},} \cdots ,$ ${\text{ 2}}{\omega _{{\rm{l}}r}}{\zeta _{{\rm{l}}r}}{r_{{\rm{l}}r}},{\text{ 2}}{\omega _{\rm{b}}}{\zeta _{\rm{b}}}, \cdots , {\text{ 2}}{\zeta _{{\rm{u}}1}}{\omega _{{\rm{u}}1}}{r_{{\rm{u}}1}}, \cdots ,{\text{ 2}}{\zeta _{{\rm{u}}s}}{\omega _{{\rm{u}}s}}{r_{{\rm{u}}s}} )$；刚度矩阵${{\boldsymbol{K}}_{\rm{e}}} ={\text{diag}}( \omega _{{\rm{l}}1}^2{r_{{\rm{l}}1}}, \cdots ,\omega _{{\rm{l}}r}^2{r_{{\rm{l}}r}},\beta \omega _{\rm{b}}^2,\omega _{{\rm{u}}1}^2{r_{{\rm{u}}1}}, \cdots ,\omega _{{\rm{u}}s}^2{r_{{\rm{u}}s}} )$和${{\boldsymbol{K}}_{\rm{h}}} = [ {{{\boldsymbol{0}}_{1 \times r}}}\;\;{(1 - \beta )\omega _{\rm{b}}^2}\; \;{{{\boldsymbol{0}}_{1 \times s}}} ]^{\text{T}}$；${\boldsymbol{\iota }} = {{\boldsymbol{M}}^{ - 1}}{\bf\textit{τ}}$，${\bf\textit{τ}} = [ {\varGamma _{{\rm{l}}1}}{r_{{\rm{l}}1}} + 1, \cdots ,{\varGamma _{{\rm{l}}r}}{r_{{\rm{l}}r}} + 1,1, {\varGamma _{{\rm{u}}1}}{r_{{\rm{u}}1}}{\text{, }} \cdots ,{\varGamma _{{\rm{u}}s}}{r_{{\rm{u}}s}} ]^{\text{T}}$。

式(10)与式(5)联立即求解结构响应。

1.2   等效线性化

将隔震层非线性滞回恢复力，即式(4)线性化：

式中，等效刚度${k_{{\rm{b}},{\text{eff}}}}$是与最大隔震层位移${u_{{\rm{b}},}}_{\max }$对应的割线刚度^[20]为：

其中，${\mu _{\max }} = u_{{\rm{b}},{\max }}/{x_y}$为最大延性。根据等效能量耗散原理^[19]，等效阻尼${c_{{\rm{b}},{\text{eff}}}}$计算式为：

线性化后式(10)的状态空间方程形式为：

式中：

1.3   模态分析

方程(14)中阻尼矩阵${{\boldsymbol{C}}_{{\text{eff}}}}$通常不可被无阻尼自由振动对应的实模态形状${{\bf\textit{φ}}_0}$解耦。因此系统的模态特性需借助复模态进行分析，其中特征值${s_i}$和模态向量${{\boldsymbol{\varPsi }}_i}$为：

式中：j为虚数单位；$n = r + s + 1$。

模态频率${\omega _i}$和阻尼比${\zeta _i}$分别为：

其中，Real(*) 是取*的实部。结构的复模态分析表明，在某一高阶(第m阶)将可能出现阻尼比大于1的过阻尼模态，尽管过阻尼模态对反应贡献不大^[21]，为分析方法理论的完备性，这里将过阻尼补充进来。对过阻尼模态，特征值${s_i},{s_{i + n}} = - {\zeta _i}{\omega _i} \pm {\omega _i}\sqrt {\zeta _i^2 - 1}$和模态向量均为实数，模态频率和阻尼比分别为：

需要指出的是，在实际工程中通常将${\bf\textit{φ}}_0^{\text{T}}{{\boldsymbol{C}}_{{\text{eff}}}}{{\bf\textit{φ}}_0}$的对角项忽略，这种采用实模态强制解耦分析的结构频率和阻尼比与复模态分析结果是有差别的。

1.4   复模态反应谱分析方法

考虑过阻尼模态，根据地震响应复模态叠加方法^[22-23]，式(14)中模态位移${\boldsymbol{q}}(t)$可以表示为：

其中，${{\boldsymbol{b}}_i} = {{\bf\textit{φ}}_i}{r_i}$，${r_i}$为矢量${\boldsymbol{r}} = {({\boldsymbol{A\varPsi }})^{ - 1}}{\boldsymbol{I}}$的第i个元素；${h_i}(t)$和${\dot h_i}(t)$分别为以下零初始条件的单自由度动力方程的位移和速度解：

进一步，通过上、下两部分结构的模态形状与模态位移，整体结构各楼层相对地面的位移矢量为：

式中，各系数向量${{{\overline {\boldsymbol{a}}}}_i}$和${{{\overline {\boldsymbol{c}}}}_i}$的推导结果在附录中给出。附录中还给出了楼层层间位移、层间剪力和楼层总加速度反应的复模态叠加公式，都具有相同的表达形式。

当系统的阻尼矩阵非经典特性较弱时，在式(23)中的速度项可以忽略，楼层位移为:

实际上式(24)是具有经典阻尼矩阵系统的实模态叠加方法(Real Mode Superposition, RMS)。

进一步，假设结构反应${h_i}(t)$和${\dot h_i}(t)$的峰值因子相同，楼层位移极值可以表示为模态位移极值${\left| {{h_i}(t)} \right|_{\max }} = {\left| {h(t,{\omega _i},{\zeta _i})} \right|_{\max }}$、速度极值${\left| {{{\dot h}_i}(t)} \right|_{\max }} = {\left| {\dot h(t,{\omega _i},{\zeta _i})} \right|_{\max }}$与其之间的相关系数$\rho _{ij}^{\rm{DD}}$、$\rho _{ij}^{\rm{DV}}$和$\rho _{ij}^{\rm{VV}}$的线性组合：

式中：${{{\overline {\boldsymbol{a}}}}_i}{{{\overline {\boldsymbol{a}}}}_j}$是两系数向量${{{\overline {\boldsymbol{a}}}}_i}$和${{{\overline {\boldsymbol{a}}}}_j}$对应元素相乘；${{{\overline {\boldsymbol{c}}}}_i}{{{\overline {\boldsymbol{a}}}}_j}$和${{{\overline {\boldsymbol{c}}}}_i}{{{\overline {\boldsymbol{c}}}}_j}$类似；在理想白噪声激励下$\rho _{ij}^{\rm{DD}}$、$\rho _{ij}^{\rm{DV}}$和$\rho _{ij}^{\rm{VV}}$的解析表达式^[17]为：

式中：$\lambda = {\omega _i}/{\omega _j}$是频率比。

实际上${\left| {h(t,\omega ,\zeta )} \right|_{\max }}$为相对位移反应谱，与规范中的D-V-A反应谱^[21]关系为：

当速度项贡献不占主导时，在频率范围内认为${| {\dot h(t,\omega ,\zeta )} |_{\max }} \approx V(\omega ,\zeta )$是合理的^[24]。因此，结构响应可以直接通过规范中的加速度反应谱计算：

当相邻模态频率稀疏时，模态响应间的相关性，以及同一模态的位移和速度间的相关性都可以忽略，更加简洁的表达^[25]为：

式(30)和式(31)是基于加速度反应谱的两种复模态极值组合方法，即复模态完全平方组合(Complex Complete Quadratic Combination, CCQC)与复模态平方和开平方根(Complex Square Root of the Sum of Squares, CSRSS)。

2   建筑模型和地震波

本节工程案例为1栋高125.9 m的某层间隔震建筑^[6]，下部结构和上部结构楼层数分别为$M = 11$和$N = 14$。建筑结构被简化为多质点模型，楼层质量和层间刚度如图2所示。下部结构和上部结构一阶频率分别为${f_{\rm{l1}}}$=0.95 Hz和${f_{{\rm{u}}1}}$=0.46 Hz。下部结构可以看作非隔震建筑，各阶模态阻尼比为2%；上部结构与隔震层可看作基底隔震结构，上部结构采用与刚度矩阵成比例的阻尼矩阵，其中一阶模态阻尼比${\zeta _{{\rm{u}}1}} = 2\%$。隔震层由41个叠层橡胶支座、14个钢阻尼器和100个铅阻尼器组成，橡胶支座和两种阻尼器的力学参数列于表1中。隔震层屈服力为25500 kN，初始刚度和二次刚度分别为2.80×10⁹ N/m和0.0829×10⁹ N/m，二次刚度比为2.96%。

图  2  楼层质量和刚度

Figure  2.  Floor mass and stiffness of example building

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表  1  隔震层参数

Table  1.  Mechanical parameters of isolation system

隔震单元		初始刚度/ (kN·mm-1)	二次刚度/ (kN·mm-1)	屈服力/ kN
叠层天然橡胶支座(41个)		80.7	−	−
阻尼器	钢阻尼(14个)	67.8	2.2	3500
	铅阻尼(100个)	2650	0	22000

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以我国规范中的Ⅲ类场地条件、设计分组为第3组(特征周期${T_{\rm{g}}}$=0.65 s)、设防烈度为7度 (地面加速度峰值为1 m/s²) 的地震反应谱为例^[26]，从太平洋地震研究中心数据库选取了与规范反应谱在平均意义上匹配的35条地震地面加速度记录时程。记录的地震波数据需要根据最大峰值加速度进行缩放。图3给出了规范目标反应谱与记录反应谱，可以看到35条地震波在平均意义上的反应谱与规范结果吻合。

图  3  加速度反应谱

Figure  3.  Spectral acceleration

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图3中的规范反应谱水平段的加速度为0.23g，对应地震影响系数最大值为${\alpha _{\max }}$=0.23。规范中设防烈度为6度、7度、7度半、8度、8度半、9度时，对应的${\alpha _{\max }}$分别为0.12、0.23、0.34、0.45、0.68和0.90，不考虑${T_{\rm{g}}}$随地震强度的变化，在后面的分析中将直接以7度地震为基础调整${\alpha _{\max }}$(调整范围0.1~1.0)来反映不同的地震强度。

3   结构地震反应

3.1   楼层反应

层间隔震建筑多质点模型在单向的地震激励下包含了M+N+1=26个自由度。LI等^[16]利用模态坐标下的运动方程提出了下部结构和上部结构合理自由度选择方法。本案例中选择的简化自由度模型为L3U4，即下部结构和上部结构自由度分别为$r$=3和$s$=4。当隔震层刚度为初始刚度或二次刚度时，该模型可以精确估计原结构的前4阶模态，且前4阶模态的累计参与质量比大于95%。

图4给出了原结构模型26DOFs和简化自由度模型L3U4在35条地震波(${\alpha _{\max }}$= 0.5)输入时的平均楼层响应最大值。可以看到，简化模型可以精确估计建筑的层间位移、楼层剪力，以及上部结构楼层加速度，然而简化模型低估了下部结构楼层，特别是靠近基础的楼层的加速度。这是因为简化模型L3U4对4阶以上的高阶模态的估计是不准确的，如果选择的简化模型有更多的下部结构自由度参与进来，下部结构楼层加速度将会被较好的估计。通过简化模型L3U4，利用等效线性化方法得到的沿楼层响应最大值也在图中给出。可以看到等效线性化对层间位移和剪力的估计是相当准确的；不可避免的是加速度响应总是被低估，比如下部结构和上部结构的顶部加速度分别被低估35%和15%。

图  4  楼层响应最大值(${\alpha _{\max }}$=0.5)

Figure  4.  Maximum responses along building story (${\alpha _{\max }}$=0.5)

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3.2   模态贡献与误差分析

利用简化模型L3U4，在35条地震波输入下(${\alpha _{\max }}$=0.5)，各阶模态对平均最大响应——包括下部结构顶部位移${D_{{\rm{l}}{\text{ top}}}}$、顶部加速度${A_{{\rm{l}}{\text{ top}}}}$和底部剪力${V_{{\rm{l}}{\text{ base}}}}$，上部结构顶部位移${D_{{\rm{u}}{\text{ top}}}}$、顶部加速度${A_{{\rm{u}}{\text{ top}}}}$和底部剪力${V_{{\rm{u}}{\text{ base}}}}$，以及隔震层位移${D_i}$——的累计贡献量随模态参与数的变化规律如图5所示。总体上，下部结构响应受高阶模态的影响较上部结构大；高阶模态对${A_{{\rm{l}}{\text{ top}}}}$和${A_{{\rm{u}}{\text{ top}}}}$的贡献是显著的，例如二阶模态对他们的贡献分别为36%和33%。考虑整体结构的前三阶模态可以精确地估计隔震层和上部结构反应，以及${D_{{\rm{l}}{\text{ top}}}}$和${V_{{\rm{l}}{\text{ base}}}}$。

图  5  各阶模态响应的累计贡献

Figure  5.  Cumulative contribution of modal responses

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为了解结构反应在复模态分析下的位移项贡献量，即在按式(23)计算时忽略速度项和考虑速度项的反应比值，图6总结了各反应的位移项贡献量在35条地震波输入时的平均结果。可以看到，基本上随地震强度增大，结构复模态特性增强；${D_{{\rm{l}}{\text{ top}}}}$和${V_{{\rm{l}}{\text{ base}}}}$受复模态速度项影响随${\alpha _{\max }}$增大而变大，而${A_{{\rm{l}}{\text{ top}}}}$随${\alpha _{\max }}$先增大后减小；复模态速度项对上部结构反应及${D_i}$贡献不大。根据式(31)，某个反应R的第i阶复模态的位移项的贡献量可近似表示为$1/\sqrt {{\text{1 + }}{{({\omega _i}{{\overline c}_{i,R}}{\text{/}}{{\overline a}_{i,R}})}^2}}$，其中${\overline c_{i,R}}{\text{/}}{\overline a_{i,R}}$为复模态速度项和位移项系数比。一般而言高阶模态的速度项贡献较低阶模态大，所以受高阶模态影响较大的下部结构反应(特别是${A_{{\rm{l}}{\text{ top}}}}$)的速度项将变得不可忽略。

图  6  复模态叠加中的位移相贡献

Figure  6.  Contribution of displacement term in complex modal superposition

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根据式(24)实模态强制解耦分析得到的结构反应与式(23)复模态解的平均误差百分比随地震强度变化如图7所示。可以看到，采用实模态强制解耦方法总体上会不同程度地低估上下部结构反应，加速度反应尤为明显，它可能会被平均低估20%~35%。实模态分析所造成的误差源于：1)不能准确估计的模态频率和阻尼比；2)复模态和实模态的模态形状本身的差异。这些因素在模态叠加式中表现为系数${{{\overline {\boldsymbol{a}}}}_i}$、${{{\overline {\boldsymbol{c}}}}_i}$和模态对应的单自由度反应${h_i}(t)$、${\dot h_i}(t)$的不同。随着地震强度增大，隔震层的等效参数变化不大，隔震层位移和上部结构反应的误差趋于不变。而${D_{{\rm{l}}{\text{ top}}}}$、${A_{{\rm{l}}{\text{ top}}}}$和${V_{{\rm{l}}{\text{ base}}}}$的误差先增大后缓慢减小。

图  7  实模态强制解耦分析造成的误差

Figure  7.  Error caused by forced decoupling approach

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3.3   基于复模态反应谱的动力响应

基于简化的自由度模型L3U4，分别利用式(30)与式(31)两种极值组合方法CCQC和CSRSS计算结构在35条地震波输入时结构响应的平均最大值如图8所示。利用式(23)复模态叠加方法(Complex Mode Superposition, CMS)的结果也在图中显示。可以看到，CCQC与CMS的结果吻合较好，不计线性化带来的不可避免误差时，CCQC可以较为准确的估计层间隔震建筑的结构反应。除了加速度反应${A_{{\rm{l}}{\text{ top}}}}$和${A_{{\rm{u}}{\text{ top}}}}$外，CSRSS与CCQC计算的响应结果差别不大。

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  8  结构响应

  8.  Structural responses

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4   结论

本文首先建立了层间隔震建筑在模态坐标下的非线性运动方程，基于等效线性化和模态叠加，给出了可预测层间隔震高层建筑地震响应的复模态反应谱分析方法。以某层间隔震建筑为工程案例，比较了非线性时域分析方法和等效线性化方法获得的楼层响应；研究了结构反应的高阶模态贡献和实模态分析方法造成的误差；进一步，评估了基于复模态反应谱的结构地震响应计算方法的有效性。主要结论总结如下：

(1) 等效线性化对层间位移和剪力的估计是相当准确的；加速度响应，尤其是下部结构的楼层加速度，总是被低估。

(2) 下部结构响应受高阶模态的影响较上部结构大；高阶模态对${A_{{\rm{l}}{\text{ top}}}}$和${A_{{\rm{u}}{\text{ top}}}}$的贡献是显著的，以本文中的工程案例而言，第二阶模态对他们的贡献分别为36%和33%。上部结构顶部位移和基底剪力，以及隔震层位移由一阶模态控制。

(3) 结构反应的复模态叠加式中，速度项对下部结构反应的贡献较大，特别是当地震强度较大时；而速度项对上部结构反应贡献可忽略。采用实模态强制解耦方法总体上会不同程度地低估上、下部结构反应，加速度反应尤为明显。

(4) 基于复模态反应谱的CCQC方法可以较为准确的估计层间隔震建筑结构的位移和剪力反应。除了加速度反应外，CSRSS与CCQC计算的响应结果差别不大。

附录： 楼层响应的复模态叠加方法

根据模态位移矢量 $\small {\boldsymbol{q}} = {[ {{q_{{\rm{l}}1}}, \cdots ,{q_{{\rm{l}}r}},{u_{\rm{b}}},{q_{{\rm{u}}1}}, \cdots ,{q_{{\rm{u}}s}}} ]^{\text{T}}}$与上下部结构的模态形状 $\small {{\boldsymbol{\varPhi }}_{\rm{l}}} = [ {{{\boldsymbol{\phi }}_{{\rm{l}}1}}}\;\;{{{\boldsymbol{\phi }}_{{\rm{l}}2}}}\;\; \cdots \;\;{{{\boldsymbol{\phi }}_{{\rm{l}}r}}} ]$ 和 $\small {{\boldsymbol{\varPhi }}_{\rm{u}}} = [ {{{\boldsymbol{\phi }}_{{\rm{u}}1}}}\;\;{{{\boldsymbol{\phi }}_{{\rm{u}}2}}}\;\; \cdots \;\;{{{\boldsymbol{\phi }}_{{\rm{u}}s}}} ]$，以地面为参考各部分结构的楼层位移通过下面式子表示。

1) 下部结构：

其中：$\small {\boldsymbol{a}}_i^{\rm{l}} = \displaystyle\sum\limits_{p = 1}^r {{{\boldsymbol{\phi }}_{{\rm{l}}p}}{a_{ip}}}$；$\small {\boldsymbol{c}}_i^{\rm{l}} = \displaystyle\sum\limits_{p = 1}^r {{{\boldsymbol{\phi }}_{{\rm{l}}p}}{c_{ip}}}$；$\small {a_{ip}}$和$\small {c_{ip}}$分别取$\small {{\boldsymbol{a}}_i}$和$\small {{\boldsymbol{c}}_i}$前r个元素构成的向量的第p个元素。

2) 隔震层：

其中：$\small a_i^{\rm{b}} = {a_{ib}} + \displaystyle\sum\limits_{p = 1}^r {{{\boldsymbol{\phi }}_{{\rm{l}}pM}}{a_{ip}}}$和$\small c_i^{\rm{b}} = {c_{ib}} + \displaystyle\sum\limits_{p = 1}^r {{{\boldsymbol{\phi }}_{{\rm{l}}pM}}{c_{ip}}}$；$\small {a_{ib}}$和$\small {c_{ib}}$分别为$\small {{\boldsymbol{a}}_i}$和$\small {{\boldsymbol{c}}_i}$的第r+1个元素。

3) 上部结构：

其中：$\small {\boldsymbol{a}}_i^{\rm{u}} = \left( {{a_{ib}} + \displaystyle\sum\limits_{p = 1}^r {{a_{ip}}} } \right){{\boldsymbol{r}}_N} + \displaystyle\sum\limits_{k = 1}^s {{{\boldsymbol{\phi }}_{{\rm{u}}k}}{a_{ik}}}$和$\small {\boldsymbol{c}}_i^{\rm{u}} = \left( {{c_{ib}} + \displaystyle\sum\limits_{p = 1}^r {{c_{ip}}} } \right){{\boldsymbol{r}}_N} + \displaystyle\sum\limits_{k = 1}^s {{{\boldsymbol{\phi }}_{{\rm{u}}k}}{c_{ik}}}$；$\small {a_{ik}}$和$\small {c_{ik}}$分别取$\small {{\boldsymbol{a}}_i}$和$\small {{\boldsymbol{c}}_i}$后s个元素构成的向量的第k个元素。

因此，整体结构楼层位移矢量为：$\small {{\boldsymbol{R}}_{\rm{Dis}}}(t) = \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^n {\left[ {{{{{\overline {\boldsymbol{a}}}}}_i}{h_i}(t) + {{{{\overline {\boldsymbol{c}}}}}_i}{{\dot h}_i}(t)} \right]}$，$\small {{{\overline {\boldsymbol{a}}}}_i} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\boldsymbol{a}}_i^{\rm{l}}} \\ {a_i^{\rm{b}}} \\ {{\boldsymbol{a}}_i^{\rm{u}}} \end{array}} \right]$，$\small {{{\overline {\boldsymbol{c}}}}_i} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\boldsymbol{c}}_i^{\rm{l}}} \\ {c_i^{\rm{b}}} \\ {{\boldsymbol{c}}_i^{\rm{u}}} \end{array}} \right]$。

根据楼层位移矢量，结构的层间位移、层间剪力分别表示为：

其中，转换矩阵：

另外，层间隔震结构在模态坐标系下的总加速度可表示为：

这里系数项：

与位移一样，很容易地将模态坐标系下的总加速度转换到物理坐标系中来。