随着我国高速铁路的迅速发展，高速动车组列车牵引电机的振动特性不仅关乎电机自身的平稳运行，也是确保牵引驱动装置甚至整列列车持续可靠运营的关键^[1-4]。当前，动车组牵引电机多采用鼠笼式三相异步电动机，具有结构简单、运行可靠、制造成本较低等优点^[1]。然而，作为一种典型的机电耦合系统，牵引电机振动情况复杂，特别是因材料不均匀、加工精度、安装误差以及使用中的偶然因素等导致定转子间气隙分布不均和转子质量偏心时，电机将产生不平衡磁拉力(Unbalanced Magnet Pull, UMP)和机械不平衡力等^{[2, 5]}。目前针对机械不平衡力下的电机转子动力学研究相对成熟^{[2, 4]}，而在气隙偏心引起的电机转子系统振动方面，国内外学者的研究则主要集中在大中型感应电机、汽轮发电机和永磁同步电机等，并取得诸多有益的研究成果^[5-8]。然而在高速铁路的推动下，动车组牵引电机气隙偏心故障也逐渐凸显，相应的不平衡磁拉力及其对电机转子振动特性的影响研究也显得越来越重要。

事实上，早在20世纪初，Smith等^[9]就对气隙偏心及其引起的不平衡磁拉力作了初步研究，此后，国内外学者在不平衡磁拉力的解析模型和有限元模型方面做了深入研究^[10-14]。在考虑不平衡磁拉力的电机转子动力学方面，郭丹等^[6,13]将气隙磁导展开成Fourier级数的形式，运用Maxwell应力积分方法，得到任意磁极对下三相同步电机空载时的不平衡磁拉力公式，并基于Jeffcott模型讨论了电机参数对偏心转子系统的振动特性的影响；岳二团等^[8]研究了永磁同步电机负载时的不平衡磁拉力表达，代入建立的电机转子系统弯扭耦合方程，讨论了不同偏心以及负载类型对转子系统振动特性的影响；徐学平等^[15]给出静动复合偏心下同步电机负载时的不平衡磁拉力积分表达式，并基于Jeffcott模型详细讨论了不平衡磁拉力和静载荷等作用下的转子系统振动特性。但目前在考虑气隙偏心故障的机车/动车牵引电机振动方面的研究成果尚未见诸报道。陈聚龙等^[16]采用ANSYS软件分析了某机车牵引电机的临界转速和不平衡响应；陈哲明等^[4]研究了考虑质量偏心和轴承非线性的某牵引电机轴承支反力特性；李帅^[17]采用试验方法评估了牵引电机输出轴前端面的振动噪声来源，认为主要由轴承振动、电磁振动以及转子机械不平衡和不对中等引起；吴顺海^[18]以及李永新等^[19]采用有限元方法分析了动车组牵引电机正常和断条等工况下的电磁场特性。可见已有研究主要从机械力或电磁场角度来分析动车组牵引电机。

为此，本文拟建立同时具有气隙偏心和质量偏心故障的牵引电机转子系统动力学模型，然后在给出一种电机不平衡磁拉力统一解析表达式基础上，以某型动车牵引电机为例，详细讨论初始静偏心、质量偏心、径向刚度和转子转速的变化对电机转子系统振动特性的影响规律，并与已有研究结果作对比以验证本文模型和方法的有效性。

1   牵引电机转子振动模型

1.1   牵引电机转子径向振动方程

当前，动车组牵引电机多采用鼠笼式三相异步电动机，结构示意如图1。当电机具有气隙偏心故障(即${\delta _{\min }} \ne {\delta _{\max }}$，$r > 0$)和质量偏心故障(即a >0) 时，由此产生的不平衡磁拉力和机械不平衡力将共同作用在电机转子系统上，进而诱发更为复杂的转子动力学行为。为了研究偏心故障下牵引电机的径向振动特性，这里基于Jeffcott模型将牵引电机转子系统进行离散化，如图2所示。

图  1  具有偏心故障的动车组牵引电机结构示意图

Figure  1.  Configuration of EMU traction motor with eccentric faults

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图  2  牵引电机转子系统的Jeffcott模型

Figure  2.  Jeffcott model of traction motor rotor system

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该模型包含一根无质量的弹性轴，其在跨中位置的刚度系数为k，弯曲阻尼系数为c。在弹性轴中央布置一个不计厚度的刚性薄圆盘，质量为m，偏心距为a。考虑不平衡磁拉力和由质量偏心引起的机械不平衡力作用，忽略转子重力影响，那么该牵引电机转子中心O₁的运动微分方程可写为：

式中，Ω为转频(即转子转速，单位Hz)，右端第一项为质量偏心引起的机械不平衡力，第二项为气隙偏心引起的不平衡磁拉力，用分量F_magx和F_magy表示，具体表达式见后面推导。

1.2   不平衡磁拉力的统一解析表达式

电机定转子气隙偏心故障如图3所示。其中外圆为定子内表面，内圆为转子外表面，两个表面之间为气隙空间。此时定转子间气隙长度δ沿圆周方向分布不均匀。图中O为定子中心，O₁为转子静止时无外力作用状态下的转子中心(即初始静偏心位置)，${O_1^\prime}$为转子运动时转子中心，r₀为初始静偏心大小，${\gamma _{\rm{0}}}$为初始静偏心方向角。设δ₀为无偏心时气隙长度，R为转子半径，点A和B分别是O₁和${O_1^\prime}$在定子水平向径上的投影点，并取O₁为转子中心位移的坐标原点，那么转子中心${O_1^\prime}$相对定子中心O的偏移量为：

式中，x、y为转子中心${O_1^\prime}$的径向振动位移。转子中心${O_1^\prime}$的方位角$\gamma$表示为：

在式(2)和式(3)中，当初始静偏心r₀ = 0时，气隙偏心故障仅由动态涡动位移(x, y)引起，此时称为动偏心；当r₀ > 0，$\left| {{{O_1'}}{O_1}} \right| > 0$时，定转子间同时存在静偏心和动偏心，此时称为静动复合偏心。

图  3  电机定转子的气隙偏心故障

Figure  3.  Air-gap eccentric fault of motor between stator and rotor

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设P和Q点是任意定子向径与实际转子外表面(实内圆)和无偏心转子外表面(虚内圆)的交点，且该向径与定子水平向径夹角为θ，那么定转子间气隙沿圆周方向任意角度θ处的气隙长度为：

由于r$\ll$R，故任意θ处的气隙长度可近似为：

根据θ处的气隙长度δ(θ, t)，可以得到该位置的气隙磁导Λ(θ, t)。为了便于计算，将气隙磁导表达为级数形式^[6]，即：

式中：ε为相对偏心量，ε = r/δ₀；μ₀为空气磁导系数。气隙磁导的傅里叶系数Λ_n为：

根据电机原理和异步电动机负载运行的相量图，可得定子与转子的气隙合成基波磁势：

式中：${F_1}$为定子绕组基波合成磁势幅值；${F_2}$为转子绕组基波合成磁势幅值；${F_0}$为定转子基波合成磁势幅值，${F_0} = \sqrt {F_1^2 + F_2^2 + 2{F_1}{F_2}\cos {\varphi _0}}$；${\varphi _0}$为定子超前转子磁势夹角；$\varphi$为定转子合成磁势的初始相位角，$\varphi = \arctan {{[{F_2}\sin {\varphi _0}} / {({F_1} + {F_2}\cos {\varphi _0})]}}$；$p$为磁极对数；$\omega$为供电角频率，$\omega = 2{\rm{\pi }}{f_{\rm{e}}}$，${f_{\rm{e}}}$/Hz为供电频率。

采用磁势乘磁导法，可得沿圆周方向任意角度θ角处的近似气隙磁密分布为：

一般情况下，气隙磁密的切向分量比法向分量小得多^[10,15]，故这里忽略气隙磁密的切向分量，只考虑气隙磁密的法向分量，并假设转子铁芯的磁导无限大。那么垂直于铁芯表面与空气边界的Maxwell应力可以表示为：

通过对转子铁芯表面的Maxwell应力进行积分，可以得到不平衡磁拉力的积分表达式：

式中，L为气隙的轴向长度。为了避免复杂的数值积分运算，这里在郭丹等^[6,13]给出的不平磁拉力表达式基础上推导出不同磁极对数时不平衡磁拉力的更一般表达式：

式中：

当仅考虑电机空载运行和动偏心工况时，式(12)~式(14)可退化为郭丹等^[6,13]给出的不平衡磁拉力公式；若极对数p = 3，则由式(12)~式(14)可直接得到岳二团等^[8]针对负载运行的永磁同步电机推导的不平衡磁拉力公式；若极对数较高(p > 3)且只考虑气隙磁导前两项，并忽略ε高阶项(高于3次方的项)时，则与徐进友等^[20]推得的公式保持一致。可见，式(12)~式(14)表达的不平衡磁拉力公式适用范围更广，可用于具有静动气隙偏心、空载或负载运行和任意磁极对数的电机不平衡磁拉力的表达，故本文将式(12)~式(14)称为不平衡磁拉力的统一解析表达式。

2   牵引电机转子振动特性分析

本节以某型动车组牵引电机为例，基于式(1)计算牵引电机转子的振动响应。该问题是二阶微分方程组的初值问题，故将其变换成一阶显式微分方程组，然后采用四阶定步长Runge-Kutta算法求解，得到转子振动的稳态响应。计算中采用的该型牵引电机转子系统模型参数如下：c = 300 N·s/m，k = 1.48×10⁸ N/m，m = 200 kg，R = 0.153 m，L = 0.295 m，δ₀ = 2×10⁻³ m，μ₀ = 4π×10⁻⁷ H/m，F₁ = 6523 A，F₂ = 5571 A，φ₀ = 2.90 rad，f_e = 140 Hz，p = 2。

2.1   初始静偏心的影响

当初始静偏心r₀ > 0时电机转子系统处于静动复合偏心工况。这里，设质量偏心距a = 0.1 mm，转频Ω = 69 Hz，并取初始静偏心沿x轴正向，分析不同静偏心量对电机转子振动响应的影响规律。

图4中点“○”代表定子中心O，点“*”代表静偏心位置(即由初始静偏心决定的转子中心位置)，亦即坐标原点O₁。当静偏心量为零时，如图4(a)所示，转子处于动偏心状态，轴心轨迹呈现圆形，圆心位于定子中心，此时静偏心位置O₁与定子中心O重合。当存在初始静偏心时，转子处于动静复合偏心，轴心轨迹呈现接近圆形的椭圆状，如图4(b)、图4(c)、图4(d)和图4(e)所示。其中，椭圆长轴位于静偏心方向上(即x轴方向)，轨迹中心偏离静偏心位置，并沿静偏心方向偏移，表现出了与文献[8]类似的规律，而且初始静偏心量越大，轨迹偏移距离s越大，并且椭圆的形状越“扁”(即椭圆长轴与短轴长度之比越大)，但整个轴心轨迹大小受静偏心量的影响很小，虽略有增加但可以认为基本不变。

图  4  不同静偏心量下转子轴心轨迹

Figure  4.  Rotor orbits for different static air-gap eccentricity

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图5为不同静偏心量下不平衡磁拉力分量F_magx和F_magy的时域波形。可以看到，在不同静偏心量下分量F_magy都在零附近波动，即其平均值F_magy0不随静偏心量改变，如图5(c)和图5(d)所示；而F_magx则在2000 N以上波动且其平均值F_magx0随静偏心量的增大而增大，如图5(a)和图5(b)所示，这主要是由静偏心方向位于x轴正向造成的。进一步，分析图5中各力分量的时域幅值数据可以发现不平衡磁拉力分量F_magx振幅比F_magy的振幅略大，这与轴心轨迹呈现椭圆状是相符的。这是因为由质量偏心引起的机械不平衡力不受静偏心大小影响，且其分量F_mx和F_my幅值相等(图5中虚线所示)，进而由两种外力共同作用下的转子位移响应就表现为x向幅值略大于y向幅值，从而使得轴心轨迹呈现接近圆形的椭圆状。

图  5  不同静偏心量下的不平衡磁拉力时域波形

Figure  5.  Time history of UMP for different static air-gap eccentricity

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图6为不同静偏心率(r₀/δ₀)下转子轴心位移频谱的三维瀑布图。可以看到在不同静偏心下位移频谱中较为明显地包含有零频分量(0 Hz)、固有频率分量(119 Hz)、转频分量(Ω = 69 Hz)、二倍转频分量(138 Hz)、二倍供电频率(2f_e = 280 Hz)及其与转频的组合分量(280−2Ω，280−Ω)等，但二倍供电频率及其与转频的组合在偏心率较小时表现并不明显或未出现，这说明增大静偏心量会使偏心对系统振动特性的影响增强，使得位移频谱中频率成分更加多样化(如119+Ω和280+Ω两个频率成分在静偏心量足够大时才开始显现)，这与文献[15]中规律类似。不过，相比文献[15]中p = 1的同步电机，本文中p = 2的动车牵引电机的频率成分相对略少，这与文献[13]中讨论的极对数影响规律相符。另外，从幅值大小上来看，在前述频率成分中除零频分量外，转频分量的幅值是最大的，比其它分量高出2个数量级以上。随着静偏心量增大，各频率分量幅值呈增大趋势，其中固有频率分量在增大过程中存在幅值波动，而转频分量的增大相对自身幅值来说则增加的很小，再加上转频分量远高于其他分量幅值，所以静偏心量增大引起的电机转子轴心轨迹大小的增加就很小，基本可以忽略，这与图4中观测到的轴心轨迹大小基本不变的现象相符。

图  6  不同静偏心率时转子的位移频谱

Figure  6.  Frequency spectrum of rotor displacement for different static air-gap eccentricity

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2.2   质量偏心的影响

取转子静偏心率r₀/δ₀=5%，静偏心沿x轴正向，转频Ω=69 Hz，分析静动复合偏心下不同质量偏心距a对转子径向振动和不平衡磁拉力的影响。

从图7和图8中可以看到随着质量偏心距增大，机械不平衡力幅值增大，从而转子的径向位移振幅(动偏心)增大，不平衡磁拉力也相应增大，使转子径向位移进一步增大，与文献[8]中规律相符。由于存在初始静偏心，使得轨迹中心偏离坐标原点，沿静偏心方向(即x轴正向)偏移，但从图7可以发现不同质量偏心距下的转子轴心轨迹保持“同心”状态，即轨迹中心不随质量偏心距变化而变化。事实上，轴心轨迹中心位置主要是由位移响应的平均值决定，而位移平均值又主要由外加作用力的平均值决定，从图8可以看到随着质量偏心距的改变，无论是不平衡磁拉力还是机械不平衡力，它们的平均值都保持不变，从而使得位移响应均值也保持不变，外在表现为轴心轨迹中心位置不受质量偏心距的影响。

图  7  不同质量偏心下的转子轴心轨迹

Figure  7.  Rotor orbits for different mass eccentricity

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图  8  不同质量偏心距下的不平衡磁拉力时域波形

Figure  8.  Time history of UMP for different mass eccentricity

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2.3   径向刚度的影响

取质量偏心距a = 0.1 mm，静偏心率r₀/δ₀ = 5%，静偏心沿x轴正向，转频Ω = 69 Hz，并以径向刚度k₀ = 1.48×10⁸ N/m为基准值，分析静动复合偏心下不同径向刚度k对转子系统振动的影响。

由图9和图10可知，随着转子径向刚度的增加，转子径向位移(即动偏心)逐渐减小，不平衡磁拉力幅值也相应减少，但机械不平衡力幅值不受影响。此外，x向不平衡磁拉力的平均值F_magx0以及轨迹偏移距离s也相应减小。通过精细的数据分析可以发现该工况下转子径向刚度系数k与轨迹偏移距离s之间存在近似的反比关系，比例系数近似为对应的不平衡磁拉力平均值F_magx0，即s ≈ F_magx0/k。不过该关系的适用前提是电机静偏心量保持不变。

图  9  不同径向刚度下的转子轴心轨迹

Figure  9.  Rotor orbits for different radial stiffness

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图  10  不同径向刚度条件下的不平衡磁拉力时域波形

Figure  10.  Time history of UMP for different radial stiffness

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由图11可知，在不同径向刚度条件下，转子轴心位移频谱主要包含零频分量、转频分量(69 Hz)、二倍转频分量(138 Hz)、二倍供电频分量(280 Hz)、二倍供电频与转频组合的分量(280−Ω，280−2Ω)、系统固有频率分量。其中，系统固有频率分量随刚度增大而增大。各频率分量中，除零频分量外，转频分量的振幅最大，比其他分量的振幅大2个数量级。随着刚度增加，零频分量和转频分量的幅值减小；而二倍转频分量、二倍供电频分量及其与转频分量组合的幅值都呈现出先减小，接着增大，再减小的变化趋势。这一现象主要是因为固有频率会随转子刚度的增大而增大，而当固有频率接近某个频率分量时，将会使系统发生共振，从而产生较大幅值分量，即在这个固有频率对应的径向刚度下会形成一个较大的峰值(共振点)，进而呈现出前述变化趋势。

图  11  不同径向刚度时转子的位移频谱

Figure  11.  Frequency spectrum of rotor displacement for different radial stiffness

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2.4   转子转速的影响

取质量偏心距a = 0.1 mm，静偏心率r₀/δ₀ = 5%，静偏心沿x轴正向，分析动静复合偏心下不同转速对转子的振动响应规律。

从图12中可以看到，当转速Ω = 10 Hz时，转子轴心轨迹很小，但放大后其轨迹线呈现明显的花瓣状(图12(b))。花瓣状轴心轨迹主要由不平衡磁拉力公式中与两倍电频有关的时间波动项引起的。从文献[6,13]中可知波动项系数在极对数增大时会变得很小，而该型牵引电机极对数为2且相关的项系数值(f_3c、f_3s、f_4c和f_4s)在本算例中很小，因而这里轴心轨迹的波动只在转速较低、径向振幅较小的条件下才显现了出来(即图12(b)，当Ω=30 Hz时)。当转速Ω = 30 Hz、50 Hz和69 Hz时，转子轴心轨迹花瓣状波动消失并呈现出接近圆形的椭圆状。随着转速升高，转子轴心轨迹大小非线性增大，且椭圆稍微变得更“扁”(即长轴与短轴之比增大)。不同转速下的转子轴心轨迹呈现“同心”状态，即轨迹中心不随转速变化。

图  12  不同转速下的转子轴心轨迹

Figure  12.  Rotor orbits for different rotor speeds

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进一步，由不同转速下转子的位移频谱(图13)可知，转子轴心位移包含零频分量、转频分量(Ω)、二倍转频(2Ω)、固有频率分量、以及二倍供电频率(280 Hz)及其与转频的组合分量(280−Ω、280−2Ω)。分析各分量幅值数据发现，除了零频分量、固有频率分量以及二倍供电频率分量外，其他分量的幅值均随转速非线性增加。此外，图13还可以看到，当二倍转频分量(2Ω)与固有频率分量重合时，系统发生了共振，出现共振峰值(共振点)。

图  13  不同转速下转子位移频谱

Figure  13.  Frequency spectrum of rotor displacement for different rotor speeds

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3   结论

本文以某型动车组牵引电机为研究对象，在考虑电机气隙偏心和质量偏心故障基础上，建立了不平衡磁拉力和机械不平衡力共同作用下的牵引电机转子Jeffcott模型，推导了适用性更广的电机不平衡磁拉力统一表达式，并详细分析了静偏心量、质量偏心距、径向刚度以及转子转速对该型牵引电机转子系统振动特性的影响规律，同时通过与已有研究结论作对比验证了本文模型、方法和结果的有效性和合理性。主要结果包括：

(1)在前人工作的基础上，给出了一种可适用于具有任意磁极对数、静动气隙偏心和空载或负载运行的电机不平衡磁拉力统一解析表达式。

(2)初始静偏心虽然使转子径向位移振幅增大，但增加幅度很小，可以认为基本不变，即初始静偏心对该型牵引电机的轴心轨迹大小基本不影响，但影响轴心轨迹的位置分布，使轨迹中心沿静偏心方向偏移；质量偏心距的增大会使转子径向位移振幅增大，但不影响轴心轨迹的位置分布；转子径向刚度同时影响径向位移振幅和轴心轨迹位置，径向刚度变小会增大振动幅值且使轨迹中心沿静偏心方向偏移；转子转速(转频)影响径向位移幅值，不影响轴心轨迹的位置。

(3)机械不平衡力随质量偏心距和转速的增加而增加，但与转子径向刚度和静偏心无关。不平衡磁拉力的振幅随质量偏心距和转速的增大而增大，但它们基本不影响不平衡磁拉力的平均值，而转子径向刚度和初始静偏心量却影响不平衡磁拉力的平均值，从而使转子轴心轨迹发生偏移，同时转子径向刚度还会影响不平衡磁拉力的振幅，随着刚度的增大振幅减小。这些因素对不平衡磁拉力和机械不平衡力的影响规律是前述(2)中所述转子振动响应变化规律的根本原因。

(4)在静动复合偏心下系统位移频谱中通常较为明显地包含零频、固有频率、转频(Ω)、二倍转频(2Ω)，二倍供电频率及其与转频的组合(2f_e, 2f_e−Ω, 2f_e−2Ω)等分量。在各个频率分量中，转频分量的振幅最大，并且明显高于其他频率振动分量的振幅，达两个数量级以上。当各频率分量与系统固有频率重合时就会引发系统共振，呈现共振峰值。