纤维增强复合材料因其优异的力学性能，近些年被广泛应用于航空航天、军工、汽车、土木建筑等重要领域^[1-2]。由于纤维增强复合材料不同组分之间固有的热学性能差异，复合材料部件自身固化成型工艺的限制和服役过程中环境、工况载荷的变化，使得该类材料结构中不可避免的会产生初应力。为实现纤维增强复合材料的出厂质量控制和结构健康监测，寻找一种可靠的无损检测方法至关重要。Lamb波因其传播距离长、检测快速、经济高效等优势被广泛认为是适用于纤维增强复合材料无损检测和结构健康监测的重要技术之一^[3-6]。因此，研究初应力效应对纤维增强复合材料中潜在Lamb波传播模态的影响具有十分重要的意义。

在利用Lamb波对各向异性复合材料进行无损检测和结构健康监测时，通常采用分布式传感器阵列通过多点多传播路径对材料中的缺陷进行定位和成像。对于Lamb波在各向同性材料中的传播问题，由于各Lamb波模态传播特征的各向一致性，往往不涉及“沿非主对称轴传播”的问题。周正干等^[7]推导了Lamb波在铝板中传播的理论模型，通过对铝板中Lamb波波结构的分析实现了薄铝板中缺陷的实验检测。张海燕等^[8]将拓扑成像用于各向同性板中盲孔缺陷的兰姆波检测，提出的成像方法对板类结构中非对称缺陷的Lamb波检测具有很强的适应能力。曹小杉等^[9]采用幂级数法研究了材料性能参数沿厚度方向连续变化的横观各向同性板中Lamb波的传播问题。王国锋等^[10]通过利用数值法对频散方程的求解，研究了圆管结构中纵向模态和周向Lamb波的频散曲线，对圆管中导波的传播机理及特征进行了分析。

但对于各向异性的纤维增强复合材料而言，Lamb波多沿其非主对称轴方向传播。Ng等^[11]采用三维有限元法对复合材料板中A₀模态的频散特性进行了分析。张海燕等^[12]通过建立各向异性界面层的弹簧模型，研究了不同界面条件对层状各向异性复合板中Lamb波频散特性以及位移分布的影响。徐春铃和王鑫伟^[13]采用谱有限元法，对复合材料板中对称模式与反对称模式下的Lamb波传播速度进行了求解，数值结果表明较好地模拟出Lamb波在复合材料板结构中的传播特性。何存富等^[14-15]关注沿非主对称轴方向传播的Lamb波，研究了单层与多层正交各向异性板中耦合Lamb波的传播特性。

考虑初应力的影响，“声弹”描述了弹性体中声波波速随初应力效应而改变的现象。Du等^[16]考虑在初应力作用下压电材料中Love波的传播问题，通过对Love波的相速度进行数值计算，分析了初应力对Love波相速度的影响，研究结果亦表明初应力作用对波的传播速度有重要影响。Navneet等^[17]发展了声弹Lamb波的理论，研究了双轴应力场作用下初应力效应对各向同性板中声弹Lamb波传播速度的影响。Yu和Zhang^[18]利用“增量变形力学”理论，研究在初应力作用下空心圆柱体中导波的传播特性，发现初应力对扭转波和纵向波的频散特性和波结构特性的影响不同。同时，Yu和Li^[19]研究了由Si₃N₄和Zinc构成的功能梯度板中类Lamb波和SH波的传播问题，发现重力效应的影响可以忽略不计。

本文以线性三维弹性理论和“增量变形力学”理论为基础，利用勒让德正交多项式展开法对单层单向纤维增强复合材料板中沿非主对称轴传播的声弹Lamb波展开研究。通过分别考虑水平和垂直方向初应力的作用，研究了纤维铺层方向的改变对Lamb频散特性的影响。最后，着重对声弹Lamb波的波结构特性进行了分析。

1   问题描述与基本方程

基于线性三维弹性体理论，图1所示为水平方向无限长，上下表面均为自由表面的纤维增强复合材料板，对于任意纤维铺层方向的复合材料，其本构关系可以看作单斜晶系材料予以表示。其中，O点是纤维增强复合材料板上表面任意一点，以此作为坐标原点，$({x}_{1}^{\prime}{\text{，}}{x}_{2}^{\prime}{\text{，}}{x}_{3}^{\prime})$是以材料晶轴方向建立的局部坐标系，$({x}_{1}{\text{，}}{x}_{2}{\text{，}}{x}_{3})$是把$({{x}}_{1}^{\prime}{\text{，}}{{x}}_{2}^{\prime}{\text{，}}{{x}}_{3}^{\prime})$坐标系绕$x_3'$轴顺时针旋转$\varphi$角度得到的全局坐标系，复合板厚度为h₀。Lamb波沿x₁轴方向传播。假定施加的水平初应力表示为S₁₁$=$$- P$，垂直初应力表示为S₃₃$= - Q$。

图  1  初应力作用下纤维增强复合板空间坐标示意图

Figure  1.  Schematic diagram of space coordinates for fiber reinforced composite plate under initial stress

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在全局坐标系(x₁，x₂，x₃)中，材料的弹性常数可以由局部坐标系($x_1'$，$x_2'$，$x_3'$)下的弹性常数根据式(1)导出：

式中，${\gamma _{ij}}$为两坐标系下坐标轴$x_i'$和x_j之间的方向余弦。

在O-x₁x₂x₃坐标系下，单斜晶系材料的本构方程可表示为：

在小变形假设下，应变-位移关系为：

在无重力的影响下，施加初应力的纤维增强复合板中控制波传播的方程为：

其中：

式(1)~式(5)中：T_ij和ε_ij分别代表应力和应变；u_i是位移量；C_IJ是介质弹性常数；ρ代表物质密度。除非另行说明，本文中所有小写下角标的取值为1，2，3，例如：i和j；而所有大写下角标的取值为1，2，···，6，例如：I和J。

考虑复合材料板的应力自由边界条件(即在x₃=0和x₃=h₀处，T₃₃=T₁₃=T₂₃=0)这里引入矩形窗函π(x₃)：

因为材料特性参数受到位置的约束，故材料弹性常数C_IJ、物质密度ρ、水平方向初应力S₁₁和垂直方向初应力S₃₃均可通过矩形窗函数表示为位置的函数，即：

对于纤维增强复合板，假定沿x₂方向无限长，则满足平面应变问题的条件，质点位移的自由谐波解可以表示为：

式中：U(x₃)、V(x₃)、W(x₃)代表质点位移在x₁、x₂、x₃方向上的振动幅度；k是波数；ω是角频率。

将式(2)、式(3)、式(5)~式(7)代入式(4)中，得到单层纤维增强复合板中Lamb波传播的波动方程为：

此时的Lamb波由准对称模态、准反对称模态和准SH模态三种模式耦合而成。为得到式(8a)、式(8b)和式(8c)控制的耦合波动方程的解，把质点在x₁、x₂、x₃方向上的振动幅度U(x₃)、V(x₃)和W(x₃)用勒让德正交多项式展开^[20]，即：

式中：$p_\alpha ^i$(i=1,2,3)是展开系数。

式中，P_α代表第α阶勒让德正交多项式，则Q_α形成了一组完备的正交归一的多项式组。就理论上而言，α取从0到无穷大值，但实际计算中α取一有限值α_Γ，更高阶的项认为是高阶小量，可以忽略不计。

在式(8a)、式(8b)和式(8c)两边同乘以$Q_\beta ^*({x_3})$，然后各式对x₃从0到h积分，利用勒让德正交多项式的正交性，可以得到3(α_Γ+1)个方程：

假定公式中的哑标适用爱因斯坦求和约定。${ A}_{ij}^{\beta ,\alpha }$和${ M}_\alpha ^\beta$是系数矩阵元素，α，β的取值均为从0~α_Γ范围内的正整数。要想使式(10)有非零解，则式(10)系数矩阵的行列式必须为零，即：

式(11)的频散方程可以化归为一个特征值问题，即：

式(12)为声弹Lamb波沿纤维增强复合板任意方向传播时的频散方程。随着α_Γ值的增加，其特征值亦会相应增加，该问题只取随着α_Γ值的增加，数值上趋于收敛的解。

2   数值算例

基于上述理论公式，利用Mathematica^®软件编写程序对纤维增强复合板中沿任意方向传播的声弹Lamb波的波动方程进行求解。为验证计算结果的正确性，首先将程序应用于无初应力的各向同性材料中，并与Disperse^®软件(全局矩阵法)的计算结果进行比较。然后以碳纤维增强复合材料T300/914单层板为例，计算了无初应力各向异性板的波结构应力曲线，验证了应力分布曲线的连续性及边界应力与初始条件的一致性。最后，分析了碳纤维增强复合材料T300/914单层板中初应力效应和纤维铺层方向改变时，对Lamb波频散特性和波结构特性的影响。

2.1   方法的验证

为了验证本文方法所编写程序的正确性，首先计算了无初应力作用时，各向同性铝板6061-T6中Lamb波的频散曲线。所采用铝板的厚度为1 mm，其它材料特性参数如下：密度ρ = 2700 kg/m³，弹性模量E=69 GPa，泊松比ν = 0.3。图2为本文方法所计算的铝板相速度频散曲线与Disperse^®软件计算结果对比图，其中实心圆点为本文计算结果，实线为Disperse^®计算结果。从图2可以看出，两种方法计算结果吻合良好。

图  2  本文方法所计算的铝板相速度频散曲线与Disperse^®软件计算结果对比图

Figure  2.  Comparison of phase velocity dispersion curves for aluminum plate by the authors’ program with available data calculated from Disperse^®

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进一步验证本文方法对单斜晶系材料的适用性，以单层单向碳纤维增强复合材料T300/914为例，图3计算了无初应力情况下纤维铺层方向0°时，Lamb波A₀模态在300 kHz频率下的应力波结构曲线，算例中材料的密度${\rho _f}$ = 1560 kg/m³，厚度${h_f}$ = 1 mm，弹性常数如表1所示^[15]。由图3可见，应力分布曲线呈现出较好的连续性，在上下表面处应力分量T₃₃、T₁₃、T₂₃均与应力自由边界条件一致。应力分量以T₁₁为主，说明Lamb波在传播过程中A₀模态能流主要沿x₁方向传播。

图  3  300 kHz频率下Lamb波A₀模态的应力波结构曲线

Figure  3.  Stress distributions of Lamb wave A₀ mode at 300 kHz

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表  1  碳纤维增强复合材料T300/914的弹性常数C_IJ

Table  1.  Elastic constants of carbon-fiber reinforced composites T300/914 /GPa

C11	C12	C13	C22	C23	C33	C44	C55	C66
143.8	6.2	6.2	13.3	6.5	13.3	3.6	5.7	5.7

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2.2   计算结果的收敛性

考虑到截止项α_Γ对本文算例精确性的影响，图4给出了碳纤维增强复合材料T300/914单层板在无初应力状态时，截止项α_Γ由3变化到7时各模态频散曲线的收敛情况。从图4中可以看出，当截止项α_Γ增大至5时，各模态的频散曲线漂移已基本趋于稳定。图5是S₀模态频散曲线收敛过程的放大图。由图5可见，随着截止项α_Γ由3到7变化，S₀模态频散曲线的收敛过程存在着“跳跃”现象，即当截止项α_Γ由3变化到5时，计算结果迅速收敛；而当截止项α_Γ由5变化到7时，计算结果的收敛速度则十分缓慢。这主要是因为渐进求解方法计算结果的精度受截止项舍断累计误差的影响，其收敛过程呈现非线性变化的特性，当截止项取值较小时，计算结果与理论真值之间误差较大。为保证本文所讨论频率范围内计算结果的精度，下文算例中均取截止项α_Γ = 7进行计算。

图  4  截止项α_Γ由3变化到7时各模态频散曲线的收敛

Figure  4.  Convergence of dispersion curves of all the modes with the change of cut-off term α_Γ from 3 to 7

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图  5  S₀模态频散曲线收敛过程的放大图

Figure  5.  Zoom-in graph of convergence process of the S₀ mode

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2.3   水平方向初应力效应

为研究水平方向上初应力对单层单向纤维增强复合板中沿任意(含非主对称轴)方向传播的耦合Lamb波的影响，图6计算了沿水平方向施加±1 GPa的初应力时，Lamb波沿0°方向传播的相速度频散曲线。符号“+”表示在水平方向施加压应力，符号“−”表示在水平方向施加拉应力。需要提及地是1 GPa的拉应力粗略地相当于该材料所能承受极限强度的30%。由图6中可以看出，对于低阶模态而言，低频段水平初应力对A₀模态有着更为显著的影响，SH₀模态其次，对S₀模态的影响最小。高频段、高阶模态的截止频率在压应力的影响下呈现增加趋势(向右漂移)，在拉应力的影响下呈现减少趋势(向左漂移)，压应力与拉应力对高阶模态截止频率的影响效果相反。

上文分析已表明：A₀模态在低频段受水平初应力的影响更为明显。鉴于A₀模态的易激发性和工程适用的潜在可能性，下文着重对A₀模态的波结构位移曲线在不同程度水平初应力作用时的变化情况进行分析。

图  6  ±1 GPa初应力作用下，单层单向纤维增强复合材料板中沿0°方向传播的Lamb波相速度频散曲线

Figure  6.  Phase velocity dispersion curves of Lamb waves propagating along 0° direction in fiber reinforced composite lamina under the initial stresses of ±1 GPa

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图7、图8和图9分别为纤维增强复合板在0 GPa、0.8 GPa和1.6 GPa水平初应力状态下，A₀模态在激励频率300 kHz时沿15°、45°和75°方向(即局部坐标系$x_1'$轴与全局坐标系x₁轴的夹角分别为15°、45°和75°)传播的位移分布曲线。由图7、图8和图9可以看出，在单层纤维增强复合材料板中，A₀模态的质点位移以平面的法向位移分量u₃为主，且u₃曲线关于板的中心平面呈对称特性，而u₁和u₂曲线则呈现出反对称特性。不同于各向同性板中A₀模态传播的情形，纤维增强复合材料板中A₀模态的质点位移包含了u₁、u₂和u₃三个分量，暗示出此时的A₀模态实际上为准Lamb波模态。

图  7  传播方向为15°时，频率300 kHz的A₀模态在不同水平初应力作用下的位移分布

Figure  7.  Displacement distributions of A₀ mode at 300 kHz along 15° propagation direction under different horizontal initial stresses

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图  8  传播方向为45°时，频率300 kHz的A₀模态在不同水平初应力作用下的位移分布

Figure  8.  Displacement distributions of A₀ mode at 300 kHz along 45° propagation direction under different horizontal initial stresses

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图  9  传播方向为75°时，频率300 kHz的A₀模态在不同水平初应力作用下的位移分布

Figure  9.  Displacement distributions of A₀ mode at 300 kHz along 75° propagation direction under different horizontal initial stresses

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进一步观察图7可以发现，水平方向初应力效应对u₂曲线的影响最为明显，u₁其次，对u₃曲线的影响最弱。总体而言，Lamb波A₀模态对水平初应力的影响更为敏感，但由于Lamb波沿非主轴方向传播时各模态耦合效应的存在，水平初应力主要通过影响u₂位移分量实现对A₀模态的调控。如图8所示，当Lamb波A₀模态的传播方向变为45°时，水平初应力的影响较15°时更加明显。对比图9和图7、图8则发现，随着传播方向角度超过45°逐渐增大到75°，位移波结构u₃曲线发生了明显的向下弯曲。同时，u₂位移曲线在靠近上下表面处的幅度逐渐减小，u₁位移曲线靠近上下表面处的幅度逐渐增大，表明此时耦合Lamb波的能量分布随着传播方向的改变而发生变化。考虑水平初应力的影响，当传播方向超过45°角时，水平初应力效应对波结构位移曲线的整体影响趋弱，该结果表明对于实际的无损检测和结构健康检测而言，水平初应力对沿不同方向传播的Lamb波存在不同程度的影响。

2.4   垂直方向初应力效应

本小节继续研究了垂直方向上初应力效应对单层单向纤维增强复合板中沿非主对称轴方向传播的耦合Lamb波的影响。如图10所示，分别计算了纤维增强复合板当在垂直方向受到±1 GPa初应力作用时的相速度频散曲线。由图10的计算结果可见，对于低阶模态而言，低频段垂直初应力依然对A₀模态有着最为明显的影响，对SH₀模态和S₀模态的影响较小。高频范围内对高阶模态的影响与图6的水平初应力效应相反。整体来看垂直初应力对高阶模态的影响较水平初应力更大，表现为高频段频散曲线的漂移程度更大。此外，压应力与拉应力的影响效果也完全相反。

图  10  ±1 GPa垂直初应力作用下，单层单向纤维增强复合材料板中沿0°方向传播的Lamb波相速度频散曲线

Figure  10.  Phase velocity dispersion curves of Lamb waves propagating along 0° direction in fiber reinforced composite lamina under the vertical initial stresses of ±1 GPa

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同样地，针对垂直方向初应力效应，图11、图12和图13着重对A₀模态在300 kHz频率下，沿不同方向传播时在不同程度垂直初应力状态下的波结构位移分布变化情况进行分析。由三幅图的结果可见，当Lamb波A₀模态分别沿15°、45°和75°方向传播时，随着垂直初应力由0 GPa向0.8 GPa和1.6 GPa变化，垂直初应力效应对A₀模态整体波结构位移分布曲线的影响有限，其变化量较水平初应力的影响要小。相较于垂直初应力的影响，纤维铺层方向的改变更能引起Lamb波A₀模态位移波结构曲线的改变，即此时Lamb波A₀模态波结构的变化主要由Lamb波传播方向的改变引起，而非垂直初应力的影响。相比较而言，当Lamb波沿45°方向传播时，垂直初应力效应对u₁和u₂的影响最为明显，表明垂直初应力效应依然是通过耦合效应凭借影响u₁和u₂位移分量的大小，实现对A₀模态沿板厚方向上的能量调控。

图  11  传播方向为15°时，频率300 kHz的A₀模态在不同垂直初应力作用下的位移分布

Figure  11.  Displacement distributions of A₀ mode at 300 kHz along 15° propagation direction under different vertical initial stresses

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图  12  传播方向为45°时，频率300 kHz的A₀模态在不同垂直初应力作用下的位移分布

Figure  12.  Displacement distributions of A₀ mode at 300 kHz along 45° propagation direction under different vertical initial stresses

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图  13  传播方向为75°时，频率300 kHz的A₀模态在不同垂直初应力作用下的位移分布

Figure  13.  Displacement distributions of A₀ mode at 300 kHz along 75° propagation direction under different vertical initial stresses

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3   结论

采用勒让德正交多项式展开法，研究了水平和垂直方向上施加初应力时，沿纤维增强复合板非主对称轴方向传播的声弹Lamb波。通过本文的研究发现，利用勒让德正交多项式展开法的正交特性，可以把声弹Lamb波耦合波动方程的求解问题方便地转化为特征值问题，合理的截止项取值使得对求解过程获得了很快的收敛解。对于单层单向纤维增强复合板来说，在水平方向施加压应力与拉应力的影响效果相反，但水平方向的拉应力与垂直方向压应力的影响效果基本相同。对于低阶的Lamb波A₀模态而言，初应力效应主要通过耦合效应影响波结构位移分量的大小来实现Lamb波传播能量的调控。相较于纤维铺层方向的改变，即Lamb波传播方向的变化，Lamb波高阶模态的截止频率对初应力效应有着更为敏感的变化。对于纤维增强复合板来讲，初应力效应对沿不同方向传播的Lamb波模态亦有着不同程度的影响。因此，在无损检测和结构健康监测中，应妥善考虑Lamb波接收角度和初应力效应的影响，相关结论亦可进一步用于传感器监测网络的布局优化。