材料在实际服役过程中常常受到循环荷载的影响，因而极易面临疲劳失效的风险，极有可能会进一步导致结构失效^[1-2]。逐渐发展起来的疲劳寿命分析方法通过预测材料的疲劳状态来强化结构的安全性服役，避免事故以及灾难^[3]。

材料的疲劳寿命分析可以通过分析疲劳损伤累积量实现，疲劳损伤累积是材料在循环荷载作用下其性能不断劣化的过程^[4]，这个过程实际是加载应力与疲劳累积相互作用的非线性行为。疲劳损伤累积分析的基础是疲劳损伤累积准则，迄今为止，已有诸多基于不同疲劳损伤累积理论提出的疲劳损伤累积准则，这些准则可以分为线性与非线性两大类^[5-6]。基于线性损伤累积理论建立的Palmgren-Miner准则^[7]认为材料在各级应力下的疲劳损伤是独立的，因而总损伤可线性累加。该准则因其极简的形式和通俗易懂的原理获得广泛应用^[8]。但是材料在各级应力下的损伤实际上并非独立的，而是连续且相互影响的，这也导致使用Miner模型分析材料损伤累积的结果精度较差，尤其是处理变幅荷载作用时^[9]。为此，基于物理性能退化^[10-11]、损伤曲线^[12]、连续损伤力学^[13]以及能量法^[14]等理论提出的非线性损伤累积准则被提出以适用材料损伤累积非线性分析。Manson-Halford^[15]准则即是基于损伤曲线理论、根据Marco-Starkey模型^[16]给出的一种基于经验公式的有效裂纹扩展模型，后文简称为M-H模型。M-H模型可以处理多级疲劳荷载下的疲劳损伤累积分析问题，因其参数少且易获取而获得广泛应用。薛齐文等^[17]采用M-H模型成功分析了焊接接头的疲劳特性，并与Miner模型结果进行对比分析，表明M-H模型可用于工程设计。高会英^[18]利用M-H模型预测了二级和多级荷载作用下构件的疲劳寿命。

一般而言，多级变幅疲劳中，加载次序对疲劳损伤累积的影响主要体现于两方面：加载序列自身以及已有荷载对后续疲劳损伤累积模型的影响^[19]。值得指出的是，传统的M-H模型尽管可以考虑变幅加载序列，但不能考虑已有荷载对后续疲劳损伤累积模型的影响。为此，众多研究者在假定已有荷载仅影响下一级荷载的疲劳损伤累积模型中的寿命比特征指数的前提下，建议了多种考虑加载次序影响的寿命比特征指数修正形式，进而提出了相应的改进M-H模型。GAO等^[19]通过引入前后荷载比的最小值修正寿命比特征指数考虑加载次序的影响，通过两级荷载试验数据对比，预测值相较传统模型有更好的吻合度；YUE等^[20]通过引入等效应力来修正寿命比特征指数，并通过TC11合金、Ti-6Al-4 V合金以及 DZ22合金验证了所提模型的适用性；HAGHGOUEI等^[21]引入前后荷载加载水平修正寿命比特征指数，并通过预测变幅荷载作用下岩石的疲劳寿命，验证了所提模型的合理性；GAO等^[22]通过引入前后荷载幅值比修改寿命比特征指数考虑加载次序的影响，并通过实验数据验证了模型具有较好的精度。

上述改进模型通过修改M-H模型中特有的寿命比特征指数考虑加载次序的影响，因此仅适用于M-H模型。为此，文中建议一种更具有推广性的等效循环比考虑加载次序的影响，并以此为基础提出了一种新的改进M-H模型。

1   M-H模型及其改进

1.1   传统M-H模型

MANSON和HALFORD^[15]在Marco-Starkey模型^[16]的基础上，根据疲劳损伤等效以及有效裂纹扩展长度提出的常幅疲劳损伤累积模型如下：

式中：DS为疲劳损伤累积值；a₀为初始裂纹长度；n为应力幅S的循环数；N为S对应的最大循环数。假设疲劳荷载停止后，疲劳损伤不再增长，若在此基础上继续施加新的疲劳荷载，疲劳损伤将在原有疲劳损伤的基础上继续增长。换言之，前一应力循环末时刻的疲劳损伤等于后一应力循环初始时刻的损伤。前一应力循环累积的损伤可以认为是在下一应力循环下按照该应力幅损伤累积规律，经过一定数量的循环(记为等效循环n_Seq)后累积的损伤。

以两级加载情况为例，如图1所示，损伤的累积按照OABC发展，材料经过$n_{S_1}$次循环后产生的损伤记为D₁，随后转换为S₂对应的等效循环数(记为$n_{{S_2},{\rm{eq}}}$)计入下一循环损伤累积过程。此时S₂应力对应的循环数为$n_{{S_2},{\rm{eq}}} + n_{S_2}$，代入S₂应力对应的损伤累积曲线DS₂，可得两级荷载作用后的损伤为D₂。

图  1  两级荷载作用下疲劳损伤累积过程

Figure  1.  Fatigue damage accumulation process under two-level load

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根据上述的疲劳损伤累积过程，以M-H模型为基础，假设有k级变幅荷载作用，已知每个应力对应的循环数$n_{S_i}$的疲劳寿命$N_{S_i}$，且假设材料在初始状态下裂纹长度a₀=0^[23]，经过k级荷载作用后，材料累积的损伤为：

式中，α_k−1,k=($N_{S_{k-1}}/N_{S_k}$)^0.4为寿命比特征指数。

如果经过k级作用后，材料损伤达到1后破坏，则式(2)可改写为：

式(3)即为多级荷载作用且不考虑初始裂纹影响的材料疲劳损伤累积至材料破坏的M-H模型^[14]，当不考虑寿命比特征指数时，M-H模型退化为Miner模型。

1.2   已有改进M-H模型

若仅以寿命比特征指数考虑加载次序的影响，则将式(3)中的寿命比特征指数α_k−1,k代之以考虑加载次序影响的修正寿命比特征指数$\overline \alpha_{k-1,k}$，即可得到改进M-H模型的疲劳破坏准则为：

1)文献[19]的模型

GAO等通过引入前后荷载比的最小值min{σ_k−1/σ_k , σ_k/σ_k−1}修正寿命比特征指数，即：

2)文献[20]的模型

YUE等通过引入等效应力β_k=S_k/(S_k−1+S_k/2)修正寿命比特征指数，即：

3)文献[21]的模型

HAGHGOUEI等修正寿命比特征指数为：

4)文献[22]的模型

GAO等通过引入前后荷载幅值比修正寿命比特征指数，即：

值得指出的是，仅以寿命比特征指数考虑加载次序的影响，只适用于具有寿命比特征指数的M-H模型，对于其他模型的修正很难提供借鉴。

2   考虑加载次序影响的改进M-H模型

2.1   基于等效循环比的改进M-H模型

1)改进M-H模型的一般形式

假设已作用的疲劳荷载对后续疲劳损伤累积模型的影响通过循环比等效的方式体现，即：考虑加载次序影响后，后续荷载历程的疲劳损伤分析时，将传统循环比$n_{S_i}/N_{S_i}$代之以等效循环比($n_{S_i}/N_{S_i}$)_eq，于是第k级荷载S_k作用下的疲劳损伤累积模型为：

仍假设a₀=0，仿照式(2)的推导过程，第一级常幅荷载作用$n_{S_1}$次后，累积疲劳损伤为：

则D₁对应S₂的等效循环数$n_{{S_2},{\rm{eq}}}$可求如式(11)：

对于给定的($n_{S_2}/N_{S_2}$)_eq的表达式，由式(11)可求解出$n_{{S_2},{\rm{eq}}}$，于是可求D₂如下：

依此类推，可以求当第k级荷载作用时，D_k−1对应S_k的等效循环数$n_{{S_k},{\rm{eq}}}$，按照式(12)的方式，则D_k可求如下：

式(13)即为引入等效循环比考虑加载次序影响后多级变幅荷载作用下疲劳损伤累积模型的一般形式。

2)建议的改进M-H模型

尽管已有荷载对后续的疲劳损伤累积模型往往都有影响，但通常仅考虑对相邻的下一级荷载疲劳损伤累积模型的影响；由于应力幅是疲劳损伤的主要影响因素，因此考虑加载次序影响的已有改进M-H模型中，大多经验性地引入相邻两应力幅的某一函数^{[19-20, 22]}体现已有荷载对下一级荷载疲劳损伤累积模型的影响。本文沿袭上述改进方式，结合前述的等效循环比，引入考虑相邻应力幅的经验表达式来体现已有疲劳荷载对相邻的下一级疲劳荷载的循环比的影响，即：

按照式(14)的推导过程，可以给出多级变幅荷载作用下本文建议的疲劳损伤累积模型以及破坏准则(D=1)分别如式(15)与式(16)所示。

值得指出的是，循环比不仅在M-H模型中存在，诸多疲劳损伤累积模型中均有使用^{[16, 24-25]}，因此通过等效循环比考虑已有荷载对后续荷载历程下疲劳损伤累积影响的处理方式，为在不同模型中考虑加载次序的影响提供了可能的借鉴。

2.2   两级变幅加载时建议模型的合理性验证

大量的疲劳试验结果表明^[26-30]，多级加载条件下，材料的损伤在高-低加载下直至破坏，材料累积损伤值小于1，在低-高加载下直至破坏，累积损伤大于1。以两级荷载为例，本文的改进疲劳损伤破坏模型如下：

当高-低加载时，S₁>S₂，${N_{{S_1}}} < {N_{{S_2}}}$，且ln⁴(S₂)/ln⁴(S₁)<1，${N_{{S_1}}} /{N_{{S_2}}}$<1，α_1,2=(${N_{{S_1}}} /{N_{{S_2}}}$)^0.4<1，则高-低加载下，疲劳损伤累积量为：

同样，低-高加载条件下，S₁<S₂，${N_{{S_1}}} >{N_{{S_2}}}$。同时ln⁴(S₂)/ln⁴(S₁)>1，${N_{{S_1}}} /{N_{{S_2}}}$>1，α_1,2=(${N_{{S_1}}} /{N_{{S_2}}}$)^0.4>1，则低-高加载条件下改进模型损伤累积破坏模型可写为：

式(18)、式(19)表明，本文建议的改进M-H模型符合疲劳试验现象。

3   模型验证与对比分析

为了验证建议的改进模型的预测精度，结合动车铝合金^[26]、AL-2024-T42铝合金^[27]、Q235B^[22]、41Cr4合金^[22]等各级变幅疲劳试验数据，将建议的改进M-H模型与传统的M-H模型以及已有的改进M-H模型(即文献[19]、文献[20]、文献[21]、文献[22]的模型)进行对比。各模型对应破坏准则确定的最后一级荷载的循环比为($n_{S_k}/N_{S_k}$)_P，称为预测循环比。以传统M-H模型为例，若最终在第k级荷载下破坏，则预测循环比为：

将各模型的预测循环比与试验循环比($n_{S_k}/N_{S_k}$)_T的相对误差作为精度的评价标准。

3.1   两级加载

1)动车铝合金焊接节点

动车铝合金焊接节点^[26]两级应力疲劳试验中，节点有两种连接类型：对接焊缝与角接焊缝，每种连接方式对应四组数据，一共八组数据。针对各试验工况，各模型的预测循环比与试验循环比的对比结果示于表1，其中加载条件指变幅应力的加载顺序。

由表1可知：建议模型对于7种工况的预测误差小于10%，其中5种工况小于5%，具有较好的预测精度和适用性；相对而言，Miner模型的预测误差基本都大于10%；传统M-H模型的预测误差中有6种小于10%、且3种小于5%；文献[19]、文献[20]模型的预测误差中有4种~5种超过10%，其中文献[20]模型是针对高低周组合疲劳的，对于纯高周疲劳的预测不很理想；文献[21]模型由于是针对岩石材料的，对于金属材料的预测误差均超过20%；文献[22]模型的预测误差中有6种小于10%、且5种小于5%。总体而言，对于此8组疲劳试验，建议模型具有最优的精度，文献[22]模型次之，传统M-H模型尽管未考虑加载次序对后续疲劳损伤累积模型影响，但亦有较好的精度。

表  1  动车铝合金焊接节点的疲劳寿命评估

Table  1.  Fatigue life evaluation of aluminum alloy welded joints of bullet train

节点类型	加载条件/MPa	试验数据		Miner模型		M-H模型		文献[19]模型		文献[20]模型		文献[21]模型		文献[22]模型		建议模型
				预测结果与误差/(%)
		$n_{S_1}/N_{S_1}$	$n_{S_2}/N_{S_2}$	$n_{S_2}/N_{S_2}$	误差	$n_{S_2}/N_{S_2}$	误差	$n_{S_2}/N_{S_2}$	误差	$n_{S_2}/N_{S_2}$	误差	$n_{S_2}/N_{S_2}$	误差	$n_{S_2}/N_{S_2}$	误差	$n_{S_2}/N_{S_2}$	误差
对接焊缝	104→74	0.200	0.518	0.800	54.44	0.656	26.64	0.698	34.75	0.726	40.15	0.413	20.27	0.532	2.70	0.544	5.02
	89→74	0.200	0.668	0.800	19.76	0.724	8.38	0.737	10.33	0.756	13.17	0.474	29.04	0.657	1.65	0.663	0.75
	74→89	0.500	0.620	0.500	19.35	0.580	6.45	0.566	8.71	0.560	9.68	0.352	43.23	0.648	4.52	0.641	3.39
	74→104	0.500	0.763	0.500	34.47	0.649	14.94	0.608	20.31	0.623	18.35	0.408	46.53	0.770	0.92	0.758	0.66
对接焊缝	93→73	0.500	0.380	0.500	31.58	0.382	0.53	0.406	6.84	0.431	13.42	0.214	43.68	0.314	17.37	0.320	15.79
	83→73	0.500	0.441	0.500	13.38	0.435	1.36	0.443	0.45	0.460	4.31	0.248	43.76	0.395	10.43	0.398	9.75
	73→83	0.329	0.744	0.671	9.81	0.741	0.40	0.732	1.61	0.722	2.96	0.491	34.01	0.785	5.51	0.781	4.97
	73→93	0.688	0.688	0.500	27.33	0.632	8.14	0.603	12.35	0.602	12.50	0.393	42.88	0.720	4.65	0.712	3.49

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2) AL-2024-T42合金

AL-2024-T42合金^[27]两级应力疲劳试验中，一共有两种加载条件，200 MPa~150 MPa高-低加载以及150 MPa~200 MPa低-高加载，每种加载条件同一级荷载的循环比，从0.4递增到0.8。

各模型的预测循环比与试验循环比的对比结果示于表2，结果表明：6种工况中，建议模型有5组预测误差小于10%、4种小于5%；Miner模型的误差均超过15%以上；传统M-H模型的误差中有4种小于10%，但均大于5%；文献[19]、文献[20]、文献[21]模型的预测误差大多数超过10%；文献[22]模型的误差中有5种预测误差小于10%、3种小于5%。总体而言，对于此6组疲劳试验，建议模型具有最优的精度，文献[22]模型次之，传统M-H模型再次之。

表  2  AL-2024-T24合金的疲劳寿命评估

Table  2.  Fatigue life evaluation of AL-2024-T24 alloy

加载条件/MPa	试验数据		Miner模型		M-H模型		文献[19]模型		文献[20]模型		文献[21]模型		文献[22]模型		建议模型
			预测结果与误差/(%)
	$n_{S_1}/N_{S_1}$	$n_{S_2}/N_{S_2}$	$n_{S_2}/N_{S_2}$	误差	$n_{S_2}/N_{S_2}$	误差	$n_{S_2}/N_{S_2}$	误差	$n_{S_2}/N_{S_2}$	误差	$n_{S_2}/N_{S_2}$	误差	$n_{S_2}/N_{S_2}$	误差	$n_{S_2}/N_{S_2}$	误差
200→150	0.200	0.603	0.8	32.67	0.652	8.13	0.691	14.59	0.722	19.73	0.410	32.01	0.547	9.29	0.570	5.47
200→150	0.400	0.267	0.6	124.72	0.459	71.91	0.487	82.40	0.517	93.63	0.260	2.62	0.363	35.96	0.382	43.07
200→150	0.600	0.232	0.4	72.41	0.285	22.84	0.311	34.05	0.334	43.97	0.154	33.62	0.222	4.31	0.235	1.29
150→200	0.200	0.980	0.8	18.37	0.914	6.73	0.890	9.18	0.895	8.67	0.707	27.86	0.962	1.84	0.953	2.76
150→200	0.400	0.820	0.6	26.83	0.752	8.29	0.715	12.80	0.723	11.83	0.503	38.66	0.845	3.05	0.831	1.34
150→200	0.600	0.593	0.4	32.55	0.541	8.77	0.504	15.01	0.511	13.83	0.322	45.70	0.646	8.94	0.622	4.89

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3.2   三级加载

Q235B节点三级应力疲劳试验^[22]中，一共有三种加载模式，均为低-高加载；加载条件中S_i为每一级荷载的应力幅值。 对比结果如表3所示，结果表明：模式1与模式3两种加载条件下，建议模型的预测误差在31%以下，分别为30.03%、25.84%，文献[22]的预测误差略高于建议模型，传统M-H模型、Miner模型、文献[19]模型、文献[20]模型均在34%~54%，文献[21]误差均在100%左右；模式3的加载条件下，建议模型的误差为96.39%，文献[22]的预测误差略高于建议模型，其余模型误差均达到了100%。 总体而言，对于此3组疲劳试验，建议模型具有最优的精度，文献[22]次之，其余模型精度低于建议模型(预测循环比为0代表在所选模型上预测结果为负值，即认为上一级应力下材料已经破坏)。

表  3  Q235B节点的疲劳寿命评估

Table  3.  Fatigue life evaluation of Q235B joints

加载模式	加载条件/MPa	试验数据		Miner模型		M-H模型		文献[19]模型		文献[20]模型		文献[21]模型		文献[22]模型		建议模型
				预测结果与误差/(%)
		$n_{S_i}$	$n_{S_i}/N_{S_i}$	$n_{S_3}/N_{S_3}$	误差	$n_{S_3}/N_{S_3}$	误差	$n_{S_3}/N_{S_3}$	误差	$n_{S_3}/N_{S_3}$	误差	$n_{S_3}/N_{S_3}$	误差	$n_{S_3}/N_{S_3}$	误差	$n_{S_3}/N_{S_3}$	误差
模式1	S1=38.0	400000	0.371	0.167	52.69	0.214	39.38	0.211	40.23	0.198	43.91	${0.000}^{a}$	100.00	0.244	30.88	0.247	30.03
	S2=40.0	400000	0.463
	S3=42.0	247500	0.353
模式2	S1=40.0	400000	0.463	${0.000}^{a}$	100.00	${0.000}^{a}$	100.00	${0.000}^{a}$	100.00	${0.000}^{a}$	100.00	${0.000}^{a}$	100.00	0.016	96.68	0.017	96.47
	S2=42.0	400000	0.571
	S3=44.0	276300	0.482
模式3	S1=23.3	129700	0.136	0.179	49.72	0.233	34.55	0.229	35.67	0.217	39.04	0.002	99.44	0.258	27.53	0.264	25.84
	S2=25.1	443500	0.684
	S3=26.0	192400	0.356
注：a预测循环比为0代表在所选模型上预测结果为负值，即认为上一级应力下材料已经破坏。

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3.3   四级加载

Q235B节点四级应力疲劳试验^[22]中，一共有两种加载模式，均为低-高加载。各模型预测循环比对比结果如表4所示，结果表明：建议模型的预测误差分别为61.3%、17.67%；文献[22]模型预测误差分别为64.29%、32.73%；传统M-H模型、Miner模型、文献[19]、文献[20]、文献[21]预测误差均在63%以上。总体而言，建议模型具有最优的精度，文献[22]模型次之，其余模型精度均低于建议模型。

表  4  Q235B 节点的疲劳寿命评估

Table  4.  Fatigue life evaluation of Q235B joints

加载模式	加载条件/MPa	试验数据		Miner模型		M-H模型		文献[19]模型		文献[20]模型		文献[21]模型		文献[22]模型		建议模型
				预测结果与误差/(%)
		$n_{S_i}$	$n_{S_i}/N_{S_i}$	$n_{S_4}/N_{S_4}$	误差	$n_{S_4}/N_{S_4}$	误差	$n_{S_4}/N_{S_4}$	误差	$n_{S_4}/N_{S_4}$	误差	$n_{S_4}/N_{S_4}$	误差	$n_{S_4}/N_{S_4}$	误差	$n_{S_4}/N_{S_4}$	误差
模式1	S1=20.60	496000	0.276	0.027	93.57	0.108	74.29	0.089	78.81	0.084	80.00	${0.000}^{a}$	100.00	0.150	64.29	0.163	61.19
	S2=21.50	503000	0.349
	S3=22.40	406000	0.348
	S4=23.30	399400	0.420
模式2	S1=28.95	400000	0.273	${0.000}^{a}$	$100.00$	0.044	63.93	0.037	69.67	0.024	80.33	${0.000}^{a}$	100.00	0.082	32.79	0.100	18.03
	S2=30.48	400000	0.336
	S3=32.00	400000	0.409
	S4=35.05	82400	0.122
注：a预测循环比为0代表在所选模型上预测结果为负值，即认为上一级应力下材料已经破坏。

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3.4   五级加载

41Cr4合金的五级荷载疲劳试验^[22]中，加载方式为高-低加载，各预测结果如表5所示，结果表明：建议模型的预测误差仅为0.389%，与试验结果吻合较好；文献[22]模型预测误差为9.49%；传统M-H模型误差为24.9%；Miner模型，文献[19]模型、文献[20]模型、文献[21]模型预测误差均在40%以上。总而言之，建议模型具有最优的精度，文献[22]模型次之，传统M-H模型再次之。

表  5  41Cr4合金的疲劳寿命评估

Table  5.  Fatigue life evaluation of 41Cr4 alloy

加载模式	加载条件/MPa	试验数据		Miner模型		M-H模型		文献[19]模型		文献[20]模型		文献[21]模型		文献[22]模型		建议模型
				预测结果与误差/(%)
		$n_{S_i}$	$n_{S_i}/N_{S_i}$	$n_{S_5}/N_{S_5}$	误差	$n_{S_5}/N_{S_5}$	误差	$n_{S_5}/N_{S_5}$	误差	$n_{S_5}/N_{S_5}$	误差	$n_{S_5}/N_{S_5}$	误差	$n_{S_5}/N_{S_5}$	误差	$n_{S_5}/N_{S_5}$	误差
模式1	S1=350	44	0.0008	0.733	108.24	0.440	25.00	0.493	40.06	0.624	77.27	0.030	91.48	0.319	9.37	0.350	0.57
	S2=332	352	0.0048
	S3=298	6160	0.0474
	S4=254	59840	0.2137
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4   结论

本文不同于已有的改进M-H模型以修正寿命比特征指数来考虑加载次序对后续疲劳损伤累积模型的影响，而是引入等效循环比考虑加载次序的影响，并建议了一种以前后级荷载对数的4次方之比修正传统循环比的等效循环比表达式，且提出了与之相对应的改进M-H模型。在以两级加载定性验证模型合理性的基础上，进一步通过与试验数据以及已有改进M-H模型的对比验证了模型的精度，具有如下结论：

(1)以等效循环比考虑加载次序对疲劳损伤累积模型影响的改进M-H模型的预测精度总体上优于已有模型。

(2)本文选用不同材料的疲劳试验数据，二级到五级应力加载均有涉及，应力幅从最低20.6 MPa到最大350 MPa，应力幅范围广，并且低-高加载与高-低加载均有涉及，因此建议的改进M-H模型有较强的适用性。

(3)验证结果表明，本文从等效循环比的角度考虑已有荷载对后续疲劳损伤累积的影响是可行的。由于循环比的概念在常见的疲劳损伤累积模型中多有涉及，因此可为不同的模型考虑加载次序影响提供可能的借鉴。