STUDY ON DEFLECTION MEASUREMENT OF SIMPLY SUPPORTED GIRDER BRIDGES BASED ON LASER-POSITION SENSITIVE DETECTORS
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摘要:
挠度变形监测是桥梁健康监测的重要组成部分，该文提出了一种基于激光-位置传感器(position sensitive detectors, PSD)的简支梁桥高精度挠度测量系统。该系统采用激光反射偏转位移放大简支梁桥挠度，实现微米级精度的桥梁挠度静、动态监测。介绍了该系统的组成及工作原理，通过激光反射偏转原理可以将桥梁跨中挠度放大7倍以上，实现高精度挠度测量；通过理论推导与误差分析，讨论了激光发射接收器与反射器放置位置对挠度放大倍率的影响；通过试验验证了该体系的测量效果。该体系可在毫米级量程内，准确测量高于1 μm的简支梁桥跨中挠度，并且可以对挠度进行动态测量，识别桥梁的自振周期等动力参数。该文提出的激光-PSD测量体系具有精度高、响应速度快、价格低、易于开展长期动态监测的特点。以期为中小跨径简支梁桥的挠度健康监测提供参考。
Abstract:Deflection monitoring is an important part of bridge health monitoring. A high-precision deflection measurement system based on laser-PSD (Position Sensitive Detectors) for simply supported girder bridges is proposed. The system adopts a laser reflection method to amplify the deflection of simply supported girder bridges and realize static and dynamic monitoring of bridge deflection with micrometer-level accuracy. The composition and working principle of the system are firstly introduced, which can amplify the bridge mid-span deflection by more than 7 times through the laser reflection principle to achieve high-precision deflection measurement; Through theoretical derivation and error analysis, the influence of the placement of the laser transceiver and reflector on the deflection amplification factor is discussed; The effectiveness of the system is verified through experiments. The system can accurately measure the mid-span deflection of a simply supported girder bridge with an accuracy above 1 μm for the measurement range of millimeter level. It can perform dynamic deflection measurements so as to identify dynamic parameters such as the fundamental periods of the bridges. The laser-PSD measurement system proposed in this paper features high accuracy, fast response, low price, and easy-to-implement for long-term dynamic monitoring. This study is expected to provide a reference for deflection health monitoring of small and medium span simply supported girder bridges.
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中小跨径简支梁桥由于构造简单、架设方便，广泛应用于公路桥梁与高铁桥梁。简支梁桥在数十年的服役使用后，桥梁结构受到环境和交通循环荷载的影响，可能出现一定程度的损伤和承载力下降。对长期服役受损的简支梁桥进行检测与监测可有效保障桥梁使用安全。桥梁受荷后的挠度变形表征了结构刚度，是其健康状况评估的重要参变量，监测桥梁挠度变形对确保桥梁安全具有重要意义[1–2]。
由于简支梁桥的梁体刚度大，受荷产生的挠度变形较小，对挠度测量仪器精度要求高。已有桥梁挠度的测量方法主要包括：① 精密数字水准仪和测量机器人[3]等光学测量方法，该类方法测量精度较高，在100 m范围内，约为0.1 mm。但设备昂贵，难以实现动态挠度测量且不适合长期监测；② 连通管法测量[4]，该测量方法原理简单，可实现自动化长期监测，但其精度相对较低，约为1 mm，且采样速率较低，不适宜动态监测；③ GNSS挠度测量[5–7]，应用全球卫星定位系统进行测量，可测量范围大，测点不受限制且使用较方便，但其精度较低，约为1 cm，成本较高，主要应用于挠度变形量大的大跨度桥梁，不适用于挠度变形小的中小跨简支桥梁；④ 倾角仪测量法[8–9]，该测量方法成本较低，可测量动、静挠度，实现长期监测，但高精度倾角仪价格昂贵，挠度测量精度约为0.1 mm；⑤ 机器视觉测量法[10–11]，该方法应用了迅速发展的机器视觉技术，包括有无人机测量[12]、长焦摄像头固定测量[13–15]、激光图像识别测量[16–17]等，其精度约为0.1 mm，但其动态测量频率较低；⑥ 激光雷达测量[18–20]，该方法测量精度与测量距离相关，距离50 m高精度激光雷达测量精度约为1 mm，价格较高，精度偏低；⑦ 激光多普勒测振仪测量[21]，可实现非接触高精度动态测量，测量精度高于1 μm，但成本高昂，难以实现量大面广中小跨径桥梁挠度的长期监测。综上，现有的桥梁挠度测量方法难以满足中小跨径的简支梁桥精度要求高、广泛使用、长期动态监测的测量情景。
本文提出一种基于激光-PSD的简支梁桥挠度测量方法，该测量方法利用激光为载体，使用高精度位置传感器(PSD)，利用激光反射偏转位移放大简支梁桥挠度，可实现对简支梁桥1 μm级别的高精度动态挠度监测。该测量方法及系统价格低廉，且易于制成长期监测无线传感器模块，可满足中小跨径简支梁桥高精度、低成本、广泛长期动态监测的需求。
1 激光-PSD桥梁挠度测量原理
1.1 PSD-位置传感器简介
基于横向光效应的位置传感器(position sensitive detectors, PSD)是一种光电位置传感器，也称为坐标光电池。PSD由光敏电阻层P层、光电转换层I层及通向公共电极的底部N层组成。PSD具有响应速度快、位置分辨率高、位置和光强同时测量、光谱响应范围广、可靠性高等特点。目前较前沿的PSD，例如滨松S3931型一维PSD位置分辨率可达到0.2 μm，响应时间可达到1.5 μs，且价格成本远低于同等精度的位移测量仪器。PSD在工程领域上也有着广泛的应用，例如智能系统位置定位控制[22–23]、建筑结构微位移监测[24–25]、铁路轨道位移监测[26]以及桥梁结构健康监测[27]等。
本文提出的测量系统主要使用一维PSD(1D-PSD)，如图1所示，当光束落在PSD上，在入射点产生与光强相关的电荷，通过均匀的电阻层P层，然后被P层两端的两端电极探测并形成光电流。电荷途经的电阻越大，被电极探测到的光电流越小，所以光电流大小与入射点和电极的间距成反比，且两端电流的差异和光点在感光层上的位置有关。
以PSD中点为坐标原点，由上述PSD的特点可得以下公式：
I1I0=0.5D−xD (1) I2I0=0.5D+xD (2) I2−I1I1+I2=2xD (3) 所以入射光点位置为：
x=I2−I1I1+I2×D2 (4) 式中：I1、I2为两端输出电极的光电流；I0为总光电流；D为两端电极间距即传感器有效长度；x为入射点相对PSD中心的位置。
1.2 测量系统组成
图2所示为激光-PSD桥梁挠度测量系统，由激光发射接收模块、激光反射模块及挠度计算模块组成，各组成部分详述如下。
1) 激光发射接收模块：用于发射激光束和接收激光束，该模块包括激光发射器和激光接收器(PSD单元)，其中激光发射器所发射的激光束光谱范围应在PSD的光谱响应范围内，且光束稳定。
2) 激光反射模块：用于将激光发射器发射的激光束反射至激光接收模块，该模块主要包括高反射率的反射镜，且可二维微调，使得激光束的反射光斑落在PSD的有效范围内。
3) 计算模块：与激光接收单元相连，用于根据激光接收器即PSD测得激光点位置偏移量计算简支梁的挠度。
各模块在简支梁上的布置如图3所示，在简支梁指定位置布置激光发射接收模块和反射模块，布置的模块随简支梁梁体转动而转动。激光发射接收模块、反射模块分别放置于距离简支梁桥端部内侧x距离，两者之间距离为l(图3(a))。激光束从激光发射器发出，照射到反光镜后反射，最终激光点落在PSD上。当简支梁桥受到荷载作用时，产生微小挠度变形，同时在激光发射接收模块、激光反射模块放置处产生相应转角θA、θB，激光束路径随之发生变化，使得落在PSD上的激光点发生位置偏移，如图3(b)所示。其中，激光发射接收模块、激光反射模块的转角变化以及激光路径变化如图4所示。
本系统假设激光发射接收模块、激光反射镜模块在桥梁受荷挠动后的水平距离保持不变，仍为l。激光点在PSD上的位移变化量记为d，由图4几何关系推导得：
d=lcosθA×tan(2(|θA|+|θB|)) (5) 由于在刚度较大的简支梁中，产生的转角微小，故可简化为：
d≈l×2(|θA|+|θB|) (6) d直接通过PSD测量所得，d与简支梁跨中挠度wc或简支梁内最大挠度wmax以及激光发射接收模块和反射模块所在位置的转角θA、θB之间的关系有：
dwC≈l×2(|θA|+|θB|)wC = 2×|θA| + |θB|wC/l (7) dwmax (8) 令 {K_1} = \dfrac{{\left| {{\theta _{\text{A}}}} \right|{\text{ + }}\left| {{\theta _{\text{B}}}} \right|}}{{{w_{\text{C}}}/l}} 、 {K_2} = \dfrac{{\left| {{\theta _{\text{A}}}} \right|{\text{ + }}\left| {{\theta _{\text{B}}}} \right|}}{{{w_{\max }}/l}} ，则激光点位置偏移与简支桥梁挠度关系公式为：
{w_{\text{C}}} \approx \frac{d}{{2{K_1}}} (9) {w_{\max }} \approx \frac{d}{{2{K_2}}} (10) 该测量系统的操作流程图如图5所示，为了由传感器测得的偏移量d计算跨中挠度wC或跨内最大挠度wmax，关键在于确定挠度系数K1与K2，以下讨论确定该系数。
1.3 简支梁挠度系数计算方法
由于简支梁上 激光发射接收和反射模块布置处的偏转角θA、θB与简支梁上作用力施加的位置相关。本节试图通过理论推导，找到最优激光发射接收模块和反射模块布置位置，使得无论作用力施加在简支梁何处，式(9)、式(10)中的挠度系数K1与K2尽可能保持恒定。
计算简图如图6所示，集中力F作用在跨度为L的简支梁上，梁截面惯性矩为I，弹性模量为E。
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图 6 集中力作用下简支梁挠度和转角示意图Figure 6. Schematic diagram of deflection and rotation angle of simply supported beam subjected to concentrated force简支梁上集中力作用点处弯矩可用下式表示：
M = \frac{{Fab}}{L} (11) 根据材料力学弯曲挠度的微分方程公式：
EIw'' = - M (12) 由于梁段与力作用位置不同，为便于区分计算，将简支梁分成梁段1(0 ≤ x ≤ a)和梁段2(a ≤ x ≤ L)。简支梁的任意位置x处挠度公式即挠曲线方程为：
{w}_{1}(x)=\frac{Fbx}{6LEI}({L}^{2}-{b}^{2}-{x}^{2})\text，0{\leqslant }x{\leqslant }a (13) \begin{split} & {w}_{2}(x)=\frac{Fb}{6LEI}\left[\frac{L}{b}{(x-a)}^{3}-{x}^{3}+({L}^{2}-{b}^{2})x\right]，\\&\qquad\qquad a{\leqslant }x{\leqslant }L \end{split} (14) 任意位置转角公式为：
{\theta }_{1}(x) = {w}_{1}^{\prime }(x) = \frac{Fb}{2LEI}\left[\frac{1}{3}({L}^{2} - {b}^{2}) - x^{2}\right]，\;0{\leqslant }x{\leqslant }a (15) \begin{split} {\theta }_{2}(x)=&{w}_{2}^{\prime }(x) =\frac{Fb}{2LEI}\times \left[\frac{L}{b}{(x-a)}^{2}-{x}^{2}+\frac{1}{3}({L}^{2}-{b}^{2})\right]\text{，}\\& a{\leqslant }x{\leqslant }L \end{split} (16) 其中，当a > b时，跨中挠度公式为：
{w_{\text{C}}} = {\left. {{w_1}} \right|_{x = \frac{1}{2}L}} = \frac{{Fb}}{{48EI}}( {3{L^2} - 4{b^2}} ) (17) 最大挠度公式为：
{w_{\max }} = \frac{{Fb}}{{9\sqrt 3 LEI}}\sqrt {{{({L^2} - {b^2})}^3}} (18) 由上述转角和挠度公式可知θ、w与F成线性关系，且结合式(6)、式(15)、式(16)得d与F成线性关系，故将d、w与F的线性关系代入式(9)或式(10)可知，K值与荷载F大小无关，仅与荷载加载位置以及激光发射接收模块和反射模块的布置位置相关。
由于发射接收模块和反射模块对称布置，现将集中力F作用在简支梁右半段分析，也即可对称得出简支梁左半段结果。
例如当发射接收模块和反射模块对称布置在x = 0.1L、0.15L或0.2L时，式(11)中的a、b根据力作用位置不同而不断变化，分别代入任意转角式(15)、式(16)，跨中挠度式(17)和最大挠度式(18)计算得θA、θB、wC、wmax，从而计算不同位置加载下挠度系数 {K_1} = \dfrac{{\left| {{\theta _{\text{A}}}} \right|{\text{ + }}\left| {{\theta _{\text{B}}}} \right|}}{{{w_{\text{C}}}/l}} 、 {K_2} = \dfrac{{\left| {{\theta _{\text{A}}}} \right|{\text{ + }}\left| {{\theta _{\text{B}}}} \right|}}{{{w_{\max }}/l}} 值，并计算K均值Kavg，如图7所示。
从图7计算结果分析可得，当激光发射接收模块与反射模块位置x = 0.1L(图7(a))或x = 0.2L(图7(c))时，K值(包括K1、K2)与Kavg(包括K1avg、K2avg)的偏差程度显著大于x = 0.15L(图7(b))。
为了进一步衡量K与Kavg的偏差程度，定义最大相对偏差RD如下：
R{D_i} = \max \left| {\frac{{{K_{ij}} - {K_{i{\text{avg}}}}}}{{{K_{i{\text{avg}}}}}}} \right| (19) 式中：i =1或2，1对应跨中挠度，2对应最大挠度；j为不同加载位置；Kij为在第j加载位置时i对应挠度的K值；Kiavg为对应挠度K值平均值；RDi为对应Ki的最大相对偏差。
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图 7 x = 0.1L、0.15L或0.2L时K值随加载位置变化图Figure 7. Variation of K with respect to different loading position when x = 0.1L, 0.15L or 0.2L如取不同加载位置下K值的均值Kavg作为挠度系数，计算公式为式(20)、式(21)。当K值与其平均值的偏差较少时，可保证测量系统计算偏差较小。
{w_{\text{C}}} \approx \frac{d}{{2{K_{1{\text{avg}}}}}} (20) {w_{\max }} \approx \frac{d}{{2{K_{{\text{2avg}}}}}} (21) 为了确认理论最佳的发射接收模块和反射模块布置位置，分别计算激光装置在不同布置位置时的转角对应的K1、K2的最大相对偏差RD，并选择RD最小的位置作为最优布置位置。在0L~0.45L范围内K1avg、K2avg和RD如图8(a)所示，随着传感器位置从支座移动到跨中，RD先减小再逐渐增大，在0.1L~0.2L内取得最小。进一步地，把传感器位置分析步长缩小到0.01L寻找RD最小值，如图8(b)所示，在0.17L附近，K1最大相对偏差RD1取得最小约2.5%，在0.15L附近，K2最大相对偏差RD2取得最小约2.3%。
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图 8 不同传感器位置对应的K均值和最大相对偏差RDFigure 8. Kavg and RD values with respect to different sensor locations综上所述，当x = 0.17L处，K1avg为3.572，偏差最大2.5%。当x = 0.15L处，K2avg为3.897，偏差最大2.3%。由式(20)、式(21)可知，PSD上激光点的偏移量约为简支梁桥挠度的7倍~8倍。由于PSD自身具有精度高的特点，再经过测量方法理论放大，可以实现非常高的桥梁挠度测量精度。值得注意的是，以上2.5%或2.3%的偏差是由于加载位置不确定导致的偏差，如果借助机器视觉识别等方式识别加载点位置，则可选用对应加载点的K1及K2系数(图7)，进一步减小测量偏差。
对于多点移动加载时，由于桥梁在正常使用下保持弹性状态，多个集中荷载作用的桥梁挠度可以根据线性叠加原理转化为每个集中荷载单独作用下的挠度叠加，结合式(9)或式(10)得多点加载叠加公式为：
\begin{split} w\left( F \right) =& w\left( {{F_j}} \right) + w\left( {{F_{j + 1}}} \right) + \cdot\cdot\cdot + w\left( {{F_{j + n}}} \right) = \\& \frac{{d\left( {{F_j}} \right)}}{{2{K_j}}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} + \frac{{d\left( {{F_{j + 1}}} \right)}}{{2{K_{j + 1}}}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} + \cdot\cdot\cdot + \frac{{d\left( {{F_{j + n}}} \right)}}{{2{K_{j + n}}}} \end{split} (22) 式中：w(F)为多个集中荷载作用下的桥梁挠度；d(F)为多个集中荷载作用下的传感器测得激光点偏移量d；Fj、Fj+1、···、Fj+n表示桥梁上不同位置的集中力；w(Fj)为Fj作用下的挠度；d(Fj)为Fj作用下的d值；Kj、Kj+1、···、Kj+n为在加载位置j、j+1、···、j+n对应的K值。
而传感器在最优布置位置时，不同位置集中荷载作用下的挠度系数K偏差较小，都可以采用平均挠度系数Kavg计算此时多点移动荷载作用下的挠度。故可将式(22)简化为式(23)，从而考虑多点移动(随机)加载下的跨中、最大挠度。
w( F ) = \frac{{d( {{F_j}} ) + d( {{F_{j + 1}}} ) + \cdot\cdot\cdot + d( {{F_{j + n}}} )}}{{2{K_{{\text{avg}}}}}} = \frac{{d( F )}}{{2{K_{{\text{avg}}}}}} (23) 2 试验验证
为了验证该测量系统及方法的有效性和准确性，本文首先对该测量系统中实验使用的PSD进行标定试验，然后对钢制简支梁进行了挠度测量和振动测量实验。实验设备包括：Q235钢梁，长1500 mm、宽110 mm、厚15.5 mm；激光发射器，波长650 nm，功率3 mV，光斑大小可调；铝膜反射镜及若干二轴微调支架；PSD，有效尺寸为1 mm×12 mm，理论最高精度达0.2 μm；松下HL-G103-S-J激光位移传感器，测量范围±4 mm，测量分辨率0.5 μm；加速度传感器，为江苏东华1A206E型压电式加速度传感器，量程为±0.5 g，灵敏度为979 mV/m/s2；NI 9230采集卡，电压量程±30 V，分辨率24位，采样率1 kHz~12.8 kHz，最大采样率下噪声106 μVms；精密位移台，最小刻度10 μm。
2.1 PSD标定
为验证测试系统所用PSD的精度和可靠性，在实验室现有条件下进行标定试验，如图9所示。将激光发射器、激光位移计、精密位移平台固定在平台光学面板上，将PSD固定在最小刻度为10 μm的精密位移平台上，旋转精密位移平台的转杆，微调平移PSD，激光光斑在PSD上的位置随之变化。其中激光位移计分辨率为0.5 μm，以下将采用激光位移计的测量结果作为基准开展对比分析。
分3个尺度等级进行标定，分别为0 mm~0.1 mm、0 mm~1 mm、0 mm~5 mm，每次移动其中的1/10距离，记录PSD平移距离和对应测得光斑在PSD上位置变化量。其中所用PSD灵敏度系数φ为1.1，所测得的为PSD输出的电压值VC和VH，其中V_{\rm C}=\left(I_{1}-I_{2}\right) R， V_{\mathrm{H}}=\left(I_{1}+I_{2}\right) R ，结合式(4)推导出该PSD上光斑位移计算公式：
\Delta {x_i} = \left( {\frac{{{V_{{\text{C}}i}}}}{{{V_{{\text{H}}i}}}} - \frac{{{V_{{\text{C0}}}}}}{{{V_{{\text{H0}}}}}}} \right) \times \frac{D}{2}/\varphi = \left( {\frac{{{V_{{\text{C}}i}}}}{{{V_{{\text{H}}i}}}} - \frac{{{V_{{\text{C0}}}}}}{{{V_{{\text{H0}}}}}}} \right) \times \frac{{12}}{2}/1.1 (24) 式中：i = 1, 2, 3, ···；VC0和VH0为初始电压值；VCi和VHi为移动到第i个点时电压值。
对测得电压数据处理为简支梁挠度后与激光位移计的测量结果进行对比分析，如图10所示。
标定结果表明：该试验系统所使用的1D-PSD在0 mm~0.1 mm、0 mm~1 mm、0 mm~5 mm尺度上均具有较高的线性度，R2均达到0.999以上；PSD测得位移变化与激光位移计测得的变化量接近，线性误差小于等于1%，具有较高精度。分析表明，本次标定实验测得试验所用PSD可识别高于10 μm尺度等级的位置变化。
2.2 挠度测量试验
为验证上述挠度计算方法理论的可靠性，对1.5 m长的钢梁进行挠度测量试验。挠度试验平面布置如图11所示，挠度试验现场情况如图12所示。钢梁两端为简支支座，将激光发射器和PSD位置传感器、反光镜分别架立在距离两端支座25 cm即1/6 L处；将分辨率为0.5 μm的激光位移计架立在钢制简支梁跨中正上方，用于测量简支梁的跨中挠度变化。分别在跨中1/2 L处、左端1/3 L处，右端1/4 L处使用不同质量的砝码分级加载，记录加载前后钢梁跨中挠度变化值即激光位移传感器的数值变化及对应的PSD上激光点位置变化值d。
由于最大挠度位置随加载位置的不同，随之变化，在实验室试验条件下难以确定并准确测量，故本挠度试验仅对跨中挠度进行测量分析。
根据上述简支梁挠度计算的理论推导值，在x = 1/6 L处，K1avg = 3.635，将d和K1avg代入式(20)，得出该系统挠度测量值，将激光位移计测得简支梁跨中挠度值与系统测得挠度值做线性拟合，如图13所示。
结果表明，在不同位置加载，通过该系统测得的跨中挠度与激光位移计测得的数据保持较高的线性度，R2≥0.99，而在1 μm级别最大线性误差控制在3.8%以内，在10 μm级别最大线性误差控制在1.9%以内，具有为微米级的测量精度。
进一步地进行两点加载下的挠度测量试验，采用如表1两类工况进行移动加载，如图14和表1所示，两个加载点砝码间距0.2L，每次移动步长0.1L。
表 1 两点移动加载试验的两类工况Table 1. Two types of working conditions for two-point moving loading test工况 砝码1质量/g 砝码2质量/g 砝码间距 移动步长 1类工况 200 200 0.2L 0.1L 2类工况 200 100 0.2L 0.1L 本系统测得挠度与激光位移计测量结果对比如图15所示，结果表明本测量系统在两点移动荷载情况下，仍表现出较高的精度，两者数据保持较高的线性度，R2≥0.99，具有较好的准确性。
在实际测量中，由于实际被测梁为非理想简支梁，可通过修正K1avg挠度系数，使系统测量结果更准确，更接近实际挠度值。
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图 15 测量系统两点移动加载试验验证Figure 15. Validation of the system through two-point moving loading test2.3 振动测量试验
为了验证该测量系统及方法对简支梁动态测量的可靠性和灵敏度，使用该系统对上述钢制简支梁进行振动测量试验，包括激振试验和环境自然激励试验。
激振试验示意图如图16所示，在跨中架立分辨率为0.5 μm的激光位移计，在x = 1/6L处布置挠度-PSD测量系统，在动态测量过程中用锤子轻敲钢梁的跨中处，采样率为1024 Hz，测量时长为120 s。
试验结果如图17所示，激光位移计测得挠度与本测量系统测得的挠度曲线吻合良好，并且在100 μm和10 μm级别的测量范围，都体现出较高的准确度。
环境自然激励试验如图18所示，在距离两端支座1/6L处分别布置发射接收模块和反射模块，在跨中布置江苏东华1A206E型压电式加速度传感器。试验在环境自然激励下对简支钢梁进行振动测量，采样时长为90 s、采样频率为1024 Hz，然后将测得数据换算成简支梁挠度数据后进行离散傅里叶变换作频谱分析。值得注意的是，由于环境激励下，简支梁产生的挠度变化量仅为1 μm，而试验使用的激光位移计测量分辨率为0.5 μm，故在本振动实验中，无法采用激光位移计作为基准对比。
由测量结果图19(a)所示，试验简支梁静置时，该测量系统可测的由环境自然荷载产生的1 μm挠度变化级别的振动挠度。将加速度计测得的加速度(图19(b))进行二次积分并滤波处理，得出被测简支梁挠度数据，并与系统测得挠度数据进行对比，如图20所示，可见挠度变化波形基本吻合，证明该系统可较为可靠地实现1 μm级别动态挠度测量。
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图 20 系统测得挠度与加速度计积分得挠度对比Figure 20. Comparison between the deflection measured by the system and the deflection integrated by the accelerometer值得注意的是，本系统激光直接照射PSD，挠度测量量程约为1.5 mm，测量精度高于1 μm。对于实际工程需要更大测量量程的情形可在PSD前安装透镜组，扩展测量量程，从而满足不同测量量程的监测要求。
对图19中本系统测得的位移时程与加速度计测得的加速度时程进行离散傅里叶变换，得到频谱结果如图21所示。
由图21(a)和图21(b)所示，采用本系统测量结果分析得简支梁一阶频率为15.44 Hz，与加速度计测得结果完全一致。等截面简支梁自振频率经验计算公式为：
f = \frac{{\left( {n\pi /{l^2}} \right) \times \sqrt {EI/m} }}{{2\pi }} (25) 式中：n为振型阶数；m=ρ×A为单位长度质量，钢材密度取ρ = 7.85 g/cm3，A为简支梁横截面面积；E为简支梁弹性模量，取200 GPa；I为等截面梁刚度。把试验钢制简支梁参数代入计算得一阶频率值为f = 15.462 Hz。可见本文所提出的测量方法及系统在环境自然激励下表现出高精度的特点，所测得试验简支梁一阶频率与加速度计测得的高度一致，且接近理论经验值。
本节的挠度和振动测量试验结果验证了该测量系统及方法的有效性和精度，在静态和动态测量试验下均展现出较高的精度。相对于精密水准仪、连通管、GNSS、倾角仪、机器视觉等方法，本系统精度高，且动态精度可靠、响应速度快，可在测量桥梁挠度的同时识别桥梁的动力参数，为中小跨径简支梁桥的动、静态挠度监测评估提供参考。
3 结论
为了实现量大面广的中小跨径简支梁桥高精度低成本的挠度监测，本文提出一种基于激光-PSD的简支梁桥挠度测量系统及方法，通过理论分析和试验研究，验证了该挠度测量方法的准确性和可靠性。研究结论如下：
(1) 经理论推导及分析，得出简支梁测量点转角与挠度的关系，从而推导出简易的挠度测量方法。该方法可在传感器测量端将桥梁挠度放大7倍~8倍，实现高精度挠度测量。
(2) 试验结果表明，该系统在简支梁微米级的静态挠度试验中，具有极高的线性度(R2＞0.99)；在振动测量试验中，具有极高的灵敏度，可测量出脉动振幅仅1 μm的挠度变化，并准确识别结构的固有频率。
(3) 该测量系统具有测量分辨率高、安装操作简便、成本较低的特点，可实现简支梁桥微米级别的高精度静、动态挠度测量。
本文研究结果以期为中小跨径简支梁桥长期动态监测提供参考。值得注意的是，该测量方法不仅限于简支梁桥，可进一步研究拓展到一般的受弯结构。
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图 6 集中力作用下简支梁挠度和转角示意图
Figure 6. Schematic diagram of deflection and rotation angle of simply supported beam subjected to concentrated force
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图 7 x = 0.1L、0.15L或0.2L时K值随加载位置变化图
Figure 7. Variation of K with respect to different loading position when x = 0.1L, 0.15L or 0.2L
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图 8 不同传感器位置对应的K均值和最大相对偏差RD
Figure 8. Kavg and RD values with respect to different sensor locations
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图 15 测量系统两点移动加载试验验证
Figure 15. Validation of the system through two-point moving loading test
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图 20 系统测得挠度与加速度计积分得挠度对比
Figure 20. Comparison between the deflection measured by the system and the deflection integrated by the accelerometer
表 1 两点移动加载试验的两类工况
Table 1 Two types of working conditions for two-point moving loading test
工况 砝码1质量/g 砝码2质量/g 砝码间距 移动步长 1类工况 200 200 0.2L 0.1L 2类工况 200 100 0.2L 0.1L 
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期刊类型引用(1)
1. 周云，郝官旺，危俊杰，杜宗，刘畅，朱茂. 基于PS-InSAR技术的大跨度桥梁结构变形监测综述. 工程力学. 2025(04): 25-37 . 
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