悬索桥是一种由吊索、缆、梁、塔等构件组成的柔性结构，因其造型优美、跨越能力强，获得桥梁建设者极大地青睐。随着悬索桥跨径的不断刷新以及多塔悬索桥的建设，其表现出来的静、动力问题越来越突出，在主跨中点设置中央扣，将主缆和加劲梁直接固结的方法可以较好的解决这类问题，在跨中设置中央扣，相当于增加了一个半刚性支撑点^[1]。中央扣可分为三角桁架构成的刚性中央扣和斜拉索构成的柔性中央扣，两类中央扣在大跨径悬索桥设计中均有所应用。泰州长江大桥^[2-3]在设计过程中对支撑体系进行了多方案比选，最终因中央扣设置困难而选择了纵向弹性索，但是研究表明设置中央扣可以明显减小主梁纵向位移、减小中塔顺桥向变形；润杨长江大桥^[4]为减少活荷载引起的桥面纵向位移和风振等引起的短吊索弯折、疲劳问题而采用了一对刚性中央扣构造；贵州坝陵河桥^[5]为提高全桥刚度、减小加劲梁的纵向位移，设置了柔性中央扣；为改善桥梁的抗风、抗震性能，1950年建成的美国塔科马海峡一桥(西行)利用阻尼器形成三对中央扣^[6]，2007年通车的塔科马海峡新桥(东行)，采用了销接式的刚性中央扣^[7-8]；文献[9-19]研究表明，悬索桥设置中央扣以后，其在抗风、抗震、车辆激励等动力特性方面具有良好效果；文献[20-25]对悬索桥设置中央扣以后的静力行为进行了研究，设置中央扣可以明显减小主梁纵向位移、有效解决跨中短吊索的弯折效应。

综上可见，大跨径悬索桥设置中央扣可以很好地解决大跨径悬索桥所面临的主梁纵向、竖向位移过大、抗风、抗震、短吊杆弯折等问题，具有良好的应用价值。但目前的研究大多聚焦于中央扣对桥梁整体效应的影响，而少见对中央扣自身力学行为的研究，中央扣的布置及尺寸的确定多依靠有限元模型的重复试算，这将大大降低设计效率，也缺乏对中央扣作用机理的认识。本文将中央扣作为研究对象，从力学角度解释中央扣的作用，并对多对中央扣的协调受力进行研究，明确影响中央扣受力的主要因素，为将来中央扣的应用提供理论基础。

1   工程背景

济南黄河凤凰大桥为三塔自锚式悬索桥，主桥跨径布置为171.5 m+428 m+428 m+171.5 m=1199 m，如图1所示，桥面全宽61.7 m，桥面为双线轻轨+双向8车道+两侧人非通道。主塔为三个钢塔，主梁为钢-砼组合钢箱梁，主缆为双索面三维空间构型，每根包含61股127 mm×6.2 mm的1960 MPa高强钢丝。凤凰大桥以其428 m的主跨长度，成为目前世界上最大跨径的三塔自锚式组合梁悬索桥。

济南黄河凤凰大桥跨径较大、中塔较柔，每根主缆跨中6根、锚固端1根刚性短吊杆，为增强全桥刚度、改善短吊杆及中塔受力，在主跨跨中设置刚性中央扣连接主缆与主梁，全桥共4处设置中央扣，每处设置3对，如图2所示，全桥共12对。之所以每处设置3对刚性中央扣，是因为在最不利工况下该处主缆最大不平衡力约20 000 kN，需要总长度约15 m的索夹抵抗滑移，长大索夹的制作工艺要求极高且容易出现缺陷，滑移力分布也更不均匀，国内制作的最长索夹为润扬长江大桥^[4]4.5 m的中央扣索夹，基于上述原因，设计时将索夹分成三段，长度控制在4.5 m以下，对应设置三对刚性中央扣，如图2所示。

图  1  全桥立面布置　/m

Figure  1.  Elevation layout of the whole bridge

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图  2  中央扣立面图　/mm

Figure  2.  Elevation of central buckle

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中央扣由焊接工字形截面杆身和铸焊索夹组成，杆身钢材为Q420qE，索夹材质为ZG20Mn。两边中央扣构造相同，为满足受力需要，中间中央扣刚度大于两边中央扣，可对3对中央扣受力起到协调作用。同一位置设置3对刚性中央扣，3对中央扣能否协同受力是全桥成败之关键。在主缆不平衡水平力作用下，中央扣的侧移刚度是影响水平力分配的主要因素，为避免各中央扣因侧移刚度设置不合理而出现“各个击破”的可能，应明确影响各中央扣侧移刚度的因素，从而选择合理的中央扣布置方案及构件尺寸。为进行上述研究，首先对中央扣侧移刚度的表达式进行推导。

2   中央扣侧移刚度分析

2.1   中央扣侧移刚度计算

对中央扣侧移刚度进行分析，假设：1)中央扣杆身在主缆上的交点为刚性节点；2)中央扣杆身下端固定；3)中央扣为平面内的对称结构。根据上述假设，可将单个中央扣简化成三角形刚架，如图3(a)所示。设$I$为刚架杆件抗弯惯性矩；$A$为面积；$E$为弹性模量；截面线刚度可写成：$i = {{EI} \mathord{\left/ {\vphantom {{EI} L}} \right. } L}$；$j = {{EA} \mathord{\left/ {\vphantom {{EA} L}} \right. } L}$。为求解刚架侧移刚度$K$，在刚架顶部作用单位力${{{F}}_0} = 1$，根据结构力学方法，其变形关于对称轴反对称，可取1/2进行计算，如图3(b)所示，其边界条件为杆端竖向位移为0，设对称轴上未知支撑反力为$X$，如图3(c)所示。

图  3  中央扣侧移刚度计算图示

Figure  3.  Calculation diagram of lateral stiffness of the central buckle

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按以下步骤进行计算：1) 对图3(c)杆端力进行分解可得杆身轴力：$N = {{{{{F}}_0}} / 2} \cdot \cos \alpha + X \cdot \sin \alpha$，剪力：$F = {{{{{F}}_0}} / 2} \cdot \sin \alpha - X \cdot \cos \alpha$；2) 在$N$及$F$作用下，杆端轴向位移：$\varDelta u=N\cdot L/(EA)=N/j$，杆端垂直于轴向的位移：$\varDelta v=F\cdot {L}^{3}/(3EI)=F\cdot {L}^{2}/(3i)$；3) 杆端水平位移：$\varDelta x = \varDelta u \cdot \cos \alpha + \varDelta v \cdot \sin \alpha$，竖向位移：$\varDelta y = \varDelta u \cdot \sin \alpha - \varDelta v \cdot \cos \alpha {\text{ = }}0$；4) 根据3)及刚度的定义可得三角形刚架侧移刚度：$K{\text{ = }}{1 / {\varDelta x}} = {{\sin \alpha } / {\varDelta v}}$；5) 将1)、2)代入边界条件3)，可得未知力$X$，再将$X$代入1)、2)，可得：$\varDelta v\text{=}{{F}}_{0}/2\cdot {L}^{2}\cdot \mathrm{sin}\alpha /(3i\cdot {\mathrm{sin}}^{2}\alpha + j{L}^{2}\cdot {\mathrm{cos}}^{2}\alpha )$；6) 将$\varDelta v$表达式代入4)可得刚架侧移刚度表达式：

为验证上述三角形刚架侧移刚度表达式的正确性，选择本桥边对中央扣进行计算，取$E$=2.06×10⁵ MPa，为方便研究将中央扣高度取3600 mm，其他参数同图2，$I$=4.31×10⁸ mm⁴，$A$=5.92×10⁴ mm²，在上部端点施加10 000 kN水平力，分别利用Midas有限元软件及侧移刚度表达式计算水平变形并进行对比，进而反应刚架侧移刚度是否相同，软件计算变形为6.18 mm。

从表1及软件计算结果可知，两种方法计算的水平变形均为6.18 mm，说明两种方法所采用的侧移刚度相同，中央扣刚架侧移刚度表达式是正确的。

表  1  利用式(1)计算变形

Table  1.  Deformation calculation using Equation (1)

参数	数值
高度H/mm	3600.0
1/2节点间距L0/2/mm	2250.0
杆身长度L/mm	4245.3
杆身倾角α/rad	1.012
抗弯线刚度i/(N·mm)	2.08 ×1010
轴向线刚度j/(N/mm)	2.87×106
侧移刚度K/(N/mm)	1.62×106
顶点水平变形/mm	6.18

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2.2   中央扣设计参数敏感性分析

为快速、合理设计中央扣，需对影响其侧移刚度的主要参数进行敏感性分析。从刚架侧移刚度计算公式来看，线刚度$i$、$j$、杆身倾角$\alpha$、杆身长度$L$等均对侧移刚度有影响。因为中央扣往往设置于主缆最低点，其高度$H$基本确定，杆长$L$可根据倾角$\alpha$由$\sin \alpha = {H \mathord{\left/ {\vphantom {H L}} \right. } L}$计算，$L$与$\alpha$关系明确，取其一即可，因此敏感性分析可选为线刚度$i$、$j$及杆身倾角$\alpha$。

利用控制变量的方式进行敏感性分析，从$K$的计算公式可知：杆身线刚度$i$、$j$均与$K$为一次函数关系，其斜率可作为敏感性指标，敏感性分析时常值可均取表1数据。

分析线刚度$i$时，将线刚度$j$、高度$H$、杆身长度$L$以及倾角$\alpha$定为常值，斜率$6{{{{\sin }^2}\alpha } /{{L^2}}}{\text{ = }}$2.39×10⁻⁷；分析线刚度$j$时，将线刚度$i$、高度$H$、杆身长度$L$以及倾角$\alpha$定为常值，斜率$2{\cos ^2}\alpha {\text{ = }}0.56$；分析倾角$\alpha$时，将线刚度$i$、$j$及高度$H$定为常值，$L$随倾角$\alpha$按照三角函数关系变化，根据设计习惯，将$\alpha$的分析范围选为[25°, 65°]，其计算结果如图4所示，为方便讨论，对其计算结果进行线性拟合。

从图4可知，刚度$K$与杆身倾角$\alpha$的线性拟合斜率绝对值为95 080。将上述三个参数与刚度$K$的斜率作为敏感程度判据列于表2。从表2可以很直观的看出，刚架侧移刚度对杆身倾斜角度$\alpha$、轴向线刚度$j$、抗弯线刚度$i$的敏感性高低为： $M\left(\alpha \right) > M\left(j\right) > M\left(i\right)$，抗弯线刚度$i$对侧移刚度$K$的影响几乎可以忽略不计。侧移刚度可近似表达为：

在进行中央扣侧移刚度调整时，可先调整倾角$\alpha$，然后通过杆件面积(线刚度$j$)进行微调，以满足设计需要。

图  4  侧移刚度参数敏感性分析

Figure  4.  Sensitivity analysis of lateral stiffness parameters

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表  2  侧移刚度敏感性分析

Table  2.  Sensitivity analysis of the lateral stiffness

敏感类别	敏感程度$M$
$K - i$	2.4×10−7
$K - j$	0.56
$K - \alpha$	95 080

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3   主缆轴向刚度对多对中央扣受力的影响

3.1   多对刚性中央扣受力计算

本桥中央扣与主缆连接相当于形成了一个侧移框架，如图5所示，主缆相当于框架的横梁、中央扣相当于框架柱。通常对框架结构进行侧移计算时，会假定横梁的轴向刚度无穷大，只考虑其抗弯刚度对各框架柱水平力分配的影响；而主缆抗弯刚度较小，往往忽略不计，轴向刚度与中央扣侧移刚度相差不大，与上述常见框架假定条件相差较大，因此有必要明确主缆轴向刚度对多对中央扣水平力分配的影响。

图  5  中央扣计算图示

Figure  5.  Calculation diagram of the central buckle

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为讨论该问题，将图2中央扣设计立面简化成力学计算图示，假设：1)上文单个中央扣计算时的假设条件仍沿用；2)主缆水平，中央扣等高且倾角相同；3)不考虑中央扣索夹的影响；4)各中央扣与主缆在节点①~③铰接，忽略主缆抗弯刚度，根据上述假设条件，简化后的力学模型如图5所示。设主缆的面积为${A_0}$；其轴向刚度为${j_0} = {{E{A_0}} / {{L_0}}}$；上述框架承担的不平衡力为${N_1}$，经过中央扣及主缆变形后，主缆轴力依次递减为${N_2}$、${N_3}$；各节点的位移分别为${u_1}$、${u_2}$、${u_3}$，节点间主缆伸长变形分别为$\varDelta {u_1}{\text{ = }}{u_1} - {u_2}$、$\varDelta {u_2}{\text{ = }}{u_2} - {u_3}$。

图5从右向左，中央扣的侧移刚度分别记为${K_1}$、${K_2}$、${K_3}$，若主缆轴向刚度无穷大，三对中央扣相当于并联受力，可如图6(a)以弹簧表示；若考虑主缆实际轴向刚度，则中央扣及主缆模型可以表示成图6(b)的形式，为多个弹簧组成的串、并联体系。为方便下文公式推导，以第一对中央扣的侧移刚度${K_1}$为参考，各中央扣侧移刚度及主缆轴向线刚度可写成：${K_2}{{ = a}} \cdot {K_1}$、${K_3}{{ = b}} \cdot {K_1}$、${j_0}{{ = c}} \cdot {K_1}$，$a$、$b$、$c$为各刚度间的倍数关系。

图  6  中央扣与主缆刚度示意图

Figure  6.  Rigidity diagram of the central buckle and main cable

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如图6(a)：根据弹簧并联关系得到主缆刚度无穷大时各节点刚度： ${K}_{1}^{\infty }={K}_{1}+{K}_{2}+{K}_{3}={K}_{1}\cdot (1+ a+b)$；${K}_{2}^{\infty }={K}_{2}+{K}_{3}\text{=}{K}_{1}\cdot (a+b)$；$K_3^\infty = {K_3} = {K_1} \cdot b$。如图6(b)：当考虑主缆的实际轴向刚度时，③号节点刚度即第三对中央扣的侧移刚度，可记为$K_3^{\rm{a}} = {K_3}$；②号节点刚度则由第三对中央扣及其连接主缆组成串联弹簧组，然后再与第二对中央扣并联提供，可记为$K_2^{\rm{a}}$，由串、并联弹簧得${K}_{2}^{\rm{{a}}}\text{=}{K}_{2}^{}+1/(1/{j}_{0}+1/{K}_{3}^{{\rm{a}}})$；①号节点刚度则由②号节点刚度弹簧与①、②间主缆先串联，再与第一对中央扣并联提供，其侧移刚度记为$K_1^{\rm{a}}$，同理可得${K}_{1}^{{\rm{a}}}\text{=}{K}_{1}^{}+1/(1/{j}_{0}+1/{K}_{2}^{{\rm{a}}})$。利用上述刚度倍数关系，可将各节点变形对应刚度写成如下形式：

若主缆刚度趋于无穷大，即$c \to \infty$，则式(3)~式(5)可退化为上述并联体系节点刚度表达式。在已知不平衡力${N_1}$以及各节点对应的侧移刚度后，通过位移关系：$\varDelta {u_1} = {u_1} - {u_2}$、$\varDelta {u_2}= {u_2} - {u_3}$、$\varDelta {u_1} = {{{N_2}} / {{j_0}}}$、$\varDelta {u_2}{\text{ = }}{{{N_3}}/ {{j_0}}}$以及${u_1} = {{{N_1}} /{K_1^{\rm{a}}}}$、${u_2} = {{{N_2}}/ {K_2^{\rm{a}}}}$，计算各段主缆轴力：

中央扣设计时，需要根据中央扣承担的不平衡水平力验算索夹抗滑移以及中央扣杆身强度，该不平衡力即为各中央扣两侧主缆轴力差，依次为$\varDelta {N_1}{\text{ = }}{N_1} - {N_2}$，$\varDelta {N_2}{\text{ = }}{N_2} - {N_3}$，$\varDelta {N_3}{\text{ = }}{N_3}$。

对主缆轴力计算公式的准确性进行验证。如图5所示，三对中央扣的长度及倾角均与图3侧移刚度计算时保持一致，中央扣截面尺寸与图2保持一致，根据主缆组成，按照面积相等，即轴向刚度相等的原则，将主缆近似成直径546 mm的钢棒，主缆轴向刚度${j_0}$=1.07×10⁷ N/mm，中央扣轴向刚度依次为${j_1}$=${j_{\text{3}}}$=2.87×10⁶ N/mm，${j_2}$=4.16×10⁶ N/mm。Midas计算遵循前文假设条件，主缆轴力${N_1}$取20 000 kN，公式计算采用主缆实际刚度及无穷大刚度两种，计算结果如表3所示。

从表3主缆轴力计算结果来看，Midas与公式计算的主缆轴力只在小数位略有差距，差值百分比几乎为0，说明计算主缆轴力的公式是正确的。同时，对比主缆实际刚度与无穷大刚度的计算结果，${N_2}$、${N_3}$分别减少11.01%和18.31%，影响较大。

根据表3计算结果可得各中央扣不平衡力的变化情况，如表4所示。由表4可见，考虑主缆实际轴向刚度后，第1对中央扣不平衡力增加27.0%、第2、3对中央扣不平衡力分别减少6.0%、18.3%，主缆轴向刚度对不平衡力在中央扣之间的分配有较大影响，多对中央扣设计时应考虑该影响。

表  3  主缆轴力计算对比

Table  3.  Comparison of main cable axial force calculation

主缆尺寸				节点侧移刚度/(N/mm)
长度L0/mm	面积A0/mm2	轴向刚度j0/（N/mm）		$K_3^{}$		$K_2^{}$	$K_1^{}$	$K_3^\infty$	$K_2^\infty$	$K_1^\infty$	$K_3^{\rm{a}}$	$K_2^{\rm{a}}$	$K_1^{\rm{a}}$
4500.00	234 139.76	1.07×107		1.62×106		2.35×106	1.62×106	1.62×106	3.97×106	5.59×106	1.62×106	3.76×106	4.40×106
轴力/kN	主缆轴力-主缆刚度无穷大					主缆轴力-主缆实际刚度			公式计算值对比/(%)
	公式	Midas		差值/(%)		公式	Midas	差值/(%)
N3	5790.80	5790.80		0.00		4730.10	4730.20	0.00	18.31
N2	14 209.30	14 209.30		0.00		12 645.60	12 645.50	0.00	11.01
N1	20 000.00	20 000.00		0.00		20 000.00	20 000.00	0.00	0.00

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表  4  中央扣不平衡力计算对比

Table  4.  Calculation and comparison of the unbalanced force

中央扣不平衡力	假定主缆刚度 无穷大/kN	采用主缆实际 刚度/kN	差值 百分比/(%)
$\varDelta {N_1}$	5790.7	7354.4	27.0
$\varDelta {N_2}$	8418.7	7915.5	−6.0
$\varDelta {N_3}$	5790.6	4730.1	−18.3

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3.2   影响中央扣受力分配的参数分析

各中央扣的受力分配，可由其承担的不平衡力比值${{\varDelta {N_1}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\varDelta {N_1}} {\varDelta {N_{\text{2}}}}}} \right. } {\varDelta {N_{\text{2}}}}}$、${{\varDelta {N_{\text{2}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\varDelta {N_{\text{2}}}} {\varDelta {N_{\text{3}}}}}} \right. } {\varDelta {N_{\text{3}}}}}$代表，根据第2节及3.1节的结论，选择中央扣杆身面积和倾角、主缆轴向刚度(面积)等三个参数进行讨论。将各节点刚度表达式(3)、式(4)、式(5)代入主缆轴力表达式(6)、式(7)可得：

根据中央扣侧移刚度近似表达式(2)，设第1对中央扣杆身面积为${A_1}$，可得：${K_1} \approx {{2E{A_1}} / L} \cdot {\cos ^2}\alpha$，$c = \dfrac{{{j_0}}}{{{K_1}}} \approx \dfrac{{E{A_0}}}{{{L_0}}} \cdot \dfrac{L}{{2E{A_1} \cdot {{\cos }^2}\alpha }} = \dfrac{1}{{2{{\cos }^2}\alpha }} \cdot \dfrac{L}{{{L_0}}} \cdot \dfrac{{{A_0}}}{{{A_1}}}$。假设$\cos \alpha = \dfrac{{m \cdot {L_0}}}{L}$，$m$为长度系数，可得$\dfrac{L}{{{L_0}}} = \dfrac{m}{{\cos \alpha }}$，进而：

将式(10)代入中央扣不平衡力比值表达式(8)、式(9)，可得：

由式(8)、式(9)可见，中央扣不平衡力比值仅与刚度比值系数$a$、$b$、$c$有关，若各中央扣侧移刚度均相等，即$a = b = 1$，则$\varDelta {N_1}$，$\varDelta {N_2}$，$\varDelta {N_3}$依次递减，说明：考虑主缆刚度后，主缆不平衡力在中央扣中的分配具有方向性，越靠近不平衡力作用端的中央扣，分担的不平衡力相对越多；式(11)、式(12)更直观的表达了主缆面积${A_0}$、中央扣杆身面积${A_1}$及倾角$\alpha$对主缆不平衡力分配的影响。后续讨论基于图5，由式(2)可知，各中央扣侧移刚度比$a$、$b$即为杆身面积比，假设$a$、$b$保持不变，可用${A_1}$代表各中央扣的面积，并取$m$为常数。

由式(8)、式(9)及式(11)、式(12)可知，中央扣不平衡力比值为主缆面积${A_0}$的反比例函数，主缆面积越大，其轴向刚度就越大，$c$值也就越大，不平衡力比值越趋近于侧移刚度比$a$、$b$，当$c \to \infty$时，就等于侧移刚度比$a$、$b$，体现为三个中央扣并联，反之，不平衡力比值就越大，分配就越不均匀；各中央扣不平衡力的比值为${A_1}$的递增函数、接近线性，为$\alpha$的递减函数，${A_1}$越小、$\alpha$越大，中央扣侧移刚度越小，不平衡力的比值越趋近于$a$、$b$，反之，中央扣侧移刚度越大，不平衡力的比值越大，不平衡力分配越不均匀。

上述现象也可以总结为：主缆越刚、中央扣相对越柔，各中央扣不平衡力比值越趋近于侧移刚度比；主缆越柔、中央扣相对越刚，主缆不平衡力分配越不均匀。因此，在进行中央扣设计时，应选择合适的杆身尺寸及倾角，保证其具有一定的柔性，使不平衡力在中央扣间的分配更接近所设定的比值。

若不考虑索夹抗滑移，单纯研究中央扣的受力，可进一步对设置1对或2对中央扣的情况进行研究。悬索桥设置刚性中央扣以后，此处主缆的不平衡力几乎不会因为中央扣数量的变化而变化。

当设置1对中央扣时，其侧移刚度即为${K_1}$，由式(1)可知，中央扣高度一定时，杆身倾角$\alpha$越小，杆身截面就可以尽量小，轴向刚度效率越高，因此设置一对刚性中央扣时，应尽量减小倾角$\alpha$。

当设置2对中央扣时，按照与3对中央扣时相同的计算过程，可得中央扣侧移刚度及中央扣不平衡力比值表达式：

上述结果也可以在3对中央扣计算公式的基础上令$b{\text{ = }}0$，代入公式可得相同结论，以下讨论假设长度系数$m$保持不变。与设置3对中央扣相比，因中央扣数量减少，各中央扣承担的不平衡力有所增加，各中央扣的内力也会随之增加，需增加杆身面积${A_1}$，若倾角$\alpha$不变，不平衡力比值就会增加；若杆身面积${A_1}$不变，则要减小杆身倾角$\alpha$，以降低杆身内力，同样会导致不平衡力比值增加；总之，设置2对中央扣，相对于3对中央扣，主缆不平衡力的分配相对更为不均，需进行适当的参数调整，以使2对中央扣受力协调。

3.3   多对刚性中央扣力学模型与在全桥有限元模型中计算结果的对比

为验证上述3对刚性中央扣简化力学模型的正确性，将对相同工况下本文力学模型计算结果与Midas全桥有限元模型中的相应计算结果进行对比，中央扣与主梁刚接、与主缆铰接，如图7所示。

图  7  全桥有限元模型中的中央扣局部构造

Figure  7.  The central buckle in the full-bridge finite element model

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为使主梁与主缆发生相对移动，设计了两类工况：第一类，主梁活载(竖向荷载)纵向偏载，全桥整体变形引起缆、梁相对移动，取活载引起中央扣处主缆最大不平衡力时的加载工况；第二类，主梁承受水平荷载，引起缆、梁相对移动，加载方式分两种：1)在主梁全长均匀分布135 000 kN水平力；2)在主梁中塔位置处施加135 000 kN集中水平力，水平力的大小仅为使中央扣处主缆不平衡力达到与活载工况相同水平，两种加载模式用以说明加载方式的影响。计算后，对各工况下Midas全桥模型计算结果和本文公式计算结果进行对比。

中央扣的编号与图5一致，因此处主缆较为平坦，计算时将主缆轴力近似为水平力。各中央扣承担的不平衡力计算结果如表5所示。需要说明的是，利用公式计算中央扣的不平衡力时，因主缆刚度导致不平衡力分配具有方向性，所以分别取有限元计算的中央扣边塔侧及中塔侧主缆轴力计算各中央扣承担的不平衡力，然后各中央扣对应的两个计算结果相加为其承担的总不平衡力。

表  5  全桥有限元模型及本文公式计算的中央扣不平衡力

Table  5.  The unbalance force of the central buckle calculated by full-bridge finite element model and formula in this paper

工况	主缆轴力/kN	不平衡力	ΔN3	ΔN2	ΔN1
活载	边塔侧：−7121.1 中塔侧：12 859.2	Midas结果/kN	5641.60	7619.20	6719.50
		公式结果/kN	5659.86	7907.66	6412.78
		公式/Midas /(%)	84.20	103.80	113.70
均布 水平力	边塔侧：−10 071.8 中塔侧：9955.6	Midas结果/kN	6633.00	7652.00	5743.00
		公式结果/kN	6058.34	7926.54	6043.12
		公式/Midas /(%)	91.30	103.60	105.20
集中 水平力	边塔侧：−9435.2 中塔侧：10 104.0	Midas结果/kN	6113.00	7459.00	5967.00
		公式结果/kN	5859.11	7733.01	5946.89
		公式/Midas /(%)	95.80	103.70	99.70
注：公式/Midas，表示公式结果与Midas结果的比值。

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从表5可以看出，各中央扣不平衡力公式计算值与Midas模型计算值相比，活载工况下相差3.0%到15.8%不等；在主梁上施加均布水平力，两者相差5.2%到8.7%不等；在主梁上施加集中水平力两者相差0.3%到4.2%不等；三个工况最大差值依次在16.0%、10.0%、5.0%以内，各工况下中间2号中央扣的差值一直较小且比较稳定，两边中央扣差值相对较大。两种结果产生差异的主要原因有：1)从工况1可知，全桥竖向变形对中央扣不平衡力分配有一定的影响，如主梁作用水平力的工况引起的结构整体竖向变形较小，中央扣水平力差值也较小；2)公式计算时，中央扣下端做了固结简化，带来一定影响；3)该处将主缆轴力近似为水平力以及纵坡引起的3对中央扣不完全一致，也会引起一定的误差。总体来看，利用本文方法可以较好的反应中央扣在全桥结构中的实际受力状态。

4   多对刚性中央扣设计应用

4.1   多对刚性中央扣协调受力调整

上述分析已明确影响刚性中央扣侧移刚度的主要因素为杆身倾角$\alpha$及轴向刚度$j$，并分析了主缆轴向刚度${j_0}$对不平衡水平力在中央扣间分配的影响。实际设计时，可通过调整$\alpha$、$j$实现多对刚性中央扣的协调受力，例如本桥方案增大中间中央扣面积，以调整$j$实现中央扣受力协调，还可以通过调整$\alpha$来实现相同的目的。

本桥中央扣最不利受力状态为活载一主跨满载、一主跨半载，如图8所示，在该工况下，半载跨的中央扣受到指向中塔方向的主缆不平衡力，对于满载跨中央扣，则受到指向边塔方向的主缆不平衡力，相当于同一处中央扣分别承受两个反向不平衡力。在主缆影响下，不平衡力在中央扣间的分配具有方向性，若3对中央扣完全相同，在上述两种情况下均保证3对中央扣受力相等是不可能实现的，因此，本桥适当提高了第2对中央扣侧移刚度，以承担更多的水平力，尽量使中央扣在两个工况下均受力协调。

图  8  加载示意图

Figure  8.  Loading diagram

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如果采用调整$\alpha$的方法来实现相同的目的，可假设图5中的3对中央扣截面尺寸均与第1对中央扣尺寸相同，两边中央扣倾角相等，中间中央扣倾角略小，以提高第2对中央扣侧移刚度，其他参数均与表3计算时相同，计算结果见表6。

表  6  调整方案

Table  6.  Adjustment scheme

参数		数值
		本桥方案	调整方案
杆身倾角/rad	$\alpha _1^{}$	1.012	1.083
	$\alpha _2^{}$	1.012	0.947
	$\alpha _3^{}$	1.012	1.083
侧移刚度/(N/mm)	$K_1^{}$	1.62×106	1.32×106
	$K_2^{}$	2.35×106	1.88×106
	$K_3^{}$	1.62×106	1.32×106
不平衡水平力/kN	$\Delta {N_1}$	7354.4	7142.1
	$\Delta {N_2}$	7915.5	7910.0
	$\Delta {N_3}$	4730.1	4948.0
比例/(%)	${{\Delta {N_1}}/ {\left( {\Delta {N_1} + \Delta {N_2} + \Delta {N_3}} \right)}}$	36.77	35.71
	${{\Delta {N_2}} / {\left( {\Delta {N_1} + \Delta {N_2} + \Delta {N_3}} \right)}}$	39.58	39.55
	${{\Delta {N_3}} / {\left( {\Delta {N_1} + \Delta {N_2} + \Delta {N_3}} \right)}}$	23.65	24.74
注：各参数符号下标数字代表中央扣编号。

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调整方案基本实现了与本桥方案相同的水平力分配结果，但是该方案调整了3对中央扣的倾角$\alpha$，给主梁、索夹等设计及制作带来一定的麻烦，因此本桥选择倾角相同、仅微调中央扣杆身轴向刚度的方式，协调中央扣的受力，具体工程设计时，应根据自身特点选择方案。

4.2   多对刚性中央扣快速设计流程

结合本桥设计，可以将多对刚性中央扣的设计流程归纳为六个主要步骤，其中，类似于4.1节方案的调整优化，可采用本文公式进行快速计算，再辅以有限元模型进行多工况验算，相较于直接利用全桥有限元模型进行试算，会有更高的效率，具体流程见图9。

图  9  刚性中央扣设计流程图

Figure  9.  Flow chart of rigid central buckle design

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5   结论

本文从力学角度对刚性中央扣进行了研究，对影响其侧移刚度的主要因素进行了敏感性分析，对中央扣间主缆轴向刚度、中央扣截面尺寸及倾角对多对刚性中央扣受力分配的影响进行了分析，给出了多对中央扣协调受力的调整方法及设计流程，为今后同类工程中中央扣的设计提供参考。通过研究，主要有以下结论：

(1) 刚性中央扣可以看作是受水平力作用的三角形刚架，通过力学计算，给出了单个刚性中央扣的侧移刚度的计算公式，并验证了其准确性；

(2)通过敏感性分析，明确了中央扣局部侧移刚度主要源自于中央扣杆身轴向刚度$j$及倾角$\alpha$，杆身抗弯刚度$i$的贡献很小，可忽略不计；

(3)中央扣间主缆轴向刚度、中央扣截面尺寸及倾角对不平衡力在多对刚性中央扣间的分配有较大影响，设计时应使中央扣具有一定的柔度，以使多对中央扣受力协调，可通过调整杆身倾角$\alpha$或杆身轴向刚度$j$实现；

(4)给出了设计流程，通过本文公式对中央扣进行计算，可快速进行方案调整，辅以全桥有限元模型进行多工况验算，可较快的实现方案优化。