已有研究表明^[1-3]：优良的耗能减震装置能够有效减轻结构在动力荷载作用下的响应，达到结构振动控制的目的。作为一种新型智能材料，形状记忆合金(SMA)具有奇特的形状记忆效应、超弹性和高阻尼特性^[4-5]，是制作耗能减震装置的理想材料。利用SMA制作成的阻尼器，具有可恢复变形大、耐疲劳等优点。

国内外许多学者都利用SMA材料开发了各种形式的具有自复位功能的阻尼器或耗能支撑^[6-8]。任文杰和李宏男^[9]提出一种由两组SMA丝束交替拉伸和回缩变化，实现滞回耗能的新型阻尼器；QIU等^[10]开发了以SMA作为复位元件的耗能支撑，通过振动台试验验证了该种支撑框架结构的优异抗震性能。然而对于消能减震结构，阻尼器的布置方式对结构抗震设防目标的实现具有显著影响，需通过阻尼器优化设计实现最佳的结构振动控制效果。传统的耗能减震设计方法依赖于工程师的设计经验，往往采用均匀布置、薄弱层布置等经验性方法，存在较大盲目性。因而合理确定阻尼器的空间位置，以最大限度提高结构的抗震性能，是目前土木工程抗震的研究热点之一^[11]。

随着计算机的应用和普及，大量的智能算法被引入消能减震结构优化设计中。MILMAN和CHU^[12]采用模拟退火算法用于求解一定数量的粘滞耗能器在空间结构中的优化布置问题；SONMEZ等^[13]采用蜂群算法对粘滞耗能器在平面框架中的优化布置进行求解；MIGUEL等^[14]使用萤火虫算法对摩擦耗能器在桁架桥梁中的布置进行优化。李宗京^[15]提出基于递增迭代法和改进遗传算法的耗能减震优化方法，用于解决高性能钢框架-支撑结构体系的耗能减震优化问题；金波等^[16]使用改进后的遗传算法实现了大跨网架结构上粘滞阻尼器位置和数量的优化；马宏伟等^[17]利用基于粗粒度并行的改进后的遗传算法，通过Matlab-ABAQUS-Python的交互使用从而实现阻尼器的优化布置。对于如今广泛应用的遗传算法，在其优化过程中并没有充分利用系统的反馈信息，往往导致无味的冗余迭代，故求解效率并不高；相比之下回溯搜索优化算法(BSA)能够记录历史种群的信息，充分利用系统内部信息的正反馈作用，进而达到最优结果的同时保证较高的求解效率。

文中首先提出了一种自复位SMA摩擦耗能阻尼器，在Matlab/Simulink环境中建立仿真模型，并通过阻尼器力学性能试验验证了模型的准确性；进一步建立了两阶段消能减震优化设计思想，以Benchmark模型第三阶段的9层非线性钢框架抗震模型为例，对阻尼器布设方案进行了优化分析。

1   自复位SMA阻尼器

1.1   SMA棒材性试验

为了探究SMA材料常温下的超弹性性能，使用INSTRON8802大荷载液压疲劳试验机完成了SMA棒的循环加载试验。试样采用的是陕西宝鸡海鹏金属材料有限公司生产的55.9%Ni-44.1%Ti(质量占比)形状记忆合金棒，奥氏体相变开始温度A_f=5℃，在室温下可表现出超弹性；试件平行段直径为9 mm，平行段长度为60 mm，加载装置如图1所示。

图  1  试验装置

Figure  1.  Experimental device

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采用等应变速率加卸载，应变速率为0.0005 s⁻¹，按照应变幅值为1%、2%、3%、4%、5%、6%、7%和8%进行循环拉伸试验，每级幅值加/卸载一次。试验前需对试件进行400℃，30 min温度处理，并在3%应变幅值下拉压循环20圈，以获得稳定的力学性能。SMA棒的滞回曲线如图2所示，呈饱满的旗帜形，在6%应变幅值下的残余应变为0.09%。但应变幅值由7%增至8%过程中残余应变由0.29%陡增为1.46%，因此为了保证SMA棒的自复位能力，可对SMA棒的最大工作应变予以限制。

图  2  SMA棒应力-应变曲线

Figure  2.  Stress-strain curve of the SMA bar

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1.2   自复位SMA阻尼器

基于SMA的超弹性，研发了一种新型自复位SMA阻尼器^[18]，其构造如图3所示，包括自复位装置和摩擦耗能装置两部分。自复位装置包括内外拉压板、SMA棒、竖挡板和限位挡板，阻尼器的设计保证了SMA棒在循环加载过程中始终承受拉力；摩擦耗能装置包括摩擦垫板、摩擦板及内部的非石棉有机(Non-asbestos organic, NAO)摩擦片，通过固体摩擦机制可有效提高阻尼器的耗能能力。阻尼器的构造设计保证了其在工作过程中自复位装置和摩擦耗能装置始终保持位移协同。需要注意的是摩擦力可利用螺栓对摩擦片施加预压力以达到预期，螺栓可通过可调扭力的扭矩扳手完成扭矩施加。

图  3  新型自复位SMA阻尼器构造示意图

Figure  3.  Schematic sketch of innovative self-centering SMA damper

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阻尼器的工作原理为：阻尼器在荷载作用下，内拉压板向右(左)移动，与NAO摩擦片、摩擦板产生相对滑动，推动竖挡板同时向右(左)运动，竖挡板进而通过带动由锚具固定的记忆合金棒，使得SMA棒受拉产生拉伸变形。卸载后，SMA棒产生向左(右)的恢复力，带动竖挡板复位，竖挡板进而带动内拉压板向左(右)运动，最终记忆合金棒带动竖挡板和内拉压板回到“静平衡位置”(此位置并非原始状态下的初始位置，而是摩擦力作用下，SMA棒的变形量位置，即该阻尼器的残余变形)，从而实现自复位功能。

所研发的阻尼器具有以下优势：1)可实现在阻尼器拉压受荷过程中一直保证SMA棒处于受拉状态，以防止SMA棒在受压过程中出现屈曲；2)可根据耗能、自复位性能的要求灵活调整摩擦力出力、SMA直径等参数，根据需要对阻尼器残余变形进行理论设计；3)阻尼器在震后无需更换，震后阻尼器内少量的残余变形可通过对SMA棒加热或预应力补充以完全恢复至原始状态。

2   阻尼器仿真模型的建立

2.1   自复位SMA阻尼器本构模型

根据阻尼器的构造可知，新型自复位阻尼器的恢复力由两部分组成，其总恢复力可以表示为：

式中：F_SMA为4根SMA棒材的总恢复力；F_f为摩擦力。

SMA棒的恢复力F_SMA可以表示为：

式中：A为阻尼器中SMA棒的总截面面积；σ_SMA和ε_SMA分别为SMA棒的应力和应变；x为阻尼器的位移；L_SMA为SMA棒初始长度。σ_SMA=f(ε_SMA)，本文使用Graesser本构模型^[19]来模拟SMA的本构关系，其微分方程形式的表达式如下：

式中：E为SMA棒弹性模量；Y为屈服应力；n为材料常数，为正奇整数，是用来控制相变或逆相变开始时过渡曲线曲率的参数；β为一维背应力；α为材料常数，α=E_y/(E−E_y)，其中E_y为应力应变曲线非弹性范围内的斜率；f_T、a和c为卸载过程中控制曲线形状及大小的材料常数。使用Matlab/Simulink模块，对上述Graesser模型进行了模拟仿真，SMA峰值应变设为6%，仿真程序如图4所示。根据SMA材性试验测试结果，模型参数选取为： E=39 000 MPa、Y=430 MPa、α=0.01、f_T=1.40、c=0.001、a=250、n=3。仿真模型与材性试验的结果对比如图5所示，两者曲线非常接近，说明采用的Graesser模型与SMA实际力学特性吻合良好。

图  4  SMA棒的Simulink仿真程序

Figure  4.  Simulink simulation program of SMA

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图  5  SMA试验曲线和模拟曲线的对比

Figure  5.  Comparison between experimental and numerical curves of SMA

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在理论分析中，阻尼器中的摩擦单元力学模型近似为理想刚塑性模型，其表达式如下：

式中：f为摩擦力大小；$\text{sgn(}\dot{{x}}\text{)}$为符号函数，定义如下：

式中，$\dot{{x}}$为阻尼器两端的相对速度矢量。由式(4)和式(5)可知摩擦力的大小是恒定的值，但其方向总是与滑动速度的方向相反。MOSTAGHEL和DAVIS^[20]提出至少可以用四种不同的连续函数来表示因速度方向变化导致数值不连续的摩擦力。本文选择使用具有较小误差的非线型函数f₂(α₂,v)=tanh(α₂v)，其中α₂=10¹⁰。

2.2   数值模拟

基于2.1节所述阻尼器的本构模型，使用Matlab/Simulink模块建立了阻尼器的仿真程序。为了验证仿真模型的准确性，开展了SMA自复位摩擦阻尼器的滞回性能测试研究，根据文献[18]中阻尼器参数优化计算结果，将摩擦力f取为25 kN，SMA棒材直径设为9 mm，长度为600 mm，数量为4根。阻尼器滞回曲线数值模拟结果与试验结果对比如图6所示。选取了单圈滞回耗能量W和等效粘滞阻尼比ξ_eq两个力学参数来定量分析数值模拟结果的精确度。单圈耗能量W即为循环荷载下力-位移曲线所包围的面积，代表其耗能能力；等效粘滞阻尼比ξ_eq的定义如下：

式中，F_max和D_max分别为循环荷载下阻尼器最大出力和最大位移幅值。对比结果如表1所示。

图  6  阻尼器数值模拟与试验结果滞回曲线对比

Figure  6.  Comparison between experimental and numerical hysteretic curves of the damper

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表  1  力学参数试验结果与数值模拟结果对比

Table  1.  Comparison of mechanical parameters between experimental and numerical results

SMA应变/(%)	数据类型	单圈滞回耗能量W/J	等效粘滞阻尼比ξeq
4	数值模拟	3241.45	0.1845
	试验数据	2951.21	0.1735
	误差/(%)	−9.83	−6.34
5	数值模拟	4242.92	0.1807
	试验数据	3909.09	0.1688
	误差/(%)	−8.54	−7.05
6	数值模拟	5194.37	0.1755
	试验数据	4911.33	0.1636
	误差/(%)	−5.76	−7.27

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从图6中可以看出，阻尼器在不同的位移幅值下表现出稳定的滞回能力，有良好的自复位能力。数值模拟的结果与试验结果基本吻合，仿真模型能够有效表现出阻尼器的滞回特点。由表1可得，在24 mm、30 mm和36 mm(对应SMA棒应变分别为4%、5%和6%)位移幅值时，模拟结果中的单圈耗能量和等效粘滞阻尼比与试验结果的误差最大值分别为9.83%和7.27%。需要注意的是Graesser模型未能考虑SMA材料在变形过程中的残余应变，且忽略了加卸载路径对模型参数的影响，导致了数值模型的滞回耗能大于试验结果。此外，由于阻尼器实测中，4根SMA棒由于未能同时屈服而导致模拟结果的屈服荷载与实测结果的屈服荷载有所差异。

3   两阶段减震优化设计方法

如2.1节和2.2节所述，所提出的阻尼器可以适用于任何类型的动荷载(如地震)作用下的结构，而将优化技术应用于减震器件则能够避免工程中的高昂成本。如图7所示，本文提出一种两阶段减震优化设计方法：第一阶段为循环迭代法，通过逐次增设阻尼器数量开展循环迭代，寻求满足预设条件下结构中阻尼器使用的总数量；第二阶段使用基于全局搜索机制的回溯搜索优化算法(Backtracking search optimization algorithm, BSA)开展二次优化计算。

图  7  两阶段减震优化设计流程示意

Figure  7.  Flowchart of the two-step seismic design optimization method

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3.1   循环迭代法

阻尼器在结构中的布设方案用位置向量D_b=[n₁, n₂, …, n_a, …, n_N]来表示，b为迭代次数，n_a为结构内第a层的阻尼器布设数量，N为结构楼层总数量。循环迭代法(Cyclic iteration method, CIM)的具体步骤如下：

步骤1：首先以无控结构(即主体框架，D₀=[0, …, 0])作为初始方案开始循环。

步骤2：输入地震波，计算在设防、罕遇、极罕遇地震作用下当前结构的最大层间位移角θ_1max、θ_2max、θ_3max，并记录最大层间位移角所在楼层，分别为L₁、L₂、L₃。若$\max \left\{ {\dfrac{{{\theta _{1\max }}}}{{{\theta _1}}},\dfrac{{{\theta _{2\max }}}}{{{\theta _2}}},\dfrac{{{\theta _{3\max }}}}{{{\theta _3}}}} \right\} = \dfrac{{{\theta _{i\max }}}}{{{\theta _i}}}$，i=1、2、3，则在L_i层增设1个阻尼器。其中：θ₁、θ₂、θ₃分别为设防、罕遇、极罕遇地震作用下结构的层间位移角限值。

步骤3：将L_i层增设的阻尼器数量，加入更新阻尼器布设位置向量D_j，并对增设阻尼器后的新结构进行时程分析，根据计算结果更新θ_1max、θ_2max、θ_3max及L₁、L₂、L₃。

步骤4：若$\max \left\{ {\dfrac{{{\theta _{1\max }}}}{{{\theta _1}}},\dfrac{{{\theta _{2\max }}}}{{{\theta _2}}},\dfrac{{{\theta _{3\max }}}}{{{\theta _3}}}} \right\} \leqslant 1$，则结构在各水准地震作用下均已经达到预期的抗震性能目标，终止循环并输出阻尼器布设位置向量D_j和阻尼器总数量${n_{\max }} = \displaystyle\sum\limits_{a = 1}^N {{n_a}}$；若$\max \left\{ \dfrac{{{\theta _{1\max }}}}{{{\theta _1}}},\dfrac{{{\theta _{2\max }}}}{{{\theta _2}}},\right. \left.\dfrac{{{\theta _{3\max }}}}{{{\theta _3}}} \right\} > 1$，则需返回步骤2继续进行下一轮循环计算。

3.2   回溯搜索优化算法

3.1节循环迭代法的本质是一种局部搜索机制的优化算法，回溯搜索优化算法(BSA)是一种具有极高准确率和有效性的全局搜索进化算法^[21]，其相对于局部搜索机制有更强的全局搜索能力，不易陷入局部最优解。根据上一阶段的优化结果，第二阶段的优化过程选择使用回溯搜索优化算法。

首先，对位置向量D_b=[n₁, n₂, …, n_a, …, n_N]作为种群中的个体编码，例如取种群规模为50，则可表示为：

式中：D_b为种群中的第b个个体；n_b,a为第b种布设方案中第a层布置的阻尼器数量，初始种群中的各楼层布设阻尼器数量随机取值。

对于自复位SMA阻尼器减震优化问题，个体适应度函数Fitness定义为：

式中，J为目标函数。为了兼顾阻尼器总数量和结构性能目标，同时加快收敛速度，故将目标函数J设置为：

式中：n_sum为结构中布设阻尼器的总数量；n_max为预设的最大允许阻尼器布设数量，即为第一阶段循环迭代法的优化计算结果。${\theta _{1}'}$、${\theta _{2}'}$、${\theta _{3}'}$是无控结构在设防、罕遇、极罕遇地震下的最大层间位移角。

4   实例计算分析

4.1   结构概况

本文研究选取的结构是Benchmark模型第三阶段的9层非线性钢框架抗震模型^[22]。假定阻尼器在结构中采用人字形支撑布置，阻尼器保持水平状态，铰接于支撑与框架柱之间，与所在楼层保持位移协同。按照GB 50011−2010^[23]规定，选用4组实际强震记录和1组人工模拟加速度时程。人工波是通过Kanai-Tajimi滤波器^[24-25]的高斯白噪声过程来模拟的一维地震作用。各地震动时程如图8所示，总时长为30 s，时间间隔均为0.02 s，所选地震动反应谱与规范谱的对比如图9所示。抗震设防烈度选用8度设防0.30 g，根据GB 50011−2010^[23]和GB 18306−2015^[26]的指导，乔升访^[27]建议设防地震、罕遇地震和极罕遇地震三种地震动强度所对应的峰值加速度值分别为200 cm/s²、400 cm/s²、710 cm/s²。

图  8  地震动时程曲线

Figure  8.  Acceleration time histories of different ground motions

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图  9  地震动加速度反应谱

Figure  9.  Acceleration response spectra of different ground motions

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根据相关文献[28-30]中结构在各水准地震作用下层间位移角参考值，针对多、高层钢框架结构，设防、罕遇、极罕遇地震作用下的层间位移角限值建议分别设为^[31]θ₁=1/167、θ₂=1/83、θ₃=1/56。

如图10所示，在Matlab/Simulink环境中建立了布设自复位摩擦阻尼器的钢框架结构仿真分析模型，该分析模型用来评估使用被动控制策略的多自由度结构在地面运动加速度作用下的地震响应，其中非线性结构评估模型^[22]采用Newmark-β法求解有控结构的动力学方程，被动控制力来自于自复位SMA阻尼器，在模型中被抽象为SMA自复位装置和摩擦耗能装置2个子系统，分别通过输入位移向量和速度向量，计算阻尼器的摩擦力和SMA棒出力。

图  10  Matlab/Simulink环境中的仿真模型

Figure  10.  Simulation in the Matlab/Simulink environment

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需要指出的是，阻尼器中SMA棒材长度L可通过抗震设防性能目标或无控结构的地震响应试算确定。经计算，在本优化案例中的Benchmark结构在罕遇地震作用下的最大层间位移角限值为1/64，那么设定阻尼器的工作位移为1/64h(h=3960 mm)，根据阻尼器中SMA棒的工作应变为6%，可计算得SMA棒材长度对应值为1028 mm，保守取值为1200 mm。其余单个阻尼器各参数取值与2.2节中所提供数据一致。

4.2   优化结果及分析

首先在Matlab环境中编写程序实现3.1节所述第一阶段循环迭代法的计算过程，图11即为5种不同地震动分别作用下的优化结果。由于各地震波的频谱特性差异，导致不同地震动作用下结构的响应具有很大差别，所以结构满足预设条件所需的阻尼器数量不同。根据图11中所示结果，结构中某些位置阻尼器需求数达到了40个，而在实际工程中则可以增加单个阻尼器的出力大小，减少达到相同性能所需的总数量。

图  11  基于循环迭代法的优化结果

Figure  11.  Optimization results obtained by cyclic iterative method

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以人工波的结果为例，进行第二阶段优化计算。在运行BSA之前应当首先确定优化变量的上下限，人工波作用下第一阶段优化结果对应的总数目为119个，即阻尼器可使用总量的上限值为119个，阻尼器模型参数不变。BSA的迭代数设置为300，初始种群规模设置为100。编制程序进行了若干次独立运行，部分结果展示在表2中。

由表2可知，BSA的运行结果J非常相近，平均值为0.390 378，标准差约为7.2954×10⁻³。结果表明：BSA收敛性是极好的，所有布设形式均可以将结构的最大层间位移角控制在预设限值内。同时，表2中最优方案使用的阻尼器总数为79个，远小于CIM优化方案即119个，其经济型优势更为明显。

表  2  BSA的优化结果

Table  2.  Optimization results obtained by BSA

运行次数	各层布设数量/个	阻尼器总数量/个	结构最大层间位移角			J1	J2	J
			设防地震	罕遇地震	极罕遇地震
1	[29; 19; 14; 15; 0; 0; 0; 1; 1]	79	0.005 140	0.010 925	0.017 833	0.663 866	0.853 235	0.376 035
2	[19; 25; 16; 19; 0; 0; 0; 2; 0]	81	0.004 957	0.010 830	0.017 837	0.680 672	0.853 431	0.395 407
3	[29; 18; 16; 14; 2; 0; 0; 1; 1]	81	0.005 109	0.010 839	0.017 697	0.680 672	0.846 769	0.392 320
4	[11; 25; 31; 12; 0; 0; 0; 2; 0]	81	0.005 008	0.011 034	0.017 841	0.680 672	0.853 641	0.395 505
5	[37; 14; 14; 15; 0; 0; 0; 1; 0]	81	0.005 301	0.011 052	0.017 711	0.680 672	0.847 425	0.392 624

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选择表2中J值最小的方案1，考虑极罕遇地震情况，得到图12所示的各工况下3个抗震指标沿结构高度方向的对比图。此外，为了对比钢框架结构中SMA自复位摩擦阻尼器的有效性和优化结果的合理性，作者还建立了采用布设传统屈曲约束支撑(Buckling restrained braces, BRB)和常规均匀布设阻尼器(总数为79个，即布置向量为[9; 9; 9; 9; 9; 9; 9; 9; 7])的有控结果，其中设计原则为保证BRB与阻尼器附加给结构的刚度相同，且屈服力相同，采用与SMA阻尼器相同的布置方案(即方案1)。

由图12可知得，虽然优化方案下各层峰值加速度基本上都有放大的效应，但对于结构的峰值位移，各优化方案减震效果都较为明显。无控结构的峰值位移曲线呈现明显的剪切型特征；各优化方案下的结构各层峰值位移都得到了明显的减小。

图  12  极罕遇地震下各方案抗震指标沿结构高度方向的对比

Figure  12.  Seismic demands under very rare earthquake ground motion along building height

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对于常规均匀布设方案和使用传统BRB减震装置的方案，其最大层间位移角均已超过限值1/56，对应的最大值分别位于第2层(约为1/45)和第3层(约为1/43)。相比之下，第一阶段的CIM优化方案和两阶段综合的BSA优化方案则有效地将结构最大层间位移角控制在了限值内。虽然CIM方案在高层的控制效果较为显著，但是BSA方案明显更具经济合理性。此外，原主体框架在第2层、第6层有梁柱截面变化，且第7层、第8层和顶层均设计使用了不同的柱截面^[22]，故无控结构层间位移角沿高度在这些位置有较为明显的锯齿状分布；经过两阶段优化后，其值有了明显减小且沿高度分布更加均匀。定义减震率为：

式中，θ₀和θ分别为无控结构和有控结构的最大层间位移角。各优化方案下的减震率如表3所示。CIM和BSA优化方案下结构各层的减震率平均值分别为31.46%和20.94%；相比于第一阶段的CIM方案，后者减震率略低，但是其使用了更少数量的阻尼器，且减震效果同样满足预设限值的要求，故更具备经济合理性。

表  3  结构层间位移角减震率

Table  3.  Reduction ratio in inter-story drift ratio of structure /(%)

优化方案	第1层	第2层	第3层	第4层	第5层	第6层	第7层	第8层	第9层	平均
CIM优化方案	31.45	34.28	34.66	31.36	26.41	30.88	39.07	30.66	24.37	31.46
常规均布方案	14.28	17.27	20.94	22.84	24.46	32.53	29.40	30.54	26.69	24.33
BSA-1	33.67	34.06	32.64	28.47	20.16	22.16	8.72	4.10	4.44	20.94
传统BRB	11.14	7.49	6.05	6.97	4.56	14.48	17.80	17.53	21.93	11.99

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5   结论

本文将SMA的自复位性能结合摩擦耗能材料，提出了一种新型自复位SMA阻尼器，并建立了基于循环迭代法和回溯搜索优化算法的两阶段减震优化设计方法。具体结论如下：

(1) 开展了形状记忆合金棒材性试验，滞回曲线呈旗帜形，表现出优异的超弹性，在6%应变下仅有0.09%的残余应变。

(2) 设计了一种新型自复位SMA阻尼器，并建立了其数值仿真模型，模拟结果和试验结果吻合良好，验证了阻尼器力学模型的正确性。

(3) 将循环迭代法和回溯搜索优化算法两种优化算法相结合，提出了两阶段消能减震优化设计方法。以9层Benchmark钢框架结构作为结构算例进行了优化设计分析，结果表明：经过两次优化后的框架结构减震率高达20.94%，可满足四水准抗震设防目标。