解析型几何非线性圆拱单元

丁敏; 石家华; 王斌泰; 王宏志; 邓婷; 罗双; 蒋秀根

doi:10.6052/j.issn.1000-4750.2020.07.0504

解析型几何非线性圆拱单元

丁敏^1,,
石家华^1,,
王斌泰^1,,
王宏志^1,,
邓婷^{1, 2,},
罗双^{1, 3,},
蒋秀根^1, ,

1.
中国农业大学水利与土木工程学院，北京 100083
2.
唐山市路北区凤凰新城管委会，河北，唐山 064400
3.
中国农业科学院基本建设局，北京 100081

基金项目: 国家自然科学基金项目(11672362)；中国农业大学—西藏农牧学院科研合作基金项目(2017TC025)

详细信息

作者简介:
丁　敏(1980−)，女，山东人，副教授，博士，从事结构工程力学性能方面的研究(E-mail: dingmin@cau.edu.cn)

石家华(1996−)，男，湖南人，硕士生，从事结构工程方面的研究(E-mail: shijiahua17@126.com)

王斌泰(1994−)，男，河南人，硕士生，从事结构工程方面的研究(E-mail: bintai@cau.edu.cn)

王宏志(1967−)，男，江西人，副教授，博士，从事计算力学研究(E-mail: wanghongzhi1990@126.com)

邓　婷(1993−)，女，河北人，硕士，从事结构工程方面的研究(E-mail: 623574410@qq.com)

罗　双(1992−)，女，四川人，硕士，从事结构工程方面的研究(E-mail: shishuang.luo@qq.com)

通讯作者:
蒋秀根(1966−)，男，江苏人，教授，硕士，从事结构工程力学性能方面的研究(E-mail: jiangxg@cau.edu.cn)

中图分类号: TU311
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出版历程
- 收稿日期: 2020-07-23
- 修回日期: 2021-01-14
- 网络出版日期: 2021-01-25
- 刊出日期: 2021-07-14

ANALYTICAL GEOMETRICALLY NONLINEAR ELEMENTS FOR CIRCULAR ARCHES

DING Min^1,,
SHI Jia-hua^1,,
WANG Bin-tai^1,,
WANG Hong-zhi^1,,
DENG Ting^{1, 2,},
LUO Shuang^{1, 3,},
JIANG Xiu-gen^1, ,

1.
College of Water Resources and Civil Engineering, China Agricultural University, Beijing 100083, China
2.
Management Committee of Fenghuang New City, Lubei District, Tangshan City, Tangshan, Hebei 064400, China
3.
Department of infrastructure, Chinese Academy of Agricultural Sciences, Beijing 100081, China

摘要

摘要: 为研究圆拱结构几何非线性内力和位移计算以及平面内稳定分析问题，基于圆拱几何非线性静力分析模型，构造了解析位移形函数，进而利用能量法和势能变分原理，构造了解析型几何非线性圆拱单元，给出了单元列式；同时将该文模型通过理论退化，得到了不考虑轴向变形的无压缩圆拱模型，进一步得到了解析型无压缩几何非线性圆拱单元，并将此单元应用于圆拱的平面内稳定分析。研究结果表明：采用本单元模型进行平面内分岔失稳分析得到的失稳临界荷载系数与经典Timoshenko模型、Dinnik模型及静力法模型计算结果一致，相对误差为0%；平面内分岔失稳的临界荷载与平面内极值点失稳的临界荷载一致。该文单元具有解析型、高精确性以及良好的适用性，可用于任意工况下圆拱结构几何非线性位移、内力和平面内稳定分析。
- 圆拱 /
- 解析型单元 /
- 变分原理 /
- 几何非线性 /
- 平面内稳定分析
Abstract: To study the geometrically nonlinear internal force and displacement calculation and the in-plane stability of circular arch structures, the analytical displacement shape function is established based on the geometrically nonlinear static analysis model of a circular arch. The analytical geometrically nonlinear element for circular arches is constructed by using energy method and potential energy variational principle. The element formulas are obtained. The element model in this paper is theoretically degenerated without the axial deformation. Then the analytical geometrically nonlinear element for circular arches without compression is obtained. The element was used in the in-plane stability analysis of circular arches. The results show that the critical load coefficient of the in-plane bifurcation instability obtained by this element is consistent with the results of classical Timoshenko model, Dinnik model and static method model. The relative error is 0%. The critical load of in-plane bifurcation instability is also in accordance with that of in-plane extreme point instability. The element presented in this paper is of analytical type, high accuracy and good applicability. It can be used for geometrically nonlinear displacement and internal force analysis and in-plane stability analysis of circular arches under any load cases.
- circular arch /
- analytical element /
- variation principle /
- geometric nonlinearity /
- in-plane stability analysis

HTML全文

圆拱作为一种压弯结构，由于轴线曲率的影响，使得轴力与弯矩相互耦合，其截面内力以轴力为主、同时存在弯矩及剪力。一方面在实际工程中，由于拱结构的长细比较大^[1]，截面刚度较小，为保证拱结构内力和位移计算结果的精确性，研究中考虑杆件几何非线性影响是十分必要的；另一方面由于拱截面内力以轴压力为主，弯矩及剪力为辅，拱发生失稳破坏是一种常见的破坏形式，而拱结构失稳破坏是典型的非线性问题。

拱的失稳破坏具有突然性，如极值点失稳、分岔失稳，拱结构稳定性是影响其安全性的重要因素之一^[2-10]。圆拱由于受面内荷载易发生平面内失稳，当拱在平面内荷载作用下，所承受的荷载达到一定的临界值时，拱的平衡状态会发生突然性的改变，拱轴线离开原来的变形状态，向平面挠曲状态转化，从而丧失稳定性^[11-13]。平面内失稳可分为平面内分岔失稳与平面内极值点失稳，而结构只有在径向均布荷载作用下且忽略轴向变形时，才会发生分岔失稳^[14]。因此在分析圆拱结构几何非线性问题时应考虑是否忽略轴向变形：忽略轴向变形的无压缩模型可进行分岔失稳分析，考虑轴向变形的可压缩模型可进行极值点失稳分析。

对于圆拱的几何非线性问题，国内外学者采用静力法、能量法和有限元法等建立了各类几何非线性圆拱模型，求解相应问题。Timoshenko^[15]考虑几何非线性对结构的影响，建立了受压圆环和曲杆的屈曲分析模型，从物理方程出发得到了二阶弯曲挠度位移微分方程，结合圆拱边界条件求出了精确的圆拱分岔失稳特征方程及临界荷载。Dinnik^[16]在均布静水压力作用下的圆拱研究中，运用力法先求出内力的表达式，再根据物理方程、几何方程求出位移表达式，进而根据边界条件得到了不同支座情况下的失稳临界荷载。项海帆^[14]分析了圆拱的平面内屈曲问题，详细列出了无铰拱、两铰拱以及三铰拱在不同弧心角时的临界荷载系数。邓婷^[11]基于静力法基本方程求得了考虑轴力产生的二阶效应的几何非线性圆拱位移及内力解析表达式，以矩阵形式的直接刚度法构造了有限单元，并用静力法进行了分岔失稳分析。申波等^[17]利用小变形理论及ANSYS 研究了均匀径向压力作用下深圆拱的平面内稳定性，从微段平衡方程入手，计算得到了轴向位移通解。程鹏、童根树^[18]依据平截面假定，采用有限变形理论中的应变位移关系，完整地考虑了横向应力和剪应力的二阶效应，用虚功原理推导了拱平面内非线性分析的平衡方程，给出了圆弧拱平面内弯曲失稳一般理论。可见，研究主要集中在特定工况下圆拱结构稳定问题的解析解方面，对于任意工况下圆拱结构的内力、位移和稳定分析尚缺乏统一模型。本课题组提出了解析形函数法^[19-22]，该方法综合了静力法、能量法及有限元法的优点，是一种高精度高效率的研究方法，可用较少的单元精确分析复杂结构复杂荷载的问题。

本文以圆拱为研究对象，采用解析形函数法，基于小变形、大挠度假定，考虑轴力引起杆件二阶弯矩的几何非线性影响，在静力法位移方程的基础上，构造了圆拱解析形函数，结合能量法及势能变分原理，构造解析型几何非线性圆拱单元，采用本单元模型对圆拱的平面内分岔失稳和极值点失稳进行对比分析，验证本构造单元的精确性、可行性和适用性。

1 模型及假定

1.1 模型参数

建立随动极坐标系，圆拱坐标系及内力方向如图1所示。按右手螺旋法则定义坐标系，坐标原点位于拱左端，轴向坐标 $x$ 为圆拱轴线方向，向右为正， ${\textit{z}}$ 轴为圆拱径向方向，位于圆拱轴线平面内，垂直于轴线，指向圆心为正。

图 1 圆拱坐标系及内力

Figure 1. Coordinate system and internal force of circular arch

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圆拱参数：轴线为平面圆弧，其半径为 $r$ ，弧长为 $l$ ，圆心角为 $\theta$ ，且 $l = r\theta$ 。

圆拱荷载：轴向均布荷载 ${q_x}$ 、径向均布荷载 ${q_{\textit{z}}}$ 、均布力矩 $m_y$ ， ${x_{{i}}}$ 处轴向集中力 ${P_{xi}}$ 、径向集中力 ${P_{{\textit{z}}i}}$ 及集中力矩 ${M_{yi}}$ ，与坐标轴方向一致为正。

圆拱位移：轴向位移 $u$ 、径向位移 $w$ 和转角 $\beta$ ，与坐标轴方向一致为正。

圆拱内力：轴力 $N$ 、剪力 $V$ 和弯矩 $M$ ，当截面外法线方向与坐标轴方向一致时，定义为与坐标轴方向一致为正；当截面外法线方向与坐标轴正向相反时，内力定义为与坐标轴方向相反为负。

单元物理量：节点位移向量 ${{{\delta }}^{\rm{e}}}$ 、节点力向量 ${{{F}}^{\rm{e}}}$ ，单元刚度矩阵 ${{{K}}^{\rm{e}}}$ 、几何刚度 ${{{G}}^{\rm{e}}}$ 、等效节点力向量 ${{\tilde{ F}}^{\rm{e}}}$ ，其中：

$\begin{split} & {{{\delta }}^{\rm{e}}} = {\{ {{u_1}}\;\;{{w_1}}\;\;{{\beta _1}}\;\;{{u_2}}\;\;{{w_2}}\;\;{{\beta _2}} \}^{\rm{T}}};\\ & {{{F}}^{\rm{e}}} = {\{ {{N_1}}\;\;{{V_1}}\;\;{{M_1}}\;\;{{N_2}}\;\;{{V_2}}\;\;{{M_2}} \}^{\rm{T}}}{\text{。}} \end{split}$

1.2 基本假定

本文推导过程基于以下假定：

1)圆拱轴线为等曲率平曲圆弧；

2)将圆拱视为细长杆，忽略剪切变形，可采用Euler-Bernoulli弯曲理论计算截面的弯曲应力及弯曲变形；

3)圆拱截面按等截面考虑，对于变截面圆拱，可将其划分或简化为若干个等截面圆拱段；

4)圆拱为线弹性变形，圆拱的抗压刚度EA及抗弯刚度EI均为常数，圆拱截面内力与变形成正比；

5)符合大挠度假定，考虑轴力产生的二阶效应，即P-Δ效应。

2 单元位移形函数

2.1 位移控制方程

综合圆拱平衡方程、几何方程及物理方程^[11]，可得位移控制方程：

1)轴向位移控制方程

$\begin{split} & \left({\frac{{EI}}{r} + EAr} \right)\frac{{{{\rm{d}}^2}u}}{{{\rm{d}}{x^2}}} = \\&\qquad - EI\frac{{{{\rm{d}}^3}w}}{{{\rm{d}}{x^3}}} +EA\frac{{{\rm{d}}w}}{{{\rm{d}}x}} + {N_0}\frac{{{\rm{d}}w}}{{{\rm{d}}x}} - r{q_x} + m_y \end{split}$

(1)

式中： $E$ 为材料弹性模量； $A$ 为截面面积； ${I}$ 为截面惯性矩。

2)径向位移控制方程

$\begin{split} & \frac{{{{\rm{d}}^5}w}}{{{\rm{d}}{x^5}}} + \frac{1}{{{r^2}}}({{\lambda ^2} + 1} )\frac{{{{\rm{d}}^3}w}}{{{\rm{d}}{x^3}}} + \frac{1}{{{r^4}}}{\lambda ^2}\frac{{{\rm{d}}w}}{{{\rm{d}}x}} = \frac{1}{{rEA}}\frac{{{{\rm{d}}^2}{q_x}}}{{{\rm{d}}{x^2}}} - \\&\quad \frac{{{q_x}}}{{rEI}} + \left({\frac{1}{{{r^2}EA}} + \frac{1}{{EI}}} \right)\frac{{{\rm{d}}{q_{\textit{z}}}}}{{{\rm{d}}x}} + \frac{1}{{EI}}\frac{{{{\rm{d}}^2}{m_y}}}{{{\rm{d}}{x^2}}} + \frac{m_y}{{{r^2}EI}} \end{split}$

(2)

3)位移协调方程

$EA\left({\frac{{{{\rm{d}}^3}u}}{{{\rm{d}}{x^3}}} \!+\! \frac{1}{{{r^2}}}\frac{{{\rm{d}}u}}{{{\rm{d}}x}}} \right) \!=\! EA\frac{1}{r}\frac{{{{\rm{d}}^2}w}}{{{\rm{d}}{x^2}}} \!+\! EA\frac{w}{{{r^3}}} \!-\! \frac{{{\rm{d}}{q_x}}}{{{\rm{d}}x}} \!-\! \frac{{{q_{\textit{z}}}}}{r}$

(3)

2.2 位移方程

对位移控制方程式(1)~式(3)求解关于径向位移 $w$ 和轴向位移 $u$ 的齐次微分方程，可得^[11]：

$\begin{split} w =& {d_1} + {d_2}\sin \left({\frac{x}{r}} \right) + {d_3}\cos \left({\frac{x}{r}} \right) + \\ & {d_4}\sin \left({\frac{\lambda }{r}x} \right) + {d_5}\cos \left({\frac{\lambda }{r}x} \right) \end{split}\qquad$

(4)

$\begin{split} u = &\frac{1}{r}{d_1}x - {d_2}\zeta \cos \left({\frac{x}{r}} \right) + {d_3}\zeta \sin \left({\frac{x}{r}} \right) - \\ & {d_4}\frac{1}{\lambda }\cos \left({\frac{\lambda }{r}x} \right) + {d_5}\frac{1}{\lambda }\sin \left({\frac{\lambda }{r}x} \right) + {d_6} \end{split}$

(5)

式中： $\lambda = \sqrt {1 - \dfrac{{{N_0}{r^2}}}{{EI}}}$ ； $\zeta = \dfrac{{2 - {\lambda ^2} + \dfrac{{EA}}{{EI}}{r^2}}}{{1 + \dfrac{{EA}}{{EI}}{r^2}}}$ ； ${d_1}$ ~ ${d_6}$ 为位移系数；N₀为圆拱截面内轴力，拉为正。

2.3 位移基函数向量及导函数转换矩阵

1)位移基函数向量

将式(4)和式(5)写成关于位移系数的向量表达，可得位移向量表达式：

$w = {{{f}}_{w}}{{d}},\;u = {{{f}}_{u}}{{d}}$

(6)

式中： ${{d}}$ 为位移系数向量，且 ${{d}} = \{ {{d_1}}\;\;{{d_2}}\;\;{{d_3}}\;\;{{d_4}}$ ${{d_5}}\;\;{{d_6}} \}^{\rm{T}}$ ； ${{{f}}_{w}}$ 、 ${{{f}}_{u}}$ 分别为径向和轴向位移基函数向量，且：

${{{f}}_{w}} = {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ {\sin \dfrac{x}{r}} \\ {\cos \dfrac{x}{r}} \\ {\sin \dfrac{{\lambda x}}{r}} \\ {\cos \dfrac{{\lambda x}}{r}} \\ 0 \end{array}} \right\}^{\rm{T}}},\;{{{f}}_{u}} = {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{x}{r}} \\ { - \zeta \cos \dfrac{x}{r}} \\ {\zeta \sin \dfrac{x}{r}} \\ { - \dfrac{1}{\lambda }\cos \dfrac{{\lambda x}}{r}} \\ {\dfrac{1}{\lambda }\sin \dfrac{{\lambda x}}{r}} \\ 1 \end{array}} \right\}^{\rm{T}}}$

(7)

2)导函数转换矩阵

使用导函数转换矩阵 ${{Z}}$ 来表述基函数导数 ${{f'}}$ 与基函数 ${{f}}$ 的关系，有：

${{f'}} = {{fZ}},\;{{f''}} = {{fZZ}}$

(8)

结合式(7)可得，径向与轴向位移基函数向量的导数转换矩阵一致，且为：

${{Z}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&0&0&0&0 \\ 0&0&{ - \dfrac{1}{r}}&0&0&0 \\ 0&{\dfrac{1}{r}}&0&0&0&0 \\ 0&0&0&0&{ - \dfrac{\lambda }{r}}&0 \\ 0&0&0&{\dfrac{\lambda }{r}}&0&0 \\ {\dfrac{1}{r}}&0&0&0&0&0 \end{array}} \right]$

(9)

2.4 单元位移形函数

根据两端节点几何边界条件，可得：

${{{\delta }}^{\rm{e}}} = {\{ {u(0)}\;\;{w(0)}\;\;{\beta (0)}\;\;{u(l)}\;\;{w(l)}\;\;{\beta (l)} \}^{\rm{T}}}$

写成：

${{{\delta }}^{\rm{e}}} = {{Ad}}$

(10)

式中， ${{A}}$ 为节点位移矩阵，且：

${{A}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{f}}_{u}}(0)} \\ {{{{f}}_{w}}(0)} \\ {{{{f}}_{w}}(0){{Z}} + \dfrac{1}{r}{{{f}}_{u}}(0)} \\ {{{{f}}_{u}}(l)} \\ {{{{f}}_{w}}(l)} \\ {{{{f}}_{w}}(l){{Z}} + \dfrac{1}{r}{{{f}}_{u}}(l)} \end{array}} \right\}$

根据式(10)，其位移方程式(6)可改写为：

$w = {{{f}}_{w}}{{{A}}^{ - 1}}{{{\delta }}^{\rm{e}}};\;u = {{{f}}_{u}}{{{A}}^{ - 1}}{{{\delta }}^{\rm{e}}}$

(11)

定义 $w = {{{N}}_w}{{{\delta }}^{\rm{e}}}$ ， $u = {{{N}}_u}{{{\delta }}^{\rm{e}}}$ ，可得：

${{{N}}_{w}} = {{{f}}_{w}}{{{A}}^{ - 1}},\;{{{N}}_{u}} = {{{f}}_{u}}{{{A}}^{ - 1}}$

(12)

式中， ${N_{w}}$ 、 ${N_{u}}$ 分别为径向和轴向位移形函数。

同时根据几何方程^[11]，代入位移形函数式(12)，可得轴向应变 $\varepsilon$ 、弯曲转角 $\beta$ 和弯曲曲率 $\kappa$ 表达如下：

$\begin{split} & \varepsilon = \left({{{{f}}_{u}}{{Z}} - \frac{1}{r}{{{f}}_{w}}} \right){{{A}}^{ - 1}}{{{\delta }}^{\rm{e}}},\;\beta = \left({{{{f}}_{w}}{{Z}} + \frac{1}{r}{{{f}}_{u}}} \right){{{A}}^{ - 1}}{{{\delta }}^{\rm{e}}},\\ & \kappa = \left({{{{f}}_{w}}{{Z}} + \frac{1}{r}{{{f}}_{u}}} \right){{Z}}{{{A}}^{ - 1}}{{{\delta }}^{\rm{e}}} \end{split}\!\!\!\!\!\!\!$

(13)

3 可压缩圆拱势能及单元

3.1 单元势能一般式

平面圆拱结构承受荷载时，单元总势能包括变形能和荷载势能。变形能包括压缩变形能和弯曲变形能；当考虑轴力产生的二阶效应时，荷载势能包括外荷载势能和杆端轴力势能。单元总势能可写成下列形式^[23]：

$\begin{split} {\prod \nolimits_{\rm{P}}} = & U + {U_{\rm{P}}} = \\[-5pt] & \int_l {\frac{1}{2}EA{\varepsilon ^2}{\rm{d}}x} + \int_l {\frac{1}{2}E{I}{\kappa ^2}{\rm{d}}x} - \\ & \frac{{EI}}{{{r^2}}}({{\lambda ^2} - 1} )\int_l^{} {\frac{1}{2}[ {{{({w'} )}^2} - {{({u'} )}^2}} ]{\rm{d}}x} - \\ & \sum\limits_i {{F_{i}}{\delta _{i}}} - \int_l {{q_x}u{\rm{d}}x} - \int_l {{q_z}w{\rm{d}}x} - \int_l {m\beta {\rm{d}}x} - \\ & \sum\limits_i {{P_{xi}}{u_{{x_{i}}}}} - \sum\limits_i {{P_{{\textit{z}}i}}{w_{{x_{i}}}}} - \sum\limits_i {{M_{yi}}{\beta _{{x_{i}}}}} \end{split}\!\!\!\!\!\!\!$

(14)

式中：U为单元的变形能；U_p为荷载势能。

3.2 单元势能变分

将具体表达式(11)和式(13)代入单元总势能式(14)，根据变分原理，对于单元的各种位移状态，真实位移应使单元总势能最小，即 $\dfrac{{\partial {\prod _{\rm{p}}}}}{{\partial {{{\delta}} ^{\rm{e}}}}} = 0$ ，可得：

$\begin{split} & \left\{ EA{{{A}}^{ - 1}}^{\rm{T}}\left[ {{{Z}}^{\rm{T}}}\int_{{l}} {{{f}}_u^{\rm{T}}{{{f}}_u}{\rm{d}}x} {{Z}} - \frac{1}{r}\int_{{l}} {{{f}}_w^{\rm{T}}{{{f}}_u}{\rm{d}}x} {{Z}} - \right.\right.\\&\quad\left.\frac{1}{r}{{{Z}}^{\rm{T}}}\int_{{l}} {{{f}}_u^{\rm{T}}{{{f}}_w}{\rm{d}}x} + \frac{1}{{{r^2}}}\int_{{l}} {{{f}}_w^{\rm{T}}{{{f}}_w}{\rm{d}}x} \right]{{{A}}^{ - 1}} + \\&\quad E{I}{{{A}}^{ - 1}}^{\rm{T}}{{{Z}}^{\rm{T}}}\left[ {{{Z}}^{\rm{T}}}\int_{{l}} {{{f}}_w^{\rm{T}}{{{f}}_w}{\rm{d}}x} {{Z}} + \frac{1}{r}\int_{{l}} {{{f}}_u^{\rm{T}}{{{f}}_w}{\rm{d}}x} {{Z}} + \right.\\&\quad\left.\frac{1}{r}{{{Z}}^{\rm{T}}}\int_{{l}} {{{f}}_w^{\rm{T}}{{{f}}_u}{\rm{d}}x} + \frac{1}{{{r^2}}}\int_{{l}} {{{f}}_u^{\rm{T}}{{{f}}_u}{\rm{d}}x} \right]{{Z}}{{{A}}^{ - 1}}- \frac{{EI}}{{{r^2}}}\cdot\\&\quad \left. { ( {{\lambda ^2} - 1} ){{{Z}}^{\rm{T}}}{{{A}}^{ - 1}}^{\rm{T}}\int_{{l}} {\left( {{{f}}_w^{\rm{T}}{{{f}}_w} - {{f}}_u^{\rm{T}}{{{f}}_u}} \right){\rm{d}}x} {{{A}}^{ - 1}}} \right\}{{{\delta }}^{\rm{e}}} = \\&\quad {{{F}}^{\rm{e}}} + {{{A}}^{ - 1}}^{\rm{T}}\int_{{l}} {{q_x}{{f}}_u^{\rm{T}}{\rm{d}}x} + {{{A}}^{ - 1}}^{\rm{T}}\int_{{l}} {{q_{\textit{z}}}{{f}}_w^{\rm{T}}{\rm{d}}x} + \\&\quad {{{A}}^{ - 1}}^{\rm{T}}\int_{{l}} {{m_y}\left( {{{{Z}}^{\rm{T}}}{{f}}_w^{\rm{T}} + \frac{1}{r}{{f}}_u^{\rm{T}}} \right){\rm{d}}x} + \\&\quad {{{A}}^{ - 1}}^{\rm{T}}\sum\limits_i {{P_{xi}}{{f}}_u^{\rm{T}}\left( {{x_{{{Pi}}}}} \right)} + {{{A}}^{ - 1}}^{\rm{T}}\sum\limits_i {{P_{{\textit{z}}{{i}}}}{{f}}_w^{\rm{T}}\left( {{x_{{{Pi}}}}} \right)} + \\&\quad {{{A}}^{ - 1}}^{\rm{T}}\sum\limits_i {{M_{yi}}\left[ {{{{Z}}^{\rm{T}}}{{f}}_w^{\rm{T}}\left( {{x_{{{Pi}}}}} \right) + \frac{1}{r}{{f}}_u^{\rm{T}}\left( {{x_{{{Pi}}}}} \right)} \right]} \end{split}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!$

(15)

3.3 单元列式

1)等效平衡方程

将式(15)改写，即可得以单元节点位移表达的圆拱等效平衡方程：

$\left({{{{K}}^{\rm{e}}} - {{{G}}^{\rm{e}}}} \right){{{\delta }}^{\rm{e}}} = ({{{F}}^{\rm{e}}} + {\tilde {{F}}^{\rm{e}}} )$

(16)

2)单元刚度矩阵

根据等效平衡方程式(15)与式(16)对应，可得单元刚度矩阵具体表达列式：

${{{K}}^{\rm{e}}} = {{{K}}_{\rm{N}}} + {{{K}}_{\rm{M}}}$

(17)

式中： ${{{K}}_{\rm{N}}}$ 为抗压刚度矩阵； ${{{K}}_{\rm{M}}}$ 为抗弯刚度矩阵。且：

$\begin{split} {{{K}}_{\rm{N}}} =& EA{{{A}}^{ - 1}}^{\rm{T}}\left( {{{Z}}^{\rm{T}}}\displaystyle\int_l {{{f}}_{u}^{\rm{T}}{{{f}}_{u}}{\rm{d}}x} {{Z}} - \dfrac{1}{r}\displaystyle\int_l {{{f}}_{w}^{\rm{T}}{{{f}}_{u}}{\rm{d}}x} {{Z}} - \right.\\&\left. \dfrac{1}{r}{{{Z}}^{\rm{T}}}\displaystyle\int_l {{{f}}_{u}^{\rm{T}}{{{f}}_{w}}{\rm{d}}x} + \dfrac{1}{{{r^2}}}\displaystyle\int_l {{{f}}_{w}^{\rm{T}}{{{f}}_{w}}{\rm{d}}x} \right){{{A}}^{ - 1}} \end{split}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!$

(18)

$\begin{split} {{{K}}_{\rm{M}}} =& E{I}{{{A}}^{ - 1}}^{\rm{T}}{{{Z}}^{\rm{T}}}\left( {{{Z}}^{\rm{T}}}\displaystyle\int_l {{{f}}_{w}^{\rm{T}}{{{f}}_{w}}{\rm{d}}x} {{Z}} + \dfrac{1}{r}\displaystyle\int_l {{{f}}_{u}^{\rm{T}}{{{f}}_{w}}{\rm{d}}x} {{Z}} +\right.\\&\left. \dfrac{1}{r}{{{Z}}^{\rm{T}}}\displaystyle\int_l {{{f}}_{w}^{\rm{T}}{{{f}}_{u}}{\rm{d}}x} + \dfrac{1}{{{r^2}}}\displaystyle\int_l {{{f}}_{u}^{\rm{T}}{{{f}}_{u}}{\rm{d}}x} \right){{Z}}{{{A}}^{ - 1}} \end{split}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!$

(19)

3)几何刚度矩阵

几何刚度矩阵可表达为：

${{{G}}^{\rm{e}}} = \frac{{E{I}}}{{{r^2}}}({\lambda ^2} - 1){{{Z}}^{\rm{T}}}{{{A}}^{ - 1}}^{\rm{T}}\int_{{l}} {({{{f}}_{w}^{\rm{T}}{{{f}}_{w}} - {{f}}_{u}^{\rm{T}}{{{f}}_{u}}} ){\rm{d}}x} {{{A}}^{ - 1}}{{Z}}$

4)等效节点力向量

等效节点向量可表达为：

$\begin{split} {{{\tilde{ F}}}^{\rm{e}}} = &{{{A}}^{ - 1}}^{\rm{T}}\int_l {{q_x}{{f}}_{u}^{\rm{T}}{\rm{d}}x} + {{{A}}^{ - 1}}^{\rm{T}}\int_l {{q_{\textit{z}}}{{f}}_{w}^{\rm{T}}{\rm{d}}x} + \\ & {{{A}}^{ - 1}}^{\rm{T}}\int_l {m\left({{{{Z}}^{\rm{T}}}{{f}}_{w}^{\rm{T}} + \frac{1}{r}{{f}}_{u}^{\rm{T}}} \right){\rm{d}}x} +\\ & {{{A}}^{ - 1}}^{\rm{T}}\sum\limits_i {{P_{xi}}{{f}}_{u}^{\rm{T}}\left({{x_{i}}} \right)} + {{{A}}^{ - 1}}^{\rm{T}}\sum\limits_i {{P_{{\textit{z}}i}}{{f}}_{w}^{\rm{T}}\left({{x_{i}}} \right)} + \\ & {{{A}}^{ - 1}}^{\rm{T}}\sum\limits_i {{M_{yi}}\left[ {{{{Z}}^{\rm{T}}}{{f}}_{w}^{\rm{T}}\left({{x_{i}}} \right) + \frac{1}{r}{{f}}_{u}^{\rm{T}}\left({{x_{i}}} \right)} \right]} \end{split}$

(20)

4 无压缩圆拱单元

在圆拱结构实际工程中，由于轴向压力的存在，需考虑其稳定问题，不考虑轴向变形的无压缩圆拱模型可用于分析圆拱结构的分岔失稳问题，因此本文在以上模型的基础上，继续构建无压缩圆拱单元，为后续圆拱结构稳定问题的研究做准备。

一般来说，构建无压缩圆拱单元，可采用直接模型和退化模型两种途径。直接模型可基于本文模型的构建过程由 $\varepsilon = 0$ 重新推导而得；退化模型可基于本文模型单元列式由 $EA = \infty$ 退化而得。如下是采用退化模型得到的无压缩圆拱单元。

4.1 位移基函数及导数

1)位移参数

取 $EA = \infty$ ，代入位移参数

$\zeta = \dfrac{{2 - {\lambda ^2} + \dfrac{{EA}}{{EI}}{r^2}}}{{1 + \dfrac{{EA}}{{EI}}{r^2}}}$

有：

$\zeta = {\rm{1}},\;\zeta - {\rm{1}} = {\rm{0}}$

(21)

2)位移基函数

取 $EA = \infty$ ，结合式(7)与式(21)，可得无压缩圆拱的位移基函数为：

${{{f}}_{w}} = {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ {\sin \dfrac{x}{r}} \\ {\cos \dfrac{x}{r}} \\ {\sin \dfrac{{\lambda x}}{r}} \\ {\cos \dfrac{{\lambda x}}{r}} \\ 0 \end{array}} \right\}^{\rm{T}}},\;{{{f}}_{u}} = {\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{x}{r}} \\ { - \cos \dfrac{x}{r}} \\ {\sin \dfrac{x}{r}} \\ { - \dfrac{1}{\lambda }\cos \dfrac{{\lambda x}}{r}} \\ {\dfrac{1}{\lambda }\sin \dfrac{{\lambda x}}{r}} \\ 1 \end{array}} \right\}^{\rm{T}}}$

(22)

3)导数转换矩阵

取 $EA = \infty$ 代入式(9)，可得无压缩圆拱基函数的导数转换矩阵为：

(23)

4.2 抗压刚度矩阵

将式(18)抗压刚度矩阵作如下改写：

${{{K}}_{\rm{N}}} = EA\int_l {{{{A}}^{ - 1}}^{\rm{T}}{{\left({{{{f}}_{u}}{{Z}} - \frac{1}{r}{{{f}}_{w}}} \right)}^{\rm{T}}}\left({{{{f}}_{u}}{{Z}} - \frac{1}{r}{{{f}}_{w}}} \right){{{A}}^{ - 1}}{\rm{d}}x}$

(24)

代入式(7)和式(9)计算，可得：

${{{K}}_{\rm{N}}}\! =\! EA{\left({\zeta \! - \!1} \right)^2}\!\int_l {{{{A}}^{ - 1}}^{\rm{T}}\left\{\!\!\! \!{\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{0}} \\ {\dfrac{1}{r}{\rm{sin}}\dfrac{x}{r}} \\ {\dfrac{1}{r}{\rm{cos}}\dfrac{x}{r}} \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}}\!\!\! \!\right\}{{\left\{\!\!\! \!{\begin{array}{*{20}{c}} {\rm{0}} \\ {\dfrac{1}{r}{\rm{sin}}\dfrac{x}{r}} \\ {\dfrac{1}{r}{\rm{cos}}\dfrac{x}{r}} \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}}\!\!\! \!\right\}}^{\rm{T}}}\!{{{A}}^{ - 1}}{\rm{d}}x}$

(25)

取 $EA = \infty$ 代入式(25)，可得到无压缩圆拱抗压刚度矩阵为：

${{{K}}_{\rm{N}}} = {{0}}$

(26)

4.3 单元列式

1)等效平衡方程

由式(16)，可得无压缩圆拱等效平衡方程：

$({{{{K}}^{\rm{e}}} - {{{G}}^{\rm{e}}}} ){{{\delta }}^{\rm{e}}} = ({{{F}}^{\rm{e}}} + {\tilde {{F}}^{\rm{e}}} )$

(27)

2)单元刚度矩阵

无压缩模型单元刚度矩阵一般式形式上同式(17)，同时理论上取 $EA = \infty$ ，可得简化式。

将式(22)、式(23)和式(26)代入式(17)和式(19)，可得无压缩圆拱的单元刚度矩阵：

${{{K}}^{\rm{e}}} = {{{K}}_{\rm{M}}}$

(28)

式中， ${{{K}}_{\rm{M}}}$ 表达式同式(19)。

3)等效节点力向量

将式(22)和式(23)代入式(20)，可得无压缩圆拱等效节点力向量，其表达式同式(20)。

4.4 模型对比分析

经按本文构建过程重新推导得到直接模型，通过对比可知，由本文模型理论退化得到的无压缩圆拱单元模型与直接模型是一致的。在理论上，当 $EA = \infty$ 时，用本文模型计算无压缩圆拱具有可行性和正确性。

退化模型与直接模型的结果一致，说明本文模型单元的准确性与适用性。

5 算例及对比

5.1 圆拱平面内分岔失稳分析

5.1.1 分岔失稳分析方法

结构只有在径向均布荷载 ${q_z}$ 作用下且忽略轴向变形时，才会发生分岔失稳^[14]。对于分岔失稳，等效平衡方程式(27)有不确定解，其位移系数行列式为0，即：

$\left| {{{{K}}^{\rm{e}}} - {{{G}}^{\rm{e}}}} \right| = 0$

(29)

根据式(29)可求得圆拱在各种约束作用下的平面内分岔失稳的最小特征值 ${\lambda _{{\rm{cr}}}}$ 。

5.1.2 分岔失稳临界荷载

由特征值 ${\lambda _{{\rm{cr}}}}$ 求解可得临界轴力 ${N_{{\rm{cr}}}}$ 。对于圆拱分岔失稳临界状态，有： ${N_{{\rm{cr}}}} = r{q_{{\rm{cr}}}}$ ^[11]，则分岔失稳临界荷载为：

${q_{{\rm{cr}}}} = \frac{{EI}}{{{r^3}}}({\lambda _{{\rm{cr}}}^2 - 1} )$

(30)

定义临界荷载系数 $k$ ：

$k =({\lambda _{{\rm{cr}}}^2 - 1} )$

(31)

有临界荷载：

${q_{{\rm{cr}}}} = k\frac{{EI}}{{{r^3}}}$

(32)

5.1.3 不同结构形式的分岔失稳分析

采用本单元模型分别对无铰拱、单铰拱、两铰拱、三铰拱及左固右铰拱五种结构形式的圆拱进行分岔失稳分析，求得不同圆心角角度下的分岔失稳最小特征值λ_cr和临界荷载系数k，计算结果见表1。

表 1 圆拱分岔失稳特征值及临界荷载系数

Table 1. Bifurcation instability eigenvalues and critical load coefficients of circular arches

结构形式	数据类型	本单元模型
结构形式	数据类型	30°	60°	90°	120°	150°	180°
无铰拱	λ_cr	17.1831	8.6213	5.7819	4.3747	3.5423	3.0000
无铰拱	k	294.2579	73.3276	32.4309	18.1380	11.5481	8.0000
单铰拱	λ_cr	12.7055	6.4196	4.3534	3.3414	2.7504	2.3693
单铰拱	k	160.4295	40.2118	17.9521	10.1649	6.5647	4.6138
两铰拱	λ_cr	12.0000	6.0000	4.0000	3.0000	2.4000	2.0000
两铰拱	k	143.0000	35.0000	15.0000	8.0000	4.7600	3.0000
三铰拱	λ_cr	10.4576	5.2987	3.6090	2.7853	2.3069	2.0000
三铰拱	k	108.3620	27.0765	12.0247	6.7578	4.3216	3.0000
左固右铰拱	λ_cr	14.3526	7.1904	4.8099	3.6256	2.9210	2.4577
左固右铰拱	k	204.9981	50.7013	22.1347	12.1451	7.5322	5.0401

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5.1.4 对比与分析

为验证构造单元的精确性，将本单元分岔失稳分析结果与经典模型(Timoshenko模型^[15]、Dinnik模型^[16])、静力法模型^[11]进行对比，给出与经典模型临界荷载系数的相对误差，其中左固右铰拱没有经典模型结果，给出与静力法模型结果对比，对比结果见表2。

表 2 不同模型圆拱的分岔失稳临界荷载系数对比

Table 2. Comparison of critical load coefficients for bifurcation instability of circular arches with different models

结构形式	模型	数据类型	圆心角角度
结构形式	模型	数据类型	30°	60°	90°	120°	150°	180°
无铰拱	Timoshenko模型	计算值	294.2579	73.3276	32.4309	18.1380	11.5481	8.0000
	静力法模型	计算值	294.2579	73.3276	32.4309	18.1380	11.5481	8.0000
	静力法模型	相对误差/(%)	0	0	0	0	0	0
	本单元模型	计算值	294.2579	73.3276	32.4309	18.1380	11.5481	8.0000
	本单元模型	相对误差/(%)	0	0	0	0	0	0
单铰拱	Dinnik模型	计算值	160.4295	40.2118	17.9521	10.1649	6.5647	4.6138
	静力法模型	计算值	160.4295	40.2118	17.9521	10.1649	6.5647	4.6138
	静力法模型	相对误差/(%)	0	0	0	0	0	0
	本单元模型	计算值	160.4295	40.2118	17.9521	10.1649	6.5647	4.6138
	本单元模型	相对误差/(%)	0	0	0	0	0	0
两铰拱	Timoshenko模型	计算值	143.0000	35.0000	15.0000	8.0000	4.7600	3.0000
	静力法模型	计算值	143.0000	35.0000	15.0000	8.0000	4.7600	3.0000
	静力法模型	相对误差/(%)	0	0	0	0	0	0
	本单元模型	计算值	143.0000	35.0000	15.0000	8.0000	4.7600	3.0000
	本单元模型	相对误差/(%)	0	0	0	0	0	0
三铰拱	Dinnik模型	计算值	108.3620	27.0765	12.0247	6.7578	4.3216	3.0000
	静力法模型	计算值	108.3620	27.0765	12.0247	6.7578	4.3216	3.0000
	静力法模型	相对误差/(%)	0	0	0	0	0	0
	本单元模型	计算值	108.3620	27.0765	12.0247	6.7578	4.3216	3.0000
	本单元模型	相对误差/(%)	0	0	0	0	0	0
左固右铰拱	静力法模型	计算值	204.9981	50.7013	22.1347	12.1451	7.5322	5.0401
	本单元模型	计算值	204.9981	50.7013	22.1347	12.1451	7.5322	5.0401
	本单元模型	相对误差/(%)	0	0	0	0	0	0

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由表2看出，本文构造的非线性圆拱单元进行分岔失稳分析得到的失稳临界荷载系数与经典模型、静力法模型计算结果一致，相对误差为0%，这说明了本单元模型的精确性及运用本单元模型进行分岔失稳分析的可行性。可见，采用静力法获得解析解的经典模型，仅适用于特定工况下圆拱结构的平面内分岔稳定分析，而采用能量法建立的本文单元则适用于任意工况下圆拱结构的平面内分岔稳定分析。

同时可以看出各结构形式随着圆心角角度增大，其失稳临界荷载系数变小；对于同一圆心角角度，上述五种结构形式，无铰拱的失稳临界荷载系数最大，稳定性最好，符合工程实际。

5.2 圆拱平面外极值点失稳分析

对径向均布荷载作用下的无铰拱进行平面内极值点失稳分析。假定无铰拱圆心角为120°，半径为5 m，截面尺寸为400 mm×400 mm，弹性模量为206 GPa，受径向均布荷载q_z=10 kN/m。通过改变轴力特征值大小，求出跨中挠度，得到圆拱轴力特征值与跨中挠度变化曲线如图2所示。

由图2可见，当荷载达到临界荷载时，圆拱出现极值点失稳现象，且圆拱极值点失稳临界荷载与圆拱平面内分岔失稳临界荷载值相同。

图 2 轴力特征值-跨中挠度曲线

Figure 2. Axial force eigenvalue vs. mid-span deflection curve

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上述所有算例表明：本文构造单元既可用于圆拱几何非线性的位移和内力分析，也可用于圆拱的平面内各类稳定分析。

6 结论

本文采用解析法构造了几何非线性圆拱单元，研究了圆拱结构几何非线性内力和位移计算以及平面内稳定分析问题，主要结论如下：

(1)基于圆拱几何非线性静力分析模型，构造了圆拱单元解析位移形函数。

(2)利用能量法，建立圆拱单元的势能，采用势能变分原理，得出等效平衡方程，给出单元刚度矩阵、几何刚度矩阵及等效节点力向量表达，构造了解析型几何非线性圆拱单元。

(3)通过理论上取 $EA = \infty$ 对本模型进行退化，得到不考虑轴向变形的无压缩圆拱模型，进而得到了解析型无压缩几何非线性圆拱单元，可应用于平面内分岔失稳分析。

(4)本文构造的解析型非线性圆拱单元可用于圆拱的平面内分岔失稳和极值点失稳分析。算例表明：本研究单元模型进行分岔失稳分析得到的失稳临界荷载系数与经典模型(Timoshenko模型、Dinnik模型)、静力法模型计算结果一致，误差为0%，这说明了本单元模型的精确性及运用本单元模型进行分岔失稳分析的可行性；平面内分岔失稳的临界荷载与平面内极值点失稳的临界荷载一致；本研究模型能够完整的呈现圆拱平面内由位移非线性发展到极值点失稳的过程。

图 1 圆拱坐标系及内力

Figure 1. Coordinate system and internal force of circular arch

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图 2 轴力特征值-跨中挠度曲线

Figure 2. Axial force eigenvalue vs. mid-span deflection curve

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表 1 圆拱分岔失稳特征值及临界荷载系数

Table 1 Bifurcation instability eigenvalues and critical load coefficients of circular arches

结构形式	数据类型	本单元模型
结构形式	数据类型	30°	60°	90°	120°	150°	180°
无铰拱	λ_cr	17.1831	8.6213	5.7819	4.3747	3.5423	3.0000
无铰拱	k	294.2579	73.3276	32.4309	18.1380	11.5481	8.0000
单铰拱	λ_cr	12.7055	6.4196	4.3534	3.3414	2.7504	2.3693
单铰拱	k	160.4295	40.2118	17.9521	10.1649	6.5647	4.6138
两铰拱	λ_cr	12.0000	6.0000	4.0000	3.0000	2.4000	2.0000
两铰拱	k	143.0000	35.0000	15.0000	8.0000	4.7600	3.0000
三铰拱	λ_cr	10.4576	5.2987	3.6090	2.7853	2.3069	2.0000
三铰拱	k	108.3620	27.0765	12.0247	6.7578	4.3216	3.0000
左固右铰拱	λ_cr	14.3526	7.1904	4.8099	3.6256	2.9210	2.4577
左固右铰拱	k	204.9981	50.7013	22.1347	12.1451	7.5322	5.0401

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表 2 不同模型圆拱的分岔失稳临界荷载系数对比

Table 2 Comparison of critical load coefficients for bifurcation instability of circular arches with different models

结构形式	模型	数据类型	圆心角角度
结构形式	模型	数据类型	30°	60°	90°	120°	150°	180°
无铰拱	Timoshenko模型	计算值	294.2579	73.3276	32.4309	18.1380	11.5481	8.0000
	静力法模型	计算值	294.2579	73.3276	32.4309	18.1380	11.5481	8.0000
	静力法模型	相对误差/(%)	0	0	0	0	0	0
	本单元模型	计算值	294.2579	73.3276	32.4309	18.1380	11.5481	8.0000
	本单元模型	相对误差/(%)	0	0	0	0	0	0
单铰拱	Dinnik模型	计算值	160.4295	40.2118	17.9521	10.1649	6.5647	4.6138
	静力法模型	计算值	160.4295	40.2118	17.9521	10.1649	6.5647	4.6138
	静力法模型	相对误差/(%)	0	0	0	0	0	0
	本单元模型	计算值	160.4295	40.2118	17.9521	10.1649	6.5647	4.6138
	本单元模型	相对误差/(%)	0	0	0	0	0	0
两铰拱	Timoshenko模型	计算值	143.0000	35.0000	15.0000	8.0000	4.7600	3.0000
	静力法模型	计算值	143.0000	35.0000	15.0000	8.0000	4.7600	3.0000
	静力法模型	相对误差/(%)	0	0	0	0	0	0
	本单元模型	计算值	143.0000	35.0000	15.0000	8.0000	4.7600	3.0000
	本单元模型	相对误差/(%)	0	0	0	0	0	0
三铰拱	Dinnik模型	计算值	108.3620	27.0765	12.0247	6.7578	4.3216	3.0000
	静力法模型	计算值	108.3620	27.0765	12.0247	6.7578	4.3216	3.0000
	静力法模型	相对误差/(%)	0	0	0	0	0	0
	本单元模型	计算值	108.3620	27.0765	12.0247	6.7578	4.3216	3.0000
	本单元模型	相对误差/(%)	0	0	0	0	0	0
左固右铰拱	静力法模型	计算值	204.9981	50.7013	22.1347	12.1451	7.5322	5.0401
	本单元模型	计算值	204.9981	50.7013	22.1347	12.1451	7.5322	5.0401
	本单元模型	相对误差/(%)	0	0	0	0	0	0

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[19]	李潇, 王宏志, 李世萍, 等. 解析型Winkler弹性地基梁单元构造[J]. 工程力学, 2015, 32(3): 66 − 72. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2013.09.0855 Li Xiao, Wang Hongzhi, Li Shiping, et al. Element structure of analytical Winkler elastic foundation beam [J]. Engineering Mechanics, 2015, 32(3): 66 − 72. (in Chinese) doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2013.09.0855
[20]	许晶, 夏文忠, 王宏志, 等. 考虑弯扭耦合的解析型薄壁梁单元[J]. 建筑结构学报, 2019, 40(6): 140 − 145. Xu Jing, Xia Wenzhong, Wang Hongzhi, et al. Analytical element for thin-walled beam considering coupling of bending and torsion [J]. Journal of Building Structure, 2019, 40(6): 140 − 145. (in Chinese)
[21]	许晶, 夏文忠, 王宏志, 等. 考虑大位移影响的解析型压扭杆单元[J]. 工程力学, 2019, 36(4): 44 − 51. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2018.03.0116 Xu Jing, Xia Wenzhong, Wang Hongzhi, et al. Analytical element for bar subjected to compression and torsion considering the large displacement [J]. Engineering Mechanics, 2019, 36(4): 44 − 51. (in Chinese) doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2018.03.0116
[22]	李静, 蒋秀根, 王宏志, 等. 解析型弹性地基Timoshenko梁单元[J]. 工程力学, 2018, 35(2): 221 − 229, 248. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2016.10.0834 Li Jing, Jiang Xiugen, Wang Hongzhi, et al. Analytical element for Timoshenko beam on elastic foundation [J]. Engineering Mechanics, 2018, 35(2): 221 − 229, 248. (in Chinese) doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2016.10.0834
[23]	石家华. 解析型圆拱单元构造及其应用[D]. 北京: 中国农业大学, 2020. Shi Jiahua. Structure of analytical circular arch element and its application [D]. Beijing: China Agricultural University, 2020. (in Chinese)

施引文献(8)

期刊类型引用(6)

1.	张建军，孙焕桥. 复合材料镀层钻杆在深孔加工中的应用及振动力学分析. 粘接. 2025(03): 59-62 . 百度学术
2.	朱春洲. 小曲率半径盾构隧道施工阶段管片水平轴线偏移预测模型. 土木与环境工程学报(中英文). 2025(03): 126-141 . 百度学术
3.	王超，邹金锋. 盾构注浆荷载作用下带榫管片水平轴线偏移量计算方法研究. 工程力学. 2024(01): 39-55 . 本站查看
4.	邹德高，张修阳，刘京茂，陈楷. 解析试函数单元的非线性化及工程应用. 工程力学. 2024(07): 1-8+28 . 本站查看
5.	江巍，尹豪，吴剑，汤艳春，李坤鹏，郑宏. 基于S-R和分解定理的二维几何非线性问题的虚单元法求解. 工程力学. 2024(08): 23-35 . 本站查看
6.	李双蓓，梁睿，梅国雄. 考虑弹性压缩的弹性支承抛物线拱内力解析解. 工程力学. 2023(11): 1-10 . 本站查看

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1 模型及假定
1.1 模型参数
1.2 基本假定
2 单元位移形函数
2.1 位移控制方程
2.2 位移方程
2.3 位移基函数向量及导函数转换矩阵
2.4 单元位移形函数
3 可压缩圆拱势能及单元
3.1 单元势能一般式
3.2 单元势能变分
3.3 单元列式
4 无压缩圆拱单元
4.1 位移基函数及导数
4.2 抗压刚度矩阵
4.3 单元列式
4.4 模型对比分析
5 算例及对比
5.1 圆拱平面内分岔失稳分析
5.1.1 分岔失稳分析方法
5.1.2 分岔失稳临界荷载
5.1.3 不同结构形式的分岔失稳分析
5.1.4 对比与分析
5.2 圆拱平面外极值点失稳分析
6 结论

1 模型及假定
1.1 模型参数
1.2 基本假定
2 单元位移形函数
2.1 位移控制方程
2.2 位移方程
2.3 位移基函数向量及导函数转换矩阵
2.4 单元位移形函数
3 可压缩圆拱势能及单元
3.1 单元势能一般式
3.2 单元势能变分
3.3 单元列式
4 无压缩圆拱单元
4.1 位移基函数及导数
4.2 抗压刚度矩阵
4.3 单元列式
4.4 模型对比分析
5 算例及对比
5.1 圆拱平面内分岔失稳分析
5.1.1 分岔失稳分析方法
5.1.2 分岔失稳临界荷载
5.1.3 不同结构形式的分岔失稳分析
5.1.4 对比与分析
5.2 圆拱平面外极值点失稳分析
6 结论

参考文献(23)

施引文献

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解析型几何非线性圆拱单元

通讯作者: 蒋秀根(1966−)，男，江苏人，教授，硕士，从事结构工程力学性能方面的研究(E-mail: jiangxg@cau.edu.cn)

计量

出版历程

ANALYTICAL GEOMETRICALLY NONLINEAR ELEMENTS FOR CIRCULAR ARCHES

1 模型及假定

1.1 模型参数

1.2 基本假定

2 单元位移形函数

2.1 位移控制方程

2.2 位移方程

2.3 位移基函数向量及导函数转换矩阵

2.4 单元位移形函数

3 可压缩圆拱势能及单元

3.1 单元势能一般式

3.2 单元势能变分

3.3 单元列式

4 无压缩圆拱单元

4.1 位移基函数及导数

4.2 抗压刚度矩阵

4.3 单元列式

4.4 模型对比分析

5 算例及对比

5.1 圆拱平面内分岔失稳分析

5.1.1 分岔失稳分析方法

5.1.2 分岔失稳临界荷载

5.1.3 不同结构形式的分岔失稳分析

5.1.4 对比与分析

5.2 圆拱平面外极值点失稳分析

6 结论

期刊类型引用(6)

其他类型引用(2)

计量

出版历程

目录

1 模型及假定

1.1 模型参数

1.2 基本假定

2 单元位移形函数

2.1 位移控制方程

2.2 位移方程

2.3 位移基函数向量及导函数转换矩阵

2.4 单元位移形函数

3 可压缩圆拱势能及单元

3.1 单元势能一般式

3.2 单元势能变分

3.3 单元列式

4 无压缩圆拱单元

4.1 位移基函数及导数

4.2 抗压刚度矩阵

4.3 单元列式

4.4 模型对比分析

5 算例及对比

5.1 圆拱平面内分岔失稳分析

5.1.1 分岔失稳分析方法

5.1.2 分岔失稳临界荷载

5.1.3 不同结构形式的分岔失稳分析

5.1.4 对比与分析

5.2 圆拱平面外极值点失稳分析

6 结论

通讯作者:
蒋秀根(1966−)，男，江苏人，教授，硕士，从事结构工程力学性能方面的研究(E-mail: jiangxg@cau.edu.cn)