A TWO-PHASE MODELING METHOD BASED ON COHESIVE ELEMENTS FOR MASONRY ARCHES
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摘要: 为解决石砌体材料非均质的描述问题,提出一种基于Cohesive单元的石拱桥主拱圈两相数值模拟方法。视石砌体为两相材料(砌块和砌缝),采用实体单元模拟砌块并引入非线性本构描述其破坏行为,在相邻砌块间插入Cohesive单元考虑砌缝砂浆的剪切和拉伸破坏。通过室内试验与数值模拟对比验证方法的有效性及适用性,分析了砌缝抗剪摩擦系数μ、加载位置等敏感参数对拱桥承载力的影响。结果表明:基于Cohesive单元的石砌体两相数值模型,可以有效描述石砌体材料的非均匀性及石拱桥的破坏过程(尤其是砌缝剪切滑移破坏行为),可为石拱桥极限承载力评估提供重要信息,如荷载-位移曲线、破坏模式等。此外,研究结果还发现主拱圈破坏机制由拱的受弯、受剪特性决定,并与砌缝抗剪摩擦系数μ强相关。
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关键词:
- 桥梁工程 /
- 二相数值模型 /
- Cohesive单元 /
- 石拱桥 /
- 破坏机制
Abstract: To simulate the non-homogeneity of masonry materials, a two-phase numerical modeling strategy based on Cohesive elements is proposed. In the proposed method, masonry is considered as a two-phase material, which consists of stone blocks and mortar joints. Solid elements are used to simulate the blocks. A nonlinear constitutive model is introduced to describe their failure behavior. Cohesive elements are inserted between adjacent blocks to consider the shear and tensile failure of the mortar. The effectiveness and applicability of the method are verified by comparison of experimental tests and numerical simulation. The influence of sensitive parameters, such as the shear friction coefficient μ and loading position, on the strength of the arch bridge is analyzed by numerical simulation. The results show that the two-phase numerical model of stone masonry based on Cohesive elements avoided the difficulty in continuous numerical methods in simulating the non-homogeneity of masonry materials, and provided important information for the ultimate strength evaluation of stone arch bridges, such as the load displacement curves and failure modes. In addition, the failure mechanism of the main arch was determined by the bending and shear characteristics of the arches, especially the shear fiction coefficient of the mortar joints. -
中国的乡村道路上(尤其是河流众多、料石丰富的南部和西南地区)分布有大量的石砌拱桥[1-3],这类桥梁形式优美、与环境契合度高,且在一定程度上反映了地方文化特色,是乡村自然文化遗产和传统村落整体风貌的重要组成部分,理应得到妥善的维修和保护[4]。然而,由于乡村石拱桥大多基于地方工匠的经验建造,且服役年限普遍较长,其承载力能否满足当前交通量需求,是公路建设、管理部门关心的一个问题[5-6]。因此,有必要明确既有乡村石拱桥的实际承载力,为该类桥梁的保护、加固、维修提供参考和依据。
主拱圈是石拱桥的核心受力构件,由砌石和砌缝按照周期性排布组成[7-8]。建立主拱圈的力学模型,分析不同工况下结构的力学行为并与试验结果对比,是评定石砌拱桥承载能力的一种可行方法[9-11]。但砌石和砌缝材料力学性质差异大,导致石砌体材料整体表现出非均匀特点,给石拱桥力学分析模型构建带来了较大困难[12-14]。
目前,国内外学者大多视石砌体为匀质连续体建立主拱圈有限元模型,通过引入石砌体等效非线性本构描述其破坏过程[8, 15]。如清华大学的聂建国等[16]基于ABAQUS软件建立有限元模型,对700年石拱桥进行了数值模拟与试验对比;冯彩霞等[17]利用ANSYS有限元程序建立了拱桥的两铰拱模型,对拱轴线进行了优化;Costa等[18]基于连续数值模型评估了葡萄牙北部一座砖石桥的承载力。Sayin等[19]对历史拱桥进行了线性和非线性动力学分析,以评估其在地震作用下的承载能力。该类方法分析过程中,均未充分考虑石砌体材料的非均匀性特点,可能导致分析结果与真实情况不符,限制了其在石砌拱桥中的应用。
近几年,有部分学者将离散元分析方法引入石拱桥数值模拟,如Tran等[20]采用二维离散元模型分析了石拱桥拆模全过程的力学行为,Gannizzaro等[21]提出了一种新的离散宏观单元法预测砌体拱圈的非线性结构性能。这些有益的尝试为石拱桥以及石砌体材料的数值模拟提供了新的思路。但离散元模型侧重于运动学,且视单元为刚体,忽视了材料的变形,模拟精度较差。
为解决石砌体材料非均匀性的描述问题,提出了一种基于Cohesive单元的石拱桥主拱圈两相数值模拟方法。视石砌体为两相材料(砌块和砌缝),采用实体单元并引入非线性本构模型描述砌块的力学行为,在相邻砌块间插入Cohesive单元定义了砌缝砂浆的破坏模式。为验证方法的适用性、有效性,进行了室内试验与数值模拟对比研究。
1 石砌体二相数值模型
石砌体二相数值模型中,采用实体单元模拟砌石并在相邻砌石间插入Cohesive单元描述砌缝的力学行为。实体单元中引入非线性本构考虑砌石的压缩破坏行为,Cohesive单元考虑砌缝剪切和拉伸两种破坏模式,通过室内试验确定本构模型的相关参数确保数值模型反映结构真实行为。
1.1 Cohesive单元
商用软件ABAQUS内嵌多种Cohesive单元,如用于3-D模型的Cohesive单元COH3D8、用于2-D模型的Cohesive单元COH2D4。以COH2D4为例,单元包含两个界面(上界面和下界面)并通过一对相互垂直的均布弹簧连接,如图1所示。
COH2D4单元弹簧刚度与砌缝的力学性能相关,单元位移由上、下界面的相对位移定义。单元应力T可表示为:
{\boldsymbol{T}} = {[ { {{\sigma _n}}\;\;\tau } ]^{\rm{T}}} = {\boldsymbol{D\delta }}\qquad\qquad\quad\;\; (1) {\boldsymbol{D}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{k_n}}&{} \\ {}&{{k_s}} \end{array}} \right],\quad{\boldsymbol{\delta }} = {[ {{\delta _n}}\;\;{{\delta _s}} ]^{\rm{T}}} (2) 式中:
{\sigma }_{n} 、\tau 分别为单元法向和切向应力;\boldsymbol{\delta } 为单元位移矩阵,包含法向相对位移{\delta }_{n} 和切向相对位移{\delta }_{s} ;{\boldsymbol{D}} 为界面弹簧刚度矩阵,由法向弹簧{k}_{n} 和切向弹簧{k}_{s} 定义。需要注意的是,法向弹簧{k}_{n} 通常被设置为一个较大的值,确保Cohesive单元的上、下界面不发生侵入。1.2 石砌体材料本构模型
石拱桥主拱圈承受拉、压、剪共同作用,拉伸破坏和剪切破坏主要发生在砌缝,模型中通过Cohesive单元模拟;考虑压缩破坏发生在砌石,采用实体单元并引入非线性本构描述。相应的本构模型如图2所示。
1.2.1 Cohesive单元的本构模型
1)砌缝拉伸、拉剪破坏
砌缝(Cohesive单元)的拉伸、拉剪破坏采用Traction-separation Laws[22]描述,数学表达式如下:
{\left\{ {\frac{{\left\langle {{\sigma _n}} \right\rangle }}{{{f_{\rm t}}}}} \right\}^2} + {\left\{ {\frac{\tau }{{{\tau _{\max }}}}} \right\}^2} = 1 (3) \begin{gathered} \left\langle {{\sigma _n}} \right\rangle = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} 0,&{{\sigma _n} \leqslant 0} \\ {{\sigma _n}},&{{\sigma _n} > 0} \end{array}} \right. \end{gathered} (4) 式中:
{f_{\rm t}} 、{\tau _{\max }} 分别为砌缝的抗拉强度和抗剪强度;{\sigma }_{n} 、\tau 分别为式(1)中定义的法向和切向应力;{f_{\rm t}} 和{\sigma }_{n} 在拉伸状态下为正值;{\tau _{\max }} 和\tau 始终为正值。当式(3)、式(4)满足时,Cohesive单元的刚度开始弱化。为简化计算,假定法向弹簧
{k_n} 与切向弹簧{k_s} 按照相同的损伤因子\mathrm{\omega } 弱化,即:\begin{aligned} & {{k_n} = k_n^0( {1 - \omega } )} \\ & {{k_s} = k_s^0( {1 - \omega } )} \end{aligned},\quad {{\sigma _n} > 0} (5) 式中:
k_s^0 和k_n^0 分别为单元切向弹簧和法向弹簧的初始刚度;\mathrm{\omega } 为刚度损伤因子,在0~1之间变化,具体数值通过Benzeggagh-Kenane (BK)[23-24]准则确定。2)砌缝压剪破坏
主拱圈砌缝通常处于受压状态,与砌缝垂直的法向压力会影响砌缝的抗剪强度
{\tau _{\max }} 。考虑法向压力影响,给出砌缝抗剪强度准则的数学表达式如下:{\tau _{\max }} = c - \mu \cdot {\sigma _n} ,\quad {\sigma _n} \leqslant 0 (6) 式中:
c 为砌缝的粘聚力;\mu 为砌缝抗剪摩擦系数;{\sigma _n} 为与砌缝垂直的法向正应力,受压为负,受拉为正。受压状态下,仅砌缝切向弹簧出现刚度退化,损伤演化模型如下:
\begin{aligned} & {{k_n} = k_n^0} \\ & {{k_s} = k_s^0\left( {1 - \omega '} \right)} \end{aligned} , \quad {{\sigma _n} \leqslant 0} (7) 式中,
\omega ' 为刚度损伤因子,其数学模型如图3(b)所示,表达式为:\qquad\tau = \left\{ \begin{aligned} & {k_s^0 \cdot {\delta _s}},\qquad\;\; { {{\delta _s} < {\delta _{s0}}} } \\ & {{\tau _{\max }}}, \qquad\;\;\;\;\;{ {{\delta _{s0}} < {\delta _s} < {\delta _{su}}} } \end{aligned}\right. \quad\quad (8) \omega ' = \left\{ \begin{aligned} & 0 ,\qquad\qquad{ {{\delta _s} < {\delta _{s0}}} } \\ & {1 - \frac{{{\tau _{\max }}}}{{k_s^0{\delta _s}}}} ,\;\;\; { {{\delta _{s0}} < {\delta _s} < {\delta _{su}}} } \end{aligned} \right. (9) 式中:
{\delta _s} 为单元的切向位移;{\delta _{s0}} 是与抗剪强度{\tau _{\max }} 对应的切向位移;{\delta _{su}} 是极限切向位移。1.2.2 实体单元本构模型
砌石仅考虑受压破坏行为,采用如图3(c)所示的双线性应力-应变曲线描述砌石的损伤演化过程:
\sigma = \left\{ \begin{aligned} & {{E_0} \cdot \varepsilon } ,\qquad\qquad{ {{\varepsilon _{\rm c0}} < \varepsilon < 0} }\\ & {{f_{\rm c}}\frac{{{\varepsilon _{\rm cu}} - \varepsilon }}{{{\varepsilon _{\rm cu}} - {\varepsilon _{\rm c0}}}}} ,\;\;\;\;\;\;{ {{\varepsilon _{\rm cu}} < \varepsilon < {\varepsilon _{\rm c0}}} } \end{aligned} \right. (10) 式中:
\sigma 、\varepsilon 分别为实体单元的正应力、正应变,处于受压状态时为负;{E_0} 为砌石的初始弹性模量;{f_{\rm c}} 为砌石的抗压强度;{\varepsilon _{{\rm c{0}}}} 为相应的正应变;{\varepsilon _{\rm cu}} 为极限正应变。2 石砌体材料力学性能试验
石砌体本构模型涉及的材料参数,如抗压强度
{f_{\rm c}} 、初始弹性模量{E_0} 、砌缝切向弹簧初始刚度k_s^0 等,对数值模拟至关重要,需要通过室内试验确定。2.1 试件制作
如图3所示,考虑三种砌缝厚度(5 mm、10 mm、20 mm),分别制作10个试件(标养28 d),共计30个。砌缝砂浆平均抗压强度为5.3 MPa,配合比见表1所示;砌石采用青石,平均抗压强度71.25 MPa。
表 1 试件砌缝砂浆配合比Table 1. Mortar mixture design of masonry specimens/(kg/m3) 砂浆标号 水 水泥 河沙 M7.5 270 230(P.O 32.5) 1450 2.2 压剪试验
石砌体试件的压剪试验采用图4所示的加载方式,并基于RYL600岩石剪切流变仪进行。砌缝剪应力
\tau 通过下面的公式计算:{\tau _{}} = \frac{P}{{2{S_{\rm c}}}} (11) 式中:
P 为施加在试件上的剪力;{S_{\rm c}} 为砌缝的剪切面积,本文为15 000 mm2。不同砌缝厚度试件的压剪试验结果如图5(a)~图5(c)所示(部分试件搬运过程中损坏,故10 mm、20 mm砌缝厚度的实测试件仅有8个),剪应力-剪切位移曲线具有明显的两段线特征:1)线弹性段。剪应力-剪切位移曲线线性增长至抗剪强度;2)塑性阶段。该阶段剪应力稳定在一个数值且不随剪切位移变化,当剪切变形达到极限值时试件突然失效。砌缝切向刚度
k_s^0 及最大剪切位移{\delta _{su}} 由图5的试验结果确定,见表2。其中,k_s^0 的确定采用以下步骤:1)图5中分别确定与0.6τmax对应的试验曲线斜率;2)计算不同试验曲线斜率(与0.6τmax对应)的平均值,将其视为k_s^0 。为量化砌缝侧压力{\sigma _n} 对抗剪强度{\tau _{{\rm{max}}}} 的影响,考虑砌缝厚度不同分别从图5(a)~图5(c)试验曲线中提取不同侧压力下试件的抗剪强度值进行线性拟合,见图5(d),并确定不同砌缝厚度试件的粘聚力c 和内摩擦角\mu ,见表2。数据结果表明,石砌体抗剪刚度k_s^0 、内摩擦角\mu 与砌缝厚度呈反比关系,粘聚力c 则与砌缝厚度关系不明显。表 2 不同砌缝厚度石砌体材料力学性能Table 2. Mechanical properties of mortar joints with different thicknesses砌缝厚度
t/mmks0/
(MPa/mm)kn0/
(MPa/mm)δsu/
mmc/
MPaμ fc/
MPaE0/
MPaεcu−εco 5 4.16 104×E0 20 0.105 0.446 −14.18 930 0.015 10 3.98 104×E0 20 0.082 0.473 −10.92 825 0.015 20 3.84 104×E0 20 0.111 0.565 −9.79 650 0.015 注:kn0取104E0;为简化计算,δsu 取图5(a)~图5(c)中极限剪切位移的平均值;εcu−εco依据图6(b)确定。 2.3 轴压试验
轴压试验基于RYL600岩石剪切流变仪进行,加载方案及现场照片如图6(a)所示。每种砌缝厚度的试件进行2次加载,加载速率为100 N/s直至试件破坏,压应力-应变曲线见图6(b)。试件抗压强度
{f_{\rm c}} 、初始弹模{E_0} 、参数{\varepsilon _{\rm cu}}{\text{ - }}{\varepsilon _{\rm c{0}}} 通过图6(b)的试验曲线确定,具体数值见表2。观察图6(b)同一砌缝厚度试件的两条试验曲线上升段发现:前半段,上升曲线斜率具有不一致、不稳定、非线性变化的特点;后半段,上升曲线斜率一致性、稳定性良好,且基本为线性。表明,加载初期石砌体材料性质不稳定,故初始模量{E_0} 由后半段上升曲线的斜率确定。此外,石砌体抗压强度{f_{\rm c}} 、初始弹性模量{E_0} 与砌缝厚度相关,并有随厚度增大而增大的趋势。3 方法的验证
3.1 室内模型制作
为验证本文方法的有效性,需将数值预测结果与试验结果进行对比。以湖南湘西乌龟堡桥为背景,在室内建造缩尺(几何1∶4)试验模型,如图7所示。试验模型净跨径3.65 m,矢高1 m。两侧拱脚设置9根Φ32 mm对拉精轧螺纹钢筋,用于平衡拱脚水平推力。主拱圈由143块砌石组成,采用M7.5砂浆砌缝,砌缝厚度为10 mm。试验模型的具体细节信息见图7。
3.2 加载与测试
采用油压千斤顶通过拱顶分配梁施加竖向荷载,实际加载点为跨中偏右0.05 m位置(安装偏差导致),如图8所示。采用分步加载方式,初始荷载步为10 kN。当荷载达到60 kN时,跨中及拱脚砌缝开裂;荷载达到100 kN,左半跨四分之一位置砌缝开裂;调整荷载步为5 kN,继续加载至165 kN,主拱圈形成5个塑性铰(两侧拱脚、两侧四分之一跨径以及跨中),试验拱桥失效,试验结束。加载过程中,通过预设的百分表和非接触测量设备(IVM)量测主拱圈关键位置(跨中、拱脚、四分之一跨)的实时位移。IVM不但可以提供关键位置的挠度信息,还可提供砌缝的开裂宽度数据,10 m范围内位移测试精度达0.01 mm。
3.3 数值模拟与试验对比
采用本文方法并基于商用软件ABAQUS建立试验拱桥数值模型,砌石排布、尺寸与试验拱桥一致,如图9所示。砌石采用8节点实体单元(C3D8R),并通过图2(c)所示本构模型描述砌石力学行为;相邻砌石间插入粘结单元(COH3D8)模拟砌缝,见图9(c),采用图2(a)、图2(b)所示本构模型描述砌缝的拉伸及剪切破坏过程。参数设置参考表2,砌缝单轴抗拉强度取0.073 MPa[25],I型和II开裂的能量释放率GI、GII 分别取0.02 N/mm、0.125 N/mm[26]。拱脚对拉钢筋采用杆单元模拟,不考虑钢筋与拱脚混凝土间的粘结滑移作用,如图9(b)。视钢筋为理想弹塑性材料,弹性模量为200 GPa、屈服强度为785 MPa。桥台底部y、z方向位移被约束。采用位移加载方式,加载位置与试验模型的加载位置一致。图10展示了本文方法预测的拱桥破坏模式并与试验结果进行了对比,图11对比了不同方法预测的拱桥砌缝开裂宽度,图12对比了不同方法获取的试验拱桥荷载-跨中位移曲线,图13展示了一次加载过程中三个加载值(P=60 kN、100 kN、165 kN)对应的试验拱桥应力场分布。
图10、图11、图12中数值模拟预测的开裂信息(开裂位置、宽度、发展趋势等)、荷载-位移曲线与试验结果较为吻合,较好地描述了石拱桥的开裂过程,为拱桥承载力预测提供关键信息。
图13中不同过程加载值(P=60 kN、100 kN、165 kN)的应力场分析结果显示,整个加载过程中大部分砌缝处于压剪状态,最大剪应力达到了0.89 MPa(远大于纯剪强度0.082 MPa,见表2)。表明,数值模拟考虑了侧压力对砌缝抗剪强度的影响,能够较为准确地描述石砌体材料的压剪力学行为。
3.4 摩擦系数μ及加载位置对石拱桥开裂过程的影响
摩擦系数μ是衡量侧压力对砌缝抗剪强度影响的重要指标,其与加载位置一样均可能影响石拱桥的承载能力,甚至是破坏模式。以试验拱桥为背景建立二相数值模型,研究加载点位置、摩擦系数μ对拱桥破坏模式、极限承载力的影响规律。图14展示了4种加载位置、3个摩擦系数组合工况下石拱桥数值模拟的破坏模式。图15(a)给出了不同摩擦系数μ拱桥极限承载力Fu随加载位置 (x/L)变化的定量关系,其中x 为加载点位置,L为拱桥净跨径。结果表明,仅在摩擦系数μ较小时拱桥极限承载力受加载位置影响较大;图15(b)给出了不同加载点位置拱桥极限承载力Fu随摩擦系数μ变化的定量关系。结果表明,摩擦系数μ对拱桥极限承载力Fu影响较为明显。当摩擦系数μ大于0.4,砌缝不会出现剪切滑移,拱桥最终表现为塑性铰破坏且极限承载力大致为一个常数;当摩擦系数μ小于0.4时,拱桥破坏时加载点附近出现剪切滑移,极限承载力随摩擦系数μ减小而显著降低。
4 结论
本文在传统有限元框架的基础上提出一种基于Cohesive单元的石拱桥主拱圈两相数值模型,并通过室内试验与数值模拟对比、参数敏感性分析验证了方法的有效性界定了方法的适用性,得到的基本结论如下:
(1) 基于Cohesive单元建立的两相数值模型,提供了一种描述石砌体非均匀性问题的新思路,可以有效地模拟石拱桥的破坏过程(尤其是砌缝的剪切滑移破坏行为),为评估石拱桥极限承载力提供重要信息,如荷载位移曲线、破坏模式等。
(2) 基于Cohesive单元在传统有限元框架下解决石砌体非均匀性的描述问题,降低了石拱桥数值模拟的难度、提高了模拟的效率、保证了模拟的精度。
(3) 石砌拱桥主拱圈破坏机制由拱的受弯、受剪特性决定,并与砌缝抗剪摩擦系数μ强相关。当摩擦系数较高(μ > 0.40)时,失效机制表现为弯曲铰链破坏;当摩擦系数较低(μ < 0.40)时,加载点附近砌缝发生剪切滑动,拱桥失效表现为剪切破坏。
(4) 研究结果对认识石拱桥(尤其是乡村老旧石拱桥)受力性能具有一定意义,但由于结论大部分来源于室内模型及数值模拟,其普遍性还需进一步验证。
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表 1 试件砌缝砂浆配合比
Table 1 Mortar mixture design of masonry specimens
/(kg/m3) 砂浆标号 水 水泥 河沙 M7.5 270 230(P.O 32.5) 1450 表 2 不同砌缝厚度石砌体材料力学性能
Table 2 Mechanical properties of mortar joints with different thicknesses
砌缝厚度
t/mmks0/
(MPa/mm)kn0/
(MPa/mm)δsu/
mmc/
MPaμ fc/
MPaE0/
MPaεcu−εco 5 4.16 104×E0 20 0.105 0.446 −14.18 930 0.015 10 3.98 104×E0 20 0.082 0.473 −10.92 825 0.015 20 3.84 104×E0 20 0.111 0.565 −9.79 650 0.015 注:kn0取104E0;为简化计算,δsu 取图5(a)~图5(c)中极限剪切位移的平均值;εcu−εco依据图6(b)确定。 -
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