边坡与采矿工程中常利用锚索对地质体进行加固以确保其工程稳定性。锚索总体可分为三类：强度锚索、延性锚索和吸能锚索^[1]。强度锚索具有高承载力、小变形的特点；延性锚索具有大变形、低强度的特点；吸能锚索是具有高承载力、大变形能力的理想支护设备。近年来，吸能锚索得到长足发展，各类吸能锚索广泛应用于实际工程中，例如：锥形螺栓(Cone bolt)^[2]、加福固体动力螺栓(Garford solid dynamic bolt, GSDB)^[3]、D型螺栓(D bolt)^[1,4]等。何满潮团队^[5-6]研发的恒阻大变形(NPR)吸能锚索，具有高强度、高韧性和高延伸率的优良特性。NPR锚索的超常力学特性源于锚索内部具有负泊松比(negative Poisson’s ration, NPR)结构效应的特殊复合装置，因此该类锚杆/索也称为“NPR锚杆/索”。

学者们开展了诸多“NPR锚杆/索”特殊力学机制研究工作。何满潮等^[7]建立了NPR锚索恒阻力力学模型，通过室内静力拉伸试验验证了该模型的可靠性。本溪南芬露天铁矿采场滑坡体监测预警工程的成功应用，证明了具有能量吸收特性的NPR锚索既能作为加固设备又能作为传力装置，真正实现了对大变形滑坡灾害的全过程监测预警^[8-9]。基于上述研究工作，NPR锚索的恒定工作阻力和大变形特性得到可靠验证。

图1为NPR锚索的结构示意图，主要由圆台形恒阻体、恒阻套筒和高强度钢绞线组成，钢绞线远端连接恒阻体，近端由垫片和锚头固定，恒阻套筒经锚固剂与围岩锚固，通过调节恒阻套管内壁的摩擦系数，当钢绞线承受拉拔力达到设计值时，恒阻体将在恒阻套筒内滑动，由于恒阻体末端直径略大于套管内壁直径，恒阻体的贯入将导致套管产生径向膨胀，从而产生恒定工作阻力^[6]。

NPR锚索本质上是一种两点锚固的吸能锚索，因此，恒阻套筒段的锚固效果将对整个锚固系统起到决定性作用。实际工程中，NPR锚索的恒阻套筒通常由厚度为14.5 mm的锚固剂层与围岩锚定，锚索受到围岩和锚固剂的共同约束作用。因此，当锚固材料或围岩质量较差时(如：模量较低)，锚索可能在较低荷载下从钻孔中整体脱锚拉出，致使锚固系统失效；另一种情况是，当锚固材料或围岩刚度较大时，围岩将无法提供恒阻体滑动时恒阻套筒所需的径向膨胀位移，导致锚索无法发挥恒阻大变形的特性，此时外部荷载将由钢绞线承担，NPR锚索退化为强度锚索，在外部荷载作用下，可能发生钢绞线直接拉断的情况。

图  1  NPR锚索结构示意图

Figure  1.  Components of the NPR cable

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NPR锚索是具有负泊松比结构效应的特殊复合装置。该锚索工作时由于恒阻体相对滑动时恒阻套筒产生径向膨胀，因此恒阻套筒不仅承受切应力也承受径向压应力和环向膨胀应力。为了使恒阻大变形锚索产生相应的恒阻大变形特性，锚索的拉拔强度P_a必须大于锚索的恒阻力F_c，否则，NPR锚索将从钻孔中脱锚而无法发挥恒阻大变形特性。因此，开展NPR锚索-围岩相互作用的研究具有重要意义。

NPR锚索锚固系统主要由锚索、锚固材料和围岩地质体组成，其性能不仅取决于锚索类型和地质材料力学性质，还取决于锚索-围岩接触面的力学性质。本文所说“锚索-围岩相互作用”是指锚索和围岩以及锚固材料的相互作用。锚索的轴向拉应力σ_t和锚索-围岩接触面的切应力τ的关系见下式^[10]：

其中：r为锚索半径；l为锚固长度；A为锚索的横截面积。由于切应力τ受限于锚索锚固强度τ_f，因此，锚索的拉拔强度P_a可表示如下：

学者们采用试验方法、解析方法和数值模拟方法对锚索-围岩相互作用开展了大量研究。Jiang等^[11]提出了考虑锚杆-围岩相互作用的耦合模型，建立了耦合模型的半解析解，给出了轴向力沿锚杆的分布特征。Farmer^[12]建立了全灌浆锚杆的分析模型，预测了锚杆-灌浆界面解耦前的剪应力分布特征。Cai等^[13]提出了一种分析模型来描述锚杆在拉拔试验中的耦合及解耦行为和岩体的变形特征。Moosavi等^[14]利用不连续变形分析程序分析了块状岩体与全锚锚杆的相互作用。

本文主要研究内容如下：建立了NPR锚索的三维离散-连续耦合模型，并通过若干试验来校准耦合模型的力学参数；通过研究恒阻力演化规律、恒阻套筒外壁正应力和剪应力分布规律、拉拔强度演化规律以及围岩和锚固材料的细观破坏规律分析了锚索-围岩相互作用机理；最后给出研究结论及现实工程意义。

1   耦合模型及细观参数校准

考虑到NPR锚索锚固系统的耦合特性，NPR锚索作为一种延性材料表现出连续变形的特性，锚固材料和围岩作为脆性材料表现出离散特性(断裂或裂纹的萌生和扩展)。因此，离散元方法(DEM)^[15]和有限差分方法(FDM)^[16]的耦合方法是模拟NPR锚索锚固系统的合适手段，NPR锚索由FDM模拟，锚固材料和围岩由DEM表征。该耦合方法能充分发挥离散元方法在岩土体的大变形和局部破坏等方面的优势和有限差分法在连续介质系统中的计算效率和精度的优势。

本文基于DEM程序PFC^3D和FDM程序FLAC^3D的耦合方法研究锚索-围岩的相互作用。该耦合方案构造了两个程序之间的接口，在一个物理时间步长内协调静态量和动力量之间的交流^[17]。一方面，通过创建能覆盖FDM模型所有表面的DEM三角形墙体(耦合墙)实现了与DEM颗粒耦合，耦合墙的顶点遵循相应的FDM表面网格点的位置和速度，当耦合墙受到DEM颗粒施加的接触力和力矩时，基于墙面的力和力矩平衡，计算出其顶点上的平衡力^[18]。另一方面，FDM模型将这些求解在耦合墙顶点上的平衡力作为施加在表面网格点上的力边界条件。两个程序在同一时间步长内，DEM系统从FDM模型更新耦合墙的位置和速度，并将边界力返回给FDM模型，使耦合系统能够随时间演化^[19-20]。离散与连续耦合计算详细推导见文献[21]。

1.1   NPR锚索三维模型

图2为NPR锚索(钢绞线、恒阻体和恒阻套筒)及其三维数值模型，恒阻套筒长1000 mm，外壁直径为120 mm、内壁直径为87 mm。恒阻体由两部分组成：长为85 mm、小端直径为83 mm、大端直径为93.5 mm的圆台以及长为25 mm、直径为93.5 mm的圆柱。钢绞线长2000 mm、直径为22.4 mm。

图  2  NPR锚索 /mm

Figure  2.  NPR cable

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本文将恒阻套筒视为各向同性材料，恒阻体和钢绞线视为弹性材料，通过FLAC的动态链接库将von Mises屈服准则赋予恒阻套筒以描述其理想弹塑性行为。由于NPR锚索工作时，恒阻体将沿套筒内壁滑动，需在套筒内壁设置二者接触面，见图2。

根据NPR锚索的室内静力拉伸试验结果校准NPR锚索数值模型的力学参数，见表1。对NPR锚索数值模型的套筒近端轴向约束，钢绞线远端施加20 mm/min恒定轴向速度，直到恒阻体滑离套筒。图3为锚索拉拔力随轴向位移的演化以及锚索套筒外壁4个监测点的径向变形试验值和数值解的对比，通过改变摩擦角获得不同的恒阻力，最终确定摩擦角为8.5°时，得到的恒阻力值为490 kN，与试验值吻合较好^[22]。由图3(a)可知，拉拔力先线性增加，当拉拔力达到约490 kN时恒阻体和套筒产生相对滑动，认为该值是NPR锚索的恒阻力值，拉拔力保持基本不变时被认为是恒阻大变形阶段。由于恒阻体初始装配原因，静力拉伸试验的轴向位移小于1000 mm。由图3(b)可知，恒阻套筒外表面4个位置的径向变形具有显著的塑性变形以及轻微的弹性回弹现象，数值解与试验值基本一致，最大的径向变形约为2.8 mm，弹性回弹量约为0.11 mm。

表  1  NPR锚索力学参数

Table  1.  Mechanical-parameters of the NPR cable

弹性模量 /GPa	泊松比	抗拉强度 /MPa	恒阻力 /kN
206	0.28	730	490

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图  3  NPR锚索力学性质

Figure  3.  Mechanical-parameters of the NPR cable

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1.2   围岩和锚固材料

基于图2的NPR锚索三维模型，建立NPR锚索-围岩相互作用的耦合模型，如图4所示。NPR锚索由厚度为14.5 mm的锚固材料(水泥砂浆)和厚度为136.74 mm的砂岩包围，确保其外表面的径向位移量可以忽略不计(足够小)。砂岩和水泥砂浆离散颗粒表征，锚固材料颗粒半径为1.55 mm~2.59 mm，砂岩颗粒半径2.80 mm~4.66 mm，呈均匀分布。NPR锚索-围岩耦合模型的砂岩外表面径向约束，靠近恒阻体的砂岩和水泥砂浆轴向约束。钢绞线远端施加轴向速度20 mm/min开展静力拉伸试验。

图  4  NPR 锚索　/mm

Figure  4.  NPR cable

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1.3   离散元细观参数校准

为了获得DEM模型的细观参数，开展了水泥砂浆和砂岩的单轴抗压试验和恒阻套筒与水泥砂浆拉拔试验。建立直径为50 mm、高为100 mm的离散元圆柱试样，校准砂岩和水泥砂浆的细观参数，颗粒半径与耦合模型一致。根据表2的基本力学参数，通过单轴压缩试验得到两种材料的细观参数见表3。

为了保证NPR锚索锚固系统能正常工作，需要验证恒阻套筒和锚固材料的接触面参数，建立锚索-围岩拉拔试验三维数值模型。NPR锚索的锚固材料为水泥砂浆，根据《建筑边坡工程技术规范》^[21]，其锚固强度为1300 kPa，拉拔强度P_a=2πrlτ_f=98.7 kN。恒阻套筒和水泥砂浆界面的剪应力和有效正应力超过其强度时，界面的力学响应将由粘聚力c和内摩擦角$\varphi$决定，即：

式中：A为界面面积；F_n和F_s为法向力和切向力；F_smax为最大切向力。若F_s≥F_smax，恒阻套筒和水泥砂浆将产生库仑滑动。通过校准NPR锚索的拉拔强度为98.7 kN，得到恒阻套筒和锚固材料的接触面参数，见表4。

表  2  砂岩和水泥砂浆基本力学参数

Table  2.  Mechanical-parameters of sandstone and cement mortar C30

参数	弹性模量/ GPa	泊松比	抗压强度/ MPa	粘聚力/ MPa	内摩擦角/ (°)	密度/ (kg/m3)
砂岩	29.4	0.25	147.0	20	40	2850
水泥砂浆	7.5	0.17	30.0	10	30	2500

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表  3  平行粘结模型细观参数

Table  3.  Micro-parameters of linear parallel bond model

岩性	线性接触部分				平行粘结部分
	有效模量E*/GPa	刚度比kn/ks	内摩擦角$\varphi$/(°)		有效模量${\bar E^*}$/GPa	刚度比kn/ks	抗拉强度${\bar \sigma _{\rm{c}}}$/MPa	剪切强度$\bar c$/MPa	内摩擦角$\bar \varphi$/(°)
砂岩	19.16	3.5	30		19.16	3.5	16.0	20.0	40
水泥砂浆	4.98	3.7	15		4.98	3.7	3.0	10.0	30

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表  4  恒阻套筒-水泥砂浆接触面细观参数

Table  4.  Contact parameters on the interface between pipe and DEM cement mortar

线性接触部分				平行粘结部分
有效模量E*/GPa	刚度比kn/ks	内摩擦角$\varphi$/(°)		有效模量${\bar E^*}$/GPa	刚度比${\bar k_{\rm{n}}}/{\bar k_{\rm{s}}}$	抗拉强度${\bar \sigma _{\rm{c}}}$/MPa	剪切强度$\bar c$/MPa	内摩擦角$\bar \varphi$/(°)
0.498	3.7	15		0.498	3.7	3.0	1.32	30

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2   NPR锚索-围岩耦合模型数值结果

基于校验完成的细观力学参数及相关宏观参数，开展NPR锚索-围岩耦合模型的数值静力拉伸试验。从恒阻力的演化、锚索-锚固材料界面的正应力和剪应力的分布、拉拔强度的演化以及水泥砂浆和围岩的破坏模式分析NPR锚索-围岩相互作用机理。

2.1   恒阻力演化规律

恒阻力是NPR锚索最为关键的工程参数。图5为NPR锚索和NPR锚索-围岩相互作用模型的拉拔力数值解。在20 mm/min轴向恒定拉拔速度作用下，首先，两者的拉拔力均以较大的斜率增加，此时荷载尚未达到初始静摩擦力，荷载作用在钢绞线上。随着恒阻体缓慢贯入恒阻套筒，拉拔力的斜率有所降低，但是由于套筒径向膨胀产生的约束效应，NPR锚索-围岩相互作用模型的斜率更大。当恒阻体完全进入套筒中，由于两者的接触面积恒定，此时的拉拔力也保持恒定。NPR锚索-围岩相互作用模型的恒阻力(约为547 kN)大于NPR锚索的恒阻力(约为490 kN)。

图  5  钢绞线轴向拉拔力随位移变化关系

Figure  5.  Axial drawing force exerted on the steel strand against axial displacement (numerical results)

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2.2   正应力和剪应力分布规律

NPR锚索工作时，随着恒阻体和恒阻套筒的相对滑动，恒阻套筒将产生径向膨胀，这种“负泊松比结构效应”将显著影响套筒外壁正应力和剪应力的分布。图6为恒阻体末端滑动时经过的7个位置(0 mm、20 mm、50 mm、80 mm、120 mm、160 mm和200 mm)的恒阻套筒外壁的正应力和剪应力分布。随着恒阻体开始进入套筒，环向膨胀效应开始产生，正应力迅速增加，在恒阻体的位置达到峰值，随后缓慢降低至恒定值。正应力的分布规律可分为3部分：初始部分，正应力与初始注浆压力基本相同；套筒环向膨胀阶段，此时套筒产生了显著的弹塑性径向变形，正应力增加值峰值(约55 MPa)；残余部分，恒阻体滑离之后，正应力降低至定值(约43 MPa)。由于边界条件的约束效应，S2和S3处的正应力峰值更大。

图  6  NPR锚索套筒外壁应力分布

Figure  6.  Stress distribution on outer wall of the NPR cable in position of seven observation points

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随着恒阻体和恒阻套筒的相对滑动，套筒产生轴向变形，套筒外壁的剪应力分布同样可分为3部分：初始阶段，剪应力维持一个小于粘结强度τ_f=1300 kPa的值，该阶段外荷载主要由水泥砂浆-套筒界面的粘结力承受，此时的NPR的锚固效果与普通锚索类似；套筒环向膨胀阶段，剪应力快速增加并达到峰值(约7 MPa)。另外，当恒阻体完全贯入套筒后，剪应力峰值基本保持恒定(见S4、S5、S6和S7)；残余部分，此时剪应力主要是摩擦力，由界面上的正应力和摩擦角决定。剪切应力分布的研究具有重要的意义，因为它有助于估算拉拔强度及其随轴向变形的演化，为NPR锚固设计提供实用信息。

2.3   拉拔强度演化规律

由2.2节正应力和剪应力的分布规律可知，初始阶段，剪应力主要由粘结力提供，从套筒环向膨胀阶段开始，水泥砂浆开始产生破坏。因此，拉拔强度P_a由初始阶段的粘结强度以及后续阶段的摩擦强度组成。套筒的径向变形相对其半径而言足够小，可忽略不计。因此，拉拔强度P_a可由下式表示：

式中：R为恒阻套筒外半径；x、l及L分别为残余阶段长度、恒阻体-套筒接触面长度及恒阻套筒长度；σ_np和σ_nr为套筒环向膨胀阶段和残余阶段的正应力；f为摩擦系数。对于传统锚索而言，x和l均为0，式(4)退化为式(2)。

图7为拉拔强度和拉拔力随轴向位移变化的对比。由于围岩的影响，拉拔强度的初始值(490 kN)略小于恒阻力。随着恒阻体缓慢进入恒阻套筒，拉拔强度逐渐增加。当恒阻体完全贯入套筒后(轴向位移为81 mm)，拉拔强度开始线性增加。随着轴向位移的增加，拉拔强度和拉拔力的差距也逐步增加。由式(4)分析可知，若σ_npf>σ_nrf>τ_f，拉拔强度呈单调递增趋势；若σ_nrf<σ_npf<τ_f，根据NPR锚索-围岩接触面力学性质，拉拔强度将单调递减；若σ_npf>τ_f>σ_nrf，拉拔强度先加速增加，后恒定速度减小，其峰值在恒阻体完全贯入套筒时达到。后两种情况中，当拉拔强度小于恒阻力时，NPR锚固系统可能失效，实际工程中应避免此类情况出现。

图  7  拉拔强度和拉拔力随轴向位移变化对比图

Figure  7.  Evolution of the pull-out strength against axial deformation of the NPR cable, and comparison with the drawing force

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2.4   锚固材料和围岩的破坏模式

从细观角度来说明NPR锚索的锚固材料和围岩的破坏模式和机理。选取恒阻体前端轴向位置为100 mm时为代表性分析时刻，通过选取轴向位置分别为110 mm、150 mm和220 mm的三个位置作为分析关键点。在各关键点处截取长为1.5倍平均颗粒直径的围岩材料作为测量体积，计算该测量体积内的平均正应力和剪应力，平均接触应力计算公式如下：

式中：${\sigma _{\rm{n}}^c}$为法向接触应力；N_c为接触数量。

三个分析关键点的应力网络和径向位移场如图8所示。红线和黑线分别表示拉应力和压应力(线条粗细代表应力值的大小)，靠近恒阻体在套筒中的持续滑动，套筒的膨胀效应向前推移，越靠近恒阻体的压应力和径向位移场均越高，同时套管的膨胀效应的影响范围也有限。

选取恒阻套筒轴向位置为130 mm的作为分析点，随着恒阻体前进2 mm，在分析点位置选取水泥砂浆和围岩的两个时刻的力链状态。随着静力拉伸试验的进行，恒阻体进一步贯入套筒。由于套筒的膨胀效应，导致水泥砂浆的拉应力达到其抗拉强度，拉应力(红线)开始消失，锚固层开始出现微裂纹(椭圆圈)并随着恒阻体的靠近沿环向扩展，见图9所示。

图  8  应力网络和径向位移场

Figure  8.  Stress network and radial displacement field

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图  9  围岩破坏过程

Figure  9.  Evolution of the failure the cement mortar and sandstone layer

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3   结论

本文主要通过DEM-FDM耦合方法研究静力拉伸作用下NPR锚索-围岩相互作用机理，对预测和提升NPR锚固系统的锚固效果具有重要意义。得到如下结论：

(1) 随着恒阻套筒的膨胀，围岩能为套筒提供围压，从而有助于增加NPR锚索的恒阻力。

(2) 锚索-围岩接触面的正应力和剪应力的分布可分为三个阶段：初始阶段，正应力取决于初始锚固压力，剪应力取决于水泥砂浆的粘结强度；环向膨胀阶段，正应力快速增加并达到峰值，剪应力为此时接触面的正应力和摩擦角的乘积；残余阶段，正应力逐步降低最终保持恒定，剪应力仍取决于接触面的正应力和摩擦角的乘积。

(3) NPR锚索的锚固强度取决于恒阻体-恒阻套筒的相对位置，拉拔强度小于拉拔力时，NPR锚固系统将失效，现实工程中要注意避免。

(4) 由于套筒的剪切作用拉伸破坏先沿着径向发展，随着恒阻体的贯入，套筒膨胀效应加剧，拉伸破坏加速向环向扩展，此时的压应力以径向为主并改变锚索的锚固机制。