有限元法作为求解微分方程的数值方法，在计算过程中不可避免地会产生误差，而自适应有限元法可以改善误差分布、提升解的精度和求解效率，也是近年来的研究热点^{[1 − 6]}。自适应求解的重要一环即是能够对有限元解进行可靠的误差估计，以指导自适应网格划分。纵观当前大多数后验误差估计方法，都存在或部分存在如下缺点和弊端^[7]：① 不能在单个单元上估计误差，需要若干单元联片；② 不能逐点估计误差，难以按最大模控制误差；③ 线性元由于整体上缺失超收敛性，难以构造可靠的误差估计器；④ 误差估计缺乏理论证明，可靠性缺乏理论保障。

对于$m$次常规多项式单元，有限元数学理论有一个最基本的误差估计^{[8 − 10]}，即若问题足够光滑，则一维单元到三维单元在单元内部任一点的位移无例外地具有${h^{m + 1}}$阶的收敛精度。这一估计意味着二分加密网格($h \to \dfrac{h}{2}$)或提高单元次数($m \to m + 1$)都能获得精度更高的解，可用来估计原有限元解的误差。基于这一特性，袁驷等^[7]简略讨论了两种误差估计策略：① 用二分加密网格上的解估计原网格上解的误差，称为“双元法”，该法在常微分方程求解器COSYS中已经有类似应用^[11]；② 用高一次单元的解估计原单元解的误差，称为“双阶法”。显然，为了得到两套不同精度的解答，这两种方法都需要做2次有限元求解，计算代价过大成为其最大弊端。

ZIENKIEWICZ等^[12]提出一种基于Hierarchical形函数的误差估计手段：在有限元求解完成后，在每个单元上添加高次Hierarchical形函数作为残差(误差)函数，生成一个残差问题；再用有限元求解残差问题得到对原问题的误差估计。BANK等^[13]对该法给出了数学证明，本文将该法称为Z-B法。该法的二次有限元求解规模有所缩小，但对结点误差控制能力较弱。

袁驷等^[14]在初值降阶单元的基础上，提出边值问题的降阶单元^{[7, 15]}，该法只经一次有限元求解便得到两套不同精度的解答，而两套解在精度上的“阶差”很自然地提供了一个可作逐点估计的误差估计器，也自然地发展出以降阶单元作为最终解答的自适应算法。

文中以常规的二阶非自伴随两点边值问题为模型问题，从理论分析和数值计算等方面对上述四种方法(双元法、双阶法、Z-B法、降阶法)进行较为具体全面的对比分析。对比分析表明：作为自适应有限元分析方法，特别是从局部加密功能和性能来看，降阶单元原理简明、算法简单，在可靠、通用和计算效率等方面，均优于其他方法。

1   问题描述及有限元解

1.1   模型问题及有限元解

考虑如下二阶非自伴两点边值问题：

式中，$p$、$r$、$q$均为$x$的函数，且$p {\geqslant} {p_0} > 0$，${p_0}$为常数。定义与问题(1)相应的双线性型和线性型为：

采用Galerkin法求解式(1)所示问题的近似解，可归结为求解$u\in H_{\mathrm{E}}^1$，使得：

式中：$u$、$v$分别为试探函数和检验函数；$H_E^1$为满足本质(位移)边界条件直到一阶导数均平方可积的函数空间。

1.2   常规单元解

不失一般性，考虑典型区间$x \in [0,\;h]$上的单元，其中，$h$为单元长度。按照常规做法，将试探函数${u^h}$和检验函数${v^h}$均取为$m$次多项式；又为了后期方便，将形函数取为升阶谱(Hierarchical)形式：

式中：

式中，${\hat N_i}$为高次的“泡状”函数，相应的$\hat u_i^h$为广义结点位移，并不代单元结点位移。则Galerkin有限元解归结为求解$u^h\in S^h\subset H_{\mathrm{\mathrm{E}}}^1\mathrm{ }$，使得：

式中，${S^h}$为通常意义下分段多项式构成的$C{^0}$有限元试探空间和检验空间。

根据一维有限元的数学理论^{[8 − 10, 16]}，常规有限元解${u^h}$在单元内部有${h^{m + 1}}$阶的收敛精度，在单元端结点具有${h^{2m}}$阶的收敛精度。

2   自适应有限元法

本文的自适应求解的最终目标为：在精确解$u$未知的情况下，事先给定误差限${T_l}$，寻求一个优化的有限元网格${\pi ^*}$，使得该网格上的有限元解答${u^h}$按照最大模度量满足误差限，即逐单元满足：

由于$u$未知，因此式(7)不能作为停机准则使用。实际计算时，根据不同自适应算法，采用不同的$\tilde \tilde u$代替$u$来估计${u^h}$的误差，则有停机准则为：

本文给出如下四种自适应有限元算法，也即四种不同的$\tilde u$和${u^h}$计算方法，并且根据BABUŠKA等^[17]提出的有效指标概念，通过计算每种方法的自适应有效指标，进一步衡量其自适应分析的可靠性。

2.1   双元法

双元法，即用两重网格求解的算法，其基本作法为：给定一个初始网格$\pi$，对其所有单元进行二分加密后得到第二个网格，对两重网格都采用$m$次常规单元进行求解，取稀疏网格的有限元解${u^h}$作为最终解，用密集网格的解来估计其误差，指导自适应过程，图1给出$m = 1$时的算法示意图。此法的主要弊端包括：① 需要进行两次求解，计算代价过大；② 高次元二分后增加的自由度几乎翻倍(一个三次元二分后增加3个自由度)，进一步增加了计算代价；③ 检验解和最终解是同阶收敛，简单直接的误差估计并不可靠。

图  1  双元法示意图

Figure  1.  The schematic diagram of double-element method

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考察双元法的有效指标。假定稀疏网格下的单元尺寸为$h$，其有限元解${u^h}$的误差可以写做${C_1}{h^{m + 1}}$，二分加密后网格的有限元解$\tilde u$误差为${C_2}{\left(\dfrac{h}{2}\right)^{m + 1}}$，由于单元尺寸较小，可认为${C_2} \approx {C_1}$，则有：

可见，双元法的有效指标与单元尺寸无关，只与单元次数相关，随着单元次数$m$越来越大时，有效指标$\theta$才趋近于1。由于在求解时，单元次数总是有限的，因此双元法估计的误差总是小于实际误差，这也说明简单地采用同阶收敛的解答作为误差估计器检验误差并不可靠。

2.2   双阶法

双阶法，即用两重阶次的单元求解的算法，其基本作法为：给定一个初始网格$\pi$，分别用$m$次和$m + 1$次的常规单元进行求解，取$m$次单元的解${u^h}$作为最终解，用$m + 1$次单元的解$\tilde u$来估计其误差，指导自适应过程，图2给出$m = 1$时的算法示意图。此法存在两点主要弊端：① 需要在同一网格上进行两次求解，计算代价过大，并且在网格较为密集时这一弊端更为明显；② 最终有限元解仍为常规单元解答，端结点精度并未提高，导致误差模式纷杂，对某些问题自适应过程不稳定、最终单元数会无序增加，甚至自适应失败。

图  2  双阶法示意图

Figure  2.  The schematic diagram of double-order method

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仿照式(9)可推导得出双阶法的有效指标为：

可见，当$h \to 0$时，${C_2}{h^{m + 2}}$相对${C_1}{h^{m + 1}}$而言为高阶微量，可以忽略不计，此时有效指标$\theta \to 1$。即，当$h \to 0$时，此方法的误差估计是准确的，自适应算法是有效的。

2.3   Z-B法

ZIENKIEWICZ等^[12]提出一种基于Hierarchical形函数的误差估计方式，本文简称为Z-B法，其基本作法为：给定一个初始网格$\pi$，用$m$次常规单元进行求解，得到有限元解答${u^h}$。为计算问题的残差，另取$m + 1$次的“泡状”Hierarchical形函数对残余荷载($r = f - L{u^h}$)的问题进行求解，得到逐单元的“泡状”误差作为误差估计器，指导自适应过程，图3给出$m = 1$时的算法示意图，该法可以看作双阶法的改进方法，避免了对高次元的完整求解。BANK等^[13]从数学上对此法的误差估计给出证明，当$h \to 0$时，此法在适当的模的度量下其误差估计是可靠的。此法与降阶单元法类似，即误差项都为高出最终解答一阶的“泡状”函数，但相比之下仍存在两点主要弊端：① 最终有限元解的端结点精度没有提高(降阶单元至少提高一阶)，仍属于常规单元；② “泡状”的误差估计器忽略了结点位移误差带来的影响，导致对某些问题(结点误差为主部误差时)估计失准。

图  3  Z-B法示意图

Figure  3.  The schematic diagram of Z-B method

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2.4   降阶法

降阶法的基本作法为：给定一个初始网格$\pi$，用$m + 1$次的常规单元进行求解，逐单元提取$m$次降阶单元解答$u_{\text{R}}^h$和误差估计器$\varepsilon _{\text{R}}^h$，以降阶解$u_{\text{R}}^h$作为自适应的最终解，$\varepsilon _{\text{R}}^h$作为误差估计器，指导自适应过程，图4给出$m = 1$时的算法示意图。此法可以看作是在Z-B法基础上的进一步优化，具有两大主要优势：① 无需两次有限元求解，即可得到最终解和误差估计器，大大节省了计算量；② 最终解的结点位移是$m + 1$次单元的解，精度得到了提高，使得结点误差可忽略，自适应过程中误差模式趋于单元化(局限在单元内部)，增强了稳定性和可靠性，也进一步提升了自适应求解算法的合理性和效率。

图  4  降阶法示意图

Figure  4.  The schematic diagram of reduced element method

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根据数学理论，易知降阶解在单元内部具有${h^{m + 1}}$的收敛精度，常规单元满阶解${u^h}$具有${h^{m + 2}}$阶的收敛精度，因此降阶法的有效指标为：

可见，在自适应求解过程中，当$h \to 0$时，${C_2}{h^{m + 2}}$可以忽略，此时有效指标$\theta \to 1$。此方法的误差估计是准确的，自适应算法是可靠的。

3   数值算例

本文采用可自定义字长的符号计算软件Maple2024所编写的程序代码计算例题。程序中一般采用24位十进制字长进行计算，随着误差限的严格，最多采用50位十进制字长，以确保程序能够验证并展示算法的有效性和可靠性。为方便起见，本文引入“误差比”，即误差与误差限之比，记作${\overline e^h} = (u - {u^h})/{T_l}$；又记${N_{\text{e}}}$为单元数，$N_{\text{DOF}}$为求解所需的总自由度数。

例1. 一维奇异摄动问题

问题描述如下^[18]：

其精确解如图5所示，表达式较复杂，不再给出。给定误差限${T_l}$，以均匀分布的4个单元作为初始网格，图6~图10给出$m = 1$、${T_l} = {10^{ - 5}}$时的结果，表1给出自适应数据。

图  5  奇异摄动问题真解示意图

Figure  5.  Schematic diagram of the analytical solution

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图  6  双元法误差分布

Figure  6.  Error distribution of double-element method

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图  7  双阶法误差分布

Figure  7.  Error distribution of double-order method

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图  8  Z-B法误差分布

Figure  8.  Error distribution of Z-B method

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图  9  降阶法误差分布

Figure  9.  Error distribution of reduced element method

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图  10  自适应最终网格分布

Figure  10.  Adaptive final mesh distribution

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由图5可见，真解在左侧有较大的梯度变化，为“边界层”现象，因此左侧求解难度较大。图6~图9为四种自适应方法的误差分布图：由图6可见，双元法的估计误差要小于真实误差，符合式(9)的预期；图7所示的双阶法估计误差和真实误差基本重合，但其中部分单元的端结点误差较大，即单元端结点误差在图中远离y=0轴，这一特点为求解带来了一定困难，导致双阶法在自适应求解过程中出现反复调整迭代的麻烦；图8所示的Z-B法，其估计误差为逐单元的“泡状”解，但其忽略了结点误差带来的影响，导致真实误差与估计误差偏离较大，因此误差估计不准确，使得自适应求解失败；图9所示的降阶法估计误差与Z-B法类似，单元的端结点误差基本可以忽略，即单元误差为两端为0的“泡状”解，显然最大误差发生在单元内部，可以实现逐单元的误差估计，且估计误差和真实误差基本重合。图10给出四种方法的自适应最终网格分布图，由图10可见，四种方法的网格都是左密右疏，这充分说明了自适应算法很好地实现了对解的性态的自适应性。

由表1可见，双元法的线性元和二次元出现最终误差比$\overline e_{\max }^h > 1$的情况，即在严格意义上自适应失败，但三次元的误差比$\overline e_{\max }^h < 1$，即自适应求解成功。这也符合式(9)的分析，即随着单元次数提升，双元法的有效指标趋近于1，同时可见双元法的计算代价总是最大的。对于Z-B法，也出现部分$\overline e_{\max }^h > 1$的情况，虽然该法在理论上具有证明，但在以最大模控制误差的自适应计算中并不总能成功。究其原因，应该是结点误差未能有效控制导致(图5)。反观降阶法，对于任意次数单元、任意误差限，其都以最少的最终单元数完成求解，同时求解所需的自由度也是最少的，可见该法稳定性和高效性。

表  1  例1的自适应结果对比表

Table  1.  Comparison results of adaptive methods for example 1

单元 次数$m$	误差限 ${T_l}$	双元法				双阶法				降阶法				Z-B法
		单元数 ${N_{\text{e}}}$	自由度数 $N_{\text{DOF}}$	误差比 $\overline e_{\max }^h$		单元数 ${N_{\text{e}}}$	自由度数 $N_{\text{DOF}}$	误差比 $\overline e_{\max }^h$		单元数 ${N_{\text{e}}}$	自由度数 $N_{\text{DOF}}$	误差比 $\overline e_{\max }^h$		单元数 ${N_{\text{e}}}$	自由度数 $N_{\text{DOF}}$	误差比 $\overline e_{\max }^h$
1	${10^{ - 3}}$	67	199	0.978 19		73	217	0.978 18		53	158	0.986 23		65	260	0.864 60
	${10^{ - 4}}$	257	769	1.164 97		—	—	—		163	488	0.989 72		175	700	0.732 00
	${10^{ - 5}}$	619	1855	1.053 82		677	2029	0.991 96		523	1568	0.996 89		528	2112	1.346 06
2	${10^{ - 5}}$	72	430	0.885 22		73	363	0.861 20		59	235	0.955 62		68	407	1.019 10
	${10^{ - 6}}$	283	1696	1.063 22		—	—	—		123	491	0.946 54		132	791	1.936 32
	${10^{ - 7}}$	333	1996	1.033 22		338	1688	0.998 80		271	1083	0.969 11		275	1649	1.560 62
3	${10^{ - 6}}$	44	394	0.739 45		44	306	0.739 45		40	199	0.902 04		42	335	0.739 45
	${10^{ - 7}}$	80	718	0.992 57		81	565	0.983 77		68	339	0.980 73		70	559	1.526 43
	${10^{ - 8}}$	132	1186	0.938 28		132	922	0.938 28		123	614	0.998 84		125	999	1.159 21
	${10^{ - 9}}$	227	2041	0.989 54		227	1587	0.974 32		223	1114	0.971 61		224	1791	1.037 54

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对于双阶法，当$m = 1$，${T_l} = {10^{ - 4}}$时，出现了失效“—”的结果，即自适应一直迭代加密，无法结束的情况。通过追踪自适应过程发现，在自适应过程中出现了与图7类似的误差分布，即单元端结点误差在靠近求解域右侧时较小，在左侧时较大，这导致整体误差的最大值发生在$x = 0$附近，网格也一直在此加密，但由于单元端结点误差为整体误差，仅对左侧进行局部加密并不能有效削减其误差，而远离$x = 0$处的单元由于满足了误差限后不再进行加密，因而导致失败。若以整体加密的网格划分策略对此问题进行求解，使用4096个单元可以满足误差限，也说明，在此种情况下只对左侧超限单元进行局部加密的收益十分有限。以上分析进一步说明，单元结点误差为整体误差，局部加密的策略在某些情况并不能有效削减误差，而降阶法的误差为逐单元的泡状误差，误差在单元之间相对隔离，更适合采用局部加密的网格划分策略，从而节省大量的求解自由度，这也是降阶法的一大优势。

对于双阶法，当取$m = 2$、${T_l} = {10^{ - 6}}$时，虽然在理论上单元端结点与单元内部相比具有高一阶的超收敛性，但仍出现了自适应求解无法结束的情况。分析发现，单元端结点误差收敛阶虽然高，但其初始误差大。在这一算例情况下，端结点误差仍不可忽略。若采用整体加密的网格划分策略求解，仅需要2048个单元即可满足误差限要求。

例2. 一维定常对流扩散问题

问题描述如下^[19]：

式中：$u(x)$为温度；$r = c/k$为Peclet数，$c$为已知流速，$k$为扩散系数。本问题精确解为：$u = {({e^{rx}} - 1)} / {({e^r} - 1)}$。不同的$r$对应的精确解如图11所示。当$r$很大时，即对流效应剧烈时，精确解在大部分求解域内为0，但在右端附近迅速上升至1，即$x = 1$附近出现边界层效应。这时，单纯使用传统的Bubnov-Galerkin有限元法或有限差分法计算往往产生数值振荡甚至导致求解失败。为此众多研究者提出了各种改进的有限元法和差分格式以得到该问题的稳定、可靠的解答^{[19 − 20]}。

图  11  定常对流扩散问题真解示意图

Figure  11.  Schematic diagram of the analytical solution

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给定误差限${T_l}$，计算$r = 20$和$r = 100$两种情况，以均匀分布的4个单元作为初始网格，图12~图16给出$r = 100$、$m = 3$、${T_l} = {10^{ - 5}}$时的结果。

图  12  双元法误差分布

Figure  12.  Error distribution of double-element method

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图  13  双阶法误差分布

Figure  13.  Error distribution of double-order method

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图  14  Z-B法误差分布

Figure  14.  Error distribution of Z-B method

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图  15  降阶法误差分布

Figure  15.  Error distribution of reduced element method

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图  16  自适应最终网格分布

Figure  16.  Adaptive final mesh distribution

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由图11可见，真解在右侧有较大的梯度变化，即通过温度的变化幅度可以判断对流效应是否剧烈，因此右侧求解难度较大。图12~图15为四种方法的估计误差与真实误差分布图，当单元次数取$m = 3$时，单元的结点相对于单元内部具有超收敛性，因此结点误差基本可以忽略不计，此时四种自适应方法的估计误差和真实误差都基本重合，亦即估计准确。图16给出四种方法的自适应网格分布图，由图16可见，四种方法的自适应最终网格都是左疏右密，最大误差与最小长度总是发生在接近最右端的单元处，即自适应算法很好地实现了对解的性态的自适应性。

由表2和表3可见，对于任意次数单元，任意误差限，除双元法以外的自适应方法都能在最大模度量下严格控制误差在误差限以下，双元法最大误差也仅超出误差限3%，属于可接受范围。同时，降阶法可以用最稀疏的网格、最少的求解自由度，完成自适应求解。

表  2  例2的自适应结果对比表(r=20)

Table  2.  Comparison results of adaptive methods for example 2 (r=20)

单元 次数$m$	误差限${T_l}$	双元法				双阶法				降阶法				Z-B法
		单元数 ${N_{\text{e}}}$	自由度数 $N_{\text{DOF}}$	误差比 $\overline e_{\max }^h$		单元数 ${N_{\text{e}}}$	自由度数 $N_{\text{DOF}}$	误差比 $\overline e_{\max }^h$		单元数 ${N_{\text{e}}}$	自由度数 $N_{\text{DOF}}$	误差比 $\overline e_{\max }^h$		单元数 ${N_{\text{e}}}$	自由度数 $N_{\text{DOF}}$	误差比 $\overline e_{\max }^h$
1	${10^{ - 4}}$	119	355	0.970 07		129	385	0.970 04		108	323	0.963 77		112	448	0.843 98
	${10^{ - 5}}$	357	1069	0.984 98		391	1171	0.996 31		323	968	0.998 98		323	1292	0.962 77
	${10^{ - 6}}$	1140	3418	0.954 29		1212	3634	0.996 92		1017	3050	0.996 13		1017	4068	0.812 54
2	${10^{ - 5}}$	47	280	0.964 22		47	233	0.946 22		41	163	0.962 18		43	257	1.006 44
	${10^{ - 6}}$	93	556	0.983 87		93	463	0.962 14		89	355	0.953 16		90	539	0.962 55
	${10^{ - 7}}$	193	1156	0.990 34		193	963	0.966 82		188	751	0.988 37		189	1133	0.970 49
3	${10^{ - 7}}$	53	475	0.961 13		53	369	0.961 13		51	254	0.964 17		51	407	0.934 73
	${10^{ - 8}}$	91	817	0.922 76		91	635	0.922 76		87	434	0.998 87		87	695	0.997 12
	${10^{ - 9}}$	153	1375	0.978 11		153	1069	0.978 11		151	754	0.978 30		151	1207	0.975 07

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表  3  例2的自适应结果对比表(r=100)

Table  3.  Comparison results of adaptive methods for example 2 (r=100)

单元 次数$m$	误差限 ${T_l}$	双元法				双阶法				降阶法				Z-B法
		单元数 ${N_{\text{e}}}$	自由度数 $N_{\text{DOF}}$	误差比 $\overline e_{\max }^h$		单元数 ${N_{\text{e}}}$	自由度数 $N_{\text{DOF}}$	误差比 $\overline e_{\max }^h$		单元数 ${N_{\text{e}}}$	自由度数 $N_{\text{DOF}}$	误差比 $\overline e_{\max }^h$		单元数 ${N_{\text{e}}}$	自由度数 $N_{\text{DOF}}$	误差比 $\overline e_{\max }^h$
1	${10^{ - 4}}$	145	433	0.899 61		152	454	0.953 99		119	356	0.993 44		131	524	0.799 74
	${10^{ - 5}}$	397	1189	0.966 67		429	1285	0.995 01		348	1043	0.994 16		361	1444	0.886 27
	${10^{ - 6}}$	1151	3451	0.992 55		1249	3745	0.999 66		1028	3083	0.997 88		1040	4160	0.971 49
2	${10^{ - 5}}$	61	364	0.952 72		62	308	0.936 53		52	207	0.913 02		58	347	0.936 53
	${10^{ - 6}}$	108	646	1.019 35		108	538	0.997 68		99	395	0.892 56		104	623	0.904 76
	${10^{ - 7}}$	207	1240	1.023 51		208	1038	0.998 47		198	791	0.970 35		203	1217	0.974 38
3	${10^{ - 7}}$	65	583	0.974 40		65	453	0.974 40		59	294	0.975 38		63	503	0.974 40
	${10^{ - 8}}$	105	943	0.945 46		105	733	0.945 46		99	494	0.945 71		103	823	0.945 46
	${10^{ - 9}}$	175	1573	0.986 81		175	1223	0.986 81		171	854	0.986 87		173	1383	0.986 81

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4   结论

本文对以上四种一维自适应有限元算法，进行了比较分析，可以得到如下结论：

(1)通过对比四种算法，得到不同自适应算法的具体性质与结论，并将其列入表4中，文中的数值试验也对表4中的特性进行了佐证；

表  4  一维问题采用$m$次单元的解作为自适应分析最终解的方法比较

Table  4.  Comparison of adaptive analysis using element of degree $m$ for one-dimensional problems

评价指标		双元法			双阶法			Z-B法			降阶法
		性质	评价		性质	评价		性质	评价		性质	评价
1	有效指标趋于1	否	差		是	优		是	优		是	优
2	需要二次求解	是	差		是	差		是	中		否	优
3	二次求解自由度多	是	差		是	差		否	中		否	优
4	需要两个单元网格	是	差		否	优		否	优		否	优
5	需要两个单元次数	否	优		是	差		是	中		否	优
6	单元内部精度	$m + 1$	优		$m + 1$	优		$m + 1$	优		$m + 1$	优
7	单元结点精度	$2m$	优		$2m$	优		$2m$	优		$2m + 2$	特优
8	最大模误差估计	是	优		是	优		是	优		是	优
9	误差局限单元内	否	差		否	差		是	优		是	优
10	结点误差整体影响大	是	差		是	差		否	优		否	优
11	数值实施简便	是	中		是	中		是	优		是	优

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(2)作为自适应有限元分析方法，特别是从局部加密功能和性能来看，降阶单元原理简明、算法简单，在可靠、通用和计算效率等方面，均优于其他方法。