不同于矩形基坑或条形基坑，圆形基坑由于其“拱效应^[1]”而有较好的稳定性，具体体现在挡土结构的稳定^{[2 − 3]}、结构受土压力较小、坑底抗隆起能力更强等方面。圆形基坑的良好性质使其如今在高层建筑、轨道交通和水利工程中得到广泛运用。

对于基坑抗隆起稳定计算的平面问题，基于地基承载力给出的求解方式历史悠久，在国内外均有成效^{[4 − 5]}。张京伍等^[6]总结并讨论了被广泛运用的“地基承载力破坏模式”与“圆弧滑动破坏模式”两种基坑抗隆起稳定计算方式的区别与影响因素。

在圆形基坑领域，张明聚等^[7]采用轴对称模型与圆弧滑动破坏模式，在极限平衡的框架下计算了圆形基坑坑底抗隆起稳定安全系数，结果大于以平面方法计算的结果，符合圆形基坑力学性能及稳定性更优的特性，但相较于强度折减法的计算结果仍偏小，结果依旧是保守的。赵飞^[8]在其研究中，采用Prandtl地基承载力破坏模式，用极限分析的方法，给出了圆形基坑的抗隆起稳定安全系数计算公式。

宋二祥等^{[9 − 10]}关注到采用不同基坑破坏机制对最终计算结果造成的影响，并通过对基坑挡土结构的嵌深进行探究，提出了临界嵌深这一概念。临界嵌深是基坑挡土结构能发挥作用的最大嵌深，超出临界嵌深的部分对于提升基坑稳定性没有帮助，且在挡土结构的嵌深等于临界嵌深时，对平面问题，其安全系数接近根据圆弧滑动模式得到的结果。

在岩土工程领域的FELA(Finite Element Limit Analysis：有限元极限分析)软件之中，OptumG2由于其强大的网格自适应能力以及上下限夹逼真实解的能力，在已有的研究中^{[11 − 12]}取得了不错的效果。本研究借助OptumG2，通过大量的数值模拟，拟合得到圆形基坑临界嵌深的计算公式，并借助数值算例与实际工程对得到的临界嵌深计算公式进行了检验，以明确其有效性。

1   建模假设与模型介绍

1.1   基本假设

1) 土体的本构模型采用Mohr-Coulomb模型(以下简称MC模型)，即认为土体的破坏形式为剪切破坏，土体破坏时的剪应力满足以下公式：

式中：$\tau$为剪应力；$c$、$\varphi$为土体的黏聚力与摩擦角。

2) 不考虑挡土结构在坑底以上部分的破坏，基坑的破坏均为坑底隆起造成。

3) 挡土结构的破坏视作抗弯破坏，以极限弯矩${m_{\text{p}}}$作为其强度指标，与基坑挡土结构多为钢筋混凝土结构，破坏时受弯产生塑性铰相符合。

1.2   模型介绍

有限元模型如图1所示，基坑直径为$D$、深度为$H$，挡土结构嵌深为$h$，坑顶满布有大小为${q_0}$的均布荷载。对称轴及侧边界处仅约束水平位移，底边界约束水平和竖向位移。挡土结构采用MC模型实体单元定义，设置其摩擦角$\varphi=0$，仅以黏聚力${c_{{\text{rs}}}}$作为其强度指标，使其屈服准则(在此即为破坏准则)退化为von Mises准则，便于计算其极限弯矩，并在其中添加一个结果截面以在后续处理中得到挡土结构的内力；OptumG2软件轴对称模型中，板单元默认为刚性，为满足假设2)的要求，在挡土结构坑底以上内壁施加板单元与支撑，以约束其变形，防止基坑在坑底以上部分发生破坏。

图  1  OptumG2有限元模型示意图

Figure  1.  Schematic diagram of OptumG2 finite element model

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挡土结构的内力主要为沿圆周方向均布的弯矩(如图2(a)所示)，假设挡土结构抗弯破坏时截面应力分布为矩形(如图2(b)所示)，此时挡土结构内、外侧应力均达到${c_{{\text{rs}}}}$，应力反向处所构成的圆的半径为$\rho$，挡土结构的外径为$R$、内径为$r$。从而推导出极限弯矩的计算公式如下：

式中，$\rho$的计算公式如下：

图  2  挡土结构受力分析图

Figure  2.  Force analysis diagram of retaining structures

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通过式(2)、式(3)，将模型中挡土结构的强度指标由黏聚力${c_{{\text{rs}}}}$转化为极限弯矩${m_{\text{p}}}$，可满足假设3)的要求，以抗弯能力作为挡土结构强度的评价指标。

2   嵌深影响及临界嵌深计算公式

2.1   临界嵌深计算公式的形式与拟合

轴对称条件下，基坑破坏形式与安全系数的转变过程与平面问题类似。如图3所示，由于安全系数(采用第二定义，即强度折减视角^[13])随嵌深的增大趋于一个常数，且数值模拟显示，临界嵌深前后滑裂面由通过挡土结构底转变为穿过挡土结构，因此根据FELA中二者位置关系发生变化的临界点将数据区分，点组1(临界嵌深逼近点)、点组2(临界嵌深后点)分别线性拟合得到拟合线1、拟合线2，取二者交点的横坐标作为该组模型参数下的临界嵌深${h_{\text{c}}}$。

图  3  安全系数随嵌深大小的变化

Figure  3.  Variation of safety factor with embedment depth

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临界嵌深大小由土体性质、挡土结构强度与基坑参数共同决定。根据FELA模型，考虑以下参数：基坑直径$D$、深度$H$、径深比$D/H$，土体黏聚力$c$、摩擦角$\varphi$、重度$\gamma$，由${c_{{\text{rs}}}}$计算得到的挡土结构极限弯矩${m_{\text{p}}}$、外荷载${q_0}$。取不同参数组分别建模，不断改变嵌深的大小进行数值模拟，得到不同嵌深下的安全系数。分析得到不同参数对临界嵌深的影响如图4所示。结果表明：基坑径深比，土体黏聚力，挡土结构极限弯矩的增大会使临界嵌深增大；土体摩擦角、重度的增大会使临界嵌深减小；外荷载的增大会使临界嵌深大小波动，但由图4(f)可见，在0 kPa~100 kPa范围内，其对于临界嵌深的影响非常有限，而实际工程中，通常难以达到100 kPa的外荷载，因此本研究中忽略其对于临界嵌深的影响。

图  4  各参数对临界嵌深的影响

Figure  4.  The influence of various parameters on the critical embedment depth

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将上述参数考虑其物理意义进行如下组合：

式中：$K_0=1-\sin\varphi$为土体的静止土压力系数；${p_{\text{a}}}$为当地大气压力，通常取${p_{\text{a}}} = 100\;{\text{kPa}}$；${h_{{\text{c}},{\text{P}}}}$为平面问题下、模型参数一致时计算得到的临界嵌深。

1) ${x_1}$为基坑坑底以下部分土压力产生的影响。

2) ${x_2}$为坑底以上部分土压力产生的影响。在此本应取主动土压力，不过由于圆形基坑主动土压力理论尚不完善、现有解析解的形式过于复杂^{[14 − 16]}，故以静止土压力代替其进行计算。

3) ${x_3}$为土体黏聚力产生的影响。其中$k$、$b$为待定系数。

4) ${x_4}$为基坑径深比产生的影响。在此考虑以下过程：当径深比等于0时，基坑尚未开挖，无需挡土结构便可保证稳定，因此临界嵌深为0；当径深比趋于无穷时，圆形基坑退化为平面问题，其临界嵌深大小应当等于平面问题下的临界嵌深${h_{{\text{c}},{\text{P}}}}$，得到式(7)形式。其中$a$为待定系数。

综上，参考56组模型的计算结果(选取10组模型参数、计算结果与误差于表1)，拟合得到一满足量纲一致的临界嵌深计算公式：

用于拟合公式的数据组与公式之间的相对误差绝对值的均值为6.9%、标准差为8.8%，具体拟合效果见图5。

表  1  用于拟合公式的部分模型参数及其效果

Table  1.  Partial model parameters used for fitting formula and their effects

模型编号	直径/m	深度/m	径深比	黏聚力/ kPa	内摩擦角/ (°)	重度/ (kN·m−3)	极限弯矩/ (kN·m·m−1)	外荷载/ kPa	极限分析 结果/m	式(9)确定 结果/m	相对误差/ (%)	相对误差 绝对值/(%)
1	100	10	10	10	25	20	112.074	0	15.293	15.409	0.76	0.76
2	100	10	10	10	25	20	120.125	25	15.352	15.815	3.02	3.02
3	100	10	10	10	25	20	133.110	70	15.286	16.436	7.52	7.52
4	100	10	10	10	25	23	117.169	0	14.514	14.868	2.44	2.44
5	100	10	10	10	50	20	58.182	0	10.925	10.670	−2.33	2.33
6	100	10	10	30	25	20	95.068	0	15.642	14.863	−4.98	4.98
7	100	10	10	10	20	20	131.951	0	16.308	17.147	5.14	5.14
8	90	10	9	10	25	20	110.634	0	15.384	15.278	−0.69	0.69
9	50	10	5	10	25	20	100.633	0	14.791	13.786	−6.80	6.80
10	30	10	3	10	25	20	55.568	0	11.350	9.422	−16.99	16.99

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图  5  原始数据与拟合效果误差图

Figure  5.  Original data and fitting results graph

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研究中为简化问题，有限元模型中的土体均采用单层土。考虑实际工程下，土体多分层，因此可根据地勘数据，对土体的黏聚力、摩擦角(在相应三角函数下)、重度，依据土层厚度加权平均后迭代计算，迭代步骤如图6所示，则式(8)形式转变为：

式中：${\gamma _1}$与$\hat{\varphi}_1$为坑底以下至临界嵌深处的土体的加权平均重度与加权平均摩擦角；$\hat c$为临界嵌深以上土体的加权平均黏聚力，它们为需要迭代确认的参数；${\gamma _2}$为坑底以上土体的加权平均重度；$\hat{K}_0=1-\sin\hat{\varphi}_2$，$\hat{\varphi}_2$为坑底以上土体的加权平均摩擦角。使用公式时需将各参数转变为表1中单位。

2.2   临界嵌深计算公式适用范围

由表1中各模型参数可见，本公式适用于基坑径深比较大的情形。如图7所示，假设基坑的破坏模式为“圆弧滑动破坏模式”，采用基坑两侧滑移面交错作为窄基坑的边界。在挡土结构的嵌深等于临界嵌深时，宽基坑需满足：

式中，${H_0}$为圆弧圆心到坑底的距离，可取最下方一道支撑到坑底的距离。将式(9)代入式(10)，有：

在使用本研究结论时，需将各参数代入式(11)进行检验，若不满足，则本研究结论不适用。

图  6  多层土临界嵌深迭代流程图

Figure  6.  Iterative flowchart for critical embedment depth in multi-layered soil

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图  7  窄基坑示意图

Figure  7.  Schematic of narrow foundation pit

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3   临界嵌深计算公式检验

3.1   公式可靠性检验

重新选取部分参数组合进行建模分析，得到临界嵌深，并与式(9)的计算结果进行比较。选取10组模型，其参数、计算结果与误差见表2，公式计算精度见图8。公式计算结果与极限分析得到的临界嵌深的相对误差绝对值的均值为8.3%，标准差为5.8%。可见对于绝大多数数据组，该公式的计算误差在10%以内，少部分数据组的误差在10%~20%这一区间，极少数数据组的误差大于20%。

表  2  用于检验公式的部分模型参数及其效果

Table  2.  Partial model parameters used for formula validation and their effects

模型编号	直径/m	深度/m	径深比	黏聚力/ kPa	内摩擦角/ (°)	重度/ (kN·m−3)	极限弯矩/ (kN·m·m−1)	外荷载/ kPa	极限分析 结果/m	式(9)确定 结果/m	相对误差/ (%)	相对误差 绝对值/(%)
1	120	10	12.00	10	25	20	99.995	0	13.789	14.816	7.45	7.45
2	120	8	15.00	25	10	21	249.987	50	24.232	26.260	8.37	8.37
3	100	10	10.00	20	20	20	124.990	0	17.287	17.020	−1.55	1.55
4	100	12	8.33	20	38	18	99.992	25	15.575	14.161	−9.08	9.08
5	100	14	7.14	10	15	19	49.996	30	10.751	12.156	13.07	13.07
6	100	16	6.25	15	15	23	249.981	0	20.190	20.182	−0.04	0.04
7	90	12	7.50	25	25	21	137.487	35	16.792	16.040	−4.48	4.48
8	90	16	5.63	10	25	20	499.953	0	27.786	24.237	−12.77	12.77
9	80	8	10.00	10	25	20	74.991	0	11.009	13.629	23.80	23.80
10	60	6	10.00	10	20	23	174.962	20	19.633	19.280	−1.80	1.80

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图  8  检验数据与拟合效果误差图

Figure  8.  Validation data and fitting results graph

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3.2   公式计算误差分析

1) 在将挡土结构强度参数${c_{{\text{rs}}}}$转化为极限弯矩${m_{\text{p}}}$的过程中，假设了塑性截面应力分布为矩形，但如图9(a)、图9(b)所示，其实际应力分布介于三角形与矩形之间。且由于挡土结构由实体单元定义，其塑性铰由弯矩、轴力、剪力的组合产生(见图9(c)、图9(d))，而本研究将极限弯矩作为挡土结构的唯一强度指标纳入公式计算，存在一定误差。

图  9  挡土结构应力与内力图

Figure  9.  Stress and internal forces in rationing structures

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2) 由于外荷载${q_0}$对于在100 kPa的范围内对临界嵌深的影响较小，公式形式最终将其忽略。但若继续增大${q_0}$至1000 kPa，数值模拟得到其临界嵌深大小为17.417 m，说明在较大区间内考察，${q_0}$对于临界嵌深的增长依旧有一定的促进作用，因此对其的忽略会造成误差。

3) 在公式形式上，对于基坑坑底以上土体土压力的影响(见式(5))，为保证计算公式的简洁，取静止土压力代入公式计算，与实际基坑抗隆起破坏时该部分土压力的形式存在差异。

尽管本研究提出的公式存在误差，但其误差基本在10%以内，除极少数情形下，误差不超过20%，在实际基坑工程的应用中可以接受，其计算结果依旧可靠，可为实际工程提供建议。

3.3   实际工程算例

在FELA中以Drucker-Prager模型(以下简称DP模型)定义挡土结构，可较好反映混凝土材料特性随应变率的改变^[17]和弥散开裂^[18]，采用完全塑性假设，可得到DP模型屈服函数如式(13)所示。其强度参数通常基于MC模型，由室内试验^{[19 − 20]}得到；或基于立方体抗压强度，由经验公式得到^{[21 − 22]}。

本研究成果的应用需得到混凝土的极限弯矩。对于素混凝土，其极限弯矩即为开裂弯矩，其可根据以下公式^[23]计算：

式中：${f_{{\text{tk}}}}$为混凝土轴心抗拉强度标准值；$b$为挡土结构的厚度。

3.3.1   实例1——上海地区某圆形基坑工程

该工程基坑剖面图与各土层参数见图10与表3^[24]。基坑的直径为55 m，深度为14.6 m；挡土结构厚1 m，由C30混凝土浇筑而成，嵌入土体的深度为15.4 m；挡土结构的内侧分布有3层厚1.5 m、高1.2 m的环梁，环梁由C40混凝土浇筑而成；基坑坑顶分布有大小为20 kPa的均布荷载。

图  10  案例1工程基坑剖面图　/m

Figure  10.  Pit profile for engineering example 1

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在FELA模型中，为满足1.1节中假设2)的要求，修改基坑环梁为“板单元+支撑”的形式。最终FELA计算得到临界嵌深${h_{\text{c}}} = 14.426\;{\text{m}}$，式(11)检验通过。式(9)计算得到临界嵌深${h_{\text{c}}} = 13.481\;{\text{m}}$，与FELA结果的相对误差为−6.6%。

表  3  案例1场地主要土层的组成及物理指标

Table  3.  Composition and characteristics of soil layers for engineering example 1

土层编号	层厚/m	重度/(kN·m−3)	黏聚力/kPa	摩擦角/(°)
① 1-1杂填土	2.4	18.0	10	10.0
② 1-2素填土	0.6	18.0	10	10.0
③ 灰黄色粉质粘土	1.6	18.8	18	18.0
④ 灰色粉质粘土	10.8	18.1	16	15.0
⑤ 灰色粘土	6.2	17.8	15	12.0
⑥ 灰色粘土	3.5	17.6	15	12.0
⑦ 暗绿色粉质粘土	3.6	19.7	39	19.5
⑧ 灰绿~草绿色砂质粉土 夹粉质粘土	2.9	19.2	5	30.0

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3.3.2   实例2——上海环球金融中心基坑

该工程基坑剖面图与各土层参数见图11与表4^{[25 − 27]}。基坑的直径为100 m，深度为18 m；挡土结构厚0.8 m，嵌入土体的深度为16 m；挡土结构的内侧分布有4层厚2.5 m、高1.1 m的环梁。挡土结构与环梁均为钢筋混凝土，假设其均为C30混凝土浇筑而成。

图  11  案例2工程基坑剖面图　/m

Figure  11.  Pit profile for engineering example 2

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表  4  案例2场地主要土层的组成及物理指标

Table  4.  Composition and characteristics of soil layers for engineering example 2

土层编号	层厚/m	重度/(kN·m−3)	黏聚力/kPa	摩擦角/(°)
① 黏土夹粉质黏土	2.95	19.6	20	16.0
② 淤泥质粉质粘土	4.05	19.0	7	22.0
③ 淤泥质粘土	10.00	17.8	10	14.5
④ 粉质粘土	6.00	19.2	10	16.0
⑤ 粉质粘土	5.00	19.2	38	13.5
⑥ 砂质粉土夹粉细砂	9.60	20.0	5	27.0
⑦ 细粉砂	23.00	19.8	0	30.0
⑧ 砂质粉土	6.50	20.3	28	22.3
⑨ 粉砂夹粉质粘土	4.40	20.3	0	26.0
⑩ 含砂中粗砂	17.00	19.4	3	29.0

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最终FELA计算得到临界嵌深${h_{\text{c}}} = 10.348\;{\text{m}}$，式(11)检验通过。式(9)计算得到临界嵌深${h_{\text{c}}} = 11.506\;{\text{m}}$，与FELA结果的相对误差为11.2%。

结合案例1与案例2可见，对于实际的工程问题，在满足本研究假设的前提下，临界嵌深计算公式的相对误差较小，可靠性有保证。

4   结论

本研究借助有限元极限分析的方法，考虑挡土结构发挥效果的临界嵌深，探究了嵌深对于圆形基坑隆起破坏形式及抗隆起稳定安全系数的影响，得到以下结论：

(1)在数值模拟结果的基础上提出了一个用于计算挡土结构临界嵌深的公式，对于单层土该公式可直接使用，对于多层土需迭代收敛后使用。

(2) 在影响基坑稳定性的各参数中，基坑的径深比、土体黏聚力及挡土结构极限弯矩的增大会使临界嵌深增大；土体摩擦角、重度的增大会使临界嵌深减小；外荷载会使临界嵌深大小波动，不过在100 kPa的范围内此影响较小，可忽略。

(3) 算例分析与工程实例验证均表明，本研究提出的公式的计算相对误差基本在10%以内，除极少数情形外，相对误差不超过20%，可以为实际工程建设提供指导：实际工程中，在基坑抗隆起稳定性的视角下，取挡土结构嵌深等于临界嵌深便可使基坑拥有最高的安全系数，继续增加嵌深对安全系数的增加无效，会造成工程浪费。