考虑结构刚度变化的盾构隧道纵向变形计算方法

甘晓露; 李文博; 龚晓南; 刘念武; 俞建霖

doi:10.6052/j.issn.1000-4750.2023.12.0959

考虑结构刚度变化的盾构隧道纵向变形计算方法

1.
浙江理工大学建筑工程学院，浙江，杭州 310018
2.
浙江大学滨海和城市岩土工程研究中心，浙江，杭州 310058

基金项目: 国家自然科学基金资助项目(52078466;52378379)；浙江省自然科学基金资助项目(LQ24E080008)

详细信息

作者简介:
甘晓露(1994−)，男，山东人，讲师，博士，主要从事盾构隧道与土体相互作用方面的研究(E-mail: ganxiaolu94@163.com)

李文博(1999−)，男，河南人，硕士生，主要从事盾构隧道施工环境效应方面的研究 (E-mail: lwbmtjb@163.com)

龚晓南(1944−)，男，浙江人，教授，中国工程院院士，博士，博导，主要从事地基处理与地下工程方面的研究(E-mail: gongxn@zju.edu.cn)

俞建霖(1972−)，男，福建人，教授，博士，博导，主要从事地基处理以及基坑工程方面的研究 (E-mail: yujianlinzju@163.com)

通讯作者:
刘念武(1987−)，男，山东人，副教授，博士，硕导，主要从事地下结构工程环境影响方面的研究 (E-mail: zjulnw@163.com)

中图分类号: U455.43
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出版历程
- 收稿日期: 2023-12-23
- 修回日期: 2024-04-17
- 网络出版日期: 2024-04-27

CALCULATION METHOD FOR LONGITUDINAL DEFORMATION OF SHIELD TUNNEL CONSIDERING VARIATIONS IN STRUCTURAL STIFFNESS

1.
School of Civil Engineering and Architecture, Zhejiang Sci-Tech University, Hangzhou, Zhejiang 310018, China
2.
Research Center of Coastal and Urban Geotechnical Engineering, Zhejiang University, Hangzhou, Zhejiang 310058, China

摘要

摘要:
为适应复杂的外部环境，盾构隧道纵向结构刚度有可能会存在突变。以前人研究为基础，提出考虑结构刚度纵向变化的Timoshenko短梁-弹簧盾构隧道模型，并通过Pasternak地基模型和边界弹簧考虑地基土变形连续性和任意隧道边界条件。基于有限差分理论推导了外部荷载影响下盾构隧道纵向变形的耦合解答，利用模型退化、数值模型和实际工程案例验证了计算方法的正确性和有效性，并结合参数分析研究了高刚度管片的存在对盾构隧道纵向变形响应的影响。结果表明，局部使用高刚度管片可有效抑制高刚度管片段内的隧道沉降和环缝接头变形，但刚度差异会导致高刚度段两端出现接头变形突增；高刚度管片与常规管片刚度差异越大，高刚度段内的隧道变形越小，但高刚度段两侧接头变形突增的现象更加显著；不同高刚度段长度和结构刚度比组合情况下的隧道变形控制效果存在显著差异，不合理的参数组合甚至会加剧隧道变形。
- 盾构隧道 /
- 结构刚度变化 /
- 纵向变形 /
- 环缝接头 /
- 有限差分法
Abstract:
In order to adapt to the complex external environment, there may be sudden changes in the longitudinal structural stiffness of shield tunnels. Based on previous studies, a Timoshenko short beam-spring shield tunnel model considering the longitudinal variation in the structural stiffness is proposed. The continuity of the foundation soil behavior and the arbitrary boundary conditions are considered through the Pasternak foundation model and the boundary springs, respectively. The coupling solution of the longitudinal deformation of the shield tunnel induced by external loads is derived by the finite difference theory. The correctness and effectiveness of the calculation method are verified with the model degradation, the numerical model, and an actual engineering case, and the influence of high-stiffness segments on the longitudinal deformation of the shield tunnel is investigated through a parameter analysis. The results imply that the use of high-stiffness segments can effectively restrain the tunnel settlement and the deformation of circumferential joints within the high-stiffness segment section, but the stiffness difference will cause sudden increases in the joint deformation at both ends of the high-stiffness section. The larger the stiffness difference between the high-stiffness segment and the regular segment, the smaller the tunnel deformations within the high-stiffness section, but the more apparent sudden increases of the joint deformations at the ends of the high-stiffness section can be observed. There are significant differences in the deformation control effectiveness under various combinations of the high-stiffness section length and the structural stiffness ratio, and unreasonable parameter combinations may even aggravate the tunnel deformation.
- shield tunnel /
- variations in structural stiffness /
- longitudinal deformation /
- circumferential joint /
- finite difference method

HTML全文

随着我国城市化进程的快速推进，大型城市内部激增的通勤需求导致交通拥堵问题日益突出，城市轨道交通系统的建设已经成为缓解城市交通拥堵问题的重要手段。目前，城轨隧道多使用盾构法进行修建，其纵向结构由一系列钢筋混凝土管片环通过环向螺栓逐步拼接而成。拼装式的结构特点致使盾构隧道纵向结构存在大量刚度薄弱的环缝接头，这决定了其在受到外界环境扰动(如隧道掘进、邻近地表堆载、基坑开挖以及地下水位变动等)影响时^{[1 − 5]}，极易出现不均匀位移、环缝张开以及管片环间错台等变形(如图1所示)。当隧道结构变形超过允许值后，轨道交通系统的运营安全将受到威胁，严重时甚至可能引发灾难性后果。因此，针对外部荷载影响下盾构隧道纵向结构响应的分析与评估正受到广泛关注。

图 1 外部环境扰动引发的盾构隧道纵向变形

Figure 1. Longitudinal deformations of a shield tunnel caused by external environmental disturbance

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相比于计算较为复杂的数值模拟方法^{[6 − 8]}以及经济成本较高的物理模型试验方法^{[9 − 11]}，理论计算方法具有概念机理明确、易于推广、计算简便等优势，可实现对盾构隧道纵向变形的快速高效分析。在进行理论计算时，一般利用一维地基梁模型对盾构隧道纵向结构进行简化处理。在一些早期研究中，盾构隧道纵向结构被假定为具有等效抗弯刚度的Euler-Bernoulli长梁^{[12 − 15]}。之后，以WU等^[16]和梁荣柱等^[17]为代表的一些学者将盾构隧道纵向结构简化为具有等效抗弯刚度和等效抗剪刚度的Timoshenko长梁，建立了能够计算盾构隧道剪切错台变形的理论方法^{[18 − 20]}。部分学者基于最小势能法提出了盾构隧道管片环协同变形模型^{[21 − 23]}，也取得了较好的应用效果。LIU等^[24]和ZHANG等^[25]结合狄拉克函数建立了考虑环缝接头影响的盾构隧道响应计算方法。最近，HUANG等^[26]和ZHANG等^[27]提出了Winkler地基上的Timoshenko短梁-弹簧盾构隧道模型，可以更真实地反映盾构隧道管片环缝接头的不连续变形以及管片环的刚体位移，但现有的Timoshenko短梁-弹簧模型还存在忽略了地基变形的连续性以及只能计算自由边界条件下的隧道响应等问题。

盾构隧道的纵向长度一般可达数百米甚至数千米，为适应复杂的外界环境，隧道纵向结构刚度很可能会存在突变。例如：为确保横通道结构的安全，上海某地铁盾构隧道横通道部位管片环以及环缝接头的刚度明显高于其他部位^[28]；在杭州地铁4号线盾构隧道下穿既有地铁1号线隧道工程中，利用钢环对既有盾构隧道部分管片进行了加固^[29]，隧道管片加固段与非加固段之间会存在刚度突变。然而，现有理论方法大都未能考虑盾构隧道管片环和环缝接头刚度的变化，无法有效分析结构刚度变化对盾构隧道纵向变形的影响。

鉴于短梁-弹簧模型可以更为合理地描述盾构隧道纵向结构的变形性状，本文将在前人研究基础上进一步提出能够考虑结构刚度纵向变化的Timoshenko短梁-弹簧盾构隧道模型，通过引入Pasternak地基模型和边界弹簧进一步考虑地基连续性和任意边界条件，并结合有限差分理论得到盾构隧道纵向变形的耦合解答。之后，结合模型退化和实际工程案例对计算方法的正确性和有效性进行验证。最后，结合参数分析探究结构刚度变化对盾构隧道纵向变形的影响规律。

1 考虑结构刚度变化的短梁-弹簧盾构隧道模型

1.1 模型假定

图2展示了考虑结构刚度变化的短梁-弹簧盾构隧道模型示意图，盾构隧道的轴线埋深和外直径分别为Z和D，管片环宽度为l_s，且受到外部荷载q(x)的影响。为简化计算，该模型的基本假定如下：1)盾构隧道由n个管片环组成，管片环被简化处理为Timoshenko短梁；2)各个管片环通过线性转动弹簧和剪切弹簧连接，以模拟隧道环缝接头；3)利用Pasternak地基模型模拟盾构隧道纵向结构与周围土体之间的相互作用；4)在盾构隧道两端边界处设置转动弹簧和剪切弹簧，以使计算模型适应任意边界条件；5)盾构隧道与周围土体始终保持接触；6)盾构隧道结构和周围土体均只发生线弹性变形，因此本模型更适用于分析隧道结构和土体未出现塑性变形的工况；7)不考虑盾构隧道横向性能^[30]对纵向结构变形的影响。

图 2 考虑结构刚度变化的短梁-弹簧盾构隧道模型示意图

Figure 2. Short beam-spring model for a shield tunnel with variations in its structure stiffness

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1.2 控制微分方程推导

由于盾构隧道的管片环被假定为搁置于Pasternak地基上的Timoshenko短梁，如图3所示，在第i个管片环上截取长度为dx的微单元进行受力分析可得：

图 3 第i个管片环微单元受力分析

Figure 3. Force analysis for an infinitesimal element

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$\left\{ \begin{aligned} & Q - q{D_i}{\text{d}}x + \left( {{k_i}w{D_i} - {t_i}{D_i}\frac{{{{\mathrm{d}}^2}w}}{{{\mathrm{d}}{x^2}}}} \right){\text{d}}x = Q + {\mathrm{d}}Q \\& M + \left( {Q + {\mathrm{d}}Q} \right){\text{d}}x + q{D_i}\frac{{{{\left( {{\text{d}}x} \right)}^2}}}{2} - \\&\qquad \left( {{k_i}wD - {t_i}{D_i}\frac{{{{\mathrm{d}}^2}w}}{{{\mathrm{d}}{x^2}}}} \right)\frac{{{{\left( {{\text{d}}x} \right)}^2}}}{2} = M + {\text{d}}M \end{aligned} \right.$

(1)

式中：Q为梁截面上的剪力；dQ为dx长度内的剪力增量；M为梁截面上的弯矩；dM为dx长度内的弯矩增量；k_i和t_i分别为第i个管片环位置处的地基反力系数和剪切层参数；D_i为第i个管片环的外直径；w为梁截面竖向位移。

消去式(1)中的高阶项，并进一步整理可得：

$\left\{ \begin{aligned} & \frac{{{\text{d}}Q}}{{{\text{d}}x}} = \left( {{k_i}w{D_i} - {t_i}{D_i}\frac{{{{\mathrm{d}}^2}w}}{{{\mathrm{d}}{x^2}}}} \right) - q{D_i} \\& \frac{{{\text{d}}M}}{{{\text{d}}x}} = Q \end{aligned} \right.$

(2)

根据经典的Timoshenko梁理论^[31]，梁截面上内力和变形的相关关系可以表示为：

$\left\{ \begin{gathered} M = - {\left( {EI} \right)_i}\frac{{{\text{d}}\theta }}{{{\text{d}}x}} \\ Q = - {\left( {\kappa GA} \right)_i}\left( {\theta - \frac{{{\text{d}}w}}{{{\text{d}}x}}} \right) \\ \end{gathered} \right.$

(3)

式中：(EI)_i和(κGA)_i分别为第i个管片环的抗弯刚度和抗剪刚度；E和G分别为管片环的弹性模量和剪切模量；A和I为管片环断面的面积和惯性矩；κ为管片环的剪切修正系数，可假设为0.5；θ为梁截面转角。

结合式(2)和式(3)可得到管片环纵向变形的控制微分方程：

$\left\{ \begin{aligned} & {\left( {EI} \right)_i}\frac{{{{\mathrm{d}}^2}\theta }}{{{\mathrm{d}}{x^2}}} - {\left( {\kappa GA} \right)_i}\left( {\theta - \frac{{{\mathrm{d}}w}}{{{\mathrm{d}}x}}} \right) = 0 \\& {\left( {\kappa GA} \right)_i}\left( {\frac{{{{\mathrm{d}}^2}w}}{{{\mathrm{d}}{x^2}}} - \frac{{{\mathrm{d}}\theta }}{{{\mathrm{d}}x}}} \right) - {k_i}w{D_i} + {t_i}{D_i}\frac{{{{\mathrm{d}}^2}w}}{{{\mathrm{d}}{x^2}}} = - q{D_i} \end{aligned}\right.$

(4)

1.3 盾构隧道纵向变形的耦合有限差分求解

由于盾构隧道模型假定了纵向变化的结构刚度以及任意的边界条件，直接求解存在难度，可借助有限差分方法对模型进行数值求解^{[17, 32]}。现有的理论计算方法在进行有限差分求解时一般会先将变形微分方程解耦，得到相应的四阶非齐次微分方程^{[17 − 18, 20]}。此时微分方程阶数较高，可能导致本模型复杂工况下有限差分方程的推导遇到困难。因此，本文将不对式(4)进行解耦，以建立竖向位移w和转角θ耦合的有限差分方程。这将使微分方程的阶数减小为二阶，降低了求解难度，使得本文方法更便于推广应用。

在构建有限差分方程之前，需首先对盾构隧道模型进行离散化处理。将含有n个管片环以及n−1个环缝接头的盾构隧道，沿其纵向离散为m+2个差分单元(长度为l)，其中包括2个分别位于盾构隧道两端的虚拟单元。如图4所示，为了方便描述环缝接头的不连续变形，在接头处设置两个重合的差分节点，其分别位于环缝接头两侧管片环的边界位置，例如图4中的节点j(1)和j(2)。因此，差分节点的总数为m+n+2，其中位于管片环段的节点个数为m−n+4，位于环缝接头的节点个数为2(n−1)。

图 4 盾构隧道模型离散化示意图

Figure 4. Illustration for the finite discretization of the shield tunnel model

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1.3.1 管片环处的有限差分方程

对于管片环位置处的差分节点j(j=0~m+2)，可根据中心差分理论构建以下差分方程：

$\left\{ \begin{aligned} & {\left( {EI} \right)_i}\frac{{{\theta _{i,j + 1}} - 2{\theta _{i,j}} + {\theta _{i,j - 1}}}}{{{l^2}}} - \\&\qquad {\left( {\kappa GA} \right)_i}\left( {{\theta _{i,j}} - \frac{{{w_{i,j + 1}} - {w_{i,j - 1}}}}{{2l}}} \right) = 0 \\& \left( {{{\left( {\kappa GA} \right)}_i} + {t_i}{D_i}} \right)\frac{{{w_{i,j + 1}} - 2{w_{i,j}} + {w_{i,j - 1}}}}{{{l^2}}} - \\&\qquad {\left( {\kappa GA} \right)_i}\frac{{{\theta _{i,j + 1}} - {\theta _{i,j - 1}}}}{{2l}} - {k_i}{w_{i,j}}{D_i} = - {q_{i,j}}{D_i} \end{aligned}\right.$

(5)

式中，w_i,j, θ_i,j和q_i,j分别为第i个管片环中差分节点j处的竖向位移、转角以及附加荷载。

由于盾构隧道两端边界处设置有转动弹簧和剪切弹簧，相应的边界条件如式(6)和式(7)所示，其中虚拟节点处的竖向位移和转角带有“*”上标。

$\left\{ \begin{aligned} & {M_{1,1}} = - {\left( {EI} \right)_1}\frac{{{\theta _{1,2}} - \theta _{1,0}^*}}{{2l}} = - {R_\theta }{\theta _{1,1}} \\& {M_{n,m + 1}} = - {\left( {EI} \right)_n}\frac{{\theta _{n,m + 2}^* - {\theta _{n,m}}}}{{2l}} = - {R_\theta }{\theta _{n,m + 1}} \end{aligned} \right.$

(6)

$\left\{ \begin{aligned} & {Q_{1,1}} = {\left( {\kappa GA} \right)_1}\left( {\frac{{{w_{1,2}} - w_{1,0}^*}}{{2l}} - {\theta _{1,1}}} \right) = {R_w}{w_{1,1}} \\& {Q_{n,m + 1}} = {\left( {\kappa GA} \right)_n}\left( {\frac{{w_{n,m + 2}^* - {w_{n,m}}}}{{2l}} - {\theta _{n,m + 1}}} \right) = {R_w}{w_{n,m + 1}} \end{aligned}\right.$

(7)

式中，R_θ和R_w分别为边界转动弹簧和剪切弹簧的刚度。边界弹簧的设置使得本文模型可适用于任意边界条件，例如，当R_θ和R_w→∞时，边界条件为固定边界，即隧道在边界处不发生竖向位移和转角变形；当R_θ和R_w→0时，边界条件为自由边界；当R_w→∞，R_θ为任意值时，隧道在边界处不存在竖向位移但存在一定的转角变形。

由式(6)和式(7)可求得边界位置虚拟节点的竖向位移和转角的表达式：

$\left\{ \begin{aligned} & \theta _{1,0}^* = \frac{{ - 2l{R_\theta }{\theta _{1,1}}}}{{{{\left( {EI} \right)}_1}}} + {\theta _{1,2}} \\& \theta _{n,m + 2}^* = \frac{{2l{R_\theta }{\theta _{n,m + 1}}}}{{{{\left( {EI} \right)}_n}}} + {\theta _{n,m}} \end{aligned}\right.$

(8)

$\left\{ \begin{gathered} w_{1,0}^* = {w_{1,2}} - \frac{{2l{R_w}{w_{1,1}}}}{{{{\left( {\kappa GA} \right)}_1}}} - 2l{\theta _{1,1}} \\ w_{n,m + 2}^* = {w_{n,m}} + \frac{{2l{R_w}{w_{n,m + 1}}}}{{{{\left( {\kappa GA} \right)}_n}}} + 2l{\theta _{n,m + 1}} \\ \end{gathered} \right.$

(9)

1.3.2 环缝接头处的有限差分方程

由于环缝接头处的竖向位移和转角均不连续，需要增加相应的虚拟节点，如图5所示。环缝接头处差分节点j(1)和j(2)的差分方程可分别写为：

$\left\{ \begin{aligned} & {\left( {EI} \right)_i}\frac{{\theta _{i,j + 1}^* - 2{\theta _{i,j\left( 1 \right)}} + {\theta _{i,j - 1}}}}{{{l^2}}} - \\&\qquad {\left( {\kappa GA} \right)_i}\left( {{\theta _{i,j\left( 1 \right)}} - \frac{{w_{i,j + 1}^* - {w_{i,j - 1}}}}{{2l}}} \right) = 0 \\& \left( {{{\left( {\kappa GA} \right)}_i} + {t_i}{D_i}} \right)\frac{{w_{i,j + 1}^* - 2{w_{i,j\left( 1 \right)}} + {w_{i,j - 1}}}}{{{l^2}}} - \\&\qquad {\left( {\kappa GA} \right)_i}\frac{{\theta _{i,j + 1}^* - {\theta _{i,j - 1}}}}{{2l}} - {k_i}{w_{i,j\left( 1 \right)}}{D_i} = - {q_{i,j\left( 1 \right)}}{D_i} \end{aligned} \right.$

(10)

$\left\{ \begin{aligned} & {\left( {EI} \right)_{i + 1}}\frac{{{\theta _{i + 1,j + 1}} - 2{\theta _{i + 1,j\left( 2 \right)}} + \theta _{i + 1,j - 1}^*}}{{{l^2}}} -\\&\qquad {\left( {\kappa GA} \right)_{i + 1}}\left( {{\theta _{i + 1,j\left( 2 \right)}} - \frac{{{w_{i + 1,j + 1}} - w_{i + 1,j - 1}^*}}{{2l}}} \right) = 0 \\& \left( {{{\left( {\kappa GA} \right)}_{i + 1}} + {t_{i + 1}}{D_{i + 1}}} \right)\frac{{{w_{i + 1,j + 1}} - 2{w_{i + 1,j\left( 2 \right)}} + w_{i + 1,j - 1}^*}}{{{l^2}}} - \\&\qquad {\left( {\kappa GA} \right)_{i + 1}}\frac{{{\theta _{i + 1,j + 1}} - \theta _{i + 1,j - 1}^*}}{{2l}} - {k_{i + 1}}{w_{i + 1,j\left( 2 \right)}}{D_{i + 1}} = \\&\qquad- {q_{i + 1,j\left( 2 \right)}}{D_{i + 1}} \end{aligned} \right.$

(11)

由于各个管片环之间通过剪切弹簧和转动弹簧连接，且假定内力连续，则第i个管片环和第i+1个管片环连接处，即第j个环缝接头处的内力和变形传递关系式为：

图 5 环缝接头处虚拟节点示意图

Figure 5. Illustration for the virtual difference nodes at circumferential joints

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$\left\{ \begin{aligned} & Q_{i, j(1)}=k_{w, j}\left(w_{i+1, j(2)}-w_{i, j(1)}\right) \\& M_{i, j(1)}=k_{\theta, j}\left(\theta_{i, j(1)}-\theta_{i+1, j(2)}\right) \\& M_{i, j(1)}=M_{i+1, j(2)} \\& Q_{i, j(1)}=Q_{i+1, j(2)} \end{aligned}\right.$

(12)

式中，k_θ,j和k_w,j分别为第j个环缝接头处转动弹簧和剪切弹簧的刚度。

式(12)可进一步基于有限差分理论改写为式(13)和式(14)：

$\left\{ \begin{gathered} {M_{i,j\left( 1 \right)}} = - {\left( {EI} \right)_i}\frac{{\theta _{i,j + 1}^* - {\theta _{i,j - 1}}}}{{2l}} = {k_{\theta ,j}}\left( {{\theta _{i,j\left( 1 \right)}} - {\theta _{i + 1,j\left( 2 \right)}}} \right) \\ {M_{i + 1,j\left( 2 \right)}} = - {\left( {EI} \right)_{i + 1}}\frac{{{\theta _{i,j + 1}} - \theta _{i,j - 1}^*}}{{2l}} = {k_{\theta ,j}}\left( {{\theta _{i,j\left( 1 \right)}} - {\theta _{i + 1,j\left( 2 \right)}}} \right) \\ \end{gathered} \right.$

(13)

$\left\{ \begin{gathered} {Q_{i,j\left( 1 \right)}} = {\left( {\kappa GA} \right)_i}\left( {\frac{{w_{i,j + 1}^* - {w_{i,j - 1}}}}{{2l}} - {\theta _{i,j\left( 1 \right)}}} \right) = \\ {k_{w,j}}\left( {{w_{i + 1,j\left( 2 \right)}} - {w_{i,j\left( 1 \right)}}} \right) \\ {Q_{i + 1,j\left( 2 \right)}} = {\left( {\kappa GA} \right)_{i + 1}}\left( {\frac{{{w_{i,j + 1}} - w_{i,j - 1}^*}}{{2l}} - {\theta _{i,j\left( 2 \right)}}} \right) = \\ \qquad {k_{w,j}}\left( {{w_{i + 1,j\left( 2 \right)}} - {w_{i,j\left( 1 \right)}}} \right) \\ \end{gathered} \right.$

(14)

因此，环缝接头位置虚拟节点的竖向位移和转角可表示为：

$\left\{ \begin{gathered} \theta _{i,j + 1}^* = - \frac{{2l{k_\theta }\left( {{\theta _{i,j\left( 1 \right)}} - {\theta _{i + 1,j\left( 2 \right)}}} \right)}}{{{{\left( {EI} \right)}_i}}} + {\theta _{i,j - 1}} \\ \theta _{i,j - 1}^* = \frac{{2l{k_\theta }\left( {{\theta _{i,j\left( 1 \right)}} - {\theta _{i + 1,j\left( 2 \right)}}} \right)}}{{{{\left( {EI} \right)}_{i + 1}}}} + {\theta _{i,j + 1}} \\ \end{gathered} \right.$

(15)

$\left\{ \begin{gathered} w_{i,j + 1}^* = \frac{{2l{k_w}\left( {{w_{i + 1,j\left( 2 \right)}} - {w_{i,j\left( 1 \right)}}} \right)}}{{{{\left( {\kappa GA} \right)}_i}}} + \\\qquad 2l{\theta _{i,j\left( 1 \right)}} + {w_{i,j - 1}} \\ w_{i,j - 1}^* = - \frac{{2l{k_w}\left( {{w_{i + 1,j\left( 2 \right)}} - {w_{i,j\left( 1 \right)}}} \right)}}{{{{\left( {\kappa GA} \right)}_{i + 1}}}} - \\\qquad 2l{\theta _{i,j\left( 2 \right)}} + {w_{i,j + 1}} \\ \end{gathered} \right.$

(16)

将式(15)和式(16)带入式(10)和式(11)，可消去相应的虚拟节点：

$\left\{ \begin{gathered} \frac{{2{{\left( {EI} \right)}_i}\left( {{\theta _{i,j - 1}} - {\theta _{i,j\left( 1 \right)}}} \right) - 2l{k_{\theta ,j}}\left( {{\theta _{i,j\left( 1 \right)}} - {\theta _{i + 1,j\left( 2 \right)}}} \right)}}{{{l^2}}} + {k_{w,j}}\left( {{w_{i + 1,j\left( 2 \right)}} - {w_{i,j\left( 1 \right)}}} \right) = 0 \\ \frac{{\left( {{{\left( {\kappa GA} \right)}_i} + {t_i}{D_i}} \right)}}{{{{\left( {\kappa GA} \right)}_i}}}\frac{{2{{\left( {\kappa GA} \right)}_i}\left( {{w_{i,j - 1}} - {w_{i,j\left( 1 \right)}}} \right) + 2l\left( {{k_{w,j}}\left( {{w_{i + 1,j\left( 2 \right)}} - {w_{i,j\left( 1 \right)}}} \right) + {{\left( {\kappa GA} \right)}_i}{\theta _{i,j\left( 1 \right)}}} \right)}}{{{l^2}}} + \\ \qquad \frac{{{{\left( {\kappa GA} \right)}_i}{k_{\theta ,j}}\left( {{\theta _{i,j\left( 1 \right)}} - {\theta _{i + 1,j\left( 2 \right)}}} \right)}}{{{{\left( {EI} \right)}_i}}} - {k_i}{w_{i,j\left( 1 \right)}}{D_i} = - {q_{i,j\left( 1 \right)}}{D_i} \\ \end{gathered} \right.$

(17)

$\left\{ \begin{gathered} \frac{{2{{\left( {EI} \right)}_{i + 1}}\left( {{\theta _{i + 1,j + 1}} - {\theta _{i + 1,j\left( 2 \right)}}} \right) + 2l{k_{\theta ,j}}\left( {{\theta _{i,j\left( 1 \right)}} - {\theta _{i + 1,j\left( 2 \right)}}} \right)}}{{{l^2}}} + {k_{w,j}}\left( {{w_{i + 1,j\left( 2 \right)}} - {w_{i,j\left( 1 \right)}}} \right) = 0 \\ \frac{{\left( {{{\left( {\kappa GA} \right)}_{i + 1}} + {t_{i + 1}}{D_{i + 1}}} \right)}}{{\kappa G{A_{i + 1}}}}\frac{{2{{\left( {\kappa GA} \right)}_{i + 1}}\left( {{w_{i + 1,j + 1}} - {w_{i + 1,j\left( 2 \right)}}} \right) - 2l\left( {{k_{w,j}}\left( {{w_{i + 1,j\left( 2 \right)}} - {w_{i,j\left( 1 \right)}}} \right) + {{\left( {\kappa GA} \right)}_{i + 1}}{\theta _{i + 1,j\left( 2 \right)}}} \right)}}{{{l^2}}} - \\ \qquad \frac{{{{\left( {\kappa GA} \right)}_{i + 1}}{k_{\theta ,j}}\left( {{\theta _{i,j\left( 1 \right)}} - {\theta _{i + 1,j\left( 2 \right)}}} \right)}}{{{{\left( {EI} \right)}_{i + 1}}}} - {k_{i + 1}}{w_{i + 1,j\left( 2 \right)}}{D_{i + 1}} = - {q_{i,j\left( 2 \right)}}{D_{i + 1}} \\ \end{gathered} \right.$

(18)

1.3.3 有限差分矩阵方程的构建

将各处的有限差分方程进行整合，消去相关的虚拟节点，可得到以下竖向位移和转角耦合的差分矩阵方程：

$\left\{ \begin{gathered} {{\boldsymbol{H}}_1}{\boldsymbol{w}} + {{\boldsymbol{H}}_2}{\boldsymbol{\theta }} = {\boldsymbol{o}} \\ {{\boldsymbol{H}}_3}{\boldsymbol{w}} + {{\boldsymbol{H}}_4}{\boldsymbol{\theta }} = - {\boldsymbol{q}} \\ \end{gathered} \right.$

(19)

式中：w为盾构隧道竖向位移列向量(w= {w_1,1, w_1,2, ···, w_i,j−1, w_i,j(1), w_i+1,j(2), w_i+1,j+1,···, w_n,m,, w_n,m+1}^T)；θ为盾构隧道转角列向量(θ= {θ_1,1, θ_1,2, ···, θ_i,j−1, θ_i,j(1), θ_i+1,j(2), θ_i+1,j(2), ···, θ_n,m, θ_n,m+1} ^T)；o为零向量；q为外部荷载向量(q= D{q_1,1, q_1,2, ···, q_i,j−1, q_i,j(1), q_i+1,j(2), q_i+1,j+1,···, q_n,m,, q_n,m+1}^T)；H₁, H₂, H₃和H₄均为刚度矩阵。

可通过矩阵求逆运算同时得到竖向位移和转角列向量，如式(20)所示，并可进一步结合式(3)求解隧道纵向弯矩和剪力。

$\left\{ \begin{gathered} {\boldsymbol{w}} \\ {\boldsymbol{\theta }} \end{gathered} \right\} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\boldsymbol{H}}_1}}&{{{\boldsymbol{H}}_2}} \\ {{{\boldsymbol{H}}_3}}&{{{\boldsymbol{H}}_4}} \end{array}} \right]^{ - 1}}\left\{ \begin{gathered} {\boldsymbol{o}} \\ - {\boldsymbol{q}} \end{gathered} \right\}$

(20)

1.4 计算参数确定

1.4.1 土体参数

俞剑等^[33]提出了可以考虑隧道埋深影响的地基反力系数求解方法，更为符合工程实际情况，地基反力系数k的计算公式为：

$k = \frac{{3.08}}{\rho }\frac{{{E_{\text{s}}}}}{{\left( {1 - {\nu ^{\text{2}}}} \right)D}}\sqrt[8]{{\frac{{{E_{\text{s}}}{D^4}}}{{EI}}}}$

(21)

$\rho= \left\{\begin{aligned} & 2.18, && Z / D {\leqslant} 0.5 \\& \left(1+\frac{1}{1.7 Z / D}\right), && Z / D>0.5 \end{aligned}\right.$

(22)

式中：ρ为深度参数；E_s为土体弹性模量；ν为土体泊松比。

Pasternak地基模型中的剪切层参数t的表达式为^{[34 − 36]}：

$t=\frac{2.5 D E_{{\mathrm{s}}}}{6(1+\nu)}$

(23)

1.4.2 环缝接头参数

根据WU等^[16]、HUANG等^[26]以及ZHANG等^[27]的研究，盾构隧道环缝接头的等效转动弹簧刚度和剪切弹簧刚度的计算表达式为：

$k_\theta=\frac{\left(n_{\mathrm{b}} E_{\mathrm{b}} A_{\mathrm{b}}+E A\right) I}{A \lambda l_{\mathrm{b}}} \frac{\cos ^3 \psi}{\cos \psi+(\pi / 2+\psi) \sin \psi}$

(24)

$\psi+\cot \psi=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi n_{\mathrm{b}} E_{\mathrm{b}} A_{\mathrm{b}}}{E A}$

(25)

$k_w=\xi \frac{n_{\mathrm{b}} \kappa_{\mathrm{b}} G_{\mathrm{b}} A_{\mathrm{b}} \kappa G A}{\left(\kappa G A-n_{\mathrm{b}} \kappa_{\mathrm{b}} G_{\mathrm{b}} A_{\mathrm{b}}\right) l_{\mathrm{b}}}$

(26)

式中：E_b、G_b和A_b分别为盾构管片环缝接头螺栓的弹性模量、剪切模量和断面面积；l_b为接头螺栓长度；ψ为隧道断面中性轴位置；λ为环缝影响系数；n_b为接头螺栓个数；ξ为剪切刚度的修正系数；κ_b为接头螺栓的剪切修正系数，可取为0.9。

盾构隧道的环缝接头变形，即环缝张开量Δ以及环间错台量ω则可分别表示为：

$\varDelta=\frac{M_{i, j(1)}}{k_{\theta, j}}(r+r \sin \psi)$

(27)

$\omega=\frac{Q_{1, j(1)}}{k_{w, j}}$

(28)

式中，r为盾构隧道管片中心点到接头螺栓的距离。

2 计算方法验证

2.1 退化验证

王祖贤等^[18]基于等效连续Timoshenko梁模型和Winkler地基模型提出了考虑邻近车站或工作井影响的盾构隧道纵向响应计算方法。若忽略结构刚度变化的影响，并将本文方法中盾构隧道的环缝接头刚度以及边界处的剪切弹簧刚度均假定为近似无穷大，再将土体剪切层参数设为0，即k_θ、k_w和R_w→∞，t=0，则本文方法将退化为王祖贤等^[18]提出的计算方法。图6展示了本文方法退化后的计算结果与该既有方法计算结果的对比情况，相关计算参数为：盾构隧道外直径D=6.2 m，纵向长度为100 m，管片环宽度l_s=1 m，隧道等效抗弯刚度EI=1.361×10⁵ MN·m²，等效剪切刚度κGA=2.08×10³ MN，地基反力系数k=5.344 MN/m³，边界转动弹簧刚度R_θ=1×10³ MN·m/rad(边界位于x=0处)，盾构隧道受到的外部荷载q(x)如式(29)所示。从图6中可以看出，本文方法与既有方法得到的盾构隧道沉降和内力十分吻合，因此，本文计算方法可以准确的退化为既有方法，本文方法的正确性得以证明。

$q(x)=0.4907 \exp \left(-\left(\frac{x-10}{7.033}\right)^2\right)\;(\mathrm{MN} / \mathrm{m})$

(29)

图 6 本文方法退化结果与既有方法结果对比

Figure 6. Comparison between the degradation results of proposed method and the results of existing method

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2.2 数值模型验证

本节采用ABAQUS有限元软件建立短梁-弹簧数值模型，以进一步对所提出计算方法的正确性进行验证。在数值模型中，使用Timoshenko梁单元B21模拟盾构隧道管片环，通过线弹性接地弹簧单元模拟弹性地基，利用竖向和转动方向的线弹性点对点弹簧单元模拟隧道环缝接头。所建立模型及相应计算参数如图7所示，盾构隧道外直径为6.2 m，纵向长度为100 m，管片环宽度为1 m。为体现盾构隧道纵向结构刚度的变化，假定0 m<x<15 m范围内的管片环刚度和环缝接头弹簧刚度为其他区域的10倍。盾构隧道的边界条件、所受外部荷载以及地基弹簧参数参照2.1节。图8展示了由ABAQUS数值模型计算得到的盾构隧道沉降、弯矩以及剪力和本文方法计算结果的对比情况。由图8可知，本文方法计算结果和数值结果吻合度较高，进一步证明了本文推导得到的理论方法的正确性与可靠性。

图 7 数值模型及计算参数示意图

Figure 7. Illustration for the numerical model and calculation parameters

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图 8 数值模型结果与本文方法结果对比

Figure 8. Comparison between the calculation results of the numerical model and the proposed method

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2.3 工程实例验证

上海某地铁盾构隧道在利用冻结法施工1号横通道时发生了涌水涌砂，导致盾构隧道出现了明显的不均匀沉降变形^[28]。盾构隧道的覆土埋深和外直径分别为23.1 m和6.6 m，管片环宽度为1.2 m，其它相关结构参数如表1所示。

表 1 工程案例中盾构隧道的结构参数

Table 1. Structural parameters for the shield tunnel in the engineering case

参数	取值
管片环
外直径/m	6.6
厚度/m	0.35
宽度/m	1.2
弹性模量/MPa	3.45×10⁴
泊松比	0.2
环缝接头螺栓
个数	17
直径/mm	30
长度/mm	400
弹性模量/MPa	2.06×10⁵
泊松比	0.3
环缝接头参数
参数λ	0.5
参数ξ	0.05

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盾构隧道纵向计算长度设定为200 m，并假定盾构隧道两端为自由边界。隧道周围土体的弹性模量和泊松比可分别取为2.3 MPa和0.33^[37]。隧道横通道部位的6环管片采用了刚度更高的特殊管片，以确保整体结构的安全。由于缺乏相关技术资料，本文假定特殊管片环刚度(EI和κGA)和相应的环缝接头弹簧刚度(k_θ和k_w)均为普通管片的5倍，并通过反演分析的方法确定了涌砂涌水现象导致的自由土体沉降U(x)以及引发盾构隧道纵向沉降的外部附加荷载q(x)：

$\left\{ \begin{aligned} & U(x)=\exp \left(-\left(\frac{x}{6.505}\right)^2\right)+0.03316(\mathrm{m}) \\& q(x)=k U-t \frac{{\mathrm{d}}^2 U}{{\mathrm{d}} x^2} \end{aligned}\right.$

(30)

图9展示了盾构隧道纵向沉降理论计算结果与实测数据的对比情况。通过实测数据可以发现，使用了刚度更高的特殊管片的区域抵抗不均匀外部荷载的能力较强，并未发生明显的不均匀沉降，只发生了整体性的均匀沉降。因为本文方法基于短梁-弹簧模型，所以可以较为真实地反映出特殊管片区域两侧发生的隧道环间错台变形以及管片环自身的刚性位移。由图9可知，本文方法考虑了结构刚度的纵向变化，因此可以较好的描述上述现象，验证了计算方法的有效性和适用性。若不考虑结构刚度突变的影响，则计算结果与实测数据会存在明显差异，不能很好地反映盾构隧道的纵向变形性状。

图 9 盾构隧道沉降计算结果与实测数据对比

Figure 9. Comparison between calculated and measured settlements of the shield tunnel

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3 参数分析

本节利用一个假定的算例分析纵向刚度变化对盾构隧道纵向变形的影响，盾构隧道以及周围土体的部分参数参照2.3节。如图10所示，在本算例中假定盾构隧道由常规管片和高刚度管片组成，高刚度段长度为L_r=20l_s，高刚度管片的结构刚度(即管片环刚度以及环缝接头弹簧刚度)与常规管片结构刚度的比值为R_r=10。盾构隧道受到的外部荷载q(x)假定如下：

$\left\{ \begin{aligned} & U(x)=0.02 \exp \left(-\left(\frac{x}{8 \sqrt{2}}\right)^2\right)(\mathrm{m}) \\& q(x)=k U-t \frac{{\mathrm{d}}^2 U}{{\mathrm{d}} x^2} \end{aligned}\right.$

(31)

图 10 参数分析算例示意图

Figure 10. Illustration for the hypothetical example in the parameter analysis

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3.1 高刚度段长度L_r的影响

以高刚度段长度L_r为分析对象，在L_r=0l_s、10l_s、20l_s、30l_s、40l_s的工况下，保持其他参数不变，计算盾构隧道的纵向变形，研究L_r对隧道变形的影响。不同高刚度段长度时，盾构隧道沉降和环缝接头变形的纵向分布情况分别如图11和图12所示。为了更好地进行对比，不存在高刚度管片情况下的计算结果(L_r=0l_s)也展示在图中。如图11所示，随着高刚度段长度的逐渐增长，隧道结构抵御外部荷载的能力提高，高刚度管片段的沉降显著减小。由图12可知，盾构隧道高刚度段的环缝张开和环间错台也明显更小。但值得注意的是，因为高刚度管片和常规管片之间存在刚度上的明显差异，高刚度段两端(x=±L_r/2)出现了显著的环缝接头变形突增现象。当刚度突变位置远离外部荷载影响区时，变形突增现象明显减弱。由图12(b)可见，当高刚度段两端越接近L_r=0l_s工况下环间错台变形最大值位置(x=±8l_s)，错台变形突增现象越显著。例如当L_r=20l_s时，突增后的环间错台变形甚至明显大于L_r=0l_s工况下的计算结果，说明此时高刚度管片的存在没有起到预期的加固作用，还引起了更大的结构变形。综上所述，在盾构隧道局部使用高刚度管片后，高刚度段的隧道变形可得到有效抑制，但由此产生的刚度差异会引起高刚度段两侧出现接头变形突增。

图 11 不同L_r时盾构隧道沉降的计算结果

Figure 11. Comparison of the tunnel settlements under different L_r

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图 12 不同L_r时盾构隧道环缝接头变形的计算结果

Figure 12. Comparison of the joint deformation under different L_r

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3.2 结构刚度比R_r的影响

以结构刚度比R_r为分析对象，在R_r=1、4、6、8、10的工况下，保持其他参数不变，计算盾构隧道的纵向变形，研究R_r对隧道变形的影响。图13和图14分别为不同结构刚度比时，盾构隧道沉降和环缝接头变形的纵向分布情况。由图13可以看出，盾构隧道高刚度管片与常规管片的刚度差异越大，隧道最大沉降越小，隧道沉降槽越宽。这表明增加高刚度管片的结构刚度可以直接有效地增强盾构隧道抵抗外部荷载的能力，减弱周围环境扰动对盾构隧道的影响。从图14中可以观察到，当R_r逐渐增大时，高刚度段的环缝张开和环间错台明显减小，但高刚度段两端却出现了更为显著的环缝接头变形突增现象，并可能进一步产生结构病害。

图 13 不同R_r时盾构隧道沉降的计算结果

Figure 13. Comparison of the tunnel settlements under different R_r

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图 14 不同R_r时盾构隧道环缝接头变形的计算结果

Figure 14. Comparison of the joint deformation under different R_r

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图15和图16分别展示了不同高刚度段长度L_r情况下，结构刚度比R_r的变化对盾构隧道最大沉降和最大环缝接头变形的影响，以进一步揭示这两个参数对隧道变形的耦合影响。由图15可知，盾构隧道最大沉降会随着R_r和L_r的增大而相应减小，但减小速率会逐渐降低。由图16(a)可知，随着R_r的增大，盾构隧道最大环缝张开呈现出非线性变化的特性。当高刚度段长度不足时，例如L_r=10l_s或20l_s时，一味增加结构刚度比并不能更显著地控制隧道的环缝张开变形。由图16(b)可见，当高刚度段长度不足时，盾构隧道最大环间错台会随着R_r的增大而增大，此时高刚度管片的存在反而引起了更显著的结构变形。当L_r大于30l_s时，盾构隧道最大环间错台会随着R_r的增大先减小后增加，说明对于不同的高刚度段长度，存在相应的最优结构刚度比。例如当L_r=30l_s和40l_s时，分别使R_r=2和4可获得最佳的环间错台变形控制效果。因此，盲目增加结构刚度比不一定能更有效地控制环间错台变形，还可能导致经济浪费。结合计算结果可知，不同高刚度段长度和结构刚度比组合情况下的隧道最大变形控制效果存在显著差异，不合理的参数组合甚至会加剧隧道变形，需要在设计阶段对二者进行组合分析以确定合适的参数取值。

图 15 不同R_r和L_r时盾构隧道最大沉降计算结果

Figure 15. Comparison of the maximum tunnel settlements under different R_r and L_r

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图 16 不同R_r和L_r时盾构隧道最大环缝接头变形计算结果

Figure 16. Comparison of the maximum joint deformation under different R_r and L_r

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4 结论

本文建立了能够考虑结构刚度纵向变化的Timoshenko短梁-弹簧盾构隧道模型，基于有限差分理论推导得到了盾构隧道纵向变形的耦合解答，并利用模型退化、数值模型和工程实测数据验证了方法的正确性和有效性，主要结论如下：

(1)验证算例表明本文所提出的计算方法可以较好地反映盾构隧道结构刚度突变段的纵向位移和环缝接头变形，且能考虑地基连续性和任意边界条件，为评估复杂工况下的盾构隧道纵向变形响应提供了一种高效实用的理论方法。另外，竖向位移和转角耦合的计算思路明显降低了有限差分的求解难度，使得本文方法更易于推广应用。

(2)盾构隧道高刚度管片的存在可有效抑制高刚度管片段处的沉降、环缝张开和环间错台变形，但显著的刚度差异会导致高刚度段两端出现环缝接头变形突增。

(3)盾构隧道高刚度管片的结构刚度越大，高刚度段内的变形越小，但高刚度段两侧接头变形突增的现象却愈发严重。因此，当高刚度管片与常规管片刚度差异较大时，应关注刚度突变位置可能出现的结构过大变形及相应病害。

(4)不同高刚度段长度和结构刚度比组合下的盾构隧道沉降和环缝接头变形控制效果差异明显，需要在设计阶段对二者进行组合分析以确定合适的参数取值。

值得注意的是，本文参数分析仅研究了盾构隧道存在高刚度管片工况下的变形响应，实际工程中可能会遇到更加复杂的工况，但同样可以应用本文方法进行理论分析。

图 1 外部环境扰动引发的盾构隧道纵向变形

Figure 1. Longitudinal deformations of a shield tunnel caused by external environmental disturbance

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图 2 考虑结构刚度变化的短梁-弹簧盾构隧道模型示意图

Figure 2. Short beam-spring model for a shield tunnel with variations in its structure stiffness

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图 3 第i个管片环微单元受力分析

Figure 3. Force analysis for an infinitesimal element

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图 4 盾构隧道模型离散化示意图

Figure 4. Illustration for the finite discretization of the shield tunnel model

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图 5 环缝接头处虚拟节点示意图

Figure 5. Illustration for the virtual difference nodes at circumferential joints

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图 6 本文方法退化结果与既有方法结果对比

Figure 6. Comparison between the degradation results of proposed method and the results of existing method

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图 7 数值模型及计算参数示意图

Figure 7. Illustration for the numerical model and calculation parameters

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图 8 数值模型结果与本文方法结果对比

Figure 8. Comparison between the calculation results of the numerical model and the proposed method

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图 9 盾构隧道沉降计算结果与实测数据对比

Figure 9. Comparison between calculated and measured settlements of the shield tunnel

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图 10 参数分析算例示意图

Figure 10. Illustration for the hypothetical example in the parameter analysis

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图 11 不同L_r时盾构隧道沉降的计算结果

Figure 11. Comparison of the tunnel settlements under different L_r

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图 12 不同L_r时盾构隧道环缝接头变形的计算结果

Figure 12. Comparison of the joint deformation under different L_r

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图 13 不同R_r时盾构隧道沉降的计算结果

Figure 13. Comparison of the tunnel settlements under different R_r

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图 14 不同R_r时盾构隧道环缝接头变形的计算结果

Figure 14. Comparison of the joint deformation under different R_r

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图 15 不同R_r和L_r时盾构隧道最大沉降计算结果

Figure 15. Comparison of the maximum tunnel settlements under different R_r and L_r

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图 16 不同R_r和L_r时盾构隧道最大环缝接头变形计算结果

Figure 16. Comparison of the maximum joint deformation under different R_r and L_r

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表 1 工程案例中盾构隧道的结构参数

Table 1 Structural parameters for the shield tunnel in the engineering case

参数	取值
管片环
外直径/m	6.6
厚度/m	0.35
宽度/m	1.2
弹性模量/MPa	3.45×10⁴
泊松比	0.2
环缝接头螺栓
个数	17
直径/mm	30
长度/mm	400
弹性模量/MPa	2.06×10⁵
泊松比	0.3
环缝接头参数
参数λ	0.5
参数ξ	0.05

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1 考虑结构刚度变化的短梁-弹簧盾构隧道模型
1.1 模型假定
1.2 控制微分方程推导
1.3 盾构隧道纵向变形的耦合有限差分求解
1.3.1 管片环处的有限差分方程
1.3.2 环缝接头处的有限差分方程
1.3.3 有限差分矩阵方程的构建
1.4 计算参数确定
1.4.1 土体参数
1.4.2 环缝接头参数
2 计算方法验证
2.1 退化验证
2.2 数值模型验证
2.3 工程实例验证
3 参数分析
3.1 高刚度段长度Lr的影响
3.2 结构刚度比Rr的影响
4 结论

1 考虑结构刚度变化的短梁-弹簧盾构隧道模型
1.1 模型假定
1.2 控制微分方程推导
1.3 盾构隧道纵向变形的耦合有限差分求解
1.3.1 管片环处的有限差分方程
1.3.2 环缝接头处的有限差分方程
1.3.3 有限差分矩阵方程的构建
1.4 计算参数确定
1.4.1 土体参数
1.4.2 环缝接头参数
2 计算方法验证
2.1 退化验证
2.2 数值模型验证
2.3 工程实例验证
3 参数分析
3.1 高刚度段长度L_r的影响
3.2 结构刚度比R_r的影响
4 结论

参考文献(37)

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考虑结构刚度变化的盾构隧道纵向变形计算方法

通讯作者: 刘念武(1987−)，男，山东人，副教授，博士，硕导，主要从事地下结构工程环境影响方面的研究 (E-mail: zjulnw@163.com)

计量

出版历程

CALCULATION METHOD FOR LONGITUDINAL DEFORMATION OF SHIELD TUNNEL CONSIDERING VARIATIONS IN STRUCTURAL STIFFNESS

1 考虑结构刚度变化的短梁-弹簧盾构隧道模型

1.1 模型假定

1.2 控制微分方程推导

1.3 盾构隧道纵向变形的耦合有限差分求解

1.3.1 管片环处的有限差分方程

1.3.2 环缝接头处的有限差分方程

1.3.3 有限差分矩阵方程的构建

1.4 计算参数确定

1.4.1 土体参数

1.4.2 环缝接头参数

2 计算方法验证

2.1 退化验证

2.2 数值模型验证

2.3 工程实例验证

3 参数分析

3.1 高刚度段长度Lr的影响

3.2 结构刚度比Rr的影响

4 结论

计量

出版历程

目录

1 考虑结构刚度变化的短梁-弹簧盾构隧道模型

1.1 模型假定

1.2 控制微分方程推导

1.3 盾构隧道纵向变形的耦合有限差分求解

1.3.1 管片环处的有限差分方程

1.3.2 环缝接头处的有限差分方程

1.3.3 有限差分矩阵方程的构建

1.4 计算参数确定

1.4.1 土体参数

1.4.2 环缝接头参数

2 计算方法验证

2.1 退化验证

2.2 数值模型验证

2.3 工程实例验证

3 参数分析

3.1 高刚度段长度Lr的影响

3.2 结构刚度比Rr的影响

4 结论

通讯作者:
刘念武(1987−)，男，山东人，副教授，博士，硕导，主要从事地下结构工程环境影响方面的研究 (E-mail: zjulnw@163.com)

3.1 高刚度段长度L_r的影响

3.2 结构刚度比R_r的影响

3.1 高刚度段长度L_r的影响

3.2 结构刚度比R_r的影响