STUDY ON CRASHWORTHINESS ANALYSIS OF A NOVEL MULTICELLULAR TUBES INSPIRED BY ‘CAKE-CUTTING PROBLEM’
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摘要:
增加拐角数目以及引入多胞管都能有效增加薄壁吸能管的吸能特性。为了获得具有更加优越耐撞性能的薄壁管，模仿引入三块肋板，设计一种新型多胞薄壁管。肋板位置的不同将普通圆管划分成数不同结构形式的多胞管，采用数值仿真进行轴向和斜向的冲击特性分析。结果表明：切蛋糕启发式的多胞管在轴向冲击下的变形模式更加稳定，其比吸能相对于基础圆管提高了46%；在小于临界加载角度斜向冲击时下，比吸能也明显高于其他形式的多胞结构。因此，“切蛋糕问题”启发式的多胞设计方法为薄壁管的设计提供了一种行之有效的设计思路。
Abstract:Increasing the number of corners and introducing multicellular configuration can effectively increase the energy absorption characteristics of thin-walled energy-absorbing tubes. To obtain a thin-walled tube with superior crashworthiness, a new multicellular thin-walled tube was designed by imitating the "cake-cutting problem" through introducing three ribs. The different positions of the ribs divide the ordinary circular tube into several multicellular tubes with different structural forms. Numerical simulations are used to analyze the impact characteristics of tubes under the axial and oblique loading. The computational results show that: the cake-cutting heuristic multicellular tube has a more stable deformation mode under axial impacts, and its specific energy absorption is 46%, higher than that of the basic circular tube; the specific energy absorption under oblique impact at less than the critical loading angle is also significantly higher. Therefore, the "cake-cutting problem" heuristic multicellular design method provides an effective design idea for the design of thin-walled tubes.
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随着社会发展，交通工具数量增多，交通事故屡见不鲜。为了在交通工具发生碰撞时保护乘客的生命财产安全，有必要对车辆等交通工具进行严谨的结构设计，使之在碰撞过程中能够以可控的方式吸收大部分动能，有效提高交通工具的耐撞性[1]。金属薄壁管的质量轻、成本低、吸能效率高且易于安装，是一种非常有效的吸能结构，几乎所有交通工具的冲击动能耗散系统中都有应用[2]。
国内外研究人员对薄壁吸能结构的研究历来十分重视，无论是从理论预测、实验研究还是数值模拟方面都进行了大量的研究，旨在研究出吸能特性更好的薄壁管状结构，降低交通事故中的损失。薄壁管截面形状不再拘泥于常见的圆管和方管，多角形[3]、帽形[4]、双帽形[5]、椭圆形[6]以及复杂的星形[7]等薄壁管截面相继涌现。以上研究表明，薄壁管结构受压屈曲时，塑性变形主要发生在角单元附近，角单元吸收了大量的能量[8]。NIA等[9]将三角形、方形、六边形和八边形截面的单胞与多胞薄壁管对比分析，实验与仿真结果都表明多胞管的吸能特性相较于其对应的单胞管更加优越，且六边形和八边形的吸能特性更好。
多胞薄壁管不仅吸能特性好，而且屈曲变形模式更加稳定，李显辉等[10]对泡沫铝填充的薄壁铝合金的多胞板与多胞板对比分析，结果表示多胞板的吸能效率远高于单胞板。研究发现在方形截面管基础上内嵌肋板，组成的多胞管吸能特性具有明显优势[11]。研究人员开始在正多边形截面薄壁管的基础上内嵌多边形或者外接圆管组成多胞管[12]，结果显示内嵌多边形的多胞管吸能特性更好。刘岩松等[13]对八边形内嵌多边形的嵌套组合结构进行了更加具体的研究，发现八边形内嵌八边形的结构比吸能不如内嵌其他多边形结构。此外，多胞管的设计也源于自然界，如仿竹结构[14]、仿鹿角结构[15]、仿虾鳌结构[16]以及仿雀尾螳螂结构[17]等都具有极好的碰撞稳定性和高效吸能性。
实际工程中的碰撞往往具有一定角度，而不是标准的轴向冲击，因此斜向冲击的研究具有重要意义。鉴于锥形管在冲击情况下具有更高的稳定性，对锥形管进行了斜向冲击的耐撞性分析。研究结果显示，在斜向加载时，锥形管表现出更好的耐撞性[18]。研究人员意识到仅仅考虑轴向加载是不够的，在对仿鹿角骨的薄壁管进行耐撞性研究时，便采用有限元法对不同加载角度下的吸能特性进行了分析[19]。随着研究的深入，越来越多的研究人员开始重视斜向冲击下的耐撞性，在轻量化薄壁管的研究中给予它更多的关注。
然而，多胞管的构型设计均给予人工经验或仿生设计，并未充分挖掘多胞管的吸能优势。本文受“切蛋糕问题”(对一圆形蛋糕切三刀，如何切能得到最多块的蛋糕？)启发，在圆管的基础上设计了一种新型的七胞管结构，能够充分利用角单元的吸能优势，实现多胞管的轻量化设计。并通过理论、数值和试验相结合研究了新型多胞管在轴向冲击与斜向冲击下的耐撞性能，为吸能结构设计提供了新的设计思路。
1 新型多胞薄壁管结构设计
1.1 几何模型设计
由于薄壁管在受到冲击时，角单元的塑性变形能够吸收更多的能量，因此在进行多胞管设计时，力求能够组成更多的胞体和角单元。本文所研究的薄壁管结以引入三块肋板为例，研究不同划分形式得到的多胞薄壁管的吸能特性，如图1所示，分别为普通圆形薄壁管CIR(Circle)结构和四种不同划分形式得到的多胞管MCA、MCB、MCC和MCD，将三块肋板平行放置划分得到MCA结构，将其中一块肋板与其他两块肋板垂直放置得到MCB结构，三块肋板交于一点得到MCC结构，受“切蛋糕问题”设计得到MCD结构。为了能够更好的分析新型薄壁管结构的吸能特性，统一所有薄壁管的直径和壁厚，拟定直径Φ=80 mm，管长L=180 mm，壁厚t=1.2 mm。
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图 1 单胞薄壁管和多胞薄壁管截面图Figure 1. Cross-section of single-cell and multi-cell thin-walled tubes1.2 数值模型
有限元法是一种广泛应用于结构分析和仿真的方法。在汽车碰撞仿真中，使用有限元方法可以将车辆结构划分为多个小单元，并建立节点和单元之间的连接关系。通过求解动力学方程，可以模拟车辆在碰撞过程中的应力、应变和变形情况。如图2所示，整个数值模型包括上端的冲击刚体，薄壁管结构和下端的刚性平面。其中，冲击刚体的冲击载荷为1000 kg，以10 m/s的速度冲击薄壁管结构。薄壁圆管采用基础尺寸为1 mm的壳单元进行网格划分，材料选用铝合金AA6060-T4，密度ρ=2.7 g/cm3，弹性模量E=69 GPa，泊松比ν=0.3，铝材单轴实验所得的应力-应变曲线如图3所示。数值模型中薄壁管和冲击刚体的摩擦因数定义为0.2，薄壁管结构采用单面接触，静摩擦因数为0.3，动摩擦因数为0.2，由于铝合金材料对应变率的不敏感性，忽略应变率对材料参数的影响。
1.3 模型验证
为了验证仿真结果的准确性，在万能试验机上进行了准静态压缩试验(如图4(a))，该仪器能够在试验过程中自动采集数据，将采集到的试验数据与仿真数据对比，能够方便直观的对比验证仿真结果的真实性。试验样件采用铝合金AA6060-T4材料，与仿真材料保持一致，采用线切割技术进行加工。结果验证了仿真结果的准确性，如图4(b)所示为实验结果与仿真结果的变形比较，图5所示为试验结果与仿真结果的数据对比。
2 理论分析
2.1 耐撞性评价指标
作为一种吸能结构，薄壁多胞管吸收的能量越多越好，但是随着吸能量的增加，薄壁管结构在受到冲击的瞬间产生的峰值冲击力也会增加，过大的峰值冲击力不利于保护车内乘员，因此在研究薄壁管状结构的耐冲性时，要同时考虑良好的吸能能力和峰值冲击力低于被保护结构的容许载荷。本文中主要考虑峰值冲击力(peak crush force, PCF)、平均冲击力(mean crush force, MCF)、冲击力效率(crush force efficiency, CFE)和比吸能(specific energy absorption, SEA)对耐撞性进行分析。
峰值冲击力是薄壁管在压溃变形的过程中产生的最大冲击力，它决定了峰值加速度的大小，过大的峰值冲击力会对车内乘员造成损伤，因此必须控制其在一定范围内。
冲击力效率能够表现变形过程的稳定性，其大小是平均冲击力和峰值冲击力的比值。其中平均冲击力计算公式为：
MCF=∫d0f(x)dx/d (1) 冲击力效率的计算公式为：
CFE=MCF/MCFPCFPCF (2) 比吸能表示单位质量吸收的能量，其计算公式为：
SEA=∫d0f(x)dx/M (3) 式中：f为冲击力；d为压溃距离；M为薄壁管结构总质量。
2.2 理论分析
简化的超折叠单元理论在超折叠单元理论的基础上将折叠单元简化为三个延展单元(图中阴影部分)和三条塑性绞线组成的基础单元(如图6所示)。根据能量平衡，一个折叠单元压缩过程中外力做工与内能耗散相等，可以表达为：
Pm⋅2H⋅k=Eb+Em (4) 式中：Pm为理论上的平均压溃力；H为一个折叠单元的压缩波长，由于实际压缩过程中的压缩距离不可能达到2H，故而需要乘上折叠系数k；Eb和Em则分别为压缩过程中产生的弯曲变形能和膜变形能。
结构中的弯曲变形能是3条静态塑性铰链处压缩耗散能量获得：
Eb=∑3i=1M0αic (5) 假设折叠单元完全被压平时，三条塑性铰链的转动角度分别为π/2、π以及π/2，将其带入弯曲变形能公式，可以得到：
Eb=2πM0Lc (6) 式中：Lc为压缩截面边长；M0为全塑性弯矩，其计算公式为：
M0=σ0t2/4 (7) 式中，σ0为材料的流动应力，其计算公式为：
σ0=√σyσu/σyσu1+n1+n (8) 式中：σy和σu分别为材料的屈服应力和极限应力；n为材料的硬化指数，根据铝合金材料的力学性能得到。
为了计算结构的膜变形能，将整个多胞管结构的截面拆分为基础单元进行计算。各多胞薄壁管结构主要可以分解成6种基本单元(如图7所示)，分别是圆形单元、弧Y形单元、十字形单元、六板形单元和X形单元，其中弧Y形单元可以简化为Y形单元进行计算，弧T形单元可以简化为T形单元进行计算。
各基本单元的膜变形能计算如下[20]：
圆单元的膜变形能：
Em1=8π⋅M0H2/t (9) Y型单元的膜变形能：
Em2=9.34M0H2/t (10) 十字形单元的膜变形能：
Em3=16M0H2/t (11) T形单元的膜变形能：
Em4=12.3M0H2/t (12) 六板形单元的膜变形能：
Em5=24M0H2/t (13) X型单元的膜变形能：
Em6=16.316M0H2/t (14) 结构的膜变形能可通过各基本单元的膜变形能相加获得，以薄壁多胞管MCD结构为例，结构中圆形单元的数量为1，X形单元的数量为3，弧Y形单元的数量为6，总的膜变形能为：
Em=Em1+3Em6+6Em2=130.121M0H2/t (15) 将式(15)代入式(4)可以得到：
Pm⋅2H⋅k=Eb+Em=2πM0Lc+130.121M0H2/t (16) 系统达到稳态平衡时∂Pm/∂H=0，此时求得：
H=√πLct/65.06 (17) 代入式(16)，能够得到薄壁管结构的平均冲击力：
Pm=2/k⋅M0√65.06πLc/t (18) 根据以上方法能够依次计算不同划分方式时薄壁管结构的平均冲击力。各薄壁管结构的平均冲击力分别为：CIR: Pm1=9.785 kN、MCA: Pm2=25.019 kN、MCB: Pm3=29.257 kN、MCC: Pm4=30.257 kN、MCD: Pm5=30.777 kN。
3 仿真结果分析
3.1 轴向冲击下耐撞性分析
在汽车碰撞事件中，超过一半的情况属于正面碰撞，因此需要对车用吸能盒进行轴向冲击下的耐撞性分析。如图8所示，为对三肋板多胞管进行轴向冲击后的变形模式图。从图中可以看出，随着胞元数量的增加，薄壁多胞管的屈曲过程更加稳定，并且具有更多的褶皱数量。
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图 8 不同多胞薄壁管轴向冲击下变形模式图Figure 8. Deformation modes of thin-walled tubes with different multicellular structures under axial impact由图9的碰撞力-位移曲线可知冲击力随着压缩位移的变化情况，图中的同线形横线为其相对应的平均冲击力的理论值，单胞管薄壁管CIR的初始峰值力为27.60 kN，根据仿真数据可知：多胞管的峰值碰撞力明显高于单胞管的峰值碰撞力，但是对于直径相同的多胞管，峰值冲击力的大小差距较小，从平均冲击力的理论计算值也可知，单胞管的平均冲击力远低于多胞管，胞元数量的增加会导致冲击力的增加。多胞薄壁管CIR、MCA、MCB、MCC、MCD的平均冲击力可以通过总吸能除以压缩距离得到，分别为 12.304 kN、 26.861 kN、30.916 kN、31.239 kN、34.196 kN，数值分析与理论结果能够相互验证。由图10可知，多胞薄壁管的比吸能优于单胞薄壁管，且胞元越多的多胞管比吸能也越高，胞元数量相同时，角单元更多的MCB结构的比吸能略高于MCC结构。在冲击12 ms时，薄壁管MCA结构的比吸能是薄壁管CIR结构的1.16倍，薄壁管MCB结构的比吸能是薄壁管CIR结构的1.33倍，薄壁管MCC结构的比吸能是薄壁管CIR结构的1.30倍，薄壁管MCD结构的比吸能是薄壁管CIR结构的1.46倍。由此可以看出具有更多角单元和胞元的MCD多胞结构在轴向冲击载荷下能量吸收效果更好。
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图 9 薄壁管结构碰撞力-位移曲线Figure 9. Impact force-displacement curve of thin-walled tube structure![]()
图 10 薄壁管结构不同时间的比吸能Figure 10. Specific energy absorption of thin-walled tube structures at different times3.2 斜向冲击下耐撞性分析
汽车碰撞事故通常不是绝对的轴向碰撞，而是具有一定的角度的斜向碰撞，因此研究薄壁管结构在斜向冲击下的能量吸收十分必要。如图11所示，对不同多胞薄壁管分别进行斜向加载冲击的仿真分析，斜向加载角度一般在0°~30°[6, 17]，故加载角度β分别取5°、10°、15°、20°、25°和30°，其他条件均和轴向冲击保持一致。如图12所示，随着加载角度的增大，薄壁管结构的峰值冲击力逐渐降低，且表现为斜向冲击峰值冲击力远小于轴向冲击，如图12、图13所示，单胞薄壁管CIR和多胞薄壁管MCA的峰值冲击力和比吸能都偏小且没有明显的临界加载角度，而多胞薄壁管MCB、MCC和MCD有明显的临界加载角度，介于15°~20°之间。斜向冲击下薄壁多胞管MCD的比吸能随着加载角度增大，且始终保持最大。
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图 12 斜向冲击下不同薄壁管结构峰值冲击力图Figure 12. Peak impact force diagram of different thin-walled pipe structures under oblique impact![]()
图 13 斜向冲击下不同薄壁管比吸能Figure 13. Specific energy absorption of different thin-walled tubes under oblique impact对多胞薄壁管MCD单独分析其在斜向冲击下的碰撞力和比吸能情况，如图14所示，在斜向冲击下的峰值碰撞力低于轴向冲击，随着加载角度的增大，峰值冲击力逐渐减小。加载角度小于等于15°时，冲击力始终保持在较高水平，而当加载角度大于等于20°时，冲击力在初始阶段逐渐增大，随后单调减小直至结束。由图15中可知，MCD结构在整个加载过程中都表现为加载角度越大，薄壁管的比吸能也越低，加载时间6 ms之后显示出明显的临界加载角度，介于15°和20°之间，当加载角度大于临界加载角度时，比吸能急剧下降。加载角度β=20°时的比吸能为6.56 kJ/kg，仅为轴向加载时的45%，加载角度大于20°时，比吸能减小的趋势渐小。
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图 14 不同冲击角度下碰撞力-位移曲线Figure 14. Collision force-displacement curves at different impact angles![]()
图 15 不同时间下不同冲击角度的比吸能Figure 15. Specific energy absorption at different impact angles at different times薄壁管MCD结构在受到斜向冲击时，不同方位受到冲击产生的冲击效果有一定差异，为了了解不同方位下的吸能效果是否具有较大误差，选定图16所示五个方向进行斜向冲击。以竖直向上方向为初始方向，冲击方向与初始方向夹角为γ。结果如图17和图18所示，当冲击角度在5°时，峰值冲击力和比吸能都没有太大差别，随着冲击角度的增大，不同方向冲击时的峰值冲击力和比吸能都有所浮动。在γ=60°方向冲击时的峰值冲击力始终偏大，直至冲击角度超过25°，斜向冲击角度达到临界加载角度之前，冲击方向在γ=60°时的吸能效果相对较好，超过临界加载角度之后，冲击方向γ=0°时的吸能效果越来越占优势。根据仿真结果不难看出，肋板位置能够在一定程度上影响斜向冲击的冲击力和吸能效果。
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图 16 斜向冲击不同方向示意图Figure 16. Schematic diagram of different directions of oblique impact![]()
图 17 斜向冲击不同方向对峰值冲击力的影响图Figure 17. Influence of different directions of oblique impact on peak impact force![]()
图 18 斜向冲击不同方向对比吸能的影响Figure 18. Influence of oblique shock on energy absorption in different directions3.3 结构参数对耐撞性的影响
基于多胞薄壁管MCD结构研究几何参数对轴向冲击的影响，根据汽车车身结构中典型的冲击吸能薄壁管尺寸确定参数，从薄壁管厚度t以及肋板距圆管圆心的垂直距离d两个方面参数进行分析。
3.3.1 壁厚的影响
保持长径比和圆管直径不变，只改变薄壁管的厚度，取t=1 mm为最小厚度值，t=2 mm为最大厚度值，增量为0.2 mm。由图19和图20可以看出，随着壁厚的增加，峰值冲击力和比吸能都近似线性的增大。从增加幅度可以看出壁厚对两者的影响都较大，在轴向冲击下，厚度t=1.6 mm时，峰值冲击力已经达到了84.7 kN，超出了安全范围。斜向冲击下，随着加载角度的增大，峰值冲击力和比吸能都逐渐减小，其中比吸能有明显的临界加载角度，不同厚度的薄壁管结构的临界加载角度均在15°~20°。
壁厚较大的薄壁管比吸能较高，但是峰值冲击力远超于安全范围，会对车内乘员安全造成威胁。为了在增大比吸能的同时使峰值冲击力不至于过大，保持薄壁管结构外部圆管部分厚度不变，只改变内部肋板厚度，验证肋板厚度对薄壁管结构的吸能特性的影响。薄壁管结构外部圆管厚度t1=1.2 mm，内部肋板厚度t2最小取0.8 mm，最大取2 mm，增幅为0.2 mm。结果如图21和图22所示，不同角度冲击下的峰值冲击力和比吸能均随着冲击角度的增大而减小，临界加载角度除了在t2=0.8 mm时均在15°~20°。当厚度整体改变，t=1.4 mm时的峰值冲击力为71.29 kN，此时的比吸能为16.02 kJ/kg，而只改变肋板厚度时，峰值冲击力达到相近的时候，如t2=1.6 mm时的峰值冲击力为70.22 kN，比吸能为16.53 kJ/kg；t2=1.8 mm时的峰值冲击力为75.93 kN，比吸能为17.27 kJ/kg。由此可以看出，只改变肋板的厚度时，可以得到吸能特性更好的薄壁管结构。
3.3.2 肋板位置的影响
多胞薄壁管MCD是在圆形薄壁管基础上引入了三块肋板组成的多胞结构，这三块肋板均匀分布，组成了三肋板时最多胞元的多胞薄壁管。为了了解肋板位置距离圆心的距离对峰值冲击力和比吸能是否有影响，改变肋板位置(如图23所示)，分别进行轴向冲击和斜向冲击，结果如图24、图25所示。肋板距离圆心距离最近取d=0 mm，最远取d=20 mm，增量为4 mm。从图24可知，其峰值冲击力随着偏置距离的增大略有减小，比吸能则先增大后减小，直至d=20 mm时，三块肋板呈三角形内置于圆管内时比吸能大幅度减小，如图25所示。无论是轴向冲击还是斜向冲击，肋板距离圆心越远，其比吸能先增大后减小，在d=12 mm时吸能效果较好，且在所有的加载角度中，峰值冲击力并非最高，因此可以初步判断肋板处于此位置的耐撞性更好。d<20 mm时在斜向冲击下的临界加载角度都在15°~20°，d=20 mm时的临界加载角度则在10°~15°。由此可以再次验证“切蛋糕问题“的启发式方法对薄壁圆管内置肋板进行划分能够有效提高薄壁管结构的比吸能，同时获得较低的峰值冲击力。
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图 23 不同肋板位置时的薄壁管截面图Figure 23. Cross-section of thin-walled tubes at different floor positions![]()
图 25 肋板位置对比吸能的影响Figure 25. Influence of the position of the floor on energy absorption4 结论
本文受“切蛋糕问题”启发，提出一种新型的MCD多胞薄壁管结构，对比了不同结构形式的多胞管结构轴向和斜向冲击载荷下的耐撞性能，且研究了壁厚，肋板位置以及冲击角度和方位角对其耐撞性能的影响机制。研究结果如下：
(1) 与其他多胞管相比，“切蛋糕问题”启发式的MCD多胞管在轴向冲击下具有最优的耐撞性能。
(2) 斜向冲击下，CIR结构和MCA结构没有明显的临界加载角度，MCB、MCC和MCD结构的临界加载角度都在15°~20°，在小于临界加载角度时，MCD管的比吸能最优。
(3) 壁厚越大，薄壁多胞管结构的峰值冲击力和比吸能也越大；随着肋板距离圆心的距离的增大，MCD多胞管的比吸能先增大后减小，在d=12 mm时耐撞性能最优。
总体来看，“切蛋糕问题”启发式的MCD多胞管在轴向和斜向冲击下具有更加优越的耐撞性能，此设计方法为薄壁管的轻量化提供了一种新的设计思路。
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图 1 单胞薄壁管和多胞薄壁管截面图
Figure 1. Cross-section of single-cell and multi-cell thin-walled tubes
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图 8 不同多胞薄壁管轴向冲击下变形模式图
Figure 8. Deformation modes of thin-walled tubes with different multicellular structures under axial impact
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图 9 薄壁管结构碰撞力-位移曲线
Figure 9. Impact force-displacement curve of thin-walled tube structure
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图 10 薄壁管结构不同时间的比吸能
Figure 10. Specific energy absorption of thin-walled tube structures at different times
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图 12 斜向冲击下不同薄壁管结构峰值冲击力图
Figure 12. Peak impact force diagram of different thin-walled pipe structures under oblique impact
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图 13 斜向冲击下不同薄壁管比吸能
Figure 13. Specific energy absorption of different thin-walled tubes under oblique impact
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图 14 不同冲击角度下碰撞力-位移曲线
Figure 14. Collision force-displacement curves at different impact angles
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图 15 不同时间下不同冲击角度的比吸能
Figure 15. Specific energy absorption at different impact angles at different times
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图 16 斜向冲击不同方向示意图
Figure 16. Schematic diagram of different directions of oblique impact
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图 17 斜向冲击不同方向对峰值冲击力的影响图
Figure 17. Influence of different directions of oblique impact on peak impact force
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图 18 斜向冲击不同方向对比吸能的影响
Figure 18. Influence of oblique shock on energy absorption in different directions
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图 23 不同肋板位置时的薄壁管截面图
Figure 23. Cross-section of thin-walled tubes at different floor positions
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