20世纪80年代，GEIGER^[1]在Fuller张拉整体思想进行了演进，提出了GEIGER型索穹顶，并实现了张拉整体思想在工程实践中的首次应用。在此之后，LEVY^[2]改用联方型脊索网格针对GEIGER型索穹顶结构力学性能不足的问题进行改良，提出了LEVY型索穹顶，并在亚特兰大奥运会主体育场佐治亚穹顶上成功应用，展现了索穹顶结构卓越的力学性能和优异的经济指标。

由于索穹顶结构轻质高效、经济美观的优势为人们所发掘，同时应于国内对大跨度空间结构的需求，我国自上世纪90年代对其开展了大量研究。内蒙古伊旗全民健身体育中心是国内首个大跨度索穹顶结构，张爱林等对其进行了细致的体系设计研究^{[3 − 4]}。针对传统索穹顶构造形式单一和力学性能不足的问题，国内学者提出了Kiewitt型、葵花序列、鸟巢序列、蜂窝序列、鼓蜂窝序列、新型脊杆环撑索穹顶、星形四面体型索穹顶、空间三撑杆双环索索穹顶等多撑杆型索穹顶的构形及预应力态的计算分析方法^{[5 − 19]}。在预应力态的计算分析方法方面，国际学者在张拉整体结构的找形找力上进行了更为深入的探索，如利用优化算法^{[20 − 21]}、智能算法^{[22 − 23]}、对称性^{[24 − 25]}等实现结构的高效找形找力。继闫翔宇等^[26]提出的“Levy + Geiger”的复合式索穹顶方案在天津理工大学体育馆成功应用后，复合式索穹顶结构自此在国内兴起。近年来国内还建成“葵花+肋环”的雅安天全体育馆^[27]和“葵花+内环桁架”大开口型索穹顶的成都凤凰山体育公园足球场^[28]。

多撑杆型的空间布置可以减少拉索的数量，便于索穹顶张拉施工成形和改善结构受力性能^[29]。受复合式索穹顶方案的启发，针对目前组合形式多撑杆型索穹顶结构研究较少的情况，也是为了进一步研究多撑杆型索穹顶结构性能，本文提出了一种五边形三四撑杆混合型索穹顶，根据节点平衡方程，详细推导了开口索穹顶全套预应力态索杆内力的一般计算公式，对多种几何参数的索穹顶还给出了索杆预应力的简捷计算方法、计算用表和算例分析，以便认识该种索穹顶预应力态的索杆内力分布规律、受力特性和预张力分布对不同参数的敏感度。本文的研究成果可为工程设计提供参考依据，为索穹顶结构的选型提供了新策略。

1   五边形三四撑杆混合型索穹顶的结构形态

五边形三四撑杆混合型索穹顶由上弦五边形脊索、撑杆、斜索、下弦环索和上弦内环索组成。其中，上弦脊索T和上弦内环索N由粗实线表示，撑杆V、斜索B、下弦环索H分别由点线、点划线、虚线表示，结构示意图如图1所示。其上弦构形为自索穹顶内孔向外正、倒置交替布设五边形网格脊索，以及交于下弦节点的撑杆、斜索和环索组合而成，其中四撑杆与三撑杆交替布置，最外圈为三撑杆，径向各榀上弦网格之间通过上弦内环索相连，外周边设有刚性环梁(图1黑色粗实线)，下弦节点之间通过下弦环索相连，形成闭合的结构构形。

图  1  五边形三四撑杆混合型开口索穹顶平面图及剖面示意图

Figure  1.  Plan and cross-section of pentagonal three-four-strut alternated cable dome with inner hole

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如图1所示，上弦节点根据与五边形网格主径向线夹角不同划分为a、b两类上弦节点，j为边界上弦节点编号。k、l分别表示除索穹顶内圈(奇数圈为一圈，偶数圈为两圈)外五边形四撑杆网格和五边形三撑杆网格所在圈数编号，表达式如下(式中i为计算圈数)：

奇、偶数圈索穹顶因结构构形上有差异，以下均分开论述。现以图1圆形平面开口索穹顶为例，不计刚性外环梁，整个索穹顶的节点总数T和杆件总数M可分别表示为：

m为奇数：

m为偶数：

式中：n为环向划分数；m为环索数；floor函数用于求不大于给定实数的最大整数；ceil函数用于求不小于给定实数的最小整数。

为了便于表述，对于五边形三四撑杆混合型索穹顶结构可采用带3个下标的字母_nF_ms表示。如图1所示的索穹顶，当m为3和4时，可分别表示为₂₄F_3(3,4)、₂₄F_4(3,4)，分别表示该索穹顶为24边形(环向划分数为24)3道环索、下弦节点设有3或4根撑杆和24边形(环向划分数为24)4道环索、下弦节点设有3或4根撑杆。

相较于传统的肋环型和葵花型索穹顶，五边形三四撑杆混合型索穹顶具有如下优点和特点：

1) 除外圈外的内部上弦节点均有三根及上的上弦索相交所形成的五边形网格大，所需要的上弦索较少。

2) 多撑杆的稳定性比较好，且因上弦节点有多根上弦索与至少一根撑杆相交，有较好的传力性能，索穹顶整体稳定性可以得到提高^{[11, 12, 15]}。

3) 整个索穹顶的杆索数量比约为1∶2.22，大于工程中常用的Geiger型索穹顶(1∶3)、Levy型索穹顶(1∶5)。拉索的成本远高于撑杆的成本，因此五边形三四撑杆混合型索穹顶在经济上具有优势，具有工程应用前景。

2   五边形三四撑杆混合型开口索穹顶预应力态的简捷分析法

圆形平面五边形三四撑杆混合型开口索穹顶，当环向划分为n等份，由于结构自身的轴对称性，仅需对其2 / n结构进行分析研究。索穹顶外周边设有刚度很大的外环梁，可视作索穹顶结构支承在不动铰支座上。

在轴对称的预应力作用下，通过节点平衡方程组的建立，可解算索穹顶索杆内力相互间的关系式。对于双轴对称的节点可建立一个竖向力的平衡方程，对于径向对称轴上节点可建立两个节点平衡方程，对于无对称轴的一般节点可建立三个节点平衡方程式。兹以本文研讨的三四撑杆索穹顶为例，当环索数为3和4时，其节点、索杆内力和节点平衡方程式的数量可见表1。由此可见，对索穹顶结构，未知索杆内力数均比节点平衡方程式数多一个，表明这是一次超静定结构，用于预应力态分析计算的结构平、剖面图如图2所示。其中，索杆内力分别用${N_{\textit{i}{\text{a}}}}$、${N_1}$、${T_{\textit{i}{\text{a}}}}$、${T_{\textit{i}{\text{b}}}}$、${V_{\textit{i}{\text{a}}}}$、${V_{\textit{i}{\text{b}}}}$、${H_\textit{i}}$、${B_\textit{i}}$表示，${\alpha _{\textit{i}{\text{a}}}}$、${\alpha _{ \textit{i}{\text{b}}}}$、${\phi _{ \textit{i}{\text{a}}}}$、${\phi _{\textit{i}{\text{b}}}}$、${\phi _{\textit{i}{\text{β}}}}$分别表示两类上弦脊索，两类撑杆及斜索与水平面的夹角，${\gamma _{\textit{i}{\text{a}}}}$、${\gamma _{\textit{i}{\text{b}}}}$、${\delta _{\textit{i}{\text{a}}}}$、${\delta _{\textit{i}{\text{b}}}}$、${\delta _{\textit{i}{\text{β }}}}$分别表示与相应脊索，撑杆及斜索的水平投影与所在五边形单元的主径向线间夹角。

表  1  五边形三四撑杆混合型开口索穹顶的节点、索杆内力和节点平衡方程式数

Table  1.  Numbers of nodes, cable-strut internal forces and node equilibrium equations of pentagonal three-four-strut alternated cable dome with inner hole

类别	${三圈索穹顶}_{ {\text{24} }}{F_{ {\text{3} }(3,4)} }$	${四圈索穹顶}_{ {\text{24} }}{F_{ {\text{4} }(3,4)} }$
径向对称轴上节点	1a 1b 2b 3a 3b 1′ 2′ 3′共8个	1b 2a 2b 3b 4a 4b 1′ 2′ 3′ 4′共10个
无对称轴节点	2a共1个	1a 3a共2个
节点平衡方程式	(2×8)+(3×1)=19个	(2×10)+(3×2)=26个
索杆内力	N1 T1a T1b V1a V1b B1 H1 N2a T2a T2b V2a V2b B2 H2 T3a T3b V3a V3b B3 H3共20个	N1 N1a T1a T1b V1a V1b B1 H1 T2a T2b V2a V2b B2 H2 N3a T3a T3b V3a V3b B3 H3 T4a T4b V4a V4b B4 H4共27个

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图  2  开口结构分析计算用平剖面图

Figure  2.  Sectional and plan diagrams for calculation with inner hole

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以最内圈撑杆内力V_1a为基准，自索穹顶内孔向外对各节点建立平衡方程,可列出索穹顶的节点平衡方程组，基于组建节点平衡方程式^{[13 − 14]}的方法，提出五边形三四撑杆混合型索穹顶预张力分布的计算式：

求解后即得：

式中：A为无量纲的系数矩阵，各矩阵系数是索杆方位的三角函数；Ａ⁻¹为Ａ的逆矩阵；ｔ为不包括最内圈撑杆内力V_1a在内的索杆内力向量；ｃ为由V_1a撑杆方位三角函数表达的自由项无量纲系数向量。

奇数圈索穹顶节点平衡方程组就可用简单的矩阵形式(6)表达，见式(8)(式中cos和sin函数分别简写为c和s)。将式(8)中红虚线框部分替换为式(9)，即可得到偶数圈索穹顶节点平衡方程的矩阵表达形式。

索穹顶每增加两道环索、扩充一圈五边形四撑杆和一圈五边形三撑杆网格，对所讨论索穹顶增加6个节点，同时增加13个未知索杆内力和节点平衡方程式，ｔ和ｃ分别增加17阶(k、l随i迭代时需要消除产生的与上一圈相同的4个索杆未知内力，如式(8)蓝虚线框所示)。对于奇、偶数圈索穹顶，A分别为8.5m-2.5阶、8.5m-4阶方阵，t、ｃ分别为8.5m-2.5阶、8.5m-4阶的列向量。如果索穹顶几何尺寸参数已知，利用式(7)便可确定出整个索穹顶的预张力分布情况。因此，式(6)、(7)可推广应用于任意m ≥ 1五边形三四撑杆混合型索穹顶预应态相对于V_1a = −1.0索杆内力的求解，而且此解是相对内力的精确解。

3   预应力态索杆内力的参数敏感度分析

3.1   几何参数及预张力指标

假设给定跨度Ｌ、孔跨L₁、矢高f和结构厚度h，偶数圈五边形三四撑杆混合型开口索穹顶简化后的半榀平面桁架及其几何参数，如图3所示。其他几何参数的计算见表2。

节点间水平间隔与球面穹顶上各圈上弦节点的水平投影到结构中心点的水平距离(即上弦节点的水平投影半径，可参考图3(a))之间满足下列条件：

图  3  下弦节点布置方案

Figure  3.  Layouts for bottom-layer nodes

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表  2  索穹顶结构的几何参数计算公式

Table  2.  Calculation formulas for geometric parameters of cable dome

几何参数	计算公式		几何参数	计算公式
R	$R = \dfrac{{{L^2}}}{{8f}} + \dfrac{f}{2}$		${S_{i{\text{a}}}^\prime}$	$\begin{gathered} {S_{i{\text{a}}}^\prime} = \sqrt {{{\left(r_i - {r_{i{\text{a}}}}\cos \dfrac{{\text{π}}}{n}\right)}^2} + {{\left({r_{i{\text{a}}}}\sin \dfrac{{\text{π}}}{n}\right)}^2}}\times \\ \text{mod} \left(i,2\right) + \left(r_i - {r_{i{\text{a}}}}\right) \times \text{mod} \left(i + 1,2\right) \\ \end{gathered}$
Δ	$\varDelta = \dfrac{{L - {L_1}}}{{4\left(j - 1\right)}}$		${S_{i{\text{b}}}^\prime}$	${S_{i{\text{b}}}^\prime} = \sqrt {{{\left({r_{i{\text{b}}}}\cos \dfrac{{2{\text{π}}}}{n} - r_i\right)}^2} + {{\left({r_{i{\text{b}}}}\sin \dfrac{{2{\text{π}}}}{n}\right)}^2}}$
j	$j = m + 1$		${S_i^\prime}$	$\begin{gathered} {S_i^\prime} = \left({r_{\left(i + 1\right){\text{a}}}} - r_i\right) \times \text{mod} \left(i,2\right) + \\ \sqrt {{{\left({r_{\left(i + 1\right){\text{a}}}}\cos \dfrac{{\text{π}}}{n} - r_i\right)}^2} + {{\left({r_{\left(i + 1\right){\text{a}}}}\sin \dfrac{{\text{π}}}{n}\right)}^2}} \times \\\text{mod} \left(i + 1,2\right) \\ \end{gathered}$
${r_{i{\text{a}}}}$	${r_{i{\text{a}}}} = R\sin {\theta _{i{\text{a}}}}$		${\alpha _{i{\text{a}}}}$	${\alpha _{i{\text{a}}}} = {\tan ^{ - 1}}\dfrac{{{h_{i{\text{a}}}}}}{{{S_{i{\text{a}}}}}}$
${r_{i{\text{b}}}}$	${r_{i{\text{b}}}} = R\sin {\theta _{i{\text{b}}}}$		${\alpha _{i{\text{b}}}}$	${\alpha _{i{\text{b}}}} = {\tan ^{ - 1}}\dfrac{{h_{i{\text{b}}}}}{{{S_{i{\text{b}}}}}}$
$r_i^\prime$	$r_i^\prime = R\sin {\theta _i}$		${\varphi _{i{\text{a}}}}$	${\varphi _{i{\text{a}}}} = {\tan ^{ - 1}}\dfrac{{{h_{i{\text{a}}}^\prime} }}{{{S_{i{\text{a}}}^\prime} }}$
${h_{i{\text{a}}}}$	${h_{i{\text{a}}}} = R\left(\cos {\theta _{i{\text{a}}}} - \cos {\theta _{i{\text{b}}}}\right)$		${\varphi _{i{\text{b}}}}$	${\varphi _{i{\text{b}}}} = {\tan ^{ - 1}}\dfrac{{h_{i{\text{b}}}^\prime }}{{{S_{i{\text{b}}}^\prime} }}$
$h_{i{\text{b}}}$	$h_{i{\text{b}}} = R(\cos {\theta _{i{\text{b}}}} - \cos {\theta _{\left(i + 1\right){\text{a}}}})$		${\beta _i}$	${\beta _i} = \dfrac{{h_i^\prime }}{{{S_i^\prime} }}$
${h_{i{\text{a}}}^\prime}$	${h_{i{\text{a}}}^\prime} = h_i + R\left(\cos {\theta _{ia}} - \cos {\theta _i}\right)$		${\gamma _{i{\text{a}}}}$	${\gamma _{i{\text{a}}}} = {\tan ^{ - 1}}\dfrac{{{r_{i{\text{b}}}}\sin \dfrac{{\left(2 - \text{mod} \left(i,2\right)\right) \times {\text{π}}}}{n}}}{{{r_{i{\text{b}}}}\cos \dfrac{{\left(2 - \text{mod} \left(i,2\right)\right) \times {\text{π}}}}{n} - {r_{i{\text{a}}}}}}$
$h_{i{\text{b}}}^\prime$	$h_{i{\text{b}}}^\prime = h_i + R\left(\cos {\theta _{i{\text{b}}}} - \cos {\theta _i}\right)$		${\gamma _{i{\text{b}}}}$	${\gamma _{i{\text{b}}}} = {\tan ^{ - 1}}\dfrac{{{r_{\left(i + 1\right){\text{a}}}}\sin \dfrac{{\left(1 + \text{mod} \left(i,2\right)\right) \times {\text{π}}}}{n}}}{{{r_{\left(i + 1\right){\text{a}}}}\cos \dfrac{{\left(1 + \text{mod} \left(i,2\right)\right) \times {\text{π}}}}{n} - {r_{i{\text{b}}}}}}$
$h_i^\prime$	$h_i^\prime = h_i - R\left(\cos {\theta _i} - \cos {\theta _{\left(i + 1\right){\text{a}}}}\right)$		${\delta _{i{\text{a}}}}$	${\delta _{i{\text{a}}}} = {\tan ^{ - 1}}\dfrac{{{r_{i{\text{a}}}}\sin \dfrac{{\text{π}}}{n}}}{{r_i - {r_{i{\text{a}}}}\cos \dfrac{{\text{π}}}{n}}} \times {\text{mod}}\left(i,2\right)$
${S_{i{\text{a}}}}$	${S_{i{\text{a} } } } = \sqrt {\begin{gathered} {\left({r_{i{\text{b} } } }\cos \dfrac{ {\left(2 - \text{mod} \left(i,2\right)\right) \times {\text{π } } } }{n} - {r_{i{\text{a} } } }\right)^2} + \\{\left({r_{i{\text{b} } } }\sin \dfrac{ {\left(2 - \text{mod} \left(i,2\right)\right) \times {\text{π } } } }{n}\right)^2} \\ \end{gathered} }$		${\delta _{i{\text{b}}}}$	${\delta _{i{\text{b} } } } = {\tan ^{ - 1} }\dfrac{ { {r_{i{\text{b} } } }\sin \dfrac{ { 2\pi } }{n} } }{ { {r_{i{\text{b} } } }\cos \dfrac{ { 2\pi } }{n} - r_i } }$
${S_{i{\text{b}}}}$	${S_{i{\text{b}}}} = \sqrt {\begin{gathered} {\left({r_{\left(i + 1\right){\text{a}}}}\cos \frac{{\left({\text{1}} + \text{mod} \left(i,2\right)\right) \times {\text{π }}}}{n} - {r_{i{\text{b}}}}\right)^2} + \\ {\left({r_{\left(i + 1\right){\text{a}}}}\sin \frac{{\left({\text{1}} + \text{mod} \left(i,2\right)\right) \times {\text{π }}}}{n}\right)^2} \\ \end{gathered} }$		${\delta _{i{\text{β }}}}$	${\delta _{i{\text{β}}}} = {\tan ^{ - 1}}\dfrac{{{r_{\left(i + 1\right){\text{a}}}}\sin \dfrac{{\text{π}}}{n}}}{{{r_{\left(i + 1\right){\text{a}}}}\cos \dfrac{{\text{π }}}{n} - {r_i}}} \times {\text{mod}}\left(i + {\text{1}},2\right)$
注：${r_{i{\text{a}}}}$、${r_{i{\text{b}}}}$、${r_i^\prime}$分别为上、下弦节点对中轴线的半径; ${\theta _{i{\text{a}}}}$、${\theta _{i{\text{b}}}}$、${\theta _i}$为相应点的球半径与中轴线的球面夹角; ${h_{i{\text{a}}}}$、${h_{i{\text{b}}}}$、${h_{i{\text{a}}}^\prime}$、${h_{i{\text{b}}}^\prime}$、${h_i^\prime}$分别为脊索、撑杆、斜索的高度;${S_{i{\text{a}}}}$、${S_{i{\text{b}}}}$、${S_i^\prime}$、${S_{i{\text{a}}}^\prime}$、${S_{i{\text{b}}}^\prime}$为脊索、撑杆、斜索的水平投影长度，mod函数用于求除后的余数。

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下弦索杆节点位置布置指标采用下弦节点水平半径系数δ来表示，即：

根据节点i′位置的不同，本文分3种下弦布置方案(δ = 1、2、3，见图3)考虑。

上弦网格调整系数η由网格内节点间水平间隔控制，满足：

本文改变网格节点间水平间隔的占比，选择了三种上弦网格调整方案(η = 1/3、1/2、1)进行对比研究。

结构预张力分布的均匀性指标可采用预应力态下索杆相对内力的大小来表示，即$\chi = {F_{\max }}/{V_{1{\text{a}}}}$；$\chi$愈大，预应力态索杆内力分布愈不均匀，不利于构件选用和施工张拉。

结构厚度h₁、h₂、h_k、h_l分别表示过下弦节点1′、2′、k′、l′作垂线与球面上相交于点1、2、k、l与对应下弦节点之间的距离(图4)，可表示为：

式中：r = L / 2；h为结构跨中厚度；ξ为结构厚度调整系数，如ξ为0，表明索穹顶各圈结构厚度是相等的，反之结构厚度按线性变化。

图  4  各圈环索节点位置结构厚度示意图

Figure  4.  Schematic diagram of structural thickness at each hoop cable joint

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3.2   预应力态多参数敏感度分析

本文取最内圈撑杆内力V_1a = −1.0作为基准值，改变选取的五边形三四撑杆混合型索穹顶的设计参数取值，比较索杆内力分布的变化，以研究结构预张力对不同的结构参数的敏感性。分析时假定跨度L = 120 m，孔跨L₁ = 3/7L，环向划分数n = 24。首先设定结构厚跨比h / L = 0.08，结构厚度调整系数ξ = 0，上弦网格调整系数η = 1，分别改变矢跨比f / L、环索道数m及下弦节点布置半径系数δ，索穹顶预张力分布情况如表3和图5所示；然后设定矢跨比f / L = 0.08，环索道数m = 2，下弦节点布置半径系数δ = 2，分别改变结构厚跨比h / L、结构厚度调整系数ξ，上弦网格调整系数η，索穹顶预张力分布情况如表4和图6所示。由表3、4和图5、6可分析得到索穹顶不同参数下预张力分布的变化规律以及预应力态的参数敏感度，具体如下:

表  3  五边形三四撑杆混合型开口索穹顶预应力态索杆内力计算结果(h / L = 0.08、ξ = 0、η = 1)

Table  3.  Analytical results of pretension distribution of pentagonal three-four-strut alternated cable domes with inner hole (given h / L = 0.08, ξ = 0 and η = 1)

矢跨比f / L		0.06						0.08
环索道数m		2		4				2		4
计算圈数i		1	2	1	2	3	4	1	2	1	2	3	4
下弦布置方案1	Tia	8.75	30.34	11.23	57.06	104.55	996.41	6.63	25.18	8.50	44.14	83.97	820.12
	Tib	14.17	26.48	26.15	50.42	324.06	889.78	10.50	21.53	19.53	38.65	251.96	718.33
	Via	−1.00	−6.54	−1.00	−6.80	−12.79	−126.04	−1.00	−7.22	−1.00	−6.99	−13.65	−139.01
	Vib	−0.78	−2.57	−0.78	−2.63	−15.99	−76.61	−0.76	−2.77	−0.77	−2.66	−16.39	−82.41
	Bi	7.24	14.34	4.30	7.99	59.50	181.14	7.83	19.04	4.34	8.40	64.29	208.72
	Hi	11.40	43.63	5.15	17.40	98.23	372.97	12.70	60.00	5.34	18.80	109.24	445.61
	Nia	31.64	−	34.94	−	126.55	−	23.92	−	26.43	−	99.97	−
	Ni	27.13	−	26.73	−	−	−	20.44	−	20.16	−	−	−
下弦布置方案2	Tia	8.09	29.73	10.98	57.81	109.74	1133.93	6.15	24.99	8.32	45.23	89.99	974.74
	Tib	13.49	26.79	25.94	51.78	351.67	1036.76	10.12	22.31	19.49	40.32	281.99	881.14
	Via	−1.00	−6.94	−1.00	−7.05	−13.60	−146.65	−1.00	−7.73	−1.00	−7.32	−14.78	−168.82
	Vib	−0.68	−2.45	−0.76	−2.66	−17.29	−88.39	−0.67	−2.71	−0.76	−2.74	−18.34	−100.06
	Bi	5.21	10.73	3.73	7.29	55.51	186.62	5.52	13.48	3.76	7.68	60.67	220.97
	Hi	9.51	35.35	4.84	16.60	90.57	388.95	10.20	44.73	4.94	17.74	100.90	468.04
	Nia	27.88	−	33.40	−	132.15	−	20.83	−	25.12	−	106.53	−
	Ni	23.68	−	25.36	−	−	−	17.57	−	18.96	−	−	−
下弦布置方案3	Tia	6.94	26.90	10.40	56.69	111.47	1251.41	5.33	23.03	7.90	44.92	93.46	1127.50
	Tib	11.90	25.04	24.92	51.47	369.68	1171.42	9.10	21.48	18.86	40.77	306.37	1051.81
	Via	−1.00	−7.30	−1.00	−7.33	−14.38	−170.91	−1.00	−8.17	−1.00	−7.69	−15.90	−205.50
	Vib	−0.60	−2.30	−0.74	−2.68	−18.45	−100.38	−0.61	−2.63	−0.74	−2.81	−20.30	−120.01
	Bi	3.41	7.52	3.21	6.59	51.49	191.20	3.56	9.14	3.23	6.99	57.40	234.88
	Hi	7.34	26.71	4.40	15.34	83.00	394.72	7.64	31.86	4.44	16.26	92.86	482.14
	Nia	22.82	−	30.93	−	133.56	−	16.99	−	23.16	−	110.03	−
	Ni	19.19	−	23.31	−	−	−	14.15	−	17.31	−	−	−
矢跨比f / L		0.10						0.12
环索道数m		2		4				2		4
计算圈数i		1	2	1	2	3	4	1	2	1	2	3	4
下弦布置方案1	Tia	5.37	22.64	6.88	36.55	72.45	729.43	4.54	21.61	5.82	31.63	65.59	685.43
	Tib	8.33	19.01	15.60	31.74	210.43	627.08	6.90	17.82	13.01	27.26	184.35	578.64
	Via	−1.00	−8.10	−1.00	−7.19	−14.66	−155.54	−1.00	−9.24	−1.00	−7.41	−15.84	−176.72
	Vib	−0.74	−3.05	−0.76	−2.70	−16.94	−90.08	−0.73	−3.43	−0.74	−2.75	−17.66	−100.18
	Bi	8.61	27.68	4.39	8.88	70.42	247.12	9.63	47.19	4.45	9.43	78.29	302.19
	Hi	14.33	90.07	5.53	20.41	122.96	546.93	16.44	158.07	5.74	22.27	140.25	693.09
	Nia	19.33	−	21.37	−	84.70	−	16.29	−	18.03	−	75.19	−
	Ni	16.46	−	16.25	−	−	−	13.83	−	13.66	−	−	−
下弦布置方案2	Tia	5.00	22.61	6.74	37.84	79.09	901.12	4.25	21.54	5.70	33.05	72.75	875.41
	Tib	8.12	20.04	15.65	33.60	242.25	806.10	6.81	18.96	13.13	29.26	217.68	775.56
	Via	−1.00	−8.69	−1.00	−7.61	−16.11	−196.21	−1.00	−9.87	−1.00	−7.91	−17.64	−230.33
	Vib	−0.67	−3.04	−0.75	−2.83	−19.57	−114.57	−0.66	−3.45	−0.74	−2.93	−20.99	−132.77
	Bi	5.89	17.68	3.78	8.12	66.81	266.04	6.35	24.64	3.81	8.61	74.14	326.39
	Hi	11.01	58.97	5.06	19.02	113.25	572.60	11.98	82.38	5.17	20.45	128.10	713.77
	Nia	16.64	−	20.19	−	91.96	−	13.87	−	16.94	−	83.02	−
	Ni	13.94	−	15.15	−	−	−	11.54	−	12.64	−	−	−
下弦布置方案3	Tia	4.37	21.09	6.41	38.02	83.81	1088.77	3.74	20.20	5.44	33.57	78.49	1100.99
	Tib	7.44	19.75	15.25	34.53	271.38	1013.31	6.35	19.03	12.88	30.52	250.88	1023.42
	Via	−1.00	−9.19	−1.00	−8.06	−17.61	−248.67	−1.00	−10.38	−1.00	−8.46	−19.55	−302.93
	Vib	−0.62	−3.03	−0.75	−2.95	−22.41	−144.68	−0.63	−3.51	−0.75	−3.11	−24.81	−175.96
	Bi	3.73	11.29	3.25	7.43	64.20	291.33	3.91	14.24	3.27	7.90	72.02	365.27
	Hi	7.97	38.64	4.49	17.26	104.31	594.77	8.35	47.84	4.54	18.35	117.63	741.78
	Nia	13.52	−	18.54	−	96.92	−	11.23	−	15.49	−	89.13	−
	Ni	11.15	−	13.74	−	−	−	9.17	−	11.39	−	−	−

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图  5  预张力指标χ随矢跨比和环索道数变化

Figure  5.  Tendency chart of pretension index χ varying with f / L and m

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表  4  结构高度变化时五边形三四撑杆混合型开口索穹顶预应力态索杆内力计算结果(f / L = 0.08、m = 2、δ = 2)

Table  4.  Analytical results of pretension distribution of pentagonal three-four-strut alternated cable domes with inner hole (given f / L = 0.08, m = 2 and δ=2)

厚跨比h / L		0.06						0.08
厚度调整系数ξ		−0.1		0		0.1		−0.1		0		0.1
计算圈数i		1	2	1	2	1	2	1	2	1	2	1	2
上弦网格调整方案1	Tia	7.82	64.40	7.90	62.66	7.98	61.18	8.26	57.04	8.32	56.00	8.37	55.10
	Tib	8.50	33.83	8.61	33.07	8.71	32.42	9.06	30.43	9.14	29.99	9.21	29.60
	Via	−1.00	−11.06	−1.00	−10.71	−1.00	−10.40	−1.00	−9.63	−1.00	−9.42	−1.00	−9.25
	Vib	−0.69	−6.84	−0.68	−6.31	−0.68	−5.87	−0.64	−5.02	−0.64	−4.71	−0.63	−4.45
	Bi	10.04	58.05	9.45	46.55	8.93	38.79	7.17	27.87	6.83	24.05	6.53	21.20
	Hi	19.54	200.32	18.30	160.37	17.22	133.20	13.42	94.65	12.65	80.89	11.97	70.50
	Nia	23.41	−	23.70	−	23.96	−	24.92	−	25.12	−	25.30	−
	Ni	17.51	−	17.75	−	17.97	−	18.79	−	18.96	−	19.12	−
上弦网格调整方案2	Tia	6.78	43.03	6.87	41.93	6.94	41.01	7.22	38.65	7.28	37.98	7.34	37.40
	Tib	8.48	27.46	8.61	26.90	8.72	26.43	9.13	25.09	9.22	24.75	9.30	24.46
	Via	−1.00	−9.72	−1.00	−9.39	−1.00	−9.12	−1.00	−8.49	−1.00	−8.30	−1.00	−8.14
	Vib	−0.69	−5.04	−0.68	−4.65	−0.67	−4.32	−0.64	−3.74	−0.63	−3.50	−0.62	−3.31
	Bi	9.06	41.76	8.55	33.90	8.11	28.51	6.63	21.10	6.33	18.30	6.07	16.21
	Hi	17.75	143.61	16.67	116.40	15.71	97.58	12.44	71.39	11.74	61.30	11.12	53.63
	Nia	21.68	−	22.00	−	22.28	−	23.34	−	23.57	−	23.77	−
	Ni	17.16	−	17.44	−	17.69	−	18.63	−	18.84	−	19.02	−
上弦网格调整方案3	Tia	5.61	27.39	5.70	26.80	5.79	26.31	6.08	25.36	6.15	24.99	6.22	24.67
	Tib	9.05	23.82	9.23	23.46	9.40	23.16	9.98	22.53	10.12	22.31	10.25	22.12
	Via	−1.00	−9.00	−1.00	−8.67	−1.00	−8.40	−1.00	−7.93	−1.00	−7.73	−1.00	−7.56
	Vib	−0.73	−3.81	−0.72	−3.51	−0.71	−3.27	−0.68	−2.90	−0.67	−2.71	−0.66	−2.56
	Bi	7.45	27.53	7.08	22.87	6.76	19.60	5.75	15.36	5.52	13.48	5.32	12.07
	Hi	14.71	94.04	13.89	78.03	13.16	66.61	10.76	51.57	10.20	44.73	9.69	39.48
	Nia	18.60	−	18.98	−	19.33	−	20.54	−	20.83	−	21.10	−
	Ni	15.52	−	15.86	−	16.18	−	17.30	−	17.57	−	17.82	−
厚跨比h / L		0.10						0.12
厚度调整系数ξ		−0.1		0		0.1		−0.1		0		0.1
计算圈数i		1	2	1	2	1	2	1	2	1	2	1	2
上弦网格调整方案1	Tia	8.50	53.37	8.55	52.62	8.58	51.96	8.65	51.11	8.68	50.52	8.70	49.99
	Tib	9.38	28.75	9.43	28.42	9.48	28.14	9.57	27.71	9.61	27.45	9.64	27.22
	Via	−1.00	−8.93	−1.00	−8.79	−1.00	−8.66	−1.00	−8.51	−1.00	−8.40	−1.00	−8.30
	Vib	−0.61	−4.15	−0.61	−3.94	−0.60	−3.77	−0.60	−3.66	−0.59	−3.51	−0.59	−3.38
	Bi	5.80	18.54	5.57	16.53	5.36	14.98	5.01	14.22	4.85	12.95	4.70	11.96
	Hi	10.24	60.79	9.69	53.23	9.19	47.28	8.28	44.44	7.84	39.40	7.45	35.36
	Nia	25.75	−	25.90	−	26.02	−	26.25	−	26.36	−	26.46	−
	Ni	19.51	−	19.64	−	19.76	−	19.96	−	20.06	−	20.15	−
上弦网格调整方案2	Tia	7.47	36.42	7.51	35.93	7.55	35.50	7.62	35.03	7.65	34.64	7.68	34.29
	Tib	9.50	23.89	9.57	23.65	9.63	23.43	9.73	23.14	9.79	22.95	9.83	22.77
	Via	−1.00	−7.89	−1.00	−7.76	−1.00	−7.64	−1.00	−7.53	−1.00	−7.42	−1.00	−7.33
	Vib	−0.61	−3.11	−0.60	−2.95	−0.60	−2.81	−0.59	−2.74	−0.59	−2.62	−0.58	−2.53
	Bi	5.44	14.37	5.24	12.86	5.06	11.70	4.76	11.18	4.61	10.22	4.48	9.47
	Hi	9.60	46.86	9.09	41.12	8.62	36.61	7.82	34.67	7.41	30.78	7.04	27.66
	Nia	24.28	−	24.45	−	24.61	−	24.87	−	25.00	−	25.12	−
	Ni	19.49	−	19.64	−	19.79	−	20.03	−	20.15	−	20.26	−
上弦网格调整方案3	Tia	6.36	24.31	6.41	24.02	6.46	23.78	6.54	23.63	6.58	23.39	6.61	23.18
	Tib	10.54	21.87	10.65	21.71	10.75	21.56	10.91	21.45	10.99	21.30	11.07	21.18
	Via	−1.00	−7.40	−1.00	−7.26	−1.00	−7.14	−1.00	−7.08	−1.00	−6.96	−1.00	−6.87
	Vib	−0.65	−2.43	−0.64	−2.30	−0.64	−2.19	−0.63	−2.15	−0.63	−2.06	−0.62	−1.98
	Bi	4.89	10.99	4.73	9.92	4.59	9.10	4.39	8.83	4.27	8.13	4.17	7.59
	Hi	8.52	35.41	8.08	31.26	7.68	27.97	7.05	26.90	6.68	23.97	6.35	21.61
	Nia	21.71	−	21.94	−	22.15	−	22.47	−	22.66	−	22.82	−
	Ni	18.40	−	18.61	−	18.81	−	19.11	−	19.29	−	19.45	−

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图  6  预张力指标χ随高跨比和厚度调整系数变化

Figure  6.  Tendency chart of pretension index χ varying with h / L and ξ

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(1) 矢跨比。矢跨比的增加会拉大内、外圈预张力的比例。当结构矢跨比在大于0.10后，索穹顶结构预应力态索杆内力的变化幅度不足20％，表明索杆内力变化对矢跨比的敏感度较弱。从预张力分布的均匀性角度来看，结构的矢跨比和厚跨比需要维持在一定的比例范围，否则可能出现内外圈预张力比例不合理的情况，尤其发生在使用较小的节点半径系数及较少的环索道数时。

(2) 环索道数。在矢跨比和厚跨比两者比例合宜的前提下，随着环索数量的增加，结构预张力分布的不均匀性也在抬升，自索穹顶内孔向外索杆预张力值会随着圈数的增加表现出成倍增长的趋势，因此，在工程设计时，应在结构网格尺寸符合要求的情况下尽可能减少索穹顶的圈数。

(3) 下弦节点半径系数。随着下弦节点半径的增大，环索、斜索、上弦内环索预张力均呈现出减小的趋势，但撑杆的预张力有所增加；如表3所示，采用较大的节点水平半径或环索道数较多时，最外圈脊索的预张力水平会出现超过最外圈环索的情况，增大了索穹顶支座处的水平反力，产生支座设计上的困难。然而，采用较小的结构的下弦节点水平半径，结构内外圈预张力分布差异会拉大。目前索穹顶施工成形方法一般选择最外圈斜索或环索作为主动构件以实现整体结构的预应力刚化，而其它索杆通常以原长进行安装。因此，在索穹顶张拉成形时，较大的内外圈索杆预张力比例容易导致内圈索杆预张力不足^[26]，将导致上弦内环索和内圈脊索在竖向荷载作用下率先退出工作，进而影响结构的承载力和稳定性。

比较三种不同的下弦节点布置方案，在斜索高度增幅相近，水平投影均缩短相同长度的情况下，索杆内力差值随矢跨比增大而拉大，表中最大减幅达到50%，索杆预张力的分布对下弦节点的位置较为敏感。因此，下弦节点位置的布置在结构设计及后续优化是需要重点考虑的问题。

(4) 结构厚度参数。结构厚度可以极大地增加结构竖向刚度，因此厚跨比h_i / L在参数设计时需要着重考虑。由图6可见，随着结构厚跨比的增加，索穹顶预张力分布的不均匀性在降低。此外，结构厚度调整系数为正值时，也能改善其预应力态的索杆内力分布情况。当结构厚跨比不足时(如h / L ≤ 0.08)，索杆内力变化较大，相对差异高达40%；而当结构厚跨比继续增加时，结构厚度调整系数对预张力的影响逐渐减弱。

(5) 上弦网格调整系数。减小节点间水平间隔Δ_a与Δ_b的比值，上弦a类脊索与b类脊索的内力会相差越大，上弦脊索分段间的预张力分布的不均匀性在增加。如表4所示，采用上弦网格布置方案1的结构布置时预张力分布尤为不均匀，易出现最外圈脊索的预张力超过最外圈环索的情况。此外，随着网格尺寸变大，下弦节点会相应的向外移动，会加剧这种情况的发生。使用同一径向网格尺寸，a类脊索水平投影缩减50%，a类脊索内力提升约1.4倍，可以看出该参数是影响脊索分段预张力的重要参数。

4   结论

本文提出一种五边形三四撑杆混合型索穹顶，该结构与传统Fuller张拉结构体系不同，上弦脊索采用自由等腰五边形网格正、倒置交替布设，其次，上下弦节点间设置了多根倾斜的撑杆。通过对其构形与预应力态的分析，可以得出以下结论：

(1) 该索穹顶径向各榀上弦网格之间通过上弦内环索相连，外周边设有刚性环梁，下弦节点之间通过下弦环索相连，形成闭合的结构构形。其上弦节点因交有多根不共面上弦索且至少与一根撑杆相交，下弦节点均采用多撑杆的布置形式，相较于传统索穹顶，该索穹顶的撑杆以及整体结构的稳定性均得到提高。

(2) 五边形三四撑杆混合型索穹顶在轴对称荷载下可归属为一次超静定结构。基于节点平衡方程，提出了该索穹顶预应力态的简捷计算方法，分别推导了奇数圈和偶数圈开口索穹顶预应力态的索杆内力一般性计算公式，可求得预应力态的精确解。

(3) 根据文中所提出的计算理论与方法，给出设置不同参数的60个计算用索穹顶模型的预张力相对值，说明了环索道数、下弦节点半径系数、厚跨比、上弦网格调整系数是影响索杆内力分布的主要因素。当环索道数由2提升到4时，内外圈环索预张力比例提升约24倍，而矢跨比影响幅度相对较小。上弦网格系数由1/3增加到1，a类脊索内力提升约1.4倍，对于脊索分段预张力影响较大。

(4) 本文对五边形三四撑杆混合型索穹顶的分析与研究，为索穹顶的构型选择和工程设计提供了一种新思路和新选择。