混凝土结构内部应力状态和分布情况对结构的稳定和安全至关重要，对混凝土结构内部应力状态的准确检测一直是前沿热点研究问题。传统混凝土应力检测多采用有损或微损检测^{[1 − 2]}，检测过程主要依赖于应变计或应力计等电子仪器^[3]，对检测环境要求较高，对被测体的影响较大^[4]，在应用方面存在诸多局限性。近年来，基于声弹性效应的混凝土应力检测方法逐渐受到关注，其基本原理是基于固体材料中声波的传播特性，结合声学和力学原理，实现对混凝土结构内部应力状态的无损检测。本文旨在探讨不同振动模式超声波对混凝土中应力的敏感性，研究结果可为超声法测混凝土结构应力的波形选择提供参考依据。

应力固体中的声弹性理论最初主要用于金属材料残余应力的检测^{[5 − 6]}，后来，随着超声检测技术在硬件与软件方面的不断发展，声弹性理论逐渐被用于各种固体材料的外加应力或残余应力检测，包括各种金属板材^{[7 − 8]}、钢轨^{[9 − 10]}、紧固螺栓^{[11 − 12]}、复合材料^{[13 − 14]}、岩石^{[15 − 16]}以及混凝土^{[17 − 18]}等。研究表明^{[19 − 20]}混凝土材料的声弹性效应较金属材料更为显著；PAYAN等^[21]基于声弹性理论和尾波干涉法^[22]对混凝土材料的三阶弹性系数进行了测量；LILLAMAND等^[20]通过试验研究验证了混凝土的声弹效应，进一步证明了利用超声波进行混凝土应力水平评估的可行性；NOGUEIRA等^[23]研究了拉应力作用下混凝土中的超声波速变化及其受结构损伤的影响；ZHONG等^{[24 − 25]}利用波形伸缩技术研究了混凝土柱和足尺混凝土梁中直达波和尾波波速的应力敏感性，探究了时间窗效应对声弹性系数影响，并利用热声弹性技术实现了混凝土声弹性系数的测量^[26]。尽管诸多学者对混凝土材料的声弹性效应进行了大量研究，也取得了丰硕成果，但研究手段主要是试验测试，且多采用单一类型的超声波(体波或面波)。考虑到混凝土材料是一种离散性很大的多相复合材料，不同试件之间的材料特性大相径庭，研究结果横向对比的效果较差，难以根据现有研究成果判断不同振动模式的超声波对混凝土结构应力的敏感程度。

为了定量分析不同振动模式超声波对混凝土结构应力状态变化的敏感程度，本文首先从理论上推导了应力结构中不同振动模式超声波声弹性系数的表达式，然后将混凝土材料的二阶、三阶弹性常数代入理论表达式，从而实现了混凝土结构中不同振动模式超声波应力敏感性的定量分析，直观展示了不同波形对混凝土中应力的敏感程度，最后通过三个混凝土棱柱体试件的单轴压缩试验结合超声检测技术对理论结果进行了验证。

1   超声波速的应力依赖性

根据声弹性理论，超声波传播速度与结构应力之间存在线性相关关系，据此可以实现混凝土结构现存应力的无损测量，然而，不同振动模式的波对结构中应力变化的敏感性是不一样的，该敏感性可以通过声弹性系数的大小来表征。在实际工程中，波形对应力的敏感性越好越有利于我们监测结构中的应力变化，同时，对检测仪器的精度要求也越低，检测成本便随之降低。因此，分析混凝土中不同振动模式的超声波对结构应力的敏感程度对推动超声法测混凝土结构应力在实际工程中的应用和发展具有深远意义。

1.1   声弹性方程

1.1.1   体波声弹性方程

基于MURNAGHAN^[27]提出的非线性有限变形理论，HUGHES和KELLY^[28]首先推导了单轴应力作用下固体中不同振动模式的体波的声弹性方程，其表达式如下：

式中：ρ₀为材料的初始密度；V_ij为弹性波的传播速度(i为波传播方向，j为波的偏振方向)；σ₁₁为平行于1方向的应力；λ、μ为Lame常数，即二阶弹性常数；l、m、n为Murnaghan系数，即三阶弹性系数；K为体积模量(K=λ+2μ/3)。式中σ₁₁/3K前的负号与材料中的应力类型有关，拉应力取正号，压应力则取负号，此处给出的是固体材料在压应力作用下的声弹性方程。为了更直观地描述上述方程所表示的6种体波，图1给出了单轴压缩应力作用下笛卡尔坐标系中上述6种波的传播方向和质点振动模式示意图。

图  1  笛卡尔坐标系中超声体波传播方向与应力方向关系示意图

Figure  1.  Relationship between the propagation direction of ultrasonic bulk waves and stress in Cartesian coordinate

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1.1.2   Rayleigh波声弹性方程

在混凝土结构的无损检测中，相对于体波，表面波是更容易获取的一种波形。早在1885年，Rayleigh就已经从理论上预测了表面波的存在。后来，在观测地震波的传播及模式转化时，人们第一次得到了表面波存在的实验证据^[29]，该模式的弹性波也因此被称为Rayleigh波(简称R波)。

到了20世纪中期，R波逐渐被应用到结构健康监测、地震学以及电子电路等科学中^{[30 − 31]}。R波被认为是由纵波与横波叠加而成，其本质是介质自由表面受到交变应力作用时产生的在介质表面传播、随深度增加而迅速衰减的一种波，其能量主要集中在距自由表面一个波长范围内^[32]。如图2所示，R波传播过程中，介质质点做椭圆运动，椭圆长轴垂直于波传播方向，椭圆短轴平行于波传播方向，达到特定深度后，椭圆的旋转方向会发生反转^[29]。

图  2  Rayleigh波的质点振动模式

Figure  2.  Particle vibration modes of Rayleigh waves

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HAYES和RIVLIN^[33]最早推导了R波的声弹性方程，结果表明，R波波速和结构应力之间呈非常复杂的非线性关系。后来HIRAO等^[34]和DUQUENNOY等^{[35 − 36]}又在线性近似下分别推导了各向同性材料和正交各向异性材料中声弹性系数的表达式，并分别在低碳钢和铝合金材料中进行了试验验证。静态均匀变形下，各向同性固体材料中R波的传播速度(相速度)可由如下方程确定^[34]。

式中：σ₁₁为平行于1方向的应力；$\alpha = \rho V_R^2$；${V_{\rm R}}$为应力固体中R波的传播速度；ρ为应力固体的密度。四阶张量${S_{klmn}}$由于应力的作用而具有轻微的各向异性，可将其视为预应力各向同性材料的弹性张量，主要与上述固体材料的二阶和三阶弹性常数有关，有关四阶张量${S_{klmn}}$的详细计算方法可在文献[31]中找到。为了直观展示，图3给出了单轴应力作用下笛卡尔坐标系中3种R波的传播方向和质点振动模式示意图。

图  3  笛卡尔坐标系中Rayleigh波传播方向与应力方向关系示意图

Figure  3.  Relationship between the propagation direction of Rayleigh wave and stress in Cartesian coordinate

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1.1.3   声弹性方程的线性化

研究表明^[37]，混凝土材料的非线性行为可由波速与应力的线性关系描述，故可将上述6个声弹性方程用一个统一的线性方程来表达：

式中：$V_{ij}^\sigma$为应力固体中传播方向为i，偏振方向为j的超声波传播速度；$V_{ij}^0$为零应力状态下的超声波速；${A_{ij}}$称为声弹性系数。

式(7)可进一步变换为：

由式(8)可知，结构中超声波速的相对变化量与结构中的应力之间存在线性相关关系，据此关系，若测得结构中的波速相对变化量和材料的声弹性系数，便可求出结构中的应力值，从而准确评估结构的服役状态。

1.2   声弹性系数

1.2.1   体波声弹性系数

根据式(8)，应力固体中的超声波速对材料中应力变化的敏感性可由声弹性系数的大小来反映，声弹性系数的绝对值越大，表明该波形对材料中的应力变化越敏感；反之，则越不敏感。

将式(1)两边同时对应力求导，可得：

零应力状态下混凝土中的超声波波速与材料参数之间存在如下关系：

式中：${V_{\rm L0}}$、${V_{\rm S0}}$及${V_{\rm R0}}$分别为固体材料在零应力状态下的纵波波速、横波波速及R波波速；ν为泊松比，其与Lame常数之间的转化关系如下：

相关研究表明：由应力引起的超声波速的变化量$\Delta V$相对于无应力状态(自然状态)下的波速V₀而言是很小的，亦即由式(1)得到的V₁₁与零应力状态下混凝土中的纵波波速V_L0相差甚小，故可用V_L0来近似V₁₁，则式(9)可进一步化为：

将式(10)中V_L0的表达式代入式(12)，可得平行于应力方向传播的纵波声弹性系数表达式如下：

同理，根据式(2)~式(5)式结合式(10)可以推导出其余四种不同模式超声体波的声弹性系数表达式如下：

式中：A_ij为沿i方向传播，偏振方向为j的体波的声弹性系数；${\rm d}\sigma = {\sigma _{11}}$。

1.2.2   Rayleigh波声弹性系数

由上述式(6)可以看出，R波的声弹性方程是关于R波传播速度的非线性方程，为了得到R波的声弹性系数，需对问题做进一步的简化。R波由横波和纵波耦合而成，对于泊松比ν为0~0.5的材料，其R波波速近似于横波速度的0.9倍^[38]，故提出假设：R波对于结构应力变化的敏感性主要由其横波分量主导。基于此，可以推出在${x_1}{x_2}$平面内沿应力方向(${x_1}$轴)传播的R波(其横波分量在${x_3}$方向偏振，见图3(a))波速的表达式为：

方程两边同时平方，并对应力求导，便可以得到：

式中，$C = (1.74\mu + 2.86\lambda )/(2\mu + 3\lambda )$，同样，假设由应力引起的影响是小的，将式(10)中V_R0的表达式代入式(19)，便可得到平行于应力方向传播的R波声弹性系数的表达式为：

同理，可以推出在${x_1}{x_2}$平面内垂直于应力方向(${\mathrm{x}}_{1}$轴)传播的R波(其横波分量在${x_3}$方向偏振，见图3(b))波速的表达式为：

进一步得到垂直于应力方向传播的R波声弹性系数的表达式为：

式中，${A_{{\rm{R}}i}}$为沿i方向(i=2, 3)传播的R波(图3(b)、图3(c))的声弹性系数，其余符号与上文含义相同。

1.3   波形敏感性分析

由式(13)~式(17)以及式(20)、式(22)中给出的不同模式超声波声弹性系数的理论表达式可以看出：声弹性系数反映了单位应力引起的固体中超声波波速改变率的大小，其值主要与固体材料的二阶、三阶弹性常数有关。为了量化表征不同振动模式超声波对混凝土结构中应力变化敏感性的大小，取混凝土材料的Lame常数(λ, μ)和Murnaghan常数(l, m, n)如表1所示^[26]，混凝土的密度取为2338.7 kg/m³，根据式(10)和式(11)可以计算出混凝土的其他弹性参数如表2所示，将上述弹性参数代入式(13)~式(17)以及式(20)、式(22)中，可得单轴压缩荷载作用下文献[26]中的混凝土材料中不同振动模式超声波的声弹性系数如图4所示。可以看出，所有声弹系数均为正值，说明波速的相对变化量($({V_\sigma } - {V_0})/{V_0}$)与单轴压应力(${\sigma _{11}}$)之间呈正相关，结合式(8)可知：图4所示超声波波速均随压应力的增大而增大。

对比不同振动模式超声波的声弹性系数(图4)可以看出：超声波类型(纵波/横波/R波)、传播方向(与应力方向平行/垂直)及质点偏振方向(与应力方向平行/垂直)等因素的变化均会影响超声波速对结构应力变化的敏感性。具体来说，偏振方向与应力方向平行的超声纵波(${A_{11}}$)和横波(${A_{21}}$)对结构应力变化的响应最为敏感性，分别为0.082%/MPa和0.027%/MPa；其次是传播方向与应力方向平行的横波(${A_{12}}$)和R波(${A_{{\rm{R}}1}}$)；而垂直于应力方向传播的纵波(${A_{22}}$)和R波(${A_{{\rm{R}}2}}$)以及传播方向和偏振方向均与应力方向垂直的横波(${A_{23}}$)对应力的敏感性相对较低。因此，单从波形对应力的敏感程度来看，平行于应力方向传播的纵波是采用超声法检测混凝土结构应力的首选波形。

表  1  混凝土二阶和三阶弹性常数^[26]

Table  1.  Second and third order elastic constants of concrete

材料	$\lambda /{\text{GPa}}$	$\mu /{\text{GPa}}$	$l/{\text{GPa}}$	$m/{\text{GPa}}$	$n/{\text{GPa}}$
混凝土	13.81	20.03	−983.03	−836.23	−669.00

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表  2  混凝土弹性参数

Table  2.  Elastic parameters of concrete

材料	$V_{\mathrm{L}}(\mathrm{m} / \mathrm{s})$	$V_{\mathrm{S}}(\mathrm{m} / \mathrm{s})$	$V_{\mathrm{R0}}(\mathrm{m} / \mathrm{s})$	$\rho ({\text{kg/}}{{\text{m}}^3})$	ν
混凝土	4800	2927	2670	2338.7	0.204

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图  4  不同模式超声波对应力的敏感性

Figure  4.  Sensitivity of different waveforms to stress

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从图4可以看出，$A_{\mathrm{R1}}$和$A_{\mathrm{R2}}$分别与${A_{21}}$和${A_{23}}$相等，这主要与前面关于R波声弹性响应的假设(“R波对于结构应力变化的敏感性主要由其横波分量主导”)有关。事实上，根据前面的分析可知，沿应力方向传播的R波是由沿该方向传播的纵波和横波耦合而成，故提出这样的假设：声弹性系数$A_{\mathrm{R1}}$可以由${A_{11}}$和${A_{12}}$以一定的比例叠加得到。假设二者采用线性叠加的方式进行耦合，则沿应力方向传播的R波的声弹性系数可由如下方程表示：

式中，$\eta$为权重系数，且有0<η<1。由图4可知，${A_{11}} > {A_{12}}$，故应有${A_{12}}< A_{\mathrm{R1}} < {A_{11}}$，即沿应力方向传播的R波对应力变化的敏感度低于同方向传播的纵波，而高于同方向传播的横波。

2   试验验证

2.1   试验方案

为了验证上述理论结果，共设计开展了3个混凝土棱柱体单轴压缩试验，试件尺寸均为150 mm ×150 mm×550 mm，编号为C1、C2、C3，混凝土材料配合比如表3所示。同批混合料浇筑3个100 mm ×100 mm×100 mm的混凝土立方体试块，并于标准养护室内养护28天，通过混凝土立方体抗压强度试验测得试件的平均强度为60.5 MPa。

表  3  混凝土配合比

Table  3.  Mix proportion of concrete /(kg·m⁻³)

水泥	粉煤灰	砂子	水	粗骨料	减水剂
420.0	60.0	702.0	153.6	1054.8	9.6

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采用微机控制电液伺服万能试验机对混凝土棱柱进行单轴拟静力加载试验，试验采用分级加载，加载步长为1 MPa，加载速率为1000 N/s，每级持荷220 s。为避免结构裂缝与应力耦合作用造成混凝土声弹性系数的测量误差，本次加载的最大荷载取为混凝土抗压强度的30%，即试件处于弹性阶段。试验加载装置如图5所示。

图  5  加载装置图

Figure  5.  Loading device

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2.2   传感器布置方案

在试件加载过程中，采用了由本团队成员自主研发的高性能大理石外壳压电换能器(STSA)来实现超声信号的精确激发与感知，如图6所示。这款压电换能器的中心频率为110 kHz，尺寸为25 mm×20 mm (r×h)，更多详细参数参见文献[39]。试验过程中同步进行超声信号的激励与接收，图7展示了超声信号的激发和采集装置及传感器的布置方式，后续分析将默认采用图1和图3所示坐标系。此外，采用了多功能压电信号监测与分析系统结合笔记本电脑来完成信号的收发与展示。这样的设置确保了检测过程中的准确性和高效性。

为了研究不同振动模式超声波波速对结构应力的敏感性，每个试件上布置3对压电换能器(图7)，分别用于获取与应力方向平行传播的体波信号(A1→S1，记为“∥体波”)，与应力方向垂直传播的体波信号(A2→S2，记为“⊥体波”)，以及与应力方向平行传播的Rayleigh波信号(A3→S3，记为“∥面波”)。其中A1、A2、A3代表三个驱动器(Actuators)，S1、S2、S3代表与驱动器相对应的三个传感器(Sensors)。A1和S1分别安装在混凝土柱上、下端面的形心位置，它们之间的传感距离为550 mm；A2和S2安装在混凝土柱两个相对的侧面的形心位置，二者相距150 mm；A3和S3则安装在混凝土柱的同一侧面，二者相距400 mm，与混凝土柱上、下端面的距离为75 mm。

图  6  大理石外壳压电换能器(STSA)

Figure  6.  Surface treatment smart aggregate (STSA)

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图  7  信号激励及采集装置

Figure  7.  Signal excitation and acquisition device

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采用Hanning窗调制的五峰正弦脉冲波作为激励信号，信号的中心频率为60 kHz，持续时间为83.3 us，信号采集时长为2 ms，采样频率为2 MHz。为避免偶然误差，提高信噪比，每级荷载下各方向至少采集5个信号取平均，激励信号的时域和频域曲线如图8所示。

图  8  激励信号

Figure  8.  Excitation signal

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3   结果分析

3.1   互相关算法

混凝土轴向应力变化对其中传播的超声波波形的扰动一般较小，主要引起接收信号相位的移动，这为互相关算法的应用提供了可能。故本文采用互相关法提取不同应力水平下所得信号之间的声时差^[40]。对于两个有限长的离散时间序列$x(t)$和$y(t)$，其互相关函数可用如下方程表达：

式中：T为互相关的计算窗口时长；R_xy($\tau$)为两个序列的互相关函数，变量$\tau$表示两个序列之间的时延，取值范围为$[ - T,T]$。互相关函数R_xy($\tau$)取得最大值时所对应的$\tau$值即为两个时间序列的声时差。$\tau$为正，表示序列$y(t)$的到达时间比$x(t)$早，即$y(t)$比$x(t)$快；反之，则表示$y(t)$比$x(t)$慢。图9展示了两个时间序列及其互相关函数，时延计算结果亦在图中标出。

图  9  两个时间序列的互相关函数

Figure  9.  Cross-correlation function of the two signals

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3.2   信号声时差的提取

基于上述互相关算法计算应力状态和无应力状态所得信号的声时差，各波形的计算窗口T均取为激励信号持续时间的4/5(即66.7 us)。为了提高计算精度，在进行互相关计算之前，以300 MHz的高采样率对试验所得信号进行重采样处理。图10展示了试验获得的零应力状态下平行于应力方向传播的体波信号(∥体波)和R波信号(∥面波)的时域波形。根据波传播特性可知：纵波的传播速度最快，故纵波的计算窗口位置可根据直达波来直接确定。而横波和R波的传播速度相对较慢，且混凝土是高散射介质，导致接收信号与波源信号的形状差异较大，无法从波形中直接分辨出横波和R波，故需要借助理论计算来确定其计算窗口位置。根据上述式(10)和式(11)可以推出横波和R波波速与纵波波速之间的相关关系如下：

根据混凝土结构设计规范，取混凝土的泊松比为0.2，则有${{V}}_{\mathrm{S}0}=0.61{2{V}}_{\mathrm{L}0}$，${V_{{\rm{R}}0}} = 0.558{V_{L0}}$。根据式(25)可以计算出零应力状态下混凝土试件中的横波和R波波速，结合波程即可确定两种波各自的到达时间，从而可以确定互相关法的计算窗口位置。

图  10  零应力状态下的时域波形

Figure  10.  Time domain waveform for stress free

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图11展示了试件C1在单轴荷载作用下平行于应力方向传播的R波信号，从图中可以看出，随着应力的增大，沿应力方向传播的R波表现出明显的向左的相移，即R波波速随应力的增大而增大，这与图4所示理论计算结果相符。

图  11  平行于应力方向传播的Rayleigh波

Figure  11.  Time domain waveforms of Rayleigh wave propagating in direction 1

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3.3   声弹性系数分析

首先提取零应力状态下纵波的到达时间，根据波程计算出纵波的初始速度；然后根据上述方法确定横波和R波的互相关计算窗口，进一步采用互相关法求得各应力水平下所得信号与零应力状态所得信号的声时差。信号的声时差与波速变化量之间存在如下关系：

式中：L代表波程；${t_0}$和t分别为零应力状态和应力状态下波的到达时间；${V_0}$和V分别为零应力状态和应力状态下波的传播速度。

根据式(26)可进一步求出应力作用下混凝土中传播的各波形的波速相对变化量，计算结果如图12所示。其中，图中所示的声弹性系数A_2i应是A₂₁和A₂₃叠加的结果，由于试验条件限制，本试验中同一方向上的所有纵波和横波均由同一个压电换能器感知，纵波和横波因其在波速上的差异可以被区分，而同一方向，不同振动模式的横波由于具有相同的传播速度而无法根据波速对其进行分离，本试验中的横波TW21和TW23就属于该范畴，故在图12中将其统一写为TW2，并用A_2i来表示其声弹系数。

图  12  不同模式超声波波速与应力之间的关系

Figure  12.  Relationship between wave speed and stress from experimental

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由图12可知，单轴压缩荷载作用下，混凝土中不同振动模式超声波的声弹性系数之间存在如下关系：${A_{11}} > {A_{{\rm{R}}1}} > {A_{12}} > {A_{2i}} > {A_{22}}$，表明LW11和RW1对混凝土应力变化的敏感度最高，其次是TW12，而TW2和LW22对结构应力变化的敏感度则相对较低，这也与上述理论分析结果基本一致。其中，RW1对应力的敏感度高于TW12而低于LW11，这也印证了本文1.3节中关于“${A_{{\rm{R}}1}}$可由${A_{11}}$和${A_{12}}$以一定的比例叠加得到”的猜想，关于这一问题，后续应进行更加细致和更具针对性的研究。

从波形对应力的敏感度来看，理论与试验结果均表明：平行于应力方向传播的纵波(LW11)为超声法检测混凝土结构应力的首选波形。然而，在实际工程结构中，沿应力方向和垂直于应力方向传播的体波往往难以直接获取，大多需要在结构建造阶段就采取预埋等手段提前安装传感器，而沿结构表面传播的R波则相对更容易获得，且获取成本较低。因此，考虑到工程应用的可行性，建议采用后者作为混凝土结构应力状态检测的首选波形。

本文试验得到的混凝土声弹性系数与图4的计算结果有一定差距，这是因为混凝土材料本身具有强散射特性，加之材料强度、配合比、粗骨料粒径及养护环境等的不同均可能引起材料非线性特性的变化，从而造成不同试验所得材料非线性参数的差异。本文图4的结果虽然是由理论计算得出，但计算过程中的二阶、三阶弹性常数仍是基于文献[26]的试验结果，因此图4和图12的结果并不能直接对比。但由上述分析可知二者所得结果的基本趋势是一致的！此外，本文试验没有测量RW2的声弹性系数，由于试验所采用的混凝土柱试件的横向尺寸较小，若在试件表面布置横向传感器，会导致传感器间距过小，超声波传播波程过短，这会使得应力引起的R波的微小变化更难被识别到，且传感器距离试件的横向端面太近也会引起较强的边界反射，使得所采集的波形失真。

4   结论

本文通过理论与试验结合的方式研究了不同振动模式超声波对混凝土结构应力变化的敏感性，结论如下：

(1) 在利用超声法检测混凝土应力状态时，观察到偏振方向与应力方向平行的纵波(LW11)对结构应力变化的响应最为敏感性，其次是沿应力方向传播的R波(RW1)和偏振方向与应力方向平行的横波(TW12)，传播方向与应力方向垂直的纵波(LW22)及传播方向和偏振方向均与应力方向垂直的横波(TW23)对应力的敏感性最差。

(2) 试验研究结果表明，RW1与LW11的声弹性系数较为接近，均对混凝土结构应力变化表现出较好的敏感性，因此，综合考虑检测成本、便捷性以及波形敏感性等因素，采用超声法检测混凝土结构应力时，沿应力方向传播的R波(RW1)可作为首选波形。

(3) 针对R波波速与结构应力之间的复杂非线性关系，本文根据R波所含横波分量占比对R波的声弹性方程作了线性近似，提出沿应力方向传播的R波声弹性系数${A_{\rm R1}}$可由${A_{11}}$和${A_{12}}$以一定比例叠加得到的假设，并获得试验验证。研究结果对基于超声的混凝土应力检测技术的发展和应用具有一定的参考价值。