折纸作为一种古老的东方艺术，近几十年来因其良好的可折叠性和丰富的应用多样性而备受关注。常见的折纸结构包括：三浦折纸Miura-ori，水弹折纸waterbomb，吉村折纸Yoshimura，对角折纸Kresling等。以上折纸结构在航空航天工程^[1]，医疗器械^[2]，土木工程^[3]，声学领域^[4-5]以及机器人领域^[6–9]等方面都有广泛的应用。

可折叠管状结构因其优秀的可重构能力、轻量以及低成本等特点在工程领域引起广泛的关注，主要用于隔振^[10]，能量吸收^[11-12]，可展开气缸^[13-14]，机器人^[15-16]等方面。可折叠管状结构经典的折纸图案之一是Kresling模型，该模型由圆柱体薄壳受到扭转载荷演变而来^[17]；研究人员基于有限质点法^[18]、桁架等效模型^[19]、几何分析^[20]等方法研究Kresling折纸结构的丰富机械性能和展开动力学^[21]。而另一种可折叠管状结构Yoshimura模型是源于圆柱体薄壳受到轴向载荷时的屈曲行为^[22]。SUH等^[23]提出一种折叠Yoshimura圆柱体的新方法，和传统折叠方法相比，所提出的折叠方法在所需的力和应力方面更有效地折叠Yoshimura圆柱体；ZHANG等^[24]基于Yoshimura结构设计一种蠕动机器人，并根据该结构的轴向伸缩及弯曲运动建立机器人的运动模型。

三浦折叠是折叠结构运用最为广泛的结构之一，而由三浦折叠演变而来的管状三浦折叠(Tubular Miura Origami, TMO)结构也越来越受到研究人员的关注。SCHENK等^[1]首次提出通过改进三浦折叠折痕分布图，将平面三浦堆叠改变为曲面堆叠，并通过将TMO建模为铰接板的机制，将简单的几何不相容性作为展开过程中材料应变的度量，并研究其折展特性；蔡建国等^[25]用折痕的长度变化表示TMO结构在折叠过程中发生的面内变形，分析该结构的几何模型及力学行为；REID等^[26]通过空间几何分析，得到Miura-ori和三角形镶嵌所有可能的圆柱刚性面状态的解析解。TMO存在两种典型的变形模式：轴向变形模式和弯曲变形模式；但上述理论分析都是建立在轴向变形模式的基础上，并没有对弯曲变形模式进行分析。

本文提出“等效变形理论”分析TMO结构在轴向以及弯曲模式下发生的面内小变形，首先从几何的角度定义其结构：利用折痕的向量表达形式以及旋转矩阵理论定义TMO的几何结构；其次，利用“等效变形理论”研究其双变形模式：通过将折纸面的小变形等效为角度α的变化，研究其在轴向变形模式时角度α及高度H随折叠角γ的变化规律及几何参数β对轴向变形模式的影响，并分析轴向变形模式与弯曲变形模式之间的联系，进而研究弯曲变形模式；然后采用数值分析验证上述理论的正确性；最后，通过实验分析其力学性能，从而保证数值分析的准确性。结果表明：当折叠角γ∈[25°, 65°]时，本文所提出的方法简单正确地描述了TMO结构的双变形模式，且数值仿真与实验分析的结果证明其可靠性，为实际工程应用奠定理论基础。

1   TMO结构几何及变形模式理论

1.1   TMO结构几何

1.1.1   三浦折叠几何结构

Miura-ori 折叠，也被称为三浦折叠，是由一个最小单元重复镶嵌排列形成的刚性折叠结构，如图1(a)所示，其折痕分布图如图1(b)所示，其中实线为山折痕，虚线为谷折痕，a、b为组成最小单元的平行四边形相邻两边的边长，α为a、b两边的夹角。

图  1  三浦折叠及其基本折痕图

Figure  1.  Miura-ori and the creases patterns

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1.1.2   TMO结构几何设计

改变三浦折叠的基本折痕图，如图2(a)所示，绕中点旋转红线，导致位于最小单元中心的α角变为β角，从而形成具有弯曲轮廓的三浦折纸^[27]。此时折叠单元方向发生变化，使得三浦折叠从平面堆叠转换到曲面堆叠；当满足一定的几何条件可形成本文所研究的TMO结构，其结构如图2(b)~图2(d)所示，由于其重复堆叠的特点，只需分析其最小单元即可。图2(d)为最小单元，其中$l_{0} \sim l_{4}$分别表示AE、BE、AD、EF以及$A E^{\prime}$的边长；h为平行四边形ABCD的高。

图  2  TMO的演变过程及结构

Figure  2.  The improvement process and structure of TMO

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在三角形EGF中：

由正弦定理：

TMO的一层是由n个最小单元圆周阵列而来，每层可分为顶面、中面、底面三个面，如图3(a)所示，其中$\boldsymbol{L}_{0} \sim \boldsymbol{L}_{4}$的大小与图2(d)中$l_{0} \sim l_{4}$一一对应。由于上下关于中面对称，故只需分析其中任意半层，并使$\boldsymbol{L}_{0}$的方向与x轴正向一致，$\boldsymbol{L}_{0}$与$\boldsymbol{L}_{2}$形成的平面与oxy平面的夹角为γ(其中2γ为一层结构的张角)，并将其视为折叠角。为分析其在封闭圆管状态下的几何形状，选取初始状态(γ=0°)和一个中间折叠状态(γ=45°)进行分析。

图  3  TMO在初始状态及中间状态时的几何结构

Figure  3.  The geometric structure of TMO in initial state and intermediate state

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初始状态的折叠结构如图3(b)所示，其中$\xi$为结构外接正n边形的内角：

故初始状态下α与β的关系为：

在确定平行四边形ABCD的几何形状的情况下(即已知a、b、α)，由式(2)、式(5)可知l₀和角度β，进而可确定初始状态下TMO的几何结构。

为确定中间状态几何结构，根据旋转矩阵理论：

式中：${\theta _1}$为${\boldsymbol L_0}$与${\boldsymbol L_4}$的夹角；${\theta _2}$为${\boldsymbol L_0}$与${\boldsymbol L_1}$的夹角，二者的关系如下：

式(6)~式(9)可简化为：

由式 (11)、式(12) 得：

将式(10)代入式(13)，可得：

综上研究，本节从几何的角度利用折痕的向量表达形式及旋转矩阵分别设计TMO初始状态和中间状态的几何结构，为后续的变形模式分析奠定基础。

1.2   TMO结构变形模式分析

从文献[28]得知：TMO是非刚性可折叠结构；文献[26]中描述到：该结构不同的折叠角对应有刚性状态的解析解。在非刚性可折叠状态下，假设TMO从折叠角0°~90°中任意一个状态的几何结构都可以由上述刚性状态的解析解设计。进一步分析发现以不同折叠角所设计出的几何结构差异非常小，考虑将上述差异视为折叠过程中产生的变形。因此可以任意找出两种特殊的刚性状态解析解对比，分析TMO结构的变形模式。

1.2.1   轴向变形模式

在轴向变形模式中，若释放顶面、底面相邻两单元顶点之间的约束，并将其限制在同一平面内，则TMO由非刚性可折叠结构变为刚性可折叠结构。在刚性可折叠结构中，以初始状态的几何参数设计其结构，随着结构的展开，出现如图4(a)所示阴影部分的间隙δ。该间隙随着结构的展开而增大，通过对比两种结构可发现：每个最小单元的长边伸长，短边缩短。假设该现象为TMO结构轴向模式中的变形，且长边的伸长量等于短边的缩短量，则二者总长不发生变化。

在上述假设条件下，TMO结构的最小单元折痕分布图如图4(b)所示。对比发现折展过程中，α随着结构的展开而缓慢增大，此时TMO结构运动过程中的变形情况即可简化为角度α的变化。角度α通过式(13)、式(14)得到：

结构的高度H为：

其折展比λ为：

式中：H_max为最大高度；H_min为最小高度。

图  4  TMO结构在轴向变形模式中的等效变形理论

Figure  4.  The equivalent deformation theory in the Axial deformation mode of TMO

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根据式(15)可得到β取不同值时α随γ的变化曲线，如图5所示。根据假设结果，曲线斜率的绝对值代表运动过程中的变形程度；在实际运动中，折叠角不能达到0°或90°，所以本文只研究折叠角γ∈[20°，70°]。由图5可知，当β=40°时，折叠与展开变形比较小，且二者变形量基本一致；当β>40°折叠变形较大；而当β<40°时，展开变形较大。

图  5  当β取不同值时，角α与折叠角γ的关系曲线

Figure  5.  The relationship curve between angle α and folding angle γ, when β takes different values

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1.2.2   弯曲变形模式

TMO的另一种典型的变形模式为弯曲变形模式。在进行弯曲变形模式分析中进行下列假设：顶面、中面和底面各顶点在运动过程中始终处于同一平面内；在周向布置的n个最小单元中，将每一个最小单元折叠角的中间值视为其等效折叠角；右侧拉伸与左侧压缩的变形规律与轴向变形模式一致(即验证轴向与弯曲变形模式中角α与折叠角γ的关系以及高度H与折叠角γ的关系是否一致)。

根据上述假设将弯曲变形模式简化为中面保持不动，顶面及底面以同一径向为转动轴转动相反的角度，如图6所示过程，弯曲后结构中存在几何关系：

式中：φ为一层结构弯曲的角度；H_n为左侧压缩后最小高度；H_m为右侧拉伸后最大高度；d为管状结构最外层直径，可从实际结构测量得到。

图  6  TMO结构弯曲变形模式简化过程

Figure  6.  Simplified process of bending deformation mode of TMO

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若假设成立，则由轴向变形模式理论可得：

式中，γ_m和γ_n分别为高度为H_m和H_n所对应的三浦单元的折叠角。

由图6可知，以中面最左侧为坐标原点建立直角坐标系可得如下关系：

根据式(16)可得：

式中：H₀为TMO弯曲前的高度；γ₀为高度H₀所对应的三浦单元的折叠角；x为中面任意一点的在水平方向的相对位置。

由式(21)可知，若已知中面任意一点的在水平方向的相对位置x及该位置对应的折叠角γ，即可得到TMO的弯曲角度φ。

2   TMO结构变形模式仿真分析

2.1   建立有限元模型

为验证上述运动模式分析的正确性，在ANSYS Workbench 2021R1软件中建立TMO的有限元模型，如图7所示。首先在SolidWorks中建立无厚度的壳模型，其结构参数如表1所示，表中N表示沿Z轴的层数；其次，导入Workbench中，设置壳厚度为0.1 mm，并采用三角形面网格剖分，单元尺寸为1 mm，材料设置为聚对苯二甲酸乙二醇酯(polyethylene terephthalate, PET)，其材料参数如表1所示；最后，分别对其进行轴向、弯曲变形模式分析。

图  7  TMO结构的有限元模型

Figure  7.  Finite element model of TMO

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表  1  TMO的结构参数及材料参数

Table  1.  Structural and material parameters of TMO

结构参数	层数 N	周向最小 单元个数n	折叠角 γ/(°)	角度β/(°)	高度h/mm
	7	6	45	30/35/40/45	12.12
PET材料参数	泊松比ν			密度ρ/(kg/m3)	弹性模量E/GPa
	0.3887			1339	2.89

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2.2   轴向及弯曲变形模式分析

对图7中有限元模型进行轴向及弯曲变形模式分析，其中轴向变形模式施加的边界条件为：左右两端面为刚性；左右两端面分别施加沿Z轴、方向相反的位移，并约束两端面其余的平动及转动自由度。弯曲变形模式施加的边界条件为：建立局部坐标系，以两端面中心点为原点，轴向方向为Z轴，外径最大的一处径向方向为Y轴。以X轴为旋转轴，两端面分别旋转相反的角度，并限制两端面的其余平动及转动自由度。得到其变形云图及等效应力分布图，如图8所示。

图  8  轴向、弯曲模式变形云图及等效应力分布图

Figure  8.  Deformation cloud and equivalent stress distribution diagram of axial and bending modes

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由变形云图可知，整体结构展开幅度较小、折叠幅度较大，且当过分展开时，结构变形趋向于圆柱；弯曲变形呈拱形。由等效应力分布图可知，应力主要分布在折痕处，且最大应力主要分布在顶点处。通过测量变形过程中的节点坐标，计算结构中间一层在变形过程中的角度α、高度H以及折叠角γ，并分别得到角α及高度H与折叠角γ的关系；在轴向模式中，将数值分析的结果与理论分析对比，并计算二者之间的相对误差；在弯曲模式中，将弯曲模式与轴向模式对比，从而验证弯曲变形模式中的假设，结果如图9所示。

图  9  变形模式分析结果

Figure  9.  Analysis results of deformation mode

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由图9(a)可知：折叠角γ越远离45°，数值分析与理论计算的差异越大；当β=30°/35°时，展开运动的该误差偏大；当β=45°时，折叠运动的该误差偏大；当β=40°时，展开和折叠运动的该误差基本一致。由相对误差图可知，当γ∈[25°, 65°]时，相对误差绝对值小于10%，表2为轴向变形模式中数值分析与理论分析相对误差分析；由图9及表2可知，数值分析与仿真分析的误差基本都在10%以内，且当β=30°时，该误差最大。

表  2  轴向变形模式中数值分析与理论分析相对误差

Table  2.  Relative error between numerical analysis and theoretical analysis in axial mode

角度β/(°)	最大误差/(%)	对应折叠角γ/(°)	平均误差/(%)
30	11.6310	67.07	2.7340
35	9.5859	69.18	1.8527
40	2.5276	62.08	0.8774
45	3.2315	63.41	0.9994
注：最大误差取相对误差绝对值的最大值；平均误差取相对误差绝对值的平均值。

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由图9(b)可知：轴向模式中，数值分析与理论分析高度H与折叠角γ的关系基本一致。由图9(c)可知：弯曲模式与轴向模式角度α、高度H与折叠角γ的关系基本一致，角度α的相对误差基本在0%附近，而高度H的相对误差也在2%以内，说明弯曲模式与轴向模式有相同的面内小变形机制，可知弯曲模式中的假设正确。

综合上述分析，轴向模式中理论计算与仿真分析产生误差的原因如下：仿真分析中结构是以γ=45°为初始折叠角展开/折叠，结构的几何参数是按照理论计算设计的，故曲线交点在折叠角γ=45°；在轴向模式中，将TMO结构的面内小变形等效为角度α的变化存在一定的误差，该误差会随着展开/折叠的程度而累积，故折叠角γ越远离45°仿真与理论误差越大。折叠面在发生小变形时仍然是平面，而在实际运动及仿真过程中，过分展开/折叠后面内产生弯曲变形，此时折叠面变为曲面，假设不再成立。

为使得误差在可接受范围内，取绝对误差在10%以内。由以上分析可知，折叠角γ∈[25°, 65°]时，所提出的理论分析正确，相应的高度范围：H∈[5.122 12 mm, 10.9845 mm]，由式(22)可知，折展比λ=2.1445。而此范围是以折叠角为45°设计TMO的初始结构时所得，若实际工程中需要在其他折叠角范围内应用，初始折叠角设计为该范围的中心点即可。

3   实验分析

为验证上述仿真分析的正确性，首先用PET材料制作样机，取β=40°，层数5层(在仿真分析中， TMO结构最外侧两端并未发生理想的变形，为使实验与仿真更加匹配，N=5)，其余参数与仿真结构参数一致。然后，采用3D打印技术制作轴向及弯曲试验所需的夹持装置。最后，使用图10(a)中电子万能试验机(岛津AG-X系列)对样件进行轴向及弯曲变形模式实验。

图  10  轴向和弯曲变形模式力学性能实验

Figure  10.  Mechanical properties experiments of axial and bending deformation modes

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轴向变形试验步骤如图10(b)所示：测量得到TMO结构初始高度为85 mm；将其折叠至35 mm，恢复高度后再将其展开至115 mm。弯曲变形模式试验步骤如图10(c)所示：通过减小两顶点的距离来模拟其弯曲运动，并采用不可拉伸的绳索。实验结果取三次相同实验的平均值，得到实验过程中力-位移曲线；根据仿真结果，分别得到轴向及弯曲变形模式的力-位移曲线，实验与仿真的力-位移结果对比如图11所示。

由图11可知：折叠所需要的力小于展开所需要的力，说明TMO结构更容易折叠；且随着结构位移的逐渐增大，曲线斜率也在逐渐增大，说明刚度随着结构的展开而逐渐增大。在轴向模式中，当TMO过分展开时，数值分析与实验分析相对误差较大，最大为15.5345%；当TMO过分折叠时，该误差较小，最大为−9.8449%；在弯曲模式中，数值分析与实验分析相对误差最大为−4.1081%；以上分析说明轴向及弯曲模式实验与仿真之间一致性良好。

图  11  实验与仿真的力-位移曲线及二者之间的相对误差

Figure  11.  Force-displacement curves and relative error between experiment and simulation

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4   结论

本文从TMO的几何设计出发，利用理论分析和数值仿真、实验分析相结合的方法对TMO的两种变形模式进行研究，主要结论如下：

(1)本文以经典三浦折纸为启发，设计TMO的几何结构，得到其折痕分布图及完全折叠状态、中间状态的几何结构，为后续的变形模式分析奠定基础。

(2)本文提出“等效变形理论”研究了TMO的双变形模式，并通过数值分析及实验验证了该理论的正确性；数值分析结果表明：轴向模式中，数值分析与理论分析一致性良好，而弯曲模式理论可以由轴向模式理论得到；实验分析结果表明：数值分析与实验分析一致性良好。该方法有效地简化了TMO结构双变形模式的分析。

(3)本文该样机具有折展比大(2.1445)，便于控制且控制力小，变刚度等特点，可作为折纸超材料及折纸机器人的备选方案。