STABILITY ANALYSIS OF POINT-SUPPORTED MONOLITHIC GLASS PLATES DURING ANTICLASTIC COLD BENDING
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摘要:
反双曲玻璃面板是自由曲面玻璃幕墙的重要组成部分，可通过反双曲冷弯的方式实现，在面板冷弯成形过程中，稳定问题常先于强度问题发生。该文分析了点支单层玻璃面板的冷弯成形过程，明确了冷弯成形过程的失稳模式为分支点失稳和冷弯畸变；建立了可有效模拟冷弯成形的有限元模型，系统分析了点支承条件、重力下的初始形状和加载方向、初始缺陷、玻璃钢化、几何尺寸对单层玻璃面板反双曲冷弯稳定性的影响，进一步探讨了冷弯成形过程中的稳定问题；拟合得到不同尺寸玻璃面板的冷弯失稳荷载及角点位移公式。该文为冷弯实现反双曲玻璃面板奠定了基础。
Abstract:Anticlastic glass plate is an important part of free-form glass facade, which can be realized by cold bending. In the cold bending process of glass plates, stability problems often occur before strength problems. This study first summarizes the instability phenomena that occurs during cold bending and defines the instability modes as bifurcation instability and cold bending distortion. To systematically study the stability of point-supported monolithic glass plates during anticlastic cold bending, finite element (FE) models are established to simulate the cold forming process and analyze the effects of various factors including supporting conditions, initial shape under gravity, loading directions, glass tempering, initial defects and geometric dimensions on point-supported monolithic glass plates. This research provides load and corner displacement formulas to describe the influence of geometric dimensions on stability. This study lays a foundation for realizing anticlastic glass plates through cold bending.
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自由曲面具有丰富的建筑表现力，将玻璃应用于自由曲面表皮可以实现轻质透明的建筑效果[1](图1)。实际工程常用平面镶嵌的方法实现自由曲面玻璃幕墙，但大曲率曲面常需划分较多网格，且存在曲率拟合误差、光学畸变等问题，影响建筑通透性。曲面玻璃能实现更好的平滑性和透光度，当前曲面玻璃的成形包括热弯和冷弯两种方式[2]。由于自由曲面中每个单元的曲率各不相同，热弯方式需要为每种曲率形式配置相应的模板，成本较高且运输不便。冷弯方式[3-5]通过在面板角点施加面外荷载，形成曲面板(图2)，可以在现场完成，灵活性高且造价合理。
冷弯过程中失稳破坏常先于强度破坏，需要考虑冷弯稳定性。当前对反双曲冷弯稳定性的研究主要包括：失稳现象的描述、失稳条件的判断以及失稳影响因素分析。STAAKS[6]和VAN等[7]发现冷弯成形过程中玻璃面板的变形集中在1条对角线，产生了对称和不对称两种构型。此后，大部分学者以出现不对称构型作为判断冷弯失稳的依据，用试验和数值方法探究各因素的影响。研究发现：玻璃面板尺寸会改变冷弯不对称构型产生的时间，且冷弯失稳角点位移和玻璃板厚度间满足线性关系[8-13]；不同支承约束会改变冷弯失稳的发生时间和失稳构型，且点支承与边支承相比有更强的变形能力和稳定性[8-9, 13-14]；面板水平放置时，重力作为面外的均布荷载不可忽略[8, 11-13]；初始缺陷使板的稳定性变差[13]； DATSIOU[11-12]则将出现2种不对称构型称为变形模式改变，从而将冷弯失稳分为变形模式改变、整体跳跃失稳和局部冷弯畸变3种，并尝试建立冷弯失效控制条件。GALUPPI等[15]用简化的非线性理论描述点支玻璃面板的冷弯成形过程，提出了双向柱面弯曲叠加模型。
综上，冷弯成形过程中可能存在变形模式改变、整体跳跃、光学畸变的问题。已有研究探讨了影响冷弯稳定性的影响因素，但尚未明确有效的冷弯成形控制条件，缺少对失稳模式的界定、失稳影响因素的系统性研究和玻璃面板冷弯失稳的预测公式。
为系统研究点支单层玻璃面板反双曲冷弯的稳定性，本文总结了反双曲冷弯成形过程存在的稳定问题，探索了冷弯的失稳模式，通过有限元分析系统研究了支承条件、初始形状和加载方向、初始缺陷、玻璃钢化、几何尺寸对点支单层玻璃面板冷弯稳定性的影响，明确了点支单层玻璃面板在成形过程中的失稳判断准则，并通过参数分析拟合得到了给定几何尺寸下单层玻璃面板发生失稳时的冷弯荷载及冷弯角点位移计算公式。
1 反双曲冷弯稳定性
1.1 冷弯成形过程
冷弯成形过程中，加载点所在的对角线称为加载轴，支承点所在的对角线称为支承轴。加载点施加的荷载称为冷弯荷载P，加载点的位移称为冷弯角点位移δz，板中心点的挠度记为δ(图2)。
无初始形状的平面板(图3(a))在冷弯成形加载前期，板中心点挠度随冷弯角点位移线性变化，加载轴和支承轴弯曲方向相反，形成马鞍面(图3(c))，此时为理想冷弯。若玻璃板在重力作用下产生初始形状，且对角线上的初始弯曲方向与冷弯成形后的目标弯曲方向相反(图3(b))，在冷弯成形加载过程中，两对角线的弯曲会反向(图3(c))。
在冷弯后期，板中心挠度变化出现非线性，面外变形集中在加载轴，支承轴变形小(图3(d))，且板中心点挠度可能减小。继续冷弯加载，支承轴中部的弯曲改变方向，板中心区域由负高斯曲率变为正高斯曲率(图3(e))。
1.2 冷弯成形过程分析
在冷弯成形加载过程中，稳定问题通常先于强度问题发生。板在面内荷载下的稳定性研究较多[16-17]，面外荷载下的研究较少。Datsiou等学者研究提出了三种冷弯成形失稳模式[11-12]：两对角线的弯曲方向改变，为整体跳跃(图3(b)、图3(c))；变形在1条对角线集中，为变形模式改变(图3(d))；板中心区域局部曲率改变，为冷弯畸变(图3(e))。
整体跳跃此前常被认为是一种跳跃失稳[11-12]。但从初始形状(图3(b))到冷弯前期(图3(c))，对角线的弯曲方向是逐步改变的，无突变(图4)。该过程中，冷弯荷载(P)-板中心点挠度(δ)曲线平稳，板中心点挠度值随冷弯加载由负变正，表明支承轴弯曲方向改变；弯曲方向改变后在板中心点加扰动力，板中心点挠度随扰动力P0的增加由正变负(图4)，板在外部扰动下始终有稳定的承载能力，因而本文不认为发生了失稳。
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图 4 冷弯荷载及面外扰动力下板中心点挠度Figure 4. The central deflection under cold bending load and disturbance变形模式改变的失稳模式并不明确，有学者认为此失稳是静态平衡的分支[9, 15, 18]导致的，变形模式改变后不宜继续施加冷弯荷载[9-10, 13]。冷弯畸变是一种局部屈曲，会显著影响玻璃的光学质量[11-12, 19]。综上，玻璃板反双曲冷弯成形过程中需要考虑变形模式改变(即分支点失稳)和冷弯畸变2种稳定问题。
1.3 冷弯成形过程的稳定性
1.3.1 分支点失稳
为探究变形模式改变的失稳模式，在板中部施加面外扰动力P0(图5)，观察变形模式改变前后的玻璃面板在扰动力下的响应。
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图 5 变形模式改变前后加扰动示意图Figure 5. Apply disturbance before and after the deformation mode change变形模式改变体现在板中心点挠度变化的非线性，出现非线性的转折点为失稳点(图6(a))。失稳点前，在板中心点施加扰动P0，扰动力随板中心点挠度非线性变化(图6(b))，此时，负高斯曲率的冷弯成形板有稳定的受载能力，不发生失稳。失稳点后，在板中心点施加扰动P0(图6(a))，扰动力随板中心点挠度出现明显的跳跃(图6(b))，此时，冷弯成形板处于非常不稳定的状态，不适于继续冷弯。跳跃失稳的发生验证了冷弯失稳点后存在多条平衡路径，因而变形模式改变本质上是一种分支点失稳。分析发现：由于双曲抛物面不可展，而且玻璃面板弹性变形能力有限，反双曲冷弯成形过程中，板中除弯曲应力外，板中面边缘处受拉，中部沿两对角线方向双向受压(图7)，两向压力值相当，双向受压区域压溃导致了分支点失稳。
1.3.2 冷弯畸变
分支点失稳后，板中面两对角线方向的压力在无外力影响的情况下向支承轴集中(图3(d))，板中部区域在分支点失稳前后始终受压，造成局部区域产生面外挠度，从而支承轴局部弯曲方向改变(图3(e))，发生局部屈曲。冷弯畸变常跟随在分支点失稳之后发生，在考虑初始缺陷和重力时，冷弯畸变可能发生在加载轴，也可能畸变幅值很小。
1.3.3 冷弯稳定性总结
综上，反双曲冷弯成形的失稳模式包括分支点失稳和冷弯畸变。板中心挠度的非线性失稳点即分支点，分支点后存在多条平衡路径，在应用中应避免超过分支点的亚稳定状态；冷弯畸变是局部屈曲，在应用中应予以控制。建立统一的冷弯成形失效控制条件需要同时考虑2种失稳，探究2种失稳的发生条件。
2 有限元模型
2.1 有限元建模
基于ABAQUS建立有限元模型，采用静态通用分析步模拟夹持边界、施加自重，采用静态弧长法捕捉冷弯过程中的失稳；玻璃、钢和硅酮结构胶简化为弹性材料，硅酮结构胶采用高透光高强度的TSSA (Transparent Silicone Structural Adhesive)透明结构硅酮胶，材料参数如表1所示。玻璃和钢材采用C3D20R实体单元，硅酮采用C3D20RH杂交单元；网格尺寸为12.5 mm×12.5 mm，随板尺寸大小调整，支承点处局部加密；沿玻璃厚度方向划分3层单元，硅酮胶划分2层，钢划分4层。
表 1 材性数据Table 1. The property of material材料 弹性模量/ MPa 泊松比 玻璃 70000 0.22 钢 210000 0.30 硅酮胶(TSSA)[13] 141 0.40 不同支承的约束情况如图8和表2所示。夹持约束用2片钢板在玻璃面板角点37.5 mm×37.5 mm范围内夹住玻璃，约束钢板的所有平动和转动自由度，沿钢板法线方向定义硬接触，切线方向定义罚函数，摩擦系数取0.15；销钉约束仅在支承点限制平动自由度，而不限制任意转动自由度；滚轴约束只限制面外位移，不限制面内位移和面内外转动；胶接点支承通过结构胶将钢板连接件和玻璃单元连接，仅约束面外位移，不约束面内位移和面内外转动；钢板连接件与玻璃之间填充1 mm厚透明结构硅酮胶(TSSA)，不考虑脱胶滑移，硅酮和玻璃、硅酮和钢之间通过tie连接(图9)。
表 2 不同支承约束汇总表Table 2. Constraints of different bearing conditions支承条件 机械连接 胶接 夹持 销钉 滚轴 面内平动 约束 约束 不约束 不约束 转动 约束 不约束 不约束 不约束 冷弯成形的加载采用位移控制。夹持边界下冷弯荷载作用在钢板上，销钉和滚轴边界可以直接加载在玻璃角点，胶接边界在钢板连接件的面外建立1个参考点，参考点与钢板耦合，加载在参考点上，玻璃水平放置时有限元施加重力以模拟真实情况。
2.2 模型验证
DATSIOU[11]将玻璃面板水平放置，用钢板在面板角点处小范围夹持玻璃，钢板固定到支座上(图10)，通过支座提供支承约束，夹持约束下冷弯成形过程中的挠度和应力如图11所示。
BENJAMIN[13]将玻璃面板竖向放置，玻璃通过透明硅酮结构胶(TSSA)粘接到铰接钢节点上(图12)，测得胶接点支承约束下的冷弯挠度和应变(图13)。
2类点支承条件下，有限元的应力-应变和挠度变化，在整个冷弯成形过程中均与试验的结果[11, 13]拟合较好，验证了有限元建模的有效性。
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图 11 夹持支承条件下的冷弯挠度和应力Figure 11. Deflection and stress of cold bending under clamp constraints![]()
图 13 胶接支承条件下的冷弯挠度和应变Figure 13. Deflection and strain of cold bending under glue joint bearing condition3 冷弯稳定性影响因素分析
3.1 主要影响因素
采用验证后的有限元模型，选取无初始变形的滚轴点支承玻璃板1000 mm×1000 mm×5 mm为参照，通过参数分析研究支承条件、初始形状和加载方向、初始缺陷、钢化、几何尺寸对玻璃面板反双曲冷弯稳定性的影响(表3)。
表 3 影响因素及其范围汇总Table 3. Influencing factors and the scope影响因素 影响因素范围 支承约束 机械点支承：夹持、销钉、滚轴约束
胶接点支承初始形状和加载方向 初始椭圆抛物面：同向加载、反向加载 初始双曲抛物面：同向加载、反向加载 钢化 有/无钢化 初始缺陷 有/无初始缺陷 几何尺寸 长/宽300 mm~4000 mm，厚度2 mm~12 mm 通常采用机械点支承和胶接点支承的点支承形式，避免采用穿孔支承[20]。其中机械点支承通过机械夹持力在冷弯过程中提供约束，按照对玻璃板的约束程度不同，分为夹持约束、销钉约束和滚轴约束，适用于原位冷弯、或现场冷弯固定后运到指定位置安装。胶结点支承通过结构胶直接将连接件连接到玻璃面板，适用于原位冷弯。
冷弯玻璃面板在成形过程中水平放置时，在重力下会产生椭圆抛物面或双曲抛物面的初始形状。由于初始形状面外不对称，此时冷弯加载方向也会影响冷弯成形过程的稳定性。
考虑大面尺寸300 mm~4000 mm，厚度2 mm~12 mm的玻璃面板，涵盖了冷弯玻璃面板的常见尺寸。此外，玻璃通常钢化处理以提高强度，且玻璃面板中存在难以避免的初始缺陷，需要考虑这些因素对冷弯成形稳定性的影响。
3.2 支承约束的影响
采用验证后的有限元模型，分别模拟夹持、销钉、滚轴和胶接约束下的冷弯过程。板中心点挠度随冷弯荷载的变化曲线出现转折时，板失去对称性，即发生分支点失稳；通过板中部形状变化(图3(e))判断冷弯畸变。
不同支承条件下冷弯荷载-板中心点挠度的关系如图14所示，冷弯过程中均发生分支点失稳。夹持约束下板的变形能力最小，板中心点挠度随冷弯荷载先增加，后保持稳定；销钉约束下面板挠度变化与夹持约束下类似，分支点前板中心点挠度值大于夹持边界；滚轴约束下板的变形能力更强，且板中心点挠度有明显回弹；胶接点支承下板中心点挠度变化与滚轴约束下类似，分支点前的板中心点挠度小于滚轴约束。同时在不同支承约束下均能观察到图3(e)所示的冷弯畸变，冷弯畸变的发生与板的约束条件紧密相关，从滚轴和胶接支承到销钉支承、夹持支承，约束越多玻璃面板自身承担的变形越大，冷弯畸变越明显。
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图 14 不同支承下冷弯P -δ曲线Figure 14. P-δ curve of cold bending under different bearing conditions综上，不同点支承下都存在分支点失稳和冷弯畸变；机械约束越少，冷弯产生的板中心挠度越大，冷弯变形能力越强；同样的约束下，机械支承比胶接支承变形能力更强。
3.3 初始形状和冷弯加载方向的影响
初始形状为平面时，改变加载方向不影响冷弯稳定，当板在重力作用下产生初始形状时，需要考虑不同冷弯加载方向的影响。冷弯成形前将板水平放置，只支承2个对角点，在重力作用下，初始形状为负高斯曲率的双曲抛物面(图15(a))；若支承4个角点，初始形状为正高斯曲率的椭圆抛物面(图15(b))。在2种冷弯初始形状下，分别考虑2个方向的冷弯成形加载。与重力同向的冷弯荷载称为同向加载，与重力反向的冷弯荷载称为反向加载。
同样的初始形状和加载方向在不同支承约束下表现出不同的特性，探究此因素的影响时，还需要考虑不同的支承约束条件。不同冷弯荷载下，观察两对角线的挠度变化，可以观察到冷弯形状变化的过程。夹持边界下初始形状为椭圆抛物面时，初始的支承轴和加载轴弯曲方向相同，加载点承担20 N的支反力，施加与重力同向的冷弯荷载，加载轴改变弯曲方向，随着进一步冷弯加载，变形集中在加载轴，支承轴几乎不再变形，出现分支点失稳，最后，支承轴上板中心区域再次改变弯曲方向，出现冷弯畸变(图16)。销钉边界下初始形状为双曲抛物面时，初始支承轴和加载轴弯曲方向相反，加载点无支反力，施加与重力反向的冷弯荷载，加载轴和支承轴均改变弯曲方向，继而变形集中在加载轴，出现分支点失稳，板中区域冷弯畸变小(图17)。
分析各支承下不同初始形状和加载方向的结果发现：重力下的双曲抛物面和椭圆抛物面在冷弯过程中的差别仅在于初期弯曲方向不同；不同支承下，冷弯加载与重力反向时，支承轴弯曲受重力约束，板中心点挠度达到定值后几乎无回弹(图17)，且重力方向和板中冷弯畸变的弯曲方向相同，冷弯畸变在重力影响下幅值更大；不同支承下冷弯同向加载时，板中心点挠度均有回弹(图16)，冷弯畸变在重力影响下幅值更小，其中在滚轴支承下，冷弯变形集中在支承轴，冷弯畸变发生在加载轴。综上，不同支承约束及加载方向下均会发生分支点失稳，冷弯畸变在分支点失稳后，受重力下加载方向的影响，畸变幅值可能很小，不影响玻璃光学性能，因此在后续的失稳分析中主要考虑分支点失稳。
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图 16 初始为椭圆抛物面，冷弯同向加载支承轴和加载轴挠度变化Figure 16. The deflection of support and load axis with initial ellipse paraboloid shape, loaded in the same direction with gravity![]()
图 17 初始为双曲抛物面，冷弯反向加载支承轴和加载轴挠度变化Figure 17. The deflection of support and load axis with initial hyperbolic paraboloid shape, loaded in the opposite direction with gravity3.4 钢化的影响
全钢化玻璃强度高，且破碎后形成钝角颗粒，更为安全[21]，故冷弯玻璃板多用钢化玻璃，需要探究钢化对冷弯稳定性的影响。有限元模型通过温度场引入77 MPa表面压应力，压应力深度为玻璃厚度的20%，能够较好的模拟全钢化的结果(图18)。钢化玻璃板内的预拉应力大于冷弯产生的中面压应力，故冷弯过程中无中面压应力，但钢化产生的预应力在板厚方向是自平衡的，未影响板的整体稳定性，分析中可以不考虑钢化产生的预应力，此时钢化玻璃与普通浮法玻璃的冷弯失稳类似。板中心点挠度及板中心两单元X向(图9)应力显示，钢化与否对玻璃板的冷弯分支点稳定性影响不大，仅给玻璃板上的应力场叠加了钢化预应力(图18)。
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图 18 考虑钢化的板中心点挠度及应力-角点位移关系Figure 18. The relationship between central deflection or stress and corner displacement considering temper3.5 初始缺陷的影响
玻璃板在制造过程中可能产生缺陷，冷弯玻璃面板受力形式特殊，分别引入一阶和二阶屈曲模态，两阶模态均与玻璃面板分支点失稳后的形状接近，此外，玻璃面板在加工过程中容易产生椭圆抛物面的初始弯曲。取板件边长的0.3%作为初始缺陷幅值[22]，板中心点挠度变化(图19)显示，引入初始缺陷时，分支点失稳提前，初始缺陷使冷弯稳定性变差，改变冷弯成形加载方向，几乎不改变分支点。
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图 19 考虑初始缺陷中心点挠度-角点位移关系Figure 19. The relationship between central deflection and corner displacement with initial defects3.6 几何尺寸的影响
板的几何尺寸不影响冷弯失稳模式，只影响冷弯分支点失稳的荷载和角点位移。这里选择滚轴约束条件下的理想平面板探究几何尺寸的影响。以分支点失稳作为判断反双曲冷弯成形极限的依据，失稳时的冷弯荷载记为Fb，失稳时的冷弯角点位移记为δzb。
取5 mm玻璃面板，固定短边尺寸(B)，随长边尺寸的增加，冷弯失稳时的角点位移先非线性增加，后逐渐稳定，最后趋向于线性关系(图20)；冷弯失稳荷载先非线性减小，后趋于一个稳定值(图21)。对不同短边尺寸，玻璃板表现出一致的变化趋势。
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图 20 冷弯失稳角点位移-板长边尺寸关系Figure 20. The relationship between corner displacement at bifurcation point and the length of plates![]()
图 21 冷弯失稳荷载-板长边尺寸关系Figure 21. The relationship between load at bifurcation point and the length of plates方形板冷弯失稳时的角点位移随尺寸增大非线性增大，与仅改变长边尺寸相比，改变方形板尺寸对冷弯失稳角点位移影响不大(图20)；冷弯失稳时的荷载随方形板尺寸增大非线性减小(图21)。
大面尺寸相同时，板厚(t)越大，冷弯失稳角点位移(δzb)越大，板厚与冷弯失稳时的角点位移始终满足线性关系，且受大面尺寸影响(图22)。
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图 22 冷弯失稳角点位移-板厚度关系Figure 22. The relationship between corner displacement at bifurcation point and the thickness of plates4 冷弯成形控制条件
滚轴支承稳定性更好，由于其不限制面内位移，失稳前冷弯角点位移更大、能够实现更大双曲率。此外，滚轴支座制作简单，可以满足工程需要。因而，对于滚轴支承的平面浮法玻璃面板，不考虑初始形状和初始缺陷的影响，采用仿真手段分析不同尺寸玻璃面板的反双曲冷弯成形过程，并拟合确定冷弯失稳荷载及角点位移值公式，为工程提供依据。
用经过验证的有限元模型，计算宽度为300 mm~2000 mm，长度为300 mm~4000 mm，厚度为2 mm~12 mm的玻璃面板，在冷弯失稳发生时的冷弯荷载和冷弯角点位移值，考虑参数范围基本涵盖工程玻璃面板的需求，具体参数取值汇总于表4。
表 4 拟合公式的参数取值Table 4. Parameter Value for formula fitting板厚t/mm 短边尺寸B/mm 长边尺寸L/mm 5 B=L 1200, 1500, 1800, 2000, 2400, 3000 3, 4, 6, 8, 12 B=L 300, 1000 2 B=L 400, 500, 600, 700, 800, 900, 950 L200 B=L 500, 600, 800, 1500 5 300 300, 400, 500, 600, 800, 900 400 400,500,600,800,1000,1200 500 500, 600, 800, 1000, 1200, 1500 600 600, 800, 1000, 1200, 1500, 1800 800 800, 1000, 1200, 1600, 2000, 2400 1000 1000, 1200, 1500, 1800, 2400, 3000 2000 2500, 3000, 3500, 4000 4.1 冷弯荷载
探究板的几何尺寸对冷弯失稳荷载的影响，需要考虑的变量有6个，包括：冷弯荷载F、板的弹性模量E、泊松比ν、板的长L、宽B和厚度t。其中，泊松比无量纲，其他5个变量有量纲，相关的量纲是N和m。根据П定理[23]，无量纲的导出量有三个。失稳由板中心的压力区域控制，故冷弯失稳荷载应与板的抗弯刚度(Et3)成正比，和板的宽厚比(B/t)以及长宽比(L/B)相关，基于量纲分析，假定无量纲的导出量满足式(1)。
FbBEt3=f(Bt，LB) (1) 无量纲参数之间的关系如图23所示。矩形板的冷弯荷载和尺寸关系满足式(2)，该公式的拟合优度为99.7 %。
FbBEt3=(3.08(BL)2−1.98(BL)+2.94)tB (2) 有限元计算其他厚度矩形玻璃面板的冷弯失稳荷载，将拟合公式计算结果与进一步的有限元结果对比，式(2)对不同几何尺寸玻璃面板的拟合最大误差为5.02 %(表5)。在同样的冷弯成形条件下，冷弯试验得到的冷弯失稳荷载与拟合公式的最大误差为5.34 %。
表 5 公式拟合结果误差Table 5. The error of formula result4.2 冷弯角点位移
分析玻璃面板尺寸对冷弯失稳角点位移的影响，考虑的变量有四个：冷弯角点位移δz、板的长L、宽B和厚度t，且量纲均为m。根据П定理[23]，无量纲的导出量有三个。考虑到缩尺模型具有相似的性质，失稳角点位移应与方形板的宽厚比(B/t)和长宽比(L/B)相关，满足式(3)。
δzbt=f(Bt,LB) (3) 无量纲参数间的关系如图24所示。矩形板的冷弯失稳荷载和尺寸关系满足式(4)，该公式的拟合优度为99.7 %。
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图 24 冷弯失稳角点位移拟合Figure 24. The fitting of cold bending corner displacement at bifurcation pointδzbt=(0.06ln(Bt)+0.44)(LB)2+7.55 (4) 将拟合公式计算结果与进一步的有限元结果对比，式(4)对不同几何尺寸玻璃面板的拟合误差最大为3.89 %(表5)。在同样的冷弯成形条件下，冷弯试验得到的冷弯失稳角点位移与拟合公式的最大误差为10.97 %(表5)。
5 结论
本文总结了点支单层玻璃单元反双曲冷弯成形过程中的稳定问题，通过有限元模拟分析了影响冷弯稳定性的因素和影响规律，得到结论如下：
(1) 冷弯成形过程中可能发生2种失稳，即分支点失稳与冷弯畸变。分支点失稳由板中面沿两对角线方向的压力导致，表现为面外变形在某一对角线集中，失稳后面板在面外扰动下发生不同平衡分支间的跳跃；分支点失稳后，板中心压力沿支承轴集中，产生的局部屈曲为冷弯畸变，表现为支承轴小范围内弯曲反向。
(2) 冷弯成形过程中，分支点失稳先于冷弯畸变，且分支点失稳更易控制，以分支点失稳作为冷弯稳定性的判断指标更为合理。
(3) 板的支承边界、初始形状和加载方向、初始缺陷会影响冷弯失稳，钢化对冷弯稳定性几乎无影响。分析表明，滚轴支承冷弯能力更强；在边界约束较强、重力与加载反向的情况下冷弯畸变较大；带初始缺陷的玻璃板在冷弯成形过程中更易失稳；几何尺寸改变不会影响冷弯的失稳模式，但对失稳时的冷弯荷载和冷弯角点位移影响较大，且厚度影响大于大面尺寸影响。
(4) 基于有限元结果，拟合提出控制冷弯失稳的冷弯荷载和冷弯角点位移计算公式，可用于竖向放置的点支单层玻璃面板反双曲冷弯失稳判断，为冷弯成形过程的控制提供依据。
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图 4 冷弯荷载及面外扰动力下板中心点挠度
Figure 4. The central deflection under cold bending load and disturbance
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图 5 变形模式改变前后加扰动示意图
Figure 5. Apply disturbance before and after the deformation mode change
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图 11 夹持支承条件下的冷弯挠度和应力
Figure 11. Deflection and stress of cold bending under clamp constraints
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图 13 胶接支承条件下的冷弯挠度和应变
Figure 13. Deflection and strain of cold bending under glue joint bearing condition
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图 14 不同支承下冷弯P -δ曲线
Figure 14. P-δ curve of cold bending under different bearing conditions
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图 16 初始为椭圆抛物面，冷弯同向加载支承轴和加载轴挠度变化
Figure 16. The deflection of support and load axis with initial ellipse paraboloid shape, loaded in the same direction with gravity
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图 17 初始为双曲抛物面，冷弯反向加载支承轴和加载轴挠度变化
Figure 17. The deflection of support and load axis with initial hyperbolic paraboloid shape, loaded in the opposite direction with gravity
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图 18 考虑钢化的板中心点挠度及应力-角点位移关系
Figure 18. The relationship between central deflection or stress and corner displacement considering temper
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图 19 考虑初始缺陷中心点挠度-角点位移关系
Figure 19. The relationship between central deflection and corner displacement with initial defects
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图 20 冷弯失稳角点位移-板长边尺寸关系
Figure 20. The relationship between corner displacement at bifurcation point and the length of plates
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图 21 冷弯失稳荷载-板长边尺寸关系
Figure 21. The relationship between load at bifurcation point and the length of plates
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图 22 冷弯失稳角点位移-板厚度关系
Figure 22. The relationship between corner displacement at bifurcation point and the thickness of plates
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图 24 冷弯失稳角点位移拟合
Figure 24. The fitting of cold bending corner displacement at bifurcation point
表 1 材性数据
Table 1 The property of material
材料 弹性模量/ MPa 泊松比 玻璃 70000 0.22 钢 210000 0.30 硅酮胶(TSSA)[13] 141 0.40 
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表 2 不同支承约束汇总表
Table 2 Constraints of different bearing conditions
支承条件 机械连接 胶接 夹持 销钉 滚轴 面内平动 约束 约束 不约束 不约束 转动 约束 不约束 不约束 不约束
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表 3 影响因素及其范围汇总
Table 3 Influencing factors and the scope
影响因素 影响因素范围 支承约束 机械点支承：夹持、销钉、滚轴约束
胶接点支承初始形状和加载方向 初始椭圆抛物面：同向加载、反向加载 初始双曲抛物面：同向加载、反向加载 钢化 有/无钢化 初始缺陷 有/无初始缺陷 几何尺寸 长/宽300 mm~4000 mm，厚度2 mm~12 mm
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表 4 拟合公式的参数取值
Table 4 Parameter Value for formula fitting
板厚t/mm 短边尺寸B/mm 长边尺寸L/mm 5 B=L 1200, 1500, 1800, 2000, 2400, 3000 3, 4, 6, 8, 12 B=L 300, 1000 2 B=L 400, 500, 600, 700, 800, 900, 950 L200 B=L 500, 600, 800, 1500 5 300 300, 400, 500, 600, 800, 900 400 400,500,600,800,1000,1200 500 500, 600, 800, 1000, 1200, 1500 600 600, 800, 1000, 1200, 1500, 1800 800 800, 1000, 1200, 1600, 2000, 2400 1000 1000, 1200, 1500, 1800, 2400, 3000 2000 2500, 3000, 3500, 4000
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