螺栓连接具有安装拆卸方便、价格低廉、结构简单等优点，因此广泛应用于各类结构连接中^[1-3]。然而在动态载荷作用下，尤其是受到横向交变载荷作用时，螺栓连接容易发生螺栓连接松动^[4-5]，极易诱发各种灾难性事故^[6-9]，如图1所示为架空输电线路舞动，引起螺栓松脱导致的输电铁塔破坏事故。为了防止螺栓连接松动，工程中采用了如双螺母、偏心双螺母、楔形螺母等防松方法。其中，双螺母防松方法拥有结构简单、装卸方便等优点，因此得到广泛应用。

图  1  输电铁塔中双螺母防松

Figure  1.  Anti-loosening double nut in transmission tower

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双螺母防松是靠增大摩擦力来实现防松的一种方法。两螺母对顶拧紧后，下螺母会受到上螺母所施加的附加压力，在交变载荷作用时螺纹副上将始终保持有压力和摩擦力作用，因此可以达到防松效果。由此可见，螺纹的接触状态对螺栓松动问题的研究至关重要，在双螺母螺栓连接中，上螺母的拧紧会改变下螺母螺纹副的接触状态，因此有必要对双螺母螺栓的拧紧过程开展研究。

针对螺栓连接的松动问题许多学者进行了研究。杜永强等^[10]对偏心载荷作用下的螺栓连接结构开展松动试验，分析了螺纹接触界面微动运行行为对螺栓松动的影响规律，运用ABAQUS仿真分析了螺纹表面的接触应力和相对滑移。也有学者通过理论的方式对螺栓在横向载荷作用下的临界松动载荷进行研究，为螺栓松动的研究提供理论指导^[11]。杨风利等^[12]对输电铁塔双螺母螺栓的横担展开横向振动试验，分析上、下螺母安装扭矩比例对防松性能的影响规律。江文强等^[13-14]针对输电铁塔上螺栓的连接形式，提出了一种理论方法来计算确定螺栓的松动载荷，并讨论了螺栓连接参数的影响。李海江等^[15]研究了横向载荷作用下预紧力的衰减过程，提出了描述预紧力衰减过程的模型函数，分析了横向载荷作用下螺栓松动的机理。胡阳等^[16]分析了横向交变载荷作用下螺纹接触状态与残余预应力的变化规律，并且研究了载荷的作用位置、幅值、频率对螺栓松动的影响。卫星等^[17]研究了不同横向载荷幅值、初始预紧力、螺距对松动的影响。王开平等^[18]研究了冲击载荷作用下材料松动期内载荷幅值、初始预紧力、螺纹副摩擦系数等螺栓松动的影响。张敏照等^[19]提出基于内积矩阵的卷积自编码器深度学习框架，对螺栓松动状态进行检测。赵思钛等^[20]建立了基于局部螺栓松动的法兰螺栓群受力模型，提出了基于柔度系数影响线的风力机塔架法兰主风向局部螺栓松动检测方法。

目前，学者们对于单螺母螺栓连接的松动问题进行了比较深入的研究，然而对于双螺母螺栓连接问题的研究却相对较少，现有文献大多采用试验或有限元仿真方法，鲜有学者从理论分析的角度对其进行研究。本文将针对双螺母螺栓连接，建立其力学模型，研究螺母拧紧过程中螺栓杆轴力变化及螺纹受力情况，并与有限元分析结果进行对比分析，验证理论模型的正确性，为双螺母螺栓连接松动机理和防松方法的研究奠定基础。

1   理论分析模型

根据应用场合的不同，双螺母的拧紧方法通常有下螺母逆向旋紧法和上螺母顺向旋紧法，其中上螺母顺向旋紧法由于其操作简单快捷，在实际工程中应用更广，因此本文针对上螺母顺向旋紧法研究双螺母的拧紧过程。如图2所示为上螺母顺向旋紧法的拧紧流程。首先按照规定的拧紧扭矩T₁拧紧下螺母，如图2(a)所示。再将下螺母固定，按照规定扭矩T₂拧紧上螺母，如图2(b)所示。

图  2  双螺母螺栓拧紧过程示意图

Figure  2.  Tightening process of double-nuts bolted joint

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1.1   下螺母拧紧过程

首先针对下螺母拧紧过程进行分析，如图3(a)所示为下螺母拧紧过程中螺栓杆及下螺母螺纹变形示意图。

当下螺母拧紧后，假设此时螺栓预紧力为${F_{{\rm{P}}1}}$，${F_{{\rm{P}}1}}$与下螺母拧紧力矩${T_1}$的关系可表示为^[21]：

式中：${d_2}$为螺纹有效直径；$\beta$为螺纹升角；${d_{\rm{w}}}$为支撑面等效直径；$\rho '$为计及螺纹牙半角影响的摩擦角；${\mu _{\rm{w}}}$为承压面摩擦系数。

${d_{\rm{w}}}$可用式(2)计算，B为螺母对边距，D为螺栓孔直径，当使用垫片时D为垫片内径。

螺栓杆轴力沿高度的分布为^[13]：

式中：${A_{\rm{b}}}$、${A_{\rm{n}}}$分别为螺栓与螺母的垂直截面面积；${K_{\rm{b}}}$、${K_{\rm{n}}}$分别为螺栓、螺母螺纹的弹性变形系数；${E_{\rm{b}}}$、${E_{\rm{n}}}$分别为螺栓、螺母的纵向弹性模量；${L_1}$为下螺母高度；$a$为螺纹轴向变形修正系数，本文取1.2。

1.2   上螺母拧紧过程

如图3所示为上螺母拧紧前后螺栓杆及下螺母变形示意图。对比图3(a)和图3(b)可以看出，上螺母拧紧前后，下螺母与螺栓杆螺纹牙的接触状态会发生改变。随着上螺母拧紧力矩的增大，下螺母螺纹牙上表面与螺栓杆螺纹牙下表面的接触力先逐渐减小直至消失。而后随着上螺母拧紧力矩的继续增大，下螺母与螺栓杆之间的相互作用力方向会随之改变，最终下螺母螺纹牙下表面与螺栓杆螺纹牙上表面接触，如图3(b)所示。

图  3  螺栓杆及下螺母螺纹变形

Figure  3.  Thread deformation of bolt rod and lower nut

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上螺母拧紧后，下螺母与螺栓杆的变形协调条件可表示为：

式中：${\varDelta _{\rm{b}}}$、${\varDelta _{\rm{n}}}$分别为仅下螺母拧紧时螺栓杆和螺母的轴向变形量；${\varDelta '_{\rm{b}}}$、${\varDelta '_{\rm{n}}}$分别为拧紧上下螺母后螺栓杆和螺母的轴向变形量；${\varDelta _{\rm{L}}}$为螺栓连接夹持部分螺栓杆的变形量；${\delta _{\rm{b}}}$、${\delta _{\rm{n}}}$分别为仅下螺母拧紧时螺栓杆螺纹牙和螺母螺纹牙的变形量；${\delta '_{\rm{b}}}$、${\delta '_{\rm{n}}}$分别为拧紧上下螺母后螺栓杆螺纹牙和螺母螺纹牙的变形量。

仅下螺母拧紧时螺栓杆和螺母的轴向变形量可以表示为^[22]：

同理，拧紧上下螺母时螺栓杆和螺母的轴向变形量可以表示为：

式中，F₁(x)为双螺母共同作用时，下螺母对应螺栓杆的轴力分布。

${\varDelta _{\rm{L}}}$由式(7)计算：

式中：A为螺栓杆横截面积；L为螺栓杆杆长；F_P为上下螺母拧紧后螺栓杆上的预紧力。

考虑螺纹柔性影响，仅下螺母拧紧时螺栓杆和螺母螺纹牙的变形量可以表示为^[13]：

同理，同时拧紧上下螺母时螺栓杆和螺母螺纹牙的变形量可以表示为：

将式(5)~式(9)代入式(4)中，对等式两边求导可得微分方程：

该微分方程的通解为：

边界条件为：

式中，F_P2为拧紧后在上下螺母交界处(即x=L₁处)螺栓杆的轴力。

根据边界条件求得待定系数：

在拧紧上螺母过程中，其本身的受力与单螺母拧紧过程相同。因此，根据式(3)，容易得到与上螺母对应的螺栓杆轴力沿高度的分布公式为：

式中，L₂为上螺母高度。

根据式(1)，F_P2的计算公式为：

式中，${T_2}$为上螺母拧紧力矩。

综合式(11)和式(14)，可以得到上下螺母同时拧紧后，螺栓杆轴力沿高度的分布：

令x=0，即可得到在上下螺母共同作用下螺栓的轴向预紧力${F_{\rm{P}}}$：

式中：

如图4所示为接触应力计算示意图。螺纹的接触应力是反应螺纹接触状态的重要依据，根据计算得到的螺栓杆轴力沿高度的分布，推导可得螺纹表面接触应力的关系为^[21]：

将式(16)代入式(19)可得到螺纹接触应力。对于双螺母螺栓连接，上螺母拧紧后，下螺母螺纹表面会出现接触应力为零的情况，令S=0即可得到螺栓螺纹与下螺母螺纹接触应力为零时对应的高度：

图  4  接触应力计算示意图

Figure  4.  Schematic diagram of contact stress calculation

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2   有限元模型

本文利用ABAQUS软件针对双螺母螺栓连接拧紧过程进行了有限元模拟，螺栓和螺母的基本参数如表1所示。为了分析不同拧紧力矩对螺栓杆受力状态的影响，本文建立了如表2所示的7种模型，表2中：${T_{\rm{y}}}$为螺栓屈服载荷${F_{\rm{y}}}$所对应的扭矩，这里取${T_{\rm{y}}} = 354\;{\text{N}} \cdot {\text{m}}$；$\eta$为下螺母与上螺母拧紧力矩之比。

表  1  M16螺栓基本结构参数

Table  1.  Basic structural parameters of M16 bolt

参数名称	取值
强度等级	6.8
弹性模量/GPa	206
泊松比	0.3
螺纹公称直径/mm	16
螺距/mm	2
牙型角/(o)	60
夹紧长度/mm	20
螺母高度/mm	14

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表  2  不同拧紧力矩组合

Table  2.  Combination of different tightening torques

模型编号	T1/Ty/(%)	T2/Ty/(%)	η
1	50	0	−
2	50	10	0.2
3	50	25	0.5
4	50	35	0.7
5	50	50	1.0
6	30	30	1.0
7	70	70	1.0
注：T1为下螺母扭矩；T2为上螺母扭矩；Ty为螺栓屈服载荷Fy对应的扭矩；η为下螺母与上螺母拧紧力矩之比。

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如图5所示为本文建立的有限元模型，该模型由上螺母、下螺母、固定板、螺栓4部分。在上螺母与螺栓之间、下螺母与螺栓之间、两螺母之间、下螺母与固定板之间设置接触对。将固定板定义为刚体，约束固定板与螺栓头下表面的位移，通过螺母转角来施加规定扭矩，模拟螺栓的预紧过程。为减少单元数量，对网格进行过渡处理，该模型中所有部件均采用C3D8R单元，共计节点459 573个，单元429 962个。使用STANDARD静力求解器进行求解。如图6所示为螺栓连接网格剖分示意图。

图  5  双螺母螺栓有限元模型

Figure  5.  Finite element model of double-nut bolted joint

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图  6  螺栓连接网格剖分示意图

Figure  6.  Finite element mesh of the bolted joint

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3   结果验证与对比分析

3.1   下螺母拧紧过程

按照表2中所列模型1的拧紧力矩对模型进行加载，沿螺栓高度方向每1 mm创建自由体切面，输出横截面上的螺栓杆轴力。将下螺母拧紧力矩${T_1}$所对应${F_{{\rm{P}}1}}$代入式(3)得到螺栓杆轴力分布的理论结果。将理论结果与仿真结果进行对比如图7所示。

图  7  下螺母拧紧时轴力的仿真与理论对比

Figure  7.  Simulation and theoretical comparison of axial force when the lower nut is tightened

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从图7可以看出，理论方法与有限元法计算得到的轴力分布结果是比较吻合的，平均误差在5%以内，与文献[13]结果相同。当螺栓连接采用单螺母拧紧时，载荷主要由0 mm~6 mm高度范围内的前3圈螺纹承受，在0 mm~6 mm高度范围内轴力下降速度较快，6 mm~14 mm螺纹高度范围内其下降速度放缓。由于螺纹之间的接触力主要由前3圈螺纹提供，在受到横向交变载荷时前3圈螺纹之间的接触容易减弱、消失，进而导致螺栓连接的松动。

3.2   上螺母拧紧过程

根据表2中所列模型5、模型6和模型7参数进行加载，分别提取不同拧紧力矩${T_1}$时，螺栓预紧力${F_{\rm{P}}}$与拧紧力矩${T_2}$的关系曲线，并由式(17)计算相应理论值，两者对比如图8(a)所示。文献[22]对8.8级M10螺栓通过实验研究了上螺母拧紧力矩与螺栓变形量之间的关系，给出了下螺母拧紧力矩为15 N·m时，不同上螺母拧紧力矩作用时对应的螺栓杆应变值。由应变值得到螺栓的预紧力，如表3所示。通过式(16)计算得上螺母拧紧力矩与螺栓预紧力的理论关系曲线，两者对比如图8(b)所示。

从图8(a)可看出，相较于仅下螺母拧紧，以相同拧紧力矩拧紧上螺母后，螺栓杆预紧力分别提高19%、22.7%、17%。理论值与仿真值相比，最大误差为2.5%。由图8(b)可知，理论值与实验值最大误差为4.79%。螺栓轴向预紧力与上螺母拧紧力矩近似呈线形关系，理论值曲线与仿真值、实验值均吻合较好。

为了研究螺栓杆轴力变化情况，根据表2中所列模型2~模型5拧紧力矩对模型进行加载，分别提取4个模型的螺栓杆轴力的仿真结果，并根据式(16)计算得到对应的理论计算结果。仿真结果与理论结果对比如图9所示。

图  8  螺栓预紧力与上螺母拧紧力矩关系曲线

Figure  8.  Relationship of bolt preload and upper nut tightening torque

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表  3  上螺母拧紧力矩与螺栓预紧力关系

Table  3.  Relationship between tightening torque of upper nut and bolt preload

上螺母扭矩T2/(N·m)	5	8	10	15	18
预紧力FP/kN	4.58	4.71	4.92	5.22	5.48

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图  9  螺栓杆轴力仿真与理论结果对比

Figure  9.  Simulation and theoretical comparison of bolt rod axial force

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从图9中可以看出，当$\eta = 0.2$时，此时上螺母拧紧力矩较小，理论和仿真计算得到的螺栓预紧力${F_{\rm{P}}}$变化很小，分别由37 kN增大至38.8 kN、38.4 kN，两螺母交界处的螺栓杆轴力为7.5 kN，仿真和理论计算得到的螺栓杆轴力均随螺纹高度的增加而降低；当$\eta = 0.5$时，随着上螺母拧紧力矩增加，理论和仿真计算得到的螺栓预紧力分别进一步增加到40.2 kN、39.7 kN，上下螺母交界处螺栓杆轴力大幅度增加，从7.5 kN增加到18 kN。下螺母所对应螺栓杆轴力先减小后增加，理论和仿真计算得到最小轴力分别为16.6 kN、17.7 kN，均出现在10 mm~12 mm范围内；当$\eta = 0.7$和$\eta = 1.0$时，仿真、理论曲线的变化规律与$\eta = 0.5$时类似，螺栓预紧力分别进一步增加到41.4 kN、40.9 kN以及43 kN、42.9 kN，上下螺母交界处的螺栓杆轴力分别增加到26.2 kN、38 kN。

从图9中可以看出，整体上理论结果与仿真结果较为吻合，当$\eta \geqslant 0.5$时，在下螺母段螺栓杆的轴力分布会出现先下降后上升的变化规律，这表明在这一区域内下螺母螺纹与螺栓螺纹之间的作用力方向会发生改变，此时误差会显著增大。这是由于在上螺母的拧紧过程中，螺栓不断被拉伸，螺母不断被压缩，因此螺纹牙之间会出现间隙，该间隙随着螺栓、螺母相对变形量的增加而增大，因此当上螺母对螺栓的作用力增大时，螺纹无相互作用的区域会随之增加，使得理论值与仿真值的误差增大。

为了分析螺栓杆螺纹接触状态，本文根据仿真分析结果，提取表2中模型1~模型5与下螺母对应的螺栓杆部位螺栓螺纹的接触状态云图，如图10所示。从图10中可以看出，随着上螺母的拧紧，下螺母段螺栓表面的接触力逐渐减小，当${T_2}$增大至$\eta = 0.5$时，下螺母段靠近两螺母交界处(图10中虚线矩形框范围内)下螺母与螺栓的相互作用力方向改变，出现了下螺母螺纹牙下表面与螺栓螺纹牙上表面接触的现象，而实线矩形框标注范围内的接触状态仍为螺栓螺纹下表面与下螺母螺纹上表面接触。随着${T_2}$继续增大，虚线矩形框范围增大而实线矩形框范围减小，即更多区域的接触力方向改变，并且此时出现了螺母螺纹与螺栓螺纹无相互作用的区域，即图中虚线矩形框和实线矩形框之间的区域。

为了研究下螺母螺纹的接触应力，本文计算了${T_1} = 50\text{%} {T_{\rm{y}}}$时，不同上螺母拧紧力矩${T_2}$时的螺纹应力，如图11所示。图11中接触应力S的正负代表螺纹的接触状态，S为负值时，代表螺栓螺纹下表面与下螺母螺纹上表面接触；S为正值时，代表螺栓螺纹上表面与下螺母螺纹下表面接触。

图  10  螺栓杆螺纹接触状态变化(下螺母)

Figure  10.  Changes in the contact state of the bolt rod thread (lower nut)

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图  11  下螺母螺纹接触应力

Figure  11.  Contact stress of lower nut

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从图11中可以看出，拧紧上螺母会显著减小下螺母螺纹的接触应力，并且越靠近上下螺母交界处，减小幅度越大，甚至会出现反向应力。当上、下螺母拧紧力相同时，在x=0处的接触应力减小14%。随着上螺母拧紧力矩的增大，接触应力曲线的零点左移，代表更多区域接触状态变为螺栓螺纹上表面与下螺母螺纹下表面接触，这一结论与图10一致。

根据式(20)可以计算得到螺栓与下螺母接触应力为零的高度${X_1}$随上、下螺母拧紧力矩${T_2}$、${T_1}$的变化曲线。如图12所示，当下螺母拧紧力矩${T_1}$不变时，随着${T_2}$增大，${X_1}$高度下降。当上螺母拧紧力矩${T_2}$相同时，下螺母拧紧力矩${T_1}$越小，${X_1}$下降速度越快。

图  12  接触应力零点与拧紧力矩关系曲线

Figure  12.  Relationship between contact stress zero point and tightening torque

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3.3   参数影响讨论

3.3.1   不同螺栓规格

为了研究螺栓规格对螺栓杆轴力和螺纹应力的影响，分别对M16、M20、M24螺栓施加相同预紧力，并令上下螺母扭矩比$\eta = 1.0$，通过理论分析给出了螺栓杆轴力、螺纹应力的分布曲线，如图13所示。

图  13  螺栓规格对螺栓杆轴力、接触应力的影响

Figure  13.  Influence of bolt specification on axial force and contact stress of bolt rod

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从图13中可以看出，M16、M20、M24三种规格螺栓，在下螺母处螺栓轴力最小值分别为26.6 kN、28.4 kN、29.5 kN。可见，随着螺栓直径增大，下螺母处螺栓杆轴力的最小值也随之增加。

M16、M20、M24三种规格螺栓，螺纹接触应力变化范围分别为−242.6 MPa~191.1 MPa、−187.8 MPa~142.2 MPa、−152 MPa~112.1 MPa，可见，在施加相同预紧力的情况下，螺栓直径越大，螺纹接触应力变化越平缓。

3.3.2   不同螺母厚度比

为了研究不同上、下螺母厚度比值(下螺母厚度保持不变，改变上螺母厚度)对螺栓杆轴力和接触应力的影响，分别对上、下螺母厚度比h为0.5、1.0、1.5的双螺母螺栓连接，施加相同预紧力，并令上下螺母扭矩比$\eta = 1.0$，经计算得到螺栓杆的轴力、接触应力分布曲线如图14所示。

图  14  螺母厚度比对轴力、接触应力的影响

Figure  14.  The influence of the lower and upper nut thickness ratio on the axial force and contact stress

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从图14中可以看出，由于下螺母厚度保持不变，因此在相同预紧力条件下，上螺母厚度变化不影响下螺母处螺栓杆轴力，仅对上螺母处螺栓杆轴力产生影响，且螺母厚度比越大，轴力变化率越小。相应地，接触应力也随着螺母厚度比的增加，最大接触应力减小，接触应力分布越均匀，越有利于防松。

4   结论

为研究双螺母螺栓拧紧过程中螺栓杆轴力变化和螺纹受力情况，本文建立了双螺母螺栓连接的力学模型，将理论计算结果与实验结果、仿真结果进行了对比分析，研究了不同参数对双螺母螺栓拧紧过程的影响，得出了如下结论：

(1)建立了双螺母螺栓拧紧过程的理论模型，给出了双螺母拧紧过程中，螺母与螺栓杆的变形协调条件，提出了双螺母螺栓连接轴力分布的理论计算方法，通过与实验结果和仿真结果的对比验证了理论计算方法的准确性；

(2)基于建立的双螺母螺栓拧紧过程理论模型，推导了上、下螺母拧紧扭矩与螺栓预紧力关系公式，分析了不同拧紧力矩组合情况下螺栓杆轴力变化规律，结果发现：在下螺母拧紧力矩相同的条件下，螺栓预紧力与上螺母拧紧力矩近似呈线形关系；

(3)推导给出了双螺母螺栓拧紧过程中螺纹接触应力的理论计算方法，分析了不同拧紧力矩组合情况下螺纹接触应力变化规律，结果发现：拧紧上螺母会显著减小下螺母螺纹的接触应力，并且越靠近上下螺母交界处，减小幅度越大，甚至会出现反向应力；

(4)分析了不同螺栓规格和螺母厚度比情况下，螺栓杆轴力和螺纹接触应力的变化规律，结果表明：在施加相同预紧力的情况下，螺栓直径越大，螺纹接触应力变化越平缓，螺母厚度比越大，接触应力分布越均匀，越有利于防松。