RESEARCH ON THE METHOD FOR DIRECTLY GENERATING QUADRILATERAL MESH FROM INDUSTRIAL CT IMAGES
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摘要:
针对具有内腔结构工件任意指定截面或局部的应力-应变分析问题,提出了一种将工业CT图像直接生成四边形网格有限元模型的方法。首先使用四叉树对工业CT图像进行初始网格划分;然后生成边界网格;最后进行网格优化。在生成边界网格过程中,结合二次误差函数与贝塞尔曲线,提出了准确定位网格边界点的方法;在四叉树邻域搜索算法基础上,提出了边界单元连接模板。为了提高边界网格质量,提出了优化模板进行优化。对生成网格进行质量评价,结果表明:网格边长比均小于2,倾斜度均小于0.6,满足实际工程要求。通过对汽车轮毂和阀体CT图像生成的四边形网格进行应力-应变分析,数值仿真结果验证了提出方法的正确性。
Abstract:Aiming at the problem of stress and strain analysis of any given section or local part of the workpiece with an inner cavity structure, proposed is a method for directly generating quadrilateral mesh finite element model from industrial CT image. Firstly, the quadtree is used to generate the initial mesh from the industrial CT image, then the boundary mesh is generated, and finally, the mesh is optimized. In the process of generating the boundary mesh, a method is proposed to accurately locate the boundary points of the mesh by using the quadratic error function and the Bezier curve. Based on the quadtree neighborhood search algorithm, the boundary element connection templates are proposed. Optimization templates are proposed to improve the quality of the boundary mesh. The results of the mesh quality evaluation show that: the aspect ratio is less than 2 and the skewness is less than 0.6, which meet the actual engineering requirements. The quadrilateral mesh generated by CT images of an automobile hub and a valve body is analyzed for stress and strain. The numerical simulation results verify the correctness of the method proposed.
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Keywords:
- stress and strain analysis /
- industrial CT image /
- quadrilateral mesh /
- quadtree /
- mesh optimization
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逆向设计是产品仿制、技术消化、新产品开发的一种重要技术手段。在逆向设计中,带内腔结构工件因内部结构测量困难,其内部应力-应变分析是一个难题。工业计算机断层成像(computed tomography, CT)[1-3]是通过X射线束穿透被测物体进行断层扫描,能够在无损条件下以二维断层图像或三维立体图像的形式,清晰、准确、直观地展示被检测物体内外结构、组成、材质及缺损状况,是逆向设计中获取工件内部结构数据的关键技术[4-5]。在逆向设计中,将工业CT图像转化为二维有限元网格,可实现对工件任意指定截面或局部的应力应变分析,从而对工件的优化设计、质量评估、寿命预测和再制造工序确定提供技术支撑。
目前,国内外学者针对CT图像数据生成有限元网格进行了一些研究。姜海波等[6]将人体股骨CT图像数据导入到Magics中建立几何模型,再导入到ANSYS中划分网格并进行静力学分析。于庆磊等[7]将混凝土的CT图像进行矢量化后导入到CAD软件中生成几何模型,然后导入到ANSYS中划分网格。秦武等[8]基于混凝土CT图像使用MATLAB面绘制方法重构出几何模型,然后导入到ABAQUS中建立有限元模型并进行分析。ANDERSON等[9]使用Mimics建立骶骨CT图像的几何模型,然后导入到Patran中划分网格并进行静力学分析。JIANG等[10]提出了一种使用人体脑动脉瘤CT图像建立有限元模型的方法,通过Autodesk和ANSYS建立脑动脉瘤的四面体有限元模型并进行动力学分析。杨晓等[11]对陶瓷样件的工业CT图像数据进行处理后生成几何模型,然后导入到ANSYS划分网格并进行静力学分析。曹立波等[12]使用Mimics软件获得人体颈椎CT图像的点云数据,然后导入到Geomagic Studio软件中生成几何模型,再使用映射法进行网格划分。上述文献中,基于CT图像生成有限元网格的方法都是间接生成法,都依赖逆向工程商用软件重构CAD模型,再通过前处理软件进行网格划分,存在技术路线长、自动化程度低以及需要一定的软件熟练度等问题。
为了解决上述问题,提高工业CT图像生成有限元网格的自动化程度,本文提出工业CT图像直接生成有限元网格的方法;本文方法不需要逆向工程商用软件重构CAD模型,直接从工业CT图像生成有限元网格。在二维网格单元中,四边形单元相较于三角形单元有更好的求解效率,是二维数值分析中的首选单元。四边形网格的生成方法主要包括映射法[13]、推进波前法[14]、铺砌法[15]、四叉树法[16]和间接生成法等。但这些方法都是基于CAD模型生成四边形网格,基于工业CT图像数据直接生成四边形网格的研究还未发现。
为了实现对具有内腔结构工件任意指定截面或局部的应力应变分析,本文提出基于四叉树的工业CT图像直接生成四边形网格有限元模型的方法。主要研究了四叉树划分工业CT图像生成初始网格,重点研究了边界点的准确定位和边界网格生成;进一步研究了网格优化问题,并进行了网格质量评价和应力-应变分析。
1 初始网格生成
工业CT图像区域分为目标区域和背景区域,目标区域内像素点包含了工件信息。由于工业CT图像在边缘点具有灰度不连续或发生突变,为了方便后续网格划分,根据工业CT图像灰度平均值使用迭代阈值分割方法进行阈值分割。对工业CT图像进行阈值分割处理后,背景区域的像素点灰度值为0,目标区域的像素点灰度值为255。
四叉树法[16-19]的基本思想是将目标区域递归等分成4个相等的子空间,直到满足某种要求后停止划分,适用于复杂的二维区域问题,具有几何适应性强、算法效率高、内部网格质量高等特点。本文使用四叉树对工业CT图像目标区域进行均匀网格划分,每一个四叉树节点对应二维中的一个四边形。网格划分时需要设定四叉树剖分的终止条件,即允许的最小四叉树节点边长Lmin。因工业CT图像是以像素为基本单位,而当划分的四叉树节点边长小于一个像素时,继续剖分则无太大的意义,所以Lmin为单位像素的正整数倍。基于四叉树的工业CT图像初始网格划分具体步骤如下:
步骤1. 初始化一个能够完全包含工业CT图像目标区域的四叉树节点;
步骤2. 判断当前四叉树节点是否包含目标区域内的像素点(灰度值为255),若是则执行步骤3,否则回溯到上一层递归;
步骤3. 判断当前四叉树节点边长是否达到设定值Lmin,若大于Lmin则将当前四叉树节点离散为4个大小相同的子节点,并对四个子节点分别执行步骤2,若小于等于Lmin则回溯到上一层递归。
图1(a)为某铸件工业CT图像,通过上述步骤进行初始网格划分,设Lmin为8个像素,结果如图1(b)所示。
2 边界网格生成
初始网格边界呈现锯齿状,并没有生成平滑连续的边界,所以需要进一步处理生成边界网格。边界网格生成包括2步:① 确定边界点;② 连接边界点生成边界网格。
2.1 边界点确定
因为工业CT图像没有具体的边界曲线用于确定边界上的单元顶点,所以边界点的确定是生成边界网格的第一步。经过四叉树均匀划分之后,边界节点表示该节点对应的四边形内部只有部分像素点的灰度值为255,一共有3类共12种。其中每类的示意图如图2(a)、图2(b)、图2(c)所示,深色区域代表目标区域,其余类型可以通过旋转图2(a)、图2(b)和图2(c)得到。
本文引入最小化二次误差函数(quadratic error function, QEF),借助其求得的最小化值[20]来确定单个边界节点的顶点,QEF函数定义如下:
{\rm QEF}[ x ] = \sum\nolimits_i {{{( {{{\boldsymbol{n}}_i}\cdot( {x - {m_i}} )} )}^2}} \text{} (1) 对于每一个边界节点,式中的 {m_i} 、 {{\boldsymbol{n}}_i} 分别表示CT图像边界与边界节点的交点以及交点位置处的单位法向量,求解方法如图3所示。图3中 B 为边界曲线,点 {m_i} 和 {m_{i - 1}} 为工业CT图像边界与边界节点的交点, {{\boldsymbol{n}}_i} 和 {{\boldsymbol{n}}_{i - 1}} 分别为点 {m_i} 和 {m_{i - 1}} 处法向量,点 p 为曲线 B 上 {m_i} 和 {m_{i - 1}} 两点处切线的交点,即该边界节点的最小化值。
根据图3可知,求得的最小化值点并没有落在边界上,同时还容易出现尖锐突起,降低网格质量。由图2可知,边界节点与工业CT图像边界有且只有两个交点,再结合求出的最小化值点,可以实现单个边界节点的二次Bezier曲线求解。
Bezier曲线[21]是一种常用的参数化曲线,通过控制点的位置来控制曲线的形状,能够在任意点之间根据特定曲线参数方程生成一条光滑曲线,具有良好的拟合特性。因此,本文提出结合最小化值点与二次Bezier曲线求解边界点的方法。
2.1.1 边界点求解
因为工业CT图像没有具体的边界曲线用于求解交点处法向量,所以使用索贝尔算子(Sobel operator)[22]计算图像梯度方向来获得边界点处的法向量。每一个边界节点的边界点求解示意图如图4所示,图4中点 p 为最小化值点,虚线 B 为利用两交点 {m_i} 、 {m_{i - 1}} 与点 p 拟合的二次Bezier曲线,点 k 为边界节点的顶点,直线 L 为点 k 与点 p 连线, q 为所求边界点。边界点的具体求解步骤如下:
步骤1. 使用式(1)求得最小化值点 p ;
步骤2. 利用点 {m_i} , {m_{i - 1}} 与点 p ,求解出曲线 B ;
步骤3. 求得点 k 与点 p 的连线 L ;
步骤4. 联立曲线 B 与直线 L 的表达式,求得交点q。
但是在求解过程中会出现 p 或 q 在范围之外、无解等情况;此时,则取交点 {m_i} 和 {m_{i - 1}} 连线的中点为边界点。若求出的点 p 在被划分区域内,则将其视为边界点。
本文结合最小化二次误差函数与Bezier曲线,能够更好地贴合实际的边界曲线,保持边界的特征。
2.2 边界点连接
边界网格生成的第二步为连接求得的边界点,该过程是在邻域搜索算法的基础上,使用提出的连接模板完成。
2.2.1 编码与查找方向的确定
完成边界网格的生成需借助邻域搜索算法,本文在肖乐斌等[23]提出的四叉树邻域搜索算法基础上,添加方向编码与方向定位后,运用到边界网格生成中。
由于生成的网格大小一致,所以使用四叉树同级邻域搜索算法。为了实现网格划分方向的查找,将四边形单元的方向参数化,从上到下顺时针上、右、下、左方向的编码为0、1、2、3,如图5所示。
查找方向需要综合边界节点类型来确定,所以需要对边界节点类型进行编码。利用边界节点必有一个直角在目标区域内的特点,根据直角的位置不同,边界节点类型在顺时针方向上编码如图6所示,依次为1、2、4、8。边界节点有几个直角在目标区域内,就加上对应的数值。如图2(a)、图2(b)和图2(c)所示的3个边界节点,对应的类型依次编码为8、12、13。
根据上述的边界节点类型编码和节点方向编码,总结了边界节点类型与下一边界节点查找方向的关系,如表1所示。当前边界节点类型为1、3、7时,下一边界节点的查找方向为左3;当前边界节点类型为2、6、14时,下一边界节点的查找方向为上0;当前边界节点类型为4、12、13时,下一边界节点的查找方向为右1;当前边界节点类型为8、9、11时,下一边界节点的查找方向为下2。
表 1 当前边界节点类型与下一边界节点查找方向Table 1. The current boundary node type and the search direction of the next boundary node当前边界节点类型 下一边界节点查找方向 1, 3, 7 左3 2, 6, 14 上0 4, 12, 13 右1 8, 9, 11 下2 2.2.2 边界点连接
边界节点只有图2中的三类情形,且节点与节点之间边与边重合相邻。同时封闭区域的边界一定闭合,所以边界节点一定是边与边重合且闭合成环。结合上述特点,本文提出了如图7所示9类连接模板。
图7(a)~图7(i)中,虚线为工业CT图像边界,点 {m_1} \sim {m_3} 为边界节点与工业CT图像边界的交点,点 {n_1} \sim {n_3} 为目标区域内四边形单元的顶点,点 {q_1} 和 {q_2} 分别为相邻两个边界节点使用第2.1节方法求得的边界点。深色四边形为生成的边界网格。9个示意图为各类模板中的一种,实际共36种,其余可以通过旋转各模板得到。
边界网格生成算法较为复杂,需要结合正在处理的边界节点类型以及上一个已经处理的边界节点类型进行判断,具体处理步骤如下:
步骤1. 判断当前边界节点的类型;
步骤2. 根据当前边界节点类型和上一个已经处理的边界节点类型(参考表1),参照图7中的模板进行处理;
步骤3. 判断是否处理完成,若处理完成,则结束,否则,查找并处理下一个边界节点。
重复步骤1、步骤2和步骤3直到所有边界节点处理结束,具体流程图如图8所示。
2.3 边界网格生成实例
基于上述的节点编码方式,连接模板和算法基础,使用图1(b)中的初始网格进行边界网格生成,结果如图9所示,图9(a)和图9(b)为边界网格的细节图。
从图9中的整体图和细节图可以看出,按照提出的处理方法,边界节点均生成了四边形单元,并且边界完整闭合。
但是从图9(a)和图9(b)中可以看出,生成的四边形网格中存在畸形单元,会降低网格质量并可能导致有限元分析失败。对于这一问题,后续会提出针对性的优化方法。
3 边界网格优化与网格质量评价
3.1 边界单元优化
3.1.1 双边边界单元处理
双边边界单元为有两条边在边界上的四边形单元,主要的产生模板为图7(a)、图7(b)和图7(d)。该类模板容易出现大钝角和大边长比单元,如图10(a)、图11(a)和图12(a)中红色四边形单元所示,具体处理方式如下。
图10(a)处理方法为将从左到右的第一个和第二个四边形融合,将第三个四边形的左上顶点移动到第二个四边形的左上顶点处完成优化,处理结果如图10(b)所示。
图11(a)处理方法为将图中从左到右的第二个四边形单元的右上顶点放于边界与四叉树节点的交点位置,再将第一个和第二个四边形单元进行融合,结果如图11(b)所示。
出现图12(a)情况主要因为四叉树节点与边界的交点到内部单元顶点的距离太小,使得生成的四边形单元边长很小。这种情况可直接使用边界节点与边界的交点,放弃求解得到的边界点,处理后的结果如图12(b)所示。
3.1.2 短边边界单元处理
除了双边边界单元会产生边界单元边长比过大之外,图7中的模板图7(h)和图7(i)也会产生同样的问题,如图13(a)、图14(a)中红色四边形所示。处理这种四边形的衡量标准为:边长比大于3[24]。
图13(a)对应的处理方法与双边边界单元相似,主要通过改变连接方式和使用边界节点与图像边界交点完成网格优化,优化结果如图13(b)所示。
图14(a)通过融合两单元和改变连接方式完成单元的优化,优化结果如图14(b)所示。
若图13处理方式不能满足时,也可使用图14方法对其进行优化处理。以上畸形单元处理方式使用到的点,均为边界与边界节点的交点,或通过提出方法求得的边界点,这样保证了边界点的准确性。上述示例仅是该种情况之一,其余相似情况的处理方法可旋转示意图获得。
3.2 网格生成结果
通过上述方法优化处理后的四边形单元质量依旧不高,为了进一步提高网格质量,再使用几何优化中较为经典的拉普拉斯平滑算法[25]法对网格进行整体优化。
本文算法在Visual Studio 2019环境下利用C++编程语言实现,使用了OpenCV库和OpenGL库,所有的实验结果均是在一台AMD Ryzen 5 3600 6-Core处理器、16 GB内存、NVIDIA GeForce GTX 580显卡的PC机上测试得到。图15(a)为阀体工业CT图,图15(b)为汽车轮毂工业CT图。使用图15(a)和图15(b)进行网格划分与优化处理,{L_{\rm min}}分别设为8像素、4像素,网格生成结果如图16(a)、图16(b)所示。
3.3 网格质量评价
在有限元网格评价指标中,四边形网格单元的评价指标有单元边长比(aspect ratio)、倾斜度(skewness)等[24]。本文使用单元边长比评价网格单元边长均匀程度,使用倾斜度评价网格单元扭曲程度对图16中的网格进行质量评价,结果如表2所示。
表2中的数据是将网格导入到ANSYS中,使用软件自带的网格评价功能所得。从表中可以看出,网格边长比均小于2,倾斜度均小于0.6。同时,各个指标的最差值均在可接受范围之内。证明了优化方法的正确性。
4 应力-应变分析
为了验证提出方法的正确性,将图16(a)和图16(b)的四边形网格导入到ANSYS中进行应力-应变分析。
图16(a)为阀体CT图像生成的网格,设其材质为铸铁,其弹性模量为150 GPa,泊松比为0.27;受到内部向外作用力,作用区域为内部轮廓,固定约束为外部4个螺孔。应力和应变分析结果如图17(a)、图17(b)所示。
图16(b)为汽车轮毂CT图像生成的网格,设其材质为铝合金,其弹性模量为70 GPa,泊松比为0.3;受到圆周向内的作用力,作用区域为外围轮廓,固定约束为内部6个大孔边界线。应力和应变分析结果如图17(c)、图17(d)所示。
上述应力和应变分析能够清晰地反应出仿真条件下的应力和应变分布,仿真没有出现无法收敛或网格报错的情况。应力和应变分析结果验证了本文方法的正确性。
5 结论
本文通过初始网格划分,边界网格生成,网格优化并结合有限元分析,研究了工业CT图像生成四边形有限元网格的方法,得到以下结论:
(1) 本文方法能够从工业CT图像直接生成四边形网格,不需要借助第三方商业软件重构几何模型,方法比较简单。
(2) 结合最小化二次误差函数与贝塞尔曲线,能够准确定位网格边界点,保留边界特征。
(3) 提出的边界单元连接模板与优化模板,可以解决边界网格的生成与优化困难。
(4) 网格质量评价结果表明,网格边长比均小于2、倾斜度均小于0.6,能够满足实际工程要求。
(5) 有限元分析结果能正确反应工件特定截面的应力-应变分布情况,可以验证本文提出方法的正确性。
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表 1 当前边界节点类型与下一边界节点查找方向
Table 1 The current boundary node type and the search direction of the next boundary node
当前边界节点类型 下一边界节点查找方向 1, 3, 7 左3 2, 6, 14 上0 4, 12, 13 右1 8, 9, 11 下2 -
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