混凝土具有明显的复合材料特征，其组成结构是一种多水平、多尺度体系，存在显著的非均质性和随机性。当用于测试宏观力学性能的试件尺寸达到某临界值时即认为其统计均匀，因此可基于连续介质力学基本理论框架，在不考虑材料内部非均质构造影响的情况下通过量测标准试件的宏观力学性能确定材料的各项力学指标，进而采用传统的强度分析方法进行结构构件设计。对于具有强烈非均质性和随机性的混凝土材料，若最大骨料粒径或其他微/细观尺度上的配合比设计参数发生变化，宏观尺度上的各项力学指标亦将发生显著变化。亦即，混凝土材料的宏观力学性能容易受到内部不同组成材料性能和尺度的影响，进而产生非线性行为^[1]。

此外，当材料失效主要是由具有相当宽度的裂缝引起时，由于其变形的不连续性，传统的强度分析方法已不完全适用，需要进一步基于断裂力学基本理论框架进行讨论^[2]。传统的断裂破坏准则是基于均匀或统计均匀材料的断裂破坏行为建立的，如经典的虚拟裂缝模型^[3]、裂缝带模型^[4]、两参数模型^[5]、等效裂缝模型^[6]、尺寸效应模型^[7]、双K断裂模型^[8-9]等，可以认为其适用范围主要在宏观尺度层面。实际上，裂缝的起裂和扩展受到诸多因素影响，如材料性能、试件/裂缝形状、荷载分布/幅值、加载速率、环境条件、时间效应以及微/细观结构等^[1-2]。当关注的材料断裂问题需要在细观或微观尺度下讨论时，就不得不考虑材料的非均质性。基于细观力学基本理论框架的建模分析方法是桥接宏观断裂破坏现象和微观断裂破坏机理的有效研究手段之一^[10]。在细观尺度上，通常认为混凝土是由骨料、砂浆和界面组成的三相复合材料。骨料是导致混凝土材料产生非均质性的主要原因之一。裂缝扩展容易受到骨料颗粒的阻碍作用，将在不同条件的制约下穿过不同微/细观结构。对于普通强度混凝土，裂缝通常首先出现于力学性能相对薄弱的界面中，且界面力学性能对混凝土强度影响较大^[11-12]。此外，骨料粒径^[13-16]、骨料含量^[14,17-18]、骨料分布^[19-20]、界面性能^[21-22]、砂浆性能^[23-24]以及初始缺陷^[19]等对混凝土宏观力学性能亦存在显著影响。当混凝土材料的非均质特性发生变化时，裂缝扩展所需耗散的能量亦发生变化，从而导致断裂参数的宏观量发生变化。

基于上述分析可见，现有针对混凝土材料断裂破坏行为的研究手段多是基于“宏观→细观”路径建立，对于真实表征由细观结构性能和尺度影响导致的混凝土宏观力学非线性行为仍不够充分。正如徐世烺院士在回顾我国混凝土断裂力学发展三十年时指出的“在细观层次上将混凝土看作是由骨料、水泥砂浆及其交界面组成的复合材料。国际上一些学者已经开始从细观层次来分析混凝土断裂问题，研究混凝土材料在外荷载作用下裂纹萌生、扩展及贯通而导致的由细观层次到宏观层次的损伤和断裂过程。目前国内只有少数学者开展了基于细观层次的混凝土断裂力学性能的研究”^[25]。随着数值模拟技术和高速计算机的发展，基于细观力学基本理论框架的数值分析模型和方法已较为普遍^[26-27]。然而，从混凝土材料微/细观断裂机理出发，开展基于“细观→宏观”路径的自下而上研究，建立细观层次的混凝土材料断裂破坏理论仍较为匮乏。

鉴于此，在作者前期工作基础上^[28-31]，本文拟基于普通强度混凝土发生I-型开裂后的形态学特征，建立一种能够充分考虑材料非均质特性的、基于细观尺度绕晶失效模式的混凝土三维细观断裂理论分析模型，提出细观断裂行为和宏观断裂参数的理论分析方法，为建立基于性能的混凝土材料配合比设计理论奠定基础。需要指出的是，混凝土材料典型细观尺度断裂破坏模式还包括穿晶失效，即裂缝穿透骨料扩展的行为，后续可基于本文研究框架继续开展相关理论分析，本文暂不作讨论。

1   模型建立及理论推导

单轴拉伸加载条件下，混凝土通常发生I-型开裂。在宏观尺度上进行讨论时，将混凝土看作均匀(或统计均匀)的材料，并认为其I-型开裂是由一条位于光滑断裂面上的直线裂缝引起的。然而，当需要在细观或微观尺度上进行研究时，须将混凝土看作非均匀材料。考虑到强度较高的骨料在裂缝开展过程中的阻裂作用等，断裂面必将变得粗糙，因而裂缝的扩展路径亦是曲折的。因此，混凝土材料的断裂破坏行为源于不同研究尺度上组成材料本身的力学特性和结构特性。

1.1   分析模型及基本假定

图1以单一粒径骨料情况为例，给出了I-型开裂模式下基于绕晶失效模式的混凝土三维细观断裂理论分析模型的逻辑建模过程。

首先，如图1(a)所示，对于浇筑、振捣良好的混凝土试件，一般情况下骨料颗粒在其内部空间的分布状态既具有随机性、又具有统计学上的均匀性^[19-20]。本文模型即是基于此类骨料颗粒处于“统计均匀”分布状态的混凝土试件展开理论分析。对由于人为或施工因素导致的骨料颗粒处于“非统计均匀”分布状态的混凝土试件本文不作讨论。此外，为便于理论推导，暂以卵石骨料混凝土为例建立分析模型，故骨料颗粒形状暂假定为标准球体。

进一步，如图1(b)所示，为能够针对混凝土材料的断裂破坏行为及宏观力学性能作定量分析，假定骨料颗粒在混凝土试件内部空间“绝对均匀”分布。这种处理方式虽剔除了骨料颗粒在空间位置上的随机性，但从统计学意义上来讲，可以理解为“统计均匀”分布实际上亦是在“绝对均匀”分布上的随机表现。因此，基于简化的、可定量分析的骨料“绝对均匀”分布状态模型得到的“唯一”参数值，应作为基于具有不同随机分布形式的骨料“统计均匀”分布状态模型得到的所有“随机”参数值的均值，后续理论推导均是基于这一基本认识进行的。此外，容易想见，若在数学上保证混凝土试件内部任意数量的骨料颗粒在“统计均匀”分布状态下和“绝对均匀”分布状态下严格等效，则“绝对均匀”分布状态下的骨料颗粒在混凝土试件内部空间中三维阵列(图1(b))的每边颗粒数容易成为非整数(将在后文推导中给出)，这虽然与实际的“统计均匀”分布状态下骨料颗粒的物理状态不相符，但在数学上是合理的，即保证了方程的连续性。

最后，基于普通强度混凝土发生I-型开裂后的形态学特征，如图1(c)所示，以骨料“绝对均匀”分布状态模型为基本分析单元，假定单轴拉伸加载条件下外荷载做功全部用于模型断裂且仅产生唯一裂缝面，并且裂缝面上的骨料颗粒均被拔出(即发生绕晶失效)，进而可进行混凝土细观断裂行为的特征分析及宏观断裂参数的理论推导。显然，砂浆断裂面积A_f,mo和界面断裂面积A_f,itz对模型在细观尺度上的断裂面积大小有显著影响，同时混凝土宏观断裂参数亦容易受到断裂面形态学特征的影响。对于裂缝面上骨料颗粒发生破裂(即发生穿晶失效)的情况，需要进一步建立细观尺度上的断裂破坏准则，并考虑骨料破裂的随机性问题，不在本文探讨范围。

图  1  基于绕晶失效模式的混凝土三维细观断裂理论分析模型

Figure  1.  Three-dimensional mesoscopic fracture theoretical analysis model of concrete based on intergranular failure mode

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基于上述分析模型的逻辑建模过程，本文建立的基于绕晶失效模式的混凝土三维细观断裂理论分析模型的基本假定主要包括：

1) 骨料在任意情况下均不破坏；

2) 骨料形状为标准球体；

3) 骨料在混凝土试件内部空间“绝对均匀”分布；

4) 外荷载输入的能量全部被用作断裂破坏；

5) 混凝土试件I-型开裂仅产生唯一裂缝面。

1.2   混凝土断裂能G_f的细观表达

如图1(c)所示，在唯一裂缝面假定下，根据断裂力学基本理论框架，宏观尺度断裂所需耗散的能量W_f可由下式计算得到：

式中：G_f为混凝土断裂能；A_f为宏观尺度下混凝土试件的断裂面积。

细观尺度断裂所需耗散的能量$W_{\text{f}}^{{\text{meso}}}$则由下式计算得到：

式中：G_f,mo和G_f,itz分别为砂浆断裂能和界面断裂能；A_f,mo和A_f,itz分别为砂浆断裂面积和界面断裂面积。

从宏/细观耗散能量等效的观点出发，应有W_f=$W_{\rm{f}}^{\rm{meso}}$，则联立式(1)和式(2)得到：

式(3)即为基于普通强度混凝土细观组成材料力学特性和结构特性求解宏观断裂参数的基本表达式，其中砂浆断裂能G_f,mo和界面断裂能G_f,itz可基于量测或假设的本构模型得到，分项系数(A_f,mo/A_f)和(A_f,itz/A_f)分别代表砂浆和界面对混凝土断裂能G_f的贡献程度，需要对断裂面上宏/细观结构的形态学特征进行分析得到。

讨论：可以看到基于式(3)计算混凝土断裂能G_f实际上是运用了叠加原理。一般认为，叠加原理在材料线弹性变化阶段是合理的，用于材料开裂后行为的分析时不完全适用。这里，由于本文模型未涉及开裂全过程分析，即不考虑开裂过程中不同细观结构实时的应力-应变非线性演化行为，仅基于发生I-型开裂后的形态学特征以细观断裂面上不同细观结构破坏所需耗散的能量作为主要推导参数，故采用叠加原理是合理的。

1.3   细观结构本构模型及“G_f,mo和G_f,itz推导”

混凝土属于水泥基复合材料的范畴，本文建立的三维细观断裂理论分析模型将混凝土看作由砂浆、界面以及骨料等细观结构组成的三相复合材料，图2给出了采用的各细观结构的本构模型。

图  2  混凝土细观结构本构模型

Figure  2.  Constitutive models of concrete mesostructures

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砂浆作为混凝土中的胶结材料，其概念是宽泛的^[23-24]。本文所述砂浆主要是由砂(即粒径小于5 mm的细骨料)、水泥净浆以及其他小尺寸(或尺度)的混合物组成的基质材料。如图2(a)所示，为简化推导过程，采用典型双线性弹性本构模型表征砂浆的力学行为，f_t,mo、ε_u,mo和E_mo分别为砂浆的抗拉强度、极限应变和弹性模量。

界面是混凝土细观结构中一个微米级尺度的薄弱层。实际上，界面不是用于混凝土材料配比中的一种特定材料，而是位于砂浆和骨料之间的一个过渡区，因此界面的力学性能是随着远离骨料边缘的距离而不断变化的，并且容易受到骨料的粒径、分布和含量等多方面因素影响^[21-22]。考虑到界面性能随界面层厚度不断变化不利于在细观尺度层面对混凝土材料进行建模，故通常将其视作一类细观结构中具有一定厚度的均匀物相，理论模型中可以认为其厚度即为实际的微米级或(相较于其他细观结构尺度而言)趋近于0，数值模型中则可以根据计算精度和计算效率等因素综合考虑其厚度的设置情况^[19-20]。在目前的混凝土细观力学分析中，界面过渡区往往被看作一层区别于远场基体的含较高孔隙率的近场砂浆材料^[10]。基于上述分析，如图2(b)所示，本文采用(相对砂浆)弱化的典型双线性弹性本构模型表征界面的力学行为，f_t,itz、ε_u,itz和E_itz分别为界面的抗拉强度、极限应变和弹性模量。从混凝土材料在单轴拉伸加载条件下的破坏过程分析，裂缝通常首先在界面处发生，这是由于相对于砂浆，界面的强度和变形能力均较弱。此外，受到较高孔隙率影响，界面的弹性模量亦应低于砂浆的弹性模量。然而，相较于界面在弹性模量上的折减，其在抗拉强度和极限应变上的折减更为显著且对混凝土材料宏观力学性能的影响更大。因此，为简化理论推导过程，假设E_itz = E_mo(由此假设带来的误差可在后续的模型修正过程中得以部分消除，将另文探讨)，则可设置一折减控制参数κ ∈ [0, 1]，使得f_t,itz = κf_t,mo，ε_u,itz = κε_u,mo。

骨料在混凝土中起到支撑骨架的作用，且通常选用强度较高的岩石作为混凝土中的骨料颗粒，因此骨料在普通强度混凝土材料的断裂失效过程中不易被破坏。此外，本文模型主要以细观尺度绕晶失效模式为基础建立，故如图2(c)所示，采用线弹性本构模型表征骨料的力学行为，且骨料弹性模量(相对砂浆)较大。

基于上述采用的混凝土细观结构本构模型，并根据连续介质力学基本理论框架，可以计算得到砂浆应变能密度ω_mo和界面应变能密度ω_itz分别为：

进一步，根据断裂力学基本理论框架，设l_r为拉伸荷载方向上的参考尺寸^[32]，则砂浆断裂能G_f,mo和界面断裂能G_f,itz分别为：

1.4   断裂面形态学特征及“A_f、A_f,mo和A_f,itz推导”

根据图1以单一粒径骨料情况为例建立的基于绕晶失效模式的三维细观断裂理论分析模型，图3给出了I-型开裂模式下多级配混凝土试件细观断裂面积的定量计算方法。

如图3(a)所示，该立方体试件由“统计均匀”分布的含有不同尺寸骨料颗粒的多级配混凝土材料制备而成。设该立方体试件边长为l，骨料颗粒按照我国《水工混凝土配合比设计规程》(DLT 5330−2015)^[33]规定由粒径5 mm~150 mm范围内的4个粒级组成，本文模型以4个等效粒径分别表征不同粒级对应的代表性骨料颗粒尺寸，即D₁ = 12 mm、D₂ = 30 mm、D₃ = 60 mm和D₄ = 120 mm。参考上述三维细观断裂理论分析模型的逻辑建模过程，如图3(b)所示，将该多级配混凝土材料视作由不同尺寸骨料颗粒独立“绝对均匀”分布情况的叠加。如图3(c)所示，单轴拉伸加载条件下，各个骨料颗粒独立“绝对均匀”分布的立方体试件均发生I-型开裂且仅产生唯一裂缝面。

图  3  I-型开裂模式下多级配混凝土试件细观断裂面积定量计算方法

Figure  3.  Quantitative calculation method for the meso-fracture area of multi-grade concrete specimen under mode-I fracture

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讨论：为了能够定量计算不同代表性骨料颗粒尺寸对细观断裂面形态学特征的影响，上述用于多级配混凝土试件细观断裂面积的定量计算方法再次运用了叠加原理。首先，骨料颗粒在空间分布状态上由具有随机性的“统计均匀”等效为确定性的“绝对均匀”；其次，再由具有不同代表性骨料颗粒尺寸的“绝对均匀”分布状态下的细观断裂面进行叠加。不得不指出的是，这种初步的、基于线性叠加的细观断裂面积定量计算方法未能考虑不同等效粒径骨料在空间上的重叠效应，将使理论模型预测结果失真，后续将基于试验方法对建立的理论模型进行修正。

宏观尺度上，认为混凝土立方体试件发生I-型开裂后的裂缝面为“光滑”平面，容易得到宏观断裂面积A_f为：

细观尺度上，认为混凝土立方体试件发生I-型开裂后的裂缝面为“曲折”平面，细观断裂面积$A_{\rm{f}}^{\rm{meso}}$应由垂直于主拉应力方向上的砂浆断裂面积A_f,mo和界面断裂面积A_f,itz两部分组成，即：

首先，推导界面断裂面积A_f,itz。由图3(c)可以发现，界面断裂面积A_f,itz为裂缝面上不同粒径骨料对应的“单独”界面断裂面积之和。设D_j代表等效粒径，j代表粒级，n代表级配，且n = 1、2、3或4，则界面断裂面积A_f,itz可由下式计算得到：

式中：N_j代表裂缝面上等效粒径为D_j的骨料颗粒的个数；$A_{{\text{f,itz}}}^{\left( {{D_j}} \right)}$代表等效粒径为D_j的骨料颗粒对应的“单独”界面断裂面积，即球形骨料上某大小的球冠面积。基于此，如图4所示，定义球冠面积与球形骨料表面积的比值为界面裂缝指数η，且η ∈ [0，0.5]^[34]，则“单独”界面断裂面积$A_{{\text{f,itz}}}^{\left( {{D_j}} \right)}$可由下式计算得到：

图  4  界面裂缝指数η定义

Figure  4.  Definition of interface crack index η

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讨论：定义的界面裂缝指数η能够有效表征界面力学性能对混凝土细观裂缝扩展行为的影响。当界面较强(极限状态为与砂浆力学性能相同)时，若细观裂缝绕过骨料扩展将需要耗散更多能量，而裂缝扩展通常选择所需耗散能量最低的路径，因此η须取较小值(极限状态为η = 0)以令界面断裂面积A_f,itz占细观断裂面积$A_{\rm{f}}^{\rm{meso}}$比例减小；当界面较弱(极限状态为砂浆与骨料受外荷载前即已分离)时，因界面断裂较砂浆断裂需耗散能量少，细观裂缝必然主要选择绕过骨料扩展，因此η须取较大值(极限状态为η = 0.5)以令界面断裂面积A_f,itz占细观断裂面积$A_{\rm{f}}^{\rm{meso}}$比例增大。

球形骨料颗粒在边长为l的立方体试件内部空间“绝对均匀”分布情况下，若裂缝面上等效粒径为D_j的骨料颗粒的个数为N_j，则容易计算得到混凝土内部等效粒径为D_j的骨料颗粒总数为(N_j)^3/2。正如1.1节在建立本文分析模型过程中所述，此处给出的骨料颗粒总数(N_j)^3/2为分数指数幂形式，反算得到的N_j可能存在非整数解情况，这虽然在三维物理空间中不真实，但在数学推导上是严格的^[34]。若设所有骨料颗粒在混凝土试件中所占的体积分数为γ，a_j表示等效粒径为D_j的骨料颗粒占所有骨料颗粒的百分比，则有等式：

推导得到N_j的计算式为：

将式(11)和式(13)代入式(10)，得到任意级配n情况下界面断裂面积A_f,itz的计算式为：

讨论：若考虑骨料“统计均匀”分布状态下发生的I-型开裂，受到骨料颗粒在空间位置上的随机性影响，细观断裂面上不同骨料对应的界面裂缝指数η必然也是随机的。本文分析模型首先将骨料颗粒在空间分布状态上具有随机性的“统计均匀”等效为确定性的“绝对均匀”，进而基于骨料“绝对均匀”分布状态模型进行推导，则当各细观组分的力学特性和结构特性确定时，细观断裂面上不同骨料对应的界面裂缝指数η亦相同，故式(14)给出的界面断裂面积A_f,itz计算方法暂未考虑界面裂缝指数η的随机性。此外，正如前文所述，基于简化的、可定量分析的骨料“绝对均匀”分布状态模型得到的“唯一”参数值，应作为基于具有不同随机分布形式的骨料“统计均匀”分布状态模型得到的所有“随机”参数值的均值。

进一步，继续推导砂浆断裂面积A_f,mo。由图3(c)可以发现，砂浆断裂面积A_f,mo为宏观尺度上混凝土立方体试件的断裂面积A_f与裂缝面上不同粒径骨料对应的“单独”界面断裂面(即球冠)下的阴影面积之和的差，即：

式中，$A_{{\text{f,itz}}}^{\left( {{D_j}} \right)*}$代表等效粒径为D_j的骨料颗粒对应的“单独”界面断裂面(即球冠)下的阴影面积，其计算式为：

将式(8)、式(13)和式(16)代入式(15)，得到任意级配n情况下砂浆断裂面积A_f,mo的计算式为：

此外，将式(14)和式(17)代入式(9)可以得到细观断裂面积$A_{\rm{f}}^{\rm{meso}}$的定量表达式为：

式中，λ定义为细观断裂面的曲折度指数，其表达式为：

1.5   唯一裂缝面假定下的宏观断裂参数

基于上述理论推导，式(6)、式(7)、式(8)、式(14)和式(17)分别给出了砂浆断裂能G_f,mo、界面断裂能G_f,itz、宏观尺度上混凝土立方体试件的断裂面积A_f、细观尺度上界面断裂面积A_f,itz和砂浆断裂面积A_f,mo的解析解，依次代入式(3)后得到混凝土断裂能G_f的定量表达式为：

由式(20)可以看到，混凝土断裂能G_f与砂浆断裂能G_f,mo之间存在比例关系，该比例系数由细观断裂面的曲折度指数λ、界面力学性能相对砂浆力学性能的折减控制参数κ和界面裂缝指数η计算得到。

由界面裂缝指数η定义不难发现，其取值显著影响界面断裂面积A_f,itz，进而影响混凝土立方体试件发生I-型开裂所需耗散的能量。准静态加载条件下，裂缝应总是选择耗散能量最低的路径进行扩展，即裂缝扩展遵循“最低能量原理”，因而由式(20)求解得到的混凝土断裂能G_f亦应为能够使材料发生断裂的最小值。基于上述分析，将式(20)进行展开，得到：

令式(21)中G_f,mo、n、a_j、γ和κ均为已知量，η为自变量，G_f为因变量，并对函数G_f求一阶导数，得到：

为得到使混凝土断裂能G_f为最小值时对应的界面裂缝指数η，令$G_{\rm{f}}'$ = 0，计算得到：

由式(23)可知，当界面力学性能相对砂浆力学性能的折减控制参数κ确定时，界面裂缝指数η即确定。关于参数κ取值的确定方法亦可参见文献[32]。

为进一步确定式(23)给出的η值可令G_f为最小值，继续对函数G_f求二阶导数，得到：

由式(24)可以发现，对任意η，${G_{\text{f}}^{\prime \prime }}$ > 0，表明G_f为最小值。

此外，可以对式(23)进行如下初步定量验证：

1)设G_f,mo = 1、n = 1、a_j = 1、γ = 0.3 ~ 0.6 (步长为0.1)和κ = 0.4 ~ 0.8 (步长为0.2)；

2)对于给定的κ = 0.4、0.6和0.8，基于式(23)计算得到：当η = 0.42、0.32和0.18时，可令G_f为最小值；

3)基于式(21)，图5绘制了不同κ和γ情况下，G_f随η在区间[0，0.5]上的变化曲线，可以看到：当κ确定时，令G_f取得最小值的η即确定，且不随γ变化。

图  5  G_f随η在区间[0, 0.5]上的变化曲线

Figure  5.  Variation curve of G_f with η in the interval [0, 0.5]

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根据上述分析，将式(23)代入式(20)，得到混凝土断裂能G_f的最终表达式为：

由式(25)可以看到，基于本文建立的基于绕晶失效模式的混凝土三维细观断裂理论分析模型，根据细观断裂面曲折度指数λ和砂浆断裂能G_f,mo即可确定混凝土断裂能G_f。此外，由式(19)可以看到，细观断裂面的曲折度指数λ由界面裂缝指数η、骨料级配n、骨料体积分数γ和等效粒径为D_j的骨料颗粒占所有骨料颗粒的百分比a_j四个参数决定，即可根据实际配合比设计参数确定混凝土宏观力学性能，亦可基于要求的宏观力学性能进行混凝土材料配合比设计。

2   参数分析

一般情况下砂浆的力学性能较容易获得，故将砂浆断裂能G_f,mo作为已知量，将式(25)进行无量纲转换并展开后得到：

由式(26)可见，影响混凝土宏观力学性能的配合比参数主要包括η、n、γ和a_j。《水工混凝土配合比设计规程》(DLT 5330−2015)^[33]建议的不同级配混凝土骨料组合比如表1所示，故首先固定参数a_j(即选取相同级配曲线)，讨论η、n、γ三个参数对混凝土宏观力学性能的影响。

表  1  不同级配混凝土骨料组合比a_j ^[33]

Table  1.  Aggregate ratio a_j of different graded concrete ^[33]

粒径范围/mm		5~20	20~40	40~80	80~150
等效粒径/mm		12	30	60	120
组合比aj		a1	a2	a3	a4
骨料级配n	1	1.0	—	—	—
	2	0.4	0.6	—	—
	3	0.3	0.3	0.4	—
	4	0.2	0.2	0.3	0.3

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图6给出了不同级配n、不同骨料体积分数γ情况下G_f/G_f,mo随界面裂缝指数η的变化曲线。由界面裂缝指数η定义可知，界面力学性能与η取值呈反比关系，即η越大，界面越弱。可以看到，混凝土宏观力学性能随界面力学性能的降低(即η增大)而降低。图7给出了不同骨料体积分数γ、不同界面力学性能(即不同界面裂缝指数η)情况下G_f/G_f,mo随骨料级配n的变化曲线。本文模型以等效粒径表征不同粒级，故最大骨料粒径随骨料级配n增大而增大。可以看到，当界面力学性能等于砂浆力学性能时(即η = 0)，混凝土宏观力学性能不随最大骨料粒径增大发生变化；当界面力学性能弱于砂浆力学性能时(即η > 0)，混凝土宏观力学性能随最大骨料粒径增大而降低。图8给出了不同骨料级配n、不同界面力学性能(即不同界面裂缝指数η)情况下G_f/G_f,mo随骨料体积分数γ的变化曲线。可以看到，当界面力学性能等于砂浆力学性能时(即η = 0)，混凝土宏观力学性能不随骨料体积分数γ增大发生变化；当界面力学性能弱于砂浆力学性能时(即η > 0)，混凝土宏观力学性能随骨料体积分数γ增大而降低。

图  6  G_f/G_f,mo随η变化曲线

Figure  6.  Variation curve of G_f/G_f,mo with η

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图  7  G_f/G_f,mo随n变化曲线

Figure  7.  Variation curve of G_f/G_f,mo with n

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图  8  G_f/G_f,mo随γ变化曲线

Figure  8.  Variation curve of G_f/G_f,mo with γ

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由上述分析可见：界面力学性能显著影响混凝土宏观力学性能^[11-12]。此外，混凝土宏观力学性能随骨料级配n(即最大骨料粒径)和骨料体积分数γ的变化行为亦受到界面裂缝指数η(即界面力学性能)的影响。

进一步，为探究级配曲线对混凝土宏观力学性能的影响，表2以骨料体积分数γ = 0.3的二级配(n = 2)混凝土为例，给出了5组不同a₁∶a₂比例以表征级配曲线变化。图9给出了不同a₁∶a₂比例情况下，G_f/G_f,mo随界面裂缝指数η的变化曲线。可以看到，级配曲线对混凝土宏观力学性能存在影响，即小石体积分数与大石体积分数比例越悬殊，混凝土宏观力学性能相对越好。但应注意，体积分数比例过于悬殊并不利于配置的混凝土材料密实度的控制，因此实际配比中应妥善选取合适的级配曲线。

表  2  a₁∶a₂比例

Table  2.  Proportions of a₁∶a₂

粒径范围/mm	5~20	20~40
等效粒径/mm	12	30
组合比aj	a1	a2
①	0.1	0.9
②	0.2	0.8
③	0.3	0.7
④	0.4	0.6
⑤	0.5	0.5

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图  9  不同a₁∶a₂比例情况下G_f/G_f,mo随η变化曲线

Figure  9.  Variation curve of G_f/G_f,mo with η under different proportions of a₁∶a₂

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由上述参数分析可见，本文模型预测结果在趋势上符合实际，但需要注意的是，由图6~图8中红色曲线可以看到，随骨料粒径、骨料含量增大以及界面强度降低，基于式(26)计算得到的混凝土宏观力学参数存在失真现象。例如：图6中三级配(n = 3)混凝土，当骨料体积分数γ和界面裂缝指数η均较大时，即骨料含量较大、界面强度较低，出现了G_f/G_f,mo值过早等于0的情况，这显然与实际不符。此外，由图9可以看到，骨料含量一定时，不同骨料组合比的二级配混凝土宏观力学参数变化较小，与实际情况存在差距。这是由本文模型采用的若干假定导致的，还需要基于实际破坏情况作进一步修正，将另文探讨。

3   结论

混凝土材料的非均质性是导致其力学性能非线性的根本原因之一。本文基于细观尺度上混凝土发生I-型开裂后的形态学特征，充分考虑其材料组成的非均质性及细观尺度绕晶失效模式，建立了用于普通强度混凝土断裂破坏行为及宏观力学性能研究的三维细观断裂理论分析模型。参数分析表明：界面力学性能显著影响混凝土宏观力学性能，且混凝土宏观力学性能随最大骨料粒径和骨料体积分数的变化行为亦受到界面力学性能的影响。本文理论模型分析方法为建立基于性能的混凝土材料配合比设计理论奠定了基础。

需要说明的是，为简化推导过程，本文模型建立在若干强假定基础上，如：假定骨料在任意情况下均不破坏，使得本文模型仅适用于通常情况下骨料不破裂的普通强度混凝土，针对骨料存在破裂行为的高强混凝土或轻骨料混凝土，后续将在细观尺度上建立断裂准则，进而基于本文模型进行扩展；假定骨料形状为标准球体，使得本文模型主要适用于边界较为圆滑的卵石骨料混凝土，针对具有(凹凸)多边形特征的碎石骨料，可基于本文模型中的标准球体进行演化；骨料“绝对均匀”分布，外荷载输入的能量全部被用作断裂破坏以及混凝土试件I-型开裂仅产生唯一裂缝面等假定虽使得本文模型易于进行定量计算并得到规律性认识，但解析结果与实际情况仍存在一定偏差，需要作进一步修正。