含双自由度周期振子的平行并联梁弯曲振动带隙特性

丁兰; 丁彪; 吴巧云; 朱宏平

doi:10.6052/j.issn.1000-4750.2022.01.0086

含双自由度周期振子的平行并联梁弯曲振动带隙特性

丁兰^1,,
丁彪^1,,
吴巧云^2, ,,
朱宏平^3,

1.
中国地质大学(武汉)工程学院，湖北，武汉 430074
2.
武汉工程大学土木工程与建筑学院，湖北，武汉 430073
3.
华中科技大学土木与水利工程学院，湖北，武汉 430074

基金项目: 国家自然科学基金项目(51908521，52078395，51838006)

详细信息

作者简介:
丁　兰(1985−)，女，湖北人，副教授，博士，主要从事结构振动分析与控制研究(E-mail: dinglan@cug.edu.cn)

丁　彪(1998−)，男，山东人，硕士生，主要从事周期结构振动控制研究(E-mail: dingbiao@cug.edu.cn)

朱宏平(1965−)，男，湖北人，教授，博士，博导，主要从事结构抗震、损伤识别及健康检测研究(E-mail: hpzhu@mail.hust.edu.cn)

通讯作者:
吴巧云(1985−)，女，山东人，教授，博士，主要从事结构抗震研究(E-mail: wuqiaoyun@wit.edu.cn)

中图分类号: TU352
计量
- 文章访问数: 472
- HTML全文浏览量: 167
- PDF下载量: 113
出版历程
- 收稿日期: 2022-01-17
- 修回日期: 2022-05-17
- 录用日期: 2022-06-24
- 网络出版日期: 2022-06-24
- 刊出日期: 2023-10-09

FLEXURAL VIBRATION BANDGAP CHARACTERISTICS OF DOUBLE BEAMS IN PARALLEL WITH OSCILLATORS WITH TWO DEGREES OF FREEDOM

1.
Faculty of Engineering, China University of Geosciences, Wuhan, Hubei 430074, China
2.
School of Civil Engineering and Architecture, Wuhan Institute of Technology, Wuhan, Hubei 430073, China
3.
School of Civil and Hydraulic Engineering, Huazhong University of Science and Technology, Wuhan, Hubei 430074, China

摘要

摘要: 为探究新型周期结构的低频多带隙特性，提出了周期布置双自由度振子的局域共振型平行并联梁结构。利用平面波展开法，计算了无限周期结构的弯曲振动能带结构。采用有限元法计算了有限周期结构的振动传输曲线，并通过模态分析和变形模式研究了带隙产生机理。建立了双自由振子并联梁的简化模型，推导了带隙起止频率简化公式，研究了结构参数对带隙特性的影响规律。最后制作了模型试件并进行传递特性分析，验证了理论和有限元法预测带隙的准确性。研究表明，仅改变两梁之间连接弹簧的刚度，可以有效调节带隙频率，为双自由度振子双梁周期结构的减振控制提供参考。
- 并联梁 /
- 带隙 /
- 双自由度振子 /
- 平面波展开法 /
- 局域共振
Abstract: In order to explore the low frequency ranges of the multiple bandgaps of a new type periodic structure, double beams in parallel with periodically locally resonant oscillators with two degrees of freedom are proposed. The flexural vibration band structure of the infinite system is analyzed using the plane wave expansion method. The transmission properties of the corresponding finite system are examined by using finite element simulation. The bandgap form mechanism is studied in terms of the eigenmodes and transverse deformation pattern. The simple formulas of the start and ending frequencies of the bandgaps are derived based on the eigenmodes and the effects of the structural parameters on the bandgap characteristics are studied. The existence of the band gap characteristics is verified experimentally, and the accuracy of the theoretical predictions is proven. The results show that by only tuning the stiffness of the springs connected with the two beams, the bandgap can be effectively adjusted, which provides a reference for vibration reduction of double beams in parallel with oscillators with two degrees of freedom.
- double beams in parallel /
- bandgap /
- oscillators with two degrees of freedom /
- plane wave expansion method /
- locally resonance

HTML全文

周期结构作为一种人工合成的复合功能材料，通过对其合理设计可以使弹性波只能在特定的频带内沿结构自由传播，而在其他频带不能传播。该禁止传播的频带即为禁带或带隙。这一带隙特性为实际工程结构减振降噪^[1-3]、隔震控制^[4-5]提供了新的设计思路。

目前周期结构的带隙机理有2种，分别是布拉格散射机理和局域共振机理。布拉格带隙主要是由周期变化的材料特性与弹性波的相互耦合作用产生，故其带隙频率主要与周期尺寸有关，这使得声子晶体在低频段的减振降噪性能受到一定限制^[6-8]。而局域共振带隙恰巧可以解决这一问题，局域共振带隙主要是由散射体单元共振特性与弹性波的相互作用产生，与周期性关系不大，但其带隙频率较低，且振动衰减较大^[9-11]。因此，目前较多采用局域共振带隙机理进行工程结构减振研究。

在工程领域梁是最常用的结构，一直是振动控制领域的主要研究对象之一，其典型结构有周期单层梁和周期复合双层梁2种。目前国内外学者对单自由度振子周期单层梁^[12-15]和双自由度振子周期单层梁^[16-18]弯曲振动带隙进行了大量研究。对于单自由度周期复合双层梁，CHEN等^[19]在上、下双梁之间周期布置单自由度弹簧振子以及泡沫芯层，运用体积平均法将振子等效分配到梁上，研究了带隙形成机制和调节规律。SHARMA和SUN^[20]在该模型基础上，采用相控阵方法考虑振子的周期离散效应，分析了双层梁的弯曲波传播行为。涂静和史治宇^[21]提出了局域共振型声子晶体双层欧拉梁模型，利用平面波展开法研究其带隙特性，指出双梁的对称振动和反对称振动能带形成带隙。HE等^[22]发现高静态-低动态刚度振子能有效拓宽双层梁的带隙范围且能降低带隙起始频率。对于双自由度振子双层梁，CHEN和HUANG^[23]以及CHEN等^[24]通过增加梁上弹簧振子的数量，在上、下梁间串并联布置两质量弹簧振子，研究了双振子对双层梁弯曲带隙的影响规律，完成了两个低频带隙抑振结构优化设计。ZHANG等^[25]将不同特性的多个振子安装于上、下梁间，在提高抑振结构带宽的同时，实现了多带隙振动控制。但是，周期双梁系统通常在上、下梁间周期布置一系列振子来构造，双梁和振子振动均处于同一平面内，实际情况中存在双梁左右平行布置，振子位于双梁之下且左、右梁上荷载幅值、激振频率不同的现象，仅取结构的1/2进行分析则无法考虑左、右两梁的相互耦合，而且忽略了振子的面外转动效应，需要建立更加符合实际情况的、计算高效的模型，然而目前很少有学者对左、右两梁和振子振动处于不同平面时结构系统的带隙特性展开深入研究。

本文提出双自由度周期振子平行并联梁，在左右平行梁下周期布置弹簧质量振子，考虑振子竖向和转动自由度，通过平面波展开法，推导无限周期双梁系统的弯曲振动能带结构计算公式，研究振子转动平面与梁弯曲振动平面垂直时转动惯量对带隙的影响。采用有限单元法对带隙形成机理展开详细研究，计算有限周期梁的振动传输特性，验证理论推导的正确性。同时推导带隙起始、截止频率简化公式，并给出其理论解释，最后通过参数分析研究带隙调节规律。通过考虑振子面外转动效应，可得到一条曲线转动能带，调整结构参数可实现对该能带的控制，从而有效拓宽抑振频带，以期对实际工程中的周期浮置板轨道结构、机械作业臂以及双梁系统减隔振/震设计等提供依据。

1 平行并联梁模型

平行并联梁通过2根弹簧与双自由度振子m周期相连，左、右弹簧刚度系数分别为k₁、k₂，两梁轴心的间距为l₃，晶格常数为a，单个晶胞中梁的质量为 m_b，如图1所示。振子的两个自由度分别为沿着竖向(y向)的垂直位移z和关于质心的转动位移θ。

图 1 含周期振子的平行并联梁模型示意图

Figure 1. Schematic model of two beams in parallel with periodic oscillators

下载: 全尺寸图片幻灯片

设左、右两梁截面和材料特性相同，仅考虑梁在竖向的振动，其位移场函数分别为y₁(x,t)、y₂(x,t)，振子的位移场函数为z(x,t)、θ(x,t)，则并联欧拉梁结构的弯曲振动方程和振子运动方程为：

$\left\{ \begin{aligned} & {EI\frac{{{\partial ^4}{y_1}(x,t)}}{{\partial {x^4}}} + \rho A\frac{{{\partial ^2}{y_1}(x,t)}}{{\partial {t^2}}} = {f_{n1}}} \\[-4pt] & {EI\frac{{{\partial ^4}{y_2}(x,t)}}{{\partial {x^4}}} + \rho A\frac{{{\partial ^2}{y_2}(x,t)}}{{\partial {t^2}}} = {f_{n2}}} \\[-4pt]& {{f_{n1}} + {f_{n2}} = - m\ddot {\textit{z}}(x,t)} \\[-4pt] & {( - {f_{n1}} + {f_{n2}}) \cdot \frac{{{l_3}}}{2} = - J\ddot \theta (x,t)} \end{aligned}\right.$

(1)

式中：EI、ρ和A分别为梁的抗弯刚度、密度和横截面面积；m和J分别为振子的质量和转动惯量；f_n1为振子在左侧梁连接点处所受的力，f_n2为振子在右侧梁连接点处所受的力，其表达式如下：

$\left\{ \begin{aligned} & {{f_{n1}} = \sum {{k_1}\left[ {{\textit{z}}({x_1},t) - {y_1}({x_1},t) - \frac{{{l_3}}}{2}\theta ({x_1},t)} \right]} \delta (x - {x_1})} \\ & {{f_{n2}} = \sum {{k_2}\left[ {{\textit{z}}({x_1},t) - {y_2}({x_1},t) + \frac{{{l_3}}}{2}\theta ({x_1},t)} \right]} \delta (x - {x_1})} \end{aligned}\right.$

(2)

设梁和振子振动方程的解为：

$\begin{split} & {y_1}(x,t) = {Y_1}(x){{\text{e}}^{{\text{i}}\omega t}} \text{，} {y_2}(x,t) = {Y_2}(x){{\text{e}}^{{\text{i}}\omega t}} ,\\& {\textit{z}}(x,t) = {\textit{z}}(x){{\text{e}}^{{\text{i}}\omega t}} \text{，} \theta (x,t) = \varTheta (x){{\text{e}}^{{\text{i}}\omega t}} \end{split}$

(3)

将式(2)、式(3)代入式(1)，得到：

$\left\{ \begin{aligned} & EI\frac{{{\partial ^4}{Y_1}(x)}}{{\partial {x^4}}} - {\omega ^2}\rho A{Y_1}(x) = \\[-3pt]&\qquad\sum {{k_1}\left[ {Z({x_1}) - {Y_1}({x_1}) - \frac{{{l_3}}}{2}\varTheta ({x_1})} \right]\delta (x - {x_1})} \\[-3pt] & EI\frac{{{\partial ^4}{Y_2}(x)}}{{\partial {x^4}}} - {\omega ^2}\rho A{Y_2}(x) = \\[-3pt]&\qquad\sum {{k_2}\left[ {Z({x_1}) - {Y_2}({x_1}) + \frac{{{l_3}}}{2}\varTheta ({x_1})} \right]} \delta (x - {x_1}) \\[-3pt]& m{\omega ^2}Z({x_1}) = ({k_1} + {k_2})Z({x_1}) - {k_1}{Y_1}({x_1}) - \\[-3pt]&\qquad{k_2}{Y_2}({x_1}) + ( - {k_1} + {k_2})\frac{{{l_3}}}{2}\varTheta ({x_1}) \\[-3pt] & {\omega ^2}J\varTheta ({x_1}) \cdot \frac{2}{{{l_3}}} = ( - {k_1} + {k_2})Z({x_1}) + \\[-3pt]&\qquad{k_1}{Y_1}({x_1}) - {k_2}{Y_2}({x_1}) + ({k_1} + {k_2})\frac{{{l_3}}}{2}\varTheta ({x_1}) \end{aligned}\right.$

(4)

由于双层梁结构晶胞结构沿 $x$ 方向周期排列，因此系统的位移场也具有周期性，可根据Bloch定理将Y₁(x)、Y₂(x)写成Fourier级数形式：

${Y_1}(x) = \sum\limits_{G'} {{Y_1}(G'){{\text{e}}^{{\text{i}}(q + G')x}}}\;,\; {Y_2}(x) = \sum\limits_{G'} {{Y_2}(G'){{\text{e}}^{{\text{i}}(q + G')x}}}$

(5)

将式(5)代入式(4)中，并进行化简，得到：

$\left\{ \begin{aligned} & EI \sum\limits_{{G'}} {{Y_1}({G'}){{\rm{e}}^{{\rm{i}}(q + {G'})x}}} {(q + {G'})^4} - {\omega ^2}\rho A \sum\limits_{{G'}} {{Y_1}({G'}){{\rm{e}}^{{\rm{i}}(q + {G'})x}}} =\\[-4pt]& \qquad \frac{{k}_{1}}{a}\sum _{{G}'}{\text{e}}^{\text{i}\left(q+{G}'\right)\left(x-\frac{a}{2}\right)}\left[Z\left(\frac{a}{2}\right)-\right.\\[-4pt]&\left.\qquad {Y}_{1}\left({G}'\right){\text{e}}^{\text{i}\left(q+{G}'\right)\left(\frac{a}{2}\right)}-\frac{{l}_{3}}{2}\varTheta \left(\frac{a}{2}\right)\right]\\[-4pt]& EI \sum\limits_{{G'}} {{Y_2}({G'}){{\rm{e}}^{{\rm{i}}(q + {G'})x}}} {(q + {G'})^4} - {\omega ^2}\rho A \sum\limits_{{G'}} {{Y_2}({G'}){{\rm{e}}^{{\rm{i}}(q + {G'})x}}} =\\[-4pt]&\qquad \frac{{k}_{2}}{a}\sum _{{G}'}{\text{e}}^{\text{i}\left(q+{G}'\right)\left(x-\frac{a}{2}\right)}\left[Z\left(\frac{a}{2}\right)-\right.\\[-4pt]&\left.\qquad {Y}_{2}\left({G}'\right){\text{e}}^{\text{i}\left(q+{G}'\right)\left(\frac{a}{2}\right)}+\frac{{l}_{3}}{2}\varTheta \left(\frac{a}{2}\right)\right]\\[-4pt]& \left({k}_{1}+{k}_{2}\right)Z\left(\frac{a}{2}\right)-{k}_{1}{\sum _{{G}'}{Y}_{1}\left({G}'\right){\text{e}}^{\text{i}\left(q+{G}'\right)x}}-\\[-4pt]&\qquad {k}_{2}{\sum _{{G}'}{Y}_{2}\left({G}'\right){\text{e}}^{\text{i}\left(q+{G}'\right)x}} + \left(-{k}_{1}+{k}_{2}\right)\frac{{l}_{3}}{2}\varTheta \left(\frac{a}{2}\right)=\\[-4pt]&\qquad m{\omega }^{2}Z\left(\frac{a}{2}\right)\\[-4pt]& \left(-{k}_{1}+{k}_{2}\right)Z\left(\frac{a}{2}\right)+{k}_{1}{\sum _{{G}'}{Y}_{1}\left({G}'\right){\text{e}}^{\text{i}\left(q+{G}'\right)x}}-\\[-4pt]&\qquad {k}_{2}{\sum _{{G}'}{Y}_{2}\left({G}'\right){\text{e}}^{\text{i}\left(q+{G}'\right)x}} + \left({k}_{1}+{k}_{2}\right)\frac{{l}_{3}}{2}\varTheta \left(\frac{a}{2}\right)=\\[-4pt]&\qquad {\omega }^{2}J\varTheta \left(\frac{a}{2}\right)\cdot \frac{2}{{l}_{3}} \end{aligned} \right.$

(6)

令 $H = EI{(q + {G'})^4}$ ， ${{\text{e}}^*} = {{\text{e}}^{{\text{i}}(q + {G'})\frac{a}{2}}}$ ，将式(6)写成矩阵形式：

${\boldsymbol{B}}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{Y_1}\left(G'\right)} \\ {{Y_2}\left(G'\right)} \\ {Z\left(\dfrac{a}{2}\right)} \\ {\varTheta \left(\dfrac{a}{2}\right)} \end{array}} \right\} = {\omega ^2} {\boldsymbol{C}}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{Y_1}\left(G'\right)} \\ {{Y_2}\left(G'\right)} \\ {Z\left(\dfrac{a}{2}\right)} \\ {\varTheta \left(\dfrac{a}{2}\right)} \end{array}} \right\}$

(7)

其中：

${\boldsymbol{B}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {H + \dfrac{{{k_1}}}{a}}&0&{ - \dfrac{{{k_1}}}{{a{{\text{e}}^*}}}}&{\dfrac{{{k_1}}}{a} \cdot \dfrac{{{l_3}}}{{2{{\text{e}}^*}}}} \\ 0&{H + \dfrac{{{k_2}}}{a}}&{ - \dfrac{{{k_2}}}{{a{{\text{e}}^*}}}}&{ - \dfrac{{{k_2}}}{a} \cdot \dfrac{{{l_3}}}{{2{{\text{e}}^*}}}} \\ { - {k_1}{{\text{e}}^*}}&{ - {k_2}{{\text{e}}^*}}&{{k_1} + {k_2}}&{( - {k_1} + {k_2}) \cdot \dfrac{{{l_3}}}{2}} \\ {{k_1}{{\text{e}}^*}}&{ - {k_2}{{\text{e}}^*}}&{ - {k_1} + {k_2}}&{({k_1} + {k_2}) \cdot \dfrac{{{l_3}}}{2}} \end{array}} \right] \;,$

${\boldsymbol{C}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\rho A}&0&0&0 \\ 0&{\rho A}&0&0 \\ 0&0&m&0 \\ 0&0&0&{J\dfrac{2}{{{l_3}}}} \end{array}} \right]。$

式(7)中q为第一Brillouin区的Bloch波矢，而G' 遍历该周期结构倒格矢空间。选取N个倒格矢进行计算，式(6)将变为(2N+2)×(2N+2)阶矩阵特征值求解问题。对于每个波矢q，均可以求出其相应的特征频率ω，若求出的ω为实数，代表频率为ω的波或者振动可以在结构中稳定传播，相反地，非实数的ω构成能带带隙。

2 弯曲振动带隙特性

选取铝作为并联欧拉梁的材料，梁横截面尺寸为1 cm×1 cm，两梁轴心的间距为3 cm。选取铁作为振子的材料，其尺寸为2 cm×2 cm×3 cm。所用到的材料参数见表1，结构几何尺寸见表2。

表 1 材料参数表

Table 1. Material properties

材料	密度ρ/(kg·m⁻³)	弹性模量E/(×10⁹ Pa)	泊松比μ
铝	2600	70	0.30
铁	7860	206	0.27

下载: 导出CSV

| 显示表格

表 2 结构几何参数表

Table 2. Geometrical properties

晶格长度 a/m	梁宽b= 梁高h/m	弹簧刚度 k₁=k₂/(kN·m⁻¹)	振子质量 m/kg	振子宽l₁= 振子高l₂/m	振子长 l₃/m
0.06	0.01	40	0.09432	0.02	0.03

下载: 导出CSV

| 显示表格

利用MATLAB编写程序并画出满足表1和表2参数的并联周期梁结构的能带结构，结果如图2(a)所示。从能带结构中可以看出，在800 Hz范围内存在4条能带，其中第四条能带被第三条能带完全包裹，同时在频率210.9 Hz~294 Hz范围内存在一个完全带隙，这与单梁存在一条平直旋转振动能带^[16]存在明显的差别。

利用ANSYS软件建立8个周期单元有限长并联梁结构模型，其中，两根并联梁采用Beam54单元，弹簧采用Combin14单元，质量块采用Solid45单元，每根梁划分49个节点、48个单元，每根弹簧划分2个节点、1个单元，每个质量块划分18个节点、4个单元，模型一共242个节点、144个单元。在左侧梁一端施加垂直位移激励，分别选择并联梁的同侧和异侧另一端作为响应拾取点研究其振动传输特性曲线，结果如图2(b)所示。比较振动传输曲线可以发现，无论响应拾取点位于激励点同侧还是异侧，在频率210.9 Hz~294 Hz内弯曲振动传播时存在衰减；该衰减区域与能带结构带隙频率范围正好吻合。值得注意的是，由于两梁关联性较差，在高频范围内异侧梁几乎无振动，因此传输特性呈衰减曲线。

图 2 并联周期梁结构的能带结构和传输特性图(T代表同侧传输特性，Y代表异侧传输特性)

Figure 2. Band structure and transmission property of the periodic beams in parallel

下载: 全尺寸图片幻灯片

3 带隙扩宽

因并联梁的双梁之间关联性差，基于将梁作为振动单元以拓宽带隙的原理，使用弹簧k₃连接左、右两梁，如图3所示。

图 3 使用弹簧连接的平行并联周期梁模型示意图

Figure 3. Schematic model of the two beams connected with springs

下载: 全尺寸图片幻灯片

3.1 能带结构

取双梁之间弹簧刚度k₃=80 kN/m，计算并联周期梁结构的能带结构及其对应的传输特性图，结果如图4所示。从图4(a)可以看出，两梁之间添加弹簧后，由原来的一个带隙增加为现在的两个带隙，分别为146.3 Hz~186.1 Hz和210.9 Hz~294 Hz。由于增加了两梁之间的横向联系，从而有效抑制振子转动使得第二条能带变得较为平缓；而两梁之间的耦合作用增强使得第四条能带也发生巨大的上移。由图4(b)知，带隙范围内振动存在较大衰减，但由于响应拾取点位于位移零点，带隙外也会出现衰减峰值。因连接弹簧刚度k₃未达到两梁之间的刚接刚度，两梁在高频耦合较差，因此激励点同侧和异侧振动传输特性存在差异。

图 4 使用弹簧连接的并联周期梁结构能带结构和传输特性图

Figure 4. Band structure and transmission property of the two beams connected with springs

下载: 全尺寸图片幻灯片

3.2 模态分析和变形模式

为研究带隙形成机理，需要对带隙起始、截止频率附近的晶胞单元振动模态与有限长周期梁振动特性进行研究。利用ANSYS建立平行并联梁晶胞单元的有限元模型，每根梁划分7个节点、6个单元，每根弹簧划分2个节点、1个单元，质量块划分18个节点、4个单元，模型一共32个节点、19个单元。在两根梁的两端分别施加相同的滑动支座约束(只沿y向运动)或者固定铰支座约束(只在xy平面内转动)，分析发现，低频范围内，滑动支座约束下存在186.09 Hz、293.96 Hz和578.27 Hz，这 3个固有频率，固定铰支座约束下存在146.35 Hz和210.91 Hz，这2个固有频率，带隙起始、截止频率分别与上述两种约束下的单胞模型固有频率对应。其相应的模态振型，如图5所示。

图 5 平行并联梁晶胞单元固有模态图

Figure 5. Eigenmodes of the unit cell

下载: 全尺寸图片幻灯片

从图5可以看出，在频率f₁，振子发生上下振动，振动能量主要集中在振子，梁不发生振动，振子的竖向自由度产生第一共振带隙；在第二带隙截止频率f₂₁，系统达到动态稳定，梁开始发生上下振动，振子沿着中心轴发生转动。在频率f₂₂，梁不发生振动，振动仍然局限在振子中，但振子发生转动，因而振子的转动自由度引起了结构的第二带隙；在第二带隙截止频率f₃，振子上下振动，平行并联梁发生同向对称弯曲振动，但在f₄，振子轻微转动，平行并联梁发生反对称弯曲振动。

利用ANSYS软件建立8个周期单元的有限长并联梁结构模型，计算结构在不同频率100 Hz、145 Hz、170 Hz、186 Hz、210 Hz、250 Hz、294 Hz、578 Hz时的变形，如图6所示。

图 6 有限周期结构在不同频率下的振动变形图

Figure 6. Deformation of the finite periodic structure

下载: 全尺寸图片幻灯片

从图6可以看出，在通带100 Hz处，两梁上下弯曲振动，且振动基本保持一致，振子的振动方向与梁垂直，波动传遍整个周期结构而未发生衰减；而145 Hz位于第一带隙起始频率附近，振子发生明显上下振动，而梁保持静止。170 Hz处于带隙范围内，振动仅局限在振源附近，经过几个周期的传播之后消失。186 Hz位于第一带隙截止频率处，梁发生轻微振动，振子出现转动。在第二带隙起始频率210 Hz处，梁静止而振子出现明显的转动；两个带隙起始频率代表了振子两种不同的振动模式。在带隙频率在250 Hz处，波传播发生衰减。在第二带隙截止频率294 Hz处，两梁保持同幅值对称振动，而在f₄=578 Hz，两梁保持同幅值反对称振动。有限长并联梁结构的变形模式分析结果进一步验证了无限梁结构在频率范围146.3 Hz~186.1 Hz和210.9 Hz~294 Hz发生波动衰减，在其他频段发生波动传播的频带特性。

3.3 简化公式

为弄清带隙范围，结合简化模型即弹簧振子示意图给出带隙起始、截止频率近似计算公式及推导过程：第一带隙起始频率f₁对应的振动形式为梁静止而振子上下振动，相当于以梁为基础的弹簧振子模型，因此起始频率就是单弹簧振子系统共振频率，即：

${f_1} = \frac{1}{{2\pi }}\sqrt {\frac{{{k_1} + {k_2}}}{m}}$

(8)

在第一带隙截止频率f₂₁，振子发生转动，梁仅存在轻微振动，侧面图的振动效果如图7(a)所示，为简化计算，不考虑梁的振动，可将其分为对称的左、右2部分，其简化振动模型如图7(b)所示，故：

图 7 f₂₁频率处弹簧振子模型示意图

Figure 7. Simple model of the spring-mass-beam at f₂₁

下载: 全尺寸图片幻灯片

${f_{21}} = \frac{1}{{2\pi }}\sqrt {\frac{{2l_3^2}}{{J({1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {{k_2} + {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {2{k_3}}}} \right. } {2{k_3}}}}}} \right. } {{k_2} + {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {2{k_3}}}} \right. } {2{k_3}}}}})}}}$

(9)

f₂₂处振子发生转动，而梁不发生振动，利用y(x,t)=0可得此处振子共振频率：

${f_{22}} = \frac{1}{{2\pi }}\sqrt {\frac{{({k_1} + {k_2}){{({{{l_3}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{l_3}} 2}} \right. } 2})}^2}}}{J}}$

(10)

f₃振动模态显示为梁同时发生弯曲振动，振子上下振动，假设在弹簧的某个中间点固定不动，可按照图8所示进行计算，即：

$\left\{ \begin{aligned} & \frac{{k}_{\rm s}}{{m}_{\rm{b}}}=\frac{2{k}_{\rm s}'}{m}\\& \frac{1}{{k}_{\rm s}}+\frac{1}{{k}_{\rm s}'}=\frac{1}{{k}_{1}}=\frac{1}{{k}_{2}} \end{aligned}\right.$

(11)

图 8 f₃频率处弹簧振子模型示意图

Figure 8. Simple model of the spring-mass-beam at f₃

下载: 全尺寸图片幻灯片

求解 ${k_{\rm s}}$ 即可得到截止频率：

${f}_{3}=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{{k}_{\rm s}}{{m}_{\rm{b}}}}$

(12)

f₄振动模态显示为两侧梁发生反向弯曲振动，振子略轻微转动，假设在弹簧的某个中间点固定不动，可按照图9所示进行计算，即：

$\left\{ \begin{aligned} & \frac{{k}_{\rm s}+{k}_{4}}{{m}_{\rm{b}}}=\frac{{k}_{\rm s}+{k}_{5}}{{m}_{\rm{b}}}\\& \frac{{k}_{\rm s}+{k}_{4}}{{m}_{\rm{b}}}=\frac{2{k}_{\rm s}'{({l}_{3}/2)}^{2}}{J}\\& \frac{1}{{k}_{\rm s}}+\frac{1}{{k}_{\rm s}'}=\frac{1}{{k}_{1}}=\frac{1}{{k}_{2}}\\& \frac{1}{{k}_{4}}+\frac{1}{{k}_{5}}=\frac{1}{{k}_{3}} \end{aligned}\right.$

(13)

推导解出 ${k_{\rm s}}$ 、 ${k_4}$ ，即可得：

${f}_{4}=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{{k}_{\rm s}+{k}_{4}}{{m}_{\rm{b}}}}$

(14)

对于平行并联梁而言，图4能带结构图显示其带隙f₁=146.3 Hz，f₂₁=186 Hz，f₂₂ =210.9 Hz，f₃=294 Hz，f₄=578.3 Hz，而通过式(8)~式(10)、式(12)、式(14)计算得到的起始、截止频率分别为f₁=146.6 Hz，f₂₁=188.9 Hz，f₂₂ =211.2 Hz，f₃=294 Hz，f₄=578.6 Hz。可以发现，这与能带结构图中带隙边界处的频率几乎一致，因此验证了估算公式的准确性。

图 9 f₄频率处弹簧振子模型示意图

Figure 9. Simple model of the spring-mass-beam at f₄

下载: 全尺寸图片幻灯片

3.4 带隙影响规律

为了研究带隙特性的影响因素，分析了带隙起止频率随梁晶格常数a，弹簧刚度k₁和k₂以及振子质量m的变化规律，如图10所示。

由图10(a)可知，当周期梁的晶格常数a发生变化时，f₁、f₂₁、f₂₂保持不变，第一带隙不会发生改变，随着a的增大f₃逐渐减小，第二带隙带宽随之减小。这是因为a增加引起梁质量增加，只有式(12)、式(14)与梁自重有关，故f₁、f₂₁、f₂₂不变，f₃、f₄减小。

由图10(b)可知，随着弹簧刚度k₁、k₂的增加，五个频率均有增加。当 ${{{k}}_1} = {k_2} \lt 130$ kN/m时，f₂₁>f₁，结构中存在2个带隙，且随着弹簧刚度的增加，第一带隙宽度逐渐降低，而第二带隙宽度逐渐增加；继续增加弹簧刚度时结构由2个带隙变成1个带隙，但带隙宽度迅速增加。

图10(c)显示振子质量的增加会导致五个频率减小，f₂₁减小速率稍大于f₁，使得第一带隙宽度略微减小，f₃减小速率小于f₂₂，第二带隙宽度明显增加，带隙总宽度增加。这是因为J=m×[(l₃²)+(l₂²)]/12，故f₁、f₂₁、f₂₂逐渐减小；f₃和f₄隐式表达式中与m和J有关，因此也随之减小。

图 10 带隙随a、k₁和m变化图

Figure 10. Effects of a, k₁ and m on the bandgap

下载: 全尺寸图片幻灯片

为了直观地展示连接弹簧从无到有以及刚度变化对带隙的影响规律，图11给出了连接弹簧刚度k₃变化时的能带结构图以及带隙变化图。可以发现，k₃的变化只对f₂₁、f₄产生影响，随着k₃的增加f₂₁从0 Hz迅速增至f₁=146 Hz，第一带隙逐渐出现且带宽随之增加；k₃继续增加时，两梁之间相当于刚接，f₂₁增至f₂₂，第二能带变成一条平直带，这与单梁振子转动共振引起平直能带^[16]结论一致。同时，由于f₄隐式表达式与k₃有关，k₃增加引起f₄快速增加，这也是引入连接弹簧第四能带向上移动的原因。

图 11 弹簧连接刚度变化对能带结构和带隙频率的影响

Figure 11. Effects of the stiffness of the connected springs on the band structure and bandgap

下载: 全尺寸图片幻灯片

4 试验验证

为验证理论计算和有限元仿真结果的正确性，按照表2所列尺寸制作模型试件，基体梁为1 cm×1 cm×48 cm的铝材，振子块由钢材制作成2 cm×2 cm×3 cm的标准尺寸。弹簧采用高强度合金弹簧，通过试验确定出最合适的直径和长度，其中与振子相连的高强度合金弹簧刚度为40 kN/m，两根梁之间的弹簧刚度为80 kN/m，尽量保证试验材料与理论研究模型的高度一致性。模型制作过程中使用502胶粘剂进行胶合，静置12 h确保完全固化，试验系统如图12所示。

试验时将试件吊起，在梁一端施加激励，另一端接收响应信号，激振点与响应拾取点处信号通过附着在梁表面的加速度传感器获得。通过计算响应信号与激励信号之比可得振动传输特性曲线，如图13所示。图13(a)阴影区域150 Hz~184 Hz和200 Hz~295 Hz、图13(b)阴影区域156 Hz~198 Hz和216 Hz~295 Hz为试验测得振动衰减区域，可以发现，试验测得各带隙起止频率与理论计算结果(图4(a))误差最大不超过5%。而且，无论同侧还是异侧，试验所测最大衰减幅度都达到了50 dB。因此，无论从带隙起止频率还是振动衰减幅值来看，试验结果都验证了理论计算与有限元模拟预测带隙特性的准确性。

图 12 模型试件测试系统图

Figure 12. Experiment system of the model

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 13 试验和有限元仿真计算振动传输特性

Figure 13. Transmission properties by experiment and finite element method

下载: 全尺寸图片幻灯片

5 结论

本文结合平面波展开法，推导了双自由度振子平行并联周期梁的理论分析模型，通过模态分析和变形模式研究了带隙形成机理。同时，采用有限元模拟和试验验证了所提出周期结构波传播模型的正确性。结论如下：

(1) 当两梁之间连接弹簧刚度较小时，平行并联梁结构的转动自由度会引起一条弯曲的能带，而非单梁中的平直能带，且带隙的打开是由振子转动共振模式决定。

(2) 增加晶格常数，会引起梁质量增加，从而截止频率降低，而起始频率不变，导致带宽减小；增加梁与振子之间弹簧的刚度，第一带隙截止频率轻微变化，其他4个频率迅速增加，且频率越高，增加速率越快，导致第一带隙消失但第二带隙带宽增大；增加振子质量，会使起始频率减小，而截止频率不变，因此带宽增大。这些影响规律均可通过简化模型得以解释。

(3) 通过调节两梁之间连接弹簧刚度，可以实现对第二条能带的控制，从而有效调节带隙频率，为双梁减振设计提供了新途径。

图 1 含周期振子的平行并联梁模型示意图

Figure 1. Schematic model of two beams in parallel with periodic oscillators

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 2 并联周期梁结构的能带结构和传输特性图(T代表同侧传输特性，Y代表异侧传输特性)

Figure 2. Band structure and transmission property of the periodic beams in parallel

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 3 使用弹簧连接的平行并联周期梁模型示意图

Figure 3. Schematic model of the two beams connected with springs

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 4 使用弹簧连接的并联周期梁结构能带结构和传输特性图

Figure 4. Band structure and transmission property of the two beams connected with springs

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 5 平行并联梁晶胞单元固有模态图

Figure 5. Eigenmodes of the unit cell

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 6 有限周期结构在不同频率下的振动变形图

Figure 6. Deformation of the finite periodic structure

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 7 f₂₁频率处弹簧振子模型示意图

Figure 7. Simple model of the spring-mass-beam at f₂₁

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 8 f₃频率处弹簧振子模型示意图

Figure 8. Simple model of the spring-mass-beam at f₃

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 9 f₄频率处弹簧振子模型示意图

Figure 9. Simple model of the spring-mass-beam at f₄

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 10 带隙随a、k₁和m变化图

Figure 10. Effects of a, k₁ and m on the bandgap

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 11 弹簧连接刚度变化对能带结构和带隙频率的影响

Figure 11. Effects of the stiffness of the connected springs on the band structure and bandgap

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 12 模型试件测试系统图

Figure 12. Experiment system of the model

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 13 试验和有限元仿真计算振动传输特性

Figure 13. Transmission properties by experiment and finite element method

下载: 全尺寸图片幻灯片

表 1 材料参数表

Table 1 Material properties

材料密度ρ/(kg·m⁻³) 弹性模量E/(×10⁹ Pa) 泊松比μ

铝 2600 70 0.30
铁 7860 206 0.27

下载: 导出CSV

表 2 结构几何参数表

Table 2 Geometrical properties

晶格长度
a/m 梁宽b=
梁高h/m 弹簧刚度
k₁=k₂/(kN·m⁻¹) 振子质量
m/kg 振子宽l₁=
振子高l₂/m 振子长
l₃/m

0.06 0.01 40 0.09432 0.02 0.03

下载: 导出CSV

参考文献(25)

[1]	文岐华, 左曙光, 魏欢. 多振子梁弯曲振动中的局域共振带隙[J]. 物理学报, 2012, 61(3): 240 − 246. doi: 10.7498/aps.61.034301 WEN Qihua, ZUO Shuguang, WEI Huan. Locally resonant elastic wave band gaps in flexural vibration of multi-oscillators beam [J]. Acta Physica Sinica, 2012, 61(3): 240 − 246. (in Chinese) doi: 10.7498/aps.61.034301
[2]	丁兰, 朱宏平, 吴巧云. 弹性地基上随机失谐周期加固管的波动局部化特性研究[J]. 工程力学, 2015, 32(2): 45 − 52. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2014.01.0036 DING Lan, ZHU Hongping, WU Qiaoyun. Study on wave localization in randomly disordered periodically stiffened pipes on elastic foundations [J]. Engineering Mechanics, 2015, 32(2): 45 − 52. (in Chinese) doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2014.01.0036
[3]	马建刚, 盛美萍, 韩玉迎. 多带隙局域共振单元抑振设计与实验验证[J]. 振动工程学报, 2019, 32(6): 943 − 949. MA Jiangang, SHENG Meiping, HAN Yuying. Structure design and experimental verification of multi-bandgap locally resonant unit [J]. Journal of Vibration Engineering, 2019, 32(6): 943 − 949. (in Chinese)
[4]	范重, 崔俊伟, 薛浩淳, 等. 地铁上盖结构隔震效果研究[J]. 工程力学, 2021, 38(增刊): 77 − 88. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2020.05.S015 FAN Zhong, CUI Junwei, XUE Haochun, et al. Study on the isolation effect of subway cover structures [J]. Engineering Mechanics, 2021, 38(Suppl): 77 − 88. (in Chinese) doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2020.05.S015
[5]	葛倩倩, 于桂兰. 有覆层土体中部分埋入式表面波屏障[J]. 工程力学, 2020, 37(增刊 1): 249 − 253. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.04.S046 GE Qianqian, YU Guilan. A partially embedded periodic barrier for surface waves in soil with a covered layer [J]. Engineering Mechanics, 2020, 37(Suppl 1): 249 − 253. (in Chinese) doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.04.S046
[6]	郁殿龙. 基于声子晶体理论的梁板类周期结构振动带隙特性研究 [D]. 长沙: 国防科学技术大学, 2006: 1 − 145 YU Dianlong. Research on the vibration band gaps of periodic beams and plates based on the theory of phononic crystals [D]. Changsha: National University of Defense Technology, 2006: 1 − 145. (in Chinese)
[7]	TIAN X Y, CHEN W J, GAO R J, et al. Merging Bragg and local resonance bandgaps in perforated elastic metamaterials with embedded spiral holes [J]. Journal of Sound and Vibration, 2021, 500: 116036. doi: 10.1016/j.jsv.2021.116036
[8]	ADRIEN P, THOMAS G, FRANÇOIS G. On the control of the first Bragg band gap in periodic continuously corrugated beam for flexural vibration [J]. Journal of Sound and Vibration, 2019, 446: 249 − 262. doi: 10.1016/j.jsv.2019.01.029
[9]	GUO Z K, HU G B, SOROKIN V, et al. Low-frequency flexural wave attenuation in metamaterial sandwich beam with hourglass lattice truss core [J]. Wave Motion, 2021, 104: 102750. doi: 10.1016/j.wavemoti.2021.102750
[10]	HUSSEIN M I, LEAMY M J, RUZZEne M. Dynamics of phononic materials and structures: Historical origins, recent progress, and future outlook [J]. Applied Mechanics Reviews, 2014, 66(4): 040802. doi: 10.1115/1.4026911
[11]	吴旭东, 左曙光, 倪天心, 等. 并联双振子声子晶体梁结构带隙特性研究[J]. 振动工程学报, 2017, 30(1): 79 − 85. doi: 10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2017.01.011 WU Xudong, ZUO Shuguang, NI Tianxin, et al. Study of the bandgap characteristics of a locally resonant phononic crystal beam with attached double oscillators in parallel [J]. Journal of Vibration Engineering, 2017, 30(1): 79 − 85. (in Chinese) doi: 10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2017.01.011
[12]	WANG G, WEN J H, WEN X S. Quasi-one-dimensional phononic crystals studied using the improved lumped-mass method: Application to locally resonant beams with flexural wave band gap [J]. Physical Review B, 2005, 71(10): 104302. doi: 10.1103/PhysRevB.71.104302
[13]	XIAO Y, WEN J H, YU D L, et al. Flexural wave propagation in beams with periodically attached vibration absorbers: Band-gap behavior and band formation mechanisms [J]. Journal of Sound and Vibration, 2013, 332(4): 867 − 893. doi: 10.1016/j.jsv.2012.09.035
[14]	YU D L, WEN J H, SHEN H J, et al. Propagation of ﬂexural wave in periodic beam on elastic foundations [J]. Physics Letters A, 2012, 376(4): 626 − 630. doi: 10.1016/j.physleta.2011.11.056
[15]	HU G B, AUSTIN A C M, SOROKIN V, et al. Metamaterial beam with graded local resonators for broadband vibration suppression [J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 2021, 146: 106982. doi: 10.1016/j.ymssp.2020.106982
[16]	YU D L, LIU Y Z, ZHAO H G, et al. Flexural vibration band gaps in Euler-Bernoulli beams with locally resonant structures with two degrees of freedom [J]. Physical Review B, 2006, 73(6): 064301.
[17]	WANG Z Y, ZHANG P, ZHANG Y Q. Locally resonant band gaps in flexural vibrations of a Timoshenko beam with periodically attached multioscillators [J]. Mathematical Problems in Engineering, 2013, 2013: 146975-1 − 146975-10. doi: 10.1155/2013/146975
[18]	DING L, YE Z, WU Q Y. Flexural vibration band gaps in periodic Timoshenko beams with oscillators in series resting on flexible supports [J]. Advances in Structural Engineering, 2020, 23(14): 3117 − 3127. doi: 10.1177/1369433220928529
[19]	CHEN J S, SHARMA B, SUN C T. Dynamic behaviour of sandwich structure containing spring-mass resonators [J]. Composite Structures, 2011, 93(8): 2120 − 2125. doi: 10.1016/j.compstruct.2011.02.007
[20]	SHARMA B, SUN C T. Local resonance and Bragg bandgaps in sandwich beams containing periodically inserted resonators [J]. Journal of Sound and Vibration, 2016, 364: 133 − 146. doi: 10.1016/j.jsv.2015.11.019
[21]	涂静, 史治宇. 双层欧拉梁声子晶体弯曲振动带隙特性研究[J]. 机械制造与自动化, 2020, 49(2): 69 − 73. doi: 10.19344/j.cnki.issn1671-5276.2020.02.017 TU Jing, SHI Zhiyu. Study on bandgap characteristics of bending vibration of double-layer Euler beam phononic crystal [J]. Mechanical Manufacture and Automation, 2020, 49(2): 69 − 73. (in Chinese) doi: 10.19344/j.cnki.issn1671-5276.2020.02.017
[22]	HE F Y, SHI Z Y, QIAN D H, et al. Flexural wave bandgap properties in metamaterial dual-beam structure [J]. Physics Letters A, 2022, 429: 127950. doi: 10.1016/j.physleta.2022.127950
[23]	CHEN J S, HUANG Y J. Wave propagation in sandwich structures with multiresonators [J]. Journal of Vibration and Acoustics, 2016, 138(4): 041009. doi: 10.1115/1.4033197
[24]	CHEN H, LI X P, CHEN Y Y, et al. Wave propagation and absorption of sandwich beams containing interior dissipative multi-resonators [J]. Ultrasonics, 2017, 76: 99 − 108. doi: 10.1016/j.ultras.2016.12.014
[25]	ZHANG Y, FAN X L, LI J Q, et al. Low-frequency vibration insulation performance of the pyramidal lattice sandwich metamaterial beam [J]. Composite Structures, 2021, 278: 114719. doi: 10.1016/j.compstruct.2021.114719

施引文献(5)

期刊类型引用(4)

1.	苟海朝，路国运，杨会伟. 基于网架结构周期特性的改进设计及振动传递特性分析. 太原理工大学学报. 2025(02): 216-223 . 百度学术
2.	马威，张健，姜鑫，吴文章. 三自由度凿岩机-岩石模型的分岔分析和实验. 工程力学. 2025(04): 226-233 . 本站查看
3.	徐杰，郑辉，石承志，闫雪豹，文丕华. 含裂纹声子晶体能带分析的改进局部径向基函数配点法. 力学学报. 2024(07): 2063-2076 . 百度学术
4.	曾超，赵春风，陈昌强. 埋地局域共振超屏障衰减地震表面波研究. 工程力学. 2024(10): 1-11 . 本站查看

其他类型引用(1)

资源附件(0)

图(13) / 表(2)

计量

文章访问数: 472
HTML全文浏览量: 167
PDF下载量: 113
被引次数: 5

1 平行并联梁模型
2 弯曲振动带隙特性
3 带隙扩宽
3.1 能带结构
3.2 模态分析和变形模式
3.3 简化公式
3.4 带隙影响规律
4 试验验证
5 结论

含双自由度周期振子的平行并联梁弯曲振动带隙特性

通讯作者: 吴巧云(1985−)，女，山东人，教授，博士，主要从事结构抗震研究(E-mail: wuqiaoyun@wit.edu.cn)

计量

出版历程