玄武岩纤维(Basalt Fiber Reinforced Polymer，BFRP)属于四大高新技术纤维(即玄武岩纤维、碳纤维、 玻璃纤维、芳纶纤维)之一^[1]。BFRP筋具有抗拉强度高、耐腐性能好、热膨胀系数与混凝土相近及自重小等优点，被视为替代钢筋应用于土木建筑结构中的新型材料^[2-4]。相比于传统钢筋和其他纤维筋，BFRP筋有更高的抗拉强度、弹性模量和断裂伸长率，因而在高层建筑、大跨度结构、预应力结构以及强腐蚀性环境等领域有广阔的应用前景^[5-11]。

与传统钢筋混凝土结构相似，纤维筋与混凝土之间应力的传递也主要依靠二者界面间的粘结应力^[12-17]。研究表明，纤维筋与混凝土的粘结性能不仅与筋的材料有关，而且与纤维筋的表面形状也有很大关系^[18-20]。纤维筋表面形状的改变，主要是增加纤维筋与混凝土界面的摩擦力和机械咬合力^[21-23]。部分学者研究发现BFRP筋-混凝土的粘结强度随混凝土强度及保护层厚度的增加而提高，随BFRP筋直径及粘结长度的减小而提高^[24-27]。此外，BFRP筋的滑移量随其直径增大而线性增加^[25]；试件的粘结破坏模式与BFRP筋肋间混凝土的抗剪强度及劈裂强度有关^{[26, 28]}。LI等^[29]通过多元回归方式发现钢筋的残余粘结应力与其峰值粘结应力存在比例关系，比例系数与混凝土保护层厚度、钢筋直径和混凝土强度有关。由于纤维筋各向异性、低剪切模量、横向抗剪强度低等负面特性^[30]，纤维筋不能像传统钢筋一些进行弯曲锚固。虽然已经有学者提出可弯折锚固的热塑性纤维筋，但锚固效果并不理想；而且与热固性材料相比，热塑性材料的耐腐蚀性和抗剪切能力更差^[31]。对于纤维筋锚固，一些学者采用铝合金套管作为附加肋的方法对纤维筋进行锚固，发现该方法能够有效地改善纤维筋与混凝土之间的粘结性能，但铝合金套管与纤维筋之间的剪切力仍会对纤维筋造成损伤，导致粘结强度下降，且这种损害对BFRP筋更加明显^{[30, 32-33]}。ASHRAFI等^[15]采用碳纤维布缠裹的方式，对玻璃纤维筋进行锚固，结果表明碳纤维布锚固能有效的提高纤维筋与混凝土之间的粘结性能，碳纤维布与纤维筋之间结合良好，且不会对纤维筋造成损害。

本文采用碳纤维布缠裹的方式对BFRP筋进行锚固，以解决BFRP筋因粘结强度不足导致材料利用率低的问题。通过对比试验，分析碳纤维锚固的尺寸及混凝土强度对锚固性能的影响，以及各因素对碳纤维布锚固的影响程度，建立碳纤维锚固下的粘结强度预测模型，并给出BFRP筋-混凝土粘结滑移本构模型。

1   试验研究

通过对比试验设置5个对照组，每组包含4个BFRP筋-混凝土拉拔试件，探索碳纤维锚固直径、锚固长度以及混凝土强度对BFRP筋-混凝土粘结性能的影响。

1.1   试件设计与制作

1.1.1   试验材料

1) 混凝土

试验设计了C30、C40两种强度等级的混凝土。混凝土中胶凝材料为普通硅酸盐水泥和普通自来水，细骨料为普通河沙，粗骨料选用最大粒径为20 mm的碎石。计算所得的初步配合比，经过试配与调整，最终确定的混凝土配合比如表1所示。

表  1  混凝土配合比

Table  1.  Mix proportion of concrete

混凝土等级	水泥等级	配合比/(kg/m3)
		水	水泥	砂	石子	减水剂
C30	32.5	476	195	546	1160	−
C40	42.5	434	195	575	1167	−
注：在实际配置过程中，考虑到石子和砂的含水率，对水用量进行了调整。

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试件制作的同时，每种强度等级的混凝土各预留了3个边长为100 mm的立方体试块，依据规范(GB/T 50081−2019) ^[34]，将测得的强度值乘以系数0.95换算为标准立方体抗压强度，实测混凝土立方体的抗压强度见表2。

2) BFRP筋及碳纤维布

采用直径为10 mm的深螺纹BFRP筋进行拉拔试验。选取三根相同批次生产的纤维筋，参照规范(GB/T 30022−2013)^[35]测试其力学性能，将测试结果取平均值作为BFRP筋的力学性能参数，具体数值见表3。BFRP筋的表面形状如图1(a)所示，图1(b)为本试验所用的碳纤维布，其抗拉强度和弹性模量分别为3710 MPa和2.41×10⁵ GPa。

表  2  混凝土抗压强度

Table  2.  Compressive strength of concrete

强度等级	试验结果1/ MPa	试验结果2/ MPa	试验结果3/ MPa	最终值/ MPa
C30	30.17	32.01	36.08	32.8
C40	49.89	45.51	46.16	47.2

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表  3  BFRP筋力学性能及肋参数

Table  3.  Material properties and rib parameters of BFRP bar

纤维筋直径/ mm	抗拉强度/ MPa	弹性模量/ GPa	肋高度/ mm	肋间距/ mm
10	1344	54.2	0.77	9.92

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图  1  BFRP筋及碳纤维布

Figure  1.  BFRP bars and carbon fiber mat

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1.1.2   试件制作

本试验设计了3种锚固形式，具体参数见表4。在将碳纤维布缠裹到BFRP筋时，先在预定位置做好标记，然后将需要的碳纤维布按尺寸裁剪；在碳纤维布上均匀涂上预先调好的碳纤维布浸渍胶；按照BFRP筋上的标记将碳纤维布包裹在BFRP上，等待胶水完全固化即可。图2为包裹好碳纤维布的纤维筋。

参考现有文献和规范^{[21, 36]}，拉拔试件选用如图3所示的棱长为150 mm的标准立方体试件，纤维筋设置在混凝土立方体试块的中心，为了调节粘结长度和避免因加载产生应力集中，在纤维筋两端用PVC套管将纤维筋与混凝土隔开。BFRP筋与混凝土粘结长度统一取为BFRP筋直径的8倍，在试件的自由端预留长度为20 mm的BFRP筋，用于测量自由端的滑移值。模具采用可拆卸的塑料模具，在模具两侧钻了孔径略大于纤维筋直径的孔洞。由于BFRP筋抗剪强度较差，不能直接使用夹具进行中心拉拔试验，故选用长度为240 mm的镀锌钢套管(外径30.3 mm，壁厚3.2 mm)进行锚固，BFRP筋与钢套管之间灌注环氧树脂AB胶^[37]。

表  4  碳纤维布锚固体系种类

Table  4.  Types of carbon fiber mat anchorage

编号	纤维布种类	锚固长度/mm	锚固直径/mm
a	碳纤维	20	20
b	碳纤维	40	20
c	碳纤维	40	16
d	−	−	−

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图  2  包裹碳纤维布的纤维筋　/mm

Figure  2.  Fiber reinforcement wrapped in carbon fiber mat

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图  3  拉拔试件　/mm

Figure  3.  Pull-out specimen

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1.2   加载方案设计

试验设计了两种混凝土强度，4种锚固条件，一共5个对照组，每组对应4种相同条件的试件，试验方案如表5所示。表中试件编号为Ci-Lj-Dk：Ci表示强度混凝土等级；Lj表示锚固长度；Dk表示锚固直径。

表  5  试验方案

Table  5.  Test scheme

试件编号	混凝土等级	锚固类型	粘结长度
C40-L20-D20	C40	a	8d
C40-L40-D20	C40	b	8d
C40-L40-D16	C40	c	8d
C40-L0-D0	C40	d	8d
C30-L40-D20	C30	b	8d

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在陆军工程大学MTS-322高强材料试验系统上进行拉拔试验，采用位移控制试验加载；以0.05 mm/s的加载速度模拟静力加载条件。在BFRP筋自由端上固定位移计，设置100 Hz的采集频率记录荷载及位移数据。为方便拉拔试验，将试件放入辅助装置中进行拉拔试验。试验加载装置及辅助装置如图4所示。在进行拉拔试验时，为防止混凝土与下钢板接触面受力不均匀导致混凝土破坏，在混凝土与钢板间放置一个薄木板；当试验中出现以下情况的一种，即停止加载^[37-38]：① 纤维筋从混凝土中拔出或者纤维筋断裂；② 混凝土因劈裂而破坏；③ 试件自由端的滑移值大于8 mm且荷载变化较小。

图  4  试验装置

Figure  4.  Test setup

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1.3   结果与分析

1.3.1   试验现象与破坏模式

在BFRP筋-混凝土中心拉拔试验中通常会出现混凝土劈裂破坏、纤维筋拔出破坏以及纤维筋拉断破坏三种破坏形式^{[19, 39-40]}。在本次试验中仅出现了混凝土劈裂破坏和纤维筋拔出破坏，没有出现纤维筋拉断破坏。这可能是因为BFRP筋是一种弹性模量为52.0 GPa^[40]，抗拉强度大于750 MPa，极限应变为2.31%的增强材料，发生脆性破坏之前，BFRP筋始终保持良好的线弹性^[41]。试验所设置的混凝土强度、粘结长度以及锚固条件提供的粘结应力达不到BFRP筋的极限应力，故未发生BFRP筋拉断破坏。与ASHRAFI等 ^[15]的GFRP筋试验现象相似，所有试件中均未出现碳纤维布锚固脱离纤维筋的情况；只是在碳纤维锚固的端部发生了一些塑性变形，说明用碳纤维布对BFRP筋锚固具有良好的锚固性能。

BFRP筋-混凝土的粘结力主要由化学胶结力、摩擦力和机械咬合力三部分组成，这些力的合力可以被分解为沿纤维筋径向的环向力和沿纤维筋轴线的剪切力^[42-44]。与带肋的BFRP筋相似，带碳纤维布锚固的纤维筋与混凝土粘结力主要也来源于机械咬合力^[45]。与无锚固的纤维筋相比，纤维筋锚固体系除了有纤维筋和混凝土界面，还有纤维筋与碳纤维布、碳纤维布与混凝土两种界面，三者之间的受力传递如图5所示。

图  5  力传递机理

Figure  5.  Force transfer mechanism

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试验结束后将混凝土劈裂研究其破坏现象，破坏情况如图6所示。如图6(a)：带锚固的试件发生混凝土劈裂破坏时，与无锚固的试件相似，BFRP筋会对混凝土产生挤压，这种挤压使混凝土环向受拉，当环向拉力大于混凝土的抗拉强度时，混凝土内部开始出现裂纹，随着拉力的逐渐增大，环向拉力也逐渐增大，混凝土内部的裂纹逐渐向外扩展，当扩展到外表面时混凝土劈裂破坏^{[30, 33, 46]}。如图6(b)、图6(d)~图6(e)：发生纤维筋拔出破坏时，与无锚固的纤维筋拔出破坏有所不同，不再是简单的纤维筋肋间的混凝土被剪碎，纤维筋被拔出。由于碳纤维布锚固的存在，混凝土除了受到沿纤维筋径向的环向拉力，还受到沿纤维筋轴向的压力，在两种力的共同作用下，导致试件在纤维筋拔出的同时发生混凝土的劈裂破坏。将图6(c)与图6(a)~图6(b)、图6(d)~图6(e)对比：可以看出碳纤维锚固的存在，导致混凝土破坏时产生次生裂缝，这种现象可能是由于碳纤维锚端部对混凝土的压力造成的；与无碳纤维锚固相比，纤维筋表面磨损程度明显减小，纤维筋锚固体系的粘结性能主要由碳纤维锚固的机械咬合力承担。对比图6(a)、图6(b)、图6(d)发现：当混凝土强度相同时，锚固的长径比越小，混凝土破坏时越容易产生次生裂缝，且次生裂缝与主裂缝的夹角越大；锚固的长径比较大时碳纤维布在靠近加载端的变形较小，即拉拔过后被挤压形成的弧度较小，而且这种影响随长径比的增大而减少，由此推测长径比达到一定值后长径比对变形的影响将不再增大；这种角度的产生使肋与混凝土产生楔形效应，产生劈裂力^[30]。由图6(d)~图6(e)可以看出相同的锚固条件下，随着混凝土强度的降低混凝土破坏更为严重。

1.3.2   试验结果

选取BFRP筋锚固体系在粘结长度范围内的平均粘结应力来衡量粘结性能的优劣，计算式如式(1)所示^[41]。峰值应力点作为本次试验粘结失效值。

式中：f为BFRP筋锚固体系粘结强度的平均值；F为试件加载时的拉拔力；d为BFRP筋的直径；l为BFRP筋锚固体系的粘结长度。

由于试验设备、混凝土试件的特性以及人为操作等原因，导致试验存在随机误差，故利用误差分析的方法来剔除异常数据。剔除异常数据常用的方法有拉依达准则、狄克逊准则和格拉贝斯法，本试验采用改进格拉贝斯法将可疑数据剔除，具体公式如下：

图  6  破坏形式

Figure  6.  Failure patterns

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式中：试验测量次数n=4，置信概率取P=0.99，${G_P}\left( n \right) = 1.492$。

通过上述方法分别将本试验结果可疑的峰值应力和峰值应力的位移剔除，并求出剩余数据的平均值和方差，结果见表6(表中划线数据为根据改进格拉贝斯法剔除的可疑数据)。

表  6  试验结果

Table  6.  Test results

试件编号	破坏 形式	极限拉 拔力/kN	极限粘结应力/ MPa				自由端位移值/ mm
			实测值	平均值	方差		实测值	平均值	方差
C40-L20-D20-1	S	38.3	15.25	15.20	0.61		3.53	3.32	0.16
C40-L20-D20-2	P+S	40.2	16.00				3.41
C40-L20-D20-3	P+S	35.9	14.29				3.14
C40-L20-D20-4	S	38.3	15.25				3.19
C40-L40-D20-1	S	46.0	18.31	17.82	0.78		3.92	4.26	0.77
C40-L40-D20-2	S	46.3	18.43				5.32
C40-L40-D20-3	P+S	42.0	16.72				3.53
C40-L40-D20-4	P+S	36.5	14.53				3.00
C40-L40-D16-1	S	43.1	17.16	17.85	0.65		4.29	4.06	0.16
C40-L40-D16-2	S	44.4	17.68				3.94
C40-L40-D16-3	S	47.0	18.71				3.94
C40-L40-D16-4	S	39.3	15.64				3.85
C40-L0-D0-1	S	37.2	14.81	15.25	0.39		3.27	3.34	0.12
C40-L0-D0-2	S	39.6	15.76				3.51
C40-L0-D0-3	P+S	38.1	15.17				3.25
C40-L0-D0-4	S	39.7	15.80				3.87
C30-L40-D20-1	P+S	32.1	12.78	12.78	0.13		2.81	3.17	0.46
C30-L40-D20-2	P+S	31.7	12.62				2.89
C30-L40-D20-3	P+S	32.5	12.94				3.82
C30-L40-D20-4	P+S	33.5	13.34				2.56
注：P为试件拔出破坏；S为试件劈裂破坏。

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1.3.3   粘结-滑移曲线

本试验除了C40-L40-D16组试件全为劈裂破坏外，其他各组试件均有纤维筋拔出破坏的情况。由于BFRP筋为线弹性材料且弹性模量很高，达到极限应力前自由端与加载端所测位移可近似相等^[41]，故本文忽略BFRP筋自身的弹性变形，以自由端位移量代替相对滑移。典型的拉拔破坏和劈裂破坏的粘结滑移曲线如图7和图8所示。由图7可知：与无锚固的粘结滑移曲线相似，纤维筋锚固体系的粘结滑移曲线也可分为滑移段、下降段和残余段^[30]；上升段无明显区别，但在下降段与残余段略有不同。纤维筋锚固体系发生拔出破坏的粘结滑移曲线如图7(a)~图7(b)、图7(d)所示：

1) 滑移段

在滑移初期，未产生滑移量或滑移量较小时，纤维筋锚固体系与混凝土的粘结应力由界面的化学胶结力、摩擦力和机械咬合力组成，此阶段粘结滑移曲线增长率较大；在滑移的中期，随着荷载和滑移量的不断增大，纤维筋锚固体系与混凝土产生相对滑移，化学胶结力基本消失，此时的粘结应力主要由摩擦力和机械咬合力承担，曲线的变化率仍比较大；在滑移后期，由于混凝土开始出现裂缝，界面间的压力减小，摩擦力增率也逐渐降低，并且部分混凝土开始被剪碎，机械咬合力增率也开始减少，曲线的斜率渐渐变小。

2) 下降段

峰值应力点过后，曲线进入下降段，由于混凝土裂缝扩展、肋间混凝土被剪碎、纤维筋及碳纤维锚固被磨损或撕裂等原因，摩擦力和机械咬合力也随之减小，此时荷载急剧下降，滑移也相应增加。该阶段与图7(c)相比，曲线斜率明显变大，说明锚固的存在式破坏模式更趋近于脆性破坏。

图  7  BFRP筋-混凝土粘结滑移曲线

Figure  7.  Bond stress-slip curves between BFRP bar and concrete

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图  8  混凝土劈裂破坏粘结滑移曲线

Figure  8.  Bond stress-slip curve for splitting failure

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3) 残余段

下降段过后，曲线斜率变小，进入残余阶段，纤维筋锚固体系与混凝土之间的残余应力是由摩擦力和机械咬合力组成，此时荷载下降的速度减慢；荷载虽整体呈下降趋势，但存在荷载回升现象；最终荷载逐渐趋于平稳，纤维筋拔出，混凝土劈裂。然而无锚固的试件在残余段没有明显的应力回升现象。这种现象可能是由于开裂后的混凝土表面较为复杂，一旦碳纤维锚固或未损坏的肋遇到另一个狭窄区域，机械咬合力和摩擦将重新出现，滑移将被暂时抑制^{[15, 46]}。如图8所示：相比于拔出破坏，劈裂破坏的粘结滑移曲线只有一个上升段，粘结应力达到峰值时混凝土发生劈裂破坏，粘结失效。

将混凝土强度相同，但锚固条件不同的四条粘结滑移曲线绘于图9(a)。从图中可以看出：各曲线上升段斜率近似相等，只是最终峰值应力最终的大小不同，因此碳纤维锚固的存在可能仅提高BFRP筋与混凝土的粘结性能，而不改变其上升段的本构关系。由图9(a)还可以发现：带有碳纤维锚固的粘结滑移曲线在下降段的滑移量都比较小，斜率较大，而且随着峰值应力的增加这种情况也更明显，这表明碳纤维锚固在提高粘结应力的同时破坏模式更趋近于脆性破坏，说明当粘结应力足够大时，可以抵抗BFRP筋和混凝土之间的临界摩擦，最终因混凝土的突然分裂而破坏^[47]。对比图9(a)中C40-L40-D20-3、C40-L40-D16-3和C40-L0-D0-3的残余端，锚固的存在有利于提高残余粘结应力，并且延缓残余粘结应力的下降速度。

图9(b)为相同锚固条件下混凝土强度分别为32.8 MPa、47.2 MPa的粘结滑移曲线，很明显随着混凝土强度的提高粘结强度和增长速率也提高。对比两条曲线的下降段无明显区别，均趋向于脆性破坏。C30-L40-D20-3的下降段过后曲线出现一个明显的回升，随后再次下降，且残余阶段具有更高的粘结应力；在滑移一段后二者的斜率基本持平。

图  9  不同工况下的粘结滑移曲线

Figure  9.  Bond-slip curve under different conditions

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1.3.4   锚固性能影响因素分析

从图10中可以看出，极限粘结应力和对应的滑移量存在一定的正相关，表明碳纤维锚固与混凝土之间的机械咬合力提高粘结强度的同时还能限制混凝土的开裂^[15]。本次试验研究了碳纤维锚固直径、锚固长度和混凝土强度对BFRP筋-混凝土粘结性能的影响，对各影响因素作如下分析：

1) 混凝土强度

对比C40-L40-D20和C30-L40-D20两组试件。混凝土强度由32.8 MPa提高到47.2 MPa，试件的极限粘结应力提高了39.5%，同时峰值应力处的滑移量也增加了4.7%。这表明混凝土强度的提高：① 提高了BFRP筋锚固体系与混凝土之间的化学胶结力；② 提高了混凝土的抗剪切能力，使得界面间具有更大的机械咬合；③ 提高了混凝土的抗拉强度，使界面的混凝土受到环向拉力使不会轻易开裂，延缓裂缝的形成。

2) 碳纤维锚固长度

与无碳纤维锚固的C40-L0-D0组相比，当锚固直径均为20 mm时，锚固长度为20 mm的C40-L20-D20组峰值应力和滑移量分别下降了0.3%和0.6%；锚固长度为40 mm的C40-L40-D20组峰值应力和滑移量分别提高了16.9%和27.5%；对比C40-L20-D20和C40-L40-D20两组试件，锚固长度提高一倍，峰值应力和自由端位移分别提高了17.3%和28.3%。试验结果表明锚固长度为20 mm的碳纤维布锚固并没有提高BFRP筋和混凝土的粘结性能，反而还略微降低了；在之前的研究中也发生过类似的情况^{[15, 46]}。

3) 碳纤维布锚固直径

图  10  极限滑移量-粘结应力相关曲线

Figure  10.  Correlation of ultimate bond stress-slip curve

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相比于无碳纤维锚固的C40-L0-D0组，锚固长度均为40 mm时，锚固直径为20 mm的C40-L40-D20组峰值应力和滑移量分别提高了16.88%和27.5%；锚固直径为16 mm的C40-L40-D16组峰值应力和滑移量分别提高了17.1%和21.6%；对比C40-L40-D20和C40-L40-D16两组试件，锚固直径减少20%，峰值应力提高了0.1%，而自由端位移减少了0.47%；这表明适当的减少锚固直径有利于提高纤维筋与混凝土的粘结性能，同时降低了二者界面件的相对位移，但破坏模式更趋向于脆性破坏。

如图11所示，为碳纤维布锚固长径比与极限粘结应力的关系图。由图中可以看出：当长径比较大时，碳纤维对粘结性能的提高较大，这可能是由于长径比较小时会引起锚固附近局部压应力过大，导致混凝土内部受压产生裂缝，随后裂缝向外扩展直至混凝土破坏。这种现象也验证了锚固性能不仅与锚固材料有关也与锚固的尺寸有关^{[15, 30]}。

综上所述，碳纤维锚固性能受多因素同时影响，如混凝土的强度、锚固直径、锚固长度以及锚固长径比。对于不同强度的混凝土建议使用适当的锚固直径与锚固长度，如果选取不当可能不仅不会提高粘结性能，反而导致混凝土提前开裂降低粘结性能。对于锚固直径为20 mm的碳纤维锚固，锚固长度由20 mm提高至40 mm既能限制混凝土开裂又能较大的提高锚固性能。对于锚固长度40 mm的碳纤维锚固，锚固直径由20 mm下降到16 mm锚固性能仅得到了少量的提高，但却不利于防止混凝土开裂。

图  11  长径比-极限粘结应力关系

Figure  11.  Relationship curve for length/diameter-ultimate bond stress

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2   粘结-滑移本构模型

2.1   基本理论

基于试验所得粘结滑移曲线，在CHEN模型^[47]的基础上，完善了曲线的下降段和残余段，给出了BFRP筋-混凝土的粘结滑移本构关系模型。根据试验结果和试验现象，对BFRP筋-混凝土的粘结滑移过程进行分段描述曲线。如图12所示：OA段为上升段，曲线呈非线性上升；AB、BC分别为下降段和残余段，下降段曲线斜率很大，随着位移的增加曲线斜率开始逐渐降低，最终过度到斜率较小的残余段，AC段曲线的特征比较符合Hyperbl函数形式。因此，BFRP筋与混凝土的粘结滑移本构关系模型可表达为：

滑移段：

下降残余段：

式中：${\tau _{{\rm{cr}}}}$为极限粘结强度；${s_{{\rm{cr}}}}$为峰值应力对应的滑移量；a、b为特征参数，由特征值点(${\tau _{{\rm{cr}}}}$, ${s_{{\rm{cr}}}}$)，(${\tau _1}$,${s_1}$)计算得出。

对本模型第二段公式参数进行分析，当曲线滑移量s趋近于无穷时，$\tau = a$；则曲线最终的残余粘结强度${\tau _{\rm{r}}} = a$。

图  12  BFRP筋粘结滑移本构模型

Figure  12.  Bond-slip constitutive model of BFRP bar

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2.2   模型特征参数

2.2.1   峰值应力及其位移

1)峰值应力

结合试验结果和试验现象不难发现，混凝土劈裂是带锚固的纤维筋与混凝土粘结失效的主要原因。因此，混凝土劈裂时粘结应力${\tau _{{\rm{cr}}}}$被视为粘结达到临界状态的标志之一。本文以部分开裂弹性计算的方法计算${\tau _{{\rm{cr}}}}$^[48]。图13为劈裂应力计算时假定的横截面应力状态。

图  13  横截面应力状态

Figure  13.  Cross-sectional stress state

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混凝土劈裂时的环向拉应力的极限值${p_{{\rm{cr}}}}$按下式计算：

式中：c为保护层厚度；d为纤维筋直径；${f_{\rm{t}}}$为混凝土抗拉强度，$f{}_{\rm{t}} = 0.26f_{{\rm{cu}}}^{0.67}$，$f_{{\rm{cu}}}^{}$为立方体抗压强度。假设无锚固BFRP筋横肋与BFRP筋轴线夹角θ近似等于π/4，则：

该方法计算结果与试验平均值误差仅有1.5%，可以较为准确的计算出BFRP筋的峰值粘结应力。根据试验现象和结果，将碳纤维锚固对粘结强度的提升进行回归分析，得到碳纤维锚固对粘结性能的影响可用下式表示：

式中：α、β为常数由试验确定；γ为锚固的长径比；令$K = \tan \dfrac{\alpha }{{\beta + {{\text{e}}^{ - \gamma }}}}$为锚固影响系数。

联立式(5)和式(7)得到碳纤维锚固条件下的极限粘结应力公式为：

通过试验数值确定常数α、β，并将计算结果计入表7。

表  7  极限粘结应力的试验值

Table  7.  Test value of ultimate bond stress

试件编号	极限拉拔力均值/KN	极限粘结应力/MPa	参数α	参数β
C40-L20-D20	38.18	15.20	2.377	2.695
C40-L40-D20	44.77	17.82
C40-L40-D16	44.83	17.85
C30-L40-D20	32.10	12.78

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将由试验确定的常数α、β代入式(8)得到锚固条件下的极限粘结应力公式：

将理论模型计算结果与试验均值进行对比，并计算理论模型与试验值之间的误差列于表8。由表8可以看出理论模型与试验均值误差小于6%，模型拟合度较为良好。图14为锚固条件下粘结应力的曲面图像，由图像可以看出粘结强度受到锚固的长径比和混凝土抗拉强度影响；当混凝土强度一定时，粘结强度随着锚固长径比的增加而增加，但增长速率逐渐变慢，说明锚固长径比只能在一定范围内影响粘结应力；当锚固长径比不变时，随着混凝土强度的增加粘结应力也不断增加，且明显看出混凝土强度对粘结应力的影响明显强于锚固长径比对粘结应力的影响。

表  8  模型与试验值对比

Table  8.  Comparison of analytical result and test data

试件编号	极限粘结应力/MPa	计算应力/MPa	相对误差/(%)
C40-L20-D20	15.20	15.19	−0.02
C40-L40-D20	17.82	17.26	−3.13
C40-L40-D16	17.85	17.83	−0.08
C40-L0-D0	15.25	15.48	1.50
C30-L40-D20	12.78	13.53	5.48

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鉴于上述模型与试验值存在一定的误差，所以对存在的误差进行如下分析：本模型是基于部分开裂理论进行推导的，计算极限拉应力${\tau _{{\rm{cr}}}}$的方法是一个近似计算方法，计算结果与实际情况存在一定误差。假定了带锚固的BFRP筋粘结应力时均匀分布的，但实际在锚固位置存在应力集中现象。在计算拉拔过后锚固端面与纤维表面夹角时，采用的模型仅考虑了锚固长径比对夹角的影响，而忽略了混凝土强度对夹角的影响，故存在一定误差。计算模型中常数是跟据试验结果回归求得的，得到的常数与试验值存在残差。

图  14  粘结应力图像

Figure  14.  Bond stress image

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2)峰值滑移量

SHEN等^[25]研究发现BFRP筋的峰值滑移量仅与其直径有关，无锚固的峰值滑移量${s_{{\rm{cr0}}}}$计算公式为：

由于锚固的存在对曲线上升段的斜率影响较小，则带锚固的BFRP筋峰值滑移量${s_{{\rm{cr}}}}$为：

2.2.2   残余应力特征值

目前计算残余应力特征值的方法主要有两种，分别为徐有邻等提出的经验回归公式和LI等^[29]发现残余应力与峰值应力的比值公式。

徐有邻等给出的残余应力和对应滑移量的特征值估算方法如下式^[49]：

式中，${\tau _{1 - 1}}$为此算法下的残余应力特征值。

LI等^[29]试验发现粘结滑移曲线的峰值和残余应力成比例，且比例系数与保护层厚度、钢筋直径以及混凝土强度有关，计算公式如下：

该方法估算的残余应力特征值为：

将上述方法计算所得的特征值和特征参数列入表9。

表  9  残余应力特征值及特征参数

Table  9.  Characteristic value and characteristic parameter for residual bond stress

试验 组号	${\tau _{ {\rm{cr} } } }{\rm{/MPa}}$	${s_{ {\rm{cr} } } }{\rm{/mm}}$	${s_1}{\rm{/mm}}$	式(12)计算结果				式(15)计算结果
				${\tau _{1 - 1} }$	${a_1}$	${b_1}$		${\tau _{1 - 2} }$	${a_2}$	${b_2}$
C40-L20-D20	15.19	3.200	5.4	3.371	1.582	−2.867		2.750	1.255	−2.935
C40-L40-D20	17.26	3.636	5.4	3.371	1.268	−3.369		3.125	1.163	−3.391
C40-L40-D16	17.83	3.756	5.4	3.371	1.182	−3.507		3.228	1.124	−3.519
C40-L0-D0	15.48	3.260	5.4	3.371	1.538	−2.936		2.802	1.247	−2.997
C30-L40-D20	13.53	3.636	5.4	2.641	0.994	−3.369		6.086	2.853	−2.869
注：τcr、scr为峰值应力及其对应的位移；τ1−1、τ1−2为通过式(12)和式(15)计算得到的残余应力特征值；s1为残余应力特征滑移量；ai、bi为不同参与应力特征值计算得到的模型参数。

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2.3   计算结果对比分析

将粘结滑移模型曲线与试验曲线进行对比，曲线如图15所示。从图中可以看出，理论模型曲线和试验曲线整体较为吻合，特别是曲线上升段；计算的峰值应力与峰值滑移量与实验值也较为接近。将两种方法计算出来的曲线下降段残余段与试验曲线对比，发现式(12)计算所得曲线与试验曲线的下降段更接近；式(15)计算所得曲线与试验曲线的残余段更接近；总体上看，式(15)计算结果与试验结果更吻合，所以建议采用式(15)计算粘结滑移曲线特征值。

图  15  粘结滑移本构关系对比

Figure  15.  Comparison of bond-slip constitutive relations

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综述所述，BFRP筋粘结滑移本构关系式为：

滑移段：

下降残余段：

式中：${\tau _{{\rm{cr}}}}$为极限粘结强度，${s_{{\rm{cr}}}}$为峰值应力对应的滑移量，由式(9)~式(11)计算得出；$\tau_{{{\rm{r}}}}$、b为特征参数，根据曲线特征值点(${\tau _{{\rm{cr}}}}$,${s_{{\rm{cr}}}}$)，(${\tau _1}$, ${s_1}$)计算得出；${\tau _1}$, ${s_1}$由式(12)、式(13)、式(15)确定。

与现有模型相比，本模型更为简单，仅分为两个阶段；模型特征值和特征参数较少，且都能够通过理论公式或回归公式求得；整体上能够较好的拟合试验曲线。

2.4   锚固参数确定

将求得的α、β值代入到锚固影响系数式中得：

将影响系数关系式绘成函数图像如图16所示。当锚固长径比小于4时曲线斜率比较大，即锚固端面与纤维筋的夹角影响比较大，当锚固长径比大于4时曲线斜率较小且逐渐与X轴平行，即锚固端面与纤维筋的夹角影响比较小。考虑到性价比问题，当锚固长径比等于4时锚固影响系数为1.2达到曲线极限值1.202的99%，故建议锚固长径比取4。

图  16  锚固影响系数曲线

Figure  16.  Influence coefficient curve of anchorage

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试验中有锚固直径20 mm和16 mm两种情况，从试验结果来看锚固直径20 mm时具有更好的延性，故建议选取直径20 mm、长度80 mm的碳纤维锚固。

3   结论

通过5组BFRP筋锚固体系与混凝土中心拉拔试件进行对比试验，研究不同混凝土强度和锚固参数对BFRP筋与混凝土粘结性能的影响。主要结论如下：

(1) 碳纤维锚固的存在可以有效提高纤维筋与混凝土的粘结性能，限制混凝土开裂，使残余阶段有更好的延性，但发生破坏时，试件的破坏模式更趋向于脆性破坏；锚固长径比和混凝土强度的提高有利于提高碳纤维锚固的性能；对于碳纤维锚固体系而言，极限拉应力与极限拉应力条件下的自由端滑移量呈一定的正相关性；

(2) 以部分开裂弹性计算的方法计算极限粘结强度；根据试验结果，采用经验回归的方法求出锚固条件下的粘结应力公式，该公式计算结果与实验值相对误差最大为5.48%，能够较好的估算碳纤维锚固条件下的粘结性能。根据实验结果和现有理论，给出一种通过求解曲线特征值，进而确定BFRP筋-混凝土粘结滑移曲线的方法；

(3) 改进的BFRP筋-混凝土粘结滑移关系模型分为滑移和下降残余两个阶段；该模型较为简单、所含特征值及参数均可通过计算求得，而且物理概念更加明确；无论是在滑移段还是下降残余段该模型曲线均与实测结果较为吻合，能够较好地描述BFRP筋-混凝土粘结滑移曲线。