MECHANICAL MODEL FOR WITHDRAWAL FAILURE OF SELF-TAPPING SCREWS IN GLULAM
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摘要: 随着木结构领域内力学紧固件的发展，具有足够长度和优化螺纹的自攻螺钉或螺纹杆为实现具有高强力学性能的木连接提供了一种新的技术方案。自攻螺钉在木材中的拉拔性能是影响螺钉连接力学性能的重要因素，为了充分利用自攻螺钉的轴向受力优势，应当避免埋置在木材中的自攻螺钉发生拔出破坏。不同于现有基于经典Volkersen理论的计算方法，该文提出一种适用于轴向受力螺纹紧固件的力学模型，首次在模型中引入一种包含螺纹的“装配单元”，用于研究自攻螺钉在胶合木中的拔出破坏机制，解决自攻螺钉的锚固长度计算问题。模型根据拔出破坏的典型现象重新定义了拔出破坏面，考虑了螺纹对木材破坏区域的影响，并在模型简化、公式推导和算法设计上体现出木材的局部受力状态和拔出破坏面上的剪应力、剪力不连续传递现象。理论计算与试验结果有较好的一致性，计算结果还表明，在发生拉断破坏以前，自攻螺钉和螺纹杆的拔出破坏荷载与埋置长度基本呈线性关系。Abstract: With the development of mechanical fasteners in timber structures, self-tapping screws or threaded rods with sufficient length and optimized thread provide a new technical solution for realizing the connections with high mechanical performance. Considering that the withdrawal property of self-tapping screws in wood has an important influence on the mechanical performance of connections with self-tapping screws as fasteners, the withdrawal failure of self-tapping screws in wood should be avoided to take the full advantage of the fasteners in axial load transfer. Different from existing calculation methods based on the classic Volkersen theory, a type of “assembly unit”, which contains threads is first introduced in a new model, is utilized to research the withdrawal failure mechanism of self-tapping screws in glulam and to predict the anchorage length of self-tapping screws in glulam. The model redefines the withdrawal failure surface according to the typical withdrawal failure phenomenon, considers the effect of the thread on the wood failure region, and reflects the local stress of the wood and the discontinuous transfer of shear stress/shear force on the withdrawal failure surface in the aspects of model simplification, of formula derivation and, of algorithm design. An acceptable agreement is achieved between theoretical and experimental results, and a nearly linear relationship is predicted by the model, between withdrawal failure load and embedment length before self-tapping screw or threaded rod fracture.
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不同于我国传统木结构体系中常见的榫卯技术，采用工业化、标准化的力学紧固件对木构件进行连接，在现代木结构体系中更为普遍。在各种类型的紧固件中，如果按照荷载作用方向与紧固件轴线方向之间的角度关系进行大致分类，销栓、螺栓和传统螺钉等类型的紧固件在使用时主要考虑横向受力，而胶植销(glued-in dowel)、胶植杆(glued-in rod)、螺纹杆(threaded rod)和长自攻螺钉(long self-tapping screw)等类型的紧固件具有沿其轴线方向传递荷载的优势。未经加强的常规销栓连接或螺栓连接因转动刚度不足而常被视为铰接，难以满足重型木结构体系中的框架结构对刚性梁柱节点的要求。近年来，由于工艺水平的提升，具有足够螺杆长度和螺纹硬度的螺钉得以面世(如图1所示)，螺钉连接在国外获得了显著的发展[1]。目前在工程中已经出现的长度可达1000 mm的自攻螺钉和几乎可以做到任意长度的螺纹杆，为实现具有一定转动强度和转动刚度的梁柱节点提供了新的技术方案。文献[2-4]展示出螺纹杆或自攻螺钉应用于抗弯连接的研究，其中Ellingsbø等[2]设计的悬臂梁作为水轮机中螺旋桨的模型，需要高强度和高刚度的接头传递叶片和发电机轴之间的剪力和弯矩，这是将螺纹杆应用于高强抗弯节点的早期探索。Kasal等[3]采用自攻螺钉连接的三维刚性节点制作了单层单跨的空间胶合木框架用于抵抗高地震激励，通过试验研究论证了这种抗弯节点的可行性。Fang等[4]对10个长自攻螺钉连接的胶合木梁柱节点开展了足尺试验研究工作，通过一系列单调和循环加载试验初步评估了该类抗弯节点的转动性能。
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自攻螺钉是一种带有螺纹的金属紧固件，通过轧制或锻造线材围绕螺杆形成的连续螺纹在加工过程中经历了硬化处理，使得自攻螺钉在被拧入木构件时能够在预钻孔的内壁自行攻钻出内螺纹(如图2(b)所示)，然后通过螺钉的螺纹与木材内螺纹之间类似于螺纹副的紧密配合，形成一定程度上的机械咬合作用，从而实现紧固件对木构件的连接。从连接的力学机制来看，本文将自攻螺钉和螺纹杆视为同种类型带有螺纹的轴向紧固件；相较于胶植入类型的轴向紧固件[5-6]，两者在施工过程中不再进行注胶，连接的力学性能也不再涉及胶粘剂或胶粘层。
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图 2 未发生拔出破坏的剖切试件Figure 2. A cut specimen of the self-tapping screw without withdrawal failure自攻螺钉在木材中的拉拔性能是影响螺钉连接力学性能的重要因素[7]，为了充分利用自攻螺钉的轴向受力优势，应当避免埋置在木材中的自攻螺钉发生拔出破坏，也就是说，对于这种紧固件的期望破坏模式是螺钉拉断而不是螺钉拔出。研究轴向受力紧固件在木材中的拉拔性能有试验回归[8-9]、数值仿真[10-11]和力学分析[12-17]等方法。试验研究通常会基于大量拉拔试验结果进行回归分析，提出自攻螺钉的拔出力或拔出强度计算公式，以及对这类公式的进一步调整和优化，部分研究成果[8]已经写入相关规范(如Eurocode 5[18])或技术手册。但回归公式对试验数据的依赖性较大，也难以对自攻螺钉的拔出破坏机制进行深刻揭示。数值方法可以在应力-应变层次上进行精细化研究，但目前数值方法的准确性未能获得广泛认同的原因主要在于以下两个方面：1)准确表现木材本构关系，特别是以表现剪切破坏为主要破坏准则的损伤模型有待研究；2)在拉拔过程中，自攻螺钉与木材之间的受力与变形属于典型的接触问题，但接触模型及其参数设置还缺乏可靠的资料。
需要指出，目前专门针对自攻螺钉和螺纹杆这种带螺纹轴向紧固件的理论成果还比较有限，需要扩展到包含胶植销、胶植杆、某些专门设计的“Lagscrewbolt”和拉力螺钉等在内的轴向紧固件，才能对现有的理论成果进行比较全面的评述和总结。绝大部分已知的拔出破坏力学模型[12-17]可以追溯至经典的Volkersen理论[12]，该理论最初用于分析搭接接头中的铆钉荷载分布。Jensen等[13]针对轴向受力胶植销提出的线弹性有限胶粘层剪切刚度计算方法与Volkersen理论是相似的：假定全部剪切滑移变形发生在钢销和木材之间的胶粘层(bond line)，如图3所示，该胶粘层处于纯剪状态，剪应力与剪切滑移为线弹性本构关系；区分“拉-拉”、“拉-推”两种加载方式，通过在最大剪应力的位置令剪应力达到剪切强度后可以获得胶植销的拔出破坏荷载。此后，多位学者对这一方法开展了持续的改进，通过引入新的物理变量使其适用于其它类型的轴向受力紧固件。例如，Nakatani等[14]将该方法应用于Lagscrewbolt紧固件，并采用厚度20 mm的薄胶合木板进行拉拔试验，用以确定计算公式中所需要的剪切刚度和剪切强度。Jensen等[15]引入了平均应力破坏准则代替文献[13]中的最大应力破坏准则。更重要的是，Jensen等[16]还指出了因螺纹的存在使得剪应力不能连续传递的力学现象，这是带有螺纹的轴向紧固件与胶植入类型轴向紧固件在连接的力学机制方面存在的本质区别。在上述成果的基础上，Stamatopoulos等[17]研究了螺纹杆在胶合木中的拉拔力，将Volkersen理论中剪切变形的区域扩大为有限尺寸，并使用假定的木材有效受压面积参与计算；剪切变形区域采用有下降段的双折线本构关系简化该区域在实际受力情况中的非线性行为，引入无量纲断裂长度参数以量化剪切变形区域中逐步进入非弹性受力状态的区域。
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以上内容简要概述了木材中轴向受力紧固件拔出破坏荷载计算模型的流变过程。可以看出，用于研究轴向受力螺纹紧固件拉拔性能的理论模型仍然存在一定的缺陷。根据前述自攻螺钉在木材中自行攻丝并形成连接作用的原理，被挤压在螺纹牙侧和牙底的木材处于高度复杂的局部受力状态，由于Volkersen理论在本质上不是针对这种机械咬合作用，在此基础上进行的调整和改进并不能很好地体现出螺纹紧固件的特点。本文拟对经典Volkersen理论进行重大改进，首次提出一种引入了“装配单元(assembly unit)”[19]的力学模型：根据拉拔试验现象重新定义自攻螺钉拔出时的木材破坏面，结合一定简化条件截取出一种可以进行整体总装和零件拆解的装配单元，通过对装配单元进行力学分析，研究自攻螺钉在胶合木中的拔出破坏机制。模型考虑到螺纹对木材破坏区域产生的影响，反映出木材的局部受力状态和拔出破坏面上的剪应力/剪力不连续传递现象；模型旨在解决自攻螺钉在胶合木中的锚固长度计算问题，避免自攻螺钉在应用过程中发生拔出破坏。
1 自攻螺钉拉拔破坏模型
1.1 模型简化
图4展示了自攻螺钉在轴向拉拔力作用下发生拔出破坏的典型试验现象。通过对环绕在螺钉外径的木材破坏情况和隔断在螺纹间距内的木材破坏情况进行观察，可以认为拔出破坏有以下两个主要特点：1)拔出破坏主要是一种发生在木材中的剪切破坏(如图4(a)所示)，拔出破坏面可以简化为环绕螺钉外径的圆柱面(如图4(b)所示)；2)从图4(c)中以螺纹间距为长度随机脱落的木屑可以看出，发生剪切破坏的木材被螺纹切断，拔出破坏面上沿螺钉杆轴方向的剪应力/剪力不再连续地传递。
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图 4 自攻螺钉拔出破坏的典型试验现象Figure 4. Typical withdrawal failure phenomena of a self-tapping screw in wood基于上述特点，本节将对自攻螺钉拉拔破坏模型的建构思路进行可视化描述。力学模型拟先从螺钉杆轴与木材顺纹之间为0°夹角，即自攻螺钉发生顺纹拔出破坏这一简单情况入手开展理论研究，再结合一定的经验公式，将力学模型推广到螺钉杆轴与木材顺纹之间为多种夹角的情况。
自攻螺钉发生顺纹拔出破坏的力学模型基于以下简化条件：1)包裹螺杆的木材被视为横观各向同性材料，即忽略了木材在径向和弦向的材性差异；2)螺钉的几何特征需要进行取舍，忽略螺纹的升角、牙型角α和牙侧角α1[20]，保留螺纹间距s和螺纹深度t(螺钉内外半径之差)；由于螺纹的存在，螺钉可视为一段变截面杆，如图5所示。符合上述条件后，自攻螺钉的顺纹拔出破坏可视为一个轴对称问题，实际情况中复杂的三维问题可以简化为一维问题，后文的力学分析将重点关注螺钉和木材沿杆轴方向的受力和变形。
整全螺钉连同隔断在螺纹间距内的破坏木材如图6(a)所示。以螺纹间距为单位长度，一个握裹破坏木材的整全螺钉经过逐段“离散”处理后，从中截取的一个标准装配单元如图6(b)所示，该装配单元将作为力学模型中的主要研究对象。进一步对装配单元进行“拆解”，图6(c)中从上到下的四个“零件”分别是金属“顶盖”(螺钉中螺杆连同螺纹的部分)、金属螺杆(螺钉中不含螺纹的部分)、薄壁木圆管和金属“底盖”(螺钉中螺杆连同螺纹的部分)；后文在分析装配单元内部木材与螺钉的位移约束和力学行为时，木圆管的外壁面(也即拔出破坏面)、木圆管其余三个面(与金属零件紧密接触)上的应力/内力将进行必要的简化，忽略次要因素，突出装配单元中涉及到几何特征(螺纹间距和螺纹深度)、材料信息(强度、弹性模量、剪切模量)等主要因素的影响。图6(d)是沿径向切开后的半个装配单元，图6(e)~图6(f)是想象木圆管在变形前后的几何形状，认为木材发生的剪切破坏与木圆管内外壁的竖向错动有关，开展具体分析时用木圆管径切面的形状改变来表现木材的剪切变形，如图6(e)中红线标记的矩形径切面(变形前)和图6(f)中红线标记的非矩形径切面(变形后)所示。
以上内容是对图6中各个主要步骤的说明，力学模型的思路是分析一个握裹破坏木材的整全螺钉逐段离散，离散后的装配单元再逐步拆解成多个零件的过程。与“离散”、“拆解”过程相对应，多个零件可以逐步“部装(component assembly)”成装配单元，再由装配单元逐段“总装(final assembly)”，重新成为一个可以传递竖向拉力的整全模型。在机械装配工艺中，这一过程就是装配过程，即通过合理的工艺流程，将一组零件按照规定的技术要求组合起来，形成具有特定功能的产品。但需要指出，在实际的装配过程中，像螺钉这样的紧固件通常被视为零件，作为装配件或最终产品中最基本的元件；而在本文中，由于研究对象的原因，自攻螺钉及其握裹的破坏木材成为了最后的装配件。为了简洁和方便起见，下文在对力学模型进行具体讨论时，其推演的过程模仿了一个装配过程，遵循零件(part)→装配单元(assembly unit)→装配件(assembly)的基本流程。
1.2 理论推导
根据1.1节的建模思路，钢/木零件的变形、装配单元的内部结构、部装与总装过程，分别如图7、图8、图9所示；图中各种符号和后续演算过程涉及的符号，及其所表示的物理意义汇总如表1所示。
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图 7 装配单元中木圆管和螺杆的变形Figure 7. Deformations of the wood tube and the screw rod in an assembly unit表 1 力学模型的符号及其物理意义Table 1. Symbols and their physical meanings in the model符号 物理意义 d 螺钉外径/木圆管外径 d1 螺钉内径/木圆管内径 s 螺纹间距/木圆管长度 t 螺纹深度/螺钉内外半径之差/木圆管壁厚 y 螺杆圆柱面和木圆管内、外壁面上的节点沿螺钉轴线方向的坐标 As 螺杆横截面面积 Aw 木圆管横截面面积 fy 钢材屈服强度 fu 钢材极限强度 Es 钢材弹性模量 fv,0 木材顺纹剪切强度 fv,90 木材横纹剪切强度 fv,θ 木材斜纹剪切强度 Ew,0 木材顺纹弹性模量 Ew,90 木材横纹弹性模量 Ew,θ 木材斜纹弹性模量 GLR 木材L-R平面剪切模量 us(y) 螺杆拉伸位移 uwσ(y) 木圆管外壁面木材压缩位移 γ(y) 转角位移/剪切变形 τ(y) 木圆管外壁面上的剪应力 q(y) 木圆管内壁面与螺杆圆柱面之间的摩擦力 σs(y) 螺杆受拉应力 σw(y) 木圆管外壁面木材受压应力 σs1 y=s处的螺杆受拉应力 σs2 y=0处的螺杆受拉应力 σw1 y=s处木圆管外壁面木材受压应力 σw2 y=0处木圆管外壁面木材受压应力 τ1 y=s处木圆管外壁面剪应力 τ2 y=0处木圆管外壁面剪应力 F1 y=s处装配单元竖向拉力 F2 y=0处装配单元竖向拉力 Q 装配单元拔出破坏面的剪应力合力 ±λ 二阶常系数微分方程的特征值 C1~C4 与几何、材料信息相关的模型常数 a 剪应力分布函数的待定系数 b 剪应力分布函数的待定系数 m 螺杆拉伸位移函数的待定系数 n 螺杆拉伸位移函数的待定系数 k 微分方程解的待定系数之间的比例系数 ktrial 木材斜纹剪切公式中的调试系数 N 装配单元的编号，或循环变量 P 施加在螺钉上的轴向拉拔力 Lpem 拉拔力P对应的埋置长度 图7是一个装配单元中钢/木零件变形前后的示意图。图7(a)、图7(b)中分别用红线标记了木圆管在变形前的矩形径切面和变形后的非矩形径切面，图7(c)、图7(d)分别是装配单元在变形前后的径切面，表明了真实情况下的钢/木零件之间，即顶盖、螺杆和底盖三个金属零件分别对木圆管的上端横截面、内壁面和下端横截面形成了刚性位移约束。为了具体地研究木圆管径切面的形状改变和螺杆的拉伸变形，在装配单元中沿着螺杆轴线方向y(0≤y≤s)对木圆管的内外壁面和螺杆划分节点，如图7(c)~图7(f)中的红色圆点所示。研究钢/木零件沿着螺杆轴线方向上的受力和变形时，假定螺杆拉伸位移us(y)和木圆管外壁面纵向纤维的压缩位移uwσ (y)是且仅是y的函数。由于木圆管的壁厚t远小于螺钉的内径d1，可以假定在t范围内木材纵向纤维的压缩位移沿径向呈线性变化，变形前，相同高度处的节点之间用假想的水平直线进行连接，如图7(c)、图7(e)中的黑色水平直线所示；变形后，这些水平直线因发生转动γ(y)变成了一组倾斜直线，如图7(d)、图7(f)中的黑色倾斜直线所示。螺杆发生拉伸变形，因此直线在变形前后均保持水平，只是直线之间的间距发生了改变。
在螺纹间距s的长度范围内，一个装配单元的内部结构如图8所示。为了方便起见，顶盖的上端面和底盖的下端面分别考虑拉力F1、F2。螺杆传递竖向拉力并产生拉伸位移，螺杆横截面上均匀分布受拉应力σs(y)。包裹螺杆的木材是一段内径、外径、长度和壁厚分别是d1、d、s、t的木圆管，有四个接触/边界条件：由于钢木弹性模量差异较大，顶、底盖的螺纹部分对木圆管的上(y=s)、下(y=0)端横截面形成了刚性位移约束；螺杆圆柱面对木圆管的内壁面也形成了刚性位移约束，木圆管内壁面与螺杆圆柱面之间主要考虑竖向摩擦力q(y)；木圆管外壁面纵向纤维的受压应力是σw(y)，木圆管的外壁面同时也是木材拔出破坏面，取自拉拔试件中的木块整体，该拔出破坏面上主要考虑竖向剪应力τ(y)。图8中，y=0处有木圆管外壁面纵向纤维受压应力σw2(即σw在y=0处的值)，由于木圆管的壁厚t远小于螺钉的内径d1，用σw2×Aw表示木材在y=0处的压应力合力(即木圆管下端横截面的压应力合力)，σs2×As表示螺杆部分在y=0处的拉应力合力；类似地，σw1×Aw表示木材在y=s处的压应力合力(即木圆管上端横截面的压应力合力)，σs1×As表示螺杆部分在y=s处的拉应力合力。在y=s处，可以通过顶盖的竖向平衡方程求解竖向力F1。在木圆管外壁面上，通过剪应力τ(y)的积分运算可以合成该破坏面上的剪应力合力Q。在一个装配单元中，F1、Q、F2三个力同样需要满足竖向平衡条件。
当四个零件部装好一个装配单元，也即构成了一个竖向传力单元后(如图9左所示)，F1表示由上一个装配单元i−1传递而来的拉力，F2则表示经过当前装配单元i的剪力Q作用后将要向下一个装配单元i+1传递的拉力。由此可见，通过N−1个装配单元之间F1、Q、F2的竖向传力行为，就能实现从装配单元到整全模型的总装过程(如图9右所示)。
由于钢材相对于木材构成了刚性位移约束，假定木圆管内壁面的纵向纤维与螺杆圆柱面之间无相对滑移，其位移值等于螺杆的拉伸位移us(y)，木圆管外壁面的纵向纤维受压产生压缩位移uwσ(y)，如图7(f)所示，则木圆管内外壁因纵向纤维的拉伸和压缩产生了竖向位移差值
(us−uwσ) ，在小角度的情况下，该差值(us−uwσ) 与壁厚t的比值就是在定义木圆管外壁面上某一点的“直角改变量”，可视为该点的剪切变形；与此同时，木圆管的外壁面就是木材拔出破坏面，其剪应变可以通过弹性力学中剪应力与剪切模量之间的虎克定律加以确定。因此，根据“木圆管的内壁面与螺杆之间无相对滑移”这一位移约束假定，和采用“变形前的水平直线在变形后因发生转动γ(y)成为倾斜直线”来表现木材的剪切变形，式(1)给出了装配单元的控制微分方程，对式(1)中的变量y进行两次微分运算：us−uwσt=tanγ=γ=τGLR (1) dusdy−duwσdy=εs−εwσ=tGLRdτdy (2) σsEs−σwEw,0=tGLRdτdy (3) 1Esdσsdy−1Ew,0dσwdy=tGLRd2τdy2 (4) 式(2)~式(3)假定了钢材的拉伸与木材的压缩均处于弹性变形阶段，式(4)中的未知量
dσsdy 、dσwdy 通过求解微元体的竖向平衡方程式(5)、式(6)获得，如图10所示。在图10中，钢木间的摩擦力q(y)与q′(y)是等值反向的一对相互作用力。(σs+dσsdydy)⋅As−σs⋅As−q⋅πd1⋅dy=0 (5) σw⋅Aw−(σw+dσwdydy)⋅Aw−τ⋅πd⋅dy+q′⋅πd1⋅dy=0 (6) 经过整理后，一个装配单元的控制微分方程最终可以表示为：
τ″ (7) 为求解微分方程式(7)，需要对方程中τ(y)、q(y)的关系做出一定的假设。先令：
H = \frac{q}{\tau } (8) 而且H是y与无关，但与装配单元的几何特征、材料信息、当前受力状态有关的待求解未知量，由此，微分方程式(7)可以简化成如下的二阶常系数微分方程：
\tau '' - \left[ {{C_1} + H\left( {{C_2} - {C_3}} \right)} \right]\tau = 0 (9) 其特征方程为：
{\lambda ^2} - \left[ {{C_1} + H\left( {{C_2} - {C_3}} \right)} \right] = 0 (10) 当4[C1+H(C2−C3)]>0，微分方程(9)的通解如下：
\tau = a{{\rm{e}}^{\lambda y}} + b{{\rm{e}}^{ - \lambda y}} (11) 当4[C1+H(C2−C3)]<0，微分方程式(9)的通解如下：
\tau = a\cos \lambda y + b\sin \lambda y (12) 下文按照式(11)的情况对力学模型进行具体讨论，式(12)的情况与此类似，不再赘述。式(11)是基于上述一系列假定和简化后得出的装配单元拔出破坏面上剪应力沿高度y的分布函数，如果要完全确定该剪应力的分布情况，还需结合相应的条件确定a、b、λ三个待定系数，也就是求解出微分方程式(9)的特解。
考虑到式(11)中τ(y)的指数函数形式，微分方程式(1)的等号左边也只存在简单的加减法运算，将螺杆拉伸位移的方程形式也假定为含待定系数的指数函数形式，如式(13)所示，其中la是螺杆拉伸位移函数中用来调节装配单元中螺杆的受拉位移且与螺杆高度y无关的常数，为了使相邻的两个单元在总装过程中保持螺钉位移的连贯和协调，且不会对后续关于应力的微分运算造成不便。与此对应的是木材压缩位移中也多了此项内容，因为后续与这两个位移函数相关的运算主要是微分运算，这样的处理方法不会在微分方程的求解中制造过多的待定系数。现将与τ(y)、us(y)、uwσ(y)有关的微分和积分运算整理如式(14)~式(16)所示，求解需要进入下一步计算流程的重要物理量：装配单元拔出破坏面上的剪力Q、螺杆受拉应力σs、木圆管外壁面纵向纤维的受压应力σw、木圆管内壁面与螺杆圆柱面之间的摩擦力q。
{u}_{\rm s}=m{\rm{e}}^{\lambda y}+n{\rm{e}}^{-\lambda y}+{l}_{a} (13) \left\{ \begin{aligned} & {\tau ' = \lambda a{{\rm{e}}^{\lambda y}} - \lambda b{{\rm{e}}^{ - \lambda y}}} \\ & \tau '' = {\lambda ^2}a{{\rm{e}}^{\lambda y}} + {\lambda ^2}b{{\rm{e}}^{ - \lambda y}} \\ & Q = \pi d \times \int\limits_0^s {\tau {\rm{d}}y = \dfrac{{\pi d}}{\lambda }( {a{{\rm{e}}^{\lambda \rm s}} - b{{\rm{e}}^{ - \lambda \rm s}} + b - a} )} \end{aligned} \right. (14) \left\{ \begin{aligned} & {{\sigma _{\rm {s}}} = {E_\rm s}( {\lambda m{{\rm{e}}^{\lambda y}} - \lambda n{{\rm{e}}^{ - \lambda y}}} )} \\ & {q = \dfrac{{{E_\rm s}{A_\rm s}}}{{\pi {d_1}}}( {{\lambda ^2}m{{\rm{e}}^{\lambda y}} + {\lambda ^2}n{{\rm{e}}^{ - \lambda y}}} )} \end{aligned} \right. (15) \left\{ \begin{aligned} & {{u_{\rm w\sigma }} = \left( {m - \dfrac{{at}}{{{G_{\rm LR}}}}} \right){{\rm{e}}^{\lambda y}} + \left( {n - \dfrac{{bt}}{{{G_{\rm LR}}}}} \right){{\rm{e}}^{ - \lambda y}} + {l_a}} \\& {{\sigma _{\rm {w}}} = {E_{\rm w,0}}\left[ {\lambda \left( {m - \dfrac{{at}}{{{G_{\rm LR}}}}} \right){{\rm{e}}^{\lambda y}} - \lambda \left( {n - \dfrac{{bt}}{{{G_{\rm LR}}}}} \right){{\rm{e}}^{ - \lambda y}}} \right]} \end{aligned} \right. (16) 为了减少待定系数的个数，需要进一步探究a、b、m、n、λ之间的关系，将τ′′、τ、q的值代入式(7)后可得：
\begin{split} &({\lambda }^{2}a-{C}_{1}a){\rm{e}}^{\lambda y}+({\lambda }^{2}b-{C}_{1}b){\rm{e}}^{-\lambda y}=\\ &\qquad({C}_{2}-{C}_{3})\cdot \frac{{E}_{\rm s}{A}_{\rm s}}{\pi {d}_{1}}\cdot ({\lambda }^{2}m{\rm{e}}^{\lambda y}+{\lambda }^{2}n{\rm{e}}^{-\lambda y})\end{split} (17) 式(17)中等号两端的式子需要恒成立，则有：
\left\{\begin{array}{l} a({\lambda }^{2}-{C}_{1})=m\cdot \dfrac{{E}_{\rm s}{A}_{\rm s}}{\pi {d}_{1}}\cdot ({C}_{2}-{C}_{3})\cdot {\lambda }^{2}\\ b({\lambda }^{2}-{C}_{1})=n\cdot \dfrac{{E}_{\rm s}{A}_{\rm s}}{\pi {d}_{1}}\cdot ({C}_{2}-{C}_{3})\cdot {\lambda }^{2}\end{array}\right. (18) 引入新的比例系数k，使得a、b、m、n这4个待定系数可简化为仅含2个独立系数a、k的表达式：
b=ak\text{，}m=ak\text{，}n=a{k}^{2} (19) 求解H，并将H值代入式(10)后可得：
H = \frac{{{E_\rm s}{A_\rm s}}}{{\pi {d_1}}} \cdot k{\lambda ^2} (20) 最后引入新的常数C4：
{C_4} = {E_{\rm{s}}}{A_{\rm{s}}} - {E_{{\rm{w}},0}}{A_{\rm{w}}} (21) {\lambda ^2} = \frac{{\pi d{G_{\rm LR}}}}{{k{G_{\rm LR}}{C_4} + {E_{\rm w,0}}{A_{\rm {w}}}t}} (22) 式(22)给出了装配单元中待定系数λ与k的关系。一个装配单元竖向力之间的平衡关系可用式(23)表示，式(23)中各项应力或合力均可由式(14)~式(16)给出，再经过式(19)简化为只包含待定系数a、k、λ的表达式。
\left\{ {\begin{array}{l} {{F_1} = {\sigma _{{\rm{s}}1}} \cdot {A_{\rm{s}}} - {\sigma _{{\rm{w}}1}} \cdot {A_{\rm{w}}}} \\ {{F_2} = {F_1} - Q} \end{array}} \right. (23) 可以认为，装配单元的受力和变形都可以用微分方程式(7)加以描述，各装配单元之间的区别在于，因传递的拉力F1i值各不相同，单元中各个零件的应力状态也不相同。对于第i个装配单元来说，微分方程的特解现在只需要两个独立条件确定全部待定系数，故采用装配单元的当前受力状态来确定微分方程的特解。
由于拉力在螺钉中可以连续传递，在装配单元的总装过程中，当前装配单元i将要传递的拉力F1i等于上一个装配单元i−1经过木圆管外壁面上剪应力合力Qi−1的作用后剩余的拉力F2i−1，这将作为确定方程待定系数的第一个条件；另一方面，必须假定木材在拔出破坏时刻的应力状态，因为采用这一条件可以区分结构正常工作状态和发生拔出破坏的临界状态。从图11可以看出，在木圆管的外壁面上，y=0的位置是螺纹边缘与木材的接触区域，处于应力非常复杂和高度集中的状态，是木圆管外壁面上受力极其不利的位置。在每个装配单元中，木圆管从这个位置开始被切坏，剪切裂缝沿着管壁高度逐渐扩展，并在多个装配单元中逐渐贯通，直至某一时刻发生螺钉的拔出破坏。因此，假定螺钉在发生拔出破坏时，每个装配单元中至少有y=0处的木材剪应力达到了木材的顺纹剪切强度fv,0。这两个条件的物理意义在于，拉力在自攻螺钉中可以连续传递，而剪应力/剪力在木材破坏面上的传递被螺纹隔断在每段螺距中，剪切破坏发生时，至少有y=0处的木材剪应力达到了剪切强度。
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图 11 木圆管外壁面上最不利位置处的剪应力状态和裂缝扩展情况Figure 11. Shear stress of the most unfavorable position and crack propagation on the outer wall of wood tube在某种程度上，可以认为经典Volkersen方法是在螺钉的埋置长度范围内假定剪应力的分布情况，在描述拔出破坏状态时，采用最大剪应力破坏准则的模型如Jensen等[13]实际上是假定在剪应力的最大位置处，剪应力达到了木材的剪切强度。但从拉拔试验现象来看，由于木屑的脱落位置是一种随机现象，参见图4(c)，如果说它们代表了拔出破坏面上最为薄弱的位置，螺钉发生拔出破坏时最不利位置的判断其实有待商榷。本文所建立的力学模型，一方面是为了体现木材的局部受力状态和拔出破坏面上的剪应力/剪力不连续传递现象，另一方面也是一种按照螺纹间距进行分段处理后，在较短的长度范围内考虑剪应力分布情况的分析方案，通过选定出螺钉的一些特殊位置，即每个装配单元中的最不利位置，采用最大剪应力破坏准则。
以上的推演过程基于螺钉杆轴与木材顺纹之间为0°夹角的情况，这是为了严格满足轴对称问题的条件，并突显出拔出破坏时的剪切破坏特征。为了将力学模型从0°夹角向更一般的θ° 夹角进行简单地扩展，这里将夹角问题视为木材的斜纹受力问题(如图11(c)所示)，将0°夹角力学模型中木材的材料性能参数用斜纹公式进行计算，以木材的弹性模量为例：
{E_{\rm w,\theta }} = \frac{{{E_{\rm w,0}} \cdot {E_{\rm w,90}}}}{{{E_{\rm w,0}} \cdot {\rm sin^2}\theta + {E_{\rm w,90}} \cdot {\rm cos^2}\theta }} (24) 式(24)参见文献[17]，也就是说，木材的斜纹材料性能可以表示为木材顺纹和横纹两个方向上材料性能的函数关系。显然，式(24)的形式来源于经典的Hankinson公式[21]。
就木材的剪切强度而言，现阶段关于斜纹受力和变形的资料还不多见。图11(a)表现了木材发生顺纹剪切后裂缝平行于顺纹的扩展，以及图11(e)、图11(f)表现了木材发生横纹剪切后裂缝先是垂直于木纹扩展然后在平行于顺纹的裂缝面上释放能量的情况。由于这部分内容暂时超出了本文的研究范围，现阶段的力学模型尝试了一种基于调试系数ktrial的经验法进行试算和反演。
参考Hankinson公式[21]和式(24)[17]的形式，采用式(25)计算木材的斜纹剪切强度，其中调试系数ktrial是木材在顺纹和横纹两个方向上剪切强度的比值。选择拉拔试验中90°夹角的测试组进行标定，将ktrial的值取为0.3~0.9范围内且增量为0.1的试算值，代入式(25)后，由力学模型的程序自动计算出每个试算值下破坏荷载与埋置长度的关系曲线，然后从各条曲线中选出与90°夹角测试组的试验数据最为接近的那一条，其对应的试算值就是ktrial的值。换言之，如果能通过材料试验或其它方法获得木材的横纹剪切强度代入式(25)的右边，力学模型就不必引入调试系数ktrial。但目前的困难在于，木材剪切强度在横纹方向上的物理意义及其测试方法还有待研究。
\begin{split} {f_{\rm v,\theta }}= & \dfrac{{{f_{\rm v,0}} \cdot {f_{\rm v,90}}}}{{{f_{\rm v,0}} \cdot {\sin^2}\theta + {f_{\rm v,90}} \cdot {\cos^2}\theta }} = \dfrac{{{f_{\rm v,0}}}}{{\dfrac{{{f_{\rm v,0}}}}{{{f_{\rm v,90}}}} \cdot {\sin^2}\theta + {\cos^2}\theta }} = \\ & \dfrac{{{f_{\rm v,0}}}}{{{k_{\rm trial}} \cdot {\sin^2}\theta + {\cos^2}\theta }} \end{split} (25) 至此，描述自攻螺钉在胶合木中发生拔出破坏的力学模型已详细介绍完毕。
1.3 算法设计
基于1.2节的公式推导，可以借助相应的计算程序来实现装配过程。力学模型的算法流程图如图12所示，式(27)、式(28)给出了相邻两个装配单元的算法核心。
当i=1时，第1个装配单元的F1就是拉拔试验中施加在螺钉上的拉拔力P，输入已知的拉拔力P和y=0处的剪应力fv,θ，第1个装配单元的待定系数a、k、λ就可以完全确定，并可以求解出第1个装配单元的Q和F2。当i=2时，从第1个装配单元中求解的F2传递至第2个装配单元的F1，就可以同样的方法建立起第2个装配单元的计算格式。以此类推到第i个装配单元，拉拔力P就可以不断地进行竖向传递，当第N个装配单元的F2≤0时计算终止，也即意味着总装过程的结束，其物理意义是指拉拔力P和N个装配单元的传力行为共同完成了一个竖向拉力的平衡过程，在这个过程中，装配单元不可能传递竖向压力。
采用C语言编写计算程序时，上述过程可写入一个循环体，N既是程序中的循环控制变量，其物理意义也是指在拉拔力P的作用下一个整全自攻螺钉发生拔出破坏时所需装配单元的有效数量，令：
L_{\rm em}^p = \left[ {\left( {N - 1} \right) \times s} \right] (26) L_{\rm em}^p 即为自攻螺钉在拉拔力P作用下发生拔出破坏的埋置长度。如果木材中的螺钉长度小于L_{\rm em}^p ，拉拔力在理论上还未达到P就已经发生了拔出破坏；如果木材中的螺钉长度大于L_{\rm em}^p ，拉拔力在理论上还可以继续增大。在实际应用中，如果需要螺钉承受某一个轴向荷载值，则需要保证该轴向荷载值对应的埋置长度得到满足。如果轴向荷载值增大到自攻螺钉的极限抗拉能力，程序可以输出一个对应于极限抗拉能力的埋置长度，即自攻螺钉的锚固长度：当埋置长度大于该长度，自攻螺钉在发生拉断破坏前，理论上不会发生拔出破坏。力学模型的算法在本质上是一个装配单元不断地进行自我更新和迭代，最后通过输出循环变量，也就是迭代次数，由式(26)换算成全部长度总装完毕的整体模型。因此，装配单元虽然是力学分析中的隔离体，但在对整全模型进行离散处理时，从中选取的单元除了符合力学分析的要求，还需要适应自动计算的特点，如标准化、可重复性、可替换性等，以便于编制迭代格式。从某种程度上看，这些特点也是工业化和标准化生产的特征。最后还需要说明的是，由于算法在设计上的原因，使用该模型计算自攻螺钉在某一拉拔力P下的埋置长度时，螺钉的上下两个端头均可能存在小于一个螺距的长度未能计入总长度，而且模型输出的必然是螺距倍数的埋置长度。
N = i:\left\{ \begin{aligned} & {{F_{1i}} = {\lambda _i} \times {a_i} \times ({{\rm{e}}^{{\lambda _i}\rm s}} - {k_i}{{\rm{e}}^{ - {\lambda _i}\rm s}}) \times \left( {{k_i}{C_4} + \dfrac{{\pi d}}{{{C_1}}}} \right)} \\& {{\tau _{2i}} = {a_i} + {a_i}{k_i} = {f_{\rm v,\theta }}} \\& {{\lambda _i}^2 = \dfrac{{\pi d{G_{\rm LR}}}}{{{k_i}{G_{\rm LR}}{C_4} + {E_{\rm w,\theta }}{A_{\rm {w}}}t}}} \\& {{Q_i} = \dfrac{{\pi d}}{{{\lambda _i}}} \times {a_i} \times ( {{{\rm{e}}^{{\lambda _i}\rm s}} - {k_i}{{\rm{e}}^{ - {\lambda _i}\rm s}} + {k_i} - 1} )} \\& {{F_{2i}} = {F_{1i}} - {Q_i} > 0} \end{aligned}\right. (27) N = i + 1:\left\{ \begin{aligned} & {F_{1( {i + 1} )}} = {F_{2i}} = {\lambda _{( {i + 1} )}} \times {a_{( {i + 1} )}} \times \\& \quad ({{\rm{e}}^{{\lambda _{( {i + 1} )}}\rm s}} - {k_{( {i + 1} )}}{{\rm{e}}^{ - {\lambda _{( {i + 1} )}}\rm s}}) \times \left( {{k_{( {i + 1} )}}{C_4} + \dfrac{{\pi d}}{{{C_1}}}} \right) \\& {{\tau _{{2_{( {i + 1} )}}}} = {a_{( {i + 1} )}} + {a_{( {i + 1} )}}{k_{( {i + 1} )}} = {f_{\rm v,\theta }}} \\& {{\lambda _{( {i + 1} )}}^2 = \dfrac{{\pi d{G_{\rm LR}}}}{{{k_{( {i + 1} )}}{G_{\rm LR}}{C_4} + {E_{\rm w,\theta }}{A_{\rm {w}}}t}}} \\& {Q_{( {i + 1} )}} = \dfrac{{\pi d}}{{{\lambda _{( {i + 1} )}}}} \times {a_{( {i + 1} )}} \times \\& \quad ( {{{\rm{e}}^{{\lambda _{( {i + 1} )}}\rm s}} - {k_{( {i + 1} )}}{{\rm{e}}^{ - {\lambda _{( {i + 1} )}}\rm s}} + {k_{( {i + 1} )}} - 1} ) \\& {{F_2}_{( {i + 1} )} = {F_{1( {i + 1} )}} - {Q_{( {i + 1} )}} > 0} \end{aligned} \right. (28) 2 验证与讨论
2.1 模型结果验证
在课题组的前期研究[22]中，采用花旗松胶合木和WR-T-13.0×400型自攻螺钉制作了共计120个试件：以埋置长度(螺钉外径的5倍、10倍、15倍和20倍)，螺钉杆轴与木材顺纹之间的夹角(0°、15°、30°、45°、60°和90°)为参数设计了24个试验组，每组5个试件；并以“拉-推”(pull-push)型加载方式进行了拉拔试验。图13展示了拉拔试验的加载装置，螺钉的拔出和拉断破坏，以及6种夹角情况下木材的内部破坏情况。对力学模型进行验证时，需要输入的主要几何与材料信息见表2中注的内容。此外，力学模型还借助了螺纹杆拉拔试验[23]的数据进行验证，需要输入的主要几何与材料信息见表3中注的内容。这两个实验分别研究了自攻螺钉和螺纹杆在胶合木中的拉拔性能，试验数据和模型结果的对照情况如表2和表3中的“计算误差”列所示。
表 2 自攻螺钉拉拔试验[22]与力学模型的对照情况Table 2. Comparison between the withdrawal test of self-tapping screws [22] and the mechanical model试件
编号拉拔力
平均值/kN拉拔力
标准差/kN变异
系数实际
长度/mm计算
长度/mm计算
误差/(%)S0-65 11.595 0.648 0.056 65 60.5 −6.92 S0-130 22.300 2.571 0.115 130 115.5 −11.15 S0-195 36.344 2.465 0.068 195 192.5 −1.28 S0-260 58.345 0.709 0.012 260 313.5 20.58 S15-65 13.734 1.489 0.108 65 71.5 10.00 S15-130 26.518 4.677 0.176 130 137.5 5.77 S15-195 45.580 2.208 0.048 195 236.5 21.28 S15-260 57.460 1.930 0.034 260 302.5 16.35 S15-260* 60.590 0.071 0.001 260 319.0 22.69 S30-65 17.310 1.482 0.086 65 82.5 26.92 S30-130 34.988 1.259 0.036 130 170.5 31.15 S30-195 53.634 1.378 0.026 195 264.0 35.38 S30-260* 61.278 0.149 0.002 260 302.5 16.35 S45-65 20.008 1.105 0.055 65 88.0 35.38 S45-130 39.686 3.833 0.097 130 176.0 35.38 S45-195 58.262 2.358 0.040 195 264.0 35.38 S45-260* 60.872 1.133 0.019 260 275.0 5.77 S60-65 17.834 2.682 0.150 65 71.5 10.00 S60-130 36.446 1.974 0.054 130 148.5 14.23 S60-195 51.904 6.976 0.134 195 214.5 10.00 S60-260* 60.840 0.071 0.001 260 253.0 −2.69 S90-65 17.988 1.460 0.081 65 66.0 1.54 S90-130 34.078 4.740 0.139 130 126.5 −2.69 S90-195 53.600 0.388 0.007 195 198.0 1.54 S90-260* 60.484 0.202 0.003 260 225.5 −13.27 注：1)表2中力学模型输入的几何与材料信息：d=13.0 mm；d1=8.5 mm；s=5.0 mm；Es=210 000 MPa；Ew,0=14 200 MPa；Ew,90=300 MPa；GLR=650 MPa；fv,0=4.55 MPa；ktrial=0.7。2)*表示试件发生螺钉拉断破坏。 表 3 螺纹杆拉拔试验[23]与力学模型的对照情况Table 3. Comparison between the withdrawal test of threaded rods [23] and the mechanical model试件
编号拉拔力
平均值/kN拉拔力
标准差/kN变异
系数实际
长度/mm计算
长度/mm计算
误差/(%)S0-100 27.342 3.946 0.144 100 91 −9.00 S0-300 89.728 10.459 0.117 300 308 2.67 S0-450 130.152 31.071 0.239 450 448 −0.44 S0-600 161.568 8.427 0.052 600 560 −6.67 S10-100 26.264 4.896 0.186 100 91 −9.00 S10-300 99.752 9.794 0.098 300 343 14.33 S10-450 127.528 17.569 0.138 450 441 −2.00 S10-600 168.100 4.837 0.029 600 581 −3.17 S10-600* 176.427 1.063 0.006 600 609 1.50 S20-100 30.490 6.796 0.223 100 105 5.00 S20-300 98.688 10.615 0.108 300 336 12.00 S20-450 145.776 9.211 0.063 450 497 10.44 S20-600* 175.664 0.797 0.005 600 602 0.33 S30-100 27.042 3.956 0.146 100 91 −9.00 S30-300 99.896 10.687 0.107 300 336 12.00 S30-450 144.648 13.311 0.092 450 490 8.89 S30-600* 176.728 0.883 0.005 600 602 0.33 S60-100 28.464 5.501 0.193 100 91 −9.00 S60-300 93.568 11.553 0.123 300 301 0.33 S60-450 141.712 4.458 0.031 450 455 1.11 S90-100 29.932 2.901 0.097 100 91 −9.00 S90-300 96.504 6.994 0.072 300 301 0.33 S90-450 139.152 7.429 0.053 450 434 −3.56 注：1)表3中力学模型输入的几何与材料信息：d=20.0 mm；d1=15.0 mm；s=7.0 mm；Es=210 000 MPa；Ew,0=13 000 MPa；Ew,90=410 MPa；GLR=760 MPa；fv,0=4.55 MPa；ktrial=0.9。2)*表示试件发生螺钉拉断破坏。 如果拉拔力P从0逐渐增大到自攻螺钉的极限抗拉能力，模型可以输出一条破坏荷载与埋置长度的关系曲线。埋置长度小于锚固长度时，破坏荷载为拔出破坏荷载。图14和图15分别展示了理论关系曲线和上述两个实验的测试数据对照情况。从图中可以看出，拔出破坏荷载与埋置长度之间大致呈现出线性变化关系。
结合理论计算与试验数据的对照情况来看，模型现阶段的计算结果能与两个实验的测试数据基本符合。从表2、表3中计算误差这一列来看，这两种轴向受力螺纹紧固件的顺纹拔出破坏情况能够获得较好的预测。力学模型从0°夹角向更一般的θ °夹角进行扩展时，在夹角较大的情况下，自攻螺钉的计算结果偏于保守，如图14中θ =30°和 θ =45°的曲线所示。导致这种情况除了木材本身的变异性和力学模型中木材斜纹公式的精度问题外，还需要指出，在工程实践中使用自攻螺钉进行加固时，正是利用了它在垂直或倾斜于木材的顺纹方向嵌入时能够有效地抑制木构件发生劈裂破坏。本文在现阶段提出的力学模型还不能很好地体现出斜向嵌入的紧固件有利于木材受力这一特点。也就是说，从安全性和实用性的角度出发，鉴于紧固件平行于木材顺纹方向嵌入是最不利于木材受力的情况(现行Eurocode 5[18]中规定螺钉杆轴与木材顺纹之间的夹角不宜小于30°)，如果力学模型能够较为精确地计算出紧固件在顺纹埋置时的锚固长度，那么紧固件在同样的埋置长度下以较大的夹角埋置时一般不会发生拔出破坏。
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2.2 模型缺陷讨论
回顾力学模型建立的全过程，当前模型的缺陷主要存在于以下几个方面：
1)装配单元控制微分方程的求解过程基于大量的假定和简化，例如薄壁木圆管内壁面与螺杆圆柱面之间摩擦力的简化，但由于这一情况缺乏可靠的试验数据及研究成果，本文所采取的假定方法其准确性暂时无法评估；
2)求解得到的应力函数或者位移函数对计算结果的影响，类似于有限单元法中形函数对单元精度的影响，进而影响了整全模型的计算精度。也就是说，还可能有更符合实际情况的单元及其微分方程的通解；
3)被螺纹切断的木材被简化成各自独立的薄壁木圆管后，拔出破坏时刻的应力状态，也即拔出破坏准则需要进行深入研究。换句话说，还需要寻找更能合理反映拔出破坏极限状态的条件，用来获得微分方程的特解。现阶段的模型针对每个装配单元采取了最简单的最大剪应力准则，当单元数量较多，也就是埋置长度较长时，对破坏状态的粗略假定会导致计算结果不够准确；
4)位于每个螺纹间距内的木材在拉拔过程中处于剪-压受力状态，木材在取用剪切强度时如果没有考虑剪-压复合状态也会导致计算结果不够准确。这可能需要借助涉及其它力学理论的研究成果考虑材料层面的破坏准则。
3 结论
通过引入一种既可以总装成整全模型又可以拆解为多个零件的“装配单元”，本文提出了一种适用于轴向受力螺纹紧固件的力学模型，用于研究自攻螺钉在胶合木中的拔出破坏机制，可以计算胶合木中轴向受力螺纹紧固件的锚固长度。与已有基于Volkersen理论的计算方法相比，该模型直接从自攻螺钉发生拔出破坏的典型现象入手，考虑了螺纹对木材破坏区域产生的影响，致力于在模型简化、公式推导和算法设计过程中体现出木材的局部受力状态和拔出破坏面上的剪应力/剪力不连续传递现象。采用两组分别针对自攻螺钉和螺纹杆的试验研究成果对该模型进行验证后发现，现阶段力学模型的计算结果能与两组试验数据有较好的一致性。模型的计算结果还表明，在发生拉断破坏以前，自攻螺钉和螺纹杆的拔出破坏荷载与埋置长度基本呈线性关系。
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图 2 未发生拔出破坏的剖切试件
Figure 2. A cut specimen of the self-tapping screw without withdrawal failure
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图 4 自攻螺钉拔出破坏的典型试验现象
Figure 4. Typical withdrawal failure phenomena of a self-tapping screw in wood
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图 7 装配单元中木圆管和螺杆的变形
Figure 7. Deformations of the wood tube and the screw rod in an assembly unit
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图 11 木圆管外壁面上最不利位置处的剪应力状态和裂缝扩展情况
Figure 11. Shear stress of the most unfavorable position and crack propagation on the outer wall of wood tube
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表 1 力学模型的符号及其物理意义
Table 1 Symbols and their physical meanings in the model
符号 物理意义 d 螺钉外径/木圆管外径 d1 螺钉内径/木圆管内径 s 螺纹间距/木圆管长度 t 螺纹深度/螺钉内外半径之差/木圆管壁厚 y 螺杆圆柱面和木圆管内、外壁面上的节点沿螺钉轴线方向的坐标 As 螺杆横截面面积 Aw 木圆管横截面面积 fy 钢材屈服强度 fu 钢材极限强度 Es 钢材弹性模量 fv,0 木材顺纹剪切强度 fv,90 木材横纹剪切强度 fv,θ 木材斜纹剪切强度 Ew,0 木材顺纹弹性模量 Ew,90 木材横纹弹性模量 Ew,θ 木材斜纹弹性模量 GLR 木材L-R平面剪切模量 us(y) 螺杆拉伸位移 uwσ(y) 木圆管外壁面木材压缩位移 γ(y) 转角位移/剪切变形 τ(y) 木圆管外壁面上的剪应力 q(y) 木圆管内壁面与螺杆圆柱面之间的摩擦力 σs(y) 螺杆受拉应力 σw(y) 木圆管外壁面木材受压应力 σs1 y=s处的螺杆受拉应力 σs2 y=0处的螺杆受拉应力 σw1 y=s处木圆管外壁面木材受压应力 σw2 y=0处木圆管外壁面木材受压应力 τ1 y=s处木圆管外壁面剪应力 τ2 y=0处木圆管外壁面剪应力 F1 y=s处装配单元竖向拉力 F2 y=0处装配单元竖向拉力 Q 装配单元拔出破坏面的剪应力合力 ±λ 二阶常系数微分方程的特征值 C1~C4 与几何、材料信息相关的模型常数 a 剪应力分布函数的待定系数 b 剪应力分布函数的待定系数 m 螺杆拉伸位移函数的待定系数 n 螺杆拉伸位移函数的待定系数 k 微分方程解的待定系数之间的比例系数 ktrial 木材斜纹剪切公式中的调试系数 N 装配单元的编号，或循环变量 P 施加在螺钉上的轴向拉拔力 L_{\rm em}^p 拉拔力P对应的埋置长度 
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表 2 自攻螺钉拉拔试验[22]与力学模型的对照情况
Table 2 Comparison between the withdrawal test of self-tapping screws [22] and the mechanical model
试件
编号拉拔力
平均值/kN拉拔力
标准差/kN变异
系数实际
长度/mm计算
长度/mm计算
误差/(%)S0-65 11.595 0.648 0.056 65 60.5 −6.92 S0-130 22.300 2.571 0.115 130 115.5 −11.15 S0-195 36.344 2.465 0.068 195 192.5 −1.28 S0-260 58.345 0.709 0.012 260 313.5 20.58 S15-65 13.734 1.489 0.108 65 71.5 10.00 S15-130 26.518 4.677 0.176 130 137.5 5.77 S15-195 45.580 2.208 0.048 195 236.5 21.28 S15-260 57.460 1.930 0.034 260 302.5 16.35 S15-260* 60.590 0.071 0.001 260 319.0 22.69 S30-65 17.310 1.482 0.086 65 82.5 26.92 S30-130 34.988 1.259 0.036 130 170.5 31.15 S30-195 53.634 1.378 0.026 195 264.0 35.38 S30-260* 61.278 0.149 0.002 260 302.5 16.35 S45-65 20.008 1.105 0.055 65 88.0 35.38 S45-130 39.686 3.833 0.097 130 176.0 35.38 S45-195 58.262 2.358 0.040 195 264.0 35.38 S45-260* 60.872 1.133 0.019 260 275.0 5.77 S60-65 17.834 2.682 0.150 65 71.5 10.00 S60-130 36.446 1.974 0.054 130 148.5 14.23 S60-195 51.904 6.976 0.134 195 214.5 10.00 S60-260* 60.840 0.071 0.001 260 253.0 −2.69 S90-65 17.988 1.460 0.081 65 66.0 1.54 S90-130 34.078 4.740 0.139 130 126.5 −2.69 S90-195 53.600 0.388 0.007 195 198.0 1.54 S90-260* 60.484 0.202 0.003 260 225.5 −13.27 注：1)表2中力学模型输入的几何与材料信息：d=13.0 mm；d1=8.5 mm；s=5.0 mm；Es=210 000 MPa；Ew,0=14 200 MPa；Ew,90=300 MPa；GLR=650 MPa；fv,0=4.55 MPa；ktrial=0.7。2)*表示试件发生螺钉拉断破坏。
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表 3 螺纹杆拉拔试验[23]与力学模型的对照情况
Table 3 Comparison between the withdrawal test of threaded rods [23] and the mechanical model
试件
编号拉拔力
平均值/kN拉拔力
标准差/kN变异
系数实际
长度/mm计算
长度/mm计算
误差/(%)S0-100 27.342 3.946 0.144 100 91 −9.00 S0-300 89.728 10.459 0.117 300 308 2.67 S0-450 130.152 31.071 0.239 450 448 −0.44 S0-600 161.568 8.427 0.052 600 560 −6.67 S10-100 26.264 4.896 0.186 100 91 −9.00 S10-300 99.752 9.794 0.098 300 343 14.33 S10-450 127.528 17.569 0.138 450 441 −2.00 S10-600 168.100 4.837 0.029 600 581 −3.17 S10-600* 176.427 1.063 0.006 600 609 1.50 S20-100 30.490 6.796 0.223 100 105 5.00 S20-300 98.688 10.615 0.108 300 336 12.00 S20-450 145.776 9.211 0.063 450 497 10.44 S20-600* 175.664 0.797 0.005 600 602 0.33 S30-100 27.042 3.956 0.146 100 91 −9.00 S30-300 99.896 10.687 0.107 300 336 12.00 S30-450 144.648 13.311 0.092 450 490 8.89 S30-600* 176.728 0.883 0.005 600 602 0.33 S60-100 28.464 5.501 0.193 100 91 −9.00 S60-300 93.568 11.553 0.123 300 301 0.33 S60-450 141.712 4.458 0.031 450 455 1.11 S90-100 29.932 2.901 0.097 100 91 −9.00 S90-300 96.504 6.994 0.072 300 301 0.33 S90-450 139.152 7.429 0.053 450 434 −3.56 注：1)表3中力学模型输入的几何与材料信息：d=20.0 mm；d1=15.0 mm；s=7.0 mm；Es=210 000 MPa；Ew,0=13 000 MPa；Ew,90=410 MPa；GLR=760 MPa；fv,0=4.55 MPa；ktrial=0.9。2)*表示试件发生螺钉拉断破坏。
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