RESEARCH AND APPLICATION PROGRESS IN HYBRID TESTING OF ENGINEERING STRUCTURES
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摘要: 工程结构混合试验，将物理试验与数值模拟在线地联系在一起，可充分发挥物理试验和数值模拟各自的优势，在土木、汽车、航天、通信等工程领域得到了越来越多的应用。该文综述了近年来混合试验方法与应用的主要进展，梳理了关键科学与应用问题。关键科学问题包括逐步积分算法的非线性稳定性问题、加载系统的控制问题、非完整边界条件问题，应用瓶颈主要体现在混合试验通用软件还不够完善。对混合试验研究和现状的分析表明：高效稳定的数值分析方法、在线模型更新技术、加载系统与试件相互作用与控制等科学问题值得进一步研究；不同领域中的工程应用是推动混合试验技术发展的决定力量，加强混合试验软件的通用性和容错性是降低应用门槛的关键。Abstract: Hybrid testing of engineering structures, which combines physical tests and online numerical simulations, can benefit from the advantages of both sides in an economical way. It has been increasingly applied to civil engineering, automotive, aerospace, communications and other engineering fields. This paper reviews the main progress of hybrid testing and its applications in recent years, and sorts out key scientific and application issues. The key scientific issues include the nonlinear stability of time integration algorithms, the control of loading systems, and incomplete boundary conditions. The main application bottleneck is the lack of versatile hybrid test software. Analysis of the current research situation shows that the scientific issues such as efficient and stable numerical integration methods, online model updating technology, and interaction between loading systems and specimen, are worthy of further study; engineering applications in different fields are the determinant factor to promote the development of hybrid testing technology; and strengthening the versatility and fault tolerance of hybrid test software is the key to lower its application threshold.
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Keywords:
- hybrid test /
- time integration algorithms /
- boundary condition /
- delay compensation /
- test software
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进入新世纪以来，汶川地震、印度洋地震、东日本地震等巨震接连发生，造成重大人员伤亡和经济损失。保证建筑物的抗震能力是减少地震损失的最有效办法。最近三十年，性态设计和韧性设计等抗震设计理论日新月异，隔减震等结构控制技术层出不穷，为工程结构抗震安全性提供了丰富的理论基础和技术手段。这些新的理论和技术是否有效均需经过结构试验来检验。
工程结构抗震试验方法[1]有4类，即低周往复试验(如果是慢速加载，则称为拟静力试验)、振动台试验、有效力试验[2]和混合试验。低周往复试验根据指定的加载制度，完成对试件的低周反复加载，从而获得试件的恢复力性能，据此评估试件抗震能力、检验试件力学模型。此类试验的优点是对加载设备性能要求不高，能进行大型构件或结构试验。但是该方法不能直接获得结构的地震响应；另外，根据指定加载路径标定的力学模型能否反映地震作用下的结构特性也值得商榷。地震模拟振动台是复现地震动最为直接有效的工具，但受限于台面尺寸和承载能力，对于大型结构，只能进行缩尺模型试验，难以准确保证相似律，因而模型的非线性地震响应难以推广到原型结构。有效力试验将结构质量与地面运动加速度乘积作为动荷载直接加载到结构上去[2]，从而直接获得试件的抗震性能。该方法力学概念简单明了，但其效果依赖于准确的动态力控制方法，目前挑战仍然较大。混合试验将结构动力系统分为数值和物理两个部分，通过试验加载系统将二者在线联系起来，既可以完成大比例尺甚至足尺试验，也可以获得结构体系的地震响应。该方法将拟静力和振动台试验的优势结合到一起，得到了国内外学者的广泛关注。
混合试验的概念由日本学者于20世纪60年代提出[3]，经过半个多世纪的发展，混合试验呈现出丰富多彩的形式。下面结合结构在地震激励下的如下运动方程作进一步说明：
{\boldsymbol{Ma}} + {\boldsymbol{Cv}} + {\boldsymbol{R}}({\boldsymbol{d}}) = - {\boldsymbol{M}}\{ 1\} {a_{\rm{g}}} (1) 式中：
{\boldsymbol{a}} 、v、d分别为相对于地面的加速度、速度和位移向量；M和C分别为质量和阻尼矩阵；R为结构恢复力向量；ag为地面运动加速度；{1}为所有元素为1的向量。如果质量和阻尼矩阵、结构恢复力模型(即恢复力与位移的关系)均在计算机中建模，那么结构的地震响应就可以通过计算机数值计算得到，这就是纯数值模拟；如果将部分结构质量、阻尼或恢复力以物理模型来体现，就成为混合模拟或混合试验；如果结构所有特性都通过物理模型来代表，那就是纯物理模拟或物理试验。在进行物理和数值模型的划分时，质量、阻尼和恢复力每一项可能有三种选择，即全部为物理模型、部分物理和部分数值模型、全部为数值模型，这样就共有27种组合。选出物理模型之后，需要通过加载装置(作动器或振动台)模拟其边界条件。边界条件分为三种，即运动边界(通常为位移、速度或加速度)、力边界、运动-力混合边界。因此，进行混合试验的方式总共有(27−2)×3=78种方式(式中2表示纯物理和纯数值模拟两种情况)。振动台试验和有效力试验为均为纯物理模拟，但是其模型的边界不同，前者是加速度输入(即运动边界)，后者是力输入(即力边界)。这里需要注意的是，有效力试验输入力(即式(1)的右边项)的确定需要知道结构的质量矩阵。物理部分边界条件可以通过作动器或振动台[4]实现，也可以通过振动台和作动器联合加载实现[5]，甚至还可以利用振动台阵[6-8]。随着网络和计算机技术的发展，整个结构可以划分为更多的物理子结构和数值子结构，分布在不同的试验室，通过网络联系在一起开展混合试验[9-10]。如果把质量和阻尼放在计算机中模拟，静恢复力通过加载结构物理模型测得，这就是拟动力试验[11]；如果仅把部分静力结构取出来进行加载，就是子结构拟动力试验[12]；对于试件为率相关阻尼器的试验[13]，还需进行实时加载，这就形成所谓实时拟动力试验；如果仅把部分动力结构取出来加载，就是实时动力子结构试验[14]；如果试验子结构仅含阻尼和静恢复力部分，而质量可以忽略不计，则称之为实时子结构试验[15]；如果仅把阻尼取出来作为物理试件，可以称之为子阻尼试验[16]。
混合试验作为检验结构抗震性能的重要试验手段，首先得保证这种试验手段自身的可靠性。混合试验把结构分成数值和物理两个部分，则相关科学问题就应该包含数值模型、物理模型和边界模拟三方面。对于物理模型，其主要问题是缩尺模型相似律和尺寸效应，这些问题同样存在于振动台试验和拟静力试验，本文不作讨论。对于数值模型，存在时间域离散和空间域建模两方面科学问题；对于边界条件而言，主要是边界加载控制问题和非完整边界问题。本文主要围绕数值模型和边界条件方面的关键科学问题，介绍混合试验的研究进展。另外，应用是推动混合试验技术发展的至关重要因素，混合试验软件是制约混合试验推广应用的瓶颈，本文也将综述混合试验软件平台的研发进展。混合试验应用范围不仅限于结构抗震，还包括模拟结构风、浪、流、冰等动力效应，以及火灾效应等；涉及的领域除了土木工程领域外，还包括汽车、高铁、航空、航天等工程领域，本文将简要介绍主要应用进展。
1 时间域数值离散问题—稳定性及精度
一般而言，结构的受力和运动状态由时空连续的偏微分方程描述。结构动力数值分析通常分两步进行，首先是采用有限元等方法进行空间离散，然后采用有限差分法亦即逐步积分法进行时间离散。这一节讨论混合试验中逐步积分法的研究进展。数值离散方法应该具有足够的精度，而算法稳定是其保证精度的前提条件。在混合试验中，由于试件即(物理模型)一般比较昂贵，因而算法的稳定性显得尤为重要，成为混合试验逐步积分算法研究的重点。动力系统的稳定性，一般指的是系统对有界输入的响应是否有界，若响应有界，则称系统对该输入稳定；算法稳定，指的是逐步积分算法求解稳定系统时得到的数值响应也有界。理想的算法应该具备无条件稳定性。所谓无条件稳定性，是指对于稳定的物理系统，无论时间步长多大，数值模拟的结果保持稳定性。可以根据是否需要迭代计算，将逐步积分方法分为显式算法和隐式算法两类，前者不需要迭代，而后者需要。一般而言，无条件稳定的算法多数为隐式算法。
1.1 显式逐步积分算法
当把混合试验的数值部分取出来进行分析时，它的边界可以分为两部分：一部分是与物理部分相连的边界，称之为内部边界；另一部分与整个混合试验对象外部相连的边界，称之为外部边界。数值部分的动力行为可以由以下方程描述：
{{\boldsymbol{M}}_{\rm{N}}}{{\boldsymbol{a}}_{\rm{N}}} + {{\boldsymbol{R}}_{\rm{N}}}({{\boldsymbol{v}}_{\rm{N}}},{{\boldsymbol{d}}_{\rm{N}}}) + {{\boldsymbol{R}}_{\rm{P}}}({{\boldsymbol{a}}_{\rm{P}}},{{\boldsymbol{v}}_{\rm{P}}},{{\boldsymbol{d}}_{\rm{P}}},{{\boldsymbol{F}}_{\rm{P}}}) = {{\boldsymbol{F}}_{\rm{N}}} (2) 式中：下标N为数值部分；P为物理部分；RP为从物理部分内部边界传来的反力；
{{\boldsymbol{a}}_{\rm{P}}} 、vP、dP分别为内部边界上的加速度、速度和位移；F为外部激励，其作用位置既可以在数值部分上，也可能在物理分上。很多情况下，结构恢复力可表示为线性阻尼力与非线性静恢复力之和，则式(2)变为：{{\boldsymbol{M}}_{\rm{N}}}{{\boldsymbol{a}}_{\rm{N}}} + {{\boldsymbol{C}}_{\rm{N}}}{{\boldsymbol{v}}_{\rm{N}}} + {{\boldsymbol{R}}_{\rm{N}}}({{\boldsymbol{d}}_{\rm{N}}}) + {{\boldsymbol{R}}_{\rm{P}}}({{\boldsymbol{d}}_{\rm{P}}}) = {{\boldsymbol{F}}_{\rm{N}}} (3) 中心差分法[17]是混合试验常用的逐步积分算法，其相邻三步运动量满足以下假定：
{{\boldsymbol{v}}_i} = \frac{{{{\boldsymbol{d}}_{i + 1}} - {{\boldsymbol{d}}_{i - 1}}}}{{2\Delta t}}\qquad\;\; (4) {{\boldsymbol{a}}_i} = \frac{{{{\boldsymbol{d}}_{i + 1}} - 2{{\boldsymbol{d}}_i} + {{\boldsymbol{d}}_{i - 1}}}}{{\Delta {t^2}}} (5) 式中，i为第i时刻。为了简化符号表达，去掉了运动向量的下标N。把式(4)和式(5)代入式(3)，可得：
\begin{split} {{\boldsymbol{d}}_{i + 1}} =& {\left( {\frac{{{{\boldsymbol{M}}_{\rm{N}}}}}{{\Delta {t^2}}} + \frac{{{{\boldsymbol{C}}_{\rm{N}}}}}{{2\Delta t}}} \right)^{ - 1}}\left[ {{{\boldsymbol{F}}_{{\rm{N}},i}} + \frac{{2{{\boldsymbol{M}}_{\rm{N}}}}}{{\Delta {t^2}}}{{\boldsymbol{d}}_i}} \right. -\\& \left. {\left( {\frac{{{{\boldsymbol{M}}_{\rm{N}}}}}{{\Delta {t^2}}} - \frac{{{{\boldsymbol{C}}_{\rm{N}}}}}{{2\Delta t}}} \right){{\boldsymbol{d}}_{i - 1}} - {{\boldsymbol{R}}_{\rm{N}}}({{\boldsymbol{d}}_i}) - {{\boldsymbol{R}}_{\rm{P}}}\left( {{{\boldsymbol{d}}_i}} \right)} \right] \end{split} (6) 由式(4)~式(6)可看出，结构下一步(即第i+1步)的运动量可由当前步及上一步的信息计算得到，不需迭代求解，因此，中心差分法对于位移相关型非线性结构是显式算法。由于试件恢复力仅与位移相关，加载方式可以采用慢速加载，这样就降低了对试验设备的要求。
值得注意的是，当试件表现出速度相关型特征时，中心差分法的性质将发生变化。以黏滞阻尼器为例，式(6)变为：
\begin{split} {{\boldsymbol{d}}_{i + 1}} = &{\left( {\frac{{{{\boldsymbol{M}}_{\rm{N}}}}}{{\Delta {t^2}}} + \frac{{{{\boldsymbol{C}}_{\rm{N}}}}}{{2\Delta t}}} \right)^{ - 1}}\left[ {{{\boldsymbol{F}}_{{\rm{N,}}i}} + \frac{{2{{\boldsymbol{M}}_{\rm{N}}}}}{{\Delta {t^2}}}{{\boldsymbol{d}}_i}} \right. - \hfill \\& \left. {\left( {\frac{{{{\boldsymbol{M}}_{\rm{N}}}}}{{\Delta {t^2}}} - \frac{{{{\boldsymbol{C}}_{\rm{N}}}}}{{2\Delta t}}} \right){{\boldsymbol{d}}_{i - 1}} - {{\boldsymbol{R}}_{\rm{N}}}({{\boldsymbol{d}}_i}) - {{\boldsymbol{R}}_{\rm{P}}}\left( {{{\boldsymbol{v}}_i}} \right)} \right] \end{split} (7) 当把式(4)代入式(7)后，就会得到一个关于di+1的非线性方程，需迭代求解。这样，中心差分法对于非线性阻尼试件，就变成了隐式算法。为了避免迭代，通常的做法是，直接把当前时刻(即第i时刻)的试件阻尼力采集回来，按式(7)计算位移，然后，实时加载到试件上去。因为，试件速度仅与已经发生的位移时程有关，与下一时间步的位移无关，所以，当前速度一般而言不满足式(4)，中心差分法的数值性能也必将发生改变。文献 [17]假定试件速度满足：
{{\boldsymbol{v}}_i} = \frac{{{{\boldsymbol{d}}_i} - {{\boldsymbol{d}}_{i - 1}}}}{{\Delta t}} (8) 引入类似的显式化假定的算法，称为实时混合试验中心差分法。把式(8)代入式(7)，文献 [17]分析了算法的稳定性。分析结果表明：这种算法的稳定性低于标准中心差分法；试件阻尼越大，稳定性越低。这个结论也被黏滞阻尼器的实时混合试验所验证[16]。当试件质量不能忽略时，可以引入试件加速度假定[14]，即：
{{\boldsymbol{a}}_i} = \frac{{{{\boldsymbol{d}}_i} - 2{{\boldsymbol{d}}_{i - 1}} + {{\boldsymbol{d}}_{i - 2}}}}{{\Delta {t^2}}} (9) 分析和试验结果表明：试件质量越大，算法的稳定性越差。
1.2 无条件稳定的显式算法
中心差分法的缺点是其有条件稳定性，亦即当结构频率或时间步长超过一定值时，数值模拟结果将发散。Nakashima等[18]提出在拟动力试验中采用算子分解法，这种方法对于刚度软化试件为无条件稳定。文献 [16]将之推广应用于试件含阻尼特性的实时混合试验，具体做法如下。考虑如下运动方程：
{{\boldsymbol{M}}_{\rm{N}}}{\boldsymbol{a}} + {{\boldsymbol{C}}_{\rm{N}}}{\boldsymbol{v}} + {{\boldsymbol{R}}_{\rm{N}}}({\boldsymbol{d}}) + {{\boldsymbol{R}}_{\rm{P}}}({\boldsymbol{d}},{\boldsymbol{v}}) = {{\boldsymbol{F}}_{\rm{N}}} (10) 首先，对位移和速度进行显式预测：
{\tilde {\boldsymbol{d}}_{i + 1}} = {{\boldsymbol{d}}_i} + \Delta t{{\boldsymbol{v}}_i} + \frac{{\Delta {t^2}}}{4}{{\boldsymbol{a}}_i} (11) {\tilde {\boldsymbol{v}}_{i + 1}} = {{\boldsymbol{v}}_i} + \frac{{{{\boldsymbol{a}}_i}}}{2}\Delta t (12) 然后，按下式进行线性修正：
\begin{split} & {\boldsymbol{M}}_{\rm{N}}{{\boldsymbol{a}}}_{i+1}+{\boldsymbol{C}}_{\rm{N}}{\boldsymbol{v}}_{i+1}+{\boldsymbol{K}}_{\rm{N}}({\boldsymbol{d}}_{i+1}-{\tilde{{\boldsymbol{d}}}}_{i+1})+\\&\qquad {\boldsymbol{R}}_{\rm{N}}({\tilde{{\boldsymbol{d}}}}_{i+1})+{\boldsymbol{K}}_{\rm{P}}({\boldsymbol{d}}_{i+1}-{\tilde{{\boldsymbol{d}}}}_{i+1})+\\&\qquad {\boldsymbol{C}}_{\rm{P}}({\boldsymbol{v}}_{i+1}-{\tilde{\boldsymbol{v}}}_{i+1})+{\boldsymbol{R}}_{\rm{P}}({\tilde{{\boldsymbol{d}}}}_{i+1},{\tilde{\boldsymbol{v}}}_{i+1})={\boldsymbol{F}}_{{\rm{N}},{i+1}} \end{split} (13) 式中：
{{\boldsymbol{d}}_{i + 1}} = {\tilde {\boldsymbol{d}}_{i + 1}} + \frac{{\Delta {t^2}}}{4}{{\boldsymbol{a}}_{i + 1}} (14) {{\boldsymbol{v}}_{i + 1}} = {\tilde {\boldsymbol{v}}_{i + 1}} + \frac{{\Delta t}}{2}{{\boldsymbol{a}}_{i + 1}} (15) 式(13)中的刚度和阻尼矩阵可按结构初始刚度阻尼确定。由式(13)~式(15)，可以得到第i+1步运动量的显式表达。谱半径分析表明：如果结构刚度和阻尼呈软化特征，即结构切线刚度和阻尼小于或等于初始值，则算法表现出无条件稳定性。
把式(11)和式(12)代入式(14)和式(15)，恰好得到Newmark平均加速度的表达式。以上预测-修正的做法，实际是可以看作是一种迭代的技巧，且只迭代一步，迭代初值为位移和速度的预测值。如果预测步位移和速度取为当前值，算子分解法就退化为只迭代一步的牛顿迭代法，也就是按牛顿法迭代一次的Newmark平均加速度法。这样，可以得到如下位移和速度的显式表达式：
\begin{split} {{\boldsymbol{d}}_{i{\rm{ + }}1}}=&{{\boldsymbol{d}}_i}{\rm{ + }}\dfrac{{{\boldsymbol{I}} + \dfrac{1}{2}\Delta t{\boldsymbol{M}}_{\rm{N}}^{ - 1}{{\boldsymbol{C}}_{\rm{P}}}}}{{{\boldsymbol{I}} + \dfrac{1}{2}\Delta t{\boldsymbol{M}}_{\rm{N}}^{ - 1}{{\boldsymbol{C}}_{\rm{P}}} + \dfrac{1}{4}\Delta {t^2}{\boldsymbol{M}}_{\rm{N}}^{ - 1}{{\boldsymbol{K}}_{\rm{P}}}}}{{\boldsymbol{v}}_i}\Delta t + \\ & \dfrac{1}{2}\Delta {t^2}\dfrac{{{{\boldsymbol{a}}_i}{\rm{ + }}\dfrac{1}{2}{\boldsymbol{M}}_{\rm{N}}^{ - 1}({{\boldsymbol{F}}_{i + 1}} - {{\boldsymbol{F}}_i})}}{{{\boldsymbol{I}} + \dfrac{1}{2}\Delta t{\boldsymbol{M}}_{\rm{N}}^{ - 1}{{\boldsymbol{C}}_{\rm{P}}} + \dfrac{1}{4}\Delta {t^2}{\boldsymbol{M}}_{\rm{N}}^{ - 1}{{\boldsymbol{K}}_{\rm{P}}}}} \end{split} (16) \begin{split} {{\boldsymbol{v}}_{i{\rm{ + }}1}}{\rm{ = }}&{{\boldsymbol{v}}_n}{\rm{ + }}\dfrac{{{{\boldsymbol{a}}_i}}}{{{\boldsymbol{I}} + \dfrac{1}{2}\Delta t{{\boldsymbol{M}}^{ - 1}}{{\boldsymbol{C}}_{\rm{P}}} + \dfrac{1}{4}\Delta {t^2}{{\boldsymbol{M}}^{ - 1}}{{\boldsymbol{K}}_{\rm{P}}}}}\Delta t +\\ & \dfrac{1}{2}\Delta {t^2}\dfrac{{{{\boldsymbol{M}}^{ - 1}}\left(\dfrac{{{{\boldsymbol{F}}_{i + 1}} - {{\boldsymbol{F}}_i}}}{{\Delta t}} - {{\boldsymbol{K}}_{\rm{P}}}{{\boldsymbol{v}}_i}\right)}}{{{\boldsymbol{I}} + \dfrac{1}{2}\Delta t{{\boldsymbol{M}}^{ - 1}}{{\boldsymbol{C}}_{\rm{P}}} + \dfrac{1}{4}\Delta {t^2}{{\boldsymbol{M}}^{ - 1}}{{\boldsymbol{K}}_{\rm{P}}}}} \end{split} (17) 这里为了简化表达，我们略去了数值部分的阻尼力和静恢复力；矩阵放在分母中，表示对其求逆。如果把式(16)中荷载项忽略掉，就得到Chang[19]所提出的无条件稳定的显式算法[20]。但是需要注意的是，Chang[19]方法的速度表达式与Newmark平均加速度法一致，即其速度表达式是隐式的。另外，需要指出的是，式(17)中的荷载项不能忽略；可以证明，对于线性体系，如果略去式(17)中的荷载项，速度将失去二阶精度。
以上显式化的过程，也可以理解为将运动方程线性化求解的过程，这种方法在有限差分领域中被称为线性隐式方法[21]。线性隐式算法的一个经典代表是 Rosenbrock算法[21-22]，该算法已在实时混合试验中获得应用[23-24]。
Chen和Ricles[25]提出的CR方法假定：
{{\boldsymbol{v}}_{i + 1}} = {{\boldsymbol{v}}_i} + {\alpha _1}\Delta t{{\boldsymbol{a}}_i} (18) {{\boldsymbol{d}}_{i + 1}} = {{\boldsymbol{d}}_i} + {{\boldsymbol{v}}_i}\Delta t + {\alpha _2}\Delta {t^2}{{\boldsymbol{a}}_i} (19) 式中，系数α1和α2根据离散传递函数理论来确定。具体来说，就是利用式(18)和式(19)和线性化的运动方程，形成相邻三步间位移的线性关系式，其中包含外激励。对这个关系式通过Z变换求得离散传递函数，进而获得其特征根的表达式。令此二特征根与Newmark平均加速度方法的特征根相等，从而确定式(18)和式(19)中的两个待定系数α1和α2。对于线性体系，数值算法的稳定性由其特征根决定，而平均加速度方法具有无条件稳定性，所以由式(18)和式(19)得到的算法也具备无条件稳定性。由此得到的系数α1和α2表达式为：
{\alpha _{\rm{1}}}{\rm{ = }}{\alpha _{\rm{2}}}{\rm{ = 4}}{( {4{\boldsymbol{M}} + 2\Delta t{{\boldsymbol{C}}_{\rm{P}}} + \Delta {t^2}{{\boldsymbol{K}}_{\rm{P}}}} )^{ - 1}}{\boldsymbol{M}} (20) 值得注意的是，将式(20)代入式(18)和式(19)后，不难验证这种算法的位移和速度均只有一阶精度。Gui等[26]利用含参数β的Newmark法特征根来确定式(18)和式(19)中的两个参数，这样CR方法就成为其特殊情况。根据相同的思路，Kolay和Ricles[27]在α法[28-29]的基础上提出了相应的显式算法，他们将之命名为KR算法。Newmark方法可以看作α法的特殊情况，所以KR方法与CR方法存在类似的问题，即位移和速度精度低于二阶[30]。
实际上，也可以从以上Chen等[25]的待定系数法角度理解Chang[31]提出的一系列拟动力显式算法(即位移显式、速度仍为隐式)。Chang[31]于2007年提出另一种位移显式表达式，虽然算法具有无条件稳定性，但是位移只有一阶精度。
1.3 隐式逐步积分算法
在以上无条件稳定的显式算法中均需结构参数，当所采用的结构参数，比如刚度和阻尼矩阵与当前步的切线刚度或阻尼相差较大时精度就会下降，甚至出现失稳现象。为了提高算法稳定性和精度，更好的选择是一些无条件稳定的隐式方法。在混合试验中采用迭代求解隐式方程所遇到的挑战主要在于：迭代时可能产生来回振荡，从而导致试件的额外损伤；对于实时试验而言，随着迭代的收敛，位移增量大小逐渐衰减，可能导致作动器的速度在积分步内变化剧烈。Jung等[32]构思了固定迭代步数的插值迭代法，将每次迭代位移作为目标位移，与上一步和当前步位移一起确定二次插值曲线，由二次插值曲线确定下一子步的加载命令，这可以有效提高作动器运行的平稳性，并减小振荡。Mosqueda等[33]采用显式Newmark位移公式确定试件加载位移，对采集回来的反力和位移信号数据进行以时间为自变量的二次曲线拟合，利用拟合曲线进行迭代，避免了迭代过程中对试件的加载，从而可消除由迭代超调引起的不应有损伤。文献 [32]和 文献[33]基于插值或拟合预测的方法，其有效性与结构特性和测量噪声有关。
在自动控制领域中，有更多办法可用来控制导致振荡的超调现象。反馈控制与迭代存在重要相似之处，即都是不断减小误差的过程。文献 [34]提出混合试验的等效力控制方法，将求解非线性差分方程的过程，转化为数值和物理混合系统的控制问题。下面以Newmark平均加速度方法为例，来说明等效力控制方法。Newmark法的假定可表达成如下形式：
{{\boldsymbol{d}}_{i + 1}} = {{\boldsymbol{d}}_i} + \Delta t{{\boldsymbol{v}}_i} + \frac{{\Delta {t^2}}}{4}({{\boldsymbol{a}}_i} + {{\boldsymbol{a}}_{i + 1}}) (21) {{\boldsymbol{v}}_{i + 1}} = {{\boldsymbol{v}}_i} + \frac{{\Delta t}}{2}({{\boldsymbol{a}}_i} + {{\boldsymbol{a}}_{i + 1}}) (22) 把式(21)、式(22)代入式(2)，可得：
{{\boldsymbol{R}}_{\rm{N}}}({{\boldsymbol{d}}_{i + 1}}) + {{\boldsymbol{K}}_{{\rm{PD}}}}{{\boldsymbol{d}}_{i + 1}} + {{\boldsymbol{R}}_{\rm{E}}}({{\boldsymbol{a}}_{i + 1}},{{\boldsymbol{v}}_{i + 1}},{{\boldsymbol{d}}_{i + 1}}) = {\boldsymbol{F}}_{{\rm{EQ}},i + 1}^{} (23) 其中：
{{\boldsymbol{K}}_{{\rm{PD}}}} = \frac{{4{{\boldsymbol{M}}_{\rm{N}}}}}{{\Delta {t^2}}} + \frac{{2{{\boldsymbol{C}}_{\rm{N}}}}}{{\Delta t}} (24) \begin{split} {\boldsymbol{F}}_{{{\rm{EQ}}},i+1}^{}= & {\boldsymbol{F}}_{{\rm{N}},{i+1}}+{\boldsymbol{M}}_{\rm{N}}{a}_{i}+\left(\frac{4{\boldsymbol{M}}_{\rm{N}}}{\Delta t}+{\boldsymbol{C}}_{\rm{N}}\right){\boldsymbol{v}}_{i}+\\& \left(\frac{4{\boldsymbol{M}}_{\rm{N}}}{\Delta {t}^{2}}+\frac{2{\boldsymbol{C}}_{\rm{N}}}{\Delta t}\right){\boldsymbol{d}}_{i} \end{split} (25) 这里假定数值部分的阻尼为线性。观察式(23)可以发现，方程左边可以看作三部分反力之和：第一部分为数值子结构的非线性净反力；第二部分为一等效弹性试件，反映数值部分的惯性和线性阻尼；第三部分为物理试件。方程右边可看作等效外力。因此，方程的求解，可看作是三个试件构成的混合系统以等效外力为目标的控制问题。这样一来，就有很多控制理论和方法来保证混合系统在实时混合试验中能快速平稳地实现目标，亦即实现式(23)的平衡。文献 [34]和文献[35]分别讨论了PD和PI等效力控制器；文献 [36]考虑试件与作动器相互作用模型，采用滑动模态控制器，对防屈曲支撑子结构试验进行等效力控制；针对考虑试件质量的实时混合试验，文献 [37]分析了等效力控制方法的稳定性，提出了加速度修正方法，从而扩展了该方法的应用范围；文献 [38]将等效力控制方法用于JZ20-2NW海洋平台磁流变阻尼控制的实时混合试验；文献 [39]在三层足尺配筋砌体拟动力子结构抗震试验中采用了等效力控制方法。
1.4 能量一致逐步积分算法
上述1.1~1.3各节中算法的稳定性分析均采用线性放大矩阵分析或线性离散控制方法，结论仅适用于线性系统，不一定适用于非线性系统。Xie和Steven[40]通过算例指出，线性体系下无条件稳定的算法，比如Newmark平均加速度方法，在非线性分析中可能失去稳定性。
关于非线性稳定逐步积分方法的研究，计算数学和计算力学领域的研究者沿着各自的路径进行了探索。在计算数学领域，Butcher等[41]对耗散非线性体系进行了研究，研究结果表明：隐式龙格-库塔方法满足一定条件时具有B稳定性(相当于无条件稳定性)，其中代表性的方法是隐式中点法[21]。但是土木工程结构很难满足耗散体系数学定义涉及的条件，因此这些方法能否适用于土木工程结构还不得而知。在计算力学领域，Simo和Hughes[42]针对一维弹塑性本构，利用能量概念证明了广义平均加速度方法(Simo称为广义中点法)当算法参数在[0.5, 1]之间时是无条件稳定的。Li等[43]和潘天林等[44]针对恢复力有界(如软化Bouc-Wen模型)和具有软化指数阻尼特征(阻尼指数在0~1之间)的结构进行了研究，发现平均加速度法和隐式中点法是无条件稳定的；利用这些结论可以证明平均加速度法和隐式中点法对具有双线性弹塑性模型的结构也是无条件稳定的。
Belytschko和Schoeberle[45]指出离散系统的能量有界是算法保持稳定性的充分条件，此判定准则对非线性系统也适用。工程结构系统一般为含质量和阻尼的弹性系统，塑性可以看作一种非线性阻尼。这种系统在有势力(自由振动可看作是0有势力作用下的运动)作用下，其系统的机械能不增。如果某种逐步积分算法能保持物理系统的这种特性，称之为能量一致算法。Newmark平均加速度法和隐式中点法对于某些特定的材料非线性问题是能量一致的，但是对于更一般的材料非线性和几何非线性问题却不一定能保证其稳定性。下面介绍能量一致积分方法的基本原理及在混合试验中的应用。
对式(3)两边从ti到ti+1进行时间积分，可得如下功-能平衡方程：
\begin{split} & \frac{1}{2}{\boldsymbol{v}}_{i + 1}^{\rm{T}}{{\boldsymbol{M}}_{\rm{N}}}{{\boldsymbol{v}}_{i + 1}} - \frac{1}{2}{\boldsymbol{v}}_i^{\rm{T}}{{\boldsymbol{M}}_{\rm{N}}}{{\boldsymbol{v}}_i} + \\&\qquad \int_{{{\boldsymbol{d}}_i}}^{{{\boldsymbol{d}}_{i + 1}}} {{\boldsymbol{R}}_{\rm{P}}^{\rm{T}}{\rm{d}}{\boldsymbol{d}}} - \int_{{{\boldsymbol{d}}_i}}^{{{\boldsymbol{d}}_{i + 1}}} {{\boldsymbol{F}}_{\rm{N}}^{\rm{T}}{\rm{d}}{\boldsymbol{d}}} = 0 \end{split} (26) 为简化起见，式(26)中略去了数值部分的阻尼和静恢复力。如果数值算法能维持上面功-能平衡方程，则该算法为能量一致算法。为了方便推导，将平均加速度法变为如下形式：
\left\{ \begin{aligned} & {\boldsymbol{M}}_{\rm{N}}\frac{{\boldsymbol{v}}_{i+1}-{\boldsymbol{v}}_{i}}{\Delta t}+\frac{1}{2}({\boldsymbol{R}}_{\rm{P},}{}_{i}+{\boldsymbol{R}}_{{\rm{P}},{i+1}})= \frac{1}{2}({\boldsymbol{F}}_{{\rm{N}},i}+{\boldsymbol{F}}_{{\rm{N}},i+1})\\& \frac{{\boldsymbol{d}}_{i+1}-{\boldsymbol{d}}_{i}}{\Delta t}=\frac{1}{2}({\boldsymbol{v}}_{i+1}+{\boldsymbol{v}}_{i}) \end{aligned} \right. (27) 将上面方程第一式两边左乘位移增量，并利用第二式可得：
\begin{split} & \frac{1}{2}{\boldsymbol{v}}_{i + 1}^{\rm{T}}{{\boldsymbol{M}}_{\rm{N}}}{{\boldsymbol{v}}_{i + 1}} - \frac{1}{2}{\boldsymbol{v}}_i^{\rm{T}}{{\boldsymbol{M}}_{\rm{N}}}{{\boldsymbol{v}}_i} + \frac{1}{2}{({{\boldsymbol{d}}_{i + 1}} - {{\boldsymbol{d}}_i})^{\rm{T}}}\cdot \\&\quad ({{\boldsymbol{R}}_{{\rm{P,}}i}} + {{\boldsymbol{R}}_{{\rm{P,}}i + 1}}) = \frac{1}{2}{({{\boldsymbol{d}}_{i + 1}} - {{\boldsymbol{d}}_i})^{\rm{T}}}({{\boldsymbol{F}}_{{\rm{N}},i}} + {{\boldsymbol{F}}_{{\rm{N}},i}}) \end{split} (28) 如果假定外荷载在时间步内为常数，且取值为(FN,i+ FN,i+1)/2，则比较上式和功-能平衡方程式(26)可得：
\frac{1}{2}{({{\boldsymbol{d}}_{i + 1}} - {{\boldsymbol{d}}_i})^{\rm{T}}}({{\boldsymbol{R}}_{{\rm{P,}}i}} + {{\boldsymbol{R}}_{{\rm{P,}}i + 1}}) = \int_{{{\boldsymbol{u}}_i}}^{{{\boldsymbol{u}}_{i + 1}}} {{\boldsymbol{R}}_{\rm{P}}^{\rm{T}}{\rm{d}}{\boldsymbol{u}}} (29) 对于线性体系式(29)自然成立，但对于非线性体系式(29)不一定成立。如果强制式(29)成立，就必须修正式(27)。一种简单的做法是在式(27)第一式平均恢复力前面乘以修正系数β，即：
{\boldsymbol{M}}_{\rm{N}}\frac{{\boldsymbol{v}}_{i+1}-{\boldsymbol{v}}_{i}}{\Delta t}+\frac{1}{2}\beta ({\boldsymbol{R}}_{{\rm{P}},{i}}+{\boldsymbol{R}}_{{\rm{P}},{i+1}}) = \frac{1}{2}({\boldsymbol{F}}_{{\rm{N}},i}+{\boldsymbol{F}}_{{\rm{N}},i+1}) (30) 由式(30)和功-能平衡方程可得：
\beta = \frac{{2\displaystyle\int_{{{\boldsymbol{u}}_i}}^{{{\boldsymbol{u}}_{i + 1}}} {{{\boldsymbol{r}}^{\rm{T}}}{\rm{d}}{\boldsymbol{u}}} }}{{{{({{\boldsymbol{d}}_{i + 1}} - {{\boldsymbol{d}}_i})}^{\rm{T}}}({{\boldsymbol{r}}_i} + {{\boldsymbol{r}}_{i + 1}})}} (31) LaBudde和Greenspan[46]采用此方法研究了质点在中心有势力作用下的运动，这是最早形式的能量一致积分方法。文献 [47]将此方法应用于防屈曲支撑的实时子结构试验，并采用等效力控制方法求解隐式差分方程。
Hughes等[48]将式(27)第一式看作某种能量函数取极值的条件，加入能量约束后，则相应问题变为条件极值问题；其形式上也表现为采用参数对离散平衡方程即式(27)第一式的线性修正[49]。
在固体力学领域，Simo等[50-51]最早对三维实体和杆系结构的能量守恒方法进行了系统研究，提出了基于能量一致的动力有限元方法。其核心思想就是，采用广义中点法进行时间离散，其算法待定参数由功-能平衡方程确定；其形式可以看作是对方程式(27)第一式中恢复力的非线性修正[49]。文献 [49]将Simo能量一致积分方法应用于混合试验，验证了其优于Newmark平均加速度法的能量一致特性。
2 空间域数值模型问题—模型更新方法
混合试验的数值部分建模的准确性，将影响混合试验精度。模型更新是解决这一问题的有效手段。当混合试验中的数值子结构与试验子结构具有某些相同的特性时，如具有相同的单元本构、截面本构或材料本构，可以应用模型识别方法对试验子结构的特征参数进行识别，然后，用于更新数值子结构模型对应的参数，从而，提高数值子结构模型的准确性。该方法将混合试验与模型更新策略结合，因此，被称为模型更新混合试验。混合试验中的数值模型可以分为两类：一类是本构模型；另一类是非本构模型，如神经网络模型等。
2.1 本构模型参数更新混合试验
对于本构模型参数更新混合试验，通常的做法是根据试件特性预设本构模型，利用试件加载过程中采集的数据在线识别本构模型参数。也有学者假定数值模型是一系列本构模型的线性组合，然后识别其组合值系数[52]。
参数识别本质上是优化问题，需要确定优化的目标函数。在模型更新混合试验中，一般以试验和预测的恢复力均方误差最小作为优化目标[53-55]，也有学者以能量误差最小作为优化目标[56]。以均方误差作为目标函数的方法通常被称为最小二乘法。确定目标函数后，再利用优化算法来估计模型的参数。张健[53]采用最小二乘法分别对双折线弹塑性模型以及Bouc-Wen模型的本构参数进行了在线识别。对于双折线模型，可以采用分阶段线性优化的方法，虽然无法实现全局优化，但是数值和混合试验[54]表明该方法仍然具有良好的识别效果。但是对于Bouc-Wen模型，不当的线性化优化方法可能会造成比较大的误差。Chuang等[55]采用基于梯度的优化方法对防屈曲支撑的恢复力模型进行了识别。基于梯度的优化方法虽然可以用于非线性参数系统，但对于多参数估计的问题，梯度的计算可能比较耗时；若梯度计算不准确，还存在迭代收敛速率低甚至不收敛的问题。
由于试验数据随着试验进程会越来越多，即使对于线性参数识别问题，计算量也会越来越大。Kalman滤波器采用递推格式[57]，仅用当前步的测量信息来更新识别参数，以前的信息通过Kalman增益来体现。这样，Kalman滤波器既可以减小计算量，又能充分利用以往信息来实现全过程优化。然而，Kalman滤波器对于线性问题其增益才有解析表达式。非线性问题的困难在于，确定Kalman增益时需要求状态量非线性变换后的均值和方差。隐性卡尔曼滤波器(UKF)[58]沿用了卡尔曼滤波器的框架，但采用无迹变换来近似确定随机变量经过非线性变换后的统计特征值。无迹变换实际上是一种确定性抽样的方法。
UKF方法是目前混合试验领域应用较多的参数识别方法，研究者们利用该方法实现了对单元[59-63]、截面[64]、材料[65-68]三种不同层次本构的模型更新。考虑到结构的本构参数通常具有明确的物理意义和大致的取值范围，文献[60]提出了一种给定参数上下界的约束隐性卡尔曼滤波器方法，并对防屈曲支撑的Bouc-Wen模型参数进行了识别，验证了该方法的有效性。
2.2 神经网络模型参数更新混合试验
神经网络算法无需预知结构或构件恢复力模型，具有较强的非线性预测能力，为解决复杂系统混合试验中的在线模型更新提供了一种可能途径。十多年来，国内、外学者对基于神经网络模型更新混合试验方法开展了积极的探索。
2005年，Yang等[69]首次提出将模型更新的思想应用于结构混合试验中，其构件恢复力采用的即为神经网络模型。基于试验子结构在当前步及所有历史观测数据在线训练网络权重，然后，在线预测数值子结构的恢复力。数值模拟和试验表明，基于神经网络模型更新的混合试验方法能够很好再现模型结构动力反应。
采用神经网络模型来逼近滞回系统中恢复力与输入变量之间函数映射关系时，输入变量的选择对网络预测能力具有重要影响。Yang等[69]采用的输入变量为上一步位移和恢复力、当前位移、表征加载方向的2个变量等5个变量；张健[53]在5变量输入的基础上，又增加了反映滞回环转折点和结构耗能信息的3个变量，采用8变量的BP网络模型来预测结构混合试验中数值子结构的恢复力。以上两种方法所采用的神经网络算法均采用混合试验中当前步及所有历史观测数据对初始的神经网络进行重复训练。随着输入和观测样本数量的逐步增加，算法计算量显著增大，计算效率随之下降。同时，在下一步样本训练时，神经网络系统中权值与阈值均需要重新初始化，这将导致训练算法的自适应性变差。
王涛等[70]和翟绪恒[71]在传统的BP神经网络基础上提出一种在线学习的神经网络算法，并应用于混合试验中来在线预测数值子结构恢复力。该算法在学习阶段仅利用当前的输入和观测样本进行训练，并在上一步训练得到的权值和阈值基础上采用递推方式更新当前步的网络权值与阈值，从而显著缩减了矩阵运算维度和训练耗时。数值模拟验证了在线神经网络算法性能及模型更新混合试验方法的有效性。BP神经网络本质上属于静态前馈网络，利用静态前馈型网络对动态系统预测时会出现信息滞留、记忆损失现象，从而降低算法精度。同时，神经网络结构和算法参数对算法预测性能也具有重要影响。为此，王涛等[72-73]于在线学习神经网络算法的基础上进一步修改了网络结构，提出了一种在线自适应神经网络算法。该算法保留了训练样本和权重递推更新的在线学习方式，通过在输入层和隐含层之间增加了一个反馈层，运行过程中可以保存上一步的运算结果，并将其反馈至输入层进行下一步计算，从而提高算法的稳定性和自适应动态学习能力。通过两组防屈曲支撑构件拟静力试验数据验证了所提算法具有良好的恢复力预测精度和计算效率；通过两个自由度非线性结构混合试验数值仿真，验证了在线自适应神经网络算法及模型更新混合试验方法的有效性。为了提高BP神经网络算法的训练迭代效率和算法自适应性，王燕华等[74]提出了一种基于遗忘因子的LMBP 神经网络算法，利用带有遗忘因子的动态窗口样本训练神经网络，体现了新旧样本对网络训练的不同影响程度。
如何在混合试验中提高神经网络算法计算效率，以及实现对具有不同本构模型的构件恢复力在线预测，将是值得进一步研究的问题。
3 边界实现问题
试件边界通常通过作动器或振动台等加载系统实现。对于实时混合试验，加载系统的时滞会对试验结果产生影响。系统时滞在这里定义为，从发出命令到作动器实现该命令所需要的时间。系统时滞来源于系统的纯延迟和系统动力特性中包含的相位滞后。自从Horiuchi等[75]分析了时滞对弹簧试件实时混合试验的影响，时滞及其补偿吸引了众多混合试验研究者的注意。对于弹簧试件，时滞效应等价于负阻尼[75]；而对于质量试件，时滞在这种情况下类似于正阻尼[76]。
实际上混合试验的时滞除系统时滞外，还有计算时滞。计算时滞指从数值部分收到物理部分传来的反馈信号，到计算出下一时间步命令的时间。对于大型复杂非线性结构，计算耗时长且具有较强的随机性，难以估计和补偿。许国山等[77]提出了一种基于重启动的实时混合试验方法，能够解决计算时滞过大带来的问题。重启动试验方法的基本原理是，当某一步计算时滞过大时，停止加载并使试件回到初始状态并等待，直至该步计算完毕；然后，从初始时刻开始重新加载，直至该步结束。嵇壮壮[78]以黏滞阻尼减振结构的实时混合试验验证了重启动方法的有效性。需要指出的是，重启动实时混合试验方法前提条件是物理试件的力学特性具备可恢复性，在试验中可能发生损伤的试件不能采用这种方法。
以下不讨论计算时滞，仅讨论物理系统时滞。
3.1 时滞估计
准确估计时滞是实现时滞补偿的前提。时滞估计方法分成两类，即在线方法和离线方法。时滞离线估计假定系统时滞为常数，可以通过求下式最小值来确定时滞大小[79-80]：
\frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{\rm{| }}{d_{\rm{c}}}\left( {{t_i} - \tau } \right) - {d_{\rm{m}}}\left( {{t_i}} \right){{\rm{|}}^{\rm{2}}}} (32) 式中：τ为系统时滞；n为数据点的数目；dc和dm分别为命令位移和测量位移。一般在一定范围内通过枚举τ计算式(32)数值，其最小值对应的τ可定为时滞估计值。但是，某些情况下时滞并不总是常数，时滞可能受试件刚度[81]、系统特性、命令频率、命令幅值等的影响，这时在线估计时滞就显得非常必要。时滞估计问题可以表示成如下非线性方程的求解问题：
{\rm{ }}{d_{\rm{c}}}\left( {{t_i} - \tau } \right) - {d_{\rm{m}}}\left( {{t_i}} \right){\rm{ = }}0 (33) 采用牛顿迭代法时，其解可表示为：
{\tau ^{k + 1}} = {\tau ^k} - (d_{\rm{c}}^k - {d_{\rm{m}}})/v_{\rm{c}}^k (34) 式中，k为迭代次数。
Ahmadizadeh 等[82]所提出的方法的基本思想可以看作是在式(34)右边第二项前面乘上一个学习增益，恰当选择此增益可以在估计效率和稳定性之间取得平衡。显然当速度为零时，式(34)将失效。Darby等[81]所提出的方法可以避免这一问题，其表达式如下： {\tau ^{k + 1}} = {\tau ^k} - {c_{\rm{p}}}\tanh ({c_{\rm{v}}}v_{\rm{c}}^k)(d_{\rm{c}}^k - {d_{\rm{m}}}) (35) 式中，cp和cv为算法参数。Darby等[81]在式(35)中采用双曲正切函数替代符号函数，是为了防止符号函数突变所带来的稳定性问题[81]。以上方法需要针对具体试验对cp和cv两个参数调试以确定合适数值。Wang等[83]考虑幅值变化，将式(33)修订为：
{\rm{ }}{d_{\rm{m}}}\left( {{t_i}} \right){\rm{ = }}{k_{\rm{a}}}{d_{\rm{c}}}\left( {{t_i} - \tau } \right) (36) 然后，将式(36)右边进行泰勒级数展开，并只保留第一项，可得：
{\rm{ }}{d_{\rm{m}}}\left( {{t_i}} \right){\rm{ = }}{k_{\rm{a}}}{d_{\rm{c}}}\left( {{t_i}} \right) - {k_{\rm{a}}}{v_{\rm{c}}}\left( {{t_i}} \right)\tau (37) 这样就可把测量位移表达成两个参数ka和kaτ的线性组合，然后可利用若干实测和命令数据，采用最小二乘法确定ka和τ。
3.2 时滞补偿
假定在ti时刻通过计算获得ti+1时刻的期望位移di+1，如果系统时滞超过计算时间间隔Δt，则需要修正在ti发出的命令，以期在ti+1时刻使试件达到位移di+1，这种修正命令的方法称之为时滞补偿。显而易见，如果已知系统的动力特性，比如传递函数，则可以通过期望位移确定位移命令来实现补偿的目的。当然，精确把握系统的动力特性并非易事。根据对系统特性的不同假定，时滞补偿方法大致可归为四类，即基于多项式外插的补偿方法、基于控制理论的补偿方法、基于测量力的补偿方法和自适应时滞补偿方法。
3.2.1 基于多项式外插的补偿方法
多项式外插时滞补偿方法最早由Horiuchi等[75]提出，是实时混合试验中目前应用最广泛的时滞补偿方法。该方法假定试件在作动器驱动下的位移时程曲线为以时间为自变量的n次多项式函数。选择当前已知的n个时刻的位移数据，以及下一个积分时刻ti+1的期望位移di+1，确定试件的位移时程曲线，这显然采用的是拉格朗日插值方法；利用这条多项式曲线外插计算ti+τ时刻的位移d(ti+τ)，并在ti时刻发出此命令。如果在[ti, ti+τ)上保持位移d(ti+τ)命令不变，则由时滞的定义可知d(ti+τ)必然在ti+τ一定能实现，这样，试件的n次多项式轨迹曲线必将在ti+1达到期望位移di+1。通常可以把除di+1的另外(n−1)个数据也取为期望位移，以此来拟合多项式曲线可能会更加平滑。插值点的选取可以根据试验的具体需要确定，为了降低试验噪声与误差的影响，可以取更多的数据点，采用最小二乘进行多项式曲线拟合[84]。
拉格朗日插值完全采用位移信息来确定多项式曲线，而Hermite方法的插值点可选用位移、速度和加速度。为了充分利用积分算法提供的位移、速度和加速度信息，时滞补偿的预测表达式可采用Hermite插值[79]。文献 [85]给出了基于线性加速度预测的补偿方法，本质上可以归结为Hermite插值方法。低阶拉格朗日插值函数的预测精度略低，高阶者常引起一定高频力响应，影响试验的稳定性，一般建议选择三阶[75]。由于采用了高阶信息，Hermite插值预测具有更好的幅值预测精度、更大的正相位范围[79]。
如果期望位移没有很好实现，则可以采用估计与期望位移对应的测量荷载的方法进行修正[82]。为了保证期望位移能实现，Wu等[79]提出一种时滞过补偿和最优力反馈的方法，也属于一种基于测量荷载修正的方法。
3.2.2 基于控制理论的补偿方法
如果已知系统的传递函数，则可以采用基于逆模型的控制方法对时滞进行补偿。Chen和Ricles [86]在2010年提出了含时滞参数的简化线性作动器模型，专门构造了一个补偿误差指标[87]，采用PI控制方法使补偿误差指标趋于零来识别可变时滞；补偿采用逆模型方法。为减少加载过程中可能存在的幅值偏差，Chen等[88]又引入了一个新变量，实现了加载幅值的自适应修正。Strano等[89]采用扩展卡尔曼滤波器估计一阶传递函数中的幅值增益和时间常量，并应用于逆模型前馈补偿。实际上如果状态量中仅包含传递函数模型参数，并将模型参数作适当变换，文献 [89]的识别系统方程可转变为线性方程，这样就可以采用卡尔曼滤波器，问题就会变得简单得多。
另外一些方法采用了更为高阶的系统模型。Chae等[90]针对二阶模型，利用当前时刻之前的一段时间内的实测位移与命令数据，采用最小二乘估计方法估计模型参数，然后，把期望位移代入识别得到的二阶模型中计算补偿命令。王贞等[91]对于线性系统模型采用线性多步法进行离散，得到作动器指令位移与试件实测位移间线性差分关系的一般表达式，可根据具体情况选择差分方程的参数个数，采用带遗忘因子的最小二乘法在线估计参数。
为了减小建模误差和噪声影响，可以由反馈控制与前馈控制(即逆模型)一道构成复合控制。这种复合控制方法在高精度伺服系统中应用广泛[92]。在混合试验领域，Philips等[93]采用三阶逆模型作为前馈控制，反馈部分采用LQG控制器。在该研究基础上，Chen等[94]增加了在线识别前馈逆模型参数的环节，以进一步提高复合控制的鲁棒性。Zhou和Li [95]在基于模型补偿方法的基础上采用误差模型对第二阶段补偿进行改进，提高了算法在高频范围的补偿效果。
3.3 控制模式
试验加载系统一般有两种控制模式，即位移控模式和力控模式。对于多数混合试验，其物理部分的边界为运动边界，即由数值部分计算出边界处的位移、速度或加速度，可以通过位移控制实现(如果边界是速度或加速度，则位移加载需保证实时性)。对于振动台子结构试验，如果试验子结构取结构下部，那么其边界就可能是力边界。对于采用液压伺服驱动的实时试验，力控制的最大缺陷是自然速度反馈；如果加载频率在结构自振频率附近时，液压伺服控制系统将难以保证力控加载命令的实现[96]。为了解决该问题，Sivaselvan等[97]提出了一种通过附加弹簧把力控制转化为位移控制；Zhao等[98]提出了速度反馈控制与相位补偿相结合的方法。尹全林[99]研究了在等效力控制方法中的零点问题出现的原因和条件，提出利用反馈补偿的方法解决等效力控制的零点问题。Nakata[100]在有效力试验中，采用Loop Shaping方法来设计力控制器，这种控制器除了可以补偿作动器和结构相互作用，还可消除油柱共振的影响。
在静力试验中，对于大刚度试件，微小的位移误差将引起较大的力误差，此时采用力控制更合适。对于大刚度试件的混合试验，可以在弹性阶段采用力控制，进入塑性后采用位移控制[101]。对于多作动器协同加载，当作动器的数量超过被控对象自由度数量时，就会存在冗余控制问题。文献[102]采用四个作动器控制楼盖三个方向位移时，其中三个作动器采用位移控制，第四个作动器即冗余作动器采用力控制，此作动器力的大小按优化方法确定。
3.4 不完整边界问题
试验子结构边界条件模拟是子结构试验的关键问题。在土木工程子结构试验中，物理子结构的边界条件一般由作动器实现。严格来讲，作动器的数量应该与边界自由度的数量相同。对于简单边界，即自由度较少的边界，如以单根构件或减震控制装置为物理子系统的情况，子结构试验取得了成功的应用。但是对于更多情况，物理子结构的边界自由度往往超过一般结构实验室的作动器数量。例如，对于空间框架结构，一个梁柱单元节点有6个自由度，如果取结构底层作为物理子结构，那么即使对于一个双向单跨的框架，其边界自由度也有24个。即使个别大型试验室有这么多作动器，竖向作动器的加载能力和反力架也将是对试验室硬件资源的一个考验。
为了降低混合试验对作动器数量的要求，可以对边界条件进行适当简化。例如，框架结构柱一般存在反弯点，由于反弯点处的弯矩为0，因而可以免去对转动自由度上的加载。如果反弯点位置变化不大的话，在预设反弯点处仅控制平动自由度的做法可以获得良好的精度[103-105]。
对物理子结构的边界条件进行简化，在一定程度上可以改善混合试验的精度。但是目前所提出的各种简化方法均针对特殊情况适用，难以推广应用。
Wu等[106]提出了在线数值模拟方法，给出了非完整边界条件的通用解决方案。在线数值模拟方法的基本思想是，结构反应由结构整体数值模型计算得到，将数值与物理子结构界面位移通过作动器施加到物理子结构之上，利用物理子结构的位移和恢复力实测数据识别结构的本构模型参数，以此更新全结构数值模型的本构参数值，进而进行下一步的结构反应计算和参数估计更新，如此反复直至试验结束。由于结构反应由整体数值模型算出，因此，就回避了边界条件不完整的问题。
4 混合试验平台
随着混合试验技术日趋成熟，其试验对象逐渐多样化和复杂化，开发具备通用性的试验软件平台已成为混合试验推广应用的关键环节。为了推进混合试验的研究与应用，实现方便快捷地开展混合试验，各国学者开发了多种试验平台。其中应用较为广泛的平台主要包括OpenFresco[107]、UI-SimCor[108]、NetSLab[109-110]、ISEE[111-112]、HyTest[68,113]等。由于混合试验中的数值子结构一般采用有限元软件进行计算，而目前常用的有限元软件均在Windows系统下运行，因此，主流的混合试验平台也一般在Windows系统下运行。
OpenFresco基于开源有限元分析软件OpenSees开发而成，其主要功能是为数值分析软件和试验加载设备的协同工作提供模块化的接口。它的基本设计理念是将混合试验看作传统的有限元分析，其中试件作为有限元模型中一种特殊的单元，即试验单元。在这一设计理念下，混合试验的进程由有限元分析软件来控制，然后，由OpenFresco建立有限元软件中虚拟的试验单元与真实的试验加载系统之间的联系。目前，OpenFresco可以方便地调用OpenSees作为计算核心进行混合试验，还兼容ABAQUS、ZeusNL[114]等有限元软件，并且可以实现与MTS、dSPACE、LabVIEW、SCRAMNet及xPCTarget等试验控制系统连接。此外，它还针对四种类型的试件(1DOF~3DOF的柱子、3DOF的斜撑)所对应的作动器布置方案提供了坐标转换功能，从而方便地进行从试件自由度方向到作动器运动方向上的位移坐标转换。然而，实际试验中还存在更多不同的作动器布置方案，还有冗余控制、力位移混合控制的需求，OpenFresco暂时无法为这些多样的试验方案提供一个通用的实现手段。
UI-SimCor与OpenFresco的设计理念不同，它不再以有限元分析软件来控制混合试验的流程，而是单独创建了协调器模块。UI-SimCor的协调器负责求解整体结构的运动平衡方程，并控制试验的进程。协调器为每个数值子结构和试验子结构都分别创立一个映射模块，由这些映射模块和对应的有限元软件或试验加载系统通信。UI-SimCor由MATLAB语言编写而成，在计算效率上不如C++。此外，UI-SimCor同样存在试验配置不够通用的问题，无法为多样的试验方案提供通用的实现手段。
网络化结构实验室NetSLab是我国学者自主开发的第一个拟动力远程协同试验及通讯平台。它采用VB语言编写，可通过MTS的二次开发编程库VB-COM连接控制系统，也可以采用外接采集卡实现MTS接口。NetSLab开发了单层结构、多层剪切型结构以及桥梁结构远程协同试验程序，还可以通过试验单元调用OpenSees进行数值子结构模拟。此外，NetSLab还加入了远程观察器模块，非试验人员也可以远程查看试验进展及数据等。然而，NetSLab同样存在试验通用性问题。
ISEE是我国台湾学者开发的用于网络协同试验的通讯平台。它利用SQL数据库作为试验数据的存储及交换中心，各子结构通过SQL命令与该数据中心连接。ISEE同样可以采用OpenSees作为其数值子结构的计算工具，同时也支持PISA3D结构分析软件。然而，ISEE的特色主要在于数据交互，并未提供加载控制功能。
上述混合试验平台存在一个共同的缺点：面对实际试验中可能出现各种不同的作动器布置方案、作动器混合控制、数据采集方案，它们无法提供一个通用的加载控制流程。HyTest平台的试验子结构部分采用了基于控制点的试验加载控制方法，即将加载目标、作动器、传感器分配到试件的各个控制点上，以控制点为最小的加载控制单元。每个控制点上的加载控制流程完全相同，通过控制点的组合，可实现各种不同的试验对象和试验加载方案下的加载控制。此外，该平台还支持力、位移混合目标以及冗余控制。HyTest平台还提供了试件模型参数识别模块，该模块采用MATLAB语言编写，而算法中涉及到数值子结构计算的部分，则采用有限元软件OpenSees来模拟。
除前述几种混合试验平台外，研究者们还对混合试验平台开发开展了一系列探索[115-117]，主要集中在分布式和实时化方面。在分布式混合试验方面，Pan等[115]开发了基于动力子结构的分布式混合试验平台P2P，并结合有限元软件OpenSees和ABAQUS在日本京都大学的两个校区之间开展了混合试验[118]；Martinez等[119]开发了分布式混合试验平台Celestina-Sim，在英国牛津大学和德国卡塞尔大学之间开展了试验测试。在实时混合试验方面，为了保证数值计算的实时性，研究者们大多采用自行编译的有限元程序来模拟数值子结构，如Karavasilis等[116]和Castaneda等[120]基于MATLAB/SIMULINK分别开发的试验程序HybridFEM和RT-Frame2D，可支持平面框架结构的实时混合试验；Ferry等[121]在Linux系统下开发了并行的实时混合试验平台Cybermech，利用15个核心计算了一个九层的框架结构，与单核处理器相比，显著提高了计算效率。Duan等[122]开发了基于向量式力学和FPGA硬件的混合模拟平台，并通过阻尼器混合试验进行了验证。该平台实现了将数值模拟、实时控制、信号处理和数据采集等集成在统一的LabVIEW 开发环境，通过FPGA硬件执行，避免了不同设备间数据传输带来的系列问题。上述试验平台均为特定的研究对象而研发，作为平台而言通用性略差，但其工作可为未来混合试验平台的继续完善提供宝贵的技术支撑。
5 混合试验的应用
最早的结构混合试验[3]采用模拟计算机控制电磁作动器，试件为单自由度悬臂梁 [123]，此后混合试验方法在建筑结构抗震试验中获得了较多的应用。中国建筑科学研究院于1986年在国内首次开展了拟动力试验，对相似比为1∶6的12层底层大空间剪力墙结构进行了拟动力试验[124]。自20世纪90年代以来，哈尔滨工业大学在大型建筑结构抗震拟动力试验方面做了大量工作：李暄等[125]和张培卿[126]研究了拟动力试验力控制实现技术，结构模型的底部三层为框架剪力墙结构，顶部四层为砌体结构，相似比为1∶3；吴波等[127]对采用摩擦阻尼器进行抗震加固的某政府大楼进行了拟动力试验，试件为安装摩擦阻尼支撑的五层钢筋混凝土框架结构，相似比为1∶3；王凤来等[128]采用等效力控制方法对底部框支配筋砌块短肢砌体剪力墙进行了子结构拟动力试验，试件为足尺三层结构，底部为框架、上部两层为配筋砌体结构；陈再现等[129]利用混合试验模拟了十二层预制混凝土剪力墙结构在地震作用下的响应，试件为结构底部三层，相似比为1∶1；Xu等[130]对装配式盒子结构进行了子结构拟动力试验，试件为足尺两层两开间结构。我国台湾学者Tsai等[131-133]对足尺三层三跨防屈曲支撑钢管混凝土框架结构和足尺两层防屈曲支撑钢框架结构分别完成了子结构拟动力试验。
在其他国家，欧洲学者Molina等[134]利用混合试验模拟了三层钢-混凝土组合空间框架结构在双向地震作用下的响应。Cha等[135]利用实时混合试验模拟了安装MR阻尼器的大型钢框架结构在地震下的响应。
混合试验应用较多的另一个领域是桥梁工程。Jung等[136]对拉索-阻尼器系统阻尼器减振效果进行了实时混合试验，其中电磁阻尼器作为试件，拉索为数值子结构，以解决当前实验室场地条件无法实现较长拉索足尺试验的问题。Pinto等[137]对一座现有六墩桥的大比例模型进行了拟动力试验，并考虑了模型子结构非线性性能，验证了桥梁具有较差抗震性能。Cai等[138]基于NetSLab平台模拟了由FRP加固钢筋混凝土桥墩支撑的多跨桥在地震激励下的动力响应，取多跨桥的两个桥墩作为试验子结构，其他部分作为数值子结构，以解决因实验室场地规模限制难以对桥梁全结构进行试验的问题。Mei等[67]采用模型更新技术，对一座高墩桥进行了子结构试验，试验结果表明该结构具有良好的抗震性能，并展现了箱形截面高墩的弯剪破坏模式。
海洋工程结构所处环境比陆上结构更为复杂，采用混合试验可以有效降低海洋工程结构试验难度。Wu等[139]采用实时混合试验方法研究了冰力和地震激励下某海洋平台的磁流变阻尼器减振效果，将隔震层中的足尺原型磁流变阻尼器作为试件，海洋平台其他部分作为数值子结构。Vilsen等[140]利用混合试验方法对海洋系泊系统进行了研究，将系泊系统的平台浮体作为试验子结构，放在水池中进行试验，系泊系统其余部分进行数值模拟，以解决当前海洋工程水池的深度和跨度不能满足系泊系统整体试验需要的问题。
混合试验除了在结构动力响应模拟方面显示独特优势之外，它还可应用于其他类型的结构模拟，例如新近出现的结构抗火混合试验[141-142]。Mostafei[143]对一个六层钢筋混凝土框架进行了抗火混合试验，将框架中的一根柱子放在火灾炉中进行试验，框架其余部分则进行数值模拟，实现了对整体结构的火灾反应模拟。
土木工程领域之外，混合试验在车辆工程领域也有一定应用[144-145]。Batterbee等[145]采用混合试验方法研究了汽车悬架系统动力行为，将悬架系统的磁流变阻尼器作为试验子结构，采用两自由度的四分之一汽车悬浮架数值模型。混合试验方法还成功应用于轨道交通领域[146-148]，如取一节车辆作为试验对象，采用车辆试验台开展混合试验，在试验车辆两端布置车体间运动模拟装置，在计算机中建立前后两节车辆模型，从而再现3辆编组车辆的动力行为。研究表明，在垂向及横向激励作用下，混合试验能基本真实地再现实际车辆的动态响应。
近年来，混合试验技术在其他工业领域也正在获得更多的认可。李东军[149] 将实时混合试验方法引入通信设备领域，完成了基于振动台与作动器联合加载的通讯设备走线架系统的实时混合试验。Facchinetti等[150]利用混合试验方法对受电弓-电网的相互作用进行了研究，将受电弓作为试验子结构，电网进行数值模拟。Wallace等[151]利用混合试验方法对直升机的一个转子叶片-滞后阻尼器系统振动稳定性进行了研究，将滞后阻尼器作为试验子结构，转子叶片进行数值模拟。
混合试验方法极具扩展性，它还可用于太空探索，为外星栖息地建设提供技术支撑。为了模拟外星栖息地复杂多样的外部环境和内部因素，Dyke等[152]提出了建设信息物理互联(cyber-physical)测试平台的构想，即采用混合试验技术去辅助外星栖息地方案设计，并得到了美国国家宇航局NASA的项目支持[153]。在这一构想中，外星栖息地中的结构物等关键部分作为试验子系统，而栖息地的外部环境模拟、场景模拟、健康监测等则采用数值子系统来实现，通过作动器、传感器来实现试验与数值的互联，从而完成各种可能环境下的外星栖息地长期安全性和可靠性的模拟154]。
6 展望
混合试验结合了拟静力和振动台试验的优势，在结构试验中具有广泛的应用前景。虽然混合试验近年来在研究与应用方面取得了重要进展，但以下几个方面仍值得研究者进一步关注。
(1)对于结构几何非线性，能量一致积分方法解的存在性问题尚未完全解决，计算效率也有待提高；
(2)在线数值模拟方法为解决非完整边界条件问题提供了解决方案，其关键环节—模型更新方法的理论基础、识别精度和计算效率值得进一步研究；
(3)对于大型复杂试件的实时混合试验，时滞补偿、加载系统与试件相互作用等问题值得进一步研究；
(4)现有混合试验软件的通用性有待进一步拓展，以降低混合试验应用的技术门槛；
(5)混合试验方法的应用范围有待进一步拓展，通过在土木、车辆、航空航天工程中更多的实际工程应用推动混合试验技术的完善与发展。
注：该文在第29届结构工程学术会议(2020武汉)应邀作特邀报告
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