NOVEL DEVELOPABLE AND FOLDABLE STRUCTURES
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摘要: 可展与折叠结构是一类可以自由地大尺度改变几何构形的结构。它们可以从体积较小的闭合或者收缩状态变换到开启或者展开状态。相对于传统结构而言，可展与折叠结构具有建造速度快、施工方便等优点，而且便于运输和存储，可反复使用，因而在民用、军事、航天等领域被广泛应用。针对可展与折叠结构的共性问题及关键技术，采用理论分析、数值模拟、物理模型实验相结合的研究手段，对多种新型可展与折叠结构的几何构成、运动过程以及受力性能等进行了深入的研究。Abstract: The developable and foldable structure is a kind of structure which can freely change its geometric configuration on a large scale. They can change from a smaller closed or folded state to an open or deployed state. Compared with traditional structures, the developable and foldable structures have the advantages of fast construction, convenient transportation and storage, and being used repeatedly, so it is widely used in civil, military, aerospace and other fields. In view of the common problems and key technologies of deployable and foldable structures, the geometric composition, motion path and mechanical properties of various novel deployable and foldable structures were studied by theoretical analysis, numerical simulation and physical model experiments.
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可展与折叠结构是一类可以自由地大尺度改变几何构形的结构。它们可以从体积较小的闭合或者收缩状态变换到开启或者展开状态，既便于生产、运输与组装又具有较好的美观外形，适用又特别[1]。折展结构已经在航空航天[2]、生物医学[3]等领域得到广泛的应用。利用折展结构设计的开合屋盖可极大改善场馆的使用环境，采用日光照明和自然通风，缩短室内照明时间和空调使用时间，减少气候条件的影响，提高建筑利用率，节能环保[4]。Buckminster Fuller在1960年率先提出可展结构的概念。受Fuller启发，西班牙建筑师E. P. Pinero在1961年设计出“可移动剧院”，成功将可展结构应用到工程设计中。1990年，美国工程师Hoberman利用折杆剪式单元为2000年汉诺威世博会设计了著名的Iris穹顶[5-7]，可开合的Iris穹顶一经亮世便惊艳众人，成为该届世博会的一个亮点。Iris穹顶的开合过程如图1所示。
Hoberman将直杆剪式单元进行拓展至折杆剪式单元，使剪式单元能够应用到不同的外形与几何条件的结构中，极大地促进了剪式单元的应用。在此基础上，You等[8]提出由单折杆剪式单元或多折杆剪式单元构成的折叠杆系结构，这种结构可以形成任意多边形，更加适合不同建筑外形的可开合屋盖结构。但折叠杆系结构只能形成结构骨架，无法形成封闭的室内空间，因此You等[9]在最初的折叠杆系结构基础之上增加了刚性屋面板，形成了带有屋面板的径向可展屋盖结构和由其拓展的径向可展板式结构，如图2所示。
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图 2 上附刚性屋面板的径向开合屋盖展开过程Figure 2. Deploying process of retractable roof with rigid panels对索杆式可展结构，新加坡国立大学的Liew等[10-11]基于索杆式可展结构的运动学特性提出了一种索杆式可展结构的几何准则，并利用这个准则通过计算机模拟来研究新的索杆式可展结构形式，如图3所示即为几种新型索杆折叠体系；并利用非线性有限元方法分析了索杆式可展结构的受力性能，指出这种结构有较大的结构刚度；和传统的双层网架结构进行了对比，分析结果显示一定跨度范围内的索杆式可展结构比传统的双层网架结构更有效。
Jensen等[12-13]讨论了可开启式屋盖结构的展开形式，其中给出了一种由柱铰相连的平板组成的二维可展结构形式，指出这种结构在运动学上和可展剪式单元的相似性，并提出了将这种体系用于可开启屋盖的设想。毛德灿等[14-16]系统地研究了Pellegrino等提出的径向可开启式半径结构，并对其进行了改进，例如图4所示的长圆形径向可开启屋盖体系。
近年来，有部分学者从一门中国历史悠久的艺术——折纸上寻找折叠板壳结构的灵感。日本学者Miura提出了一种折纸模型，并成功在航天工程中太阳能帆板的展收中得到应用，如图5所示[17-18]。而英国牛津大学Kuribayashi[19]将折纸模型的思想应用到支架移植手术中。
将丰富多彩的折纸构型应用到建筑结构中，从而可设计出形式多样的折叠板壳结构[20-24]，如图6所示。带有折痕的板壳结构可大大增加其结构刚度，使其拥有大跨越的能力。同时，折纸结构的形态可变特性可使建筑本身拥有折展变形的能力，不仅可用于体育场馆的可开合屋盖设计，还可用于救灾应急时的临时建筑搭建，运输时折叠，使用时展开，方便快捷且可重复使用，绿色环保。
综上所述，虽然国内外学者在可展与折叠结构方面的研究工作已经有了很大进展，但目前针对新型可展与折叠结构的可开合屋盖结构的研究多集中于几何方面，且几何方面也主要注重几何构型，相对缺乏对体系整体的可动性基础理论研究，同时对可开合屋盖在展开过程中以及完全展开之后的力学性能研究涉及较少。本文通过完善机构基础理论的研究，形成结构、柔顺机构、机构的统一理论，正确分析体系的运动路径及可动范围。在此基础上，分别基于杆式单元、索杆单元以及折叠板单元设计新型可展与折叠结构形式，借助有限元软件以及实物模型分析验证基础理论的正确性[25-27]。
1 机构的基础理论研究
1.1 基于螺旋理论Hoberman连杆机构自由度计算
空间刚体的任意瞬间运动和所受到的刚体约束都可以看作螺旋量。根据螺旋互易定理，运动机构的终端约束力螺旋与刚体运动螺旋的互易积为零。基于螺旋理论，可对Hoberman连杆机构的自由度进行计算。图7所示是一个单折杆构成的连杆机构，由6个相同的折杆剪式单元首尾相接得到，每个折杆剪式单元对应的中心角度α为60°。
根据螺旋互易定理，可以得到：
{{\boldsymbol{S}}'{\bf\textit{ω}} '} = {{\boldsymbol{0}}} (1) 式中：S′为旋量矩阵；ω′为节点角速度矩阵。因此利用式(2)便可得到Hoberman连杆机构的自由度：
m = n - r({{\boldsymbol{S}}'}) (2) 式中：m为自由度；n为旋量矩阵S′的列数即机构中节点的个数；
r({S'}) 为矩阵S′的秩。将上述公式进行计算求解，得到体系自由度在折杆角度β在(0，2π)范围内变化时对应的计算结果：
m=\left\{ \begin{aligned} & 1\;\;\;\;\beta \in [0,2\pi ],\; \beta \ne 2\pi /3,\;\beta \ne 5\pi /3\\& 4\;\;\;\;\beta =2\pi /3\\& 3\;\;\;\;\beta =5\pi /3 \end{aligned} \right. (3) 由上述结果可知，Hoberman连杆机构在开合过程中存在奇异点，即存在两处自由度不为1的状态。当折杆角度β分别为2π/3和5π/3时，体系的自由度由1分别变为4和3。
通过对上述Hoberman连杆机构的展开过程进行模拟，验证螺旋理论的正确性，模拟展开过程如图8所示。时间t为运动时间，从时间0 s~24 s，体系逐渐向外展开。t=24 s时，Hoberman剪式单元中的两根折杆重合到一起，此时体系处于第一个奇异点状态；此时的机构有两条运动路径：一为每两根折杆单元重合在一起运动，体系变为由六根相同折杆构成的六连杆机构，如图8(c)所示，此时体系的自由度为3；二为重合的两根折杆分离运动，体系继续发生沿着径向的展开运动，如图8(d)所示，此时体系的自由度为1。因此在t=24 s时，体系的运动状态为两种运动状态的综合，即此时体系的自由度为4，而这也与根据螺旋理论所计算得到的体系自由度的结果相同。
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图 8 六单元Hoberman连杆机构展开过程仿真Figure 8. Deploying process simulation of Hoberman linkage mechanism with six units1.2 基于体系约束方程的可动性判别方法
在国内外研究的基础上，提出了基于系统约束方程的铰接连杆机构可动性判别方法。系统的约束方程包含结构信息，可通过对系统约束方程进行求解的方式对系统的可动性进行判断。若约束方程有连续解，则体系可动，这也是判断体系可动的充分必要条件。若体系不可动，对约束方程进行一阶分析，便可区分体系为无穷小机构或者结构。通过对系统约束方程的分析，实现了对体系有限机构、无穷小机构与结构的界定，实现了机构、柔顺机构以及结构理论的统一。系统约束方程如式(4)所示：
\begin{split} & {f_k}({x_1}\;,\;{x_2}\;,\cdots\;,\;{x_n}\;,{y_1}\;,{y_2}\;,\cdots,{y_n}\;,\;{{\textit{z}}_1}\;,\;{{\textit{z}}_2},\cdots,\;{{\textit z}_n}) = 0 ,\\&\qquad k=1, 2,\cdots, m \end{split} (4) 式中：n为体系节点数；m为约束方程的个数。
通过对有限机构的系统约束方程的解进行分析，还可了解有限机构在运动过程中的分岔现象。另外，通过观察约束方程求解过程的迭代误差变化情况，可发现体系的运动极值点附近迭代误差迅速增大。但若迭代步长足够小，则可避免计算得到错误的运动路径。
无穷小机构的结构刚度介于机构与结构之间，可在一定范围内实现较小刚度的运动，其j阶无穷小时的系统约束方程经过泰勒展开，略去高阶项之后可以表示为：
\begin{split} {}^j{f_k}(t + \delta ) =& \delta \frac{{\partial {f_k}(t)}}{{\partial t}} + \frac{1}{{2!}}{\left(\delta \frac{\partial }{{\partial t}}\right)^2}{f_k}(t) + \cdots +\\& \frac{1}{{j!}}{\left(\delta \frac{\partial }{{\partial t}}\right)^j}{f_k}(t) = 0\;,{\text{ }}k = 1,2,\cdots,m \end{split} (5) 将式(5)写成关于时间t的函数，可得到：
\begin{split} {f_k}({\boldsymbol{x}}) =& {({X_i} - {X_j})^2} = \{ ({X_i}' - {X_j}') + ({X_{i,1}} - {X_{j,1}})t + \\& ({X_{i,2}} - {X_{j,2}}){t^2} + \cdots + ({X_{i,k}} - {X_{j,k}}){t^k}{\} ^2}\;, \\& \; k =1,2,\cdots,m \end{split} (6) 通过对图9所示的带有不同数量重复单元的达芬奇无穷小机构进行分析，可以得到，若体系的无穷小阶次为0，则体系不可动，即为结构；若体系无穷小阶次大于0，则体系为无穷小机构；若体系阶次无穷大，则体系为有限机构。同时，本文研究了无穷小机构刚度随其阶次变化的趋势。相同体系下机构的无穷小阶次越小，体系的刚度越大，反之亦然。若忽略无穷小机构运动过程中的微小抗力，则可认为机构运动过程中的低刚度范围即为无穷小机构的可动范围，因此无穷小机构也可称为柔顺机构。柔顺机构在运动至可动范围之外时，体系内部产生自锁效应，整体刚度迅速增加，因此可将其应用于有一定可动性需求的结构或超材料当中。可动范围可通过调整杆件的连接及重复单元数量等参数来进行编程设计。
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图 9 带重复单元的高阶无穷小机构(达芬奇结构)Figure 9. High order infinitesimal mechanism with repeating unit (Da Vinci’s structure)2 新型可展与折叠结构设计与分析
2.1 新型网格式可开合屋盖
在平面四连杆机构的理论基础上，折叠网架体系可被用做开启式屋盖结构，但其整体刚度较弱，采用环向加杆的方式来提高折叠网架的受力性能[25]。开启式屋盖体系在整个展开过程中的受力性能利用有限元分析软件ABAQUS进行分析。模型中开启屋盖结构跨度为34.21 m，矢高9.6 m，钢杆件截面均为300 mm×150 mm×10 mm (长×宽×厚度)，材料弹性模量E=2.1×105 N/mm2，泊松比ν=0.3，密度ρ=7.85×103 kg/m3。模型中环向杆件使用truss单元，其余部分则采用beam单元，结构承受自重以及0.5 kN/m2的外荷载。该模型在静力荷载作用下的最大应力只有40 MPa，跨中最大位移0.076 m。模型分析得到折叠网架体系在展开过程中的受力情况如图10所示，整个展开过程中模型中的最大应力逐渐增加，最后屋盖开合直径达到20 m时，体系中的最大应力为144 MPa。
基于Hoberman剪式单元的可开启式屋盖体系的外围节点在展开过程中存在较大的径向位移，大大增加了下部支撑体系设计的难度。为此，给出了一种具有固定支座体系径向展开结构的设计方法。假定体系为极对称结构，对其中一个单元分析。ABCD为一四连杆机构，DEFG为另一四连杆机构，假设与支撑体系相连的节点A和E位置保持不变，则两四连杆机构的自由度为1。利用结构的极对称性，镜像可以得到如图11所示的体系，则体系为单自由度体系。将可开启式屋盖体系的支座节点与图11中的B、N等内圈节点相连，即可得到具有固定支座的径向可开启式屋盖体系，其固定结构在图中用○标示。
2.2 新型索杆式折叠网格体系
索杆式结构相较于网格结构，具有重量轻，受力性能优越等众多优点。基于图12所示的CP索杆单元，提出一种新型索杆式折叠网格体系。基于CP索杆单元设计形成的折叠网架结构的试验模型如图13所示。折叠结构在完全展开状态时的受力性能是评价体系是否优越的重要指标。分析基于CP索杆单元形成的折叠网架结构完全展开状态时承受全跨荷载和半跨荷载时的受力性能。结构承受的静力荷载分别为全跨荷载1.0 kN/m2；全跨恒载0.5 kN/m2，半跨活载0.5 kN/m2。钢材采用理想弹塑性的双线型本构关系，钢材屈服应力为235 MPa，弹性模量为2.00×105 N/mm2，泊松比为0.3，拉索的屈服应力为1860 MPa。从图14(a)的内力云图可以看出，结构在全跨荷载下内力分布呈现较好的对称性，处于角部以及处于中心位置的钢杆件内力较大，其余的钢杆件内力较小。处于角部的拉索内力要比其他位置的拉索内力大。由图14(b)可知，结构在半跨荷载作用下，内力分布开始呈现一定的非对称性，处于结构左侧角部位置的钢杆件内力较大，结构右侧角部位置的钢杆件内力次之，其余的钢杆件内力较小。由于荷载相对于全跨荷载变化并不大，因此拉索内力与结构在全跨荷载下的内力分布差异较小。
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图 14 基于CP索杆单元的折叠网架静力性能Figure 14. Static performance of deployable grid structure composed of CP units2.3 折叠板开合屋盖体系
将折叠板壳结构理论应用到开启式屋盖的设计中，形成折叠板开合屋盖体系。以球面四连杆机构为基本单元，提出一种环向运动的可开启屋盖体系。折叠板壳单元和等效球面四连杆机构如图15~图16所示。通过改进板壳之间的连接方式为滚动铰接点从而避免销接节点连接时出现的运动干涉问题，改进之后的滚动铰连接如图17所示。
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图 17 改进滚动铰连接球面四连杆机构Figure 17. Equivalent spherical 4R mechanism connected by improved rolling hinges分析球面四连杆机构的运动特性，进行多个球面四连杆机构组成的体系的几何分析，如图18所示。折叠板壳体系在完全展开状态时是一个闭合的圆，四连杆机构的水平投影夹角随着体系的展开而增大，而单个球面连杆机构的水平夹角随着体系中四连杆机构数目p的增大而减小，但整个体系的水平夹角受p的影响较小。
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图 18 多个球面四连杆机构组成的体系及相应的折纸模型Figure 18. Structure composed of some spherical 4R mechanisms and paper model利用折叠板壳体系理论结合改进的滚动铰连接方案使这种可环向开合的折叠屋盖结构成为现实，通过还原制作的缩尺模型，可以模拟该折叠板开合屋盖的展开与折叠过程，同时也进一步验证了该种可开合屋盖结构体系分析理论的正确性。缩尺模型的折叠过程如图19所示。
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图 19 折叠板开合屋盖体系实物模型折叠示意图Figure 19. Folding process of real deployable plate roof structure3 结论
针对可展与折叠结构的共性问题及关键技术，本文采用理论分析、数值模拟、物理模型实验相结合的研究手段，对可展与折叠结构的基础理论以及多种新型可展与折叠结构的几何构成、运动过程以及受力性能等进行了研究，得到以下结论：
(1)通过螺旋互易定理，证明了Hoberman连杆机构的可动性并对其自由度进行计算。基于体系的约束方程，若约束方程有连续解，则体系为可动机构，这也是判断体系可动的充分必要条件。若体系不可动，对约束方程进行一阶分析，便可区分体系为无穷小机构或者结构；
(2)通过对系统约束方程的分析，实现了对体系有限机构、无穷小机构与结构的界定，实现了机构、柔顺机构以及结构理论的统一；
(3)基于杆式单元、索杆单元、板式单元提出新型网格式可开合屋盖、新型索杆式折叠网格体系以及折叠板开合屋盖体系等新型可展与折叠结构体系。针对上述三种新型可展与折叠结构形式进行基本单元分析与设计、展开全过程分析以及展开状态的静力分析，最后通过理论分析与实物模型相结合的方式验证了新型可展与折叠结构形式的正确性。
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图 2 上附刚性屋面板的径向开合屋盖展开过程
Figure 2. Deploying process of retractable roof with rigid panels
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图 8 六单元Hoberman连杆机构展开过程仿真
Figure 8. Deploying process simulation of Hoberman linkage mechanism with six units
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图 9 带重复单元的高阶无穷小机构(达芬奇结构)
Figure 9. High order infinitesimal mechanism with repeating unit (Da Vinci’s structure)
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图 14 基于CP索杆单元的折叠网架静力性能
Figure 14. Static performance of deployable grid structure composed of CP units
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图 17 改进滚动铰连接球面四连杆机构
Figure 17. Equivalent spherical 4R mechanism connected by improved rolling hinges
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图 18 多个球面四连杆机构组成的体系及相应的折纸模型
Figure 18. Structure composed of some spherical 4R mechanisms and paper model
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