考虑附加抗力影响的单桩水平受力分析方法

黄申; 翟恩地; 许成顺; 孙毅龙

doi:10.6052/j.issn.1000-4750.2021.03.0227

考虑附加抗力影响的单桩水平受力分析方法

黄申^1,,
翟恩地^{1, 2,},
许成顺^1, ,,
孙毅龙^1,

1.
北京工业大学城市与工程安全减灾教育部安全实验室，北京100124
2.
新疆金风科技股份有限公司，北京100176

基金项目: 国家自然科学基金优秀青年基金项目(51722801)

详细信息

作者简介:
黄　申(1993−)，男，山东人，博士生，主要从事海上风电桩基础研究(E-mail: huangshen_hs@hotmail.com)

翟恩地(1963−)，男，美国人，教授，博士，博导，主要从事海上风电支撑结构设计方面的研究(E-mail: zhaiendi@goldwind.com.cn)

孙毅龙(1990−)，男，河南人，博士生，主要从事海上风电单桩基础桩土相互作用研究(E-mail: sunyl@emails.bjut.edu.cn)

通讯作者:
许成顺(1977−)，女，黑龙江人，教授，博士，博导，主要从事土动力学与岩土地震工程领域研究(E-mail: xuchengshun@bjut.edu.cn)

中图分类号: TU473.1
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出版历程
- 收稿日期: 2021-03-28
- 修回日期: 2021-08-29
- 录用日期: 2021-11-01
- 网络出版日期: 2021-11-01
- 刊出日期: 2022-05-26

A METHOD OF ANALYZING LATERALLY LOADED MONOPILES CONSIDERING THE INFLUENCE OF ADDITIONAL RESISTANCE

1.
Key Laboratory of Urban Security and Disaster Engineering, Beijing University of Technology, Beijing 100124, China
2.
Xinjiang Goldwind Science & Technology Co., Ltd, Beijing 100176, China

摘要

摘要: 单桩基础受水平荷载作用时，桩身截面转动引起的竖向摩阻力形成土对桩的附加抗力矩，同时桩端土对桩也有一定的附加抗力效应。为了研究桩身和桩端附加抗力对单桩水平承载特性的影响，该文基于API规范推荐的砂土摩阻力模型，结合桩身径向土压力引起的极限摩阻力增强效应，推导出砂土中桩身抗力矩的离散数值解和简化公式解；采用API规范推荐的黏性土摩阻力模型，推导出黏性土中桩身抗力矩的离散数值解和简化公式解。基于双曲线桩端竖向应力-位移模型，在考虑桩端桩-土界面脱开效应的基础上，得到了桩端抗力矩的离散数值解和简化公式解，桩端水平剪力的离散数值解；进而提出基于Winkler地基梁模型的有限元计算方法，并编制了程序。通过对比试验数据，初步验证了该文方法的正确性，进行了水平承载力的参数分析，结果表明：随着长径比的增加，附加抗力在总水平承载力中的占比逐渐减小；而随着桩直径的增加，附加抗力在总水平承载力中的占比并未显著变化。
- 刚性桩 /
- 附加抗力 /
- 摩阻力模型 /
- 四弹簧模型 /
- 有限元法
Abstract: When a single-pile foundation is subjected to horizontal loads, the vertical friction resulting from the cross-sectional rotation of the pile develops into an additional resistance moment from the soil to the pile, and the soil at the pile tip also forms a certain additional resistance on the pile. To explore the influence of the additional resistance of the pile and pile tip on the horizontal bearing features of the single pile, deduces the discrete numerical solution and simplified formula solution of additional moment based on the friction model of sand recommended by the API code in combination with the ultimate friction enhancement effect caused by the radial soil pressure. Also adopts the friction model of clay recommended by the API code to deduce the discrete numerical solution and simplified formula solution of the additional moment in the cohesive soil. Based on the hyperbolic stress-displacement model and the separation effect of pile-soil interface, deduces the discrete numerical solution and simplified formula solution for the pile tip additional moment and the discrete numerical solution of pile tip horizontal shear force. Furthermore, proposes a finite element method based on the Winkler foundation beam model and compiles a program. By comparing with the experimental data, the correctness of the method adopted in this paper is verified. The parameters of the horizontal bearing capacity are analyzed. The results show that, as the ratio of pile length to diameter increases, the proportion of additional resistance in the total horizontal bearing capacity gradually decreases, while the proportion of additional resistance in the total horizontal bearing capacity shows no significant changes as the pile diameter increases.
- rigid pile /
- additional resistance /
- friction model /
- four-spring model /
- finite element method

HTML全文

近年来，单桩基础已广泛应用于桥梁、高层建筑和海上风电等工程中。在单桩基础的众多水平承载特性分析模型中，传统的Winkler地基梁模型由于其原理简单，结合现有的p-y曲线和t-z曲线研究成果，在工程设计中得到广泛应用。随着桩径的逐渐增大，桩侧摩阻力和桩端阻力对单桩水平承载特性的影响越来越显著，国内外众多学者对此展开研究。

Alikhanlou^[1]针对刚性单桩基础提出五弹簧模型，该模型通过使用水平、垂直和旋转弹簧来考虑水平土抗力、桩侧摩阻力和端阻力对刚性桩的水平承载特性的影响。Allotey^[2]开发了一种考虑摩阻力效应的有限元模型，研究了在水平循环荷载作用下侧摩阻力对桩的动力响应的影响。张小玲等^[3]基于圆孔扩孔理论建立了考虑桩侧摩阻力影响的桩身挠曲微分方程。Niraula^[4]根据桩单元的力矩平衡条件，将桩侧摩阻力形成的附加弯矩耦合进土抗力的求解微分方程，并开展嵌岩桩的模型试验来验证方程的正确性。上述研究均假定竖向摩阻力沿着半圆周均匀分布，而实际情况中摩阻力在水平加载方向的两侧达到最小值，上述研究高估了桩身竖向摩阻力对单桩水平响应的影响。

有学者从土应力-应变曲线与t-z曲线之间存在比例关系的角度出发，建立桩身附加抗力矩-桩截面转角(M_s-θ)曲线与土剪应力-剪应变曲线之间的联系。例如Ashour等^[5]根据现有黏性土中的应力-应变关系推导出附加弯矩的理论公式，结合应变楔模型对弹性地基梁进行水平受力分析，结果表明：桩身摩阻力能够显著增加桩顶刚度。Fu等^[6]则使用NGI-ADP模型得到土单元的应力-应变曲线，根据比例因子换算出p-y曲线和M_s-θ曲线，采用一维模型与有限元模拟结果进行对比分析。上述研究均适用于黏性土，且作为输入条件的应力-应变曲线基于特定本构模型的计算结果，不利于工程应用。

Zhang等^[7]同样提出了将土的应力-应变响应与桩端剪力-位移响应联系起来的模型，研究并分析了桩端抗力矩对于荷载响应的影响，认为在大多数情况下桩端剪力和抗力矩对水平位移的影响较小。翟恩地等^[8]基于荷载-位移曲线建立了针对钢管桩的桩端水平剪力和桩端抗力矩的有限元公式，但未考虑静止状态下的桩端竖向应力对桩端桩-土界面接触状态的影响。竺明星等^[9]对水平力作用下的桩端竖向应力作用机理进行了研究，竺明星等^[9]认为桩端竖向压力由静止时的竖向应力和桩端截面转动引起的附加应力两部分组成，当桩端抬起一侧的卸载应力大于静止竖向应力时会发生桩-土界面脱开现象。

本文以刚性单桩基础为研究对象，采用现有的τ-s曲线模型，极限摩阻力考虑了桩侧土压力引起的增强效应，推导出适用于砂土和黏性土的桩身抗力矩的理论计算公式；桩端附加应力采用双曲线模型计算，结合桩端截面转动过程中的桩-土界面脱开效应，建立了桩端水平剪力和桩端抗力矩的离散数值计算模型。基于四弹簧地基梁模型，通过有限元方法分析了刚性桩在水平荷载作用下的响应，并与实测结果进行对比，验证了本文方法的有效性。

1 基本设定与分析模型

如图1所示，桩基础在水平荷载作用下，桩截面的转动会在桩身表面产生竖向摩阻力τ_s，由此形成对桩中性轴的附加抗力矩。同时在桩端处，桩端竖向土压力q_b会形成抗力矩，桩端水平位移也会产生水平阻力τ_b。许多研究结果^[6-12]表明：对于短粗刚性桩，桩身抗力矩和桩端阻力对桩水平位移和水平承载力的影响不容忽视，因此本文的研究对象为大直径刚性桩基础。当L/T<2.5时，单桩可被判定为刚性桩^[13]，其中L为桩埋深长度，T按如下公式计算：

$T = \sqrt[5]{{\frac{{EI}}{{mD}}}}$

(1)

式中：EI为桩截面抗弯刚度；m为水平地基抗力系数随深度增长的比例系数。

刚性桩的位移模式如图2所示。刚性桩围绕某一点旋转，旋转角度为θ，桩中某一截面形心处的水平位移为y。根据图2中所示几何关系，桩截面形心处的竖向位移0.5yθ，桩截面两端位移分别为0.5yθ+Rθ和 $0.5y\theta - R\theta$ (R为桩半径)。在正常荷载工况下，y/R的比值通常较小，因此本文中在计算桩截面的竖向位移时忽略桩轴心处的位移。

图 1 附加抗力示意图

Figure 1. Schematic diagram of additional resistance

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图 2 刚性桩水平位移模式图(引自Ashour等^[5])

Figure 2. Horizontal displacement model diagram of rigid pile (Cited from Ashour et al^[5])

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本文采用的模型为四弹簧Winkler弹性地基梁，如图3所示。此模型将桩侧土离散为一系列水平和旋转弹簧。在桩身节点处，水平弹簧定义横向土抗力p与水平位移y之间的关系，旋转弹簧定义了桩身抗力矩M_s与桩截面转角之间的关系；在桩端节点处，水平弹簧代表了桩端剪力F_b与桩端水平位移y_b之间的关系，旋转弹簧代表了桩端抗力矩M_b与桩端截面转角θ_b之间的关系。

2 桩身抗力矩推导

桩侧摩阻力发挥与桩土相对位移s有关。桩截面的水平位移和桩截面转动变形共同引起了桩土相对位移，如图4所示，沿桩截面圆周各点的竖向相对位移s为：

$s = {u_{\text{b}}} + R\theta \cos \beta$

(2)

式中：u_b为桩轴心处的竖向位移，约为0.5yθ；θ为桩截面转角，式(2)第二项是指桩截面转动的竖向位移，其中β为计算节点与加载方向的夹角。两项的比值为0.5y/(Rcosβ)，当β=0时，比值达到最大值。在y/R的值小于10%的情况下，u_b与式(2)第二项的比值不超过5%。因此，本文在计算桩截面各点竖向位移时忽略轴心处的竖向位移u_b。式(2)因此变为：

$s{\text{ = }}R\theta \cos \beta$

(3)

已知桩截面各点竖向位移s，则需要根据摩阻力-位移(τ-s)曲线确定摩阻力τ。鉴于τ-s曲线类型众多，所以本文依据API规范^[14]提供的τ-s曲线模型，分别对砂土和黏性土中桩身的抗力矩公式进行了推导。

图 3 四弹簧Winkler地基梁模型

Figure 3. Model of four-spring Winkler foundation beam

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图 4 桩截面竖向位移示意图

Figure 4. Schematic diagram of pile section vertical displacement

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2.1 基于API砂土摩阻力模型的单位长度桩身抗力矩

API规范提供的砂土τ-s模型如图5虚线所示。

砂土中临界相对位移s_u采用API规范推荐值2.54 mm。极限摩阻力τ_u则采用库仑-摩擦定律计算：

${\tau _{{{\rm{u}}}}} = {\sigma _{\text{n}}}\tan \delta$

(4)

式中：σ_n/kPa为径向土压力；δ为桩-土界面摩擦角。

众多试验数据表明：径向土压力沿桩周近似呈椭圆形分布规律，如图6所示。Prasad等^[15]利用土压力传感器测量了在水平荷载作用下的径向土压力分布。Lin等^[16]利用触觉压力传感器测量了荷载变化过程中钢管桩径向土压力的变化趋势。Liu等^[17]同样利用触觉压力传感器测量了水平位移过程中PVC管桩的径向土压力分布数据。江杰等^[18]根据桩周被动测径向土压力与径向位移的关系推导了实际分布形式的桩周土压力分布计算公式。本文根据文献[15-18]的桩周土压力测试数据进行拟合，得出以下拟合函数：

${\sigma _{\text{n}}} = {\sigma _{\max }}\left(1 - \frac{{{{\sin }^2}\beta + {{\sin }^4}\beta }}{2}\right)$

(5)

式中： σ_max/kPa为某深度处加载方向最大土压力；σ_n/kPa为夹角β处的径向土压力。

图 5 API规范^[14]摩阻力-位移模型

Figure 5. Model for shaft resistance-displacement of API code^[14]

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图 6 桩周应力分布示意图

Figure 6. Diagram of stress distribution around pile

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图7展示了不同桩顶水平力作用下径向土压力的实测值与拟合函数的对比情况，实测数据来自于Lin等^[16]的模型桩试验。如图7所示拟合函数值与实测值较为贴合，证明了拟合函数能较好地预测径向土压力沿桩截面的分布规律，可用于桩身极限摩阻力τ_u的计算。

由式(3)可知，桩截面最大相对位移s_max=Rθ，发生在最大径向土压力σ_max处。根据砂土τ-s曲线模型，竖向位移达到临界位移后，摩阻力等于极限摩阻力τ_u并且保持不变。本文根据最大相对位移s_max与临界位移s_u之比分成两种情况计算桩身单位长度抗力矩，并考虑径向土压力的非均匀分布，建立了如图8所示桩截面离散示意图，在此基础上推导了桩身抗力矩的理论积分公式，采用复化Simpson积分方法求得桩身抗力矩的数值解。

图 7 径向土压力对比图

Figure 7. Comparison diagram of radial soil pressure

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图 8 桩身截面离散示意图

Figure 8. Discrete diagram of pile section

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当s_max/s_u≤1时，桩侧摩阻力为τ_r，随着相对位移增长而线性增长，全截面均未达到极限摩阻力τ_u。将单位长度圆弧内的摩阻力对轴线的力矩沿圆周进行积分，得到单位长度桩身抗力矩M_s/(N·m/m)：

${M_{\text{s}}} = \int_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{R\theta \cos \beta }}{{{s_{{{\rm{u}}}}}}}} {\tau _{{{\rm{u}}}}}{R^2}{\text{cos}}\beta {\text{d}}\beta$

(6)

将式(4)和式(5)代入式(6)，整理得到：

${M_{\text{s}}} = \int_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{R^3}\theta }}{{s_{\text{u}}}}} \mu {\sigma _{\max }}\left( {1 - \frac{{{{\sin }^2}\beta + {{\sin }^4}\beta }}{2}} \right){\cos ^2}\beta {\rm{d}}\beta$

(7)

式中，μ为桩-土界面摩擦系数， $\mu = \tan \delta$ ，δ为桩-土界面摩擦角，通常取0.6 $\varphi$ ~0.8 $\varphi$ ， $\varphi$ 为土内摩擦角。

Smith^[19]提出水平土抗力p由法向土抗力F_n和沿着桩截面分布的水平摩阻力F_s两部分组成，基于式(5)所示的径向土压力分布形式，分别得到法向土抗力F_n和水平摩阻力F_s的计算公式：

$\begin{split} {F}_{\text{n}}=&{\displaystyle {\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}{\sigma }_{\mathrm{max}}\left(1-\frac{{\text{sin}}^{2}\beta +{\mathrm{sin}}^{4}\beta }{2}\right)\mathrm{cos}\beta }R\text{d}\beta =\\ &0.733D{\sigma }_{\mathrm{max}} \end{split}$

(8)

$\begin{split} {F_{\text{s}}} = &\int_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} {\mu {\sigma _{\max }}} \left(1 - \frac{{{{\sin }^2}\beta + {{\sin }^4}\beta }}{2}\right){\text{sin}}\beta R{\text{d}}\beta = \hfill \\ & 0.4\mu D{\sigma _{\max }} \hfill \end{split}$

(9)

由式(8)和式(9)得到p与σ_max的对应关系：

$p = (0.733 + 0.4\mu )D{\sigma _{\max }}$

(10)

式中：p/(kN/m)为单位长度水平土抗力；D/m为桩直径；μ为桩-土界面摩擦系数。

由于p与σ_max的对应关系已知，因此可以用p代替σ_max，代入式(7)，求得桩身抗力矩M_s的理论公式：

${M_{\text{s}}} = \frac{{\displaystyle\int_0^{\frac{\pi }{2}} {\dfrac{{{R^2}\theta }}{{s_{\text{u}}}}\mu \left(1 - \dfrac{{{{\sin }^2}\beta + {{\sin }^4}\beta }}{2}\right){{\cos }^2}\beta {\rm{d}}\beta } }}{{0.733 + 0.4\mu }}p$

(11)

鉴于计算原函数较为复杂，本文采用离散数值模型，将圆弧AC等分成n_r份，采用复化Simpson求积公式进行求解。M_s的积分结果如式(12)所示：

$M_{\rm{s}}=\frac{0.638{R}^{2}\theta \mu }{(0.733+0.4\mu )s_{\rm{u}}}p$

(12)

当s_max/s_u>1时，如图8所示，桩截面圆周上某一点的竖向位移Rθcosβ=s_u时，桩侧摩阻力达到极限摩阻力，此点与原点的连线与OA轴线的夹角为β_c，当夹角小于β_c时，竖向位移超过s_u，桩侧摩阻力为极限摩阻力；当夹角大于β_c时，桩侧摩阻力随着竖向位移线性增加。因此桩身抗力矩M_s分为两部分计算：

$\left\{ \begin{gathered} {M_{{\text{s}}1}} = 2\int_0^{{\beta _{\text{c}}}} {{R^2}\mu {\sigma _{\max }}} \left( {1 - \frac{{{{\sin }^2}\beta + {{\sin }^4}\beta }}{2}} \right)\cos \beta {\text{d}}\beta \hfill \\ {M_{{\text{s}}2}} = 2\int_{{\beta _{\text{c}}}}^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{R^3}\theta }}{{{s_{\text{u}}}}}\mu {\sigma _{\max }}\left( {1 - \frac{{{{\sin }^2}\beta + {{\sin }^4}\beta }}{2}} \right)} {\cos ^2}\beta {\text{d}}\beta \hfill \\ \end{gathered} \right.$

(13)

${\beta _{\text{c}}} = \arccos \left(\frac{{{s_{\text{u}}}}}{{R\theta }}\right)\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$

(14)

σ_max同样用式(10)进行替代，式(13)转变为：

$\left\{ \begin{gathered} {M_{{\text{s}}1}} = \frac{{\displaystyle\int_0^{{\beta _{\text{c}}}} {R\mu \left( {1 - \dfrac{{{{\sin }^2}\beta + {{\sin }^4}\beta }}{2}} \right)\cos \beta {\rm{d}}\beta } }}{{0.733 + 0.4\mu }}p \hfill \\ {M_{{\text{s}}2}}{\text{ = }}\frac{{\displaystyle\int_{{\beta _{\text{c}}}}^{\frac{\pi }{2}} {\dfrac{{{R^2}\theta }}{{s_u}}} \mu \left( {1 - \dfrac{{{{\sin }^2}\beta + {{\sin }^4}\beta }}{2}} \right){{\cos }^2}\beta {\rm{d}}\beta }}{{0.733 + 0.4\mu }}p \hfill \\ \end{gathered} \right.$

(15)

同样采用数值积分的方法，以角β_c为分界，将圆弧AD和DC分别分成n_u和n_r份，采用复化Simpson积分方式求解。为方便应用，本文求得了式(15)中被积函数的原函数，给出了桩身抗力矩的简化公式解：

$M_{\text{s}} = \frac{{g({\beta _{\text{c}}})R\mu }}{{0.733 + 0.4\mu }}p$

(16)

$\begin{split} & g({\beta _{\text{c}}}) = \sin {\beta _{\text{c}}} - 0.167{\sin ^3}{\beta _{\text{c}}} - 0.1{\sin ^5}{\beta _{\text{c}}} + \frac{{R\theta }}{{{s_{\text{u}}}}} \cdot \hfill \\& \;\;\; (0.638 - 0.406{\beta _{\text{c}}} - 0.258\sin 2{\beta _{\text{c}}} - 0.023\sin 4{\beta _{\text{c}}}) \end{split}$

(17)

2.2 基于API黏性土摩阻力模型的单位长度桩身抗力矩

API规范^[14]提供的黏性土τ-s模型如图5实线所示。此模型为分段软化模型，当竖向相对位移超过s_u后，桩侧摩阻力随着相对位移增加而减少，在2s_u处达到残余摩阻力值τ_res。τ_res与τ_u的比值在0.7~0.9。类似于砂土τ-s模型的计算方法，本文根据s_max/s_u分为三段计算单位长度桩身抗力矩M_s。

当s_max/s_u≤1时，API砂土τ-s模型中s/s_u与τ/τ_u之间是线性关系，而对于黏性土则是非线性，对其进行拟合得到如下公式：

$\frac{\tau }{{{\tau _{{{\rm{u}}}}}}} = 1.823\frac{s}{{{s_{\text{u}}}}} - 0.823{\left( {\frac{s}{{{s_{\text{u}}}}}} \right)^2}$

(18)

类比于式(7)，M_s的计算公式为：

$M_{\text{s}} = 2\int_0^{\frac{\pi }{2}} {(1.823\lambda - 0.823{\lambda ^2}} )\cos \beta {R^2}{\tau _{{{\rm{u}}}}}{\text{d}}\beta$

(19)

$\lambda {\text{ = }}\frac{{R\theta \cos \beta }}{{{s_{\rm{u}}}}} \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$

(20)

当1<s_max/s_u≤2，设τ_res/τ_u=ξ，M_s分为两段计算：

$\begin{split} {M_{\text{s}}} = &2\int_0^{{\beta _{\text{c}}}} {\left[ {2 - \xi + (\xi - 1)\lambda } \right]\cos \beta {R^2}} {\tau _{{{\rm{u}}}}}{\text{d}}\beta + \hfill \\ &2\int_{{\beta _{\text{c}}}}^{\frac{\pi }{2}} {(1.823\lambda - 0.823{\lambda ^2}} )\cos \beta {R^2}{\tau _{{{\rm{u}}}}}{\text{d}}\beta \hfill \end{split}$

(21)

${\beta _{\text{c}}} = \arccos \left(\frac{{{s_{\text{u}}}}}{{R\theta }}\right) \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$

(22)

当s_max/s_u>2时，M_s分为三段计算：

$\begin{split} {M_{\text{s}}} = &2\int_0^{{\beta _{{\text{c}}1}}} {\cos \beta {R^2}{\tau _{{{{\rm{res}}}}}}{\text{d}}\beta } + \hfill \\ &2\int_{{\beta _{{\text{c}}1}}}^{{\beta _{{\text{c}}2}}} {\left[ {2 - \xi + (\xi - 1)\lambda } \right]\cos \beta {R^2}} {\tau _{{{\rm{u}}}}}{\text{d}}\beta + \hfill \\ &2\int_{{\beta _{{\text{c}}2}}}^{\frac{\pi }{2}} {(1.823\lambda - 0.823{\lambda ^2})\cos \beta {R^2}{\tau _{\rm{u}}}{\rm{d}}\beta } \hfill \end{split}$

(23)

$\beta_{\text{c}1}=\arccos\left(\frac{2{s}_{\text{u}}}{R\theta }\right),\;\beta_{\text{c}2}=\arccos\left(\frac{{s}_{\text{u}}}{R\theta }\right) \;\;$

(24)

为便于实际应用，本文推导了式(19)、式(21)和式(23)中被积函数的原函数，得到M_s的简化计算公式：

${M_{\text{s}}} = \left( {{A_1} + {A_2}\frac{{R\theta }}{{{s_{\text{u}}}}} + {A_3}{{\left( {\frac{{R\theta }}{{{s_{\text{u}}}}}} \right)}^2}} \right){R^2}{\tau _{{{\rm{u}}}}}$

(25)

当θ≤θ_c1时：

${A}_{1}=0,\;{A}_{2}=2.865,\;{A}_{3}=-1.097$

(26)

当θ_c1<θ≤θ_c2时：

$\begin{split} & {A_1} = (4 - 2\xi )\sin {\beta _{\text{c}}} ,\\& {A_2} = 2.865 + (\xi - 2.823){\beta _{\text{c}}} + (0.5\xi - 1.412)\sin 2{\beta _{\text{c}}} , \\& {A_3} = - 1.097 + 1.234\sin {\beta _{\text{c}}} + 0.138\sin 3{\beta _{\text{c}}} \end{split}$

(27)

当θ>θ_c2时：

$\begin{split} & {A_1} = \left( {4\xi - 4} \right)\sin {\beta _{{\text{c}}1}} + (4 - 2\xi )\sin {\beta _{{\text{c}}2}} ,\\& {A_2} = (0.5 - 0.5\xi )\sin 2{\beta _{{\text{c}}1}} + (0.5\xi - 1.412)\sin 2{\beta _{{\text{c}}2}}+ \hfill \\& \qquad\;\left( {1 - \xi } \right){\beta _{{\text{c1}}}} + \left( {\xi - 2.823} \right){\beta _{{\text{c}}2}} + 2.865, \\& {A_3} = - 1.097 + 1.234\sin {\beta _{{\text{c}}2}} + 0.138\sin 3{\beta _{{\text{c}}2}} \end{split}$

(28)

${\theta _{{\text{c}}1}} = \frac{{{s_{\text{u}}}}}{R},{\text{ }}{\theta _{{\text{c}}2}} = \frac{{2{s_{\text{u}}}}}{R}$

(29)

对于临界位移s_u ，API规范建议取0.01D，Reese^[20]的实验结果表明黏土的s_u在0.005D~0.02D。对于极限摩阻力τ_u，Ashour等^[21]建议采用不排水抗剪强度值。

3 桩端抗力矩推导

3.1 桩端抗力矩离散数值解

Allotey等^[22]在计算刚性基础基底抗力矩时假定基底截面围绕形心轴旋转。如图9所示，在小角度桩端截面转角的情况下，桩端附加竖向应力未超过静止状态时的桩端竖向有效应力。随着转角逐渐增大，附加竖向应力超过静止桩端竖向应力，被动土压力一侧的桩端截面与土脱开，另一侧桩端附加应力接近屈服应力状态。本文基于上述计算原理建立了如图10所示的桩端抗力矩的离散数值计算示意图。

如图10所示，将圆弧AC和圆弧BC等分n_b份，第i段圆弧中点与原点的连线与轴线AB的夹角β_i=(i−1)π/(4n_b)。

第i段条形的宽度dx_i为：

${\text{d}}{x_i} = R\left( {\cos \frac{{(i - 1)\pi }}{{2{n_{\text{b}}}}} - \cos \frac{{i\pi }}{{2{n_{\text{b}}}}}} \right)$

(30)

则第i段条形面积A_i为：

${A_i} = 2R\sin {\beta _i}{\text{d}}{x_i}$

(31)

当第i段条形面积产生的附加应力小于静止状态时的竖向土压力时：

$\begin{gathered} {M_{{\text{b,}}i}} = ({q_{{\text{m,}}i}} + {q_{\text{o}}}){A_i}{x_i} - ({q_{\text{o}}} - {q_{{\text{m,}}i}}){A_i}{x_i}= \hfill \\ \qquad\;\;\;{\text{ 2}}{q_{{\text{m,}}i}}{A_i}{x_i} \hfill \\ \end{gathered}$

(32)

式中：q_m,i/kPa为第i段条形面积的附加应力；q_o/kPa为上覆土有效应力。

当第i段条形面积产生的附加应力q_m,i>q_o时：

${M_{{\text{b,}}i}} = ({q_{{\text{m,}}i}} + {q_{\text{o}}}){A_i}{x_i}$

(33)

图 9 桩端竖向应力计算原理图

Figure 9. Calculating scheme of vertical stress of pile tip

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图 10 桩端截面离散示意图

Figure 10. Discrete diagram of pile tip section

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桩端抗力矩M_b的离散数值解为：

${M_{\text{b}}} = \sum\limits_{i = 1}^{{n_{\text{b}}}} {({q_{{\text{m,}}i}} + {q_i}){A_i}R\cos } {\beta _i}$

(34)

${q_i} = \left\{ \begin{gathered} {q_{{\text{m,}}i}}\; ,\;\;\;{q_{{\text{m,}}i}} < {q_{\text{o}}} \hfill \\ {q_{\text{o}}}\; ,\;\;\;\;\;\;{q_{{\text{m,}}i}}{ \geqslant} {q_{\text{o}}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \qquad\;$

(35)

竖向附加应力q_m采用双曲线模型^[23]计算：

${q_{{\text{m,}}i}} = \frac{{{{\textit{z}}_i}}}{{\dfrac{1}{{{k_{\text{b}}}}} + \dfrac{{{{\textit{z}}_i}}}{{{q_{\text{u}}}}}}}$

(36)

式中：z_i为第i段条形竖向位移，z_i=x_isinθ_b，x_i=Rcosβ_i，θ_b为桩端截面转角；k_b/(kN/m³)为曲线初始刚度，Randolph等^[24]建议取k_b=4G/(πR(1−ν))，G/MPa为桩端土剪切模量，ν为土泊松比；q_u/kPa为极限端阻力，可选取桩-土界面摩擦角和不排水抗剪强度等参数，根据规范推荐方法进行计算，也可以采用Almeida等^[25]推荐的根据CPTU测量数据计算极限端阻力的方法，如下列公式所示：

${q_{\text{u}}} = \frac{{9({q_{\text{t}}} - {\sigma _{\text{v}}})}}{{{N_{\text{k}}}}} \;\;\;\;$

(37)

${q_{\text{t}}} = {q_{\text{c}}} + (1 - a){u_2}$

(38)

式中：q_c/MPa为锥尖阻力；u₂/kPa为锥尖处测得的孔隙水压力；σ_ν/kPa为上覆土有效压力；N_k为锥尖系数，一般为10~30；a为锥尖面积比，a=0.8。

3.2 桩端抗力矩简化公式解

王伯惠等^[26]基于桩端阻力q与桩端位移z之间呈线性关系的假设，得出桩端抗力矩M_b的理论公式解：

${M_{\text{b}}} = {k_{\text{s}}}{I_{\text{x}}}{\theta _{\text{b}}}$

(39)

式中：k_s/(kN/m³)为桩端竖向应力-位移(q_m-z)曲线初始刚度；I_x/m⁴为桩端截面惯性矩，I_x=πD⁴/64；θ_b/rad为桩端截面转角。

基于式(39)的形式，本文对离散数值解开展了大量拟合计算，得出以下简化理论公式：

${M_{\text{b}}} = \frac{{{I_{\text{x}}}{\theta _{\text{b}}}}}{{\dfrac{1}{{{C_1}{k_{\text{b}}}}} + \dfrac{{0.5R{\theta _{\text{b}}}}}{{{C_2}{q_{\text{u}}}}}}}$

(40)

系数C₁和C₂分别为：

$\left\{ \begin{gathered} {C_1} = - 2{\alpha _{\text{b}}}^2 + 2.5{\alpha _{\text{b}}} + 0.45 \hfill \\ {C_2} = 0.4(1 + {\alpha _{\text{b}}}) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

(41)

式中：α_b为基底土体有效应力与极限端阻力之比，α_b=q_o/q_u，k_b和q_u所代表意义同式(36)。

4 桩端水平剪力推导

现有的桩端水平剪力计算方法主要基于黏性土层中桩端水平剪力-水平位移(F_b-y_b)曲线与桩端土应力-应变(τ_b-γ_b)曲线两者之间的联系，但缺少砂土层中计算桩端水平剪力的方法。竺明星等^[27]提出了线弹性-塑性F_b-y_b计算模型，计算参数均取自常见的岩土物理参数，方便于实际应用。由于桩端处桩与土之间的相互作用类似于直剪试验，故本文采用API规范摩阻力位移(τ-s)模型(如图5所示)计算桩端水平剪力。

砂土中桩端水平剪应力-水平位移(τ_b−y_b)模型为：

${\tau _{{{\rm{b}}}}} = \left\{ \begin{aligned} & \dfrac{{{y_{{{\rm{b}}}}}}}{{{y_{{\text{bu}}}}}}{\tau _{{{\rm{u}}}}}\;,&{y_{{{\rm{b}}}}} \leqslant {y_{{{{\rm{bu}}}}}} \\& {\tau _{{{\rm{u}}}}}\;,&{y_{{{\rm{b}}}}} > {y_{{\text{bu}}}} \end{aligned} \right.$

(42)

式中：y_bu/m为临界相对位移；τ_u/kPa为极限剪应力，τ_u=q_btan $\varphi$ ，q_b/kPa为竖向土应力， $\varphi$ 为土内摩擦角。

如图10所示，桩端截面CD轴左侧第i段条形面积内竖向土应力q_bi,l为：

${q_{{\text{b}}i,l}} = \left\{ \begin{aligned} & {q_{\text{o}}} - {q_{{\text{m,}}i}}\; ,&{q_{{\text{m,}}i}} < {q_{\text{o}}}{\text{ }} \hfill \\& 0 \; ,&{q_{{\text{m,}}i}} > {q_{\text{o}}} \; \end{aligned} \right.$

(43)

桩端截面CD轴右侧第i段条形面积内竖向土应力q_bi,r为：

${q_{{\text{b}}i,{\text{r}}}} = {q_{{\text{m,}}i}} + {q_{\text{o}}}$

(44)

因此，当桩端截面转角为θ_b时，砂土中桩端水平剪力F_b为：

${F_{{{\rm{b}}}}} = \sum\limits_{i = 1}^{{n_b}} {({q_{{\text{m}}i}} + {q_i}){A_i}} \tan \varphi$

(45)

式中：A_i为第i段条形面积；q_i采用式(35)计算。

黏性土中桩端水平剪应力-水平位移(τ_b−y_b)模型为：

${\tau _{{{\rm{b}}}}}{\text{ = }}\left\{ \begin{aligned} & ( {1.823\eta - 0.823{\eta ^2}} ){c_{\text{u}}}\; ,\;\;0 <\eta \leqslant 1 \\& \left[ {2 - \xi + \left( {\xi - 1} \right)\eta } \right]{c_{\text{u}}} \; ,\,\;\;\;\;1 <\eta \leqslant 2 \\& \xi {c_{\text{u}}} \; ,\;\;\quad\qquad\qquad\qquad\;\;\eta > 2 \end{aligned} \right.$

(46)

式中：η=y_b/y_bu；ξ=τ_res/τ_u，在0.7~0.9；y_bu取0.01D；c_u为不排水抗剪强度。

为了证明API黏性土τ_b-y_b曲线模型的有效性，本文与Ashour等^[5]和Fu等^[6]的τ_b-y_b曲线模型进行对比，计算所需参数为：桩直径D=2 m，不排水抗剪强度c_u=150 kPa，ε₅₀=0.52%，破坏时的塑性应变为8%，土剪切模量G_max与c_u的比值为200，临界位移s_u=0.01D，对比结果如图11所示。

由图11可知，当桩端水平位移小于s_u时，API规范^[14]的τ_b-y_b曲线与Fu等^[6]方法计算的τ_b-y_b曲线比较贴近，由于考虑了摩阻力的软化现象，因此当达到临界位移后，API的桩端剪应力会有所折减；在刚开始时，Ashour等^[5]与API^[14]和Fu等^[6]的结果相差较多，但随着水平位移逐渐增大，桩端剪应力逐渐接近于不排水抗剪强度。

黏性土中桩端水平剪力F_b为：

${F_{\text{b}}}{\text{ = }}{\tau _{{{\rm{b}}}}}{A_{\text{b}}}$

(47)

式中，A_b为桩端桩-土界面接触面积，考虑了桩-土界面脱开效应。

图 11 桩端剪应力-水平位移曲线对比图

Figure 11. Comparison diagram of curves of pile tip shear stress-horizontal displacement

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5 有限元计算方法

本文采用一维Winkler弹性地基梁模型，将桩等分成n段，并在各分段节点上施加一个水平弹簧和一个旋转弹簧，以反映土对桩的水平土抗力和附加抗力矩作用。由于忽略了桩轴线处的竖向位移，每个节点只有两个自由度：水平位移u和转角θ。总体平衡方程为：

${{\boldsymbol{K}}_{\text{p}}}\boldsymbol{a}= \boldsymbol{F} - \boldsymbol{ R}$

(48)

式中：a为节点位移向量；K_p为桩的总刚度矩阵，是由桩单元刚度矩阵集合而成，桩单元采用考虑剪切变形的C1型梁单元；F为节点荷载向量；R为土反力向量，R与弹簧位移有如下关系：

$\left\{ \begin{gathered} {\boldsymbol{R}_{2i - 1}} = {p_i}{\text{d}}l = {k_{l,i}}{y_i}{\text{d}}L \hfill \\ {\boldsymbol{R}_{2i}} = {M_{{\text{s}},i}}{\text{d}}l = {k_{r,i}}{\theta _i}{\text{d}}L \hfill \\ \end{gathered} \right.{\text{ }}$

(49)

式中：R_2i−1/kN为第i个节点上的水平反力；p_i/(kN/m)为单位长度水平土抗力；k_l,i/(kN/m²)为p-y曲线割线刚度；y_i为第i个节点的水平位移；R_2i/(kN·m)为第i个节点上的反力弯矩；M_s/(kN·m/m)为单位长度桩身抗力矩；k_r,i/(kN·m/m)为M_s-θ 曲线割线刚度；θ_i为第i个节点的转角。当i=1或n+1时，dL=L/(2n)，其他节点dL=L/n。

根据式(49)，R可改写为如下形式：

$\boldsymbol{ R} = {{\boldsymbol{K}}_{\text{s}}}\boldsymbol{ a }$

(50)

式中，K_s为对角矩阵。矩阵对角元素所在行(列)为奇数时，对角元素为k_l,idL；对角元素所在行(列)为偶数时，对角元素为k_r,idL；节点位移向量{a}的奇数项为节点水平位移u_i，偶数项为转角θ_i。

将式(50)代入式(48)，可得到如下公式：

$({{\boldsymbol{K}}_{\text{p}}} + {{\boldsymbol{K}}_{\text{s}}})\boldsymbol{a}{\text{ = }}\boldsymbol{K}\boldsymbol{ a } = \boldsymbol{ F}$

(51)

本文利用MATLAB编制基于上述有限元公式的单桩水平受力分析程序，计算步骤说明如下：

1) 输入计算所需的参数，划分节点和单元，计算桩总刚度矩阵K_p，计算每个节点的p-y曲线和M_s-θ曲线，以及桩端节点的M_b-θ_b曲线和F_b-y_b曲线。

2) 计算各个节点处的p-y曲线的初始刚度k_l,ini，生成对角矩阵K_s，其中奇数行的对角元素为k_l,inidL，偶数行对角元素为0。

3) 根据式(51)求得节点位移向量a。

4) 根据节点水平位移和转角，求得每个节点的p-y曲线割线刚度k_l,i和M_s-θ曲线割线刚度k_r,i，重新生成矩阵K_s。如果考虑桩端阻力，则需在矩阵K_s相应对角元素处加上M_b-θ_b曲线割线刚度k_l,b和F_b-y_b曲线割线刚度k_r,b。

5) $\text{d}\boldsymbol{a}\text{=}{\boldsymbol{K}}^{-1}(\boldsymbol{F}-\boldsymbol{K}\boldsymbol{a}^m)$ ，上标m表示第m次迭代，若||da||/||a^m|| <ε=1×10⁻⁴，则满足收敛条件进行下一步。若不收敛，a^m⁺¹=a^m+ da，返回步骤4)。

6) 根据节点位移求解桩身内力。

6 算例验证

6.1 算例1

Bhushan等^[28]在开展了砂土场地钻孔灌注桩的多组水平加载试验，其中在场地C中安装了7#试桩，桩直桩为1.22 m，桩长5.5 m，桩的埋置深度为5.5 m，桩的弹性模量为32.4 GPa，L/T=2.4<2.5，属于刚性桩。试验加载点位于泥面处，每级水平荷载增量为127 kN，直到最大荷载890 kN终止加载。场地C一共包含两层土，第一层土厚度为1.8 m，内摩擦角为36°；第二层土厚度为3.7 m，内摩擦角为42°，两层土的重度都为16.5 kN/m³。桩-土界面摩擦角为内摩擦角的0.6倍，桩端土的剪切模量为25.4 MPa，极限端阻力为9 MPa。砂土的p-y曲线根据API规范计算。基于本文提出的计算方法编制程序计算桩身位移，并与实测值进行对比。图12为7#试桩泥面水平位移的结果对比图。

图 12 7#试桩泥面水平位移对比图

Figure 12. Comparison diagram of horizontal displacement of test pile 7 on mudline

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由图12可知，只考虑p-y曲线时的泥面水平位移计算值小于实测值，采用四弹簧模型的计算结果小于p-y曲线法，与实测值更为吻合。在水平荷载较小的情况下，只考虑p-y曲线时与四种弹簧曲线都考虑时的泥面水平位移较为接近；随着荷载的逐渐增大，两种情况下的泥面位移差值逐渐增大，采用四弹簧模型的计算结果更接近于实测值。从图12可以看出，桩端水平剪力和抗力矩对水平位移的影响较小，这是由于此时桩端位移较小，桩端水平剪力并未充分发挥作用。

6.2 算例2

Klinkvort等^[29]利用离心机试验模拟了砂土中实心钢桩在水平荷载作用下的响应。其中模型桩T5的桩直径为40 mm，长径比为6，L/T=1.16<2.5，属于刚性桩，离心加速度为77.7 g，原型桩的直径为5 m，桩埋深长度为30 m，泥面以上桩长75 m，水平荷载加载点位于桩顶，当水平位移明显增大时终止加载。砂土相对密度为90 %，有效重度为16.8 kN/m³，内摩擦角 $\varphi$ 为40°，桩-土界面摩擦角 $\delta$ =0.7 $\varphi$ ，桩端土剪切模量为50.4 ΜPa，桩端极限端阻力为7.7 MPa。

由图13可知，只考虑p-y曲线时的桩顶水平位移明显小于实测值。当桩顶荷载小于30 000 kN时，考虑四弹簧曲线的计算结果与p-y曲线法较为接近；桩顶荷载超过30 000 kN时, 采用四弹簧模型计算的结果更接近于实测值，而p-y曲线法计算的桩顶水平位移明显偏大，荷载位移曲线也较早进入塑性阶段。采用四弹簧模型计算的极限水平承载力为54 000 kN，而采用p-y曲线法计算的极限水平承载力为46 000 kN，说明四弹簧模型能较大提高桩基的水平承载力。水平荷载较小时桩端水平阻力和抗力矩对于桩基水平承载力的影响并不明显，荷载位移曲线进入塑性阶段后，此时桩端剪力与桩端抗力矩开始发挥作用，使得桩基础的水平承载能力有所提高。

图 13 桩顶水平力-位移曲线对比图

Figure 13. Comparison diagram of pile head force-displacement curves

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6.3 算例3

联合行业项目PISA^[30]中在Cowden的硬黏土场地上对钢管桩基础进行了水平加载试验。其中试桩CL2的直径D=2 m，壁厚t=25 mm，桩长20.5 m，其中泥面以上长度为10 m，埋置深度L=10.5 m，长径比为5.25，加载位置位于桩顶，当桩顶水平位移急剧增加，位移速率明显增大时终止水平加载。场地土体参数如表1所示，土层有效重度为11.2 kN/m³。桩端土剪切模量为28.2 MPa，桩端处的锥尖阻力q_c=2.6 MPa，孔隙水压力u₂=250 kPa，根据式(37)~式(38)计算的极限端阻力q_u=1.42 MPa。黏土的p-y曲线根据API规范计算。

试桩CL2泥面水平位移的对比结果如图14所示。采用四弹簧模型计算的泥面位移更接近实测值，验证了本文提出的黏性土中桩身抗力矩和桩端剪力和弯矩模型的正确性。而p-y曲线法的计算结果与实测值相比差距较大，三维有限元软件计算结果显示API的p-y曲线模型严重低估了初始刚度和极限土抗力，因此在分析桩的水平受力响应时，p-y曲线模型仍是主要因素。

表 1 试桩CL2土层参数

Table 1. Soil layer parameters of test pile CL2

土层深度/m	不排水抗剪强度C_u/kPa	50%最大偏应力时的应变ε₅₀
0.0~2.0	50~161	0.007~0.005
2.0~2.8	161~150	0.005
2.8~4.0	150~108	0.005~0.006
4.0~8.0	108~130	0.006~0.005
8.0~15.0	130~166	0.005

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图 14 试桩CL2荷载位移曲线

Figure 14. Curves of load-displacement of test pile CL2

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图15展示了泥面位移为20.8 mm时采用p-y曲线法和四弹簧模型法计算的桩身弯矩与实测值的对比情况。由于泥面位移相同时，三种弹簧施加模式下的桩顶荷载不同，因此计算得到的桩身弯矩会有显著区别。深度小于7.5 m时， p-y曲线法和四弹簧模型法计算的桩身弯矩明显小于实测值，p-y曲线法计算的桩身弯矩最小，分别施加M_s-θ、M_b-θ_b和F_b-y_b弹簧后，桩身弯矩逐渐增加，四弹簧模型法的计算结果更接近于实测值。

由图14和图15可以看出，在考虑M_s、F_b和M_b等附加抗力影响后，桩身响应计算值与实测值仍有一定差距，这是由于API规范采用的Matlock 黏土p-y曲线的极限土抗力较低导致的。 Zhang等^[31]对比了Matlock^[32]、Reese等^[20]、Broms^[33]和Randolph等^[24]学者关于黏性土极限土抗力的计算结果以及Hamilton等^[34]的试验数据，发现基于Matlock方法计算的极限土抗力在众多方法中处于最小值，且与实测数据相比也相差较多。李洪江等^[35]基于Vesic圆孔扩张理论推导了黏性土的p-y曲线模型，通过将计算的p-y曲线与Matlock方法和实测值三者进行对比，同样发现基于Matlock方法计算的极限土抗力较低。因此在进行单桩水平受力分析时应选取更先进合理的p-y曲线模型。

图 15 试桩CL2桩身弯矩分布曲线

Figure 15. Bending moment distribution curve of test pile CL2

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7 水平承载力分析

大直径单桩在水平荷载作用下，当泥面处水平位移达到0.1D时，此时的桩顶荷载定义为桩的水平承载力。为探究四种土反力(水平土抗力p、桩身抗力矩M_s、桩端剪力F_b和桩端抗力矩M_b)对于桩基水平承载力的影响，通过将p-y、M_s-θ、F_b-y_b和M_b-θ_b弹簧依次加入到模型中，每加入一种土反力弹簧计算一次水平承载力F_u,i，当所有土反力弹簧施加完毕时得到总水平承载力F_u,sum，则每种土反力弹簧在总水平承载力中的占比为∆F_u(%)=(F_u,i−F_u,i−1) /F_u,sum×100%。本文分别在砂土地基和黏性土地基中开展水平承载力计算，探究四种土反力分别在不同桩直径和不同长径比情况下在总水平承载力中的占比的变化趋势。

7.1 砂土地基参数分析

Bhushan等^[28]在砂土地基场地B中进行了多组钻孔灌注桩加载试验，试验桩弹性模量为32.4 GPa，加载点设置在泥面处。试验场地有两层土，第一层土厚度为0.9 m，内摩擦角为36°；第二层土厚度为14 m，内摩擦角为42°，土的有效重度为16.5 kN/m³。基于此场地参数开展水平承载力计算，桩直径对四种土反力在总水平承载力占比的影响如图16所示，长径比L/D对四种土反力在总水平承载力占比的影响如图17所示。

图 16 不同桩直径下土反力对总水平承载力的影响

Figure 16. Influence of soil reaction on total horizontal bearing capacity under different pile diameters

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图 17 不同长径比下四种抗力对总水平承载力的影响

Figure 17. Influence of four resistances on total horizontal bearing capacity under different ratios of pile length to diameter

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图16中桩长径比L/D=4，并保持不变，桩直径D从1 m增加到3.5 m。由图16可知四种土反力对于水平承载力的影响没有显著变化。水平土抗力p提供了主要的承载力作用，并且随着桩直径增加，p在总水平承载力中的占比略有上升。M_s、F_b和M_b相比于p一共提升了约25 %的水平承载力，三者之中M_s在总水平承载力的占比最大，约为16%；M_b的占比最小，约为1.1%；随着桩直径的增加，F_b对桩的水平承载力的影响略有下降。

图17中桩直径D=2 m，并保持不变，长径比L/D从3增大到8。由图17可知四种土反力对于水平承载力的贡献均发生了显著变化。p在总水平承载力中的占比从70 %增大到94 %，说明对于长径比较大的半刚性桩或柔性桩，采用p-y曲线法与四弹簧模型法计算的水平承载力差异较小。随着L/D的增加，M_s、F_b和M_b在总水平承载力的占比逐渐下降。其中M_s在总水平承载力的占比从20 %下降到5.3 %，下降幅度最为显著；当L/D大于6时，F_b和M_b在总水平承载力中的占比接近于0，这是由于随着长径比逐渐增大，桩身变形由刚性转动转变为柔性变形，桩端水平位移和转角较小，由此产生的桩端剪力和桩端抗力矩也较小，因此无法对桩水平承载力产生影响。

Murphy等^[36]利用PLAXIS软件并且采用硬化土本构模型模拟了砂土土层中单桩在水平静力作用下的响应，其中桩直径为0.51 m，内摩擦角平均值为45°。计算结果显示：当L/D由3 增大到6 时，p-y弹簧对水平承载力的贡献由74 %增大到88 %，M_s-θ弹簧对水平承载力的贡献由13 %减小到5 %，F_b-y_b弹簧对水平承载力的贡献由8 % 减小到5.5 %，这与本文模型分析得到的四种土反力对水平承载力的贡献随长径比变化规律较为接近，验证了本文模型的有效性。

7.2 黏性土地基参数分析

黏性土地基中参数分析沿用了算例3中PISA项目硬黏土场地的土层参数，假设水平加载点位于泥面以上8 m 处。黏性土地基中桩直径对四种土反力在总水平承载力中占比的影响如图18所示，长径比L/D对四种土反力在总水平承载力中的占比的影响如图19所示。

图 18 不同桩直径下四种抗力对总水平承载力的影响

Figure 18. Influence of four resistances on total horizontal bearing capacity under different pile diameters

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图18中桩的长径比L/D=4，桩直径由2 m增加到8 m。由图18可知，黏性土地基中四种土反力在总水平承载力中占比的变化规律类似于砂土地基。p、M_s和M_b在总水平承载力的占比基本保持不变，桩端剪力F_b在总水平承载力中的占比略有下降。

图19中桩直径D=3 m，长径比L/D从2增大到7。从图19中也观察到与砂土地基中相似的变化规律，即随着长径比逐渐增大，水平土抗力p在总水平承载力中的占比逐渐增加，M_s、F_b和M_b对于总水平承载力的贡献逐渐减小。

图 19 不同长径比下四种抗力对总水平承载力的影响

Figure 19. Influence of four resistances on total horizontal bearing capacity under different ratios of pile length to diameter

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8 结论

本文基于API规范推荐的τ-s曲线模型，分别推导了砂土和黏性土中桩身抗力矩的离散数值解和简化公式解，并根据本文提出的桩端竖向应力计算模型，推导出桩端抗力矩和桩端水平剪力的计算公式。基于Winkler地基梁模型，采用有限元方法编制成MATLAB程序，通过对比实测数据验证了本文模型的有效性。最后通过参数分析研究了桩直径和长径比L/D对水平土抗力p、桩身抗力矩M_s、桩端水平剪力F_b和抗力矩M_b在总水平承载力中占比的影响规律。本文得出如下主要结论：

(1) 通过算例验证，证明了本文提出M_s、F_b和M_b的理论计算公式是可行的。与传统p-y曲线法相比，本文方法所得计算结果更接近于实测值。

(2) 水平荷载较小时，四弹簧模型法与p-y曲线法计算结果较为接近；随着荷载逐渐增大，四弹簧模型法计算的桩身位移逐渐小于p-y曲线法的计算结果，同时更接近于实测值。

(3) 在桩的水平承载特性分析中，p-y曲线模型是主要的影响因素。选用更先进合理的p-y曲线模型能够提升计算结果的有效性。

(4) 随着桩直径的增大，p、M_s、F_b和M_b在总水平承载力中的占比并无显著变化；当长径比L/D逐渐增大时，水平土抗力p在总水平承载力中的占比逐渐增加，M_s、F_b和M_b在水平承载力中的占比逐渐减小

图 1 附加抗力示意图

Figure 1. Schematic diagram of additional resistance

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图 2 刚性桩水平位移模式图(引自Ashour等^[5])

Figure 2. Horizontal displacement model diagram of rigid pile (Cited from Ashour et al^[5])

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图 3 四弹簧Winkler地基梁模型

Figure 3. Model of four-spring Winkler foundation beam

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图 4 桩截面竖向位移示意图

Figure 4. Schematic diagram of pile section vertical displacement

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图 5 API规范^[14]摩阻力-位移模型

Figure 5. Model for shaft resistance-displacement of API code^[14]

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图 6 桩周应力分布示意图

Figure 6. Diagram of stress distribution around pile

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图 7 径向土压力对比图

Figure 7. Comparison diagram of radial soil pressure

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图 8 桩身截面离散示意图

Figure 8. Discrete diagram of pile section

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图 9 桩端竖向应力计算原理图

Figure 9. Calculating scheme of vertical stress of pile tip

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图 10 桩端截面离散示意图

Figure 10. Discrete diagram of pile tip section

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图 11 桩端剪应力-水平位移曲线对比图

Figure 11. Comparison diagram of curves of pile tip shear stress-horizontal displacement

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图 12 7#试桩泥面水平位移对比图

Figure 12. Comparison diagram of horizontal displacement of test pile 7 on mudline

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图 13 桩顶水平力-位移曲线对比图

Figure 13. Comparison diagram of pile head force-displacement curves

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图 14 试桩CL2荷载位移曲线

Figure 14. Curves of load-displacement of test pile CL2

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图 15 试桩CL2桩身弯矩分布曲线

Figure 15. Bending moment distribution curve of test pile CL2

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图 16 不同桩直径下土反力对总水平承载力的影响

Figure 16. Influence of soil reaction on total horizontal bearing capacity under different pile diameters

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图 17 不同长径比下四种抗力对总水平承载力的影响

Figure 17. Influence of four resistances on total horizontal bearing capacity under different ratios of pile length to diameter

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图 18 不同桩直径下四种抗力对总水平承载力的影响

Figure 18. Influence of four resistances on total horizontal bearing capacity under different pile diameters

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图 19 不同长径比下四种抗力对总水平承载力的影响

Figure 19. Influence of four resistances on total horizontal bearing capacity under different ratios of pile length to diameter

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表 1 试桩CL2土层参数

Table 1 Soil layer parameters of test pile CL2

土层深度/m 不排水抗剪强度C_u/kPa 50%最大偏应力时的应变ε₅₀

0.0~2.0 50~161 0.007~0.005
2.0~2.8 161~150 0.005
2.8~4.0 150~108 0.005~0.006
4.0~8.0 108~130 0.006~0.005
8.0~15.0 130~166 0.005

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图(19) / 表(1)

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1 基本设定与分析模型
2 桩身抗力矩推导
2.1 基于API砂土摩阻力模型的单位长度桩身抗力矩
2.2 基于API黏性土摩阻力模型的单位长度桩身抗力矩
3 桩端抗力矩推导
3.1 桩端抗力矩离散数值解
3.2 桩端抗力矩简化公式解
4 桩端水平剪力推导
5 有限元计算方法
6 算例验证
6.1 算例1
6.2 算例2
6.3 算例3
7 水平承载力分析
7.1 砂土地基参数分析
7.2 黏性土地基参数分析
8 结论

1 基本设定与分析模型
2 桩身抗力矩推导
2.1 基于API砂土摩阻力模型的单位长度桩身抗力矩
2.2 基于API黏性土摩阻力模型的单位长度桩身抗力矩
3 桩端抗力矩推导
3.1 桩端抗力矩离散数值解
3.2 桩端抗力矩简化公式解
4 桩端水平剪力推导
5 有限元计算方法
6 算例验证
6.1 算例1
6.2 算例2
6.3 算例3
7 水平承载力分析
7.1 砂土地基参数分析
7.2 黏性土地基参数分析
8 结论

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考虑附加抗力影响的单桩水平受力分析方法

通讯作者: 许成顺(1977−)，女，黑龙江人，教授，博士，博导，主要从事土动力学与岩土地震工程领域研究(E-mail: xuchengshun@bjut.edu.cn)

计量

出版历程

A METHOD OF ANALYZING LATERALLY LOADED MONOPILES CONSIDERING THE INFLUENCE OF ADDITIONAL RESISTANCE

1 基本设定与分析模型

2 桩身抗力矩推导

2.1 基于API砂土摩阻力模型的单位长度桩身抗力矩

2.2 基于API黏性土摩阻力模型的单位长度桩身抗力矩

3 桩端抗力矩推导

3.1 桩端抗力矩离散数值解

3.2 桩端抗力矩简化公式解

4 桩端水平剪力推导

5 有限元计算方法

6 算例验证

6.1 算例1

6.2 算例2

6.3 算例3

7 水平承载力分析

7.1 砂土地基参数分析

7.2 黏性土地基参数分析

8 结论

期刊类型引用(4)

其他类型引用(1)

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出版历程

目录

1 基本设定与分析模型

2 桩身抗力矩推导

2.1 基于API砂土摩阻力模型的单位长度桩身抗力矩

2.2 基于API黏性土摩阻力模型的单位长度桩身抗力矩

3 桩端抗力矩推导

3.1 桩端抗力矩离散数值解

3.2 桩端抗力矩简化公式解

4 桩端水平剪力推导

5 有限元计算方法

6 算例验证

6.1 算例1

6.2 算例2

6.3 算例3

7 水平承载力分析

7.1 砂土地基参数分析

7.2 黏性土地基参数分析

8 结论

通讯作者:
许成顺(1977−)，女，黑龙江人，教授，博士，博导，主要从事土动力学与岩土地震工程领域研究(E-mail: xuchengshun@bjut.edu.cn)