岩体多裂纹扩展演化过程数值流形方法研究

韩智铭; 刘庆宽; 王雪; 谭超; 高一帆

doi:10.6052/j.issn.1000-4750.2020.05.S003

岩体多裂纹扩展演化过程数值流形方法研究

韩智铭^1, ,,
刘庆宽^{1, 2, 3,},
王雪^4,,
谭超^1,,
高一帆^1,

1.
石家庄铁道大学土木工程学院，石家庄 050043
2.
石家庄铁道大学省部共建交通工程结构力学行为与系统安全国家重点实验室，石家庄 050043
3.
河北省风工程和风能利用工程技术创新中心，石家庄 050043
4.
河北工程技术学院土木工程学院，石家庄 050091

基金项目: 河北省自然科学基金项目(E2019210182)；石家庄铁道大学基本科研业务费科研项目(ZQK202007)；国家自然科学基金项目(51778381)；河北省自然科学基金项目(E2018210044)

详细信息

作者简介:
刘庆宽(1971−)，男，河北人，教授，博士，博导，主要从事桥梁与结构风工程研究(E-mail: lqk@stdu.edu.cn)

王　雪(1988−)，女，辽宁人，讲师，硕士，主要从事结构工程研究(E-mail: 710617139@qq.com)

谭　超(1999−)，男，河北人，本科生，主要从事桥梁工程研究(E-mail: 906718366@qq.com)

高一帆(1998−)，男，河北人，本科生，主要从事桥梁工程研究(E-mail: 77682922@qq.com)

通讯作者:
韩智铭(1987−)，男，河北人，讲师，博士，主要从事节理岩体与隧道工程研究(E-mail: hanzhiming@stdu.edu.cn)

中图分类号: TU45
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出版历程
- 收稿日期: 2020-05-28
- 修回日期: 2021-01-12
- 网络出版日期: 2021-02-01
- 刊出日期: 2021-06-09

STUDY ON NUMERICAL MANIFOLD METHOD FOR EVOLUTION PROCESS OF MULTI-CRACK PROPAGATION IN ROCK MASS

HAN Zhi-ming^1, ,,
LIU Qing-kuan^{1, 2, 3,},
WANG Xue^4,,
TAN Chao^1,,
GAO Yi-fan^1,

1.
School of Civil Engineering, Shijiazhuang Tiedao University, Shijiazhuang 050043, China
2.
State Key Laboratory of Mechanical Behavior and System Safety of Traffic Engineering Structures, Shijiazhuang Tiedao University, Shijiazhuang 050043, China
3.
Wind Engineering Research Center, School of Civil Engineering, Shijiazhuang Tiedao University, Shijiazhuang 050043, China
4.
School of Civil Engineering, Hebei College of Engineering, Shijiazhuang 050091, China

摘要

摘要: 岩体中含有大量节理、裂隙、断层等各类结构面，结构面在应力作用下的扩展与贯通是导致岩体破坏的重要原因。数值流形方法(NMM)可以有效模拟连续和非连续问题，然而，其在多裂纹动态扩展的模拟方面仍处于探索阶段。该文以线弹性断裂力学原理为基础，提出了一种基于高阶数值流形方法的多裂纹扩展模拟算法。通过在基函数中增加关键项来考虑裂纹尖端位移场的奇异性；裂纹尖端的应力强度因子则采用了J积分来计算；Ⅰ型-Ⅱ型混合裂纹的开裂和扩展方向依据最大周向拉应力准则来判断；采用假设-修正的多裂纹扩展算法解决了多裂纹的扩展问题。根据强化后的基函数，对于不符合单纯形积分形式的被积函数，采用了泰勒级数展开式计算近似解。通过多个静态裂纹扩展的经典问题的数值模拟对计算方法的合理性和计算精度及进行了验证。
- 多裂纹扩展 /
- 数值流形方法 /
- 断续节理 /
- 应力强度因子 /
- J积分
Abstract: Rock mass is a kind of geological material containing a large number of joints, cracks, faults and other structural planes. The expansion and penetration of the structural planes under stress is an important cause of rock mass failure. The numerical manifold method (NMM) can directly simulate continuous and discontinuous problems. However, in the simulation of multi-crack dynamic propagation, NMM is still in the exploratory stage. Based on the principle of linear elastic fracture mechanics, a multi-crack propagation simulation algorithm for higher-order numerical manifold method (NMM) is presented. The singularity of the crack tip displacement field was considered by adding key terms of the crack tip displacement field function to the basis function of the NMM. The stress intensity factor at the crack tip was calculated by J integral. The cracking and propagation directions of I-II mixed cracks were judged by the maximum circumferential tensile stress criterion. Hypothesis-modified multi-crack propagation algorithm was used to solve the problem of multi-crack propagation. For those integral functions which do not conform to the simplex integral form, Taylor series expansion method was used to calculate the approximate solution. The accuracy of the calculation method were verified by numerical simulation of two classical static crack propagation problems.
- multiple crack propagation /
- numerical manifold method /
- stress intensity factor /
- non-persistent joint /
- J integral

HTML全文

岩体是隧道、边坡、采矿等工程最普遍的施工对象。由于长期复杂的地质构造作用，岩体中存在着大量尺寸不等、方向各异的不连续面，这些不连续面的存在使岩体的破坏过程伴随着连续性变形和非连续性破坏。在岩体工程中，不连续面的扩展和贯通是岩体破坏的重要原因。因此，对节理岩体中多裂纹的扩展过程开展研究具有重要的理论和实际意义。

室内试验和数值模拟是岩体裂纹扩展的常用研究方法。根据岩体试件的制作方法不同，室内试验分为物理模型试验和真实岩体试验。物理模型试验能够再现裂纹的萌生、扩展和贯通的全过程，Park等^[1-2]采用单轴压缩试验，观察到岩体破坏过程中三种裂缝：翼形裂缝、共面剪切裂缝和斜向剪切裂缝。Cao等^[3]通过改变加载方向和节理分布，研究了岩桥角度对裂缝扩展和贯通的影响，总结了单轴压缩作用下多裂纹岩体的7种扩展方式。在真实岩体试验中，杨圣奇等^[4-6]对含一条和两条节理的砂岩进行单轴压缩试验，研究了砂岩的强度特性及裂纹扩展和贯通过程。由于岩体试件制作困难，并且室内试验在研究岩体的细观和微观特性方面稍有不足，随着计算机模拟技术的发展，数值计算成为研究岩体裂纹扩展的重要方法。Lan等^[7-8]和Lee等^[9]在Irwin积分的基础上，提出了一种高阶EFEM方法来提取混合模式下的应变能释放率，并用于随机裂纹扩展。李馨馨等^[10]基于渗流传热耦合理论和离散裂隙网络模型，提出了裂隙岩体三维热流耦合的等效模拟方法。姬晨濛等^[11]基于弹性动力学的理论和复应力函数方法，提出一种伪应力函数方法，用于近似评估动态裂纹尖端应力场。Jiang等^[12]采用DEM研究单个和多个裂纹扩展的力学机理；Zhang等^[13]采用边界元模拟了直剪试验中裂纹的扩展过程。

数值流形方法(NMM)能够同时处理连续和非连续问题，在模拟岩体裂纹扩展过程时具有天然优势。韩智铭等^[14-15]采用拟了含一组和两组贯通节理岩体的破坏过程，研究了节理分布对岩体强度的影响。然而，NMM在模拟多裂纹的动态扩展过程仍然处于探索阶段。本文基于线弹性断裂力学，提出了一种基于高阶数值流形方法的多裂纹扩展模拟算法，并利用岩体裂纹扩展的经典算例进行验证。

1 岩体裂纹扩展理论

1.1 线弹性断裂力学

按照受力和位移特点，岩体中的裂纹可分为3种基本类型：张开型(Ⅰ型)、滑移型(Ⅱ型)和撕开型(Ⅲ型)，其它裂纹均可看做上述3种基本裂纹类型的组合。裂纹尖端是裂纹产生断裂的关键位置，当r→0时，无论是Ⅰ型、Ⅱ型，还是Ⅲ型裂纹，其尖端应力场均趋向于无穷大，表示裂纹尖端应力奇异点强弱程度的物理量即为应力强度因子，其表达式：

$\left\{ \begin{split} & {K}_{\text{Ⅰ}}=\frac{E}{2\left(1-{\mu }^{2}\right)}\underset{r\to 0}{\mathrm{lim}}\sqrt{\frac{\pi }{2r}}{u}_{y}{\left(r,\theta ,{\textit{z}}\right)}_{\theta =\pi }\\& {K}_{\text{Ⅱ}}=\frac{E}{2\left(1-{\mu }^{2}\right)}\underset{r\to 0}{\mathrm{lim}}\sqrt{\frac{\pi }{2r}}{u}_{x}{\left(r,\theta ,{\textit{z}}\right)}_{\theta =\pi }\\& {K}_{\text{Ⅲ}}=\frac{E}{2\left(1-{\mu }^{2}\right)}\underset{r\to 0}{\mathrm{lim}}\sqrt{\frac{\pi }{2r}}{u}_{{\textit{z}}}{\left(r,\theta ,{\textit{z}}\right)}_{\theta =\pi } \end{split} \right.$

(1)

式中：K_i为应力强度因子；E和μ分别为弹性模量和泊松比；r、θ和z为柱坐标。

实际岩体中的裂纹往往是同时承受Ⅰ型和Ⅱ型荷载的复合型裂纹，采用最大周向拉应力准则作为其起裂条件和起裂方向的判定准则，表达式如式(2)和式(3)所示：

${K}_{\text{Ⅰ}}\mathrm{sin}\theta +{K}_{\text{Ⅱ}}\left(3\mathrm{cos}\theta -1\right)\rm=0$

(2)

${\theta _0}{\rm{ = }}2\arctan \frac{{1 - \sqrt {1 + 8{\lambda ^2}} }}{{4\lambda }}\qquad$

(3)

式中： ${K}_{\text{Ⅰ}}$ 和 ${K}_{\text{Ⅱ}}$ 分别为Ⅰ型和Ⅱ型的应力强度因子；θ₀为起裂方向；λ=K_Ⅱ/K_Ⅰ。

1.2 弹塑性数值流形方法

数值流形方法的有限覆盖系统由分开且独立的数学覆盖和物理网格组成，数学覆盖定义计算精度，物理网格定义积分区域，定义在物理覆盖上的覆盖位移函数如式(4)所示：

$\begin{split} & \left\{ \begin{gathered} u(x,y) \\ v(x,y) \\ \end{gathered} \right\} = \sum\limits_{i = 1}^n {{w_i}(x,y)} \left\{ \begin{gathered} {u_i}(x,y) \\ {v_i}(x,y) \\ \end{gathered} \right\} = \\&\quad \sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{j = 1}^m { {{{{T}}_{ij}}(x,y)} {{{{D}}_{ij}}} = } } \sum\limits_{i = 1}^n {[ {{T_i}(x,y)} ] {{{{D}}_i}} } \end{split}$

(4)

式中：u、v为位移函数；ω为权函数；T、D分别为单元刚度子矩阵和节点位移矩阵。本文数值流形方法中数学网格为规则四边形，权函数为2阶，覆盖位移函数为0阶(常数)，总体位移函数为2阶。

弹塑性数值流形方法基于优势节理思想，将岩体中的节理分为主要节理和次要节理，主要节理显式模拟，其它细小节理的力学效应通过具有弹塑性特性的等效连续体反映，两者采用不同的屈服准则。优势节理采用经典的Mohr-coulomb准则作为其屈服准则(见式(5))，式中c_j和φ_j分别表示节理的粘聚力和内摩擦角；含有细小节理的等效连续体采用广义Mises准则作为其屈服准则(见式(6))：

$\tau = {c_j} + \sigma \tan {\varphi _j}\;\;\qquad\qquad$

(5)

$F = (\alpha + 1)\sqrt {3{J_2}} - \alpha {I_1} - {\sigma _{\rm{c}}}$

(6)

式中：α=2sinφ/3(1−sinφ)；I₁和J₂分别为应力张量的一次不变量和偏应力张量的二次不变量；σ_c和φ分别为等效连续体单轴抗压强度和内摩擦角。

2 数值流形方法的扩展

2.1 有限覆盖系统扩展

在线弹性断裂力学中，Ⅰ-Ⅱ型复合裂纹尖端渐近位移场基函数如式(7)所示：

$\begin{split} & {{{P}}^{\rm{T}}}\left( x \right) = \\& \left[ {1,\sqrt r {\rm{cos}}\frac{\theta }{2},\sqrt r \sin \frac{\theta }{2},\sqrt r \sin \frac{\theta }{2}\sin \theta ,\sqrt r \cos \frac{\theta }{2}\sin \theta } \right] \end{split}$

(7)

对于断续节理岩体，数值流形方法的覆盖系统需要扩展。如图1所示，断续节理AB与数学网格相交于Jn₁和Jn₂两点，流形单元是多边形n₄₂-n₄₃-B-Jn₂-n₃₂-n₄₂，四个节点n₄₂、n₄₃、n₃₂和n₃₃对应的四个物理覆盖如图2所示。物理覆盖①和③中节理是多边形，扩展后覆盖位移函数如式(8)所示：

$\left\{ \begin{gathered} u(x,y) \\ v(x,y) \\ \end{gathered} \right\} = {{T}}_{\rm{e}}^0(x,y) {{D}}_{\rm{e}}^0 + {{T}}_{\rm{e}}^1(x,y) {{D}}_{\rm{e}}^1$

(8)

式中： ${{T}}_{\rm{e}}^1(x,y)$ 为增强基函数； ${{D}}_{\rm{e}}^1$ 为基函数扩充增加的自由度。为了便于程序编写和公式推导，将式(8)中的两个相加的子矩阵合并成一个矩阵，即：

$\left\{ \begin{gathered} u(x,y) \\ v(x,y) \\ \end{gathered} \right\} = \sum\limits_{i = 1}^4 {{{T}}_{{\rm{e}}(i)}^*(x,y) {{D}}_{{\rm{e}}(i)}^* }\qquad\;\;$

(9)

式中：

$[{ {{{D}}_{{\rm{e}}(i)}^*} ]^{\rm{T}}} = [ {\begin{array}{*{20}{c}} {{d_{i1}}}&{{d_{i2}}}& \cdots &{{d_{i10}}} \end{array}} ]\qquad\qquad$

(10)

${{T}}_{{\rm{e}}(i)}^*(x,y) = [ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{H}}_0^i}&{{{H}}_1^i}&{{{H}}_2^i}&{{{H}}_3^i}&{{{H}}_4^i} \end{array}} ]$

(11)

${{{H}}_0^i} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{w_{{\rm{e}}(i)}}(x,y)}&0 \\ 0&{{w_{{\rm{e}}(i)}}(x,y)} \end{array}} \right]\quad\qquad\quad$

(12)

图 1 含断续节理的岩体

Figure 1. Rock mass with intermittent joints

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图 2 物理覆盖

Figure 2. Physical cover

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2.2 单元刚度矩阵扩展

由于奇异单元的覆盖位移函数发生改变，与位移函数相关的单元刚度矩阵都将发生改变，流形单元的弹性应变能Π_e如式(13)所示：

$\begin{split} & {\varPi _{\rm{e}}} = \\&\;\;\;\; \frac{1}{2} [{{{D}}_{\rm{e}}^*}] _{1 \times 40}^{\rm T}( {{S^{\rm{e}}} [{{{B}}_{\rm{e}}^*}] _{40 \times 3}^{\rm T}{{ {{E}} }_{3 \times 3}}[{{ {{{B}}_{\rm{e}}^*} }]_{3 \times 40}}} )[{ {{{D}}_{\rm{e}}^*}] _{40 \times 1}} \end{split}$

(13)

式中：S^e为流形单元面积； ${{B}}_{\rm{e}}^*$ 和 ${{B}}_{{\rm{e}}(i)}^*$ 如式(14)和式(15)所示。子矩阵 ${{\varPhi}}_0^i$ 是位移函数矩阵 $T_{{\rm e}(i)} ^*(x,y)$ 对x和y的偏导数。

${{{B}}_{\rm{e}}^*} = \{ {\begin{array}{*{20}{c}} { {{{B}}_{{\rm{e}}(1)}^*} }&{ {{{B}}_{{\rm{e}}(2)}^*} }&{ {{{B}}_{{\rm{e}}(3)}^*} }&{ {{{B}}_{{\rm{e}}(4)}^*} } \end{array}} \}\quad$

(14)

${{{B}}_{{\rm{e}}(i)}^*} = \{ {\begin{array}{*{20}{c}} { {{\mathbf{\varPhi }}_0^i} }&{ {{\mathbf{\varPhi }}_1^i} }&{ {{\mathbf{\varPhi }}_2^i} }&{ {{\mathbf{\varPhi }}_3^i} }&{ {{\mathbf{\varPhi }}_4^i} } \end{array}} \}\quad$

(15)

根据权函数和覆盖位移函数的具体表达式，能够推导得出流形单元刚度矩阵。约束矩阵如固定边约束、指定点约束和指定边约束等，均采用罚函数法推导得出。

2.3 单纯形积分扩展

为考虑裂纹尖端场的奇异性，将Ⅰ-Ⅱ型复合裂纹尖端位移场函数的基函数引入数值流形方法，覆盖位移函数将不可避免的出现包含r^1/2·cos(θ/2)、r^1/2sin(θ/2)、r^1/2sinθsin(θ/2)和r^1/2cosθsin(θ/2)的项。在求解单元矩阵过程中，需要对多项式r^1/2cos(θ/2)和r^−3/2(xcos(θ/2)+ysin(θ/2))求面积分，即：

$\int_{{P_0}{P_1}{P_2}} {\sqrt r {\rm{cos}}\frac{\theta }{2}} D\left( {x,y} \right)\qquad\qquad\qquad\quad$

(16)

$\int_{{P_0}{P_1}{P_2}} {\frac{1}{{2\sqrt {{r^3}} }}\left( {x\cos \frac{\theta }{2} + y\sin \frac{\theta }{2}} \right)} D\left( {x,y} \right)$

(17)

单纯形积分的被积函数有一定的局限性，被积函数的形式只能是x和y整数次方的乘积，采用单纯形积分将不能求解上述积分项。对于此类积分，采用二元泰勒级数将被积函数展开成多项式，然后再采用单纯形积分方法对其求解。

值得注意的是，矩阵元素中形如r^1/2cos(θ/2)的项并不是单独存在的，它们可能与x^myⁿ同时存在，在用泰勒级数展开时，展开式的阶次k必须比原来被积函数的阶次高。

2.4 J积分法求应力强度因子

构建一条远离裂纹尖端并且逆时针围绕裂纹尖端的闭合曲线Γ，见图3 J积分法示意图。

图 3 裂纹尖端J积分

Figure 3. The J integral of crack tip

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根据J积分定义，准静态裂纹条件下线弹性材料裂纹尖端附近区域的的J积分如式(18)所示：

$J = \int_\varGamma {\left[ {W{\rm d}y - {T_i}\frac{{\partial {u_i}}}{{\partial x}}} \right]} {\rm d}s$

(18)

式中：W为应变能密度函数；u_i为位移矢量分量；T_i为应力矢量；Γ为积分路径。

J积分具有积分路径无关性，闭合区域Γ内不包含裂纹尖端，因而Γ内不含奇异点，采用高斯散度定理可以得到：

$\begin{split} & \oint_\varGamma {\left( {W{\rm d}{x_2} - {T_i}\frac{{\partial {u_i}}}{{\partial {x_1}}}{\rm d}s} \right)} = \int_A \left[ \frac{{\partial W}}{{\partial {\varepsilon _{ij}}}}\frac{{\partial {\varepsilon _{ij}}}}{{\partial {x_1}}} -\right.\\&\qquad \left. {T_i}\frac{\partial }{{\partial {x_1}}}\left( {\frac{{\partial {u_i}}}{{\partial {x_j}}}} \right) - \frac{{\partial {T_i}}}{{\partial {x_j}}}\frac{{\partial {u_i}}}{{\partial {x_1}}} \right] {\rm d}A\;\;,\;\;i,j = 1,2 \end{split}$

(19)

$J={\alpha }^{*}({K}_{\text{Ⅰ}}^{2}+{K}_{\text{Ⅱ}}^{2})\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$

(20)

式中，α*分别对应平面应力问题和平面应变问题的材料参数。平面应力问题：α*=1/E；平面应变问题：α*=(1−μ²)/E。通过引入辅助平衡状态，将Ⅰ-Ⅱ型混合裂纹的应力强度因子K_Ⅰ和K_Ⅱ分离出来，K_Ⅰ和K_Ⅱ的具体表达式分别如式(21)和式(22)所示，两式中M^(1,2)为辅助平衡状态的交互积分。

${K}_{\text{Ⅰ}}^{\left(1\right)}={M}^{\left(1,2a\right)}/2{\alpha }^{*}$

(21)

${K}_{\text{Ⅱ}}^{\left(1\right)}={M}^{\left(1,2b\right)}/2{\alpha }^{*}$

(22)

3 多裂纹扩展方法

3.1 假设-修正多裂纹扩展方法

当岩体中含有多条裂纹时，裂纹的扩展将更加复杂，本文采用“假设-修正裂纹扩展算法”，具体计算步骤如下：1)对于第k步裂纹扩展，采用J积分法求出所有裂纹尖端的应力强度因子 $K_{{\text{Ⅰ}}0}^{(k)}$ 和 $K_{{\text{Ⅱ}}0}^{(k)}$ ，并求出所有裂尖的等效应力强度因子 $K_{{\rm{eq}}0}^{(k)}$ ；2)假设所有裂纹尖端中 $K_{{\rm{eq}}0}^{(k)}$ 最大的裂纹优先扩展，根据混合型裂纹的扩展判据，将其扩展固定长度dl；3)更新扩展后裂纹构型，重新计算新的裂纹尖端应力强度因子和等效应力强度因子，记为 $K_{1{\text{Ⅰ}}}^{(k)}$ 、 $K_{{\text{Ⅱ}}1}^{(k)}$ 和 $K_{{\rm{eq}}1}^{(k)}$ ；4)若其它裂纹尖端的均小于假设发生扩展的裂纹，则认为第k步假设是正确的，转入第k+1步裂纹扩展计算；5)若其它裂纹尖端的 $K_{{\rm{eq}}1}^{(k)}$ 大于假设发生扩展的裂纹，假设不正确，退回到第k步，假定两个裂纹尖端同时扩展，循环所有裂纹尖端，直到假定结果符合后续判定，然后再转入第k+1步裂纹扩展计算。

当单个物理覆盖中含有两个或多个裂纹尖端，如图4所示，覆盖位移函数中除了考虑裂纹尖端A的影响外，还应考虑裂纹尖端B的影响，增强后奇异单元的覆盖位移函数如式(23)所示。

图 4 单个物理覆盖含有两个裂纹尖端

Figure 4. A single physical cover contains two tips

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$\begin{split} & \left\{ \begin{gathered} u(x,y) \\ v(x,y) \\ \end{gathered} \right\} = \\&\qquad {{T}}_{\rm{e}}^0(x,y) {{D}}_{\rm{e}}^0 + {{T}}_{\rm{e}}^1(x,y) {{D}}_{\rm{e}}^1 + {{T}}_{\rm{e}}^2(x,y) {{D}}_{\rm{e}}^2 \end{split}$

(23)

3.2 裂纹交汇

多裂纹扩展过程中，裂纹的交汇也是一个关键问题，裂纹交汇过程中裂纹尖端会减少，所以裂纹交汇的过程也是裂纹尖端“消逝”的过程。裂纹交汇有以下几种情况：1)裂纹尖端与自由边界交汇；2)裂纹尖端与即有裂纹边交汇；3)裂纹尖端与另一个裂纹尖端交汇。对于裂纹尖端与自由边界交汇的情况，当裂纹尖端与自由面即将交汇时(裂纹尖端与自由边界仅相差一个网格)，由于选取交互积分区域比较困难，因此J积分的计算也比较困难，为减少计算量，选择第k步计算得出的扩展角，使裂纹按照上步扩展方向继续扩展至自由边界，当裂纹尖端扩展至自由边界，此裂纹尖端“消逝”。对于裂纹尖端与即有裂纹边交汇的情况，参照与自由边界交汇时的做法，使裂纹沿第k步的扩展方向扩展至另一个裂纹边，然后此裂纹尖端“消逝”。

对于裂纹尖端与另一个裂纹尖端交汇的情况(见图5)，两个裂纹尖端靠近时，AB和CD分别是根据裂纹扩展判据得出的两个裂纹尖端下一步的扩展方向，AB和CD的夹角为β，设置临界夹角θ_c，当β≥θ_c时，认为两个裂纹尖端的夹角比较大，此时，两个裂纹尖端不交汇；当β≤θ_c时，认为两个裂纹尖端的夹角比较小，此时，两个裂纹尖端发生交汇，这两个裂纹尖端同时“消逝”。

图 5 两个裂纹尖端交汇

Figure 5. The intersection of two tips

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4 算例验证

4.1 计算模型

采用扩展数值流形方法模拟拉伸荷载作用下单边水平裂纹和中心斜裂纹扩展演化过程，计算模型如图6所示。应力强度因子的解析解可用边界配置法求出，解析解可在《应力强度因子手册》查询得出。将数值流形方法计算得出的应力强度因子与解析解对比，以此验证数值流形方法计算结果的正确性。

图 6 计算模型示意图

Figure 6. Schematic drawing of calculation model

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4.2 计算结果

拉伸荷载作用下单边水平裂纹扩展过程如图7所示。数值流形方法和边界配置法计算结果如表1和表2所示，为了便于比较，利用K₀将应力强度因子无量纲化，其中K₀=σ(πa)^0.5。对于上述两种裂纹，数值流形方法计算的裂纹尖端应力强度因子与边界配置法(BCM)基本相同，相对误差小于3%。由此说明数值流形方法计算的裂纹尖端应力强度因子是正确的。

图 7 单边水平裂纹扩展过程Y方向位移云图　/cm

Figure 7. Y direction displacement cloud map of single side horizontal crack

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表 1 单边水平裂纹矩形板的无量纲应力强度因子

Table 1. Dimensionless stress intensity factor of rectangular plate with horizontal crack

模型	a/b	K_Ⅰ/K₀		相对误差/(%)
模型	a/b	NMM	BCM	相对误差/(%)
单边水平裂纹	0.1	1.21	1.20	0.8
	0.2	1.34	1.38	−2.9
	0.3	1.68	1.65	1.8
	0.4	2.11	2.10	0.5
	0.5	2.88	2.83	1.8
	0.6	4.11	4.00	2.8

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表 2 中心斜裂纹矩形板的无量纲应力强度因子

Table 2. Dimensionless stress intensity factor of rectangular plate with oblique crack

模型	a/b	K_Ⅰ/K₀		相对误差/(%)	K_Ⅱ/K₀		相对误差/(%)
模型	a/b	NMM	BCM	相对误差/(%)	NMM	BCM	相对误差/(%)
中心斜裂纹	0.1	0.494	0.500	−1.2	0.506	0.500	1.2
	0.2	0.511	0.515	−0.8	0.513	0.503	2.0
	0.3	0.539	0.535	0.7	0.518	0.510	1.6
	0.4	0.578	0.570	1.4	0.535	0.523	2.3
	0.5	0.623	0.615	1.3	0.548	0.536	2.2

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5 结论

本文针对节理岩体多裂纹扩展问题，基于断裂力学对数值流形方法进行扩展，并采用经典裂纹扩展算例进行验证，主要得出如下结论：

(1)基于线弹性断裂力学，将裂纹尖端位移场的关键项引入数值流形方法的覆盖位移函数中，通过增强基函数能够考虑裂纹尖端场的奇异性。

(2)根据数值流形方法的理论框架，扩展了含裂纹尖端奇异单元的相关矩阵，面积分仍采用单纯形积分，不符合单纯形积分的被积函数可以采用泰勒级数展开型式。

(3)基于J积分的路径无关性，构造了求解裂纹尖端应力强度因子的相互作用积分。

(4)提出了多裂纹扩展演化过程中单个物理覆盖层包含多个裂纹尖端和裂纹交汇问题的模拟方法。

(5)通过对典型静态裂纹扩展问题的数值模拟，验证了计算结果准确性，相对误差小于5%。

图 1 含断续节理的岩体

Figure 1. Rock mass with intermittent joints

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图 2 物理覆盖

Figure 2. Physical cover

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图 3 裂纹尖端J积分

Figure 3. The J integral of crack tip

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图 4 单个物理覆盖含有两个裂纹尖端

Figure 4. A single physical cover contains two tips

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图 5 两个裂纹尖端交汇

Figure 5. The intersection of two tips

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图 6 计算模型示意图

Figure 6. Schematic drawing of calculation model

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图 7 单边水平裂纹扩展过程Y方向位移云图　/cm

Figure 7. Y direction displacement cloud map of single side horizontal crack

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表 1 单边水平裂纹矩形板的无量纲应力强度因子

Table 1 Dimensionless stress intensity factor of rectangular plate with horizontal crack

模型	a/b	K_Ⅰ/K₀		相对误差/(%)
模型	a/b	NMM	BCM	相对误差/(%)
单边水平裂纹	0.1	1.21	1.20	0.8
	0.2	1.34	1.38	−2.9
	0.3	1.68	1.65	1.8
	0.4	2.11	2.10	0.5
	0.5	2.88	2.83	1.8
	0.6	4.11	4.00	2.8

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表 2 中心斜裂纹矩形板的无量纲应力强度因子

Table 2 Dimensionless stress intensity factor of rectangular plate with oblique crack

模型	a/b	K_Ⅰ/K₀		相对误差/(%)	K_Ⅱ/K₀		相对误差/(%)
模型	a/b	NMM	BCM	相对误差/(%)	NMM	BCM	相对误差/(%)
中心斜裂纹	0.1	0.494	0.500	−1.2	0.506	0.500	1.2
	0.2	0.511	0.515	−0.8	0.513	0.503	2.0
	0.3	0.539	0.535	0.7	0.518	0.510	1.6
	0.4	0.578	0.570	1.4	0.535	0.523	2.3
	0.5	0.623	0.615	1.3	0.548	0.536	2.2

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参考文献(15)

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[10]	姬晨濛, 戚承志. Ⅱ型Ⅲ型动态裂纹尖端断裂过程区近似评估方法[J]. 工程力学, 2020, 37(7): 223 − 229. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.10.0580 JI Chenmeng, QI Chengzhi. An approximate method for evaluating fractureprocess of the zone near mde II and mode III dynamic crack tip [J]. Engineering Mechanics, 2020, 37(7): 223 − 229. (in Chinese) doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2019.10.0580
[11]	李馨馨, 李典庆, 徐轶. 地热对井系统裂隙岩体三维渗流传热耦合的等效模拟方法[J]. 工程力学, 2019, 36(7): 238 − 247. doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2018.06.0340 Li Xinxin, Li Dianqing, Xu Yi. Equivalent simulation method of three-dimensional seepage and heat transfer coupling in fractured rock mass of geothermal-borehole system [J]. Engineering Mechanics, 2019, 36(7): 238 − 247. (in Chinese) doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2018.06.0340
[12]	Jiang M, Jiang T, Crosta G B, et al. Modeling failure of jointed rock slope with two main joint sets using a novel DEM bond contact model [J]. Engineering Geology, 2015, 193: 79 − 96. doi: 10.1016/j.enggeo.2015.04.013
[13]	Zhang X P, Liu Q, Wu S, et al. Crack coalescence between two non-parallel flaws in rock-like material under uniaxial compression [J]. Engineering Geology, 2015, 199: 74 − 90. doi: 10.1016/j.enggeo.2015.10.007
[14]	韩智铭, 乔春生, 涂洪亮. 含一组贯通节理岩体强度的各向异性分析[J]. 中国矿业大学学报, 2017, 46(5): 1073 − 1083. Han Zhiming, Qiao Chunsheng, Tu Hongliang. Analysis of strength anisotropy of rock mass with a set of persistent joints [J]. Journal of China University of Mining and Technology, 2017, 46(5): 1073 − 1083. (in Chinese)
[15]	韩智铭, 乔春生, 朱举. 含两组交叉贯通节理岩体的强度及破坏特征分析[J]. 岩土力学, 2018, 39(7): 2451 − 2460. Han Zhiming, Qiao Chunsheng, Zhu Ju. Analysis of strength and failure characteristics of rock mass with two sets of cross-persistent joints [J]. Rock and Soil Mechanics, 2018, 39(7): 2451 − 2460. (in Chinese)

施引文献(10)

期刊类型引用(9)

1.	张亮，王桂林，任建喜，孙帆，王润秋，刘勃龙. 干湿循环下节理砂岩三轴压缩损伤破坏能量演化机制. 地球科学. 2025(01): 269-285 . 百度学术
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3.	宋勇军，李晨婧，毕冉，张琨，周月，韩冬阳. 冻融作用下岩石孔隙扩展演化特征研究. 冰川冻土. 2023(03): 1116-1127 . 百度学术
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5.	唐志丹，刘庆龙，张凡，谭海嵘，晏飞，杨皓然，郑虹. 基于细胞自动机方法的多裂纹扩展贯通模拟. 土木工程与管理学报. 2023(06): 39-46 . 百度学术
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7.	汪自扬，杨立云，吴云霄，林长宇. 弯折裂纹尖端应力强度因子值的近似计算方法. 工程力学. 2022(09): 10-19 . 本站查看
8.	夏晨，戚承志，利学，周卓群. 裂纹面动摩擦作用对脆性材料动力破坏的影响. 工程力学. 2022(12): 50-59 . 本站查看
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图(7) / 表(2)

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1 岩体裂纹扩展理论
1.1 线弹性断裂力学
1.2 弹塑性数值流形方法
2 数值流形方法的扩展
2.1 有限覆盖系统扩展
2.2 单元刚度矩阵扩展
2.3 单纯形积分扩展
2.4 J积分法求应力强度因子
3 多裂纹扩展方法
3.1 假设-修正多裂纹扩展方法
3.2 裂纹交汇
4 算例验证
4.1 计算模型
4.2 计算结果
5 结论

1 岩体裂纹扩展理论
1.1 线弹性断裂力学
1.2 弹塑性数值流形方法
2 数值流形方法的扩展
2.1 有限覆盖系统扩展
2.2 单元刚度矩阵扩展
2.3 单纯形积分扩展
2.4 J积分法求应力强度因子
3 多裂纹扩展方法
3.1 假设-修正多裂纹扩展方法
3.2 裂纹交汇
4 算例验证
4.1 计算模型
4.2 计算结果
5 结论

参考文献(15)

施引文献(10)

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岩体多裂纹扩展演化过程数值流形方法研究

通讯作者: 韩智铭(1987−)，男，河北人，讲师，博士，主要从事节理岩体与隧道工程研究(E-mail: hanzhiming@stdu.edu.cn)

计量

出版历程

STUDY ON NUMERICAL MANIFOLD METHOD FOR EVOLUTION PROCESS OF MULTI-CRACK PROPAGATION IN ROCK MASS

1 岩体裂纹扩展理论

1.1 线弹性断裂力学

1.2 弹塑性数值流形方法

2 数值流形方法的扩展

2.1 有限覆盖系统扩展

2.2 单元刚度矩阵扩展

2.3 单纯形积分扩展

2.4 J积分法求应力强度因子

3 多裂纹扩展方法

3.1 假设-修正多裂纹扩展方法

3.2 裂纹交汇

4 算例验证

4.1 计算模型

4.2 计算结果

5 结论

期刊类型引用(9)

其他类型引用(1)

计量

出版历程

目录

1 岩体裂纹扩展理论

1.1 线弹性断裂力学

1.2 弹塑性数值流形方法

2 数值流形方法的扩展

2.1 有限覆盖系统扩展

2.2 单元刚度矩阵扩展

2.3 单纯形积分扩展

2.4 J积分法求应力强度因子

3 多裂纹扩展方法

3.1 假设-修正多裂纹扩展方法

3.2 裂纹交汇

4 算例验证

4.1 计算模型

4.2 计算结果

5 结论

通讯作者:
韩智铭(1987−)，男，河北人，讲师，博士，主要从事节理岩体与隧道工程研究(E-mail: hanzhiming@stdu.edu.cn)