超空泡射弹是一种通过发射高速弹丸对鱼雷、水雷、蛙人等水下目标实行硬杀伤的武器[1]。依托超空泡实现水下90%以上减阻，并通过合理的流体动力外形设计维持弹道稳定，使其在水下无动力、无控制飞行较远距离后仍有足够的动能摧毁目标[2]。因其发射时速度较高且伴随着无法避免的微小扰动，弹丸在高速运动时通常以尾部周期性往复撞击空泡壁来维持稳定，这种现象称为尾拍运动[3]。尾拍运动是超空泡射弹保持水下运动稳定的最主要方式，因此受到了广泛的关注和研究。
Savchenko[4]给出了水下航行体以尾拍运动保持稳定的速度范围；Ruzzene和Soranna[5]基于哈密顿原理建立了超空泡射弹尾拍的柔性多体动力学方程；赵成功等[6—7]分析了初始扰动和质心位置对超空泡射弹尾拍运动的影响；何乾坤等[8]通过建立射弹无约束下的尾拍动力方程分析了环状加强筋对射弹尾拍振幅的影响；王康建等[9]采用抛物线近似的空泡简化模型，推导了尾拍时间间隔的计算公式。
在超空泡射弹设计中，空化器形状不仅对超空泡形态和减阻效果有关键性影响，对于射弹的尾拍稳定性也有重要影响。Savchenko[10]通过大量实验得出锥形空化器的空化数趋近于0时的阻力系数；贾力平等[11]通过水洞实验分析了空化器模型对通气超空泡尺寸的影响；熊天红和易文俊[12]通过高速射弹试验和数值模拟相结合的方法研究了空化器直径、射弹长径比等各项参数对射弹阻力特性的影响；陈拓等[13]研究了不同空化器的弹丸入水稳定性的差别；蒋运华等[14]研究了圆盘空化器航行体入水时的空泡发展特性；白涛等[15]通过水洞实验获得了圆盘空化器航行体超空泡形态的动态估计算法；栗夫园等[16—17]通过水洞实验分析了锥形空化器的流体动力特性。目前对空化器形状的研究集中于空化效果和减阻效果，且大都应用于大型航行体。然而，空化器形状对高速超空泡射弹的水中运动稳定性也具有重要影响，相关研究却鲜见报道。本文基于商用计算流体力学(CFD)软件，结合Mixture多相流模型、Schnerr and Sauer空化模型、Realizable k-ε湍流模型、移动计算域模型、6DOF动网格技术、UDF(User-Defined Function)技术，构建了三维自由尾拍运动仿真模型，研究了平头、凹口、锥头三种空化器形状的射弹在尾拍航行时的水动力和运动特性，研究结果可为超空泡射弹外形设计和弹道预报提供参考。
1 数值模拟方法
1.1 控制方程
超空化流场的数值模型涉及气液两相流的连续性方程、动量方程、湍流方程以及两相之间质量传输的空化方程。本研究属于均质平衡流模型，假设气液两相之间无相对速度，可采用Mixture多相流模型进行模拟。其中混合相连续性方程为：动量方程为：
式中：ui为第i相的速度；
为混合物的
为混合物的动力粘性系数。
两相之间质量传输方程可采用 Schnerr and Sauer空化模型，该模型计算效率高，数值稳定性强。相变率的表达式如下：密度；
式中：Me、Mc分别表示蒸发率和冷凝率；αv、ρv分别为蒸汽相体积分数和密度；RB为气泡半径；n为单位体积空泡数。
湍流模型采用在多相耦合等复杂流场中具有较高模拟精度和数值稳定性的Realizable k-ε模型，近壁面处理方法采用标准壁面函数。
1.2 模型及网格划分
目前具有工程实践意义的超空泡射弹通常采用大长径比来保持运动稳定，文中计算弹型选取较大(17)与较小(13.4)两种长径比(长度相同，仅弹径有所区别)。在两种长径比工况下分别研究平头、凹口、圆锥头三种不同空化器形状射弹的运动特性差异，结构如图1所示。
图1 射弹模型
Fig.1 Models of projectiles
为避免边界对弹丸附近流场产生“边界效应”，计算流域选取Φ20 L×30 L的圆柱形流域，用UDF编写计算域随水深变化的压力值。射弹初始位于水深4 m处，在一定的水平初速和初始转动角速度下运动。Savchenko[18]在实验中总结当Fr数大于30时可忽略重力影响，We数大于1000时可忽略液体表面张力的影响，此模拟范围为中高速(100 m/s～600 m/s)， Fr 数 (284～1917)， We 数(1.4×106～6.3×107)，因此，二者影响皆可忽略。黄闯等[1,19]分析在小于 900 m/s的亚音速范围内液体可压缩性对弹丸受力及弹体附近空泡影响较小，故文中采用不可压缩液体。空泡内部为饱和蒸气压3.54 kPa，忽略水蒸气的可压缩性。
文中计算模型采用两种，分别如图2、图3所示。模型Ⅰ采取固定流域与射弹，改变来流方向的方式实现不同攻角下弹丸的定常空化流场仿真；模型Ⅱ取消来流速度，赋予射弹初速与转动角速度，结合6DOF运动求解器实现射弹自由尾拍运动的非定常计算。非定常计算和定常计算的流体力和空泡形态有一定的差异，表现在射弹的非定常运动参数和空泡“延迟效应”的影响。根据文献[20]分析，在本文研究的亚音速范围内(≤600 m/s)，由轴向加速度引起的空泡直径偏差小于 2%，流体力增量小于0.5%；由角速度引起的流体力增量小于5%，角加速度引起的流体力增量小于2.8%；空泡延迟时间τ约为2.8×10-4 s，“延迟效应”引起的空泡变化较小。因此为了便于控制变量简化分析，本文采用定常模拟(模型Ⅰ)得到不同攻角下空泡形态和水动力参数定性分析射弹非定常运动(模型II)过程。
图2 模型I边界条件
Fig.2 Boundary conditions of model Ⅰ
图3 模型II边界条件
Fig.3 Boundary conditions of model Ⅱ
整体计算域均采用六面体结构化网格，模型II采用移动计算域的动网格方式，即计算域与射弹固定为体坐标系，通过6DOF求解器解算其平动和转动速度，而流场与地面坐标系相连，不赋予初始运动属性。采用此法可以避免常规动网格方式网格更新与重构引起的误差，提高计算精度和计算效率。为简化分析，弹丸尾拍运动限制在XOY平面内。为实现空泡形态和弹丸受力的精准捕捉，在根据经验公式计算的空泡范围内加密网格，空泡边界处的网格径向尺寸不超过1.5 mm；在有攻角的工况下可能沾湿的肩锥段尾部、圆柱段尾部以及头部均进行加密。不改变总体网格分布规律的前提下，改变线节点数量建立网格数量分别为 100万、160万、240万三种不同精度的网格，在速度为 600 m/s、攻角为0°的工况下进行模拟，所得空泡对比如图4所示。
从图4可以看出，在160万网格和240万网格下计算的空泡形态基本一致，空泡直径的最大相对偏差低于 0.6%，而在 100万网格下计算的空泡略小，最大相对偏差达3.5%。综合考虑计算精度和效率，文中选取数量为160万的网格进行计算，弹体附近的网格如图5所示。
图4 不同网格密度的计算结果
Fig.4 Calculated results of different mesh densities
图5 网格划分Fig.5 Grid division
为验证文中建立的数值计算模型，采用Hrubes[21]实验中的弹型及工况在此计算模型下进行仿真，将仿真所得空泡与Hrubes[21]实验结果、文献[22-23]中经验公式进行对比如图6、图7所示。图中可以看出此模型下仿真的空泡与 Hrubes实验照片中空泡轮廓基本一致，实验数据与仿真曲线也基本吻合，相对偏差低于 2.6%；空泡轮廓介于Logvinovich半经验公式和 Savchenko经验公式之间，更贴近于前者，原因在于前者适用的空化数范围为0～0.25，后者为0.012～0.057，而本例中射弹空化数约为 0.00029。综上说明文中所述数值模型在模拟高速射弹空化流场时具有较高的精度。
图6 仿真空泡与实验空泡对比
Fig.6 Comparison of simulated cavity and experimental cavity
图7 仿真数据和实验数据、经验公式对比
Fig.7 Comparison of simulated data, experimental data and empirical formula
2 结果与分析
2.1 空泡形态分析
2.1.1 不同空化器形状导致的空泡差异
将三种空化器形状的射弹在攻角 0°，速度为600 m/s下的稳定空泡作比较，如图8所示。可以看到平头弹形成的空泡最大，锥头弹空泡最小。相较于平头弹，凹口弹的空泡直径在肩锥段尾部和尾柱段尾部小3.2%，锥头弹小14.6%。
图8 攻角0°时的空泡轮廓比较
Fig.8 Comparison of cavitation outlines at 0° angle of attack
2.1.2 尾拍运动过程中的空泡变化
在尾拍运动过程中，随攻角增大，弹体的沾湿状态可分为4个阶段，如图9所示。图9(a)头部沾湿阶段：只有弹头沾湿，弹身全部包裹在空泡内；图9(b)尾部沾湿阶段：尾部圆柱段逐渐刺入空泡壁，沾湿面积随攻角增大而增大；图9(c)肩部沾湿阶段：肩部有一定锥角，在接触空泡壁时会形成二次空泡，包裹住圆柱段，从而降低了尾部沾湿面积；图9(d)大攻角阶段：肩部和尾部均大面积沾湿。
由于结构限制，射弹质心一般都位于肩部之后。从图9可以看出，头部和肩部沾湿时产生的力矩(由垂直于弹体轴线的法向力决定)为顺时针方向，促进射弹攻角增大，为倾覆力矩；而尾部沾湿产生的力矩为逆时针方向，促使攻角减小，为回转力矩。
图9 尾拍运动的4个阶段Fig.9 Four stages of tail-slap
2.2 较小长径比下的弹道稳定性比较
由于空化器形状不同，三种射弹的空泡大小有差异，导致各沾湿阶段的攻角范围不一致。在较小长径比(13.4)的工况下，根据图8所得空泡直径及射弹的几何参数，对各个沾湿阶段的攻角进行预估，如表1所示。表1中可以看出，空化效应较好的平头弹在各沾湿阶段有一定的滞后性；平头弹和凹口弹有较合适的尾部沾湿范围，但锥头弹在攻角2.22°时即发生肩部沾湿，未经历尾部沾湿阶段。
表1 小长径比下各沾湿阶段攻角范围
Table 1 Range of attack angle at each wetting stage for small aspect ratios
注：肩部沾湿阶段和大攻角阶段的临界攻角涉及肩部的空化效应，未能预估得出。
弹型头部沾湿尾部沾湿肩部沾湿攻角范围/(°)攻角范围/(°)攻角范围/(°)平头弹0～3.16 3.16～3.6＞3.6凹口弹0～3 3～3.3＞3.3锥头弹0～2.22无＞2.22
三种射弹在各沾湿阶段的力矩变化如图 10所示(锥头弹无尾部沾湿阶段，只有 3个阶段)。在头部沾湿阶段，力矩只由弹头提供，锥头弹力矩小于零(顺时针方向)，平头弹、凹口弹力矩约为零；在尾部沾湿阶段，尾部提供的回转力矩(逆时针方向)占主导，起抑制攻角增大的作用；在肩部沾湿阶段，弹丸力矩急剧下降，原因有二：一是肩部产生的倾覆力矩(顺时针方向)可迅速抵消尾部产生的回转力矩，二是锥柱结合处空化形成二次空泡，减小了尾部的沾湿面积，从而造成尾部力矩减小。
图10 小长径比下射弹力矩随攻角变化Fig.10 Change of moment with attack angle for small aspect ratios
在肩部沾湿阶段的某一攻角下，尾部力矩与头部、肩部力矩互相抵消平衡(即合力矩等于零)，弹体处于临界失稳状态，该攻角为临界失稳攻角。在射弹转动到达此临界攻角前，若尾部沾湿提供的回转力矩足以将转动角速度减小至零，则可以保持尾拍稳定；否则攻角超过临界失稳攻角后，倾覆力矩大于回转力矩，促进攻角不断增大而失稳。
从表1和图10可以看出，平头弹和凹口弹均有一定的尾部沾湿攻角范围和回转力矩峰值，相比之下平头弹更大，因此其临界失稳攻角也更大，在同工况下的尾拍稳定性较凹口弹更好；而锥头弹由于没有尾部沾湿阶段，不能提供使攻角减小的回转力矩，所受合力矩始终为负值，因此无法稳定尾拍，受到任意扰动均会失稳。
图 11为三种空化器形状的射弹在初速度600 m/s，初始转动角速度6 rad/s的工况下做自由尾拍运动时的攻角变化过程。可以看到平头弹的攻角周期性变化，尾拍稳定，在攻角达到幅值时以尾部沾湿为主，回转力矩大于倾覆力矩；凹口弹在第二次尾拍时超过了其临界失稳攻角(拐点)，肩部产生的倾覆力矩大于尾部产生的回转力矩，导致攻角不断增大而失稳；而锥头弹在第一次尾拍时肩部便先沾湿，产生的倾覆力矩使弹丸攻角不断增大而失稳。根据失稳点的非定常空泡状态，可以看出射弹失稳时都进入了肩部沾湿阶段，倾覆力矩占主导，导致攻角不断增大。
图11 小长径比下尾拍运动特性比较
Fig.11 Comparison of tail-slap motion characteristics for small aspect ratios
2.3 较大长径比下的弹道稳定性比较
为研究三种空化器形状的射弹在稳定尾拍工况下的运动特性对比，在保持射弹各段长度及其他条件不变，将长径比提升至 17(弹径相应减小至10 mm)，其水中运动特性会发生相应变化。
表2为根据较大长径比射弹在攻角0°下的空泡直径和射弹参数预估所得各阶段攻角范围，图 12为合力矩随攻角的变化情况。
表2 大长径比下各沾湿阶段攻角范围
Table 2 Range of attack angle at each wetting stage for large aspect ratios
弹型头部沾湿尾部沾湿肩部沾湿攻角范围/(°)攻角范围/(°)攻角范围/(°)平头弹0～3.6 3.6～4.84＞4.84凹口弹0～3.44 3.44～4.53＞4.53锥头弹0～2.83 2.83～3.45＞3.45
图12 大长径比下射弹力矩随攻角变化Fig.12 Change of moment with attack angle for large aspect ratios
从表2和图12可以看出，长径比增大后，三种射弹都有了合适的尾部沾湿阶段，能形成抑制攻角增大的回转力矩，比小长径比工况的回转力矩峰值更高；肩部沾湿后合力矩有一定下降，但下降的幅度明显小于小长径比工况(肩部的空化程度和受力均减弱)，合力矩始终大于零，即临界失稳攻角消失，因此三种头型的射弹在此长径比下均能保持尾拍稳定。
2.3.1 尾拍特性比较
将大长径比的三种射弹在初速 600 m/s，初始转动角速度6 rad/s的工况下进行尾拍运动仿真，直至进入双空泡流状态(速度低于 90 m/s)，其攻角、角速度、角加速度变化如图13所示。
图13 大长径比下尾拍运动特性比较
Fig.13 Comparison of tail-slap motion characteristics for large aspect ratios
从图 13可以看出，三种射弹的攻角均能保持在一定幅值范围内稳定振荡，对比分析攻角、角速度及角加速度的变化差异，可以发现以下几点：
第一，图 13(a)显示，平头弹和凹口弹是通过“双侧尾拍”(即尾部往复撞击上、下空泡壁)达到运动稳定，而锥头弹有其独特的稳定机制：在早期(0.04 s之前)速度较高时以“单侧尾拍”(即尾部间歇撞击单侧空泡壁)保持稳定，当速度降低后以“双侧尾拍”模式保持稳定。造成这种差异的原因主要是锥头弹弹头产生的力矩较大，且受速度影响很大(∝V2)。图14为不同弹头产生的力矩大小比较。
图14 弹头法向力和力矩随攻角变化
Fig.14 Change of normal force and moment of
warhead with attack angle
从图 14可以看出，平头弹和凹口弹的弹头几乎不产生俯仰力矩，而锥头弹弹头有较大的法向力和俯仰力矩，与尾部力矩的方向相反，为倾覆力矩，且一直存在于运动过程。
图15为图13中锥头弹尾拍过程中A点～H点的空泡图。当速度较高时(A～F)，头部力矩冲量足以抑制尾部力矩冲量，在射弹未越过空泡轴线前(C、E)，将尾拍角速度削弱至0并反向增大，形成“单侧尾拍”；速度降低后(F～H)，头部力矩随之降低，不足以抑制尾部力矩冲量，弹体越过空泡轴线(G)，弹头力矩随之改变方向，进而增大角速度，便可正常撞击另一侧空泡壁。从图 13中也可以看出第 3次尾拍之后，锥头弹的角加速度每过轴线均改变方向，角速度呈先削弱后增强的“凹形”变化趋势。
第二，凹口弹尾拍运动特性和平头弹总体规律相似，但攻角幅值较小，尾拍频率略大，主要原因是凹口弹形成的空泡较平头弹略小。锥头弹的尾拍运动特性差异较大，由于弹头产生的倾覆力矩较大，在发生第一次尾拍时锥头弹的转动角速度远大于其余两种弹，导致其前几次尾拍时攻角幅值比其余两种弹更大。
图15 锥头弹的尾拍过程
Fig.15 Process of tail-slap of conical head projectile
第三，尾拍运动时的攻角幅值并不对称，平头弹和凹口弹拍击下空泡壁比拍击上空泡壁时攻角更大，而锥头弹相反。造成这种不对称的原因是在尾拍过程中弹丸发生垂直位移，平头弹和凹口弹发生上移，锥头弹发生下移，导致其分别与近侧壁接触角度变小，远侧壁接触角度变大。
2.3.2 弹道特性比较
图16为600 m/s速度下三种空化器形状的射弹阻力系数比较，图 17为三种射弹自由尾拍运动时在水平方向的位移及存速。由图 16可以看出尾部沾湿后弹丸阻力开始快速上升，肩部沾湿后有一小段下降趋势是由于肩部空化形成一定的空泡减小了尾部的沾湿面积；由于弹头减阻效果更好，锥头弹的阻力比平头弹和凹口弹大约低 40%，即使是尾部沾湿时阻力也低于二者，这说明只要锥头弹尾拍不发生失稳，其减阻效果更好。图17验证了在相同的初速和扰动下，锥头弹的水平位移及存速都比其余两者高，表现出更好的减阻性能。
图16 阻力系数随攻角变化
Fig.16 Change of drag coefficients with angle of attack
图17 水平位移及存速的变化
Fig.17 Change of horizontal displacement and storage velocity
图 18为三种空化器形状的射弹在垂直于来流方向的升力系数比较，图 19为三种射弹尾拍运动时在垂直方向的位移及速度比较。从图 18可以看出锥头弹弹头升力很小(几乎为0)，而平头弹和凹口弹弹头产生的升力较大，与攻角成正比。从图 18中对比垂直位移和速度可以看出，由于尾拍升力不断变向，弹体的垂直速度在一定范围内来回振荡。平头弹和凹口弹发生上移的原因在于第一次尾拍前，由于初始扰动弹体向上转动，弹头产生较大的升力(∝V2，α)，积累了较高的垂直速度。由于初始扰动是无法避免的，因此平头弹和凹口弹的垂直位移也无法避免，且方向由初始扰动方向决定。锥头弹发生下移的原因在于虽然弹头升力几乎为 0，但前三次“单侧尾拍”的尾拍升力使其积累了较高的垂直速度。由于“单侧尾拍”的尾拍升力与初始扰动方向相反，因此锥头弹产生的垂直位移也与初始扰动方向相反。
图18 升力系数随攻角变化
Fig.18 Chang of lift coefficients with angle of attack
图19 垂直位移和垂直速度的变化
Fig.19 Change of vertical displacement and vertical velocity
3 结论
本文在两种长径比下比较了平头弹、凹口弹、锥头弹的尾拍运动特性，并分析了造成其运动特性差异的主要因素。所得结论主要如下：
(1) 在肩部沾湿阶段的某一攻角下，尾部力矩与头部、肩部力矩互相抵消平衡(即合力矩等于零)，弹体处于临界失稳状态，该攻角为临界失稳攻角。在射弹攻角到达此临界攻角前，若尾部沾湿提供的回转力矩足以将转动角速度减小至零，则可以保持尾拍稳定。
(2) 在较小长径比(13.4)下，三种弹型尾拍稳定性比较：平头弹＞凹口弹＞锥头弹，主要原因是空化器产生的空泡差异导致其尾部沾湿攻角范围、回转力矩峰值依次降低，因此临界失稳攻角也依次降低；在较大长径比下(17)下，三种弹的尾部沾湿攻角范围和回转力矩峰值都大大提高，临界失稳点消失，因此三种弹型均能稳定地尾拍运动。
(3) 凹口弹与平头弹的流体动力特性相似，运动规律也较为一致，可见在空化器开凹口对射弹的尾拍稳定性影响不大；而锥头弹的流体动力特性与平头弹差异较大，主要表现在其弹头产生的阻力和升力较小，但俯仰力矩更大。
(4) 由于锥头弹弹头产生的力矩较大，锥头弹在尾拍运动中保持一种独特的稳定机制：在速度较高时以“单侧尾拍”(即尾部间歇撞击单侧空泡壁)保持稳定，当速度降低后以“双侧尾拍”(即尾部往复撞击上下空泡壁)保持稳定。
(5) 平头弹和凹口弹头部会产生较大的升力(∝V2，α)，方向与初始扰动方向相同，因此会产生与初始扰动方向相同的垂直位移；锥头弹头部几乎不产生升力才，但由于“单侧尾拍”的尾拍升力会使其产生与初始扰动方向相反的垂直位移。
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