沥青路面结构长期处于外部荷载重复作用之下，材料结构萌生损伤并持续演化导致材料强度逐步衰减，材料强度的衰减同时加速损伤演化。材料强度在损伤演化至失效阀值时低于外部荷载，最终导致路面结构发生疲劳破坏[1-5]。因此，基于强度衰减规律研究沥青混合料的损伤演化过程并准确预测疲劳寿命，对于延长沥青路面疲劳寿命至关重要[6-11]。
国内外学者基于全部衰减的劲度模量均对材料产生损伤变形的假定，将劲度模量的衰减值与初始值的比值作为损伤变量，并将相应的损伤曲线作为疲劳性能评价及寿命预测的重要理论依据[12-14]。Sousa等[15]通过开展沥青混合料不同试验条件下的室内疲劳试验捕捉了劲度模量取值的分布规律，为基于材料的强度衰减规律掌握其疲劳特性以及建立科学的疲劳方程提供了理论依据。Rowe和Bouldin[16]通过统计材料疲劳失效对应的劲度模量分布规律，基于该分布规律率建立了沥青混合料的疲劳方程。Robert等[17]根据材料劲度模量衰减规律捕捉疲劳失效阈值，提出了考虑沥青混合料温度影响的疲劳试验统计方法。Léonard和 Benedetto等[18-19]分别采用经典损伤力学和连续损伤力学对沥青混合料的疲劳性能进行了研究并建立了损伤模型，为开展材料疲劳损伤在不同试验条件下的非线性演化过程研究提供了理论基础。吕松涛[20]通过对梁式拉伸疲劳试验采用模量衰减定义损伤变量，完善了沥青路面的轴载换算方法。栾利强和田小革[21]通过研究沥青混合料的非线性损伤演化特征，建立了耦合间歇时间、温度、应力比等试验因素的非线性损伤模型，并推导出试件结构的疲劳寿命和材料临界损伤因子之间的数学关系。Sun等[22]通过三点弯曲疲劳试验提出了劲度模量衰减数学模型，并基于非线性损伤演化分析建立了疲劳损伤本构方程和耦合多因素疲劳方程。
另外，部分研究学者从永久变形和能量耗散方面开展系统深入的研究，指出只有部分衰减的劲度模量会对沥青混合料产生疲劳损伤变形，剩余部分对用于产生黏弹性变形，这为基于劲度模量衰减规律进行损伤演化分析提供了新思路[23-28]。因此，上述文献中基于所有衰减劲度模量用于产生损伤变形假定得到的损伤变量，不能深刻地揭示材料疲劳破坏前的损伤演化过程，相应的寿命预测结果和试验结果之间有较大的离散性。为此，本文对不同温度、应力比及加载速率等疲劳试验条件下的橡胶沥青混合料疲劳寿命与劲度模量衰减规律的相关性开展系统深入的研究，采用累积劲度模量衰减量相对变化率定义损伤并开展相应的损伤演化分析，基于劲度模量衰减量相对变化率与材料损伤演化速率的相关性分析建立疲劳方程预测寿命，并与试验结果对比验证该疲劳方程的准确性。
1 材料和试验方法
1.1 材料
选用橡胶沥青开展三点弯曲疲劳试验，测试获得的指标结果如表1所示。集料级配类型为AC-13I型，如表2所示。
表1 橡胶沥青技术性能
Table 1 Technical properties of asphalt rubber
指标 结果针入度(25℃)/0.1 mm 68软化点/(℃) 57黏度(180℃)/(Pa·s) 2.7弹性恢复(25℃)/(%) 82
表2 集料级配
Table 2 Aggregate gradation
筛孔尺寸/mm 16 13.2 9.5 4.75 2.36通过百分率/(%) 100 91.1 80.2 54.02 33.21筛孔尺寸/mm 1.18 0.6 0.3 0.15 0.075通过百分率/(%) 22.52 15.96 12.09 8.67 5.47
1.2 试件制备
依据《公路工程沥青及沥青混合料试验规程》(JTG E20—2011)规定的车辙板试件制备流程(T0703)，车辙板试件对应的成型尺寸为 300 mm×300 mm×70 mm，并标注成型方向，静置时间 12 h后进行拆模。采用切割机沿着成型方向将两侧边缘20 mm 的部分切除，然后切出尺寸为 250 mm×30 mm×35 mm的梁式试件，制备的小梁试件如图1所示。
图1 小梁试件
Fig.1 Beam specimens
1.3 试验方法
选取小梁顶部中央位置作为三点弯曲疲劳试验的测试区域，疲劳试验机压头作用于测试区域，并通过自动采集系统获得测试区域不同时刻的力和位移数据，通过结构力学梁式试件的弯拉求解公式获得小梁底部中央的拉应力和拉应变。
为便于分析应力比、温度、加载速率对三点弯曲疲劳试验结果的影响，设置如表3所示的6组对比试验。梁式试件支座跨径为 200 mm。疲劳加载程序由以下三部分组成：1) 按照设定的加载速率匀速加载至不同应力比对应的峰值荷载；2) 按照设定的加载速率匀速卸载至荷载为0；3) 返回1)。
表3 试验条件
Table 3 Test conditions
试验编号 应力比 温度/(℃) 速率/(mm/min)1 0.6 25 10 2 0.7 25 10 3 0.8 25 10 4 0.6 15 10 5 0.6 5 10 6 0.6 5 20 7 0.5 25 10 8 0.6 20 10 9 0.3 25 10 10 0.4 25 10
试验步骤如下：1) 把小梁放于设定温度的恒温水槽 1 h，启动疲劳试验加载室的控温系统，将加载室与水槽保持一致；2) 将支座准确对中固定，并保证两支点间距为 200 mm，将试件取出对称放置于支座上；3) 启动如图2所示的疲劳试验机按照疲劳加载程序对小梁试件进行循环加载，直至试件发生断裂。
图2 疲劳试验机
Fig.2 Fatigue testing machine
2 结果分析
2.1 三点弯曲疲劳试验
由于材料本身的黏弹滞后特性，循环荷载对应的应力-应变曲线呈滞后闭路形状，典型橡胶沥青混合料每个循环对应的应力-应变曲线如图 3(便于清晰展示，只给出4个循环)所示。由图3可知，随着材料应变的不断增大，材料所受拉应力在加载阶段非线性增大至峰值，且疲劳破坏前每个循环的应力峰值相同，进入卸载阶段后拉应力逐渐减小至0。
当疲劳次数达到一定次数后，小梁结构不能承受设定的荷载幅值从而发生断裂。发生断裂时对应的循环次数记为疲劳寿命Nf，Nf的试验结果如表4所示。由表4可知，Nf与速率和应力比负相关，与试验温度正相关。
图3 三点弯曲疲劳试验应力-应变曲线
Fig.3 Stress-strain curve of three-point bending fatigue test
表4 疲劳寿命结果
Tab 4 Results of fatigue life
试验编号 疲劳寿命Nf/次试件1 试件2 试件3 平均值变异系数/(%) 标准差1 329 312 298 313 4.05 12.68 2 168 150 165 161 4.89 7.87 3 140 128 149 139 6.19 8.60 4 105 113 109 109 3.00 3.27 5 91 101 99 97 4.45 4.32 6 67 70 73 70 12.86 9.00 7 418 435 437 430 1.98 8.52 8 225 228 210 221 3.56 7.87 9 889 893 948 910 2.96 26.92 10 561 572 637 590 5.68 33.54
2.2 橡胶沥青混合料疲劳寿命与劲度模量衰减规律的相关性分析
小梁底部中央位置受拉状态下的应力和应变之比为材料的劲度模量。由图3可以看出，每个循环对应的拉应力峰值一样，但材料在拉应力峰值处承受的拉应变却随着损伤演化的进行逐渐增加，这导致了荷载峰值处的劲度模量不断地发生衰减。选取荷载峰值处的劲度模量为研究对象，分析疲劳寿命与劲度模量衰减规律的相关性，为损伤演化分析提供理论依据。
2.2.1 橡胶沥青混合料不同阶段的材料特性
橡胶沥青混合料损伤和未损伤阶段的应力-应变曲线如图4所示。由图4可知，不同应变水平下材料特性的变化过程由未损伤阶段OD(包括线性黏弹性阶段OB和非线性黏弹性阶段BD)和损伤阶段DE 组成[27—30]。
图4 橡胶沥青混合料不同阶段的应力-应变曲线Fig.4 Stress-strain curve of different material states of rubber asphalt mixture
未损伤阶段：线性黏弹性阶段对应的加载路径OA和卸载路径AO相同，线性黏弹性变形在卸载之后完全恢复，该阶段劲度模量不变且材料不产生损伤变形。非线性黏弹性阶段对应的加载路径 OBC和卸载路径CO不同，非线性黏弹性变形在卸载之后完全恢复，该阶段劲度模量衰减但材料不产生损伤变形；损伤阶段：加载路径 OBDE和卸载路径EF不同，黏弹性变形在卸载之后理论上可以完全恢 复但损伤变形不能恢复，劲度模量在该阶段发生衰减且材料产生损伤变形[27-30]。
基于以往的研究可知，材料在进入疲劳损伤状态之后，只有部分衰减的劲度模量用于产生橡胶沥青混合料对应的损伤变形，为基于劲度模量衰减规律的Nf预测提供了理论依据[23-28]。
2.2.2 疲劳寿命与劲度模量衰减量的相关性分析
橡胶沥青混合料初始劲度模量与各循环劲度模量的差值为劲度模量衰减量 SMD(stiffness modulus degradationa)，如图5所示，图中循环比等于(N/Nf)。由图5(a)可知，三种应力比下，SMD和Nf对应的大小排序依次为0.7、0.8、0.6和0.6、0.7、0.8；由图5(b)可知，三种温度下SMD和Nf对应的大小排序依次为15℃、5℃、25℃和25℃、15℃、5℃；由图 5(c)可知，两种加载速率下 SMD和 Nf对应的大小排序依次为20 mm/min、10 mm/min和10 mm/min、20 mm/min。
由上述分析知，随着SMD的增加，Nf未呈单调变化的趋势，这是因为循环荷载作用下SMD一部分用于对橡胶沥青混合料产生损伤变形，剩余部分用于对产生黏弹性变形[23—28]，故应用SMD不能很好地预测Nf。
2.2.3 疲劳寿命与劲度模量衰减量相对变化率的相关性分析
为了更好地揭示SMD与Nf的关系，本研究提出劲度模量衰减量相对变化率 SMDR (stiffness modulus degradation ratio)如式(1)所示，其表明特定条件下每次荷载循环中用于黏弹性变形部分的SMD是一个定值[23-26]，SMDR的大小表征了一次循环加载过程中对橡胶沥青混合料产生损伤变形的SMD占该循环总SMD的比例，数值越大，表示该循环产生损伤变形的SMD比例越大。
式中，SMDN+1和SMDN分别为第(N+1)和N个循环的劲度模量衰减量。
图5 不同试验条件下的劲度模量衰减量
Fig.5 Stiffness modulus degradation under different test conditions
不同试验条件的SMDR如图6所示，由图6(a)可知，三种应力比下SMDR和Nf对应的大小排序依次为0.8、0.7、0.6和0.6、0.7、0.8；由图6(b)可知，三种温度下SMDR和Nf对应的大小排序依次为5℃、15℃、25℃和25℃、15℃、5℃；由图6(c)可知，两种加载速率下 SMDR和 Nf对应的大小排序依次为20 mm/min、10 mm/min 和 10 mm/min、20 mm/min。
由上述分析知，随着SMDR的增加，Nf总体呈下降趋势，故SMDR可以用以Nf预测，这亦为后续应用SMDR进行损伤演化分析提供了理论基础。
图6 不同试验条件下的劲度模量衰减量相对变化率
Fig.6 Stiffness modulus degradation ratio under different test conditions
3 基于SMDR的橡胶沥青混合料损伤演化分析
将前N个循环对应的SMDR之和定义为第N个循环的累积劲度模量衰减量相对变化率 CSMDR(cumulative stiffness modulus attenuation ratio)，并根据CSMDR分别建立CSMDR与疲劳次数的函数关系式和损伤模型，为预测Nf提供理论依据。
3.1 CSMDR与疲劳次数函数关系式建立
3.1.1 CSMDR与疲劳次数函数关系式建立
橡胶沥青混合料损伤演化过程伴随着 SMDR的累积，掌握CSMDR的变化规律可以为损伤演化分析提供理论依据。CSMDR-N/Nf曲线如图7所示，由图 7可知，随着循环荷载的不断累积，CSMDR呈现出非线性单调递增的变化规律。BlNeld模型可以准确地刻画循环荷载作用下橡胶沥青混合料CSMDR的非线性变化趋势，使用该模型建立CSMDR与疲劳次数的函数关系式[22-25]，如式(2)所示。使用式(2)拟合不同试验条件下的CSMDR -N/Nf曲线，拟合参数结果如表5所示。由表5可知，R2均大于0.99，反映了该关系式的可靠性。
图7 橡胶沥青混合料CSMDR-N/Nf曲线图
Fig.7 Fitting result of CSMDR-N/Nf curve of rubber asphalt mixture
式中：CSMDRN为第N循环对应的CSMDR；a、b、c、d为拟合参数；CRN =N/Nf。
表5 模型参数拟合结果
Table 5 Fitting results of model parameters
试验编号 a b c d R2 1 1.14147 -0.0174 -0.19639 -0.46545 0.99939 2 1.05166 -0.00901 -0.08011 -0.47208 0.99967 3 1.16596 -0.03366 -0.20983 -0.42767 0.99925 4 5.06481 -2.40136 -1.43286 -0.13008 0.99494 5 2.08669 -0.33891 -0.66988 -0.26191 0.99459 6 5.29867 -3.22189 -1.10678 -0.09356 0.99944
3.1.2 函数关系式验证
为验证式(2)的可靠性，选择基质沥青混合料补充试验条件(应力比-温度-速率)为 0.6-25℃-10 mm/min对应的小梁疲劳试验。使用式(2)求解相应的CSMDR-N/Nf曲线并与试验结果对比，对比结果如图8所示。由图8可知，建立的函数关系式可以准确地刻画CSMDR随疲劳次数的变化特征。
图8 基质沥青混合料CSMDR-N/Nf曲线对比图
Fig.8 Comparison of fitting result of CSMDR-N/Nf curve
of base asphalt mixture
3.2 损伤模型的建立
3.2.1 损伤模型建立
每个循环产生损伤变形的SMD比例随着该循环SMDR的增大而增大，故SMDR可视为橡胶沥青混合料抗损伤变形的不利参数。基于以往的研究可知，前N次与前Nf次循环内抗损伤变形不利参数之和的比值(CSMDRN与 CSMDRNf的比值)表征了第N次循环的损伤因子大小[20-24]，故本文损伤定义如下式所示：
式中：D为疲劳次数为N时的损伤因子；CSMDRN和CSMDRNf分别为疲劳次数为N和Nf时的累积劲度模量衰减量相对变化率。
联立式(2)和式(3)建立损伤模型，如式(4)所示。使用式(4)拟合不同试验条件下的 D-N/Nf曲线，R2均大于0.99，证明了该关系式的可靠性。
3.2.2 损伤模型的验证
为验证该损伤模型的正确性，使用式(4)求解基质沥青混合料的D-N/Nf曲线并与试验结果对比，对比结果如图9所示。由图9可知，建立的损伤模型可以准确地刻画沥青混合料在循环荷载作用下的的损伤演化过程。
3.3 损伤演化分析
求得 D-N/Nf曲线的斜率作为沥青混合料的损伤演化速率 D′，绘制三维损伤演化曲线(D′-D-N/Nf曲线)，如图10所示。由图10可知，循环荷载作用下橡胶沥青混合料的损伤演化速率 D′和损伤值 D随疲劳次数的增加，呈非线性变化趋势。
图9 基质沥青混合料D-N/Nf曲线对比图
Fig.9 Comparison of D-N/Nf curve of base asphalt mixture
图10 三维损伤演化曲线
Fig.10 3D damage evolution curve
将 D′-D-N/Nf曲线进行平面投影，分别得到D-N/Nf曲线、D′-N/Nf曲线、D′-D曲线，如图11所示。由图11可知，随着疲劳次数的增加，损伤值D由0非线性逐渐演化至1；随着疲劳次数和损伤值D的增加，损伤演化速率D′由较高的速率水平非线性逐渐变化至较低的速率水平。为了更准确地掌握橡胶沥青混合料的损伤演化规律，将三维损伤演化曲线进行放大，如图12所示。由图12可知，D′在疲劳加载的后期阶段急剧增大。
根据上述分析可知，循环荷载作用下橡胶沥青混合料的非线性损伤演化过程分为三个阶段：第一阶段，损伤快速增长的初始演化阶段，D′逐渐变慢，此过程不长但是造成的损伤较大；第二阶段，损伤缓慢增长，D′变化幅度较小，该阶段占据着损伤演化过程的主要部分；第三阶段，损伤在最后阶段骤增，D′急剧增加，材料发生疲劳破坏。
图11 三维损伤演化曲线投影图
Fig.11 Projection of 3D damage evolution curve
图12 三维损伤演化曲线投影放大图
Fig.12 Projection amplification of 3D damage evolution curve
4 基于SMDR的橡胶沥青混合料疲劳寿命预测
通过 SMDR与D′的相关性分析建立疲劳方程并预测Nf，为基于劲度模量衰减规律预测橡胶沥青混合料的Nf提供理论依据。
4.1 SMDR与D´的相关性分析
D′-SMDR-N/Nf曲线投影图如图 13所示，由D′-N/Nf曲线和 SMDR-N/Nf曲线可知，随着疲劳次数的增加，D′和SMDR的取值均呈“两头大，中间小”的分布规律；由D′-SMDR曲线可知，随着SMDR的增加，D′的取值水平整体上呈现出线性递增的变化趋势。由此可知，SMDR是表征橡胶沥青混合料损伤演化快慢的一个物理参数，随着SMDR的增大损伤变量越快地演化至失效阈值，Nf越小[23—26]，故Nf与SMDR的整体取值水平存在负相关的函数关系。
图13 D′-SMDR-N/Nf曲线投影图
Fig 13 Projection of D′-SMDR-N/Nf curves
4.2 橡胶沥青混合料疲劳方程建立
4.2.1 疲劳方程的建立
根据SMDR三个阶段内ΔN/Nf的大小决定每个阶段的权重，处理试验数据得到SMDR三个阶段的加权平均值 WA(weighted average)，采用 WASMDR代表SMDR三个阶段的整体取值水平。
WASMDR的统计结果如表6所示。由表6可知，随着 WASMDR的增加，Nf呈幂函数下降趋势。由于幂函数结构简单易于推广，故采用幂函数建立如式(5)所示的疲劳方程，R2＞0.97，证明了该疲劳方程的可靠性。
Nf =3.10123(WASMDR)-0.89585，R2=0.976 (5)式中：Nf为疲劳寿命；WASMDR为劲度模量衰减量相对变化率加权平均值。
4.2.2 疲劳方程的验证
为验证基于表6中Nf与WASMDR之间幂函数关系建立的疲劳方程，可用于其他试验条件下的疲劳寿命预测，补充试验编号分别为7和8对应的橡胶沥青混合料小梁疲劳试验并统计 WASMDR。将统计的WASMDR代入式(5)计算Nf并与试验结果对比，对比结果如表 7所示，由表 7知相对误差分别为8.705%和9.796%，满足工程要求。
表6 WASMDR的统计结果
Table 6 Statistical results of WASMDR
试验编号 WASMDR 疲劳寿命Nf/次1 0.005917 313 2 0.01059 161 3 0.01555 139 4 0.01948 109 5 0.02420 97 6 0.02850 70
表7 疲劳寿命结果对比
Table 7 Comparison of fatigue life results
试验编号 7 8 9 10 WASMDR 0.003671 0.007616 0.002072 0.002429试验疲劳寿命Nf/次 430 221 910 590预测疲劳寿命Nf/次 471 245 786 657相对误差/(%) 8.705 9.796 13.626 11.356
为进一步验证该疲劳方程的可靠性，通过沥青路面现场钻取板块试件获得相应的橡胶沥青混合料小梁试件，补充试验编号分别为9和10对应的现场疲劳试验，并将对应的WASMDR代入式(5)计算Nf并与试验结果对比，对比结果如表7所示。由表7可知，相对误差分别为13.626%和11.356%，满足工程要求，因此，建立的疲劳方程可以较准确地预测橡胶沥青混合料的Nf。
由于不同种类沥青混合料的疲劳损伤特性存在差异，SMDR是否适用于其他类型沥青混合料的损伤演化分析和疲劳寿命预测，尚需基于大量室内及现场试验数据开展系统研究作为理论支撑。
5 结论
随着疲劳荷载次数的增大，劲度模量衰减量SMD呈单调递增的非线性变化趋势，循环荷载作用下只有一部分SMD用于对橡胶沥青混合料产生损伤变形，剩余部分用于对产生黏弹性变形，应用SMD不能很好地预测疲劳寿命Nf。
劲度模量衰减量相对变化率 SMDR表征了产生损伤变形的 SMD 占总 SMD 的比例。Nf随着SMDR的增大而减小，SMDR可以用于橡胶沥青混合料的损伤演化分析和预测Nf。
建立的累积劲度模量衰减量相对变化率CSMDR与疲劳荷载次数的函数关系式，可以准确地刻画CSMDR的非线性单调递增变化特征，且基于该函数关系式建立的损伤模型可以准确地表征橡胶沥青混合料的非线性损伤演化规律。
随着SMDR的增大，损伤变量迅速地演化至失效阈值，Nf越小。基于SMDR加权平均值与Nf之间的幂函数关系建立的疲劳方程，能够较准确地预测橡胶沥青混合料的Nf。SMDR是否适用于其他类型沥青混合料的损伤演化分析和疲劳寿命预测有待进一步研究。
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