与陆地结构相比，水中结构物存在着水_结构相互作用，由地震动引起的水对结构物的动力相互作用力称为地震动水力。已有的理论和试验的研究结果均表明，地震动水力对水中结构物动力响应的影响不可忽略[1－4]，同时也获得了一些重要的研究成果[5－10]。
从连续介质动力学的角度，水体作为扰动的传播介质，表现出一定的体积变形能力时称为可压缩水体。可压缩水体动水力相应的动力刚度是频率相关的，Du和Wang等[11－12]提出了将其时域化的方法。但许多研究者发现，在桥墩、桩等相对细柔的结构物的动力分析中水体的可压缩性可忽略[13－14]。此类问题中将水体作为不可压缩体考虑是合理的[15]。针对不可压缩无粘性水体中的圆柱墩，可根据水体辐射理论得到动水力的精确解，此解可表示为附加质量的函数形式[16]，但由于自由度的相关性，精确解的直接应用比较困难，因此需要寻找计算精度较高的简化计算方法。
现有可供工程应用的不可压缩无粘性水体的动水力的简化计算模型可分为2大类：一种从动力学角度基于一定的简化条件和理论基础得到相应表达式；另一种为借鉴波浪力学中的经验公式。
对于第1类计算模型，代表性工作又可细分为以下2种。第1种从水体辐射理论出发，通过一定的简化条件得到，代表性工作包括：Liaw和Chopra[13]基于不可压缩无粘性水体的辐射理论得到了刚性悬臂圆柱体假设下的非均匀动水力，文中称此方法为刚性柱法，Li和Yang[17]、Jiang等[18]、Wang等[19]基于此解析法拟合得到了表达更简洁的计算公式。第2种方法从动水力附加质量的概念出发，根据柔性柱体有水工况相对无水工况中1阶固有频率的改变率，求得相应动水附加质量，代表性工作包括：Han和Xu[20]提出了计算动水附加质量的频率近似法，Yang和 Li[21]通过大量参数的分析，拟合得到了覆盖范围较广的基频近似法的经验公式。
在波浪力学中，为计算小直径柱体的水平波浪力，假设柱体的存在对波浪场的影响可忽略，Morison等[22]提出了半经验半理论的Morison方程，之后Penzien和Kaul[23]将其引入计算结构的地震动水力，由于公式形式简单且具有一定的精度而得到广泛应用[24－26]，此方法被称为莫里森(Morison)法，为第2类计算模型。
上述2类模型中的3种简化方法，包含了对柱体刚度从刚性到真实柔性再到完全柔性的假定，覆盖面较广，具有一定代表性。然而，针对上述简化方法在求解圆形桥墩动力响应时计算精度的研究还比较缺乏。笔者在前期工作中，通过对圆柱体模型在144种工况条件下的地震动响应，在时域中分析了几种简化方法的计算精度并获得了一些对宏观结果的认知[27]。但时域响应同时受到输入荷载和结构特性的影响，且峰值响应的误差是对众多影响因素的宏观表现，如在不同频谱成分的地震动作用下，结构响应可能有很大差异，所以时域分析不能从细部上研究误差来源。频域传递函数包含了系统所有动力特性参数，能深入分析结构在不同频率下的动力响应特性[28]。基于传递函数，将输入和系统分开，从能量分布的角度分析各因素对系统的影响是一种有效的手段。如Goyal和Chopra[29]通过频域传递函数研究了动水力和结构_地基相互作用对水塔动力特性的影响。因此，本文仍然以圆形桥墩为研究对象，从频域传递函数的角度，再研究3种动水力简化方法的计算精度。
1 地震动水力计算方法简介
针对浸没于水中的悬臂圆柱体，简要说明基于水体辐射理论得到的不可压缩无粘性水体的精确解及上文所提3种简化方法：刚性柱法、莫里森法和基频近似法。
1.1 水体辐射理论法
1.1.1 不可压缩无粘性水体的精确动水力解
图1所示坐标系中，不可压缩无粘性水体的深度为H，弹性悬臂圆柱体半径为R、高度为h。假设地基刚性水平，忽略水体自由表面波条件，由动水压力p(t)表示的水体控制方程为：
通过控制方程和边界条件可知，杆件单元在深度z处的单位高度的精确动水力解为[16]：
式中：ρ为水体密度；
其中λ＝
为第 2 类第 1 阶修正Bessel函数；
为结构在高度z处的绝对运动加速度，由图1可知，u=us+ug，因此不可压缩无粘性水体的精确动水力是与结构变形相关的函数。通过有限元法离散圆柱体，得到动水力向量：
式中：
为结构变形加速度向量；
为地面运动加速度向量；Mw为精确附加质量矩阵，是空间偶联的非对角质量阵，其表达式为：
其中：
式中：N为形函数矩阵；上标T为矩阵或向量的转置。假定水体深度与墩高相等，由此得到考虑不可压缩无粘性水体的精确动水力影响的结构运动方程：
式中：Ms、Cs、Ks分别为结构的质量、阻尼和刚度矩阵；us为结构相对变形向量；
为结构变形的速度和加速度向量。
图1 受水平地震作用的水中圆柱体
Fig.1 Cylinder in water subjected to horizontal earthquake
1.1.2 刚性柱法
假设结构为刚体，由式(2)得到刚性柱法相应的附加质量为[16]：
为方便工程使用，Wang等[19]拟合得到下式：
其中：
式中，L为结构直径和水深的比值，即L=2R/H，称为宽深比。
下文刚性柱法计算中采用式(9)的形式。
1.2 基频近似法
基于基频近似法的思想，Yang和 Li[21]通过大量计算，拟合得到动水附加质量的计算公式：
式中：ρc为桥墩所用混凝土密度；Cm2＝
1.3 莫里森法
将Morison方法用于计算地震引起的结构动水力时，假定水体静止，非线性阻尼项对一般桥梁结构地震响应的影响可忽略[30]，此时方程简化得到的附加质量为[23]：
式中：ρ为水体密度；
为单位长度柱体的排水体积；Cm1为附加质量系数，与形状相关，圆柱体取1。
将上述4种方法所得动水力应用于结构运动方程，形成类似式(6)的总方程，再通过求解总方程便可得到考虑动水力影响的结构动力响应。
2 计算工况
采用上述4种方法分别考虑动水力对结构响应的影响。各方法附加质量是半径R、宽深比L或水深H的函数，又由于L=2R/H，实际仅两参数独立，因此本文选取L和H为参数。算例中水深与墩高相等，共设计84种尺寸的桥墩，L和H的取值范围和桥墩材料参数取值见表1(桥墩为混凝土构件并保持弹性)。为考虑横向剪切变形的影响，桥墩采用Timoshenko梁单元模拟。输入荷载为狄拉克脉冲，其位移时程曲线及相应Fourier谱见图2。
表1 参数及其取值[31]
Table 1 Parameters and values[31]
参数 取值水深/m 20、40、60、80、100、120宽深比 取值范围0.05~0.7，步长0.05，共14个值混凝土密度/(kg/m3)2500混凝土弹性模量/GPa 33.5泊松比 0.2 Rayleigh阻尼比/(%)5(取第1阶、第3阶自振频率计算)
图2 输入脉冲的位移时程及其Fourier谱
Fig.2 Displacement time-history and Fourier amplitude spectrum of input impulse
3 频域传递函数
多自由度体系结构的动力运动方程为：
式中：
的含义同前；{P(t)}为外荷载激振力向量。对式(12)进行 Fourier变换，可得：
式中，
分别为
的Fourier谱。定义[H(iω)]为频域传递函数矩阵，则对应式(13)有表达式：
由式(14)可看出，频域传递函数在频域ω内建立了系统反应和激励之间的映射关系。而反应和激励选择不同的物理参数，将出现多种含义的频域传递函数。如当外荷载为地震动(可表示为结构质量矩阵和输入地震动加速度向量积的形式)，此时，选择输入荷载的位移为激励，结构的相对变形为系统反应，因此得到的位移频域传递函数的计算公式为：
本文采用了3种传递函数做分析，分别为位移、剪力和弯矩传递函数。而剪力和弯矩传递函数较难得到类似式(15)的表达式解，因此本文基于数值分析结果计算3种传递函数。其中位移传递函数的解同式(15)所得的解是一致的，另外剪力和弯矩传递函数的激励均为输入荷载的加速度，反应分别为桥墩的剪力和弯矩响应。
4 结果分析研究
4.1 频域传递函数对比
提取各工况中桥墩顶部节点的位移传递函数、底部节点的剪力和弯矩传递函数。
图3为工况H=80 m、L=0.2时各方法所得相应传递函数。通过图3可看出，不同方法的结果的差异集中在共振峰附近，尤其是1阶、2阶共振峰，体现在共振峰幅值和共振频率的差异。
因此，提取各工况在上述传递函数的 1阶、2阶共振峰幅值和共振频率。将精确法所得结果作为标准，求得3种简化方法的位移、剪力和弯矩共振峰幅值的相对误差和共振周期的相对误差。其中不同传递函数得到的共振频率是一致的，因此共振周期的相对误差也是相同的。相对误差
(其中X=U、F、M 或 T，分别代表位移、剪力、弯矩和周期；n=1或2，分别代表1阶和2阶)定义为：(简化法值-精确法值)/精确法值×100%。由上式定义的误差有正负之分，误差值的绝对值越大，计算精度越低；误差值为负时说明该方法的结果相对精确法结果偏小。
图3 工况H=80 m、L=0.2各方法的频域传递函数曲线
Fig.3 The frequency domain transfer function of each method in case H=80 m , L=0.2
4.2 共振周期的误差
84种尺寸的桥墩工况下刚性柱法、基频近似法和莫里森法的1阶、2阶的共振周期误差分别如图4、图5和图6所示。各方法的误差范围和极差统计于表2。
刚性柱法的误差在 3%内变化，均为正值。宽深比小于0.25时，误差随宽深比、水深的变化均有小幅波动。宽深比较大时，误差基本稳定。
基频近似法的误差在±3%内变化，且1阶误差多为正，2阶误差多为负。随着宽深比增大，误差趋于稳定；误差在宽深比等于0.25时较小，在宽深比等于0.05或0.7时较大。随着水深的增大，误差先减小后稳定，水深20 m时误差较大。莫里森法的1阶、2阶误差分别在9%、6%内变化，误差值均为正值。随着宽深比增大，误差不断增大但增速减缓，宽深比等于0.05时误差最小。随着水深的增大，误差仅在宽深比较小(小于0.2)时有一定程度的波动，其中水深120 m时误差最小。
图4 刚性柱法的共振周期误差(实线柱：正值误差；虚线柱：负值误差)
Fig.4 The resonant period errors of the rigid-structure method(solid-line columns: positive errors; dashed-line columns: negative errors)
图5 基频近似法的共振周期误差(实线柱：正值误差；虚线柱：负值误差)
Fig.5 The resonant period errors of a method based on approximation of fundamental-frequency(solid-line columns: positive errors; dashed-line columns: negative errors)
图6 莫里森法的共振周期误差(实线柱：正值误差；虚线柱：负值误差)
Fig.6 The resonant period errors of Morison method(solid-line columns: positive errors; dashed-line columns: negative errors)
刚性柱法和莫里森方法的周期误差均为正，表明Mrw和MM对结构1阶、2阶振动的质量贡献大于Mw的贡献。
在每种工况下比较各方法误差绝对值的相对大小，所得最小值对应的方法见图7，每种方法在图7中所占比例见表2。刚性柱法在1阶72%、2阶2%的工况中值最小，1阶时主要分布在宽深比大于0.35的工况，2阶时仅分布在宽深比小于0.1且水深等于20 m的工况。基频近似法在1阶27%、2阶98%的工况中值最小，1阶时该方法分布于宽深比小于0.4且水深大于20 m的大部分工况。莫里森法仅分布在1阶的个别工况。
4.3 位移共振峰的幅值误差
刚性柱法、基频近似法和莫里森法的 1阶、2阶位移共振峰幅值误差分别如图8、图9和图10所示，各方法的误差范围和极差统计于表2。
刚性柱法的前两阶误差均在±2%内变化，且基本是负值误差。
基频近似法的1阶、2阶误差分别在±4%、±12%内变化且几乎均为负。随着宽深比的增大，误差绝对值先增大后减小并趋于稳定。宽深比等于0.05时误差绝对值最小，宽深比在0.4附近误差绝对值较大。对水深变化而言，误差绝对值随着水深的增加先增大后减小并趋于稳定(除宽深比等于0.05时)，水深20 m时误差最小。
莫里森法的误差在±6%内变化。1阶误差基本为正值，各水深条件下，误差均随宽深比的增大呈线性增大的趋势。2阶误差基本为负值，误差绝对值随着宽深比的增大，先增大后减小。宽深比在0.05时1、2阶误差均较小，宽深比等于0.3和0.7时误差较大。
在每种工况下比较各方法误差绝对值的相对大小，所得最小值对应的方法如图11所示，每种方法在图中出现次数占总工况数的比例统计于表2。刚性柱法的占比在93%~95%。莫里森法的占比在4%~7%，1阶时出现在宽深比等于0.5且水深等于20 m~60 m的工况，2阶时出现在宽深比大于0.65的工况。基频近似法仅出现在1阶时水深为20 m且宽深比为0.1的工况。
图7 绝对最小共振周期误差对应的方法
Fig.7 Method corresponding to absolute minimum resonance period error
表2 各方法的误差范围、极差和各方法在绝对误差最小值分布图中所占比例
Table 2 The scope and range of the error, and the proportion of each method in the distribution of absolute minimum error
方法类型 刚性柱法 基频近似法 莫里森法images/BZ_68_1098_2593_1111_2648.png范围 极差 最小值比例/(%)images/BZ_68_1091_2650_1118_2704.png范围 极差 最小值比例/(%)范围 极差 最小值比例/(%)1阶 0~2.9 2.9 72 _1.8~2.4 4.2 27 0~8.9 8.9 1周期 2阶 1.2~1.9 0.7 2 _0.9~2.5 3.4 98 1.6~5.7 4.1 0位移 1阶 _1.1~1.0 2.1 95 _3.4~0.8 4.2 1 _2.0~5.4 7.4 4 2阶 _1.0~1.1 2.1 93 _11.1~_2.7 8.4 0 _4.9~0.5 5.4 7剪力 1阶 _1.4~3.0 4.4 93 _7.1~3.9 11.0 2 0.8~20.4 19.6 5 2阶 0.6~2.8 2.2 93 _10.2~3.6 13.8 2 2.0~15.2 13.2 5 1阶 _0.2~3.4 3.6 86 _5.3~5.1 10.4 11 1.1~23.8 22.7 3弯矩 2阶 2.3~4.4 2.1 61 _6.6~4.9 11.5 37 2.8~24.0 21.2 2
图8 刚性柱法的位移共振峰幅值误差(实线柱：正值误差；虚线柱：负值误差)
Fig.8 Errors of amplitude of the first and second order resonant peaks of displacement for rigid-structure method(solid-line columns: positive errors; dashed-line columns: negative errors)
图9 基频近似法的位移共振峰幅值误差(实线柱：正值误差；虚线柱：负值误差)
Fig.9 Errors of amplitude of the first and second order resonant peaks of displacement for method based on approximation of fundamental-frequency(solid-line columns: positive errors; dashed-line columns: negative errors)
图10 莫里森法的位移共振峰幅值误差(实线柱：正值误差；虚线柱：负值误差)
Fig.10 Errors of amplitude of the first and second order resonant peaks of displacement for Morison method(solid-line columns: positive errors; dashed-line columns: negative errors)
图11 绝对最小位移共振峰幅值误差对应的方法
Fig.11 Methods corresponding to absolute minimum error of amplitude of resonant peaks of displacement
4.4 剪力共振峰的幅值误差
刚性柱法、基频近似法和莫里森法的剪力共振峰幅值误差分别如图12、图13和图14所示，相应误差范围统计于表2。与位移误差相比，各方法的误差范围和变化趋势都有一定程度改变，其中基频近似法的差异相对较小。
刚性柱法的剪力误差在±3%内变化。随着宽深比的增大，各水深下的1阶误差由正变负，误差绝对值先减小后增大并趋于稳定；2阶误差均为正，误差先减小后增大并趋于稳定。
基频近似法的 1、2阶误差几乎均为负，分别在±8%、±11%内变化。随着宽深比增大，误差绝对值先增大后减小(除水深20 m时)，宽深比等于0.05时误差绝对值较小，宽深比在0.3附近时误差绝对值较大。随着水深增大，误差绝对值先增大后稳定(除宽深比等于0.05时)，水深20 m时误差最小。
莫里森法的1、2阶误差均为正，分别在21%、16%内变化。各水深条件下，误差均随着宽深比增大呈线性增大的趋势。结合误差随水深变化的规律，宽深比等于0.05、水深等于120 m时误差最小。
各工况误差绝对值最小时对应的方法如图15所示，每种方法在图中所占比例见表2。从图15可以发现，1阶误差和2阶误差的方法分布相同。其中，刚性柱法的占比为93%。莫里森法的占比为5%，并分布在宽深比为0.05且水深为60 m~120 m的工况。基频近似法的占比仅为2%。
4.5 弯矩共振峰的幅值误差
刚性柱法、基频近似法和莫里森法的弯矩共振峰幅值误差分别如图16、图17和图18所示，误差范围统计于表2。与位移、剪力误差相比，各方法的误差区间和变化趋势均有一定差异。
刚性柱法的误差在±5%内变化，且误差值基本为正。随宽深比增大，1阶误差不断减小并趋于零，2阶误差先减小后增大。
基频近似法的误差在±7%内变化，且误差几乎都是负值。随着宽深比增大(除水深20 m时)，误差绝对值先增大后减小。宽深比等于0.05或0.7时，误差绝对值相对较小，宽深比在0.2附近时误差绝对值较大。随着水深增大(除宽深比等于0.05和0.7时)，误差绝对值先增大后趋于稳定，水深20 m时误差最小。
图12 刚性柱法的剪力共振峰幅值误差(实线柱：正值误差；虚线柱：负值误差)
Fig.12 Errors of amplitude of the first and second order resonant peaks of shear force for rigid-structure method(solid-line columns: positive errors; dashed-line columns: negative errors)
图13 基频近似法的剪力共振峰幅值误差(实线柱：正值误差；虚线柱：负值误差)
Fig.13 Errors of amplitude of the first and second order resonant peaks of shear force for method based on approximation of fundamental-frequency(solid-line columns: positive errors; dashed-line columns: negative errors)
图14 莫里森法的剪力共振峰幅值误差(实线柱：正值误差；虚线柱：负值误差)
Fig.14 Errors of amplitude of the first and second order resonant peaks of shear force for Morison method(solid-line columns: positive errors; dashed-line columns: negative errors)
图15 绝对最小剪力共振峰幅值误差对应的方法
Fig.15 Methods corresponding to absolute minimum error of amplitude of resonant peaks of shear force
图16 刚性柱法的弯矩共振峰幅值误差(实线柱：正值误差；虚线柱：负值误差)
Fig.16 Errors of amplitude of the first and second order resonant peaks of bending moment for rigid-structure method(solid-line columns: positive errors; dashed-line columns: negative errors)
莫里森法误差在 24%内变化，且误差均为正值。1阶、2阶误差均随着宽深比增大呈线性增大的趋势，即宽深比越大，误差越大。结合误差随水深变化的规律，宽深比等于0.05、水深等于120 m时误差最小。
各工况误差绝对值最小时对应的方法如图19所示，每种方法在图中所占比例见表2。刚性柱法在1阶86%、2阶61%的工况中值最小。基频近似法在1阶11%、2阶37%的工况中最小。莫里森法在1阶3%、2阶2%的工况中最小，分布在宽深比为0.05且水深大于80 m的工况。
图17 基频近似法的弯矩共振峰幅值误差(实线柱：正值误差；虚线柱：负值误差)
Fig.17 Errors of amplitude of the first and second order resonant peaks of bending moment for rigid-structure method(solid-line columns: positive errors; dashed-line columns: negative errors)
图18 莫里森法的弯矩共振峰幅值误差(实线柱：正值误差；虚线柱：负值误差)
Fig.18 Errors of amplitude of the first and second order resonant peaks of bending moment for Morison method(solid-line columns: positive errors; dashed-line columns: negative errors)
图19 绝对最小弯矩共振峰幅值误差对应的方法
Fig.19 Methods corresponding to absolute minimum error of amplitude of resonant peaks of bending moment
4.6 误差综合分析
结合位移、剪力、弯矩共振峰幅值误差和共振周期误差的分析，从误差绝对值的角度，刚性柱法的极限误差最小，且随着各参数变化，误差变化平缓；基频近似法的极限误差次之，随着参数变化，误差变化较平缓；莫里森法的极限误差最大，且随参数变化，误差改变剧烈。
结合各方法的简化依据可知，刚性柱法根据解析公式并作结构刚性假定得到，考虑了动水力沿高度的分布，所以各工况下误差均较小，但在小宽深比情况下，即结构相对柔的情况下，误差相对较大。
基频近似法基于桥墩真实柔性得到，因此计算共振周期时误差相对较小；但该方法计算得到的各种响应的共振峰幅值偏小，这主要是由于该方法低种响应的共振峰幅值偏小，这主要是由于该方法低估了地面刚性运动引起的动水力附加质量。此时结构的响应将被低估，因此将该方法用于结构设计时结果是偏于不安全的。
莫里森法是基于柱体存在对波浪场影响可忽略的假定得到的经验公式，出现了随宽深比增大，误差也增大的现象。且各响应的共振峰幅值和共振周期总被过大估计。此时结构的响应多将被高估，因此将该方法用于结构设计时结果将偏于保守。
通过在每种计算工况下比较各方法所得误差的绝对值后发现，在1阶共振周期计算中，刚性柱法在宽深比大于0.4的工况中有绝对优势，基频近似法在小宽深比条件下具有明显的优势；在2阶共振周期计算中，基频近似法有绝对优势。在位移和剪力计算中，刚性柱法的结果占有绝对优势，93%以上的工况中误差绝对值都是最小的;莫里森法和基频近似法仅在宽深比小于0.1的工况中有分布(除位移的2阶误差)，且莫里森法的分布多于基频近似法。弯矩误差中，基频近似法的分布增多，刚性柱法的分布相对减少，莫里森法仅分布在宽深比小且水深大的个别工况。
结合位移、剪力、弯矩共振峰幅值误差和共振周期误差的分析，与水深变化相比，各方法误差对宽深比变化更敏感。对水深变化而言，基频近似法较其余两方法更敏感。
5 结论
针对不可压缩无粘性水体，本文通过各方法所得频域传递函数的对比分析得到以下结论：
(1)所选参数范围内，从共振周期的角度，基频近似法和刚性柱法误差的变化幅度小，莫里森法误差变化区间较大；从共振幅值的角度，刚性柱法误差的变化幅度最小，基频近似法次之，莫里森法误差变化区间稍大。
(2)对比各方法所得误差的绝对值可发现，在计算各响应的共振峰幅值时，刚性柱法具有较明显的精度优势；而在共振周期计算中，基频近似法的优势更明显。
(3)与精确解所得结果相比，基频近似法所得共振峰幅值大多偏小，用于结构设计时偏于不安全；莫里森法所得共振峰幅值和周期大多偏大，用于结构设计时偏于保守。结合共振周期和峰值的计算精度，推荐使用刚性柱法。
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