铅芯橡胶支座(LRB)是目前国内外广泛研究的一种隔震装置，它集中了普通橡胶支座的柔性、铅芯较高的初始刚度和较低的屈服后刚度等优点。强震作用下LRB通过弹塑性变形延长结构周期和耗散地震能量，从而减小上部结构的地震作用[1]。其良好的隔震和耗能性能使其在房屋建筑、桥梁工程减隔震中得到了广泛应用[2]。LRB滞回耗能特性主要取决于其力学性能参数：屈服力、初始刚度和屈服后刚度。因此，确定合理的隔震支座力学参数，是提升LRB隔震桥梁减隔震性能的关键。
国内外学者针对LRB参数优化设计已开展了很多相关的研究工作。Jangid[3]研究了近场地震动作用下多层房屋结构的铅芯橡胶支座参数优化问题，发现当LRB屈服强度取值为结构总重的10%~15%时，顶层绝对加速度和支座位移达到最小。Hameed等[4]研究了LRB参数与地震动特性对隔震梁桥地震响应的影响，通过参数分析给出了隔震桥梁在初步设计时，考虑不同PGA与PGV比值的LRB力学性能参数的合理范围。文献[5]采用正交设计法对某大跨度斜拉桥的LRB进行优化设计，优化后的LRB能有效减小该桥的地震位移及内力响应。文献[6―8]以降低墩底地震力及限制支座位移为目标，研究了铁路桥梁中LRB的减隔震效果及其优化设计。然而，目前LRB参数优化研究主要集中在房屋结构、大跨度桥梁及规则桥梁等，在曲线梁桥中研究较少。已有研究表明，由于存在弯扭耦合效应，曲线梁桥的地震响应更加复杂，其LRB减隔震效果也更难实现[9-12]，故有必要开展曲线梁桥的LRB参数优化研究以有效提升其隔震效果。
为此，本文以高烈度区某三跨隔震曲线连续梁桥为对象，基于ANSYS建立了该桥的有限元模型，采用双线性隔震支座力学模型，考虑支座屈服力、初始刚度和屈服后刚度等参数的影响，对该桥进行非线性时程分析，得到该桥的关键地震响应。在此基础上，基于零阶优化算法对LRB力学性能参数进行了优化，分析结果可为强震作用下隔震曲线梁桥的隔震设计提供参考。
1 计算模型
1.1 铅芯橡胶支座力学模型
LRB是在普通叠层橡胶支座中心内置铅芯而成，通过铅芯的剪切变形来耗散能量。大量试验结果[13-14]表明，LRB的荷载-位移呈现出非线性关系，其滞回曲线如梭形，但为了计算方便，一般采用双线性模型来模拟这种滞回关系，如图1所示。其中，ku为初始刚度，kd为屈服后刚度，Fd为极限荷载，Qy为屈服力，uy为屈服位移，ud为极限位移。
图1 LRB双线性滞回模型
Fig.1 The bilinear hysteretic model of LRB
1.2 隔震曲线梁桥有限元模型
该三跨隔震曲线连续梁桥(见图2)跨径为35 m+35 m+35 m，曲率半径为200 m。主梁采用现浇预应力混凝土箱梁，其截面为单箱双室，混凝土等级为C50。桥墩采用圆形双柱墩，墩高6.4 m，直径为1.6 m，其混凝土等级为C35。主梁截面、桥墩立面尺寸见图2(a)、图2(b)。中墩、边墩处支座类型分别为铅芯橡胶支座、滑动支座。其中，桥墩编号为P1~P4，支座编号为B1~B4。
根据设计图纸，基于ANSYS建立了该桥的有限元模型，如图3所示。主梁和桥墩用弹性梁单元模拟，上部结构总重量W=1.65×107 N，桥墩切向刚度Kc=1.16×108 N/m。中墩铅芯橡胶支座、边墩滑动支座水平切向与径向均采用combin40单元模拟，竖向采用combin14单元模拟。隔震支座优化前力学参数如表1所示。主梁和支座之间采用刚性单元连接，桥墩底部固结，未考虑桩土相互作用。为获得上部结构沿切向、径向的最大位移，不考虑伸缩缝处相邻梁体间的碰撞影响[15]。
表1 隔震支座力学参数
Table 1 The mechanical parameters of the isolated bearings
支座类型 性能参数初始刚度Ku/(kN/mm) 17.19铅芯橡胶支座(P2和P3墩)屈服后刚度Kd/(kN/mm) 2.64屈服力Qy/kN 390屈服位移uy/mm 22.7极限位移ud/mm 642.9竖向刚度/(kN/mm) 1422滑移前刚度Ku/(kN/mm) 2.84滑动支座(P1和P4墩)滑移系数 0.03屈服位移uy/mm 14.5竖向刚度/(kN/mm) 931
图2 隔震曲线连续梁桥构造图 /m
Fig.2 The structure layout of the isolated curved girder bridge
图3 双向地震作用下三跨隔震曲线连续梁桥有限元模型
Fig.3 FEM of the three-span isolated curved girder bridge subjected to bi-directional ground motion
由设计资料可知，该桥址区的抗震设防烈度为9度，场地类别为二类。根据场地剪切波速，从PEER地震动数据库中选择三条地震波，加速度记录如表2所示。由《公路桥梁抗震设计细则》[16] 3.1.4第1条和5.1.1第4条可知，采用非线性时程分析时，应同时输入包含2个或3个方向分量的一组地震动时程，本文仅研究水平双向地震动输入的情况，未考虑竖向地震动的影响。同时根据《建筑抗震设计规范》[17]条文说明5.2.3第2条，将水平主分量、次分量的加速度峰值按1∶0.85的比例分别调整为0.4 g、0.34 g，主分量为所选地震波两加速度水平分量幅值较大者。主分量与两边墩连线方向为地震动入射角α，顺时针旋转α，对该桥进行地震反应分析得到当α=60°时，结构地震响应最大，故本文研究仅考虑α为60°的情况。
表2 地震加速度记录
Table 2 Acceleration record of earthquake
编号 地震事件 记录台站 时间 震级1# Northern Calif-03Ferndale City Hall 1954 6.5 2# Superstition Hills-02 El Centro Imp.1987 6.54 Co.Cent 3# Loma Prieta Hollister City Hall 1989 6.93
2 LRB力学参数对隔震曲线梁桥地震响应的影响
2.1 屈服力的影响
为了研究LRB屈服力对该桥地震响应的影响，Ku取0.3 Kc，Kd取0.03 Kc，对该桥进行非线性时程分析，得到Northern Calif-03地震波作用下结构关键部位地震响应峰值随标准化屈服力q的变化规律，如图4所示。其中q=Qy/W，为标准化的屈服力，取值0.01~0.045；Ut表示切向位移，Ur表示径向位移，Ft表示切向剪力，Fr代表径向剪力。由图4(a)~图4(c)可知，当q＜0.02时，隔震支座位移、墩底切向剪力随屈服力增大均显著减小；当q＞0.02时，隔震支座位移随屈服力增大缓慢减小并逐渐趋于稳定，而墩底切向剪力表现出明显增大趋势。由图4(d)可知，墩底径向剪力随屈服力的增大而增大。总体而言，当q取值在0.015~0.025时，可有效减小隔震支座位移，且墩底剪力无显著增大。
图4 Northern Calif-03地震作用下q对结构关键部位地震响应峰值的影响
Fig.4 The effect of q on seismic peak responses of the key structural parts under Northern Calif-03 earthquake
2.2 初始刚度的影响
为了分析LRB初始刚度对该桥地震响应的影响，Qy取0.02 W，Kd取0.03Kc，Ku取(0.1~0.6)Kc，对该桥进行非线性地震响应分析，得到Northern Calif-03地震波作用下结构关键部位地震响应峰值随Ku/Kc的变化规律，如图5所示。由图5(a)、图5(c)可知，支座切向位移、墩底切向剪力随着Ku/Kc的增大而逐渐减小。由图5(b)、图5(d)可知，当Ku/Kc＜0.3时，支座径向位移、墩底径向剪力随Ku/Kc的增大而显著减小；当Ku/Kc＞0.3时，支座径向位移、墩底径向剪力随Ku/Kc的增大而先增大后逐渐趋于稳定。值得注意的是，当Ku在(0.2~0.4)Kc间时，墩底剪力可取得极小值，且隔震支座位移有一定程度的减小。
图5 Northern Calif-03地震作用下Ku/Kc对结构关键部位地震响应峰值的影响
Fig.5 The effect of Ku/Kc on seismic peak responses of the key structural parts under Northern Calif-03 earthquake
2.3 屈服后刚度的影响
为了分析LRB屈服后刚度对该桥地震响应的影响，Qy取0.02W，Ku取0.3Kc，Kd取(0.006~0.06)Kc，对该桥进行非线性地震响应分析，得到Northern Calif-03地震波作用下结构关键部位地震响应峰值随Kd/Kc的变化规律，如图6所示。由图6可知，随着Kd/Kc的增大，支座切向、径向位移均逐渐减小，而墩底切向、径向剪力持续增大。值得注意的是，当Kd＞0.035Kc时，支座位移峰值随Kd/Kc的增大逐渐趋于稳定。
由以上参数分析可知，选取合理的隔震支座屈服力、初始刚度、屈服后刚度值，在有效减小支座位移的同时，也保证了桥墩墩底剪力最小。
图6 Northern Calif-03地震作用下Kd/Kc对结构关键部位地震响应峰值的影响
Fig.6 The effect of Kd/Kc on seismic peak responses of the key structural parts under Northern Calif-03 earthquake
3 LRB力学参数优化
3.1 零阶优化算法
零阶优化算法是在一定次数的抽样基础上，拟合设计变量、状态变量和目标函数的响应函数，从而寻求最优解，故又称其为子问题方法。函数曲线的形式可采用线性拟合、平方拟合或平方交叉项拟合。对于含设计变量和状态变量的约束问题，可采用罚函数将其转化为无约束的最小值求解问题[18]。
该方法是建立在目标函数及状态变量近似的基础上，若采用平方交叉项拟合，则目标函数的拟合公式为：
式中：xi、xj为设计变量；a0、ai、bij为拟合系数，拟合系数随迭代过程而变，由加权最小二乘法确定。
利用罚函数将上述有约束问题的目标函数转化为无约束问题的目标函数[17]，其拟合公式为：
式中：xi为设计变量；gi、hi、wi为状态变量；X、G、H、W为对应的罚函数；f0为目标函数参考值；pk为响应面参数；无约束目标F(X，pk)为响应面函数，随设计变量X及响应面参数pk而变化。
3.2 基于ANSYS的LRB力学参数优化
基于零阶优化算法，对隔震支座参数进行优化设计。优化过程中，隔震支座屈服力Qy、初始刚度Ku、屈服后刚度Kd均为设计变量，其取值范围如式(3)所示：
式中：上标u、l代表上下限。依据隔震支座力学参数分析结果，取
代表容差，其中，ρ1=103、ρ2=2×105、ρ3=1×105。设计变量初始值取为Qy=3.3×105 N，Ku=3.48×107 N/m，Kd=3.48×106 N/m。
将支座位移作为含有约束条件的状态变量，以墩底切向剪力之和为目标函数fob，如式(4)所示。
式中：Fi代表单墩墩底切向剪力；Uit代表支座切向位移；Uir代表径向位移；ρi代表容差，其中，ρ4=1×10-3、ρ5=1×10-3。
以结构地震响应最大的Northern Calif-03地震波为例，开展隔震支座参数优化分析。图7为曲线连续梁桥关键部位地震响应峰值的迭代过程，整个优化过程的迭代次数为11次，得到隔震支座参数优化结果如表3所示。表3所示的优化参数值均位于第2节隔震支座参数分析后的合理取值范围内。
表3 LRB的优化参数值
Table 3 The optimized parameter values of LRB
地震波 初始刚度/(MN/m) 屈服后刚度/(MN/m)屈服力/kN Northern Calif-0357.6 2.43 359
图7 结构关键部位位移和剪力迭代过程
Fig.7 The iterative process of the displacement and shear in the key structural parts
表4为隔震支座参数优化前后支座峰值位移优化效果对比。由表4可知，隔震支座力学参数优化后，支座切向、径向位移减幅分别达到44%、50%以上。
表5为隔震支座参数优化前后墩底峰值剪力优化效果对比。由表5可知，隔震支座力学参数优化后，中墩墩底切向剪力减幅达到36%以上，中墩墩底径向剪力减震效果一般；边墩墩底切向、径向剪力明显增大，边墩P4切向剪力增幅达151.7%，且边墩P1墩底径向剪力增幅达150.1%。值得注意的是，中墩、边墩墩底剪力差值均明显减小，优化前中墩与边墩剪力最大差值为956 kN，优化后最大差值仅为259 kN，中墩与边墩墩底剪力更趋均衡。
总体而言，隔震支座参数优化后，隔震曲线梁桥的支座位移得到了有效控制，中墩与边墩墩底剪力差值均明显减小，各墩墩底受力更为均衡合理。
表4 支座峰值位移
Table 4 The peak displacement of the bearings
注：η=100%×(优化前-优化后)/优化前。
支座号位移/m U1t U2t U3t U4t F1r F2r F3r F4r优化前 0.36 0.37 0.37 0.38 0.19 0.18 0.17 0.17优化后 0.20 0.20 0.20 0.19 0.09 0.09 0.08 0.06 η/(%) 44.4 45.9 45.9 50.0 52.6 50 52.9 64.7
表5 桥墩墩底峰值剪力
Table 5 The peak pier base shear
注：η=100%×(优化前-优化后)/优化前。
桥墩号墩底剪力/kN F1t F2t F3t F4t F1r F2r F3r F4r 目标函数优化前 484 1331 1385 429 335 695 776 417 3628优化后 901 821 878 1080 838 629 672 832 3680 η/(%) -86.2 38.3 36.6 -151.7 -150.1 9.5 13.4 -99.5 -1.4
4 结论
本文以某三跨隔震曲线连续梁桥为对象，进行了隔震支座力学参数优化分析，得到以下结论：
(1) Qy对隔震曲线梁桥地震响应具有显著影响。当Qy在0.015 W~0.025 W，可有效减小隔震支座峰值位移，且墩底剪力无显著增大。
(2) Ku对隔震曲线梁桥地震响应有一定影响。当Ku在(0.2~0.4)Kc间，墩底剪力、支座位移均有一定程度的减小。
(3) Kd对隔震曲线梁桥地震响应具有较为显著的影响。当屈服后刚度Kd＞0.035 Kc时，支座位移峰值随Kd/Kc的增大逐渐趋于稳定，而墩底剪力持续增大。
(4) 优化结果表明，当Qy取0.022 W，Ku取0.489 Kc，且Kd取0.021 Kc时，可使结构地震响应更趋合理。其中，支座位移最大减幅达到50%，且中墩和边墩墩底剪力差值显著缩小，各墩受力更为均衡。
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