模态参数识别是桥梁健康监测[1－2]的重要组成部分，准确地识别模态参数是进行有限元模型修正、结构损伤识别以及状态性能评定的基础。由于不需要昂贵的外部激励设备，不影响正常交通，环境激励下的桥梁模态参数识别[3]已经广泛地被工程及科研人员采用，其识别技术主要分为频域法、时域法和时频法等。其中，频域法主要有峰值拾取法、频域分解法、最小二乘复频域法、传递比方法[4－5]，时域法主要有特征系统实现算法及随机子空间法等。
需要指出的是，这类传统方法均未考虑不确定性因素对识别结果产生的影响或不具备量化不确定性的能力。然而在实际模态参数识别问题中，不确定性广泛存在，主要包括测试误差、建模误差、数值离散化以及环境变异等。当不确定性因素影响较大，结构响应的真实信息可能会被淹没或掩盖[6]，因此有必要在模态参数识别过程中考虑不确定性的影响。近年来，基于概率统计分析原理的贝叶斯理论在结构模态参数识别领域受到了广泛地关注[7－8]。在Beck和Katafygiotis[9－10]建立贝叶斯系统识别框架后，Katafygiotis和Yuen[11－13]对贝叶斯模态参数识别的理论进行了深入的研究，并提出了代表性的贝叶斯时域方法、贝叶斯FFT方法和贝叶斯功率谱方法(BSDA)。贝叶斯方法将模态参数识别转化为优化问题，从而识别出频率、阻尼比、振型等模态参数的最优值并量化它们的不确定性，理论推导严格。与传统方法相比，这类方法还能够识别模态激励和预测误差的功率谱。
与贝叶斯时域方法相比，贝叶斯FFT方法和BSDA仅利用了所选频带中的数据信息，更具有应用前景。然而，在优化目标函数过程中，由于其涉及的计算量随着测点数目的增长而迅速增长，同时对矩阵求逆时可能会遇到病态问题，因而难以用于解决实际工程问题。为了提高贝叶斯FFT方法的计算效率和收敛的稳定性，Au[14－16]通过分析贝叶斯FFT方法目标函数的数学结构，在数值优化的基础上结合矩阵理论，提出了快速贝叶斯FFT方法(BFFTA)，明显地降低了贝叶斯FFT方法在优化目标函数和计算协方差矩阵时的难度。同时，Au还推导出了模态参数的后验协方差矩阵解析表达式，基于此能够快速计算出协方差矩阵，不需要有限差分。目前该方法已经在大型结构中得到应用[17－18]。
为了弥补BSDA在实际桥梁工程应用中存在的计算效率低、稳定性差等不足，文献[19―20]通过对自功率谱和互功率谱的统计特性进行分析，证明了自功率谱之和的概率密度函数与振型无关，据此可以实现振型参数与其它参数(频率、阻尼比、模态激励和预测误差等)的分离。基于此变量分离原理，可以实现模态参数的两阶段快速识别。该方法有效地提高了传统BSDA方法的计算效率和稳定性。
需要指出，两阶段快速贝叶斯参数识别方法仅得到了采用数值模拟和简单的3层框架模型动力测试数据的验证，该方法在实际桥梁结构模态参数识别应用中的可行性及优越性尚未得到有效的验证，其识别效果也尚未与经典的方法进行对比。此外，实际结构应用中，频带宽度等参数对识别结果的影响也没有经过验证和分析。正是基于这样的考虑，本文基于西宁北川河桥环境激励振动测试数据，对该方法的有效性和准确性进行了验证，通过功率谱迹的统计特性识别出了频率、阻尼比、模态激励和预测误差等参数的最优值和不确定性，然后基于功率谱矩阵的统计特性识别了振型的最优值和不确定性，并引入Au[21]定义的模态置信准则(MAC)概率指标整体评估了最优振型的后验不确定性。论文将本文方法识别结果与贝叶斯FFT方法、随机子空间方法和频域分解法进行了对比。实桥模态分析表明，该方法解决了传统贝叶斯功率谱方法进行模态参数不确定性量化存在计算耗时及矩阵病态等问题，且能够量化模态参数识别的不确定性。最后，论文对频带宽度进行了分析，研究了频率、阻尼比等参数的不确定性随不同频率带宽的变化规律。
1 基于BSDA[12]的模态参数识别
1.1 BSDA理论基础
假设在环境激励下离散为nd个自由度的线性系统，可以同时对其中no(≤nd)个测点测得ns组独立同分布的加速度响应信号，采样时间间隔为tΔ。在第
个采样时间点ntΔ处，对第
组实测响应
建模可得：
式中：
是第j组模型响应，同时也是待识别模态参数λ的函数；
是第j组预测误差，假定为零均值高斯白噪声。
均为no维向量，并且
不相关。将
的功率谱矩阵定义为：
式中：
表示
在频率fk处的FFT变换系数，当N→∞时，随机向量
服从零均值复高斯分布[22]。全文中括号或变量下标中的符号‘k’表示频率点fk，其中fk=kfΔ，fΔ表示频率分辨率；*表示复向量共轭转置。对于采样频率较高以及采样时间足够长的数据，假设在指定频带内
的协方差矩阵
等于实测响应功率谱的均值，即等于模型响应功率谱均值与预测误差功率谱均值的和，进一步可表示为[14]：
式中：Λk表示理论模态响应的功率谱矩阵；ψ表示该频带内包含的振型矩阵；sμ表示预测误差的功率谱；Ino表示no阶单位矩阵。λ为指定频带上待识别的全部模态参数，可表示为：
式中：fm和ςm分别表示第m阶频率和阻尼比；Sf,mm′表示模态激励矩阵中第m行第m′列对应的元素；nm表示待识别模态参数的阶数；ψ(m)表示第m阶模态振型。未知参数的数目总和为
假定ns组离散FFT系数
互相独立且服从同一复高斯分布[22]，则其功率谱矩阵之和可表示为：
式中，
服从维数为no及自由度为ns的中心复Wishart分布[23]。λ的负对数似然函数为：
式中：tr(⋅)和
分别表示矩阵的迹和行列式；k1和k2分别表示所选频带的左右边界点。基于贝叶斯定理，在无信息先验分布的假设下，λ的后验概率密度函数与其似然函数成正比，因而可将LBSDA(λ)作为目标函数，将其进行最小化即可求得模态参数的最优值；同时，可利用LBSDA(λ)在最优值
处Hessian矩阵的逆来量化λ不确定性。
1.2 BSDA的不足
BSDA能够考虑多源不确定性的影响，并给出了量化不确定性的严格数学证明，然而其实际应用仍受到以下问题的制约：
1)在最小化LBSDA(λ)求解λ的最优值时，其涉及的计算量随着测点数no的增长而增长。每一次优化迭代求解LBSDA(λ)的过程，需要计算
的行列式和逆，因此，计算量随着频带宽度的增长而增加；此外，对于不同的λ需要重新计算Ck(λ)的行列式和逆。
2)在量化最优参数的不确定性时，需要计算np×np维Hessian矩阵的逆，当测点数很大时，计算量和对运算存储空间的需求显著增加。
3)当测量信噪比较高时，由于预测误差较小，协方差矩阵
近似等于
因而
近似奇异，可能导致问题求解病态。
2 贝叶斯模态参数识别的变量分离原理
2.1 基本假定
变量分离原理成立需要的基本假定主要包括：
1)在指定的频带内只包含1阶分离模态，因此该频带内包含的模态参数为：频率f、阻尼比ς、模态激励的功率谱Sf和预测误差的功率谱sμ，以及振型
2)所选定的Sf在指定频带内为白噪声；
3)不同测点的响应预测误差服从独立同分布，其协方差矩阵为
2.2 功率谱迹的概率密度函数
在指定频带上的共振频率附近的各频率点处，协方差矩阵Ck(λ)可表示为[14]：
式中，
其中
且
表示理论模态响应功率谱。当ns很大时，
渐近服从标准正态分布[24]，则
的概率密度函数可表示为：
由式(8)可知，
的均值和方差分别为
假设ψTψ=1，可得：
由式(8)～式(10)可得
的概率密度函数仅与频率、阻尼比等参数有关，与振型无关，据此可实现振型与其它参数的分离。
3 基于变量分离原理的两阶段快速贝叶斯参数识别求解过程
3.1 第1阶段：FBSTA求频率、阻尼比等参数的最优值及不确定性
3.1.1 目标函数
在频带
功率谱迹的集合为
当N→∞且k≠k′时，
渐近独立[22]，
渐近独立。依据贝叶斯定理，λ的后验概率密度函数为：
式中：co是归一化常数；p(λ)为先验概率密度函数，服从无信息先验分布。由式(11)可知，后验概率密度函数正比于似然函数
则λ的似然函数的负对数形式可作为目标函数[19]：
将式(9)和式(10)代入式(12)，化简可得：
式中，λ为待识别模态参数
3.1.2 频率、阻尼比等参数的最优值
频率、阻尼比等参数
的最优值可通过无约束优化LFBSTA(λ)求得。其中，f的初始值可设定为功率谱的峰值，ς的初始值可假定为0.01左右。在共振频率点处，功率谱矩阵Sy,j(k0)的最大特征值近似等于Sf/4ς2[14]，所以Sf的初始值可设为4ς2乘以Sy,j(k0)的最大特征值，此处k0表示fk所取的频率初始值。对于sμ的初始值选取，可参考文献[19]。
3.1.3 频率、阻尼比等参数的后验不确定性
当响应数据量足够大，LFBSTA(λspe)在λspe的最优值
处的2阶泰勒展开可近似为高斯概率密度函数的负对数形式，从而λspe的后验概率密度函数可近似为高斯概率密度函数，那么包含
在
处2阶导数的Hessian矩阵
可表示为：
矩阵中每个元素的值可用解析法求得[19]，具体参见本文附录 1。频率、阻尼比等参数最优值的后验协方差矩阵
等于
在
处的 Hessian矩阵的逆，即:
3.2 第2阶段：FBSDA求振型的最优值及不确定性
3.2.1 目标函数
在数值优化式(6)求解振型过程中，为了解决矩阵
的病态问题，本文由文献[25]可得：
将式(16)和式(17)代入式(6)得[19]：
式中：
式中：nf表示指定频带内的频率点数，故而
在式(18)中，LFBSDA(λ)仅与ψ的二次项有关，因此，求解振型的目标函数为：
其中：
3.2.2 振型的最优值
将第1阶段识别得到的频率、阻尼比等参数f、ς、Sf及sμ最优值代入目标函数式(20)，并对Ξ进行奇异值分解，得到对应Ξ的最大特征值的特征向量[26]，即振型ψ，继而求出归一化的振型最优值
3.2.3 振型的后验不确定性
令
表示
的Hessian矩阵，可通过
处的2阶导数的解析表达式求得
具体参见本文附录 2。设
为升序排列的
的特征值，其中
为相应的特征向量，则后验协方差矩阵
可表示为[14]：
令
矩阵按升序排列后的特征值，所对应的特征向量为
显然有
则
可表达为：
为了整体评估最优振型参数的后验不确定性，引入Au[21]定义的模态置信准则(MAC)概率指标：
当1-E(ρ)的值越接近0时，说明最优振型后验不确定性越小。
3.3 两阶段快速贝叶斯参数识别法操作流程
在实际应用中，以频率初始值(功率谱峰值点)为中心选取频带，范围为
此处f0和ς0分别表示频率和阻尼比的初始值，κ表示频带宽度，详见文献[27]。由于频率初始值的左右两侧所选频率点数各为
可计算得
基于变量分离原理的贝叶斯模态参数识别求解过程如图1所示。
4 环境激励下桥梁工程应用
为了评估基于变量分离原理的两阶段快速贝叶斯参数识别法的可行性，将该方法运用到一钢管混凝土系杆拱桥中。通过对该桥在环境激励下的竖向加速度响应数据进行分析处理，分两阶段识别其模态参数的最优值；以后验变异系数(c.o.v)来评估频率、阻尼比等参数的不确定性，以1-E(ρ)评估振型的不确定性。
西宁北川河桥是一座中承式钢管混凝土系杆拱桥，位于西宁至湟源一级公路中祁连路高架桥上，其净跨为90 m，桥两侧对称布置各16根吊杆，如图2所示。环境振动试验由福州大学土木建筑工程学院在2002年6月完成，整个测试过程共分4个测试组，每组收集8个移动测点以及1个固定参考测点的加速度响应数据，该参考测点位于桥面起始处，具体测点布置参见图2，测点分组情况详见表1。现场实测采样频率为 80 Hz，每组采样时长15 min，关于该桥的结构与试验详情可参阅文献[28]。
图1 两阶段贝叶斯参数识别方法流程图
Fig.1 Flowchart of the two-stage fast Bayesian operational modal analysis
图2 西宁北川河桥照片及测点布置图
Fig.2 Side view of the Bei-chuan River Bridge and details of measurement points
表1 各测组信息
Table 1 The information of all setups
图3 第2测组参考测点加速度时程图及测组功率谱图
Fig.3 Acceleration record chart of reference location and Power Spectral Density chart
图3给出了第2测组参考测点的加速度响应时程图及相应测组功率谱图。采用两阶段贝叶斯功率谱方法识别模态参数时需要先选取频带。本文采用文献[14,27]中的方法，首先将功率谱图中功率谱曲线峰值对应频率点作为各阶频率初始值，然后选取峰值处两侧某个范围作为频带。如图3(b)所示，本文选取各阶频率初始值 f0分别为 2.012 Hz、2.519 Hz、3.457 Hz、4.628 Hz，将各阶频带宽度设为κ=2，此外，选取各阶模态初始阻尼比ς0分别为 0.008、0.024、0.012、0.013。由频带范围
表达式可得各阶模态频带范围分别为[1.980 Hz,2.044 Hz]、[2.398 Hz,2.640 Hz]、[3.374 Hz,3.540 Hz]、[4.508 Hz,4.748 Hz]。基于FBSTA和BFFTA的西宁北川河桥前4阶竖向频率、阻尼比等参数的识别结果如表2所示。在κ=2时，两种方法识别的各阶频率和阻尼比的最优值基本一致，表明 FBSTA对频率及阻尼比的识别具有较高的精度；两种方法识别的阻尼比最优值均小于2.5%。另外，两种方法识别的频率c.o.v均小于1%，识别的
的c.o.v均大于8%，表明频率不确定性较小，阻尼比和模态激励功率谱不确定性较大。
表2 频率、阻尼比等参数的识别结果对比
Table 2 Comparison of modal parameters except mode shapes from different methods
注：识别结果基于第2测组。
基于FBSTA和BFFTA的前4阶竖向频率、阻尼比等参数的c.o.v随频带宽度变化趋势如图4所示。在图4中，实线和虚线分别表示基于FBSTA和BFFTA识别的频率、阻尼比等参数的c.o.v随频带宽度的变化曲线，其中每行图纵坐标和每列图横坐标含义分别列于图的最左侧和最下方。由图4可知，两种方法识别得到的
的c.o.v随着频带宽度增加而下降[29]，表明频带宽度愈大，识别的
不确定性愈小。另外，与BFFTA相比，基于FBSTA识别的
的c.o.v均较小。其中可以发现，基于FBSTA识别的f2和基于BFFTA识别的f3的c.o.v在尾端略微抬升，主要原因为频带愈宽，模态激励和预测误差的平谱假设条件就可能越不满足，建模误差就越大[29]。关于两阶段快速贝叶斯参数识别方法不确定性传播机理的研究，读者可参见文献[30]。
由表2及图4可知，与BFFTA相比，基于FBSTA识别的
的最优值及c.o.v均较大。正如文献[31]所分析，为了实现变量分离，FBSTA采用的是自功率谱信息，而忽略了互功率谱信息。由于FBSTA与BFFTA采用的信息不同，使得二者识别结果不同，符合实际。总体而言，除了预测误差功率谱的识别结果相差较大外，频率、阻尼比和模态激励功率谱的识别结果差别较小。
图4 频率f、阻尼比ς、模态激励功率谱Sf以及预测误差功率谱sμ的c.o.v随频带宽度变化趋势
Fig.4 Effect of bandwidth factor on posterior c.o.v of modal parameters except mode shapes
将第1阶段FBSTA识别的频率、阻尼比等参数的最优值代入第2阶段FBSDA中的目标函数，求得西宁北川河桥的前4阶竖向振型，如图5所示。另外，将第2阶段FBSDA识别的振型与BFFTA的识别结果进行对比，并将模态置信准则值(MAC)列于表3第2列，结果表明，两种方法识别的各阶振型基本一致。此外，基于FBSDA识别的各测组整体振型不确定性可用1-E(ρ)指标评估，评估结果如表4所示，表明基于FBSDA识别的各测组振型的不确定性均较小。
图5 北川河桥基于FBSDA识别的前4阶竖向振型图
Fig.5 First four identified vertical mode shapes of Bei-chuan River Bridge from FBSDA
表3 FBSDA与其他方法识别的振型比较
Table 3 Comparison of mode shapes from different methods
表4 各测组整体振型的不确定性评估
Table 4 The uncertainty evaluation on mode shapes of different setups
将第1阶段FBSTA识别的频率和阻尼比同随机子空间方法(SSI)和频域分解法(FDD)[32]的识别结果进行对比，并列于表5。如表5所示，除SSI识别的第4阶频率与其他两种方法相差稍大外，其余各阶频率基本一致，并且FBSTA和SSI识别的阻尼比也基本一致。将第2阶段FBSDA识别的振型同SSI和FDD的识别结果分别进行对比，并将MAC值列于表3后两列。由表3结果可知，FBSDA与SSI和FDD识别的振型均基本一致。
表5 频率、阻尼比的识别结果对比
Table 5 Comparison of natural frequencies and damping ratios from different methods
5 结论
本文通过对自功率谱和互功率谱的统计特性进行分析，提炼了贝叶斯参数识别的变量分离原理；基于此变量分离原理，通过一钢管混凝土拱桥环境振动测试试验数据，运用两阶段快速贝叶斯参数识别法，识别了该结构的频率、阻尼比、振型等模态参数，可以解决BSDA用于大型桥梁的困难。研究所得结论主要包括：
(1)FBSTA仅对自功率谱求和而不考虑功率谱矩阵，不仅易于实现，并且在优化目标函数时也不涉及矩阵的运算，减少了对计算机存储空间的需求；FBSDA利用矩阵行列式和矩阵求逆法获得的解析表达式，能够很好地解决矩阵病态问题。
(2)本文仅针对所选频带内仅包含单个模态的情况进行了研究，而对于很多大型柔性工程结构，模态密集情形比较常见，因而对于密集模态的变量分离原理也值得后续研究。
(3)通过将基于两阶段快速贝叶斯参数识别法与BFFTA、随机子空间法和频域分解法的识别结果对比，表明了两阶段快速贝叶斯参数识别法具有较高的精度。
(4)基于FBSTA和BFFTA识别的频率、阻尼比和模态激励功率谱的 c.o.v随频带宽度增大而呈减小的趋势，说明频带宽度越大，数据信息就越完备，识别结果的不确定性就越小，除了预测误差功率谱识别结果相差较大外，基于FBSTA和BFFTA识别的频率、阻尼比和模态激励功率谱结果差别较小。
(5)对于大型桥梁，通常频率、阻尼比等参数的信息比振型更受关注，所以当仅识别频率、阻尼等参数时，该方法操作更简单；并且识别得到的低阶频率的最优值及不确定性也可用于后续随机模型修正及损伤识别等方向，以进一步探究不确定性传播机理。
附录1：LFBSTA对f,ς,sf和sμ的导数[19]
负对数似然函数LFBSTA可表示为：
式中：
为表述方便，令x或y表示f,ς,Sf或sμ，并可得LFBSTA的1阶导数为：
并且，可得LFBSTA的2阶导数为：
L1,k和L2,k除对sμ的导数外，L1,k和L2,k对x或y的导数为：
L1,k和L2,k对sμ的导数为：
除sμ外，
对x的导数为：
Λk对f,ς或Sf的导数：
附录2：LFBSDA对ψ的导数
求LFBSDA对ψ的导数时，需要考虑振型的归一化条件，即ψTψ=1，则LFBSDA可修正为：
LFBSDA的1阶导数为：
LFBSDA的2阶导数为：
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