抗连续倒塌是结构设计的重要内容之一，也是保证结构安全性的重要措施。加强结构重要构件、关键传力部位及其易损构件的安全储备，对提高结构的抗倒塌能力具有重要作用，为此，如何准确评价构件在结构中的重要性是结构抗连续倒塌设计的关键问题。构件的冗余特性是结构鲁棒性的重要组成部分[1]，反映了构件失效对结构整体性能的影响，是局部破坏情况下结构维持整体稳定性和安全性的能力体现；而构件的易损性是结构脆弱性的体现，反映的是荷载下构件发生破坏的容易性[2]。在荷载作用下，结构的易损薄弱构件将先于其他构件发生破坏，若该构件缺乏必要的冗余度特性，致使结构未能形成有效的传力路径，导致结构出现连续性破坏。因此，研究构件的易损性和冗余度对于评价构件在结构中的重要性具有重要意义。
目前许多学者对结构或构件的冗余度、易损性及其评价提出了不同的理论方法。在早期研究中Feng等[3]基于结构损伤前后的承载力采用结构极限强度、残余强度等参数提出了结构冗余度的评价方法。Shivaish等[4]提出用结构失效概率量化结构的冗余度。王光远[5]利用构件强度比、结构强度储备比等分析了结构的冗余性能。这些利用结构承载力、失效概率等参数衡量结构冗余度的方法能较好反映结构的冗余特性，但其分析过程涉及的计算理论复杂。日本钢结构协会[6]通过简化计算，将构件受力替补性或荷载重分布性定义为冗余度，并将失效后容易导致结构倒塌的构件定义为关键构件。Pandey等[7]基于结构的响应灵敏度建立了广义结构构件冗余度评价指标，将结构响应灵敏度的倒数作为结构冗余度的测度，在此基础上叶继红等[8―9]以结构的应变响应灵敏度分析了空间网壳结构的构件冗余度。Yoshihiro等[10―11]提出了强冗余度与弱冗余度的概念，并建立了结构冗余度的优化策略。黄冀卓等[12]基于构件的承载能力冗余度与构件应变能灵敏度建立了结构冗余度评价指标。徐颖等[13]提出了一种基于构件承载能力的敏感性评价指标，用于确定敏感构件和关键构件的分布规律。袁行飞等[14] 基于冗余度理论提出定量评价铰接杆系结构构件重要性的方法。文献[15―17]基于结构刚度建立了结构构件重要性的分析方法。文献[18―19]提出了基于构件内力储备的结构鲁棒性分析方法。文献[20]验证了结构的冗余特性在 RC框架结构抗连续倒塌中的作用。结构易损性是结构系统整体脆弱性的体现，Blockly等[2]基于结构拓扑形式建立了结构易损性分析理论，揭示结构本身存在的薄弱环节，文献[21―23]将该理论应用于结构的失效模式分析中，获得荷载作用下的结构易损失效模式。
本文基于结构构件的应变能对材料弹性模量的灵敏度，考虑构件失效对结构总应变能的影响，建立结构构件的冗余度及其易损性评价指标，并依据这两个指标将结构构件分成“高易损-低冗余”、“高易损-高冗余”、“低易损-低冗余”和“低易损-高冗余”四类。在此基础上通过加强“高易损-低冗余”构件、削弱“低易损-高冗余”构件，提高结构的整体性能，增强结构抵抗连续破坏的能力。
1 静力作用下的结构响应敏感性
对线弹性结构系统，静力荷载作用下的有限元平衡方程为：
式中：K(α)为结构刚度矩阵；U(α)为节点位移向量；F(α)为节点力向量；α为结构设计参数，如结构构件的截面面积、材料的弹性模量等。
设构件单元i的弹性模量为Ei，以其作为结构损伤参数时，式(1)两侧对Ei求导，并移项可得：
式中：
分别为结构的位移灵敏度和荷载灵敏度；
为结构刚度灵敏度。因荷载一般与构件材料的弹性模量无关，所以有：
结构刚度K可逆时，结构的位移响应灵敏度为：
由应变能与节点位移的关系可知构件单元j的应变能cj可表示为：
式中
分别为局部坐标系下构件单元j的刚度矩阵和其节点位移向量。
构件单元j的应变能cj对构件单元i的弹性模量Ei的导数为：
式中：
表示局部坐标系下构件单元j的节点位移对构件i的弹性模量Ei的灵敏度；sji、
表示构件 j的应变能对构件i的刚度参数Ei 的灵敏度。
当结构的构件数为ne时，灵敏度sji可用矩阵s表示如下：
式中：矩阵s的列元素反映的是该列所对应构件的刚度发生变化时对结构各构件的应变能产生的扰动；而矩阵的行元素体现的是该行所对应构件的应变能受结构各构件刚度变化的影响。
2 结构构件的冗余度评价指标
根据 Pandey等[7]提出的结构冗余度与其响应灵敏度成反比的定义，即：
考虑构件i的刚度参数Ei发生扰动时，综合其对结构各构件应变能的影响，将结构各构件的应变能对构件i刚度变化的累积灵敏度表示为：
式中：ne为结构构件数；sji为构件j的应变能cj对构件i的弹性模量Ei的灵敏度。式(9)即为式(7)所示矩阵s的第i列元素的绝对值之和，用于衡量构件i损伤或失效后对结构产生的影响。
构件失效引起的结构应变能变化量体现了该构件对结构总体性能和刚度的影响，结构应变能变化量越大，则构件在结构中的作用和影响越大。将结构总体应变能对构件i失效的灵敏度定义为结构应变能的变化量与结构初始应变能的比值：
式中：βi为结构应变能对构件i失效的灵敏度；C为完好结构的应变能；
为构件单元i发生破坏后的结构应变能。
综合考虑构件i发生损伤或失效后对构件应变能和结构总应变能的影响，采用式(8)的冗余度定义，将构件i的冗余度表示为：
式中，RIi为构件i的冗余度指标，乘号左边项表示该构件的刚度参数发生扰动时对其他构件产生的扰动，右边项表示该构件破坏后对结构整体性能产生的影响。构件i的冗余度指标值越小，则该构件失效后对结构产生的影响越大。
3 结构构件的易损性评价指标
荷载作用下的结构破坏过程实质上是一个渐进的刚度退化过程，是由各构件发生不同程度的损伤而导致的，而构件损伤则是其刚度系数发生变化的综合体现。若结构某一构件对其自身或其他构件的刚度变化比较敏感，那么结构任意构件的刚度发生变化时将对该构件的荷载响应产生影响，当这种影响累积到一定程度时，必然引起这个敏感构件的内力发生突变而失效，也就是说构件对其自身和其他构件的刚度变化越敏感，那么该构件受到的影响就越大，越易先于其他构件发生破坏。
构件刚度的变化实质是其发生损伤的直接体现，以构件的弹性模量E作为刚度参数，如构件n的刚度参数En发生变化时，其对构件m的应变能cm 产生的影响可用式(6)所示的灵敏度系数smn表示。对于任意结构构件，当其自身或其他构件的刚度系数发生变化时，必然对该构件的应变能产生影响。构件m的应变能cm对构件n的刚度系数En的敏感性系数smn越大，构件m受到的影响也就越大，也即构件m对构件n的刚度变化越敏感。当结构各构件的刚度系数E分别发生扰动时，对构件m产生的累积影响也反映了该构件抵抗结构刚度变化(损伤)的能力，影响越大则任意轻微的结构刚度变化都有可能导致构件m失效，构件越易发生破坏。
冗余度是结构鲁棒性的重要组成部分，而易损性与鲁棒性是一对相反的概念，根据式(8)定义的冗余度与响应灵敏度之间的反比关系，可以推断构件的易损性与其响应灵敏度之间具有类似于正比的关系。因此，可将构件m的易损性VIm定义为其应变能对其自身和其他构件刚度系数E的累积灵敏度，即构件m的易损性表达式为：
式中：smn为构件m的应变能cm对构件n的弹性模量En的灵敏度。式(12)即为式(7)所示矩阵s的第m行元素的绝对值之和，用于衡量结构各构件发生损伤时对构件m产生的影响。
4 结构抗倒塌能力的提升措施
式(11)、式(12)分别反映了构件的冗余特性及其易损性能。若结构某一构件的易损性高而冗余度低，那么其发生破坏的可能性和失效后对结构产生的影响将远高于其他构件，将产生与初始损伤不成比例的连续倒塌破坏，此类构件在结构中的重要性不言而喻，是结构的重要构件。根据结构构件的冗余度、易损性量化指标，将组成结构系统的构件分成以下四种类型：
1)易损性高、冗余度低的结构构件—“高易损-低冗余”构件，此类构件易发生破坏且对结构的影响较大，为结构的关键构件；
2)易损性高、冗余度高的结构构件—“高易损-高冗余”构件，此类构件易发生破坏，但对结构的影响很小，可将其设计为结构的赘余构件等功能性构件；
3)易损性低、冗余度低的结构构件—“低易损-低冗余”构件，该类构件具备一定的抵抗破坏的能力，但其失效后对结构的影响较大，是结构的重要构件；
4)易损性低、冗余度高的结构构件—“低易损-高冗余”构件，该类构件具有较好的抵抗破坏的能力，且其失效对结构的影响较小，为结构的一般构件。
结构构件的类型与其冗余度、易损性的对应关系如图1所示。
图1 结构构件类型
Fig.1 The type of the structural member
在荷载作用下结构的破坏过程一般始于薄弱部位的易损构件，若这些易损杆件的冗余度不足，其破坏后，在内力重分布的作用下将引起其他构件的内力发生突变而破坏，进而导致结构构件发生连续性失效。为提高结构的安全性，防止结构的连续性破坏，需重点关注“高易损-低冗余”结构构件，增强该类构件抵抗破坏的能力，以提高结构的整体性能，同时对“低易损-高冗余”构件进行适当的削弱，使其先于结构重要构件发生破坏，从而保证结构重要构件的安全性。结构抗倒塌能力提升计算流程如图2所示，根据构件的冗余度及其易损性系数值，通过调整构件的截面面积等设计参数，实现结构整体性能的提高。
图2 结构抗倒塌能力提升计算流程
Fig.2 The process for the enhancement of the structural capacity of resisting collapse
5 算例分析与验证
5.1 15杆桁架悬臂梁
如图3所示的15杆桁架结构，各杆件材料的弹性模量E均为210 GPa，屈服强度fy为235 MPa，各杆件的截面面积 A均为 9.654×10-4 m2，一大小为50 kN的竖向力F作用于结构上，方向竖直向下，各杆件的应力和结构位移满足设计要求。
图3 15杆平面桁架结构
Fig.3 Configuration of the 15-bar truss
按式(11)、式(12)计算得到的各杆件冗余度系数、易损性系数(归一化后)如图4～图5所示，可知在所有杆件中，上弦杆1、下弦杆4的冗余度系数值较其他杆件小，且两者对应的易损性系数值较其他杆件大，属于“高易损-低冗余”杆件，是结构的关键构件。竖向杆7和杆件8的冗余度系数值最大且易损性系数值最小，属于“低易损-高冗余”杆件。
以 5 kN为荷载增量对该结构逐步提高作用荷载值的大小，观察结构的内力变化，将应力达到屈服强度的杆件从结构中移除，同时移除随之屈服的杆件，当移除的杆件使结构成为机构时，对应的荷载即为结构的极限承载力。作用荷载F达90.725 kN时，杆件4的应力达到其屈服强度，将其移除后杆件1随之屈服，此时结构整体成为机构，即结构的弹性极限承载力为90.725 kN。
采用同样的方法，将各杆件从结构中移除，获得各杆件移除后的结构剩余承载力。完好结构、各杆件分别移除后的结构剩余承载力及对应的杆件失效顺序如表1所示。
由表1可以看出“高易损-低冗余”杆件1从结构中移除后，杆件4随之失效，此时结构成为机构而破坏，其对应的结构剩余承载力明显低于作用荷载(50 kN)，结构极限承载力由原来的90.725 kN降低至45.375 kN，降低了近50%。同理杆件4移除后杆件1相继失效，结构成为机构而垮塌。杆件1、杆件4具有易损性高冗余度低的特点，说明杆件1、杆件4是结构的易损关键杆件，其失效后将对结构产生较大影响。竖向杆7和杆件8为“低易损-高冗余”构件，其失效后对结构极限承载力的影响较小。此外，从表1可以看出，对于完好结构或其单个杆件移除后，首先发生失效的结构杆件基本上都为杆件1或杆件4，对照图5可知这两个杆件均具有较高的易损性系数值，是结构易发生破坏的薄弱部位。
图4 15杆桁架结构的杆件冗余度系数分布
Fig.4 The redundancy of the 15-bar truss
图5 15杆桁架结构的杆件易损性系数分布
Fig.5 The vulnerability of the 15-bar truss
表1 完好结构、各杆件分别移除后的结构极限承载力及其破坏过程-15杆桁架
Table 1 The loading capacity and damage process of the structure and with one member removed (15-bar truss)
由以上分析可知，杆件1、杆件4为该桁架结构的关键杆件，需对其采取适当的加强措施，而杆件7、杆件8为非重要性结构杆件，可适当削弱其截面面积，使其先于关键构件发生破坏。为说明方法的可行性，在确保结构安全性的前提下，将杆件1、杆件4的截面面积分别增加60%，为原截面面积的1.6倍，而杆件7和杆件8的截面面积消减为原来的40%，结构材料的总用量保持不变。杆件截面面积调整后的完好结构及各杆件移除后的结构剩余承载力和其失效过程如表2所示。
表2 截面调整后完好结构、各杆件分别移除后的结构极限承载力及其破坏过程-15杆桁架
Table 2 The loading capacity and damage process of the structure and with one member removed after the section areas were adjusted (15-bar truss)
杆件截面面积调整后，完好结构的极限承载能力大幅提高，远高于作用于其上的荷载(50 kN)，结构的安全系数明显提高。完整结构的极限承载力由原来的90.725 kN增至145.050 kN，提高了59.88%。单个杆件移除后的结构剩余承载力也大幅提高，如杆件1、杆件4移除后，其后续失效杆件发生改变，结构的剩余承载力也较杆件截面调整前增加，为53.475 kN，高于作用于结构上的荷载(50 kN)，有效提高了结构的整体性能，防止了局部杆件失效后由于结构剩余承载力不足而导致的连续破坏，其他杆件移除后的剩余结构的承载能力也明显提高。分析结果表明，根据结构杆件的冗余度及易损性评价值，通过调整结构设计参数可以实现结构整体性能和其抗连续破坏能力的提高。
5.2 120杆空间壳体桁架
如图6所示的120杆空间桁架结构，作用于结构上的荷载方向与Z轴反向，荷载分布情况为：中心节点1的荷载大小为6F，第二圈各节点上的荷载大小为 3F，第三圈各节点上的荷载大小为 F，F=10.0 kN。根据结构及作用荷载的对称性，将杆件分成7组，各组杆件的截面面积如表3所示，各杆件采用的材料相同，其弹性模量为 210.0 MPa，密度为7971.81 kg/m3，屈服强度 fy为235.0 MPa。
图6 120杆空间壳体桁架 /m
Fig.6 Configuration of the 120-bar truss
表3 结构各分组杆件的截面面积
Table 3 The section area of each member group
该结构各组杆件的冗余度、易损性系数(归一化后)分布如图7所示。从图7(a)所示的杆件冗余度分布可知分组号为 1、2、3、6的杆件其冗余度系数值均较小，而分组号为5的结构杆件其冗余度值最大。总体上，环向杆和斜向杆的冗余度系数高于径向杆，这是因为在竖向荷载作用下，径向杆是结构的主要传力构件，这些杆件失效后必然会引起结构传力路径的改变，对结构产生较大的影响。同理由图7(b)所示的杆件易损性系数，可知分组号为6、7的底层杆件其易损性系数值明显高于其他杆件，说明底层支座杆件是结构的易损杆件，是易发生破坏的结构薄弱区域所在。
图7 120杆空间桁架的杆件冗余度及其易损性系数
Fig.7 The redundancy and vulnerability of the 120-bar truss
将各杆件分别从结构中移除后，剩余结构的极限承载力和其后续失效杆件所在的分组号如表4所示。分组号为1、2、3和6的任一杆件移除后，结构的剩余极限承载力大幅降低，分别为52.325 kN、27.325 kN、43.185 kN和31.965 kN，远低于完整结构的极限承载力(109.605 kN)，说明低冗余度杆件失效后对结构的影响较大；而其他冗余度系数值较大的杆件(如分组号为5的环向杆)移除后，结构极限承载力的降低幅度则相对较小。对于完好结构、各杆件分别移除后的剩余结构，在逐步提高作用荷载的过程中，杆件应力首先达到其屈服强度的杆件均为分组号为 6、7的部分杆件，即底层结构杆件，也就是说底层杆件是结构在荷载下易发生破坏的薄弱部位，这与其具有较高的易损性系数值是相一致的，说明杆件易损性分析结果是合理的。
表4 完好结构、各杆件分别移除后的结构极限承载力及其破坏过程-120杆桁架
Table 4 The loading capacity and damage process of the structure and with one member removed (120-bar truss)
为提高结构的整体稳固性和安全性，对结构杆件的设计参数进行相应的调整，增强“高易损-低冗余”关键杆件抵抗破坏的能力，同时适当降低“低易损-高冗余”杆件的安全储备，使其先于关键构件发生破坏，提高结构的抗倒塌能力。由以上分析可知分组号为 6、7的结构底层杆件具有较高的易损性系数值，且其冗余度系数值较低，属于“高易损-低冗余”杆件，分组号为1的结构中心杆件也可归入“高易损-低冗余”杆件。而分组号为5的结构杆件，具有易损性系数低、冗余度系数高的特点，属于“低易损-高冗余”杆件。因此，为提高结构的整体性能，可对结构的中心杆(1号杆)及底层杆件(6、7号杆)进行适当的加强，同时适当降低第二圈环向杆(5号杆)抵抗破坏的能力，使其先于其他杆件发生破坏。保持结构材料用量不变，杆件设计参数调整后各组杆件的截面面积如表5所示。
表5 截面调整后的结构各组杆件的截面面积
Table 5 The section area of each member group after adjusted
杆件截面面积调整后，各组杆件的冗余度和其易损性系数分布如图8所示。调整后，分组号为1、2、3和6的结构杆件其冗余度系数值较调整前有所提高，而分组号为5的结构杆件的冗余度则有所降低，杆件间的冗余度差异明显减小。杆件的易损性系数也发生了相应的变化，结构底层杆件的易损性明显降低，而原属于“低易损-高冗余”的5号杆件其易损系数则提高至 1.0，成为易损杆件，但仍具有较高的冗余度值，即杆件截面面积调整后分组号为5的环向杆成为结构的薄弱部位，但其失效对结构的影响相对小于其他杆件。
表6为杆件截面调整后的结构极限承载力及其失效过程。调整后完好结构及各杆件分别移除后的剩余结构其极限承载力都较调整前有明显的提高，其中完好结构的承载力提高至159.075 kN，比原结构增加 49.470 kN，有效提高了结构的安全性。对于杆件移除后的剩余结构，杆件的冗余度系数值的大小同样体现了其在结构中的作用和其失效后对结构性能的影响，如分组号为4、5和7的高冗余度杆件，将其移除后的结构剩余承载力明显高于其他杆件，同样低冗余杆件移除后，结构的剩余承载力低于高冗余度杆件。
如表6所示，杆件截面面积调整后，对于完整结构、各杆件分别移除后的剩余结构，荷载作用下的失效杆件主要集中在第二圈部分环向杆上(即分组号为5的杆件)，也即原冗余度系数高、易损性系数低的杆件成为结构的薄弱区域，将先于其他杆件发生破坏，从而保证了结构关键杆件的安全性，提升结构的整体性能和抗连续破坏的能力。
图8 120杆桁架的杆件冗余度及其易损性系数-截面调整后
Fig.8 The redundancy and vulnerability of the 120-bar truss after the section areas were adjusted
表6 截面面积调整后完好结构、各杆件分别移除后的结构极限承载力及其破坏过程-120杆桁架
Table 6 The loading capacity and damage process of the structure and with one member removed after the section areas were adjusted (120-bar truss)
6 结论
本文以静力荷载作用下的结构应变能和构件应变能对材料弹性模量的灵敏度为基本参数，建立了结构构件的冗余度及其易损性评价指标，并根据构件的冗余度、易损性分布情况，对杆件的重要性进行分类，而后通过调整结构构件的截面面积，加强结构关键构件、同时削弱结构非重要构件，充分发挥构件在结构中的作用，提高结构的整体性能和抵抗倒塌破坏的能力。本研究可得如下结论：
(1)建立的结构构件易损性及其冗余度评价指标能有效反映构件的易损性能和其冗余特性。构件冗余度值的大小体现了构件在结构中的重要性和其失效对结构影响，冗余度值越小的构件，失效后结构的极限承载能力降低越大；同时构件的易损性也体现了构件遭受破坏的容易程度，易损性系数值越大，则构件在荷载下越易发生破坏，为结构的易损薄弱部位。
(2)依据结构构件的易损性及其冗余度分布情况，通过增强高“易损-低冗余”结构关键构件、削弱低“易损-高冗余”构件，可以实现结构极限承载力和其抵抗破坏能力的提升，使结构的一般构件或次要构件先于关键构件发生破坏，从而保证了结构的安全性，转变了结构的破坏模式，使荷载作用下的结构破坏过程得到控制。
(3)结构构件的冗余度、易损性与结构的整体性能紧密相关，实现构件易损性、冗余度的合理分布，充分发挥构件的作用，对于提高结构的整体性能和抗倒塌破坏的能力具有重要作用。
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