港湾振荡是发生在封闭或半封闭水域的一种水波振荡现象，当外界扰动频率与水域本征频率一样或接近时会发生共振，产生空间尺度相当可观的振荡幅度和周期性流场，在港口、海湾等人类活动密集的水域产生不利的影响[1]。
在港湾振荡的研究中，比较常用的概念有放大因子、响应曲线、本征频率和模态等。放大因子定义为实际波高与两倍入射波高的比值，其随入射波频率的变化称为响应曲线，曲线的每个极值点对应一个本征频率，该频率下的波高分布称为模态。放大因子和响应曲线都会随观测点的不同而有明显差异，但本征频率通常是一致的。
基于线性长波方程可以得到封闭水域和半封闭水域的解析解[2-4]，但仅限于简单的港口形状和地形。当港口形状和地形复杂时，往往采用数值方法研究港湾振荡。Lee和Raichlen[5]使用边界元法求解Helmholtz方程，可考虑常水深、任意形状港口的港湾振荡问题。Yu等[6]建立了缓坡方程的有限元模型，分析了日本长崎湾港湾振荡的基本规律。Kumar等[7]建立了缓坡方程的混合有限元模型，研究了浦项港的港湾振荡特性。Boussinesq方程在港湾振荡的非线性研究中得到了广泛应用。Losada等[8]建立了Boussinesq方程有限元模型，模拟了非线性规则波激发的双细长港耦合振荡现象。马小舟和刘嫔等[9]使用MIKE21-BW模块模拟了细长港对孤立波的响应。史宏达等[10]利用MIKE21-BW模块研究了小口门矩形港池的共振现象。伴随波群运动的非线性长波也会引发港湾振荡。王岗和马小舟等[11]采用Boussinesq方程模拟了双色波群引起的细长港低频振荡，分析了各阶谐波间的能量传递。高俊亮和马小舟等[12-13]采用Boussinesq方程模拟了由双色波群诱发的细长港内的二阶长波共振现象，分析了自由长波和锁相长波的变化。外海地形对港湾振荡同样有重要影响。马小舟等[14]基于物理模型实验验证了Boussinesq方程模拟波浪在陡变地形上传播、变形的能力。Gao等[15-16]基于Boussinesq方程模拟了在多种外海陡变地形下，短波群发生能量传递、破碎以及短波群进入港口后激发港湾振荡等现象。
以往港湾振荡的研究多着手于单港池情形，而多港池(耦合港池)情形更符合实际，但获得的研究不多。Lee和Raichlen[17]采用边界元法求解Helmholtz方程，进行了大量的耦合港池数值实验。结果表明，耦合港池相对于单港池有着更大的放大因子和更复杂的响应曲线。Losada等[8]实施了双侧矩形港池模型实验。结果表明，在能使单个港池产生共振的波浪条件下，同时开启另一个港池，会使原港池的共振减弱，但减弱程度与另一个港池的长度没有明确的关系。Bellotti[18]通过线性长波方程研究了联通矩形港口在长波作用下的响应。结果表明，外港池的存在使内港池的本征频率发生了偏移和个数的增减，同时使港口变得更加的封闭，一旦发生共振，能量很难疏散出去。综上所述，耦合港池的振荡十分复杂，共性的规律难以探明。因此多港池的研究主要关注于实际港口，其成果对该港口有很强的依赖性。如何进行多港池的振荡研究并找到其共性，使成果能较好地应用于普遍的多港池港口，是耦合港池研究的重点和难点。
本文第1节介绍并验证本文所用的数值模型；第2节介绍本文所研究的耦合港池和实验设置；第3节和第4节展示并讨论数值实验结果；第5节给出全文的结论。
1 数值模型介绍
1.1 模型理论
本文采取Chandrasekera和Cheung[19]推导出的拓展型缓坡方程，相对于Berkhoff[20]推导出的缓坡方程，拓展型方程添加了地形的曲率项和坡度平方项，可改善方程对陡变水深的适用性。缓坡方程属于椭圆型偏微分方程，适合用有限元方法求解。一种在不同区域采用不同类型插值函数的混合有限元方法已有了成熟的发展与应用，示意图见图1，分为内域Ω和外域
外域水深为常数，内域水深分布可以是复杂的。内域边界(也即陆域边界)Γ1为部分反射边界，内外域由边界Γ2隔开，外域边界Γ3趋向于无穷远。波浪可以任意角度θI进入内域Ω。直线AB、CD与x轴共线。在内域Ω，控制方程为：
其中：f1和f2为kh的函数；k为波数；(,)h=hxy为变化的水深；φ为速度势函数；g为重力加速度；∇为平面微分算子；c和cg为波浪相速度和群速度。
图1 混合有限元示意图
Fig.1 Diagram of hybrid finite element scheme
外域水深为常数，可求得对应Helmholtz方程的解析解，通过内外域公共边界的匹配，可获得内域问题的解。Mei[21]给出了线性长波方程混合有限元模型在无限域下的详细推导过程，虽然与本文所关注的拓展型缓坡方程在半无限域下的情形有一定区别，但两者是相近的椭圆型方程，公式的推导也是相似的，具体过程可参考文献[21]。地形的曲率项需要对水深求二阶偏导，本文仅对水深使用二阶单元拟合，其余部分使用线性单元。
对同一个港口以不同频率的波浪入射，即可得到响应曲线。为了能高效地连续计算几百个波长各不相同的算例，模型应具备自动加密网格功能，即对长波使用较稀疏的网格，而对短波则使用较密的网格。根据相关研究[19-20]，对于缓坡方程，一个波长内有12个以上的节点即可很好地描述波浪现象。因此本文设定当单元最大长边大于局地波长的1/20时，将单元剖分为若干个小单元。本文选择三角形单元离散计算域，常用的加密方法为长边剖分和中点剖分。前者选择长边中点与对应角点的连线，生成2个小单元。后者选择三条边中点相连，生成4个小单元。长边剖分容易产生细长的三角形，不利于计算的收敛，因此本文选择中点剖分方式，示意图见图2。本文基于OpenMP实现了模型的CPU并行计算，减少了响应曲线的获取时间。
图2 自动剖分示意图
Fig.2 Diagram of self-refinement
1.2 网格收敛性分析
本节研究单元边长对数值结果精确性的影响，以证明本文“单元最大长边应小于局地波长的1/20”设定的合理性。研究现象为行进波，对于精确的数值结果，比波高应处处逼近1。不同单元边长下的数值解见图3。其中Δx=L/N表示以波长的1/N为最大单元边长来控制网格的剖分。可知Δx=L/40和Δx=L/20可以给出足够精确的结果，比波高几乎处处为1，而后者的计算量要小得多。Δx=L/10、Δx=L/5和Δx=L/2的比波高分布呈振荡形式，误差随着Δx单调递增。可见，按照“单元最大长边应小于局地波长的1/20”的设定进行网格划分已可以给出足够精确的结果。
图3 不同单元尺寸下的行进波比波高分布
Fig.3 Normalized wave heights of the travelling wave in different mesh size
1.3 模型验证
模型的验证选择Lee[5]的圆形港池物模实验和Wang等[2]的斜底细长港解析式。
1.3.1 圆形港池
图4为圆形港池模型实验示意图，港池为60°开口，水深为0.305 m。港池半径为0.229 m，A、B测点相距0.213 m。两个测点的响应曲线对比见图5，横坐标为波数k与圆形半径a之积，可知数值解与模型实验结果吻合得很好。
图4 圆形港池模型实验布置图
Fig.4 Sketch of the circular harbor experimental setup
图5 圆形港池响应曲线对比
Fig.5 Comparison of amplification diagrams for the circular harbor
1.3.2 斜底细长港
选择的细长港水底坡度为1∶40，外海水深0.75 m，细长港端部水深0.25 m，港池长20 m、宽2 m。特征水深为0.75 m，特征长度为20 m。测点位于细长港端部，数值解与解析解的对比见图6，横坐标为外海波数k与港池长度L之积。可知结果吻合地很好，仅在第二本征频率有偏差，这是因为解析解的推导过程中假定港池宽度与波长之比和港池长度与波长之比要足够小，当kL增加时，对应波长减小，不再很好地满足解析解的设定。
综上所述，本文所建立的缓坡方程数值模型是有效可信的。
图6 斜底细长港响应曲线对比
Fig.6 Comparison of amplification diagram for the slender harbor of constant slope
2 数值实验方案
港口往往建在可提供良好的掩护和吃水条件的海湾，两者都是半封闭的水域，因此可以看作一种耦合港池情形来研究。一种简化的耦合港池情形见图7(a)。细长港长为L1+L2=160 m+80 m=240 m，宽为W=30 m。R为海湾半径，α为细长港轴线与海湾的夹角，β为入射波向。海湾及外海水深为12 m，港内L1段水深为6 m，L2段为水深变化段。考虑到海湾水体体积比细长港大得多，L2的水深变化形式影响不大，简单取为线性变化。对于该耦合情形，细长港可近似看作一维振荡，易于分析。海湾是复杂的二维振荡，但海湾形状开敞，发生共振时强度远小于细长港，在本文的研究中是次要的。这一情形比单港池要复杂，但比两个尺寸在同量级的耦合港池要简单，适合耦合港池的初步研究。
除了计算耦合细长港的响应外，在同样的入射条件下另外计算独立海湾和独立细长港的响应，以对比耦合与非耦合的差异。耦合细长港、独立海湾、独立细长港的波高测点位置分别见图7(b)～图7(d)。本文设置的算例统计于表1。每个响应曲线都来自于401个频率递增的算例。方案1～方案5用于响应曲线和模态分析，其中方案1是对照算例，方案2和方案3主要关注波浪入射角度的影响，方案4和方案5主要关注细长港开口位置的影响。方案6用于细长港响应与海湾响应的相关性分析。
图7 耦合港池数值实验布局
Fig.7 Layout of numerical experiments of the coupled basins
表1 数值实验参数
Table 1 Parameters in numerical experiments
方案 α /(°)β /(°)R/ m 1 0 0 240 2 0 45 240 3 0 90 240 4 45 0 240 5 45 45 240 6 0 0 40～260，间隔20
3 响应曲线分析
3.1 方案1
图8标记出了方案1的5个本征频率。注意到入射波频率在0.06 Hz～0.07 Hz时，细长港的响应非常小，本文称之为弱响应频率段。这里挑选几个具有代表性的频率来展示比波高分布，并与独立海湾对比，以下结合图8对方案1进行分析。
图8 方案1响应曲线
Fig.8 Amplification coefficient diagram of Case 1
3.1.1 第一个共振峰
耦合情形的峰变得矮而宽，说明该情形下，海湾能诱导更多的波浪进入细长港(港口接近第一阶频率共振的可能性变大了)，但也能更好地将波浪疏散出去(放大因子峰值比原来小)。第一阶本征频率(0.0085 Hz)的比波高分布(实际波高分布除以入射波波高)见图9，其中图9(a)为耦合细长港结果，图9(b)为独立海湾结果，两个比波高分布均采用相同的颜色栏。细长港内最大比波高达到了32.2(放大因子为16.1)，要小于独立细长港情形(放大因子为19)。港口通过口门向外疏散波能的特性称为辐射阻尼[22]，阻尼越强则共振强度越弱。口门变窄代表着辐射阻尼变弱，一旦发生共振，能量会在港内更剧烈地持续增长。本文细长港的口门宽度是不变的，但海湾的存在可以看作扩大了细长港口门、增强了辐射阻尼。
3.1.2 第二、三个共振峰
耦合情形的峰变得高而宽，放大因子全部比独立情形大。考察第二、三阶本征频率(0.0244 Hz和0.04 Hz)的比波高分布见图11和图12。细长港开口点位于海湾的波腹点(波高极大的区域)，联结处的比波高在耦合和独立情形都大于2，此时波浪是经过海湾的放大后才进入港内的。海湾的存在，不仅改变了细长港的辐射阻尼，还决定了入射波到达口门处的实际波幅。
在图8中，y=1的水平线代表正常驻波(两倍入射波高)的临界线。整体而言，当独立海湾测点E的放大因子(点线)越过红线时，耦合细长港的响应(实线)会在独立细长港响应(虚线)之上，反之亦然。但在第一阶频率上却是例外，考察第一阶频率的比波高分布的局部图，见图10，细长港的存在反而使得开口点的波高要小于独立海湾情形。
3.1.3 第四个共振峰
耦合情形的响应与独立情形是持平的，只是海湾的存在使得该本征频率发生了偏移(实线相对于虚线)。首阶频率可以体现出细长港对海湾波高分布的影响，特别是在联结处附近。到了第二阶、三阶本征频率(图11和图12)，这一影响变得微弱。到了第四阶本征频率(图13)，影响已基本消失。说明随着入射波频率的增加(对应波长减小)，海湾的振荡受细长港影响随之减小，即海湾在耦合振荡中逐渐完全地占据主导地位。
图9 方案1第一阶本征频率(0.0085 Hz)比波高分布
Fig.9 Normalized wave heights for the first resonant mode(0.0085 Hz)of Case 1
图10 方案1第一阶本征频率(0.0085 Hz)局部比波高分布
Fig.10 Local normalized wave heights for the first resonant mode(0.0085 Hz)of Case 1
图11 方案1第二阶本征频率(0.0244 Hz)比波高分布
Fig.11 Normalized wave heights for the second resonant mode(0.0244 Hz)of Case 1
图12 方案1第三阶本征频率(0.04 Hz)比波高分布
Fig.12 Normalized wave heights for the third resonant mode(0.04 Hz)of Case 1
图13 方案1第三阶本征频率(0.055 Hz)比波高分布
Fig.13 Normalized wave heights for the fourth resonant mode(0.055 Hz)of Case 1
图14 方案1第三阶本征频率(0.055 Hz)比波高分布
Fig.14 Normalized wave heights for the fourth resonant mode(0.055 Hz)of Case 1
3.1.4 弱响应频率段
当入射波频率在0.06 Hz～0.07 Hz时，细长港开口点刚好为海湾的波节点(波高极小的区域)，其中一个代表频率(0.0667 Hz)的比波高分布图见图14，传入港内的波浪很少，因此耦合细长港的放大因子要比独立情形小的多。在弱响应频率段，海湾起到了极好的掩护作用。
3.2 方案2和方案3
对比方案1、方案2和方案3的响应曲线(见图8、图15和图16)，可知当波浪斜向和平行入射时，不仅出现了方案1中的本征频率，还多了3个本征频率，分别为0.027 Hz、0.0282 Hz、0.07 Hz。实际上，这3个本征频率的放大因子较小，只在定义上满足本征频率的概念。入射波向对独立细长港的共振响应有影响，但没有使本征频率发生明显偏移，也没有产生新的本征频率。而对于耦合细长港，入射波向对本征频率和共振响应都有明显影响，并且激发出了更多的本征频率。这是因为海湾对波向是敏感的，耦合细长港间接地受到了波向的影响。
图15 方案2响应曲线
Fig.15 Amplification coefficient diagram of Case 2
图16 方案3响应曲线
Fig.16 Amplification coefficient diagram of Case 3
考察方案2和方案3中频率为0.0244 Hz的比波高分布(图17和图18)。其中，图17(a)、图18(a)为耦合细长港，图17(b)、图18(b)图为独立海湾，两个比波高分布均采用相同的颜色栏。波浪斜向入射时，波能通过绕射达到细长港，传至联结处时波高已有较大程度的衰减，因此港内响应相应减弱。平行入射可以看作斜向入射的极限情形，波高沿程衰减程度最大，此时细长港内的响应与正常驻波无异，没有发生共振。
图17 方案2比波高分布(0.0244 Hz)
Fig.17 Normalized wave heights for Case 2(0.0244Hz)
图18 方案3比波高分布(0.0244 Hz)
Fig.18 Normalized wave heights for Case3(0.0244Hz)
3.3 方案4和方案5
对比方案1、方案4和方案5的响应曲线图(见图8、图19和图20)，可知细长港开口位置的不同也能显著影响细长港的共振特性。整体表现与方案1～方案3一致，即当独立海湾测点E响应强时，耦合细长港的响应较之独立细长港也有所增强，反之亦然。此外，开口位置的不同也激发出了新的本征频率。如在图20中可以明显看到耦合细长港测点H和独立海湾测点E在接近0.0174 Hz时均达到一个峰值，而独立细长港测点H在这个频率上属于正常驻波，说明该本征频率是由于海湾改变了入射波况而引发的。
考察方案4中频率为0.0236 Hz和方案5中频率为0.0244 Hz的比波高分布(图21和图22)。由图21可知，当细长港开口位置刚好在海湾的波节线时，进出细长港的波浪很少，因而细长港的响应很弱。反之，对于图22，细长港开口位置刚好在海湾的波腹点，相当于增强了入射波，因此放大因子比细长港单独存在时增大很多。
图19 方案4响应曲线
Fig.19 Amplification coefficient diagram of Case 4
图20 方案5响应曲线
Fig.20 Amplification coefficient diagram of Case 5
图21 方案4比波高分布图(0.0236 Hz)
Fig.21 Normalized wave heights for Case 4(0.0236 Hz)
图22 方案5比波高分布图(0.0244Hz)
Fig.22 Normalized wave heights for Case5(0.0244Hz)
综合方案1～方案5的分析，可以将海湾细长港耦合系统等效于另外一种形式，见图23。海湾的存在相当于拓宽了细长港的口门，增强了辐射阻尼(港口吞吐波浪的能力)，因而对响应曲线的第一个影响是使其共振峰倾向于变得矮而宽。同时，可将海湾视为一种作用在波向和频率上的滤波器，改变了到达细长港的入射波波高和波向，因而第二个影响是响应曲线会体现出海湾本身的共振特性，变得复杂，本征频率也增多了。
图23 耦合港池等效形式
Fig.23 Equivalent form of coupled basins
4 相关性分析
从响应曲线来看，独立海湾测点E与耦合细长港测点H的响应有着明显的正相关性。表现为：一方面，当E点曲线越过红线(正常驻波)时，耦合情形H点的响应通常是大于独立情形的；另一方面，当E点曲线越过红线且呈递增趋势时，耦合情形H点曲线通常也在独立情形曲线之上且呈递增趋势，其余情形亦然。
不同的开口位置、海湾大小、入射波况，都会显著影响到响应曲线，通过观察和描述众多情形的响应曲线来分析这种相关性是不实际的，需要可以量化的指标。为此，定义两个序列：
其中：下标i表示频率序列，共有401个；AMPEi为独立海湾E点的放大因子；AMPHi和
分别为H点在细长港耦合和独立时的放大因子。
第一个统计量取为两个序列符号之积的均值，以衡量其符号相关程度，表达式为：
式中：n为序列数据个数，本文为401；χ表示两个序列的符号相关程度。χ越接近1，符号正相关程度越强；反之，χ越接近-1，两者符号负相关越强；若χ接近0，说明两者符号明显不相关。
第二个统计量取为两个序列的相关系数，考虑到Yi和Xi显然是不服从正态分布的，也并不呈现线性关系，因此选择适用范围较广的斯皮尔曼相关系数sρ来定量地衡量它们的相关程度，表达式为：
式中，di为序列Yi和Xi升序重排后的秩次差值。
表2记录了方案1～方案5的统计特征，可见χ和ρs非常符合本文的相关性描述。
表2 方案1～方案5统计特征
Table 2 Statistical features of Case 1～5
方案 sρ χ 1 0.937 0.875 2 0.928 0.890 3 0.660 0.835 4 0.924 0.925 5 0.884 0.960
接下来考虑当海湾尺寸逐步减小时两个统计量的变化，海湾半径R由260 m以20 m的间隔逐步减小到40 m。定义一自变量：
式中，v1和v2分别为细长港和海湾的水体体积。
统计特征见图24，χ相对于0.8有微弱波动，若考虑至少有80%的符号相同，χ应在0.6以上。可以认为在γ的取值范围内，χ是满足相关性要求的。可以简单基于海湾独立存在时开口处的响应情况来判断耦合细长港响应的增强或减弱情况。
图24 方案6统计特征
Fig.24 Statistical features of Case 6
相关系数sρ基本上随着γ单调递增，若取0.4为相关系数的临界值的话，那么当γ远大于2.5时，正相关程度足够强，此时海湾起主导作用，细长港的本征频率会显著受到海湾的影响，可由开口处(海湾独立存在时)的响应曲线估计出细长港本征频率的偏移趋势和距离。若γ远小于2.5，则海湾和细长港处于同等地位，需要同时考虑海湾和细长港才能合理计算出细长港的本征频率。
5 结论
本文采用拓展型缓坡方程有限元模型模拟了海湾与变水深细长港的耦合振荡现象，研究了细长港开口位置、波浪入射方向对细长港本征频率、共振响应的影响。采用相关性分析探讨了海湾与细长港体积之比对两者耦合振荡相关性的影响。基于上述研究内容，可以得到以下结论：
(1)细长港联结海湾后，改变了细长港吞吐波浪的能力，即辐射阻尼。同时海湾也起到滤波器的作用，影响了入射波波向和波高。因此细长港本征频率的个数、幅值以及共振峰宽度发生了明显变化。
(2)若在海湾开辟一联通的细长港，则联结处的波况能反映港口建成后的响应情形，即联结处放大因子大于1时，耦合细长港的放大因子会比独立细长港的大，反之亦然。这一特性对海湾的尺度和细长港的位置并不敏感，可以推广至海湾与细长港在同一个尺度量级的情形。
(3)当海湾与细长港水体体积之比远大于2.5时，海湾在耦合振荡中占主导地位，开口处和耦合细长港的响应有很强的相关性，可简单基于海湾独立存在时的响应情况来估计细长港本征频率的偏移趋势和距离。若体积比远小于2.5，则海湾和细长港在耦合振荡中处于同等地位，需要同时考虑海湾和细长港才能合理计算出耦合细长港的本征频率。
最后需要说明的是，以上结论仅针对本文所研究的港口和入射波要素。
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