结构随机振动分析和人工合成地震动通常需要应用地震动功率谱,而在抗震设计规范中,地震作用以设计反应谱的形式表达,因此,应用过程中需将设计谱转换为功率谱。在二者转换过程中,地震动持时是重要的影响因素,但由于设计反应谱无法反映地震动持时特性,持时取值无法直接确定,但地震动持时特性影响结构破坏特征[1-3]。
考虑地震动的非平稳性,引入强度包络函数,由包络函数来确定地震动持时是目前较为常用的方法。典型的包络函数模型有指数模型、衰减正弦函数模型、三段式多峰值模型等,其中应用最为广泛的为三段式模型[4]。该模型具有代表强震开始和结束时间的t1、t2及下降段系数c三个参数(以下简称“包络参数”),通常以强度超过包络函数峰值50%的持续时间定义持时,因此各参数的取值对于取得合理的分析结果和模拟地震动时程具有重要意义[5-6]。但是,各参数取值一直缺乏较为深入的研究,存在一定的经验性。文献[1]在建立三段式的函数模型时,利用了8条地震动记录对参数取值进行了统计分析,给出了平均估计量,t1=1.5 s、t2=15 s、c=0.18~0.20,使用的地震动记录数量较少,不具有较强的统计意义。文献[7―8]根据我国抗震设计规范场地类别的划分,将软土到硬土场地上的参数取值分别对应于Ⅰ类~Ⅳ类场地,并做了一定的修正,但未给出相应的依据。文献[9―10]取强震段持续时间为分析变量,对不同场地的地震动记录进行统计分析,取平均值作为包络函数的强震段持时,t1和c仍是参考其他文献按照经验确定。文献[11]基于实际地震动统计得到不同震级、距离和场地条件记录的参数取值,并通过统计回归得出各参数随震级、距离和场地条件变化的衰减关系,不适用于抗震设计规范规定的设计反应谱与功率谱转换。
为解决非平稳功率谱与设计反应谱转换关系中强度包络函数各参数合理取值问题,首先,依据输入能量谱与傅里叶幅值谱的精确转换关系,研究建立非平稳功率谱与输入能量谱的转换关系;其次,选择与设计反应谱相匹配的天然地震动记录样本,以统计得到的输入能量谱作为参考依据,研究通过得到的转换关系确定包络参数的方法,并计算《建筑抗震设计规范》GB 50011―2010(以下简称“规范”)[12]规定的各类场地设计谱对应的包络参数取值;最后,采用人工合成地震动记录对包络参数取值的合理性进行验证。
假定单自由度体系(固有频率为ω0,阻尼比为ζ)加速度反应的均方差为σy,则不超越概率为P的反应谱值Sa(ω0,ζ)可表示为:
式中,rp为峰值系数。通过输入地震动功率谱对单自由度体系进行随机反应分析可得到反应的均方差σy,即可实现功率谱与反应谱的转换。
在功率谱密度为G(ω)的平稳高斯过程作用下,单自由度体系加速度反应方差可采用式(2)近似计算[1]:
实际地震动具有较强的强度和频率非平稳性,如果不考虑频率的非平稳性,地震动加速度过程x(t)可以看作强度包络函数ϕ(t)与平稳随机过程的乘积:
x0(t)为具有零均值和单侧功率谱密度函数G(ω)的平稳高斯过程。常用的三段式强度包络函数模型如下:
考虑地震动强度的非平稳性时,x(t)的功率谱密度函数将是时变的,其渐进功率谱密度函数为:
对于非平稳随机过程输入下的结构反应方差,目前尚无解析解。为了考虑非平稳性对结果的影响,通常采用等效平稳输入来代替非平稳输入,等效输入的持时td可取为强度超过50%峰值的震动时间[5],由包络函数式(4)可以得到td为:
将等效输入下的反应方差在持时td上取平均作为非平稳输入下的方差,即:
式(7)考虑瞬时反应方差与式(2)稳态结果的区别,取ζt=ζ/[1-exp(-2ζω0t)]进行修正。
对于峰值系数rp,其解即所谓的首超问题,目前没有精确求解的方法,但已有学者给出了良好的近似结果,本文采用文献[13]给出的经验公式计算峰值系数rp的期望值:
其中:
结合式(7)的非平稳反应方差和式(8)的峰值系数期望值,就可以根据式(1)进行地震动功率谱与反应谱的转换。这样得到的结果既考虑了加速度反应的非平稳性,又考虑了超越峰值系数水平的成群效应,理论上更加合理[14]。
傅里叶幅值谱与弹性输入能量谱的精确转换关系为[15-17]:
式中:HV(ω; ω0,ζ)表示地面加速度变换到单自由度体系相对速度的传递函数,Re[•]表示传递函数的实部,由式(10)给出:
根据功率谱与傅里叶幅值谱的关系,可以得到功率谱与输入能量谱的期望值之间的关系为:
对于给定的目标反应谱,采用式(1)的转换关系计算功率谱时需要预先确定包络参数t1、t2、c。参数取值不同,所得到的功率谱也会存在差异。以Ⅱ类场地、设防烈度7度、罕遇地震设计谱作为目标谱(设计地震分组第一组,阻尼比0.05),选取四组不同的包络参数分别计算相应的功率谱,研究不同参数对功率谱的影响。第1组:t1=5,t2=30,c=0.35;第2组:t1=15,t2=30,c=0.35;第3组:t1=5,t2=10,c=0.35;第4组:t1=5,t2=30,c=0.70。各组功率谱之间的对比如图1所示,各条功率谱曲线的变化趋势一致,并且在低频段都表现为陡峭的下降段,这是由于设计谱长周期下降段的取值相对较大,转换后的功率谱不满足零频含量有限的基本条件[18]。参数t1、t2对功率谱都有一定的影响,但t2的影响更明显,而取不同参数c时功率谱基本重合,影响可以忽略。功率谱随着t1的增大而增大,随t2的增大而减小,当圆频率ω低于60 rad/s时,不同t1和t2取值计算得到的功率谱偏差相对较大。除去低频段,不同t1值对应的功率谱偏差为13.4%~17.8%,不同t2值对应的功率谱偏差为36.2%~78.9%。由上述分析可知,t1和t2取值的不同会造成转换得到的功率谱存在差异。因此,需要对转换关系中包络参数取值进行研究。
图1 不同包络参数计算得到的功率谱
Fig.1 Power spectra of different envelope parameters
根据式(11),由以上转换得到的功率谱计算各自对应的输入能量谱,如图2所示。各输入能量谱由上升段、下降段和长周期上升段共3段组成,各段分界周期点为Tg和5Tg。能量谱随着t1和c的增大而减小,随着t2的增大而增大。参数t1不同时,Tg之前的能量谱基本重合,周期大于Tg时产生了偏差,且t1对长周期段的谱值影响更大;参数t2的变化对能量谱影响较明显,不同周期点处谱值相差1倍~2倍;参数c取值不同的两条能量谱很接近,影响较小。通过上述分析可知,采用功率谱与反应谱转换关系,包络函数会影响输入能量,也就会对随机振动分析和人工合成地震动记录的结果产生影响。
图2 不同包络参数功率谱对应的能量谱
Fig.2 Input energy spectra consistent with power spectra of different parameters
为了确定功率谱和反应谱转换过程中包络函数各参数的合理取值,采用以下方法和步骤进行分析研究:1)选择与目标设计谱匹配的天然地震动记录样本;2)计算地震动记录样本的输入能量均值谱;3)选择不同的包络参数取值,计算与设计谱对应的功率谱,利用输入能量谱与功率谱的转换关系,计算对应的输入能量谱;4)以第2步统计得到的输入能量谱与第3步通过转换关系得到的各输入能量谱之间的总体偏差最小作为判别依据,确定合理的包络参数取值。
由于设计谱长周期段的取值相对较为保守[19],长周期段天然地震动记录样本的均值谱通常小于设计谱。因此,除采用天然地震动记录样本外,还采用了时域调整天然地震动记录匹配目标谱方法生成的模拟地震动记录。上述方法是通过对天然记录在时域叠加小波函数,实现与目标谱匹配,对原始记录改动较小,且保留了原始记录的时频特征,已得到广泛应用。
以太平洋地震工程研究中心(PEER)的地震动记录数据库作为数据源,采用文献[20]提出的将遗传算法与贪婪算法结合的方法选择天然地震动记录样本,匹配目标设计谱。以第2节使用的规范设计谱为例,图3(a)为选择的一组共50条匹配记录的反应谱、均值谱和设计谱的对比,可以看出,长周期段的均值谱与目标谱的偏差较大。这种偏差即是由于设计谱长周期段取值过于保守,使得采用天然记录时较难实现与设计谱长周期段的匹配。为了实现与设计谱较高精度地匹配,且保留天然地震动的时频特征,同时对上述选择的记录采用时域调整方法进行了处理,图3(b)为时域调整后记录的反应谱、均值谱和目标谱的对比,可以看出,在不同周期段各条记录反应谱、均值谱与设计谱均较好地匹配。
图4为两种类型记录的平均输入能量谱。对比可以发现,在长周期段与设计谱匹配更好的时域调整记录的能量谱值随周期增加而不断增大,整体上与通过功率谱转换得到的三段式能量谱较为相似,而天然记录在长周期段则呈下降趋势。
图3 不同类型记录反应谱与目标谱的对比
Fig.3 Comparison of response spectra of different types of records and target spectrum
图4 不同类型记录平均输入能量谱
Fig.4 Mean input energy spectra of different types of records
以天然记录和时域调整记录样本的平均输入能量谱作为参考依据,对比采用不同包络参数转换得到的能量谱,以二者整体偏差较小作为参数合理取值的依据。首先以Ⅱ类场地为例,对各参数的合理取值范围进行分析,通过计算包络参数取不同值时的整体偏差,分析包络参数对偏差的影响,以偏差最小作为判别依据确定合理的参数取值。然后,采用相同方法分析Ⅰ类和Ⅲ类场地对应的设计谱,Ⅳ类场地的天然地震动记录很少,不具有统计意义,本文未作研究。
文献[11]对Ⅱ类场地963条天然地震动记录进行统计分析,发现强震持时t2~t1主要集中在1 s~30 s,上升段持时t1的变化范围较大,且比较分散,考虑合理性取t1在5 s~10 s范围变化,ts=t2-t1在1 s~30 s范围变化。由于参数c对功率谱和输入能量谱的影响很小,参考文献[8]对Ⅱ类场地取c=0.35。根据前两节推导的转换过程,计算不同包络参数对应的输入能量谱,并采用式(12)计算转换得到的能量谱与天然地震动记录样本平均能量谱之间的偏差。
式中,Ti、IEd(Ti)和IEr(Ti)为第i个周期点值、对应周期点处转换得到的能量谱和均值能量谱谱值。
以Ⅱ类场地、设防烈度7度、罕遇地震对应的设计谱作为目标谱(设计地震分组第一组,阻尼比0.05),图5为分别采用天然地震动记录和时域调整记录的平均能量谱作为参考依据,计算得到的偏差结果。总体来看,两种类型记录得到的偏差均随着ts的增加先下降后上升。当ts小于13 s时,误差随t1的增大而减小,当ts大于13 s时,误差随t1的增大而增大,但误差的变化相对较小。由于地震动的输入能量主要集中在强震阶段,强震阶段的持续时间ts比t1更能决定输入能量的大小,因此,ts对误差的影响相对更为突出。两种类型的记录计算出的最小误差对应的ts较为接近,而t1存在较大差异。其中采用天然记录计算的误差在t1=10 s、ts=10 s时最小,采用时域调整记录计算的误差在t1=5 s、ts=13 s时最小。
图6分别给出了t1和ts不同时得到的输入能量谱与时域调整记录输入能量谱的对比。从图中可以看出,随着t1的增大,中短周期段能量谱值增大,长周期段能量谱值变化较小,且t1对Tg~5Tg之间的能量谱影响较大。与t1的影响不同,ts的增大使整个周期段的谱值明显增加,因而ts实际上控制了能量谱谱值整体上的大小变化。与选取的地震动记录相对应,两种类型的记录通过与目标设计谱的匹配,各自平均输入能量谱的大小整体上相差不大,因而采用两种类型记录的能量谱计算出的最小偏差对应的ts比较接近。但在匹配过程中,天然记录的反应谱与目标设计谱在长周期段出现了一定的偏差,而时域调整记录吻合良好,两种类型记录的能量谱在中长周期段的谱值有所不同,因此造成了不同类型记录计算出的最优t1值产生了差异。但从对比来看,t1取值为变化范围的上、下限能量谱差别依然较小。考虑到时域调整记录与目标谱的吻合程度更高,以时域调整记录计算得到参数值为合理取值,即t1=5 s、ts=13 s,则t2=t1+ts=18 s。因此,建议采用非平稳地震动转换关系求功率谱时,三段式强度包络函数的参数t1、t2和c的取值分别为5 s、18 s和0.35。
图5 转换能量谱与地震动记录能量谱的误差
Fig.5 Deviation between converted energy spectra and ground motion energy spectra
图6 不同参数转换能量谱与时域调整记录能量谱对比
Fig.6 Comparison of converted energy spectra with different parameters and energy spectra of adjusted records
以规范不同场地类别、不同设防烈度、不同地震分组的设计反应谱作为目标谱,选择天然地震动记录样本并进行时域调整实现较高精度匹配,根据上述方法分别计算对应的参数合理取值。结果发现,不同目标谱对应的合理参数均较为接近,图7给出了Ⅰ类~Ⅲ类场地下通过功率谱转换得到的能量谱与时域调整记录统计得到的能量谱对比,对于不同的场地,包络参数均取为t1=5 s、ts=13 s,c参考文献[8]分别取0.45、0.35、0.25。随着场地类别从Ⅰ类变化到Ⅲ类,转换的能量谱和时域调整记录的能量谱都逐渐增大,并且不同场地下,采用统一的t1、ts取值计算得到的能量谱与对应场地时域记录的能量谱都较为接近。图8为Ⅰ类和Ⅲ类场地,设计地震分组第1组,阻尼比取0.05,7度罕遇地震的设计谱作为目标谱,能量谱误差的计算结果。可以看到,两类场地上能量谱的误差均在t1=5 s、ts=13 s时取得最小。上述结果说明当目标设计谱不同时,参数t1、ts取值相同转换得到的输入能量谱会产生变化,而地震动记录在匹配目标谱的过程中,其输入能量谱也产生了相应的变化,所以就使得采用不同的目标谱依然得到相近的参数合理取值。
图7 不同场地转换能量谱与时域调整能量谱对比
Fig.7 Comparison of converted energy spectra with different soil conditions and energy spectra of adjusted records
图8 不同场地转换能量谱与时域调整记录能量的误差
Fig.8 Deviation between converted energy spectra with different soil conditions and energy spectra of adjusted records
通过对不同包络参数生成的人工合成记录与时域调整记录的输入能量谱进行偏差对比,验证包络参数取值的合理性。以Ⅱ类场地、设防烈度7度、罕遇地震对应的设计谱作为目标谱(设计地震分组第一组,阻尼比0.05),对比以下三种取值方法输入能量谱的区别。已有结果说明t1对能量谱的影响较小,取t1为5 s,ts分别取13 s、25 s,采用常用的文献[7―8]的时间包络参数取值,即t1=0.8 s、ts=6.2 s、c值均取0.35,采用三种取值方法计算与目标谱一致的功率谱,并合成三组人工地震动记录,每组20条,三组记录的反应谱和均值谱如图9所示。在合成记录时为了避免迭代过程改变转换得到的功率谱值,并影响记录的输入能量谱,未对各条记录采用迭代过程来提高匹配精度,因而各组中单条记录与目标谱有一定差别,但各组记录的均值谱与目标谱均吻合良好。
图10给出了三组记录的平均输入能量谱与时域调整记录平均能量谱的对比,总体来看,人工记录的能量谱随着ts的增加而增大,并且与时域调整记录的能量谱先接近后偏离。三组记录能量谱的误差分别为0.3798、0.2487、0.4811,误差随着ts的增加先减小后增大,在ts=13 s时误差最小。而当ts大于13 s后,能量谱逐渐增大,误差也越来越大,因此ts取13 s时人工记录的输入能量谱与时域调整记录能量谱相对最接近。由此,证明采用建议的参数取值转换功率谱并合成人工地震动记录,其输入能量特征与天然地震动记录较为接近,文献[7―8]中的时间参数取值偏小。
图9 人工合成地震动记录反应谱与目标谱对比
Fig.9 Comparison of response spectra of artificial records against target spectrum
图10 人工合成记录与时域调整记录输入能量谱对比
Fig.10 Comparison of input energy spectra of artificial records and adjusted records
综合上述结果,对于各类场地的设计反应谱,采用非平稳地震动转换关系求功率谱时,建议强度包络函数的参数t1、t2的取值分别为5 s、18 s,参数c可按照场地类别从Ⅰ类~Ⅳ类分别取0.45、0.35、0.25、0.15,从而使得采用功率谱表达地震作用时对应的输入能量能与实际地震动记录尽可能接近。
本文建立了非平稳地震动功率谱与输入能量谱的转换关系,对设计谱与非平稳功率谱转换过程中,强度包络函数各参数的合理取值进行了研究,得到以下结论:
(1)设计谱与非平稳功率谱转换过程中,强度包络函数对地震动输入能量有明显影响,参数t2的影响最显著,参数t1对长周期段输入能量谱值影响较大,参数c的影响相对较小。
(2)设计谱转换非平稳功率谱,再转换得到的输入能量谱,呈现为上升―下降―上升的三段式曲线特征,与匹配设计谱的时域调整天然地震动记录计算得到的输入能量谱特征相同。
(3)以匹配设计谱的天然地震动记录样本的平均输入能量谱作为参考依据,以偏差最小为原则,确定了规范规定的各类场地设计谱转换为非平稳功率谱时,三段式强度包络函数各参数的合理取值,并进行了合理性验证。
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