随着“可恢复功能结构”概念的兴起，摇摆结构受到研究者越来越多的关注[1―9]。摇摆结构一般通过放松结构构件间及结构与基础间的约束，使得结构能与基础发生脱离并从底端抬起，进而产生摇摆振动以达到减小结构动力响应的目的[10]。摇摆结构最重要的特性是在遭遇地震作用时往往会产生摇摆振动运动，其主要耗能途径是摇摆振动中的碰撞耗能。地震作用下摇摆结构损伤较少，甚至可以做到主体结构无损伤。在2011年日本东北太平洋地震中，利用摇摆墙加固的东京工业大学G3教学楼已初步验证了摇摆结构的优良特性[11]。摇摆结构的变形模式决定了结构的变形可集中于结构某一特定区域或构件，如柱脚[12]、桥墩底部[13]、剪力墙底部[14]、框架梁柱节点[15]、摇摆墙与框架间的连接部位[11]与联肢剪力墙的连梁[16]等，结构变形的集中为明确耗能装置设置部位并使耗能装置具有更高的耗能减灾效果提供了有利条件。
摇摆振动是指物体以在水平面上摇摆的方式运动而形成的振动。摇摆振动的恢复力可来自重力及预应力筋的弹性力，振动的激励可来自于物体初位移或外部输入激励(如地震作用)。在已有研究中通常认为上述平面是地面或基础顶面，上述物体为矩形块体。在实际摇摆振动中，块体与平面均较接近于刚体，因此在理论分析中一般假定块体与平面均为刚性。Housner[17]在1963年首次提出了“摇摆结构”这一概念，同时建立了摇摆刚体经典模型，该模型在近六十年内被研究人员广泛地接受与采用，并得到了很大的改进与发展。
随着摇摆结构研究的深入及工程应用的需求，建立合理简便的摇摆结构理论模型是迫切而必需的。在此背景下，本文从研究起源与研究现状、具特定条件的刚体模型、相关试验研究、有限元模拟及其在结构体系中的应用对摇摆结构刚体模型进行了较为系统考察与总结，指出了已有模型存在的优点与局限性，提出摇摆结构刚体模型未来研究中的关键问题，为建立更完善实用的摇摆结构刚体模型及应用于摇摆结构分析提供参考。
1 摇摆刚体模型的起源与经典模型
1.1 模型研究起源
Housner[18]在对1952年加州地震的调查中注意到，石油裂解塔在地震作用下并未遭受到严重损坏，这是因为锚固螺栓的拉伸变形使得结构在基础垫层上发生了摇摆运动。在对1960年智利地震的震害研究中，Housner[17]发现因施工质量问题使得基础弱化的瘦高型高位水槽也出现了摇摆现象。基于上述震害调查结果，1963年Housner第一次提出了“摇摆结构”的概念，并建立了摇摆刚体经典模型。
1.2 摇摆刚体经典模型
摇摆刚体经典模型为平面模型，如图1所示。刚体重心为点Cg，半高为h，半宽为b。刚体在发生自由摇摆振动时，以点O或点O′为刚体转动中心。为了推导简便，引入如下假定：摇摆体与水平面为刚性，两者间无滑移，耗能仅发生在碰撞过程中，不考虑刚体的跳跃，同时将碰撞力简化为作用于转动点的集中力。
若刚体与基础间的碰撞无能量耗散，具有初始抬升角θ=θo 的刚体在绕O点落回水平面后，将会再绕着O′旋转倾斜至θ=-θo。随后刚体将绕O′旋转落回水平面，再绕O点旋转倾斜至θ=θo，此时完成一个周期的振动。摇摆刚体四分之一周期的转动运动方程为：
式中：W为刚体自重；R为半对角线(点Cg到点O)长度；α为半对角线与半高线的夹角；θ为刚体绕转动点转动的角度，图1中取逆时针为正；Io为刚体绕O点转动惯量。当α角小于20°时，式(1)可线性化为：
令WR／Io=p2，并代入t=0时刻初始条件θ=θo及θ′=0，式(2)的解为：
图1 摇摆刚体经典模型[17]
Fig.1 Classical rocking rigid body model[17]
实际情况中摇摆体与基础之间的碰撞会使得系统每半个周期中都有能量的减少，因此参考经典弹性碰撞理论的概念，引入碰撞恢复系数r来衡量摇摆振动碰撞前后系统能量的比值。若取水平面为重力势能零点，则碰撞恢复系数r可由碰撞前后的刚体动能比值进行描述。此时r的表达式为：
式中
分别为碰撞前后刚体关于转动中心的角速度。由动量矩守恒定理可得：
将式(5)代入式(4)并整理可得：
从式(6)可以看到，碰撞恢复系数仅与表征刚体高宽比的几何参数角α有关。因此高宽比相同的摇摆刚体具有相同的恢复系数，高宽比确定的摇摆刚体具有确定的碰撞恢复系数。
Housner分析了矩形刚体在刚性地面上自由振动的周期与耗能情况，以及在不同激励下刚体的抗倾覆稳定性的尺寸效应。当地震速度反应谱Sv给定，对于质量主要集中在刚体形心处的情况，式(7)给出了细长摇摆刚体具有50%倾覆概率时速度谱与刚体几何尺寸参数之间的关系：
当α大于式(7)等号右侧式子的值时，刚体倾覆概率小于50%，反之大于50%。式(7)说明半对角线R越大，刚体具有更好的抗倾覆稳定性。即具有相同高宽比但体量不同的刚体，大体量刚体抗倾覆稳定性更好。当α较小时有α≈b/h及R≈h，可将式(7)改写为：
从式(8)可以发现b的倾覆临界值并不随着h如直觉上的线性增大，即高宽比大的细长刚体具有比直观估计更好的抗倾覆稳定性。
1.3 摇摆刚体经典模型的发展与研究现状
在Housner研究的基础上，各国学者对摇摆刚体经典模型进行了深入研究，发现摇摆刚体在不同激励下的动力响应主要受刚体体量、高宽比、基础尺寸、碰撞恢复系数、接触面摩擦系数及激励类型等因素影响[19―23]。Jeong等[21―22]研究发现摩擦系数或恢复系数的微小改变会导致摇摆响应的不稳定及相图分布形态的巨大变化，这也是摇摆振动试验响应难以重现的重要原因。摇摆刚体经典模型能够较好地预测细长刚体的动力响应，但矮胖刚体的动力响应与经典模型理论解差异较大[23―24]。
Lipscombe等[24]进行了摇摆刚体自由振动试验，发现刚体碰撞后的跳跃现象是造成矮胖刚体实际响应与理论解差异较大的关键原因，同时出平面效应在刚体极端矮胖的情形中十分显著。Lipscombe认为摇摆振动的非线性来源有两方面，第一是运动方程中的正弦项带来的轻微非线性，这种非线性在小角度时的线性化处理是能够满足准确性要求的；第二是来自碰撞时恢复力偶的突然变号，变号意味着刚体响应的不连续及强非线性。
Yim等[19]指出，由于摇摆响应对于刚体体量、高宽比和地面运动参数微小变化的敏感性，单个摇摆刚体的抗倾覆稳定性并不一定随刚体体量的增大或高宽比的减小而单调增大；与此相对，刚体群体不倾覆的概率则依上述参数变化而单调增大。Apostolou等[23]分析了刚体在刚性及线弹性地基上的摇摆振动特性，认为地基振动特性与刚体高宽比及体量是刚体倾覆的关键影响因素。Makris等[25]指出，在半波正弦近场脉冲激励下，刚体倾覆是发生在其自由振动阶段而非Housner假定的激励输入结束时刻，并给出了修正后的刚体倾覆条件。Makris同时发现小体量刚体的倾覆对地面加速度峰值较为敏感，会在持时短且加速度大的脉冲作用下发生倾覆；大体量刚体的倾覆基本取决于地面速度在其单调段中的净增量，往往长持时激励会导致其倾覆。
Shenton等[26]在研究中将摇摆刚体运动分为静止、滑移、摇摆振动、滑移-摇摆及自由落体五种情况。而Ishiyama[27]多考虑了摇摆刚体平移跳动的情况，并给出了摇摆刚体不同运动模式间的转换条件。还发现接触面摩擦系数是影响运动形式的最主要因素。当摩擦系数大于宽高比时，在地震作用激励下的刚体才会发生摇摆振动。
Spanos等[28]指出细长刚体的非线性运动方程可用分段的线性方程近似代替。在由激励频率与激励幅值构成坐标系的倾覆稳定性图中，能够定义初始静止刚体结构的非倾覆区与倾覆区，碰撞恢复系数的变化会引起非倾覆区与倾覆区分布的显著改变。借助倾覆稳定性图对刚体结构进行抗倾覆稳定性分析，能够避免繁复的运算。
图2 摇摆刚体倾覆加速度谱[29]
Fig.2 Overturning acceleration spectrum of rocking rigid block[29]
Zhang等[29]和Makris等[30]发现摇摆刚体在单个谐波激励作用下，可将摇摆刚体的倾覆分为有碰撞倾覆(模式1)及无碰撞倾覆(模式2)两类情况，并建立了如图2所示的摇摆刚体倾覆加速度谱。刚体倾覆区的形状取决于碰撞恢复系数的大小，且对摇摆振动的非线性特性较为敏感。图中谱的横轴为无量纲频率ωp/p，纵轴为无量纲加速度ap0/αg，其中
为刚体频率参数，ap0为刚体倾覆时激励最小加速度，ωp为激励频率。当ωp／p足够小时，摇摆刚体倾覆的最小加速度是由模式1决定，但模式2的倾覆也可能随着加速度幅值的增大而出现；当ωp／p足够大时，刚体倾覆的最小加速度将由模式2决定。同时值得注意的是两种倾覆模式的区域并不是完全相连的，两种模式的区域之间夹有一部分非倾覆区。
图3 摇摆振动的倍周期分岔[31]
Fig.3 Period-doubling bifurcation of rocking vibration[31]
Hogan[31]发现运动形式简单的刚体摇摆振动具有相当复杂的非线性动力特性，其响应具有多种类型。当刚体几何参数α=arctan(1/2)，碰撞恢复系数r=0.5，激励频率与刚体频率参数之比ω=5时，摇摆刚体的动力响应出现了倍周期分岔现象。激励幅值无量纲参数β由2.0增大至3.1时，系统的相空间周期轨道由对称变为非对称，如图3(a)～图3(b)所示。随着β逐渐增加，系统周期由T变为2T，继而增大至22T乃至23T，如图3(b)～图3(e)所示。倍周期分岔是通往混沌的几条典型道路之一，图3(e)已表现出近似混沌的特性。而混沌响应的出现意味着系统的初值敏感性，响应的预测将变得十分困难。
Dimitrakopoulos等[32]提出了一种求解摇摆刚体在地面脉冲激励作用下动力响应的方法，仅利用激励强度及激励频率便能够直接求解刚体的摇摆响应。同时该方法借助量纲分析描述了刚体摇摆的相似规律：小转角下细长刚体的摇摆响应表示出完全自相似性，而大转角下非细长刚体的摇摆响应具有近似自相似性。Prieto等[33]借助Dirac-delta碰撞模型[34]建立了描述摇摆刚体运动的常微分方程，该方程代替了传统的分段方程并将分段转动和碰撞过程统一于一个模型，原先由碰撞恢复系数衡量的耗能被冲力碰撞模型所替代。
图4 多边形基础底面木块[35]
Fig.4 Wooden block with polygon base[35]
Imanishi等[35]在将四个相同木质试块的底部按角度等分为一至四个底面后，进行了摇摆振动试验，木质试块底面划分如图4所示。试验结果表明多边形底面试块的阻尼比相比于平整底面情形明显减少，因此可以通过合理设计多边形底面的形状，得到预期较为优化的阻尼比和自振周期。
表1 摇摆刚体碰撞恢复系数试验结果统计[36]
Table 1 Experimental result statistics of collision restitution coefficient for rocking rigid body[36]
高宽比 经典模型理论值 试验值 误差率/(%)块体与基础材料2 0.49 0.62 26.53 木/钢2 0.49 0.76 55.10 混凝土/铝2.85 0.70 0.86 22.85 花岗岩/花岗岩3 0.72 0.77 6.94 木/钢4 0.83 0.88 6.02 木/钢4 0.83 0.86 3.61 混凝土/钢4 0.83 0.88 6.02 花岗岩/花岗岩4 0.83 0.90 8.43 木/铝4 0.83 0.85 2.40 钢/钢4.33 0.89 0.92 3.37 钢/木5.88 0.92 0.95 3.26 花岗岩/花岗岩8.33 0.96 0.96 0 花岗岩/花岗岩
Kalliontzis等[36]统计了摇摆刚体碰撞恢复系数的试验结果，如表1所示。从表1可以看到：随着高宽比的增大，碰撞恢复系数理论值与试验值误差逐渐减小；当高宽比不小于3时，经典摇摆刚体模型已经能较好的预估碰撞恢复系数，但试验值均高于经典理论解。基于上述现象，Kalliontzis对碰撞恢复系数计算方法进行了改进：转动过程中的摇摆刚体由绕点转动变为绕面(线)转动，这与试验现象亦是相符的。值得注意的是，该修正模型虽然与试验吻合较好，但转动面长度是人为给定的，属于经验取值。Ther等[37]对上述现象也进行了研究，指出碰撞仅发生在刚体底部角点会使得耗能最大。由于实际块体表面的不平整或碰撞面间存在颗粒，摇摆后的碰撞是连续性碰撞，此时碰撞能量耗散小于角点碰撞时的能量耗散。
2 其他典型摇摆刚体模型
2.1 预应力摇摆刚体模型
在实际工程中，为了增强结构自复位能力、减小残余变形或增加摇摆结构稳定性，往往会在摇摆结构的柱或梁中张拉预应力筋。
Vassiliou等[38]建立了预应力摇摆刚体模型，如图5所示。模型中预应力筋沿刚体中线布置，并锚固于柱顶与基础。预应力摇摆刚体模型在经典模型的基础上附加了新的假定：不考虑刚体倾覆，预应力筋的力沿长度方向相同，碰撞前后瞬间预应力筋的力大小不变。在摇摆振动过程中，刚体转动满足Lagrange方程，其碰撞恢复系数的定义及表达式与经典模型相同。经典模型可视为预应力刚体模型的特殊情况，即预应力筋截面积为零的情形。
图5 预应力摇摆刚体模型[38]
Fig.5 Prestressed rocking rigid body model[38]
研究结果显示预应力筋会显著影响系统的刚度，图6给出了预应力摇摆刚体的无量纲弯矩-转角关系。图中Mr为刚体所受弯矩，R为刚体半对角线长度，EA为预应力筋抗拉刚度，mcg为刚体所受重力，α为刚体半对角线与半高线的夹角，θ为刚体绕转动点转动的角度，取逆时针为正。对于经典模型，从刚体开始有转角时刚度即为负值，为图中黑色实线。预应力摇摆刚体因为预应力筋的存在，开始转动时的刚度可为正值。竖向预应力筋能够有效减小小型刚体在长周期激励下的响应，随着刚体尺寸或激励频率的增加，竖向预应力筋的影响降低。对于巨型刚体，其地震抗力主要依靠自身惯性。对于中等体量刚体，若预应力筋足够柔使得系统刚度保持负值，则可因此负刚度而避免共振，获得良好的稳定性。
图6 预应力摇摆刚体的无量纲弯矩-转角关系[38]
Fig.6 Dimensionless moment-rotation angle relationship of prestressed rocking rigid body[38]
2.2 不同边界条件下的摇摆刚体模型
2.2.1 柔性地基上的摇摆刚体模型
在实际的情况中，除基岩外的刚性地基几乎不存在。柔性地基与摇摆刚体构成的系统相较于由刚性地基与摇摆刚体构成的系统，可称为柔性振动系统，振动表现出明显非线性。柔性地基摇摆刚体模型主要有集中弹簧模型(concentrated springs model)与Winkler模型两大类。图7为两种模型的示意图，刚体支撑在带有阻尼器的弹簧上。两种模型推导主要采用的假定有：模型中的弹簧均为不抗拉弹簧，刚体与地基间无滑动，地基模型系数为常数。
Koh等[39]通过研究得到了耦合的分段非线性运动方程，并提出了水平地震作用下刚体最大倾斜角的近似估计方法。Psycharis等[40]分析了细长刚体在Winkler地基模型和集中弹簧模型上的摇摆响应，发现一系列线性响应可构成集中弹簧模型的非线性总响应，Winkler地基模型的响应则因刚体与基础各点接触程度不同而呈现出高度非线性。
图7 柔性地基上的摇摆刚体[40]
Fig.7 Rocking rigid body model on flexible foundation[40]
Palmeri等[41―42]利用集中弹簧模型研究了粘弹性基础上细长刚体的摇摆振动，发现刚体动力响应还与基础刚度及阻尼有关。Chatzis等[43]认为柔性地基上的摇摆刚体模型在大转角时应考虑几何非线性，利用竖向无拉力弹簧-阻尼器单元模拟材料非线性，可通过附加底部水平弹簧或引入Coulomb摩擦来考虑滑移的影响。Chatzis对以相同初始角度无初速度释放的块体，分别采用Winkler模型、集中弹簧模型及Housner经典摇摆刚体模型进行分析，三种模型的刚体转角-时间曲线如图8所示。从图8(a)可以看到，Winkler模型较集中弹簧模型更柔，但集中弹簧模型耗能更快。当模型弹簧刚度k及阻尼器阻尼系数c分别取为原值1%及10%时，刚体转角-时间曲线如图8(b)所示。对比图8(a)和图8(b)可以发现，弹簧刚度k及阻尼器阻尼系数c对刚体运动影响显著，这是Housner经典摇摆刚体模型所不能反映的。
图8 三种模型的比较[43]
Fig.8 Comparison of three models[43]
由上述研究可以看到，地基的变形会对模型响应产生显著的非线性效应。两种柔性地基摇摆刚体模型的运动方程可参考文献[40]。
2.2.2 考虑滑移的摇摆刚体模型
Shenton等[44]发现在地面加速度幅值相当大且接触面摩擦系数小于刚体宽高比时，才能得到摇摆刚体动力响应的周期解。响应中的摇摆振动分量受高宽比及摩擦系数影响，地面加速度的改变对其影响不大；响应中的滑移分量幅值近似等于地面位移幅值，高宽比及摩擦系数对其影响不大。
Jeong等[45―46]指出刚体滑移发生在摇摆振动及碰撞的运动过程中，刚体摇摆振动特性会随滑移的出现发生重大变化。特别是在强竖向激励下，若刚体出现较大滑移会导致混沌响应大量出现。Kounadis[47]研究发现影响刚体滑移的主要因素是接触面动摩擦系数及激励频率，滑移对刚体抗倾覆稳定性的影响如图9所示。图中空心线为不考虑滑移时的刚体倾覆稳定分界线，实心线为考虑滑移时的分界线。从图9可以看到：激励频率较低时，滑移有助于刚体稳定，但激励频率较高时情况相反。
2.2.3 摇摆刚体三维模型
实际发生的摇摆振动本质上均为三维振动。在已有的研究中，有的利用假定将三维问题转化为平面问题[48]，有的利用离散元法[49]进行研究，能否将三维振动问题简化为二维振动问题是值得探讨的。
图9 滑移对摇摆刚体倾覆加速度谱的影响[47]
Fig.9 Effect of sliding on the overturning acceleration spectrum of rocking rigid block[47]
Konstantinidis等[50]提出两种不同描述方法来得到三维刚体自由振动方程。第一种描述方法是利用欧拉角来描述刚体转动，第二种方法是利用张量对刚体转动进行描述。但Konstantinidis的研究没有涉及碰撞问题，同时忽略了滑移等因素的影响。
Chatzis等[51]对三维刚体在柔性地面上的摇摆振动进行了研究，其中柔性地面的模拟采用三维集中弹簧模型与三维Winkler模型。通过记录刚体质心位移描述刚体平动，利用欧拉角描述刚体转动，同时考虑了几何非线性及滑移的影响。研究结果表明将三维摇摆振动问题简化为二维问题时，需要激励从特定轴线方向输入。
Vassiliou等[52]研究了三维圆柱刚体的无滑移摇摆运动，是经典模型的直接推广。圆柱刚体具有倾斜角及滚动角两个自由度，若考虑阻尼则需要多增加一个与阻尼有关的竖向位移自由度。研究发现摇摆刚体二维模型会对三维摇摆振动响应产生不合理的估计。研究中还提出了描述三维摇摆结构抗倾覆能力的摇摆抗震性能谱，摇摆性能谱以过刚体质心矩形截面的对角线半长为横坐标，以规范化的无量纲地面峰值加速度为纵坐标。在不同极限状态下，摇摆性能谱曲线均表现出明显的线性性质。
3 摇摆刚体模型试验研究与有限元模拟
3.1 试验研究
Peña等[53]对刚体自由摇摆振动特性进行了试验研究，试件为4个几何尺寸不同的花岗岩试件。为减少试件角部在每次碰撞过程中发生的损坏，加工时在试件底角处设置了不同尺寸的45°倒角。试验结果显示：高宽比较小的试件被观察到发生了绕铅直轴的转动，三维振动现象显著；倒角较大的试件绕着一有限长度的线转动而非定点。碰撞恢复系数的试验值略高于理论值，Peña认为出现该现象的原因是摇摆体实际为非刚性，且接触面不平整，从而导致实际角动量并不守恒，这与理论假定矛盾。
图10 试验装置[54]
Fig.10 Test setup[54]
Cheng[54]完成了14个钢筋混凝土试块的自由摇摆振动试验，试验装置如图10所示。根据接触面材料、预应力筋面积、试件高宽比及横截面尺寸四个因素对混凝土试块进行了分组设计，试件通过无粘结预应力筋锚固于底座。研究发现试块的运动由摇摆振动、滑移和碰撞组成，主要耗能方式为碰撞与滑移。试块的振动频率和阻尼比随着预应力筋直径增大而增加，并随试块高宽比的增大而减小。
图11 摇摆块体能量[55]
Fig.11 Energy of rocking block[55]
Elgawady等[55]开展了碰撞面材料对摇摆振动碰撞耗能影响的研究。试件高宽比有3和5两种取值，碰撞面材料有混凝土、木材与橡胶三类。试验结果显示碰撞面材料对于摇摆体的碰撞耗能有显著影响，接触面为橡胶时能量耗散最为迅速，随后是混凝土与木材。值得关注的现象是橡胶垫层与摇摆体之间的相互作用影响到了碰撞耗能机制：系统能量不再只与势能有关，能量变化是连续的，而非木材或混凝土试验中的分段阶梯式。有一部分能量因橡胶的弹性变形而储存在橡胶中，储存能量的一部分在刚体转动点发生改变时反补回系统中。高宽比为5、碰撞面材料为橡胶的摇摆试验块体能量变化过程如图11所示。
3.2 有限元模拟
Kalliontzis等[56]建立了后张预应力三维摇摆柱有限元模型，有限元分析结果与试验结果的良好吻合说明了建模方法的有效性。模型赋予了摇摆体弹性材料特性，所以能考虑摇摆体弹性特性对摇摆响应的影响。Manos等[57]通过有限元模型求解了棱柱在自由振动、正弦激励及地震动激励下的响应，研究了不同单元尺寸及时间步长对求解结果的影响。
Ardila-Giraldo等[58]借助ANSYS建立了二维摇摆刚体有限元模型，利用Rayleigh阻尼来模拟运动振幅的衰减，考察了刚体摇摆振动及滑移情况，重点阐述了刚体与基础间接触特性的定义。Ardila-Giraldo对文献[53]试验中高宽比为4的块体进行了有限元模拟，该块体以初角度3°无初速度释放。ANSYS有限元模拟结果与试验结果的对比如图12所示，可以看到块体振动幅值及前两次碰撞时间模拟得较好，但随着振动时间增加模拟效果逐渐变差。
图12 ANSYS有限元模拟与试验结果对比[58]
Fig.12 Comparison of ANSYS finite element simulation and experimental results[58]
Belleri等[59]利用有限元对无粘结后张预应力摇摆墙进行了非线性静力及动力分析，探究了系统阻尼选取对于摇摆墙响应的影响。ABAQUS模型利用非线性三维实体单元、平面板单元等单元进行建模，并对底角及接触面做了网格加密处理，接触定义中分别考虑了接触的正向与切线行为。Midas模型则分成纤维单元模型、多弹簧模型及转动弹簧模型三种。Vassiliou等[60]利用非线性弹性转动弹簧加线性粘滞转动阻尼来模拟摇摆碰撞，并考察了摇摆体自身弯曲对摇摆响应的影响，指出较高柱子的自身弯曲变形会使得其倾覆临界加速度增大。
Thomaids等[61]建立了平面摇摆刚体的精细有限元模型，利用ABAQUS隐式分析中的HHT算法研究了刚体的自由摇摆响应，并对模型的时间步长及网格划分尺寸进行了敏感性分析。研究发现大的时间步长将导致摇摆运动更快的衰减，较小的时间步长能够得到与理论解吻合较好的结果；粗糙的网格划分会得到不精确的碰撞响应及摇摆运动不真实的衰减趋势，而合适的网格划分能够获得精确的刚体摇摆振动响应。
从上述研究结果可以看到：显式算法较隐式算法在摇摆结构模拟中应用更为普遍，这是因为显式算法在处理碰撞问题时具有天然优势。单元尺寸、时间步长、接触定义及阻尼选取对于有限元模拟结果均有较大的影响，合理的单元尺寸及时间步长往往能够获得比较好的模拟结果。各个研究中的有限元模型参数取值有一定的经验性，往往仅能与一个试验结果有较好的吻合性。此外可以看到有限元模拟可以作为求解摇摆结构碰撞恢复系数的一种有效途径，因此提出较为通用的有限元建模方法是摇摆结构刚体模型的研究方向之一。
4 摇摆刚体模型的结构体系应用
Makris等[62]研究发现单自由度摇摆结构不能用单自由度振子等效代替，因为两者存在本质的不同，摇摆块体的动力响应存在天然的非线性及参数敏感性。他还建议采用地震反应谱与摇摆反应谱联合使用的方法考虑地震动特性对摇摆结构响应的影响。其中摇摆反应谱以摇摆刚体的周期参数为横坐标，以刚体的转角或角速度为纵坐标。
Makris等[63]研究了带帽梁平面摇摆柱列的摇摆响应及其稳定性，发现摇摆柱与高宽比相同的单个独立摇摆刚体具有相同的摇摆响应。带帽梁摇摆柱列如图13所示，其相应的实际工程结构为采用了摇摆桥墩隔震的连续梁桥。在不考虑帽梁重心升高的条件下，帽梁质量越重，结构越稳定。这为预制桥梁的抗震提供了一种全新思路，可以消除薄弱的连接部位。值得注意的是摇摆柱的碰撞恢复系数小于单个独立摇摆刚体，即摇摆柱单次碰撞耗能更多，两者差异程度取决于梁柱质量比大小。
图13 带帽梁摇摆柱列[63]
Fig.13 An array of rocking columns capped with rigid beam[63]
Makris等[64]还对预应力带帽梁平面摇摆柱列的摇摆响应及稳定性进行了分析，结构中的预应力由竖向弹性预应力筋提供，力筋沿柱中线布置并锚固于基础及帽梁。研究发现预应力对不同体量摇摆柱列中摇摆柱的影响与预应力对不同体量单个独立摇摆刚体的影响基本一致，可认为是预应力摇摆刚体特性的直接推广。
Dimitrakopoulos等[65]对几何非对称平面摇摆框架的地震响应进行了研究，发现尽管对称摇摆框架与非对称摇摆框架在摇摆运动机理上有很大不同，但结构形式上的非对称对于摇摆框架稳定性的影响却很小。摇摆框架可附加如竖向预应力筋或阻尼器等装置来提高稳定性，此类混合摇摆框架的稳定性需考虑附加装置断裂伸长率的影响。非对称混合摇摆框架如图14所示。
图14 非对称混合摇摆框架[65]
Fig.14 Asymmetric hybrid rocking frame[65]
图15 踏步式摇摆墙-单自由度振子系统[66]
Fig.15 Single degree of freedom oscillator coupled with a stepping rocking wall[66]
图16 铰支式摇摆墙-单自由度振子系统[66]
Fig.16 Single degree of freedom oscillator coupled with a pinned rocking wall[66]
Makris等[66]和Aghagholizadeh等[67]研究了摇摆墙-单自由度振子系统的动力响应，其中摇摆墙有铰支式与踏步式两种，振子系统的恢复力模型有弹性及双折线两种。两种振子系统如图15及图16所示，它们表征了实际工程中的框架-摇摆墙结构。研究发现踏步式摇摆墙能够减小振子系统的最大位移及残余变形，且随着摇摆墙质量的增加这种有利效果更显著，但铰支式摇摆墙对振子系统产生的是相反的不利影响。造成这种现象的主要原因是铰支式摇摆墙因转动而产生的弯矩对于结构稳定是不利的，在绝大多数情况下会造成更大的变形。
5 摇摆结构刚体模型评述
摇摆刚体经典模型是二维平面模型，模型碰撞恢复系数仅与刚体几何参数有关，对于几何尺寸确定的刚体则有唯一的恢复系数。摇摆刚体经典模型对于细长刚体的摇摆振动响应能够较好地预测，具有简便准确的特点。如塔、桥墩、柱等结构或构件往往是细长的，利用经典模型能够解决此类结构或构件在大多数情况的摇摆振动问题。
摇摆振动具有十分简单的运动形式，但它是非常典型的具有非连续非光滑性质的碰撞振动问题，是复杂的非线性问题。例如当矮胖刚体发生摇摆振动时，往往发生三维振动，出现平面外的转动现象，其响应甚至会出现混沌特性，此时一般需利用非线性动力学进行分析。当摇摆体受到一般三维激励作用时，产生的是三维振动响应。三维摇摆振动一般无法简化为平面摇摆振动，即利用经典刚体模型无法求解一般三维摇摆振动问题，特殊情况的三维摇摆振动可有条件地简化为二维刚体摇摆振动问题。
摇摆刚体经典模型中关于地面及摇摆体的刚性假定是十分理想的，在实际的摇摆振动中很难实现。例如需要考虑土结相互作用的情形就无法使用经典刚体模型，需要借助柔性地基上的摇摆刚体模型。试验现象显示摇摆体与接触面的非刚性会导致摇摆体绕接触面(线)而非绕点转动，这导致实际碰撞恢复系数大于经典模型的理论计算值。
实际碰撞过程中的耗能非常复杂，主要包含有摩擦耗能、非弹性变形耗能及应力波耗能等。碰撞恢复系数是从能量角度提出的模型耗能参数，利用简单的碰撞前后刚体动能之比代替复杂的碰撞耗能过程，这有利于理论模型应用于实际结构设计。细长刚体试验结果显示碰撞恢复系数理论值与试验值较为接近，这说明此时刚体几何参数是碰撞的关键影响因素但非唯一影响因素，理论分析及相关试验研究显示如滑移、摩擦及材料性质等因素对摇摆振动有较大影响。目前获取准确碰撞恢复系数的方法主要是试验研究，但碰撞问题往往有很强的初值敏感性及复杂性，试验结果存在较大的差异，有效的有限元模拟为求解碰撞恢复系数提供了新的途径。若无法获得准确的碰撞恢复系数，摇摆结构的分析与设计会受到很大限制。
6 摇摆刚体模型研究的关键问题
基于摇摆刚体模型已有研究中存在的不足之处，并以加强摇摆刚体模型的结构体系应用及形成系统的摇摆结构设计理论和实用设计方法为目标，摇摆结构刚体模型未来研究的关键问题可以归纳为以下三个方面：
(1)提出更加完善的摇摆结构刚体模型，重视碰撞耗能机理研究。碰撞耗能是摇摆结构自身最主要的耗能途径，加强对于碰撞耗能及恢复系数的理论及试验研究，对于摇摆结构研究有着重要意义。考虑到碰撞问题的复杂性及可能存在的初值敏感性，可综合考虑如材料、滑移及激励等各个影响因素后，给出概率统计意义下的恢复系数计算公式。在已有研究基础上，随着试验研究及碰撞问题认识的深入，可对摇摆结构平面刚体模型进行合理的修正与完善。如探讨三维振动简化至二维振动的适用条件，考虑摇摆体弹性性质后对刚体模型的修正等。
(2)加强摇摆刚体模型在不同类型摇摆结构理论模型研究中的应用，并建立快速求解摇摆振动响应的方法。摇摆结构在实现形式有如摇摆剪力墙、摇摆桥墩及摇摆框架等，但这些摇摆结构现大多基于有限元模拟或结构试验进行定性分析及单独设计，缺乏相应的理论模型。基于摇摆结构刚体模型，可提出各种类型摇摆结构在工程中适用的理论分析模型，进而建立一套完整的设计理论及实用设计方法。同时完善摇摆结构有限元的建模方法，提出符合实际且可行的碰撞模拟方法。
(3)提高摇摆结构刚体模型的实用性，推进实际工程应用。我国现提倡大力发展建筑工业化及预制装配式结构，抗震性能问题是预制装配式结构设计的关键问题，其中连接部位是预制结构的薄弱部位。特别值得注意的是预制装配式结构中的预制梁柱构件与摇摆刚体在不少方面具有天然的相似性。摇摆结构与预制装配式结构的结合，能够为预制装配式结构的抗震性能提升与改良提供一种不同思路。
7 结论
本文从研究起源与研究现状、具特定条件的刚体模型、试验研究、有限元模拟及在结构体系中的应用五个方面对摇摆结构刚体模型进行了较为系统考察与总结，指出了已有模型存在的优点与局限性，提出摇摆结构刚体模型有待研究的关键问题，为建立更完善实用的摇摆结构刚体模型及应用于摇摆结构分析提供了参考。摇摆结构刚体模型还有很大的发展空间及广阔的应用范围，更加完善的摇摆结构刚体模型及碰撞耗能机理有待深入研究，通过探究摇摆刚体模型在不同类型摇摆结构理论模型研究中的应用，可提高摇摆结构刚体模型的实用性，推进摇摆结构刚体模型的实际工程应用。
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