在对高层剪力墙结构或框剪结构进行设计时，楼梯间一般设置剪力墙形成井筒，但部分楼梯间外纵墙存在图1、图2所示的一字形墙肢。该墙肢受力有以下特点：① 墙肢两端一般仅在楼层高度处通过连梁与其它墙肢相连，连梁宽度与墙厚相同，一般为200 mm左右，连梁高度一般为400 mm~600 mm，连梁面外刚度约为面内刚度的1/20~1/10，对墙肢的约束作用有限。故该连接为相对较弱的点连接，该墙肢面外实际上为一字形墙肢；② 按正常施工工序，一般先施工剪力墙，后施工楼梯，故楼梯的梯板与墙肢之间没有联系，该墙肢为沿房屋竖向从底到顶贯通的墙肢，其高度与楼高相同，计算高度高。虽然剪力墙结构拥有良好的抗震性能[1－4]，但由于以上两点，该墙肢较易发生平面外失稳的问题。在2010年Chile地震[5]、2011年Christchurch地震[6]中均出现了平面外弱支撑的T、L形剪力墙的墙肢失稳现象。表明在强震时，该问题很可能发生，需要加以考虑。
在验算墙体稳定性时，结构设计软件一般假定墙肢每层都与相应层高处的楼板相连，墙体高度直接按层高取值。由于层高一般较小，故大多数墙肢稳定性一般满足要求。但对于本文讨论的高层建筑楼梯间外纵墙的一字形墙肢，由于墙肢高度很高，因此该墙肢稳定性一般不满足要求。但如果直接套用设计软件，墙高取层高计算，则往往给出了该墙肢稳定性满足要求的假象。对此类稳定性不满足要求的墙肢，在软件计算时，如果不进行特殊处理，则该墙肢不但满足稳定性要求，而且该墙肢也将承担地震作用、风荷载和竖向荷载。由一个可能失稳的墙肢承担较大的外部荷载，存在很大的安全隐患。
图1 某高层住宅平面图
Fig.1 A high-rise dwelling house plan
图2 楼梯间及外纵墙一字形墙肢平面图
Fig.2 Staircase and the rectangular shaped longitudinal exterior wall
关于稳定性问题，早在18世纪中期，Euler利用小挠度理论建立了中心受压直杆的挠曲线微分方程，并求解了临界荷载。20世纪30年代，Timoshenko等[7]提出可使用瑞利-里兹法求解弹性稳定问题。Rutenberg等[8]根据连续介质假设分析了联肢剪力墙在自重作用下的屈曲问题，并给出了屈曲荷载的近似公式。Wang等[9]使用能量法对框架-剪力墙结构的面内稳定问题进行了研究，给出了稳定计算公式。王全凤[10]使用加权余量的Galerkin法，提出了双肢剪力墙平面内整体稳定临界荷载的计算公式。王全凤等[11]使用常微分方程(ODE)求解器对双肢剪力墙平面内的稳定特征值问题进行了研究，指出ODE求解器可以精确求解该问题。陈波[12]采用能量法对多肢剪力墙平面内整体稳定问题进行了研究，分别给出了屈曲模态为剪切型和弯曲型的临界荷载计算公式。Zirakian等[13]对四边不同支撑条件的钢板进行了理论分析和数值模拟，给出了不同支撑条件下板件的屈曲荷载。Jin等[14]基于板的稳定理论，对带缝屈曲约束钢板剪力墙的屈曲模态进行了识别。
根据研究成果并参考德国《混凝土与钢筋混凝土结构设计和施工规范》(DIN 1045-1)[15]，同时考虑到混凝土材料的弹塑性、荷载的长期性以及荷载偏心距等因素的影响，《高层建筑混凝土结构技术规程》(JGJ 3―2010)[16](以下简称为《高规》)在附录D中给出了墙体稳定验算的公式。但该公式未考虑墙身自重，仅适用于墙顶作用竖向荷载时墙肢的稳定性验算。由于楼梯间外纵墙仅在墙顶与屋面板相连，墙顶荷载较小，而墙身自重影响很大，故不能直接采用上述公式对该墙肢的稳定性进行验算。
由于《高规》的方法不能用于验算楼梯间外纵墙的一字形墙肢的平面外稳定。因此，本文拟采用理论计算和数值模拟的方法，对该墙肢平面外稳定问题进行分析，提出验算方法，并结合实际工程给出处理措施。
1 墙肢平面外稳定性的分析方法
该墙肢由连梁与其他墙肢连接，墙肢及连梁的面内刚度明显大于面外，因此该墙肢面外失稳将先于面内发生。针对该墙肢面外失稳问题，将墙肢分为两类：一类是在施工过程中，房屋屋面板施工前，此时墙肢顶部无约束，面外实际上为悬臂墙；另一类是在施工完成后，屋面板与墙肢顶部相连，考虑到屋面板的面外刚度较小，对墙肢转动的约束作用较小，故分析时假定屋面板与墙肢为铰接节点。
1.1 顶部无约束墙肢
施工过程中，墙肢顶部无约束。分析时简化为考虑自重的细长杆，如图3所示。设该墙肢达到临界状态时，将产生图3所示的屈曲模态。
图3 自重作用下顶部无约束墙肢计算简图
Fig.3 Calculation diagram of top unconstrained wall under self-weight
侧移曲线y可假设为：
式(1)满足墙肢边界条件：z=0时，下端为固端，y(0)=0、y'(0)=0；z=H时，上端为自由端，y''(H)=0。
根据能量法，不考虑剪切的影响，墙肢的弯曲应变能U1为：
式(2)中，M为墙肢的弯矩。
设墙肢自重为q，使用泰勒级数将cosθ展开，则临界状态时墙肢dz微段的外力势能dVz为：
因此，墙肢总的重力势能Vq1为：
为便于分析，取式(1)级数前两项进行计算。因此，该墙肢体系的总势能Π为：
由势能驻值原理：
将式(6)整理为关于a1、a2的齐次线性方程组。由于a1、a2不能同时为0，故：
则临界荷载qcr1为：
其中，I=Bt3/12，B、t分别为墙肢宽度和厚度。
1.2 顶部有约束墙肢
施工完成后，墙肢顶部有约束。考虑墙身自重，该墙肢达到临界状态时，设屈曲模态如图4所示。
侧移曲线y假设为：
图4 自重作用下顶部有约束墙肢计算简图
Fig.4 Calculation diagram of top constrained wall limb under self-weight
式(9)曲线满足墙肢边界条件：z=0时，下端为固端，y(0)=0、y'(0)=0；z=H时，上端为铰接，y(H)=0、y''(H)=0。
同1.1节，对式(9)侧移曲线取前两项进行分析。分析过程与1.1节类似，得临界荷载qcr2为：
1.3 临界荷载误差验证
分析墙肢在自重作用下的临界荷载时，对式(1)和式(9)的级数型侧移曲线分别取其前两项。如取前三项，则式(8)和式(10)常数项分别为7.84692、54.46523，仅分别相差0.11%和0.32%，故取前两项可以满足工程精度要求。
为验证式(8)和式(10)所计算的临界荷载的正确性，采用ABAQUS有限元软件，对不同高度、不同厚度的墙肢在自重作用下进行特征值屈曲分析。分析时，墙肢混凝土强度等级取C45，墙长4.20 m。分析后，式(8)和式(10)计算结果与有限元分析结果的相对误差如图5所示。
墙肢高度对误差的影响如图5(a)所示，分析时，墙肢厚度取0.35 m，其余参数均保持不变。从图5(a)可以看出，随墙肢高度的增加，式(8)的相对误差缓慢增大，式(10)的相对误差缓慢减小。在墙肢高度60 m～220 m内，相对误差均小于4%，并且式(10)的相对误差小于式(8)。
墙肢厚度对公式误差的影响如图5(b)所示。墙肢高度取100 m，其余参数均保持不变。从图5(b)可以看出，随墙肢厚度的增加，式(8)和式(10)的相对误差变化不大，式(10)的相对误差明显小于式(8)。在墙肢厚度0.20 m～0.40 m内，相对误差均小于4%。
图5 墙肢高度和厚度对相对误差的影响
Fig.5 Influence of height and thickness of walls on relative error
因此，在工程常用范围内，本文提出的式(8)和式(10)的计算误差对高度H和厚度t均不敏感，相对误差小于4%，可应用于工程设计。
需要强调的是，上述公式并没有考虑混凝土材料的弹塑性、荷载的长期性以及荷载偏心距等因素的影响。而在《高规》[16]附录D中，将理论推导的结果乘1/8后，才用于墙体稳定验算。
2 某高层结构楼梯间外纵墙一字形墙肢稳定性的验算
以图1、图2所示的某高层住宅为例。该住宅楼为剪力墙结构，地下2层，地上34层。地上层高均为2.9 m。由于一字形墙肢首层处面外有梁提供支撑，故该墙肢面外无支高度为98.6 m。混凝土强度等级为C45，墙长4.20 m，墙厚350 mm。
该楼梯间外纵墙一字形墙肢靠近楼梯间一侧与梯板分步施工，结构完全脱开，墙肢在平面外实际上没有支撑。因此，结合式(8)，施工过程中一字形墙肢在自重作用下不发生失稳的条件为：
式中：γ为钢筋混凝土容重；B、t分别为墙肢宽度和厚度。将惯性矩I=Bt3/12代入式(11)得：
故对于该工程，施工时一字形墙肢在自重作用下不发生失稳的高度限值为47.51 m。由于一字形墙肢无支高度98.60 m＞47.51 m，故在施工过程中该墙肢在自重作用下将发生面外失稳。采用同样的方法，可以得到顶部楼板施工完毕后一字形墙肢的失稳高度：
对于该工程，施工完成后一字形墙肢在自重作用下不发生失稳的高度限值为90.75 m＜98.60 m。即顶部楼板施工完成后也存在自重作用下失稳的问题。
由于连梁对墙肢的拉结及梯板与墙肢可能的连接，实际工程中该墙肢也可能不发生失稳。但在地震作用下，由于该墙肢将承担较大的水平地震作用，连梁与该墙肢之间相对较弱的点连接可能发生损坏，进而该墙肢发生失稳破坏的可能性将大大增加。应采取相应的措施，提高该墙体的稳定性。
3 处理方法
由式(8)、式(10)可知，墙肢的临界荷载与墙肢高度、面外惯性矩以及混凝土弹性模量有关。由于增加墙厚或提高混凝土弹性模量来提高墙体的稳定性很不经济且效果较小，因此，可从减小墙肢的无支高度或提高墙肢平面外的惯性矩入手，以解决墙肢稳定性问题。
3.1 添加翼缘或风井
结合建筑外观要求，专门设置翼缘可以提高墙肢平面外的惯性矩。此外，高层建筑通常会在楼梯间布置用于消防排烟的风井，采用与墙肢整浇的钢筋混凝土风井也可以提高墙肢平面外的惯性矩。
在一字形墙肢外侧增设如图6所示350厚的两个翼缘，其外伸长度bf分别取350 mm、700 mm、1050 mm，或设置壁厚为200 mm、平面尺寸为650 mm(bf1)×1100 mm(bf2)的风井。计算时，除考虑墙肢自重外，也考虑连梁传递的一部分梯板、平台梁板的荷载。由于该墙肢高度较高，且不同高度处梯板的自重(150 mm厚)和施工荷载(2.0 kN/m2)基本相同，故将每层的楼梯荷载分布到层高范围内，作为与自重相似分布的梯板等效荷载p(13.27 kN/m)。添加翼缘和风井后，使用式(8)和式(10)对临界荷载进行计算，墙肢临界荷载及稳定性见表1。
由表1可知，墙肢外侧增设翼缘和风井均可有效提高一字形墙肢的稳定性。但如设置翼缘，则只有翼缘高度大于等于1050 mm时，理论上才满足稳定要求，这在实际工程中并不适用。如果考虑施工过程中1/8的折减，则上述方法均不满足稳定要求。但在施工完成后，增设高度大于等于1050 mm的翼缘，即使考虑1/8的折减，也可以满足稳定性要求，但增设的翼缘尺寸较大，一般不被业主所接受。
因此，尽管增设翼缘和风井均可有效提高墙肢的稳定性，但要满足稳定要求，增设的翼缘和风井尺寸较大，故不推荐该方案。
图6 一字形墙肢外侧添加翼缘及风井示意
Fig.6 Adding flanges and air shafts on the outside of the rectangular-shaped walls
表1 添加翼缘或风井后墙肢临界荷载及稳定性
Table 1 Critical load and stability of walls after adding flanges or air shafts
处理措施 墙肢自重q/(kN/m)q+p/(kN/m)无约束临界荷载qcr1/(kN/m)有约束临界荷载(q+p)/q q/(kN/m)cr2cr2不处理 bf=0 36.75 50.02 4.09 28.65 1/0.57 bf=350 42.88 56.15 11.78 82.11 1/1.46增设翼缘/mm bf=700 49.00 62.27 37.25 259.69 1/4.17 bf=1050 55.13 68.40 88.48 616.76 1/9.02增设风井/mm bf1=65056.75 70.02 64.29 448.15 1/6.40 bf2=1100
3.2 梯板分布筋锚入墙肢与墙肢整浇
如图7所示，一字形墙肢平面位置基本处于梯板范围。梯板上下两层均设置适当加粗的分布钢筋，并按受拉要求锚入到墙肢内，梯板与墙肢整浇，则梯板可为该墙肢提供侧向支撑，从而将墙肢的高度减小到层高左右，计算高度大大减少。则该墙肢的稳定性一般满足。
该做法可以有效解决一字形墙肢的稳定性问题，但该做法不便于施工，实际工程中不建议采用该方法。
3.3 填充墙替代一字形墙肢
如取消一字形墙肢，沿层高处布置梁，梁上布置轻质填充墙，则可避免楼梯间一字形墙肢的稳定性问题。但在地震区，部分填充墙将先于主体结构破坏[17]，楼梯间填充墙的损坏将影响人员疏散和逃生。因此需要提高楼梯间填充墙的抗倒塌能力，保证生命通道的畅通[18]。建议采用轻质墙板，如采用砌体填充墙，应采用钢丝网砂浆面层加强[19]，或采用玻纤格栅加强[20]。
图7 梯板分布筋伸入墙肢内示意
Fig.7 Extending the distributed reinforcements of stair slab into the wall
该做法可以规避一字形墙肢的稳定性问题，且施工方便，建议采用该方法。
3.4 计算时不考虑一字形墙肢承担地震作用
如果对该墙肢不进行处理，在地震作用下该墙肢容易产生失稳破坏。该墙肢破坏后，其地震作用将转移给其它墙肢承担。为保证地震作用下该墙肢失稳后结构的安全，在进行结构设计时，先考虑该墙肢的刚度计算结构的地震作用，然后不考虑该墙肢，分配地震作用并进行配筋设计。如果这样设计，则即使该一字形墙肢在地震作用下破坏，结构整体安全也能得到基本保证。
该做法可以保证一字形墙肢破坏后结构的整体安全，但不能防止地震作用下一字形墙肢容易失稳破坏的问题。
4 结论
本文针对实际工程中新出现的楼梯间外纵墙一字形墙肢失稳的问题，首先根据能量法原理，建立了一字形墙肢考虑自重时平面外失稳的计算方法，然后采用有限元数值模拟验证了该方法的正确性，最后归纳总结了该问题的处理方法。得到以下结论：
(1)本文提出了一字形墙肢考虑自重时平面外失稳的计算方法，该方法可以用于分析楼梯间外纵墙一字形墙肢稳定性的问题。
(2)设计中如果不对楼梯间外纵墙一字形墙肢进行处理，则该墙肢存在失稳的可能，在地震作用下容易发生失稳破坏。
(3)建议用轻质填充墙替代一字形墙肢，并采取措施防止填充墙在地震中的破坏，保障疏散通道的畅通。
(4)下述三个方法各有利弊，也可酌情采用：一是在一字形墙肢一侧添加翼缘和风井，该方法可改善其稳定性，但较难完全满足稳定要求；二是将梯板分布筋锚入墙肢并与墙肢整浇，该方法可以解决墙肢的稳定性问题，但增加了施工工期和成本；三是在设计中不考虑一字形墙肢承担地震作用，但地震作用下该墙肢容易破坏。
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