混凝土是一种典型的非均质材料，这使得混凝土宏观力学性能表现出明显的非线性和尺寸效应行为。混凝土结构尺寸效应问题，是近几十年来混凝土结构工程领域的世界性科学难题之一，对其的研究集中于两个层次[1―2]，即：1)混凝土材料层次尺寸效应；2)钢筋混凝土构件层次尺寸效应。混凝土材料层次的尺寸效应问题实际上是一个复杂的材料科学问题，其主要受到骨料粒径、骨料分布、混凝土强度等级、初始缺陷等微-细观组成因素的影响[1,3]。针对混凝土材料尺寸效应行为，在物理试验、数值模拟及理论分析方面均取得了非常卓越的成绩。基于不同的框架理论，研究者已建立了相关的尺寸效应理论，如经典的Bažant断裂力学尺寸效应律[4]、Weibull统计尺寸效应律[5]、Carpinteri多重分形尺寸效应律[6]等，试验结果亦已证实了这些尺寸效应理论公式的合理性。
混凝土亦是一种典型的率敏感性材料，与静态荷载加载下相比，爆炸、冲击等动态加载尤其是高应变率荷载作用下的混凝土破坏模式及动态强度表现出明显区别[7]，即所谓的应变率效应。众所周知，混凝土材料动态强度增强的率效应机制主要由三个方面构成：1)侧向约束效应[8―10]：由于泊松效应及端部摩擦带来的侧向约束效应会抑制或约束混凝土试件的侧向变形；2)裂缝的扩展演化[11]：不同于静载下裂缝沿薄弱的界面(ITZ)区域扩展，动态加载下裂缝可能穿透粗骨料颗粒；3)粘性效应[11]：混凝土微裂缝中的自由水将抑制动态加载下裂缝的扩展。
综上所述，混凝土表现出明显的尺寸效应行为和率效应行为。那么，“尺寸效应”和“率效应”耦合作用下混凝土将表现出怎样的力学行为与破坏特征，是众多研究者所尝试回答的主要内容。总体来说，目前在尺寸效应研究方面针对“静态”加载下的混凝土破坏行为的工作开展得较为完善，而对于“动态”加载下混凝土尺寸效应的研究则远远不足。鉴于试验设备的限制，仅有少量研究者对此开展初步研究。Krauthammer等[12]、Filho等[13]和Elfahal等[14]开展了动态压缩加载下普通混凝土(0.06 s-1～3.03 s-1)和高强混凝土(0.014 s-1～0.111 s-1)的尺寸效应试验，试件尺寸(直径×高度)为：75 mm×150 mm、150 mm×300 mm、300 mm×600 mm、600 mm×1200 mm。他们的试验结果表明：动态加载下圆柱形混凝土轴压强度存在明显的尺寸效应行为，即：名义强度随尺寸增大而降低。Bindiganavile和Banthia[15]对三种不同尺寸的混凝土梁进行三点受弯冲击试验，梁截面的最大高度为150 mm，冲击速度为1.98 m/s ～4.43 m/s，其试验研究发现：动态荷载下混凝土尺寸效应更加显著，且抗折试验中混凝土尺寸效应比抗压试验更为显著。胡伟华等[16]开展了不同应变率(10-5 s-1～10-2 s-1)下混凝土(边长为150 mm、300 mm、450 mm立方体试件)动态抗压性能试验，发现随着尺寸的增大，软化程度随之增大，而动态强度不断减小，吸能能力随之降低。近年来，Wang等[3]开展了高应变率(33 s-1～144 s-1)下RCC混凝土SHPB轴压试验(试件最大直径为100 mm)，他们发现：动态加载下，混凝土压缩强度随试件尺寸的增大而增大，与静态加载下尺寸效应规律完全相反。而Li等[17]关于高应变率下混凝土SHPB动态压缩试验(试件最大直径为50 mm)则表明动态加载下，试件尺寸对混凝土动态强度影响不大，不同高度混凝土试件的动态强度基本相同。
上述研究工作初步证实了动态加载下混凝土尺寸效应行为与静态加载下尺寸效应存在的显著区别。尽管如此，关于动态加载下混凝土材料动态力学性质尺寸效应行为及其产生机理与机制的认识还远远不足[3]，亦缺乏能描述动态荷载作用(应变率效应)影响的尺寸效应理论公式。
由于试验设备与条件的限制，基于物理试验手段来揭示动态加载下不同尺寸(尤其是大尺寸)混凝土破坏的尺寸效应规律是不切实际的，如高应变率下大尺寸混凝土试件的动态破坏试验。数值模拟成为研究混凝土动态微-细观破坏机制，揭示动态尺寸效应规律的另一途径。
近年来，结合混凝土微-细观结构特征，不少研究者采用细观力学分析方法来研究混凝土动态破坏行为与机制，如文献[9,10,18―24]。鉴于混凝土尺寸效应源于其内部组成的非均质性[1,4]，研究者亦借助细观力学模拟方法来研究材料静态尺寸效应行为，如文献[25―27]。
本文针对混凝土材料的动态拉伸破坏行为，亦从细观角度出发，考虑材料非均质及细观组分的应变率效应，建立能反映尺寸效应和率效应耦合作用的细观数值分析模型与方法，研究地震作用及低速冲击等低应变率(10-5 s-1～1 s-1)情况下混凝土材料动态拉伸破坏的尺寸效应行为与规律。另外，结合应变率效应对动态强度及尺寸效应的影响与作用机制，建立混凝土材料拉伸强度的“静动态统一”尺寸效应理论公式。
1 细观数值模拟方法与验证
正如第1节所述，混凝土尺寸效应根源于其细观组成的非均质性[1,4]，因此数值模拟方法需能描述混凝土细观结构特征。另外，对于动态加载问题，还需在数值模型中考虑细观组分的应变率效应。下文将对细观数值分析模型进行详细说明。
1.1 细观尺度几何模型建立
细观尺度上，将混凝土看作由骨料颗粒、砂浆基质及两者间界面过渡区(ITZ)组成的复合材料。同文献[9,10,18―20]，采用二级配混凝土，假定骨料为圆形，骨料包含两种等效粒径：中石粒径为30 mm，小石粒径为12 mm；骨料所占体积分数约为49%。采用经典的“取-放”(Take and Place)方法[20,26]对骨料进行随机投放，生成了如图1所示的高宽比h/b为2的双边缺口混凝土试件(宽度×高度=b×h)。缺口区域为正方形，其边长为b/10。
圆形骨料周围的等厚薄层区域设定为界面过渡区，考虑到计算量的限制，界面厚度设为0.5 mm；其余区域为砂浆基质。采用常应变三角形单元来划分网格，网格平均尺寸为1 mm。
为研究动态单轴拉伸加载下的混凝土尺寸效应行为，对于图1所示的混凝土试件的边界条件为：顶端施加恒定速度v(=
×h)，其中
为试件的名义应变率；试件底部为竖向约束；两侧为自由边界。
需要指出的是，本文采用二维平面模型来模拟实际三维混凝土试件，忽略了实际混凝土的三维约束效应的影响。对于三维混凝土的动态力学行为将在后续工作进一步展开。
图1 数值模拟细观模型示意图
Fig.1 Meso-scale simulation model of concrete specimens
1.2 细观组分本构关系
1)塑性损伤本构模型
在本文所讨论的“低应变率情况”下，混凝土中骨料因其强度相对较大，一般不发生破坏。因此可假定骨料为弹性体。对于软骨料或轻骨料混凝土试件，则不在本文讨论范围内。
Lee和Fenves[28]在Lubliner等[29]本构模型的基础上，提出了可描述混凝土塑性永久变形及损伤特征的塑性损伤模型。该混凝土损伤模型的核心是假定混凝土的破坏形式是拉伸和压缩破坏，由各向同性的损伤变量来表征混凝土的拉伸断裂和压缩破坏导致的刚度退化，其可表达为：
式中：d代表刚度退化变量，其值介于0～1之间，其中“0”表示无任何损伤，“1”则表示完全失效。而弹性刚度的退化是由与失效机制(压碎和开裂)密切相关的损伤造成的；
代表初始无损伤状态的材料各向同性线弹性刚度；εpl代表塑性应变张量；Del代表材料损伤为d时的刚度。
该本构模型可以描述单调加载，周期性往复加载，低围压下动力加载问题等，亦被商业软件ABAQUS所采纳，因此得到众多学者极为广泛的应用。参同文献[21]的工作，砂浆基质及界面过渡区的宏观力学行为与混凝土基本类似，因此可采用该塑性损伤模型来描述其力学行为。关于该本构模型的详细描述，见文献[21,27]。
2)应变率效应
本文研究的冲击问题属于普通动力学问题，采用普通的动力学方程。相比于抗压和抗拉强度，混凝土的其他力学参数如弹性模量、泊松比及断裂能等应变率敏感性较弱[30―31]。鉴于此，本文数值模拟中，仅仅考虑材料强度的放大行为，即细观组分应变率效应采用其强度放大系数DIF(动态强度/静态强度)来表示。该处理方法与文献[9,18,21,32]相同。
CEB-FIP规范[33]中用来表征混凝土动态抗压强度提高因子(CDIF)的公式为：
式中：fcd为应变率
时的混凝土动态抗压强度；fcs为静态抗压强度
其中α=(5+3fcu/4)-1，fcu/MPa为混凝土立方体抗压强度。
针对拉伸强度增大行为(TDIF)，这里采用修正的CEB模型[34]来表征，即：
式中：ftd为应变率
时的混凝土动态抗拉强度；fts为静态抗拉强度(ts=1×10-6 s-1)；lgβ=6δ-2，其中
为准静态下混凝土轴心抗压强度。
综上所述，在动态加载下设定骨料一直保持弹性体不会断裂，而砂浆及界面过渡区的力学行为采用考虑材料应变率效应的塑性损伤本构模型来描述。最后，基于有限元软件ABAQUS显式动力求解器进行数值模拟。
1.3 细观数值模型验证
为验证上述细观力学分析方法的可行性，对Yan和Lin[35]开展的关于低应变率下混凝土动态直拉试验进行细观数值模拟。该试验中，仅给出了混凝土材料的宏观劈拉和压缩强度。对于骨料、砂浆基质及界面的密度参数ρ、弹性模量E及泊松比ν，这里参考Zhou和Hao[18]的研究工作。而对于砂浆基质和界面过渡区抗拉/抗压强度，则通过反复试算的方式来确定。
当采用表1所示的力学参数时，获得的混凝土直拉破坏模式(试验结果与数值模拟结果，针对应变率
=10-3 s-1)及拉伸应力-应变关系曲线分别如图2和图3所示。从图2可以看出，在应变率
=10-3 s-1作用下，采用本文细观分析方法获得的破坏模式(用损伤因子ω来表征，ω=0表示无破坏，ω=1则表示完全破坏)与试验破坏模式一致(试件中呈现“一”字型贯通裂缝)。
图3为获得的宏观名义拉伸应力-应变之间的定量关系。可以看出，采用表1的力学参数时，两组不同应变率下获得的模拟结果(尤其是拉伸强度)均与试验结果吻合良好，仅下降段曲线略有差别。这验证了上述提出的细观力学方法的可行性及细观组分力学参数选取的合理性。
表1 混凝土细观组分力学参数
Table 1 Mechanical parameters of meso components
注：*取自文献[18]；^为反复试算参数。
骨料颗粒 砂浆基质 界面过渡区密度ρ /(kg/m3)2880* 2750* 2750*弹性模量E /GPa 73* 38* 26泊松比ν 0.16* 0.2* 0.2*剪胀角ψ /(°)18 15抗压强度σc / MPa 23.0^ 15.0^抗拉强度σc / MPa 2.3^ 1.5^
图2 细观模拟结果与Yan和Lin[35]试验破坏模式对比
Fig.2 Comparison of the failure modes of the meso-scale simulation results and Yan and Lin's[35] test observations
图3 细观模拟结果与Yan和Lin[35]试验应力-应变关系对比
Fig.3 Comparison of the stress-strain curves of the mesoscale simulation results and Yan and Lin's [35] test observations
2 双边缺口混凝土试件动态拉伸破坏行为
为研究应变率效应对混凝土动态单轴拉伸破坏行为及其尺寸效应的影响，基于上述验证了的细观力学数值分析模型与方法，在六组不同名义应变率(
=10-5 s-1(准静态)、10-4 s-1、10-3 s-1、10-2 s-1、10-1 s-1和1 s-1)下，对五组不同尺寸(试件的宽度b为：100 mm、150 mm、200 mm、300 mm和400 mm)双边缺口混凝土试件的动态拉伸破坏行为进行数值模拟与分析。
需要说明的是，为讨论“尺寸”唯一因素的影响，所有不同尺寸混凝土试件的骨料含量以及骨料粒径相同，仅试件的尺寸不同。关于骨料最大粒径及骨料级配的影响，将另文讨论。
2.1 动态拉伸破坏模式
图4代表性地给出了应变率
=10-2s-1下五组不同尺寸混凝土试件的动态拉伸破坏模式。可以看出，所有试件的损伤破坏均绕开骨料，形成曲折裂缝，损伤区域不断扩展和演化，最终贯穿于两边缺口面上，形成具有一定宽度的断裂带。
图5给出的是同一尺寸(150 mm×300 mm)混凝土试件在不同应变率下的最终拉伸破坏模式。可以发现，准静态(
=10-5 s-1)加载下，缺口混凝土试件中仅产生一条贯穿的裂缝；而随着应变率的增大，试件中裂缝数量明显增多，裂缝分支分叉，损伤区域不断增大，耗散能量增多，因而将导致混凝土强度的提高。该模拟结果与Snozzi等[17]结果一致。
2.2 动态拉伸应力-应变关系
图6为模拟得到不同应变率及不同尺寸下混凝土宏观动态拉伸应力与应变关系曲线。
从图6可以看出，同一尺寸的混凝土试件在低应变率下，随着应变率的增大，混凝土的峰值拉伸应力(拉伸强度)以及其对应的峰值拉伸应变随之增大。另外还可以发现，相同尺寸的混凝土试件，应变率越大，混凝土动态拉伸应力-应变软化段曲线越平缓。
而相同应变率下，不同尺寸试件的峰值拉伸应力及峰值应变具有明显的差异性。应变率较低(如 
=10-5 s-1)时，差异最大；随着应变率的增大，不同尺寸试件名义拉伸强度及峰值应变差异逐渐减小。
简言之，动态加载下，混凝土的拉伸强度及峰值应变均存在明显的尺寸效应行为，即尺寸越大，强度与峰值应变越小。尽管如此，随着应变率的增大，不同尺寸试件的拉伸强度的差异随之减小。
当应变率
=1s-1时，五组不同试件尺寸下混凝土材料的最大拉伸应力(拉伸强度)、峰值应变以及拉伸应力-应变关系曲线基本相同。也就是说，该应变率下混凝土拉伸强度的尺寸效应被完全抑制。这里，将该应变率
=1s-1定义为临界应变率
。
图4 不同试件尺寸及同一应变率
=10-2s-1下缺口混凝土最终破坏模式
Fig.4 Final failure patterns of the notched concrete specimens having different structural sizes under strain rate
=10-2s-1
图5 不同应变率及相同试件尺寸下缺口混凝土最终破坏模式
Fig.5 Final failure patterns of the notched concrete specimens having the same structural sizes under different strain rate
图6 不同应变率及试件尺寸下缺口混凝土宏观拉伸应力-应变关系曲线
Fig.6 Macro tensile stress-strain curves of notched concrete samples having different structural sizes under different strain rates
2.3 骨料随机分布形式的影响
由于骨料空间分布、初始缺陷及细观组分材料力学性质(如强度、弹性模量)的随机性等，混凝土的宏观强度具有显著的随机性。这里为研究骨料空间分布形式对混凝土动态拉伸破坏模式、应力-应变关系尤其是名义强度的影响，对三组含不同骨料空间分布混凝土试件的动态拉伸破坏行为进行模拟分析。典型的，尺寸为150 mm×300 mm试件在应变率
为10-4 s-1和10-2 s-1下的破坏模式如图7所示。
图7 骨料空间分布对混凝土拉伸裂缝路径的影响
Fig.7 Effect of aggregate distribution on fracture path of concrete under uniaxial tension
可知，单轴拉伸加载下，混凝土试件的损伤(裂缝)区域均集中在缺口区。总体来说，骨料分布影响试件具体的裂缝路径，但对于宏观拉伸应力-应变关系曲线及拉伸强度的影响可忽略，如图8所示。
图8 骨料空间分布对混凝土拉伸应力-应变的影响
Fig.8 Effect of aggregate distribution on the macro stress-strain curves of concrete under uniaxial tension
3 混凝土动态强度尺寸效应分析
3.1 强度与试件尺寸关系
图9为模拟得到的不同应变率下混凝土动态拉伸强度与结构尺寸(试件宽度b)之间的关系曲线。可以发现如下规律：
1)应变率增大，拉伸强度明显增大。
2)低于临界应变率
(为1 s-1)时，混凝土动态拉伸强度均随着试件尺寸的增大而呈现线性减小趋势，但强度减小的速度快慢(这里用线性拟合的退化斜率k来表征)不同。随应变率增大，退化斜率绝对值越来越小，强度退化趋势不断减缓，也就是说在低应变率动态加载下混凝土拉伸尺寸效应行为逐渐被削弱。当应变率为临界应变率
时，强度退化斜率趋于零，尺寸效应行为被完全抑制。
图9 不同应变率下缺口混凝土动态拉伸强度与试件尺寸关系
Fig.9 Relationship between dynamic tensile strength and structural size of concrete having different strain rates
3.2 强度与应变率关系
图10给出的是五组不同尺寸混凝土试件下模拟得到的动态拉伸强度与应变率的关系。可以看出，随着应变率的增大，强度呈现增大趋势。另外，不同尺寸试件下，随着应变率的增大，动态强度增大的幅度不同：尺寸越大，动态强度随应变率增大速度越大。也即是说，尺寸越大，试件的应变率敏感性越强。这正是由于应变率效应和尺寸效应耦合作用而导致的。该结论与Wang等[3]试验结果一致。
图11给出的是尺寸为100 mm×200 mm缺口混凝土试件的动态拉伸强度放大系数TDIF(动态强度与静态强度的比值)与应变率(lg)的关系。这里，本文对该尺寸下模拟得到的动态强度放大系数TDIFfit进行拟合分析，得到拟合曲线(10-5 s-1≤
≤1 s-1，相关系数R2=0.99)的表达式为：
3.3 与Bažant“静态”尺寸效应律对比
在混凝土材料尺寸效应理论方面，研究者提出了多种尺寸效应理论[4―6]，包括：统计尺寸效应理论、断裂力学尺寸效应理论、多重分形尺寸效应理论、边界尺寸效应理论及全局(统一)尺寸效应理论。其中，Bažant等[4]根据断裂力学理论提出了适合混凝土材料“静态”破坏行为的尺寸效应理论公式：
图10 不同尺寸混凝土试件拉伸强度与应变率关系
Fig.10 Relationship between tensile strength of concrete having different structural sizes and strain rates
图11 动态拉伸强度放大系数拟合曲线
Fig.11 Fitting curve for the increase of dynamic tensile strength
式中：σNu为混凝土静态名义强度；D为特征尺寸(这里取为试件宽度)；B、D0为通过回归分析得到的两个经验系数；
为混凝土拉伸强度。
对式(5)重新整理得到：
将式(6)改写为线性方程形式:
式中：
通过对试验数据的进行回归分析后获得相应参数A和C的数值。这里，尝试将动态强度数据值与Bažan“t静态”尺寸效应律进行对比与分析。表2给出了不同应变率情况下回归分析得到的经验参数值。
表2 不同应变率下拟合得到的B与D0
Table 2 Parameters of B and D0 under different strain rates
注：
取在应变率1×10-5 s-1作用下宽度b为100 mm试件的拉伸应力峰值；
=1.769 MPa。
应变率images/BZ_66_894_1985_934_2031.png/s-1 A C Bft′/MPa B D0/mm 1×10-5 8.61×10-4 0.221082.12678 1.20225257 1×10-4 8.08×10-4 0.223142.11693 1.19668276 1×10-3 6.77×10-4 0.208112.19205 1.23915307 1×10-2 1.34×10-4 0.201502.22773 1.259321504 1×10-1 1.29×10-5 0.132902.70996 1.5319210580 1 1.32×10-6 0.102903.11737 1.7622277956
从表2可明显看出，随着应变率的增大，B基本不变，而D0逐渐变大。实际上，参数D0与所施加的应变率大小有强烈的关联性。对模拟数据进行回归分析后，可得到混凝土动态拉伸强度随结构尺寸变化的双对数曲线，如图12所示。同时，将模拟结果同Bažant尺寸效应律(SEL)、线弹性断裂力学理论(LEFM，针对完全脆性材料)以及塑性强度(Strength criterion：针对塑性材料，不考虑尺寸效应)进行拟合对比。
从图12(a)给出的混凝土准静态(
=10-5s-1)模拟结果分析可以看出，拉伸强度数据点与Bažant尺寸效应律吻合很好(相关系数R2为0.97)，且数据点趋近于LEFM曲线，即斜率为-1/2的直线，表明混凝土静态拉伸强度具有明显的尺寸效应。从图12(b)可知，随着应变率的增大，强度数据点趋向于无尺寸效应的塑性强度线，尺寸效应逐渐被削弱；当应变率
=1s-1时，数据点与塑性强度线完全重合，此时尺寸效应行为被完全抑制。
图12 不同应变率下动态强度的尺寸效应律
Fig.12 Size effect law for dynamic tensile strength of concrete having different strain rates
3.4 动态强度尺寸效应机理初探
正如4.3节所述，不同加载速率下，混凝土材料动态拉伸强度表现出的尺寸效应具有明显差异。在低应变率(
≤1s-1)下，随着应变率的增大，动态拉伸强度增大，但强度的尺寸效应逐渐被削弱。产生这种变化的主要原因应包括如下方面：
混凝土材料静态强度尺寸效应实际上是一个复杂的材料科学问题[1－2]，其仅与微、细观结构特征相关联，受到骨料粒径、骨料分布、骨料形状、初始缺陷等因素的影响，混凝土内部组成的非均质性导致了其宏观力学性能明显的非线性。在准静态荷载作用下，混凝土材料内部应力分布相对较均匀，且随着应力的增长内部最薄弱区域(如界面过渡区)最先达到极限强度出现损伤产生裂缝并扩展到砂浆基质。由于准静态荷载作用内部应力增长较慢，宏观裂缝有足够时间绕开骨料，沿着最大缺陷处或较薄弱区域发展演化，直至形成相对集中的宏观裂缝而导致最终破坏。试件尺寸越大内部薄弱和含缺陷区域越多，使得混凝土名义强度表现出明显的尺寸效应行为。
而动态加载下，混凝土动态尺寸效应不仅受到混凝土本身的“材料效应”(material effect)的影响，还将受“结构效应”(structural effect)的影响。这里，“材料效应”包括材料的非均质性特征及材料固有的应变率效应，“结构效应”则包括侧向约束作用、端部摩擦作用及惯性效应等。
对于本文讨论的低应变率情况，随着应变率的增大，混凝土材料内部孔隙水压提高，自由水产生的粘性效应使裂缝开裂扩展的速度变缓；由于泊松效应带来的侧向约束作用逐渐增强，制约横向变形而产生的水平向惯性抗力使得混凝土试件处于复杂应力状态，也抑制或延迟试件宏观裂缝的产生，材料破坏需要消耗更多的能量，导致混凝土名义强度不断增大。另外，随着应变率的增大，混凝土材料内部应力分布不均匀性逐渐增大，最薄弱区域的应力还未达到强度极限时，而某些次薄弱区域的应力可能己经达到其强度极限，使得材料内部缺陷等因素对动态名义强度的影响比重逐渐减小；同一时刻达到材料强度极限的区域增多扩展形成更多数量的裂缝，并出现裂缝分支交叉现象，且尺寸越大裂缝路径越长，扩展演化更为复杂；同时，惯性作用对名义强度增大的影响逐渐加大，并且其作用大小与试件尺寸相关，尺寸越大惯性作用越强，这些因素共同导致了混凝土动态强度所展现的尺寸效应逐渐被削弱，甚至在临界应变率时混凝土材料“材料效应”和“结构效应”对尺寸效应的影响达到一个相互平衡，相互制约的状态，使得动态强度所展现的尺寸效应被完全抑制。
4 动态拉伸强度尺寸效应理论
4.1 动态尺寸效应理论建立
正如第4节所分析，动态加载与静态加载下混凝土拉伸破坏展现出不同的破坏模式以及不同的尺寸效应规律。简言之，应变率效应影响混凝土破坏的尺寸效应律。本节拟在Bažant“静态”尺寸效应律的基础上，耦合应变率对尺寸效应的影响规律，提出“静动态统一”的尺寸效应理论公式。
根据第4节结果与分析可知，应变率效应的影响主要体现在两个方面：
1)强度的增强效应：随应变率增大，拉伸强度随之增大，该影响可用强度增强效应系数
来表征；
2)尺寸效应的削弱与抑制：随着应变率增大，在达到临界应变率
之前，强度退化的尺寸效应行为被削弱和抑制，该影响可用系数
来描述。
鉴于此，在Bažant静态强度尺寸效应理论的基础上，可建立动态强度
的尺寸效应理论公式：
式中：动态强度增强效应系数取用本文的拟合结果(式(4))，即
需要说明的是，式(8)中B、D0为“静态”加载下通过回归分析得到的两个经验系数；
为混凝土静态拉伸强度。
该尺寸效应理论公式不仅可以反映动态加载破坏情况，亦可反映静态加载破坏情况，因此本质上是一种“静动态统一”尺寸效应理论。
4.2 应变率影响系数
如何建立应变率对尺寸效应影响系数
的表达式是本节研究的重点内容。图13给出了
与
的关系曲线。当应变率
时，为准静态作用(
表征)，此时应变率对尺寸效应无影响，即
当应变率
(临界应变率
)时，此时尺寸效应被完全抑制，因此该应变率状态下动态拉伸强度应为：
联立式(8)和式(9)，可得知临界应变率
下的影响系数
为：
当应变率
界于
和
之间时，可采用如图13所示的线性或非线性变化曲线来描述应变率对尺寸效应的影响。这里，暂采用线性关系来描述应变率的影响作用。基于该假定及上述分析，可得影响系数
的表达式为：
这里，临界应变率
图13 影响系数的确定
Fig.13 Determination of the coefficient
4.3 “静动态统一”尺寸效应理论的验证
为验证上述建立的“静动态统一”尺寸效应理论公式的准确性和合理性。这里，将上述模拟的尺寸为100 m×200 m混凝土试件为基准试件，其静态抗拉强度
其动态强度放大因子TDIFfit可详见拟合式(4)；另外，将准静态加载
下获得的“静态”尺寸效应律拟合参数B和D0作为基准参数，即B=1.20、D0=257。在该基本条件下，可以通过式(8)给出的“静动态统一”尺寸效应理论公式来预测更大尺寸及更大应变率下的混凝土动态拉伸强度值。
图14给出了本文尺寸效应理论公式的预测结果与前文模拟结果的对比情况。可以看出，大部分数值模拟拉伸强度数据点落在本文尺寸效应理论所建立的理论强度曲面上，也就是说，本文建立的“静动态统一”尺寸效应理论公式可以很好地描述在应变率效应耦合作用下的混凝土拉伸强度的尺寸效应规律。
图14 理论预测模型与模拟结果对比
Fig.14 Comparison of the theoretical and simulated results
5 结论
本文结合混凝土细观结构非均质特征，考虑动态加载下细观组分应变率效应的影响，建立了混凝土破坏行为研究的细观力学分析模型与方法，模拟研究了动态拉伸加载作用下混凝土破坏的尺寸效应行为，分析了应变率效应对尺寸效应的影响规律。另外，结合应变率效应对强度及尺寸效应的影响机制，建立了混凝土拉伸强度的“静动态统一”尺寸效应律公式。主要研究成果和结论如下：
(1)动态加载下，由于破坏模式的差异及侧向约束效应的影响，混凝土动态拉伸强度尺寸效应规律与静态加载情况存在明显差异。
(2)混凝土动态拉伸强度尺寸效应存在一个临界应变率
即：在该应变率下，混凝土拉伸强度与尺寸无关，尺寸效应被完全抑制。
(3)低于临界应变率时，混凝土动态拉伸强度表现出尺寸效应，即随着试件尺寸增大，强度呈现下降趋势；另外，随应变率增大，混凝土强度退化速度减小，即尺寸效应被削弱。
(4)动态加载下，低于临界应变率时，应变率效应影响效应可分为两个部分：强度的增强效应，及尺寸效应的削弱与抑制效应。
(5)提出的混凝土“静动态统一”尺寸效应理论公式建立了动态和静态尺寸效应之间的关联性，可很好地描述在应变率效应耦合作用下的混凝土拉伸强度的尺寸效应规律。
需要说明的是，本文仅探讨了中低应变率(＜1 s-1)下混凝土动态拉伸破坏的尺寸效应行为，对更高应变率(＞1 s-1)分析结果将另文报道。另外，本文仅将数值模拟结果和所提出的理论模型进行比较，还需更多的物理试验数据来验证所建立的理论模型的准确性和合理性。
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