现代城市中,由于人口密集及土地资源有限等原因,导致相邻结构之间的间距过小。许多实例表明,相邻结构在强震发生时,往往因各自不同的动力特性而产生较大的响应差异,结构间发生碰撞的可能性很大。如1985年墨西哥城市大地震,在被调查的330栋严重损伤或倒塌的建筑物中,超过40%发生了碰撞,总数的15%倒塌[1];1989年Lomaprieta地震,在所调查的500栋建筑物中,有超过200处地方发生了碰撞[2]。已有的世界主要城市地震灾害调查结果亦表明,结构碰撞会带来建筑物的严重破坏甚至倒塌[3-8]:如1994年Northridge地震、1995年Kobe地震、1999年Turkey地震[3-4]、2000年Chi-Chi地震[5]和2008年汶川地震[6-8]等,均曾观测到因相邻结构之间的碰撞而带来的严重破坏现象。鉴于此,我国作为地震多发国家之一,进行相邻结构临界间距的性能评估具有重要的理论研究意义和工程应用价值。
减轻或避免相邻结构间碰撞破坏最直接有效的方法便是设置合适的相邻间距,即预留有效的防震缝宽度。Jeng等[9]基于反应谱理论,提出了一种差异谱方法,即二重差分法(DDC法),用于求解相邻线性单自由度(SDOF)结构避免碰撞的最小间距;Wang和Hong[10]考虑结构参数的不确定性,基于可靠度和随机振动理论评估了相邻线性单自由度、多自由度结构间避免碰撞的临界间距的分位数信息;Bipin[11]解析地给出了相邻结构避免碰撞的临界间距,并将该方法计算出的相邻线性和非线性SDOF结构的临界间距与SRSS法和DDC法进行了对比;Hao和Shen[12]考虑结构扭转耦合侧向响应,通过大量的参数化分析,研究了相邻非对称结构自振频率、扭转刚度与偏心对临界间距的影响;Lin等[13]提出了一种数值模拟方法,计算按UBC 97规范确定临界间距的相邻结构在一定时期内的碰撞风险,指出周期比是影响相邻结构碰撞风险的重要参数。Hong等[14]基于可靠度和随机振动理论评估了考虑和不考虑结构参数的不确定性时相邻线性单自由度、多自由度结构的临界间距,指出由于相邻结构阻尼比和自振频率的接近,采用CQC法计算临界间距会得出保守或非保守的计算结果。吴巧云等[15]对连接 Maxwell 模型的两相邻高层钢筋混凝土结构进行了大震作用下的非线性地震反应分析,分析结果表明即便在较小的防震缝宽度下,连接了控制装置后的相邻结构在大震作用下发生碰撞的可能性亦较小。李青宁等[16]将精细积分法引入结构碰撞问题研究中,分析了结构间隙和阻尼比对碰撞反应的影响规律,结果表明结构碰撞力对初始间距大小并不敏感,阻尼比的增加使结构的碰撞力响应降低。Favvata[17],Ghandil和Aldaikh[18]以及Hao[19]都分析了不同地震需求水平下钢筋混凝土框架结构的抗震性能与相邻结构分离间距之间的关系,结果表明在不同的地震需求水平下,为防止碰撞,相邻结构之间的间距应保守设置。国巍和余至武[20]根据铁路客站建筑与桥梁结构的结构形式,考虑客站建筑的非比例阻尼特征,通过引入虚拟激励法,推导了用于铁路客站与相邻桥梁结构碰撞分析的随机表达式。在此基础上,进一步提出一种改进差异谱方法,用于确定相邻结构的临界间距值。
但是,相邻结构地震碰撞问题作为一个单势垒可靠性问题,上述基于响应组合法则确定相邻结构的临界间距是不合理的;另外考虑到多阶模态和非线性变形对多自由度结构响应的影响,利用响应组合法确定其临界间距是不准确的;此外,上述理论得到的临界间距具有未知的安全性水平,即由上述方法确定的临界间距值,相邻结构在设计使用年限内的碰撞概率到底如何?本文基于随机振动与可靠度理论,提出了一种基于半解析的地震碰撞易损性确定相邻结构临界间距的方法[21]。将碰撞事件表示为单势垒首次超限可靠度问题,得到不同地震动强度下结构体系的条件失效概率;然后将单一结构扩展到相邻结构,结合相邻结构的地震碰撞易损性将临界间距的计算表述为逆可靠性问题,使其具有明确的目标碰撞概率,并通过蒙特卡洛数值模拟对本文所提理论结果进行了数值验证。
地震易损性分析基于条件失效概率的求解。相邻结构碰撞易损性,即条件失效概率的求解可以被表述为一个单势垒首次超限可靠性问题[22]:
式中:Urel(t)为相邻结构的最大相对位移;d为相邻结构的相邻间距;IM为地震动强度指标;im为给定的地震动强度值。
假设相邻结构在高斯荷载过程下处于线弹性状态,并且位移响应有确定的上限值,那么目前已有的几种计算条件失效概率的解析近似方法是适用的[17-18]。这些方法需要计算在给定的地震动强度参数IM=im条件下,结构相对位移响应Urel(t)的下列统计值:Urel(t)的方差
相对速度
的方差
之间的相关系数
的带宽参数qUrel(t)。上述统计值可以由随机过程Urel(t)的零阶、一阶和二阶谱特征求得。假设碰撞发生的楼层位于较高建筑物的第i个自由度处,为了公式的简洁清晰,本节后文均用Ui代替Urel,用Pf(t)代替
通过使用Rice公式[23],可求得第i个自由度位移响应过程相对于临界值ξi的平均超越率为:
其中:
得到平均超越率之后,就可以根据近似方法求得条件失效概率Pf(t),即结构的地震易损性,分别为:
a) 泊松近似方法[23]:
b) 经典Vanmarcke近似方法[24]:
c) 修正Vanmarcke近似方法[25]:
式中:q(t)为相对位移响应过程的带宽参数,其表达式如下所示,Y为U的Hilbert转化过程:
碰撞位置一般位于较矮建筑的顶层,假设此时碰撞位置处建筑物A的位移为UA,y(t),建筑物B的位移为UB,y(t),0≤y≤h,h为较矮建筑物的楼高,如图1所示。那么若相对位移Urel(t)>d,其中d为给定的临界间距值,结构A和结构B即发生碰撞,碰撞事件为一个单势垒问题。其中:
对于首次超限问题而言,在相邻结构碰撞之前,位移变量UA,y(t)和UB,y(t)互相独立,相对位移Urel(t)的方差:
同理,相对速度Vrel(t)=VA(t)-VB (t )的方差:
相邻结构体系的相对位移与其速度、Hilbert转化过程Y的协方差,经过数学推导之后也可得到,如下式所示:
同理可得:
求得相对位移过程的谱特征之后,即可按照上述1.1小节的相关理论,由式(4)、式(6)、式(8)求得相邻结构位移响应的带宽参数及碰撞易损性。
图1 相邻结构示意图
Fig.1 Schematic diagram of adjacent structures
基于上述所得的相邻结构地震碰撞易损性,结构临界间距的计算可被表述为逆可靠性问题,即已知碰撞概率求解相应的临界间距值,该过程可等效为找零问题,即:
式中:函数表达式zero[…]表示括号内函数零点对应的自变量值;d*为对应于目标碰撞概率的临界间距,而f(d)则被定义为:
式中:为相邻结构在设计使用年限tL内的碰撞概率;
为给定的目标碰撞概率。
由于碰撞概率随着间距的增加而逐渐减小,所以函数f(d)是一个单调递减函数,因此,f(d)只有唯一的零点,而该零点对应的间距值,也就是式(17)所表述的逆可靠性问题的解。
求解找零问题可以运用经典的迭代优化算法[25],比如二分法和梯度算法,但是考虑到本文涉及的函数表达式异常复杂,且是通过解析和数值模拟并用的方式得到的碰撞概率,所以在这里采用一种误差控制方法,其原理可表述为当的绝对值小于某个极小的误差控制常数δ时,搜索程序便停止迭代,此时对应的临界间距值即具有已知的安全性水平(已知的碰撞概率值
地震危险性概率模型即为特定场地某一地震动强度的年超越概率,本文中的场地危险性曲线采用Cornell的幂指数函数[26]近似表达,即:
式中:k0为常数,取决于单一场地的地震活动强度;k1为地震危险曲线的对数斜率。在本文中,假设地震为近场地震,取参数k0=0.00012,k1=-2.2585。
为了求得已知安全性水平下的临界间距值,首先需要计算出结构的失效概率,包括年平均超越概率和50年碰撞概率,然后再通过误差迭代算法得到。
由基于IM的概率地震需求分析理论,可以得到最大相对位移的年平均超越概率,公式如下所示[27]:
式中:d为既定的临界间距;λUrel(d)为最大相对位移超越d的年平均概率为地震动强度IM=im时,相对位移Urel>d的概率,即地震易损性函数;νIM(im)是IM关于im的年超越概率,可以由地震危险性概率分析得到。
地震易损性函数一般假设为对数正态分布函数F(x)的形式[28],即:
式中:Φ[⋅]为标准正态分布函数;mR和βR为易损性函数参数,分别为中位值和对数标准差(又称为离差)。
关于易损性函数参数mR和βR,本文在已知相邻结构碰撞易损性曲线的基础上,采用对结构的碰撞概率进行拟合的方法求解。已知易损性函数的参数mR和βR值后,对式(19)进行分部积分,可以得到年平均超越概率的解析表达式为[29]:
若考虑地震作用的本质不确定性和分析人员的认知不确定性,则还需要对式(21)进行修正。
50年碰撞概率即为求解相邻建筑物的最大相对位移Urel在结构设计使用年限tL(此处tL=50)内,至少出现一次超越它们相邻间距的事件的概率,即假设碰撞事件的发生被描述成一个泊松过程,并且建筑物在碰撞发生之后能迅速恢复到它们的初始状态,那么
就可通过下式计算[30]:
式中:为碰撞的年平均概率,按式(21)计算。在本文中,地震强度指标IM采用场地的峰值加速度PGA。
求解出50年碰撞概率曲线之后,便可通过误差控制迭代程序,得到某个确定的碰撞概率所对应的临界间距值。本文所提临界间距计算方法流程图见图2。
图2 计算流程图
Fig.2 Calculation flow chart
算例1为两相邻线弹性单自由度(SDOF)结构A和结构B,其周期分别为TA=1.0 s 和TB=0.5 s,两结构的阻尼比为ξA =ξB=5%。以结构B为例,图3给出了结构B在不同阻尼比下(ξ1=0.01,ξ2=0.05,ξ3=0.10)位移响应的一阶非几何谱特征、带宽参数和阻尼比取0.05时的二阶非几何谱特征。
由图3(a)可以看出,标准化的一阶非几何谱特征是阻尼比ξ和时间t/T0的函数,并随着阻尼比的增加而增大。当经历多个响应周期之后,
的值会趋于稳定。
图3 结构B (SDOF)的谱特征
Fig.3 Spectral characteristics of Structure B (SDOF)
由图3(b)可以看出,当t=0时,结构B位移响应的带宽参数值q(t)为0.960,证明该单自由度结构的初始响应是个宽带过程。此外,由图3(b)可以看出带宽参数值q(t)随着时间历程的推进而不断减小,当小于某一具体值后逐渐趋于稳定,表明单自由度体系的响应过程由最初的宽带瞬态逐渐转变为窄带稳态。当带宽参数趋于稳态值后只受阻尼比ξ和t/T0(T0为体系的自然周期)影响。
由图3(c)的二阶非几何谱特征可以看出,结构B标准化的位移响应和速度响应
的标准差曲线拟合良好,且在t=3.0 s时趋于稳定,其值为1。由图3(c)还可以看出,结构位移和速度响应的相关系数
从初始的0.85迅速衰减为0(t=2.0 s)。
由图3可以看出地震作用对结构响应的影响与结构阻尼比有较大关系,在较小阻尼比下,结构的位移响应接近系统固有频率的单个谐波分量;随着阻尼比的增加,其他频率分量对结构位移响应的贡献不可忽略。
得到结构前几阶非几何谱特征后,基于式(2)可以得到单个结构的平均超越概率,进而得到结构超越某临界水准的易损性曲线,如图4所示,图4(a)和图4(b)分别给出了结构B在临界水准为时,由4种解析方法得到的结构的平均超越概率及易损性曲线。同时,为了验证本文采用该方法的正确性,图4(b)亦给出了基于蒙特卡洛重要抽样(Pf,sim)得到的易损性结果,本文参考文献[31],采用重要抽样法计算结构的条件失效概率时,取变异系数c.o.v (Pf,sim)=0.01可以得到比较精确的计算结果。值得一提得是,无论采用何种解析方法计算结构的时变失效概率,其计算时间均比重要抽样方法所需的计算时间小几百倍。
图4 临界值水准ζ=2σU∞时SDOF体系的响应
Fig.4 Response of the SDOF systems when critical value ζ=2σU∞
对于临界值水准为ζ=2σU∞(U∞为位移响应的稳态标准差)时的情况,由图4可知,由经典和修正Vanmarcke近似得到的风险函数值低于同时刻的平均超越率值(见图4(a));相对于两种Vanmarcke近似方法而言,泊松近似得到的结果显得更为保守(见图4(a))。
基于单个结构的平均超越概率和时变失效概率,将相邻结构的碰撞问题表示为超越相邻间距的一次超限可靠度问题,图5给出了相邻SDOF结构在不同临界间距下的地震碰撞易损性曲线。
图5 相邻SDOF不同临界间距下的碰撞易损性
Fig.5 Seismic pounding fragility of adjacent SDOF systems under different CSDs
由图5可以看出,经典Vanmarcke (cVM)和修正Vanmarcke (mVM)两种近似方法得到的碰撞易损性曲线重合度很高,且与重要抽样方法得到的易损性曲线拟合良好,而泊松近似(P)相对低估了结构发生碰撞的概率。随着临界间距的增加,相邻结构碰撞概率逐渐减小,且三种近似方法得到的碰撞易损性曲线亦越来越接近,也就是说,随着临界间距的增大,泊松近似(P)方法的精度逐渐提高。
基于上述相邻SDOF结构的碰撞易损性,采用基于逆可靠度的迭代搜索算法,得到相邻SDOF结构在设计使用年限(50年)内不同目标碰撞概率下的临界间距值如表1所示,并绘制其50年碰撞概率曲线如图6所示。
由图6可以看出三种解析方法,尤其是cVM和MVM近似解析方法得到的50年碰撞概率曲线与重要抽样方法拟合良好,证实了本文所提理论方法对相邻线性SDOF结构临界间距评估的正确性和适用性,并且采用本文所提方法确定相邻结构的临界间距时,其计算效率比重要抽样法可以提高几百倍。
表1 相邻SDOF不同目标碰撞概率下的临界间距值
Table 1 CSDs under different target pounding probability of adjacent SDOF systems
images/BZ_102_1286_896_1412_1007.pngimages/BZ_102_1412_896_2037_950.png images/BZ_102_2048_897_2231_951.png50/(%) 10/(%) 2/(%)images/BZ_102_2048_951_2231_1006.pngimages/BZ_102_1286_1010_1412_1064.png images/BZ_102_1412_1010_1620_1064.pngimages/BZ_102_1620_1010_1828_1064.pngimages/BZ_102_1828_1010_2037_1064.pngcVM0.0794 0.1246 0.1753images/BZ_102_1286_1119_1412_1173.pngISEE0.0796 0.1248 0.1756images/BZ_102_1412_1119_1620_1173.pngimages/BZ_102_1620_1119_1828_1173.pngimages/BZ_102_1828_1119_2037_1173.pngimages/BZ_102_2048_1092_2231_1146.png
图6 相邻SDOF结构50年碰撞概率曲线
Fig.6 Collision probability curves in 50 years of adjacent SDOF systems
由图6的相邻SDOF结构50年碰撞概率曲线可以看出,随着临界间距的增加,结构的碰撞概率逐渐减小。当相邻间距小于60 mm时,相邻SDOF结构的碰撞概率接近于1。若要使该相邻结构的碰撞概率小于20%,建议临界间距值至少大于100 mm (如图6所示),该值与GB 50011―2010版建筑抗震规范[32]6.1.4条的规定值一致,同时,也证实了条文说明中所述对该防震缝宽度的规定扔具有一定的碰撞风险。由图6亦可以看出,若按GB 50011―2002版建筑抗震规范[33]6.1.4条的规定设置防震缝宽度,即防震缝宽度设置为70 mm,其对应的碰撞风险有70%。
从表1不同目标碰撞概率下,相邻SDOF结构采用不同近似解析方法得到的临界间距值可以看出,采用cVM近似解析法得到的临界间距值最接近重要抽样方法ISEE的结果。mVM解析方法得到的临界间距值略小,而P近似的结果略大。
算例2为两相邻线弹性多自由度(MDOF)结构A和结构B,均为剪切型抗弯钢框架。结构A为一八层建筑物,层间刚度KA=628801 kN/m (每层均相同),楼层质量mA=454.545 t (每层均相同);结构B为一四层建筑物,层间刚度KB=470840 kN/m(每层均相同),楼层质量mB=454.545 t (每层均相同)。两结构的前两阶模态阻尼比为ξA =ξB =2%,基本自振周期分别为TA=0.915 s,TB=0.562 s 。
以结构B为例,计算单个结构的谱特征。结构B前四阶模态周期分别为T1=0.5621 s,T2=0.1952 s ,T3=0.1274 s,T4=0.1039 s。各阶模态阻尼比为0.02。
考虑到模态参与系数和各层模态值的影响,结构B各层位移响应的谱特征见图7(a)。基于该MDOF结构位移谱特征得到其带宽参数值见图7(b)。
由图7(a)相对位移响应的方差可以看出,该结构第一层的位移方差最小,由此可以看出该结构的响应主要由其第一阶模态控制。由图7(b)可以看出结构第一层的带宽参数值最大,其余三层的带宽参数相对较小且三条曲线基本重合,同样证实了该结构一阶模态具有较高的模态贡献。因此,后续分析只考虑结构的第一振型。
图7 结构B(MDOF)的谱特征
Fig.7 Spectral characteristics of Structure B (MDOF)
图8给出了结构B位移响应Ui(t) (i=1,2,3,4)和速度响应的二阶随机矩。
由图8可以看出,随着结构高度的增加,结构B标准化的位移方差σU/σU∞和速度方差逐渐增大,且位移和速度响应的相关系数
减小。并且可以看出结构第一层的二阶随机矩与其他三层截然不同,同样证实了MDOF结构B的响应主要由其一阶模态控制。
图8 结构B(MDOF)二阶随机矩响应
Fig.8 Second order random moment response of Structure B(MDOF)
基于结构B前几阶非几何谱特征,得到结构B在临界水准为ζ=2σU∞时,由3种解析方法计算出的结构B的平均超越概率及易损性曲线。如图9所示。同时,为了验证本文所用方法的正确性,图9(b)亦给出了基于蒙特卡洛重要抽样(Pf,sim)得到的易损性结果。
对于临界值水准为ζ=2σU∞(U∞为位移响应的稳态标准差)时的情况,图9 MDOF结构的响应与图4 SDOF结构响应趋势一致,仍然是两种Vanmarcke近似方法得到的风险评估结果更接近结构真实响应,而泊松近似得到的结果显得更为保守。
图9 临界值水准ζ=2σU∞时MDOF体系的响应
Fig.9 Response of MDOF systems when critical value ζ=2σU∞
基于单个结构的平均超越概率和时变失效概率,将相邻结构的碰撞问题表示为超越相邻间距的一次超限可靠度问题,图10给出了相邻MDOF结构在不同临界间距下的地震碰撞易损性曲线。
图10 相邻MDOF结构不同临界间距下的碰撞易损性
Fig.10 Seismic pounding fragility of adjacent MDOF systems under different CSDs
由图10可以看出,对于相邻多自由度结构,经典Vanmarcke (cVM)和修正Vanmarcke (mVM)两种近似方法与重要抽样方法得到的易损性曲线仍旧拟合良好,而泊松近似(P)首先高估随后低估了结构发生碰撞的概率。随着临界间距的增加,泊松近似(P)方法的精度提高。
基于相邻MDOF结构的碰撞易损性,采用逆可靠度的迭代搜索算法,得到相邻MDOF结构在设计使用年限内不同目标碰撞概率下的临界间距值如表2所示,并绘制其50年碰撞概率曲线如图11所示。
由图11可以看出三种解析方法,尤其是cVM和MVM近似解析方法得到的50年碰撞概率曲线与重要抽样方法拟合良好,证实了本文所提理论方法对相邻MDOF结构临界间距估计的正确性和适用性,并且采用本文所提方法计算效率较高。
表2 相邻MDOF不同目标碰撞概率下的临界间距值
Table 2 CSDs under different target pounding probabilities of adjacent MDOF systems
方法 不同目标碰撞概率下的临界间距值/m 新版抗震规范建议值/m 50/(%)10/(%) 2/(%) P 0.11380.1745 0.2510 cVM0.11380.1770 0.2495 mVM0.11290.1745 0.2468 ISEE0.11400.1773 0.2499 0.15
图11 相邻MDOF结构50年碰撞概率曲线
Fig.11 Collision probability curves in 50 years of adjacent MDOF systems
由图11的相邻MDOF结构50年碰撞概率曲线可以看出,随着临界间距的增加,结构的碰撞概率逐渐减小。当相邻间距小于80 mm时,相邻MDOF结构的碰撞概率接近于1。若要使该相邻结构的碰撞概率小于20%,建议临界间距值至少大于150 mm(如图11所示),该值与GB 50011―2010版建筑抗震规范[32]6.1.4条和8.1.4条对钢结构防震缝宽度的规定值一致:框架结构(包括设置少量抗震墙的框架结构)房屋的防震缝宽度,当高度不超过15 m(结构B为较矮建筑其高度为12.8 m)时不应小于100 mm;8.1.4钢结构房屋需要设置防震缝时,缝宽应不小于相应钢筋混凝土结构房屋的1.5倍,即规范建议的临界间距值对本结构而言扔具有20%的碰撞概率。
从表2可以看出,不同目标碰撞概率下,相邻MDOF结构采用cVM近似解析法得到的临界间距值最接近重要抽样方法ISEE的结果。P估计和mVM解析方法得到的临界间距值略小。因此,本文推荐使用cVM近似解析法进行相邻结构基于地震碰撞易损性的临界间距的计算。
(1) 首次超限问题被应用于线弹性结构体系,利用经典Vanmarcke、修正Vanmarcke和泊松近似方法计算了单自由度和多自由度体系在承受初始静止非平稳地震激励下的时变失效概率,后续蒙特卡洛数值模拟结果证明此方法是可行的。
(2) 采用本文所提方法计算相邻结构的临界间距,所得结果具有已知的目标碰撞概率(已知的安全性水平),对于结构设计而言具有较大的优越性,可以帮助设计者直接量化和控制碰撞风险。
(3) 新版抗震规范建议的防震缝宽度值,相邻结构亦有大概10%~20%的碰撞风险,对于具有较高性能要求的相邻结构,其防震缝宽度应该采用比规范规定更大的值,具体设置可以参考本文所提方法。
(4) 本文所提临界间距的计算方法假设结构为线弹性体系,这对于临界间距较小的相邻结构是比较适用的,但是当相邻间距较大时,若仍假设结构为线弹性可能会低估碰撞风险,作者后续会基于随机线性化方法和子集模拟法考虑相邻结构的非线性特征。
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STUDY ON THE CRITICAL SEPARATION DISTANCE OF ADJACENT STRUCTURES BASED ON SEISMIC POUNDING FRAGILITY
吴巧云(1985-),女,山东聊城人,副教授,博士后,从事工程结构振动控制和健康监测研究(E-mail: wuqiaoyun@wit.edu.cn);
王 涛(1994-),男,湖北荆州人,硕士,从事工程结构抗震研究(E-mail: 459028499@qq.com).
魏 敏(1992-),男,四川巴中人,硕士,从事基于性能的抗震设计研究(Emial: 845416053@qq.com)