结构连续倒塌事故往往伴随着严重的生命财产损失和恶劣的社会影响。自“英国 Ronan point公寓垮塌”、“9·11”等事件以来，国内外学者开始就结构连续倒塌问题展开了大量研究。欧洲、美国等均陆续将结构抗连续倒塌设计纳入结构设计规范规程[1-3]，我国首部抗倒塌设计规范也于 2015年5月1日起开始实施[4]。目前，结构连续倒塌问题的研究大多仍针对于传统抗震结构。隔震作为一种应对地震灾害的技术手段，其有效性在世界上得到了广泛的认同。无论何种隔震体系，都是利用减小隔震层的水平刚度来实现阻隔地震能量向上部结构传递的。隔震层刚度减小后，基础对上部结构的约束力较一般非隔震结构明显减弱，因而抵抗冲击、火灾、地基塌陷等意外灾害荷载的替代传力路径和剩余结构体系的存在方式与非隔震结构有很大的不同。
结构连续倒塌的经典问题针对的是结构某个构件由于意外作用出现初始局部损伤而失效后，剩余结构体系在仅考虑竖向不平衡荷载的突加冲击作用下的动力响应及损伤扩散问题。Marjanishvili等[5]探讨了结构连续倒塌研究的一般方法；Tsai等[6]研究了倒塌过程中结构的动力响应；钱稼如等[7]、谢甫哲等[8]、周云等[9]、Lu 等[10-11]、Yu 等[12]、徐颖等[13]、潘毅等[14]等分别针对于钢筋混凝土框架结构、钢框架结构、大跨空间结构、装配式结构的抗连续倒塌机制及动力响应进行了研究。对于基础隔震结构连续倒塌初步探索表明[15-17]，隔震结构的个别支座因意外作用损伤退出工作后会引发与之相邻的隔震支座所承受的竖向荷载瞬时剧烈增加，即使在竖向荷载作用下能维持暂态平衡，稍有地震或风振等水平激励都可能诱发隔震支座相继失稳倒塌。若支座的损伤未能及时识别，就可能出现个别支座因竖向支承失效而退出工作后，隔震结构承受地震作用的情形，即形成了竖向不平衡冲击与水平地震作用耦合的情况，导致隔震结构出现与初始损伤不成比例的破坏或倒塌扩散问题，这对隔震结构是十分危险的。因此，研究隔震结构在上部结构竖向不平衡荷载以及与水平向地震多向动力耦合激励下的连续倒塌性能十分必要。
本文首先建立了多向动力耦合激励下隔震结构运动方程，接着对比分析了隔震结构在仅考虑竖向不平衡荷载作用和同时考虑竖向不平衡荷载及水平地震耦合激励下的倒塌动力响应，最后基于二次四阶矩可靠度理论建立随机鲁棒性指标，并根据该指标对隔震结构的抗连续倒塌能力进行评判。
1 分析方法
1.1 隔震结构多向动力耦合分析方法
传统的连续倒塌分析方法是在改变传力路径的基础上展开的。首先，识别关键构件并进行静力计算得到关键构件内力；然后拆除关键构件，将其内力反向施加于结构上；最后瞬间撤去反力使结构产生动力效应，称为备用荷载路径法。该方法仅考虑了竖向不平衡荷载的动力效应。
将水平地震激励的动力时程分析方法引入备用荷载路径法中，可同时考虑水平地震响应及竖向不平衡荷载作用。分析步骤如下：
1)将结构竖向荷载(D+0.25L)逐步施加于完好结构；
2)在竖向荷载作用下，提取失效隔震支座的轴力P0，从原始结构中拆除初始失效隔震支座，将其轴力P0反向加在相应位置，使得剩余结构仍能保持原稳定状态。
3)使初始失效隔震支座的轴力P0在极短时间t1内衰减为 0。同时，对结构输入地震动，从而模拟结构支座在意外作用下瞬间失效，使结构产生竖向不平衡作用并同时受到水平地震激励的多向动力耦合效应。荷载施加过程如图1所示，失效点上的竖向不平衡荷载时程曲线如下式所示。
图1 荷载示意图
Fig.1 load diagram
1.2 多向动力耦合激励下隔震结构运动方程
基础隔震结构在多向动力耦合激励下的运动方程可表示为：
式中：Mu、Cu分别为结构的质量矩阵、阻尼矩阵；v(t)为结构响应；F(t)为结构所受外界激励的合力矩阵；R为结构滞回恢复力，其值为：
式中：yi为各构件第i层的层间相对位移；ui为第i层的滞回位移；ki为第i层屈服前刚度；ai为第i层屈服后与屈服前刚度比值；Ai、βi、μi、γi为滞回曲线参数[18]。
根据运动方程可计算结构在多向动力耦合激励下的动力响应。首先假设结构仅在第j个自由度上承受一般时变荷载fj(t)。因而合力矩阵F(t)除了第j项外，其它分量均为零。可利用Duhamel积分得到坐标i处的动力反应。坐标i对j处荷载反应的一般表达式为式(5)表示的卷积积分[19]：
累加所有荷载分量的贡献，得总反应如下式所示：
将荷载的时域表达进行Fourier变换，得到荷载的频域表达如下式所示：
通过Fourier逆变换组合坐标i对所有谐波的反应，得到i处总的受迫振动反应如下式所示：
最后，叠加来自于所有荷载分量的贡献，得到所产生的总反应如下式所示：
1.3 基于可靠度的随机鲁棒性指标
结构的鲁棒性问题与连续倒塌直接相关，可采用鲁棒性指标来评估隔震结构的抗连续倒塌能力。考虑到结构及地震动的随机性，本质上结构的鲁棒性也是不确定的。因此利用具有较高精度的二次四阶矩法得到可靠度指标，以此来建立隔震结构鲁棒性指标。
将隔震结构的最大竖向荷载作为结构的整体竖向极限承载能力，利用荷载系数α描述结构最大竖向荷载，则完好结构及损伤结构在竖向荷载作用下的极限状态方程分别为[20]：
式中：αu、αr分别为完好及损伤结构极限荷载系数；D为恒荷载；L为活荷载。
利用泰勒级数展开法近似计算完好结构功能函数的前四阶矩μZu、μZu2、μZu3和μZu4 [21]。
将Zu标准化为
，最大熵概率密度函数如下式所示：
在解出ai后，可计算完好结构失效概率为：
进而得到完好结构的可靠度如下式所示：
同理，计算出损伤结构的可靠度如下式所示：
得到完好及损伤结构的可靠度指标后，利用可靠度指标计算出结构的鲁棒性系数，如下式[22]所示：
该指标的取值范围为[0, ∝]，取值越大表明结构的鲁棒性越强，抗倒塌能力越强。结构的倒塌极限为1，当该值小于1时，表明结构发生连续倒塌。
1.4 分析流程
利用隔震结构多向动力耦合激励分析方法，对比分析关键构件的受力及倒塌动力响应，利用随机IDA分析得到结构极限荷载系数，用二次四阶矩法计算结构连续倒塌可靠度，进而计算结构鲁棒性指标，用鲁棒性指标评估隔震结构抗连续倒塌能力，具体流程如下：
1)建立隔震结构模型；2)确定结构及隔震支座随机变量的统计参数和分布类型，并随机抽取地震动；3)利用拉丁超立方原理进行抽样形成结构-地震动样本；4)对隔震结构进行多向动力耦合分析，得到构件受力及倒塌动力响应；5)对结构进行随机竖向IDA分析，得到各损伤结构极限荷载系数α；6)利用二次四阶矩法计算完好结构及损伤结构可靠度；7)计算结构基于可靠度的随机鲁棒性指标，对隔震结构抗倒塌能力进行评判。
2 算例模型
2.1 基本信息
本文以一工程实例为研究背景。该结构的抗震设防类别为乙类，抗震设防烈度 8度(0.2g)，设计地震分组第三组，场地类别Ⅱ类。根据GB50011―2010《建筑抗震设计规范》[23]对结构进行设计。隔震支座采用LRB600：有效直径600 mm，竖向刚度2312 kN/mm，水平刚度 1641 kN/m，等效阻尼比0.15。梁、柱纵筋均采用 HRB400，混凝土强度等级为C30。本结构共7层，各层层高均为3.3 m。平面示意图及截面配筋图如图2所示。利用有限元软件SeismoStruct建立结构模型。模型梁柱均采用infrmFBPH 单元(基于力的塑性铰框架单元)，隔震支座采用Link单元。
图2 结构平面及配筋图 /mm
Fig.2 Structural plane and Reinforcement details
2.2 样本空间的形成
采用概率模型描述上部结构参数的随机性，如表1所示。目前针对隔震支座各参数的概率密度函数的描述较少，故采用凸集模型[24]来描述隔震支座的随机性，其基本随机变量如表2所示。
表1 结构的基本随机变量
Table 1 Basic random variables of the structure
参数类型 随机变量 平均值 变异系数 分布类型荷载 恒荷载 26.5 kN/m3 0.10 正态活荷载 0.98 kN/m3 0.45 Gamma C30混凝土 非约束区 26.1 kN/m3 0.14 对数正态约束区 33.6 kN/m3 0.21 对数正态HRB400钢筋 抗拉强度 451 kN/m3 0.07 对数正态
表2 支座的基本随机变量
Table 2 Basic random variables of the bearing
支座 随机变量 平均值 偏差/(%)标准化变量 凸模型LRB600屈服力 90.4 kN 20M1 2 2 1 2 1 M+M≤屈服前刚度 9262 kN/m 20M2屈服后刚度 926 kN/m 20M2
根据ATC-63建议的地震动记录，分别从近场脉冲、近场非脉冲、远场地震动记录中共随机抽取20条地震动记录，如表3所示。
表3 地震波信息
Table 3 Seismic wave information
编号 地震名称 震级 发生年份 PGA/g PGV/(m/s)1 Imperial Valley-06 6.5 1979 0.21 17.71 2 Irpinia, Italy-01 6.9 1980 0.05 5.91 3 Bam Iran 6.6 1994 0.81 124.12 4 Kocaeli Turkey 7.5 1999 0.32 71.88 5 Duzce Turkey 7.1 1999 0.81 65.87 6 San Salvador 5.8 1986 0.53 72.99 7 Denali Alaska 7.9 2002 0.30 65.96 8 Northridge-01 6.7 1994 0.93 76.26 9 Chi-Chi Taiwan 7.6 1999 0.79 125.34 10 Kocaeli, Turkey 7.5 1999 0.36 55.64 11 Duzce, Turkey 7.1 1999 0.51 84.09 12 Friuli, Italy-01 6.5 1976 0.36 22.86 13 Cape Mendocino 7.0 1992 0.12 28.88 14 Chuetsu-oki Japan 6.8 2007 0.46 89.05 15 Chi-Chi, Taiwan 7.6 1999 0.50 92.06 16 Loma Prieta 6.9 1989 0.64 55.98 17 Manjil, Iran 7.37 1990 0.14 19.53 18 Kobe, Japan 6.9 1995 0.30 24.50 19 Landers 7.3 1992 0.24 51.09 20 San Fernando 6.6 1971 0.22 21.70
在得到各参数的随机变量后，可形成样本空间：1)根据结构及支座基本参数分布类型，每个参数生成1000个样本，共形成8×1000个样本。2)利用拉丁超立方原理，抽取20次，共形成20个结构样本。3)将抽取的20条地震波随机与结构样本一一对应，形成20个结构-地震动样本。
2.3 最可能失效支座判别
隔震结构的不同区域支座在连续倒塌过程中展现出不同的特性，本文为充分考虑隔震结构当其不同区域支座失效的连续倒塌机制，将全部隔震支座划分为：内柱支座、边柱支座及角柱支座三个典型部位。每个典型部位取一个最易失效的支座分别拆除进行对比分析。
判别最易失效的隔震支座采用累计损伤极限状态法。依据杜东升等[18]提出的隔震层损伤模型，并其转换为单个隔震支座的损伤模型，如下式所示：
式中：ir为支座在地震作用下的剪切变形；Ri为支座的极限剪切变形；Qd为支座屈服强度；dδ为支座极限位移；
为支座累积滞回耗能；σi为支座拉压应力；σu为支座拉压应力限值；β-为支座耗能因子；β+为支座拉、压损伤因子。
隔震支座累积损伤极限状态方程为[13]：
式中：DIS隔震支座失效极限状态损伤指数限值；DIS (X)为地震作用下隔震支座的损伤指数。
利用二次四阶矩法计算每个支座的可靠度指标，最小者为最易失效支座。将文中抽取的 20条地震动PGA均调至0.4g，地震动输入方向沿结构平面X方向，对每一样本进行动力时程分析，计算各支座损伤指数。将结果带入累积损伤极限状态方程，利用二次四阶矩法计算完好结构各支座的可靠度指标，列于图3。
图3 各支座可靠度
Fig.3 Component reliability of each bearing
从图3可以看出，可靠度最小的角柱支座、边柱支座和内柱支座分别为支座A1、支座B1和支座B2，判定其为最易失效支座。
3 倒塌动力响应
对比分析以下两种情况：仅考虑竖向不平衡荷载作用、考虑竖向不平衡荷载+水平地震作用的多向动力耦合作用。将最易失效的角柱支座 A1、边柱支座B1及内柱支座B2分别拆除进行非线性倒塌动力分析。进行多向动力耦合分析时，选择地震动为“Loma Prieta”，PGA调至0.4g，输入方向沿结构X方向。限于篇幅，仅列出角柱支座A1失效的倒塌动力响应对比情况。
3.1 失效点竖向位移
角柱支座A1失效时的失效点竖向位移时程曲线如图4所示。动力特性对比如表4所示。
从图4可以看出，隔震结构失效点竖向位移在支座失效瞬间单调增大，继而上下波动而衰减直至趋于稳定。表明结构在支座瞬间失效后，结构内力重新分布直至达到新的平衡状态。考虑竖向不平衡荷载及水平地震作用的多向动力耦合工况振动幅度明显大于仅考虑竖向不平衡冲击作用。
图4 失效点位移时程曲线
Fig.4 Failure node displacement curve
表4 结构动力特性
Table 4 Structural dynamic characteristics
工况 位移最大值/mm最大值时间/s位移稳定值/mm稳定值时间/s梁端转角/(×10-3 rad)竖向不平衡 84 0.9 62 3.66 9.3多向动力耦合 95 6.18 73 9.12 11.5
从表4可以看出，仅考虑竖向不平衡作用，失效点位移于3.66 s后逐渐趋于平衡。而考虑多向动力耦合激励，由于水平地震作用的存在，其竖向位移在 6 s左右仍还有较大程度的增长，直至 9.12 s后才逐渐趋于平衡。其位移幅值、位移稳定值、梁端转角分别高于仅考虑竖向不平衡作用的 12%、17.7%和2.4%；可见，考虑多向动力耦合激励可能更易发生连续倒塌现象。
3.2 失效支座梁内力
角柱支座A1失效时的失效支座梁端弯矩及梁内轴力时程曲线如图5所示(以梁A1-B1为例)。梁内力动力特性对比如表5和表6所示。
从图5可以看出，角柱支座失效后，与其相连的隔震层梁变为悬臂梁，弯矩发生变号，由梁上部受拉变为下部受拉。轴力突变为压力，并有所增大，多向动力耦合时，梁内力震动幅度更大。趋于稳定所需时间更长。从表5、表6可以看出，考虑多向动力耦合其隔震层梁内力幅值、内力稳定值均高于仅考虑竖向不平衡作用，最大及最小增长幅度分别为：23%和2.5%。
图5 梁内力时程曲线
Fig.5 Beam internal force time history curve
表5 失效支座梁端弯矩
Table 5 Beam moment of the failed bearing
工况 梁编号 初始值/(kN·m)最大值/mm最大值时间/s稳定值/(kN·m)稳定值时间/s竖向不平衡A1-B1 119.2-378 0.22 195 3.80 A1-A2-115.2 399 0.18 193 3.84多向动力耦合A1-B1 124.6-398 1.68 225 9.14 A1-A2-122.3 424 0.84 223 8.96
表6 失效支座梁轴力
Table 6 Beam axial force of the failed bearing
工况 梁编号 初始值/kN最大值/mm最大值时间/s稳定值/kN稳定值时间/s竖向不平衡A1-B1 49-239 0.24 118 3.58 A1-A2 40-252 0.52 120 3.62多向动力耦合A1-B1 52-245 0.86 130 9.14 A1-A2 52-310 0.88 135 9.02
通过梁内力的动力特性可知，支座失效初期，隔震结构主要以梁端弯矩作为主要抗力，即为梁机制阶段；当变形较大时，隔震层梁端弯矩下降，则需通过轴向拉力作为主要抗力，即为悬链线阶段。但由于隔震结构隔震层刚度较小，失效支座周围的支座无法提供足够的抗侧力，梁内轴力未呈现拉力，因此并不会出现悬链线阶段。
3.3 临近支座轴力
角柱支座A1失效时，其临近支座轴力时程曲线(以B1支座为例)如图6所示。各支座轴力动力特性对比如表7所示。
图6 临近支座轴力时程曲线
Fig.6 Axis force time history curve of bearings
表7 临近支座轴力
Table 7 Axis force of bearings
工况 支座编号初始值/kN最大值/mm最大值时间/s稳定值/kN稳定值时间/s竖向不平衡B1 2177 3818 0.18 2950 3.62 A2 2352 4300 0.18 3320 3.80多向动力耦合B1 2254 4156 6.24 3200 9.24 A2 2462 4338 2.22 3450 9.12
从图6可以看出，角柱支座失效后，将其所承担的竖向荷载瞬间传递至临近支座，临近支座轴力瞬时显著增大，产生振动并逐渐趋于平衡。从表7可以看出，仅考虑竖向不平衡作用，临近支座 B1及支座 A2轴力瞬间分别增大 75.4%和 82.8%，在3.6 s～3.8 s后逐渐趋于平衡；考虑多向动力耦合时，临近支座B1及支座A2轴力瞬间分别增大84.4%和76.2%，在 9.2 s左右后才逐渐趋于平衡。且其轴力最大值和稳定值相较于仅考虑竖向不平衡作用均有所增涨，最大和最小增长幅度分别为：8.8%和0.89%。
3.4 支座损伤指数
利用式(17)计算各隔震支座的损伤指数，并将各支座损伤指数对比列于图7。
图7 支座损伤指数
Fig.7 Bearing damage index
注：括号外为完好结构在地震作用下的损伤指数；括号内为角柱支座失效后各支座损伤指数。
从图7可以看出，完好结构在地震作用下的损伤指数在 0.106～0.185之间，并未超过严重损伤界限 0.4。当角柱支座瞬间失效后，各支座损伤指数均有所增长，最大和最小增长幅度分别为：208.2%和19.9%。尤其临近支座A2增大208.2%至0.447，支座B1增大143.2%至0.416。可见，当支座瞬时失效后，其临近支座受到影响较大，损伤指数有较大增长并超过严重损伤界限，极可能发生支座相继失效的倒塌扩散现象。
4 抗倒塌能力评判
4.1 随机竖向IDA分析
采用随机 IDA方法分别对结构进行非线性动力的抗倒塌能力分析，随机IDA曲线如图8所示(以角柱支座A1失效为例)。得到各结构极限荷载系数统计矩列入表8。
图8 随机竖向IDA曲线
Fig.8 Random vertical IDA curves
表8 荷载系数统计矩
Table 8 Statistics of load factors
注：A1为角柱支座失效；B1为边柱柱支座失效；B2为内柱支座失效
工况 平均值 变异系数 偏度系数 峰度系数竖向不平衡A1 2.071 0.151 0.829 0.254 B1 2.946 0.137 0.748-0.032 B2 2.978 0.137 0.724-0.041多向动力耦合A1 1.769 0.171 0.509-0.541 B1 2.556 0.162 0.586-0.470 B2 2.625 0.165 0.739-0.111
从图8中可以看出，随着节点竖向位移增大，荷载系数逐渐增大，在达到峰值后，荷载系数几乎不再增大。仅考虑竖向不平衡冲击作用，各损伤结构荷载系数范围在 1.61～2.75之间；当考虑多向动力耦合作用时，各结构荷载系数范围在 1.32～2.37之间，可见结构的荷载系数明显减小，降低幅度为最大24.7%，最小4.3%。从表8可以看出，各损伤结构荷载系数均值的大小顺序为：内柱支座失效最大、边柱支座失效次之、角柱支座失效最小。
4.2 鲁棒性分析
结合完好及损伤结构极限状态方程，利用泰勒级数展开法，得到完好及损伤结构功能函数前四阶统计矩信息，如表9所示。利用二次四阶矩法，计算结构可靠度，进而得到隔震结构随机鲁棒性指标，如表10所示。
表9 功能函数前四阶矩
Table 9 Statistics of performance function
工况 平均值 变异系数 偏度系数 峰度系数竖向不平衡完好结构 3.675 0.199 0.696-0.310 A1 0.827 0.468 0.573-0.386 B1 1.702 0.275 0.682-0.391 B2 1.733 0.272 0.626-0.455多向动力耦合完好结构 3.161 0.231 0.681 0.107 A1 0.525 0.724 0.246-0.868 B1 1.312 0.366 0.369-0.579 B2 1.450 0.330 0.442-0.448
表10 随机鲁棒性指标
Table 10 Random robustness index
工况 βu βr Iβ竖向不平衡A1 18.140 3.464 1.236 B1 10.157 2.272 B2 10.209 2.287多向动力耦合A1 9.940 1.501 1.199 B1 4.584 2.035 B2 5.470 2.089
从表9、表10可以看出考虑多向动力耦合激励时，结构可靠度降低，最大及最小降低幅度分别为：56.6%和46.4%。
将结构鲁棒性系数及倒塌临界共同作于图9中，结构的倒塌极限为1，当该值小于1时，表明结构发生连续倒塌。
从图9可以看出，本文算例模型各工况均高于倒塌临界，并未发生竖向连续倒塌。表明其具有足够的抗连续倒塌能力。隔震结构在多向动力耦合激励下鲁棒性系数降低，说明结构更易发生连续倒塌现象。可见，仅考虑竖向不平衡作用可能会高估隔震结构抗连续倒塌能力。此外，比较结构不同位置支座失效时的鲁棒性指标，内柱支座失效大于边柱支座失效大于角柱支座失效。表明结构的抗连续倒塌能力：内柱支座失效最强、边柱支座失效次之、角柱支座失效最弱。
图9 易损性曲线比较
Fig.9 Comparison of fragility curves
5 结论
(1)考虑多向动力耦合激励的隔震结构倒塌动力响应大于仅考虑竖向不平衡冲击作用；当隔震支座瞬间失效后，结构内力重新分布达到新的平衡状态所需时间更长。
(2)支座失效后，隔震结构主要以梁机制提供抗倒塌能力；失效支座的临近支座损伤指数增长迅速并超过严重损伤临界，很可能出现支座相继失效的倒塌扩散现象。
(3)考虑多向动力耦合激励下隔震结构抗连续倒塌能力弱于仅考虑竖向不平衡冲击作用；不同位置支座失效时，隔震结构抗倒塌能力顺序为：内柱支座失效最强，边柱支座失效次之，角柱支座失效最弱。
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