软土地基处理工程中，地基的沉降变形的设计和计算是重要的工作，其理论基础是固结理论。在固结理论中，边界条件反映了土体在固结过程中边界的排水状态。边界条件对土体的固结有显著影响，例如完全透水条件下，达到相同固结度所需的时间，单面排水是双面排水的4倍。传统固结理论中，经典Terzaghi一维固结理论[1]将土体的边界视为完全透水边界或完全不透水边界，但边界的实际排水能力介于完全透水与完全不透水之间。鉴于此，Gray[2]提出透水边界和不透水边界线性组合的半透水边界。然而半透水边界条件在方程求解过程中较为复杂，且一般难以求得显式解析解。针对上述不足，梅国雄等[3]提出了考虑边界孔压随时间指数衰减的连续排水边界条件。
在连续排水边界条件下，Mei和 Chen[4]对文献[3]的解答结果进行了修正；郑煜等[5]讨论了连续排水边界条件下的一维大变形固结问题;蔡烽等[6－8]利用有限元分析了成层地基一维固结问题和不排水对称面问题；Liu和Lei[9]给出了成层地基一维固结问题半数值半解析解答；何利军等[10]求解出土层厚度随时间变化的一维固结解析解；Wu等[11]研究了双层地基的粘弹性固结问题。以上研究均为基于瞬时荷载下连续排水边界固结问题，但均未考虑变荷载对固结特性的影响。
在传统的边界条件下，从线性加载[12－15]，到矩形荷载[16－17]、随机荷载[18－20]，及不同形式循环荷载[21－23]的固结问题都已有深入研究，并得到了许多解析解答。然而，基于连续排水边界条件下的变荷载固结问题目前仍鲜见文献报道。
在堆载预压中，加载速率与固结沉降关系到地基稳定性和工期问题。本文基于瞬时荷载连续排水边界，推导出任意荷载下的连续排水边界条件。针对堆载预压中单级加载下的固结变形问题，建立任意荷载连续排水条件的线性加载一维固结方程，并给出其解析解。通过解答退化验证和与有限元成果比较验证解答的正确性，讨论加载速率和排水界面参数对土体固结性状的影响。研究结果对研究堆载时间与地基稳定性的问题具有一定参考意义。
1 任意荷载下连续排水边界条件推导
1.1 瞬时荷载下连续排水边界条件
在土体固结的过程中，排水边界处的孔压变化应该是一个随时间连续变化的过程，然而，经典Terzaghi一维固结理论中，当t=0时
而
显然，排水边界处孔压在具有不连续性，孔压由q跳跃到0。
Gray半透水边界条件下的孔压解答求解复杂，且不易得到显式解析解。Terzaghi和Gray的解答如下。
Terzaghi完全透水边界条件下孔压解答[1]为：
Gary半透水边界条件下一维固结孔压解答[2]为：
式中：N =(2n- 1)π 2,n=1 ,2,…；Tv是时间因数；Z(ζn ,z)是特征函数，ζn是特征值。
比较Terzaghi与Gray的解答可以看出，孔压解答结果都是由外荷载项和包含时间因数的函数项f( Tv, z)组成。初始状态时，f(0,z)=1,中间状态时，f( Tv, z)单调递减函数，最终状态时，f(∞,z)= 0 ；并考虑到Terzaghi和Gray的解答都以指数e为底的指数形式，故而选取e的负指数函数作为连续排水边界条件：
式中：q表示外加瞬时荷载；b为界面参数，且b＞0，b越大，表示土体界面透水性能越好。
该边界条件具有如下特点：
1)当t=0时，u( t,0)=q，满足边界的初始条件；
2)当t→∞时，u ( t, 0)= 0，符合边界孔压消散的基本规律；
3)通过调整界面参数b的取值，可以模拟不同透水性的排水边界条件，当b=∞时，u( t, 0)= 0，退化为完全排水边界。
1.2 任意荷载连续边界条件推导
为便于方程求解，定义如下无量纲化参数：
需要指出的是，本文中的H是指土体的厚度，不同于传统固结理论中的排水路径。同时，时间因数Tv只是一个与时间相关的无量纲参数，qu为荷载最大值。
瞬时加载连续排水边界条件无量纲化形式为：
式中：
表示外加荷载；α为无量纲化排水界面参数，与排水界面两侧土体的渗透系数和厚度有关[24]，根据工程试验和室内试验取值，且α >0，α越大，表示界面排水性能越好。
土体表面荷载为任意连续荷载时(如图1)，边界孔压不仅与界面参数有关，还受荷载变化的影响，故不能用瞬时荷载下的连续排水边界条件。由于荷载在区间[0,Tv]内具有连续性，故将区间[0,Tv]划分为间距Tv=Tv/n的n个等分区间，每一个等分区间的荷载可以看作是瞬时荷载。根据瞬时加载连续排水边界条件可得：
整理式(5)、式(6)，得：
当ΔTv→0时，各等分区间的瞬时荷载作用等效于任意荷载作用。所以，在任意时间因数Tv，边界孔压等于[0,Tv]的各瞬时荷载在Tv时的边界孔压之和，对式(7)两端取极限，即ΔTv→0时，有：
整理式(8)，有：
将定解条件
代入式(9)中，可得：
可以看出，变荷载下的连续排水边界条件不仅与界面参数有关，还与荷载的荷载初始值及荷载的变化率有关。显然，当荷载为瞬时荷载时，式(10)退化为式(4)。
图1 荷载随时间曲线变化示意图
Fig.1 Relationship between loading and time
1.3 线性加载连续边界条件
当预压排水为单级加载时，可推导出其荷载的无量纲形式为：
式中：Tv0是加载时间
为外荷载加载速率。
将线性荷载式(11)代入任意荷载条件下的连续排水边界条件式(10)进行积分后，得到顶面和底面的连续排水边界条件如下。
顶面边界条件为：
底部边界条件为：
式中：
其中，ξ分别为α和β。
2 固结模型与基本方程
本文研究的地基模型如图2所示，地基土层的厚度、渗透系数、固结系数和体积压缩系数分别为H、kv、Cv和mv，土体顶面和底面均铺设砂垫层，地基表面荷载q(t)为随时间变化的线性荷载。
图2 一维固结模型示意图
Fig.2 Sketch of one-dimensional consolidation of saturated soil
控制方程[25]为：
初始条件为：
将无量纲参数代入控制方程与初始条件，可得控制方程为：
初始条件为：
式(12)、式(13)、式(16)和式(17)即为任意荷载连续排水边界条件下无量纲化的线性加载一维固结控制方程与定解条件。
3 线性加载一维固结方程求解
3.1 超静孔隙水压力解答
由于边界条件式(12)、式(13)为非齐次边界，故作非齐次边界齐次化，令：
将式(18)代入式(12)、式(13)、式(16)和式(17)，得控制方程为：
式中：
边界条件为：
初始条件为：
对控制方程式(19)和初始条件式(21)采用有限正弦傅里叶变换，再根据边界条件式(20)，得：
式中：
其中：N n1 =nπ,n= 1,2,…。
根据求解条件式(23)、式(22)的通解为：
当0≤Tv ＜Tv0时，
当0≤Tv ＜Tv0时，
式中：
利用有限正弦傅里叶逆变换，即：
将式(24)和式(25)代入式(26)，可求出v(Tv,Z)，再代入式(18)，便求得孔压：
当0≤Tv ＜Tv0时，
当Tv0 ≤Tv时，
3.2 地基平均固结度解答
按孔压定义的地基平均固结度U为：
由超静孔压解式(27)和式(28)代入式(29)，得：当0≤Tv ＜Tv0时，
当Tv0 ≤Tv时，
其中，Nn2 =(2n- 1)π,n=1, 2,…，
3.3 解的退化验证
令α、β→∞，即边界条件退化为完全排水边界条件，则式(30)～式(31)退化为：
即式(32)为Schiffman[12]基于Terzaghi排水边界条件下线性加载的固结度解答。
令Tv0→0，即初始条件退化为瞬时荷载，(eαTv0- 1)→αTv0，则式(30)～式(31)退化为：
即式(33)为Mei基于瞬时荷载下连续排水边界条件的固结度解答。
为进一步验证本文解答的正确性，本文解答与有限元成果进行了对比。为了对比具有一般性，取界面参数α =2，β =1，m =5，如图3所示。可以看出：本文的解析解与有限元成果的吻合较好。
图3 本文解答与有限元成果比较
Fig.3 Comparisons between the presented solutions and the results of finite element method
4 固结性状分析
4.1 加载速率对固结过程的影响
图4和图5为界面参数一定时，加载速率对地基孔压消散和固结度的影响曲线。从图中可以看出：加载速率越大，历时越短，孔压消散越迅速，地基固结也越快。另外，从图4中可以看出：当加载为非瞬时加载时，孔压由零开始逐渐增大；当外荷载在Tv0加载到最终荷载时，孔压同时增加到峰值，随后开始消散直到孔压为零。另外值得注意的是，加载速率越大，孔压达到的峰值越大，当荷载为瞬时加载时，初始时刻的外部荷载全部由土体内部的孔压承担，孔压值等于外荷载。在分期堆载时，加载时间与地基稳定性有密切关系[26]，其中，峰值孔隙水压力是关键参数。因此，在实际工程中，当排水界面参数一定时，根据地基稳定与峰值孔压的关系，选择合适的堆载时间。同时，在保证地基稳定的基础上，根据工期情况，从图5中选择比较经济的堆载速率，保证地基稳定。
图4 加载速率对孔压的影响
Fig.4 Influence of loading rate on excess pore-water pressure
图5 加载速率对固结度的影响
Fig.5 Influence of loading rate on average consolidation degree
固结速率与地基稳定性也有密切关系。图6为加载速率对土体的固结速率影响曲线。明显看出：加载速率越大，历时越短，固结速率越大；固结速率从零开始逐渐增大，加载速率越大，固结速率越早达到峰值，且峰值越大。因此，当实际工程中的
图6 加载速率对固结速率的影响
Fig.6 Influence of loading rate on consolidation rate
排水界面参数一定时，根据地基稳定与固结速率的关系，可从图6中选择合适的堆载时间，保证地基稳定。
4.2 界面参数对固结过程的影响
界面参数对固结沉降有重要的影响，图 7、图8、图9为界面参数对土体孔压和固结度的影响曲线。可以看出：界面参数越大，界面透水性越好，孔压消散快，孔压峰值越小，地基固结也越快。另外还可以看出，孔压由零逐渐增大，Tv0时达到峰值，随后孔压逐渐消散，最终为零。从图7可以看到：土层顶面和底部界面参数α、β相同时，孔压关于Z=0.5处对称；不同时，孔压不对称，且α/β越大，顶面孔压消散越快，不排水对称面从Z=0.5处逐渐往下移动。因此，不同界面参数可模拟土层顶面与底部的排水性能不同。当工程的堆载时间确定时，根据峰值孔隙水压力与地基稳定性的关系，确定合适的界面参数范围保证地基稳定。根据工期要求，可从图9中选择比较经济的界面参数。
图7 超孔隙水压力随深度的分布规律
Fig.7 Distribution of excess pore water pressure with depth
图8 界面参数对孔压的影响
Fig.8 Influence of interface parameters on excess pore-water pressure
图10为界面参数对固结速率的影响曲线。从图中可以看出，固结速率由开始逐渐增大，当荷载在Tv0时达到最大值时，固结速率同时达到峰值，随后逐渐减小最终为零。这表明界面参数越大，界面透水性越好，固结速率在加载阶段越大。在实际工程中，当堆载时间一定时，根据地基稳定与固结速率的关系，可从图10中选择合适的界面参数，保证地基稳定。
图9 界面参数对固结度的影响
Fig.9 Influence of interface parameters on consolidation degree
图10 界面参数对固结速率的影响
Fig.10 Influence of interface parameters on consolidation rate
5 结论
本文基于瞬时荷载的连续排水边界条件，推导了任意荷载下的连续排水边界条件，建立任意荷载连续排水条件下线性加载一维固结方程，并给出了解析解答。最后，分析了加载速率和土体界面参数对土体固结性状的影响，得到以下结论：
(1)任意荷载下的连续排水边界条件与荷载的初始孔压和变化速率有关，边界处的孔压是荷载施加与孔压消散的相互作用结果。瞬时荷载的连续排水边界是任意荷载的连续排水边界的一种特殊情况。给出的解析解适用于不同的界面参数和加载速率下的固结问题。
(2)在界面参数一定时，当加载速率越大，历时越短，孔压消散越快，固结速率越大，地基固结沉降也越快；当加载速率趋于无穷时，初始条件退化为瞬时加载。
(3)在一定加载速率时，界面参数越大，界面透水性越好，孔压消散越快，固结速率越大，地基固结也越迅速；当界面参数趋于无穷大时，透水边界退化为完全排水边界。通过选取不同的界面参数可以模拟地基不同界面的透水性。
(4)工程中，根据峰值孔隙水压力与地基稳定性的关系，以及施工工期情况，在界面参数(或堆载时间)确定时，可以选择合适的堆载时间(或界面参数)范围保证地基稳定和提高工程施工的经济性。
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