Zayas等[1]利用圆弧滑动面改进了摩擦摆装置，使其既具有平面滑移特性，又具有提供向心复位的功能，有效提高了摩擦摆的性能。实验[2－4]表明，摩擦摆具有稳定的滞回性能和优异的耐久性，利用摩擦摆的力学特性可以有效延长结构周期、减弱结构动力响应，显著提高结构抗震性能[5]；因此摩擦摆在桥梁[6－8]、建筑结构等领域中应用广泛[9]。
通过建立合理的力学模型对摩擦摆减隔震结构进行有限元分析，是了解和优化结构性能的重要手段。Mosqueda等[7]基于试验阐述了摩擦摆剪切双向耦合特性。Constantinou等[4]将Park等[10]给出的非线性力学模型用于模拟摩擦摆双向剪切耦合特性，并考虑了剪切变形速度和轴力对摩擦摆接触面摩擦系数的影响，得到了经典的摩擦摆非线性力学模型(Friction Pendulum Model，FP模型)。Nagarajaiah等[11]将FP模型在隐式计算程序3D-Basis[12]中完成开发；通过与试验对比，验证了模型和程序的正确性。3D-Basis需将上部结构楼层凝聚为3自由度的单质点，形成层模型，因此其无法反映结构非线性。焦驰宇等[13]和龚健 [14]认为：相对于Bouc-Wen模型[15－17]和双线性随动强化模型，FP模型可更合理地反映摩擦摆的力学特性。徐自国等[18]利用隐式计算程序 SAP2000[19]分析了复杂连体结构北京当代MOMA空中连廊的摩擦摆支座的减震效果。上述工作涵盖了摩擦摆的力学模型、有限元程序开发和工程应用等内容，促进了摩擦摆的发展和应用；但受限于程序的计算能力，上述工作均简化或忽略了结构非线性。
随着摩擦摆技术的不断成熟，应用摩擦摆的结构的复杂程度和规模不断增大。对复杂的摩擦摆减隔震结构进行整体非线性动力分析的需求不断增大。结构的大规模精细化有限元模型进行隐式非线性动力分析时，收敛困难且计算效率低。显式动力分析可有效克服隐式方法的不足，但依然存在两个问题需要解决：1)目前的商业计算程序未提供显式摩擦摆单元；2)显式分析一般为条件稳定，分析步长小，计算效率有待提高。
为解决以上问题，本文完成以下工作：1)基于FP模型构造了一种2节点12自由度的显式摩擦摆单元，利用修正的向前Euler方法实现了单元的内力计算；2)将本文显式摩擦摆单元及内力计算方法在完全自主研发的大型非线性动力有限元分析软件SAUSAGE中完成基于CPU+GPU异构并行计算的开发，有效提高了显式分析的计算效率；3)通过与SAP2000隐式摩擦摆单元对比，验证了本文显式摩擦摆单元的正确性。
某复杂连体结构在高位采用连廊相互连接，为减小连廊对主体结构的影响，提高结构整体抗震性能，连廊支座采用了摩擦摆。本文利用SAUSAGE对此结构在三向地震作用下的线性和非线性动力响应进行了分析；研究了摩擦摆支座的减震效果；分析了结构非线性对整体动力响应的影响。
1 显式摩擦摆单元
本文显式摩擦摆单元为2节点12自由度单元，如图1所示。单元局部坐标系(X-Y-Z)和全局坐标系(x-y-z)均为直角坐标系，遵循右手螺旋法则。单元局部坐标系位于单元中心处，局部坐标系X轴与单元轴向平行且到全局坐标系x夹角不大于90°；局部坐标系Z轴平行于x-y平面且到全局坐标系z轴夹角不大于90°；通过右手螺旋法则，由X轴和Z轴确定Y轴。
图1 摩擦摆简化计算模型
Fig.1 Simplified calculation model for friction pendulum
全局坐标系中单元e第i号节点位移向量为：
单元e的节点位移向量为：
式中，
分别为单元1号和2号节点的位移向量。
参考梁元的构造方式[20]，扣除转动对剪切变形的影响，单元局部坐标系中位移增量为：
式中，l为单元长度；B 1和B 2分别为节点1和节点2对应的变形矩阵；B为单元变形矩阵；Te为全局坐标系与局部坐标系的转换矩阵，可参见文献[20]。
单元局部坐标系中单元变形速率向量为：
式中：Δt为显式分析的时间步长。
根据摩擦摆的非线性力学模型，由Δue、ve及相关变量可得到局部坐标系中单元内力向量fe；经坐标转换后得到全局坐标系中的单元内力向量：
2 摩擦摆的非线性力学模型
摩擦摆单元轴向抗拉刚度为 0；轴力增量、全量和轴向压力依次为：
式中：Δue,1、k1、Δfe,1和fe,1分别为单元局部坐标系中X向变形增量、抗压刚度、轴向力的增量和全量；P为轴向压力，其以压为正。
FP模型内部滞回变量的增量为：
式中：z2和z3为内部滞回变量的全量
分别为摩擦摆单元局部坐标系中Y向(Z向)的剪切变形增量、剪切变形速率、摩擦系数、静刚度和屈服位移；A、β和γ为模型参数，Constantinou等[4]证明满足式(16)时，FP模型属于一种黏弹塑性模型。
FP模型中摩擦摆摩擦系数为：
式中：
和
均为模型参数，分别表示单元局部坐标系中Y向(Z向)摩擦摆曲面快摩擦系数、慢摩擦系数和速率相关系数。
摩擦摆单元局部坐标系中Y向(Z向)的内力为：
本文摩擦摆单元不考虑转动刚度，因此局部坐标系中单元弯矩为0。
3 单元内力计算
本文求解动力方程采用了王进廷和杜修力[21]给出的一种显式差分格式。结构显式动力分析的基本流程为：1)求解动力方程，得到下一时步的节点位移；2)利用有限单元得到单元变形；3)计算单元内力，更新相关历史量；4)组装节点内力并反馈给动力方程，进入步骤 1)。此显式格式求解动力方程的特点为：1)两阶精度，且无需迭代；2)数据基本解耦；3)条件稳定，分析步长小，计算量大。
因此，实现摩擦摆减隔震结构精细化有限元模型的显式动力分析，需解决的问题是：1)摩擦摆单元内力计算；2)根据显式分析特点，开发并行计算程序，提高分析效率。
本文采用了一种修正的向前Euler方法计算显式摩擦摆单元内力，实现步骤见表1，利用迭代和减小加载量的方法实现误差的自动控制。
表1 显式摩擦摆单元内力计算方法
Table 1 Method for the internal force evaluation of explicit friction pendulum element
Step 1.加载步长调整每次加载量为单元变形增量的1/N NeeN Δu =Δu/将N e Δu 代入式(9)～式(11)得到P。单元初始的内部滞回变量为0 0 0 T 2 3[zz]，z=初始化第1次和第2次的内部滞回变量全量估算值为tr1 0=zz； tr2 0=zz； tr 0=zz迭代次数置零iter=0。Step 2.第1次估算将 tr z 代入式(12)～式(16)得到 tr1Δz 和tr1 z，并更新 trz tr1 tr1 tr1 T 2 3[]zz Δ =Δ Δ z； tr1 0 tr1= +Δ zzz ；tr2 tr1 tr 2+=zz z Step 3.第2次估算将 tr z 代入式(12)～式(16)得到 tr2Δz 和tr2 z，并更新 trz tr2 tr2 tr2 T 2 3[]zz Δ =Δ Δ z； tr2 0 tr2 zz= +Δ z；tr2 tr1 tr 2+=zz z Step 4.误差估计两次估算误差值为：tr2 tr1 0 tr 2 r-= +zz zz如r≤Tol(本文Tol为1×10-6)，则进行Step 6；否则进行Step 5。Step 5.更新迭代次数 1 iter=iter+如iter大于最大迭代次数MaxIter，则更新N为 （ ）Nroundr Tol，进行×Step 1；否则进行Step 2。Step6.更新内部滞回变量tr2 Δz=Δz ； 0 tr2=zz如Δue已加载完成，则进入Step 7；如未完成，则进行Step 1。Step 7.更新单元内力及其他变量将Δz代入式(19)得到单元力增量e,2(3)f Δ，更新单元力全量、轴向变形等变量。
普通个人计算机的单个GPU (graphics processing unit)具有上千计算内核(streaming processor)，适合实现结构显式动力分析的细粒度并行。将本文显式摩擦摆单元及单元力计算方法在完全自主研发的大型非线性动力有限元分析软件 SAUSAGE中完成了基于CPU+GPU异构并行计算的开发，可有效提高显式分析效率[22]。
为验证本文开发内容的正确性和稳定性，分别采用本文显式摩擦摆单元和 SAP2000隐式摩擦摆单元对测试模型进行分析。测试模型为单个摩擦摆单元，底部固定，如图2所示。首先，在z向施加压力P0；然后，施加加速度荷载激励。摩擦摆参数见表2，单元质量由P0除以重力场加速度得到，测试工况见表3。
需要说明的是，SAP2000的隐式摩擦摆单元也采用了 FP模型；在测试模型和参数相同条件下，通过对比SAUSAGE和SAP2000的计算结果，可以验证本文开发内容的正确性。
测试工况1中侧向施加正弦加速度激励，轴向未施加惯性荷载，由式(19)可知摩擦摆侧向刚度不变。图3给出了SAP2000和SAUSAGE测试工况1的结果，其侧向剪切滞回形态与双线性随动强化模型滞回形态较为接近；两软件的计算结果一致，验证了本文摩擦摆单元的正确性。
图2 摩擦摆单元测试模型
Fig.2 Test model for friction pendulum element
表2 摩擦摆参数
Table 2 Parameters of friction pendulum model
剪切静刚度/(kN/m)等效剪切刚度/(kN/m)轴向抗压刚度/(kN/m)6.4×1045205.0×107摩擦摆曲面半径/m 摩擦的速度相应系数/(s/m)摩擦系数快摩擦 慢摩擦4 200.050.04
表3 测试工况
Table 3 Test cases
工况 轴向压力/kN 加速度荷载类型x向加速度峰值/(m/s2)y向加速度峰值/(m/s2)z向加速度峰值/(m/s2)1 9802 Hz正弦荷载2.201.870 2 980地震动2.201.871.43
测试工况2中侧向和轴向均施加地震动激励，如图4所示，此时受竖向荷载影响，轴向力会不断变化，因此由式(19)可知摩擦摆侧向刚度也会不断变化。SAP2000和SAUSAGE测试工况2的计算结果基本一致，如图5所示，摩擦摆侧向剪切滞回关系与双线性随动强化模型滞回关系差异较大。
测试工况1和工况2的结果对比表明：1)由于SAP2000和SAUSAGE的摩擦摆单元均采用了FP模型，在测试模型和参数相同的条件下，两软件的计算结果一致，验证了本文显式摩擦摆单元及程序实现的正确性；2)轴向力变化对FP模型侧向剪切滞回形态影响较大，合理反映了摩擦摆的力学特性，也是 FP模型区别于双线性随动强化模型的重要特点。
图3 测试工况1的剪切滞回
Fig.3 Shear hysteretic curves of test case 1
图4 地震动加速度时程
Fig.4 Seismic acceleration time history
图5 测试工况2的剪切滞回
Fig.5 Shear hysteretic curves of test case 2
4 某三塔连体结构的动力时程分析
基于摩擦摆优异的减隔震性能，某高层三塔连体的高位连廊支座采用了摩擦摆。结构的抗震设防烈度为7度，场地类别为II类，设计地震分组为第三组。
结构及连廊见图6。A塔地上 15层，高度62.4 m；B塔地上13层，高度58.2 m；C塔地上17层，高度75.0 m。三栋塔楼之间在10层～12层设置3层通高连廊。连廊支座均采用了摩擦摆支座；连廊两端楼板与主体结构楼板设缝脱开。
高位连廊为钢结构，连廊支座位于钢骨混凝土柱外伸牛腿上，10层和12层处连廊支座编号分别为1号～8号和9号～16号，见图7。(注：图中括号内为12层连廊支座的编号。)
图6 三塔连体结构及连廊位置
Fig.6 A connected structure with three towers and its corridors
图7 连廊支座布置
Fig.7 Bearings of the corridors
采用SATWE完成结构的弹性设计，将SATWE模型转换为SAUSAGE模型。两个模型特征周期对比见表4。结构前8阶特征周期为连廊局部振型，最大差异为1.51%；整体结构质量参与系数较大的振型为整体振型，最大差异为-3.61%；以上对比验证了两软件计算模型的一致性。
SAUSAGE采用了纤维束形式的 Timoshenko梁元，可较好反映梁、柱构件截面弯曲和拉压的耦合作用；采用的分层壳单元[23－25]可较全面反映平面构件的面内弯曲、面内剪切和面外弯曲的耦合作用。SAUSAGE中梁柱和墙板的混凝土分别采用单轴和平面塑性损伤模型[26－27]；钢材本构模型采用Mises模型[28]；本构模型的参数基本参考《混凝土结构设计规范》GB 50010—2010[29]。
此连体结构的SAUSAGE计算模型中梁单元数74363、三角壳元数4583、四边形壳元数113094、自由度数768456；摩擦摆单元数16，参数见表2。
表4 结构特征周期对比
Table 4 Comparison of the structural modal periods
注：差异/(%)=(SAUSAGE结果-SATWE结果)/SATWE结果×100。
振型 连廊局部振型 整体结构振型1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 13 16 17质量参与系数/(%)0.45 0.38 0.35 0.55 0.57 0.42 0.40 0.06 21.19 31.79 12.67 11.79 14.90特征周期/s SATWE 3.36 3.31 3.24 3.18 2.81 2.77 2.69 2.65 2.10 1.81 1.76 1.51 1.47 SAUSAGE 3.33 3.28 3.21 3.15 2.78 2.74 2.65 2.61 2.02 1.86 1.81 1.54 1.46差异/(%)-0.89-0.91-0.93-0.94-1.07-1.08-1.49-1.51-3.81 2.76 2.84 1.99-0.68
不失一般性，本文动力时程分析采用了人工合成地震动，其加速度时程和反应谱分别如图4和图8所示。x向为主震方向，峰值加速度 2.2 m/s2；y和z向分别为x向峰值加速度的0.85倍和0.65倍。动力分析的阻尼采用了前 20阶振型构造的修正振型阻尼[30]。
图8 地震动加速度时程的反应谱
Fig.8 Response spectrums of the seismic acceleration time history
为考察结构非线性、支座类型及参数对结构动力响应的影响，本文共采用6个分析模型，见表5。为对比摩擦摆的减震效果，强连接模型中连廊支座为刚性杆。其中，刚性杆轴向刚度与摩擦摆支座取值相同，剪切刚度为105 kN/m。为对比FP模型参数对摩擦摆减震效果的影响，采用两组参数：1)摩擦摆 A的 FP模型参数参考 Nagarajaiah等[11]在3D-Basis中的取值(A=1、γ=0.9、β=0.1)；2)摩擦摆 B的 FP模型参数参考 SAP2000[19]取值(A=1、γ=0.5、β=0.5)。
表5 六个结构分析模型
Table 5 Details of 6 simulation models
模型 模型1 模型2 模型3 模型4 模型5 模型6结构 线性 线性 线性 非线性 非线性 非线性连廊支座 强连接 摩擦摆A 摩擦摆B 强连接 摩擦摆A 摩擦摆B
4.1 连廊的动力响应
模型2、模型3、模型5和模型6的1号摩擦摆剪切滞回见图9。考虑结构非线性后，1号支座的最大剪力和最大剪切变形均有所减小；摩擦摆A的最大剪力和最大剪切变形均大于摩擦摆B的计算结果。
图10和图11给出了采用强连接、摩擦摆A和摩擦摆B分析得到的16个支座的最大剪力和最大剪切变形。摩擦摆的最大剪力为174.23 kN(模型2)，最大变形为315.45 mm(模型2)；强连接支座的最大剪力为 2083.35 kN(模型 1)，最大剪切变形为20.83 mm(模型 1)，分别为摩擦摆相应值的 11.957倍和0.066倍。图12给出了各模型16个支座最大响应的平均值，对比表明：1)摩擦摆有效减小了连廊支座剪力，其剪切变形相对较大但未超过设计要求；2)相对于摩擦摆 B，摩擦摆 A的剪力均值和剪切变形均值相对较大，与1号摩擦摆剪切滞回规律一致。
图9 1号摩擦摆支座剪切滞回
Fig.9 Shear hysteretic curves of No.1 friction pendulum bearing
图10 支座最大剪力
Fig.10 Maximum shear forces of bearings
图11 支座最大剪切变形
Fig.11 Maximum shear deformations of the bearings
图12 支座的剪力均值和剪切变形均值
Fig.12 Shear force mean and shear deformation mean of bearings
如图13所示，摩擦摆的最大轴压力4015.08 kN(模型3)为强连接最大轴压力(模型4)的1.79倍；摩擦摆的最小轴压力 40.98 kN(模型 5)为强连接最小轴压力(模型1)的0.50倍。相对支座剪切响应，支座类型对轴力的影响较小；摩擦摆的最大轴压力离散性明显较大。上述情况是由于摩擦摆水平变形大，在三向地震作用下连廊的拉弯和压弯效应大于强连接模型。虽然摩擦摆未出现受拉情况，但最小轴压力较小，宜采取相应措施(如：采用具有抗拉功能的摩擦摆或在连廊和主体结构间设置黏滞阻尼器)提高支座的抗拉性能。
图14给出了6个模型中4座连廊的最大加速度。模型1的x向和y向最大加速度分别达到1.63 m/s2和 1.25 m/s2；考虑结构非线性后动力效应减弱，模型4的x向和y向最大加速度分别减小至1.40 m/s2和0.74 m/s2；采用摩擦摆后，模型2的x向和y向最大加速度分别减小到0.83 m/s2和0.53 m/s2，考虑结构非线性后，最大加速度进一步减小。由以上分析可知：1)摩擦摆支座有效减小了连廊的动力效应；2)考虑结构非线性后，连廊的动力效应也会有所减小。
图13 支座轴力
Fig.13 Axial forces of bearings
图14 连廊的最大加速度
Fig.14 Maximum acceleration of the corridors
4.2 整体结构的动力响应
图15和图16给出了模型 4～模型 6的第10层～12层连廊周边的剪力墙损伤。各模型的混凝土受压损伤差异不大，均只出现在连梁；采用摩擦摆后，混凝土受拉损伤有所减弱。
模型4～模型6中连廊支座所在框架柱的混凝土只出现了受拉损伤；采用摩擦摆后，受拉损伤有所减弱，见图17。
图18给出了各模型的x向(主震向)最大层间位移角和最大层间剪力。由于摩擦摆发挥了减震作用，采用摩擦摆后，模型的最大层间位移角相对较小。模型2和模型3不考虑结构非线性，两者的最大层间位移角基本一致；模型5和模型6考虑了结构非线性后，两者的最大层间位移角差异增大。相对采用摩擦摆的模型，采用强连接的模型的最大层间剪力相对较大；考虑结构非线性后，差异减小。由以上分析可知：1)摩擦摆可以减小主体结构的最大层间响应；2)考虑结构非线性后，最大层间位移角差异增大，而最大层间剪力差异减小。
图15 第10层～12层剪力墙混凝土受压损伤
Fig.15 Concrete compressive damage of shear walls in the 10th story―12th story
图16 第10层～12层剪力墙混凝土损伤
Fig.16 Concrete tensile damage of shear walls in the 10th story―12th story
图17 10层框架柱截面的混凝土受拉损伤
Fig.17 Concrete tensile damage of the column sections in the 10th story
图18 结构最大层间响应
Fig.18 Maximum story responses of the structure
5 结论
(1)构造了一种基于FP模型的2节点12自由度的显式摩擦摆单元。
(2)基于修正的向前 Euler方法实现了本文显式摩擦摆单元的内力计算，并在SAUSAGE中完成基于 CPU+GPU异构并行计算的开发；通过与SAP2000对比，验证了开发内容的正确性。
(3)利用SAUSAGE对某三塔连体结构进行了整体动力时程分析，研究了结构非线性、连廊支座类型及参数对结构动力响应的影响。分析结果表明：考虑结构非线性后，摩擦摆支座的最大剪力和最大剪切变形有所减小，结构最大层间变形的差异有所增大；相对强连接支座，摩擦摆支座的减震效果明显，最大变形满足设计要求；部分摩擦摆的最小轴压力较小，宜采取合理措施提高摩擦摆的抗拉性能；相对SAP2000，3D-Basis对FP模型取值更偏于保守。
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