颗粒阻尼技术是将颗粒材料按某一填充率放入主体结构内部或结构附属空腔中，当主体结构振动时，利用颗粒间、颗粒及腔体间不断碰撞和摩擦所产生的调谐作用和阻尼效应减轻主体结构的振动[1]。常用的颗粒材料有钢、玻璃、混凝土、砂粒和卵砾等金属或非金属材料。颗粒阻尼减振控制技术具有材料廉价、布置和调整方式灵活等特点，能够为结构提供分布式阻尼，且相对于调谐质量阻尼器和调谐液体阻尼器具有减振频带宽和鲁棒性强等优点，因而在机械和航天等领域已有广泛的研究和一定的应用[2―5]。由于土木工程体量巨大且在材料特性和结构动力方面具有较强的随机性，目前关于颗粒阻尼器力学模型、减振机理和颗粒阻尼器参数对工程结构性能的影响等研究尚处于初步的探索阶段，亟需进行深入且全面而细致的机理研究。
鉴于颗粒阻尼器的优点和其良好的减振耗能效果，研究人员对其在机械领域中应用时的减振机理以及特征参数对减振性能的影响规律进行了理论和试验研究。Masri等[6―7]建立了冲击耗能系统的力学模型，并对该力学模型在简谐激励下的稳态响应进行了计算求解。Papalou和 Masri[8―9]通过单层建筑模型试验研究了单体颗粒阻尼器的性能，并将其等效为等质量的冲击阻尼器进行了数值模拟研究，分析了附加质量比、容器尺寸和激励强度等因素对减震效果的影响。值得注意的是：在机械领域颗粒阻尼器的振动一般都为高频振动，阻尼颗粒的速度很大，而在土木工程中颗粒阻尼器相比机械振动频率低，颗粒与腔体之间的相对速度小于5 m/s[10]。因此针对机械领域中的冲击阻尼器，以上力学模型忽略了冲击体与腔体壁之间的摩擦力，但在土木工程中这种简化与实际不相符，直接使用该力学模型不能准确反映适用于土木工程的颗粒阻尼器的减振效果，甚至会影响其力学机理。鲁正和Masri等[11―14]采用数值仿真对多种不同激励条件下颗粒阻尼器的性能进行了分析，研究了不同参数对颗粒阻尼性能的影响规律，提出了有效动量交换的概念。此外，鲁正等[15―16]也基于离散单元法，建立了颗粒阻尼器对多自由度结构进行减震控制的数值模拟方法，并通过对附加颗粒阻尼器的多层框架的振动台试验验证了其模拟方法的正确性，但是该方法计算收敛条件苛刻，解析过程复杂。Saeki[17]以在水平激励下的单自由度结构为研究对象，采用离散单元法研究了相关参数对多单元颗粒阻尼器性能的影响，并进行了试验验证。结果表明腔体数量和尺寸对颗粒阻尼器性能影响显著。程杨[18]通过使用离散元软件 EDEM 模拟分析研究了颗粒阻尼器自身参数对阻尼比的影响并进行了优化，得到了未发生堆积时，颗粒阻尼器减振效果随颗粒质量比、直径和密度的变化关系。但是离散单元软件对使用者的理论水平要求较高，并且建模难度大、建模环境复杂、很难获得宏观规律。闫维明等[19―21]对颗粒阻尼技术在建筑物减振控制方面的应用进行了初步探索，通过多层钢筋混凝土框架振动台试验研究了颗粒阻尼器的减震性能。相关试验结果表明：颗粒阻尼器布置位置处的结构响应均有所降低，颗粒阻尼器具有良好的减震控制效果；随颗粒阻尼器质量比的增加，颗粒阻尼器的减震控制效果提高。同时闫维明[22]也进行了基于颗粒阻尼器减震高架连续梁桥缩尺模型的振动台试验，应用等效阻尼比的能量估算方法说明了颗粒阻尼器在低频振动中具有良好的减振效果。但是单纯通过试验研究尚不能全面掌握颗粒阻尼的耗能机理和减振规律，从而难以对颗粒阻尼器的设计和工程应用进行准确而有效的指导。
综上所述，尽管目前在颗粒阻尼器的减振控制效果及影响其性能的基本因素和规律等方面取得了一定成果，但由于颗粒阻尼器具有高度非线性特征和影响其性能参数复杂，现阶段研究还处在理论探究与实验阶段，尚没有形成较为成熟可靠的理论来指导土木工程的设计和应用。亟需构建更符合实际工程应用的颗粒阻尼器力学模型，并进行机理分析，从而反映颗粒阻尼器在外荷载激励下的基本规律。因此，本文在现有研究成果的基础上构建了颗粒阻尼器力学模型，在颗粒未发生堆积时，将多颗粒等效为单颗粒，通过考虑颗粒与阻尼器腔体之间的摩擦和碰撞，对该力学模型进行了解析求解，同时验证了该力学模型的合理性和正确性，也对影响颗粒阻尼器结构动力响应的参数进行了对比分析。
1 考虑摩擦效应颗粒阻尼器力学模型
在实际工程应用中，一般都是在结构的附加腔体中放置大量颗粒而形成具有密闭空间的颗粒阻尼器。随着主体结构的振动，多颗粒在碰撞时表现出很强的非线性特性，因此进行带有多颗粒阻尼器结构的动力系统精确分析是相当困难的。在颗粒未发生堆积时，多颗粒可以等效为单颗粒[16,23]。多颗粒等效为单颗粒的原则为：1)颗粒在等效前后的质量相等；2)颗粒在等效前后的形状相同，一般为球体颗粒；3)颗粒在等效前后颗粒材料特性不发生变化。
未发生堆积状态的颗粒与腔体之间存在三种以下耗能机理各不相同的运动状态：1)颗粒与腔体不发生相对运动，即颗粒仅作为结构的附加质量参与结构的振动；2)颗粒与腔体发生相对运动，但不与腔体壁发生碰撞，即颗粒主要通过颗粒与腔体间的摩擦改变自身的运动状态，并通过摩擦耗散结构能量；3)颗粒与腔体间发生碰撞，阻尼器不仅通过颗粒与腔体之间的摩擦，同时通过颗粒与腔体壁之间的碰撞改变自身的运动状态并实现调谐结构动力响应。本文主要是针对颗粒阻尼器结构动力系统在简谐激励下的动力响应进行求解，该系统的稳态反应即为本文所阐述的第三种运动状态。为不失一般性，设受控的主体结构为单自由度结构，根据文献[24]的结果可认为在颗粒与腔体壁发生正碰撞时，颗粒与腔体壁之间切向碰撞刚度的影响可忽略不计。为在碰撞过程中考虑能量损失，碰撞过程中的法向碰撞刚度和接触阻尼不能忽略，并在碰撞过程中用回复系数和动量守恒来表征碰撞耗能。
球体颗粒与腔体的摩擦在结构振动过程中包括滑动摩擦和滚动摩擦，当颗粒不发生堆积时，克服滚动摩擦力矩使颗粒运动需要的力比克服滑动摩擦力所需要的力小得多，即颗粒更容易发生滚动，因此主体结构在简谐激励下的稳态反应中颗粒与腔体之间的摩擦为滚动摩擦。又由于颗粒与阻尼器腔体壁碰撞时间极短，因此忽略碰撞时的摩擦。
基于上述对颗粒阻尼器结构系统的分析，本文建立的颗粒阻尼器-单自由度结构系统的力学模型如图1所示。其中，m1为单自由度结构的质量，m2为颗粒的质量，c1为单自由度结构的阻尼系数，c2为接触阻尼系数，k1为主体结构的刚度，k2为法向碰撞刚度，F(t)为简谐激励，x1、
和
分别为单自由度结构的位移、速度和加速度，x2、
和
分别为阻尼颗粒的位移、速度和加速度，d为颗粒自由运动的间隙，其取值可参见文献[16]。
图1 颗粒阻尼器-单自由度结构系统力学模型
Fig.1 Mechanical model of particle damper-SDOF system
2 颗粒阻尼器结构系统的动力响应
为了更加合理地评价颗粒阻尼器的减振性能和清晰地反映结构系统能量分布和能量变化，建立了考虑摩擦效应的颗粒阻尼器-单自由度结构系统在简谐激励下(如图1所示)的运动方程，将颗粒和结构的振动过程划分为若干个非碰撞过程、碰撞过程，分别进行了求解。
颗粒与腔体壁在相邻两次碰撞之间(即非碰撞过程)的运动方程为：
式中：p0为简谐激励幅值；ω为简谐激励频率；Fs为克服滚动摩擦力矩使颗粒运动需要的力，即：
式中：μf为滚动摩阻系数；r为颗粒的半径；g为重力加速度。
颗粒阻尼器的的自振频率ω2可按下式近似计算[25―26]：
式中：h为颗粒堆积高度；l为阻尼器腔体沿振动方向的长度。通过式(3)对前述颗粒阻尼器-单自由度结构进行测算，发现当简谐激励频率与结构自振频率之比在0.6～1.4之间时，必然存在振动周期内颗粒和阻尼器腔体碰撞两次的情况，且在任何一次碰撞期内颗粒和结构的相对运动趋势保持不变，即Fs为常数。
综上所述，单自由度结构与阻尼颗粒不发生碰撞时，可按照二阶线性微分方程解的特性对式(1)求解，最终颗粒阻尼器-单自由度结构的运动位移关于时间的解析表达式如式(4)所示。
在求解碰撞过程时，可先求得结构在简谐激励下一个周期内的碰撞结果，在此基础上求得结构周期运动动态响应。碰撞前后颗粒和主体结构内的动量分布发生突变，因此，将某周期内第一次碰撞(颗粒与阻尼器腔体左壁碰撞)瞬时假设为t=0并将其分解为两个瞬间，碰撞前时标为t=0-，碰撞后时标为t=0+。相应的同一周期内第二次碰撞(颗粒与阻尼器腔体右壁碰撞)的时间可为t=π/ω，碰撞前时标为t= π /ω，碰撞后时标为t=π/ω。
式中：B1、B2和τ为待求的参数；t为简谐激励作用的时间；
20为阻尼颗粒的初速度，其他参数的取值为：
通过上述对非碰撞过程的分析，且由式(4)可得图1中的颗粒阻尼器-单自由度结构的运动相对于平衡状态对称。因此该系统中的单自由度结构存在稳定的周期运动，且平衡状态是对称的周期运动。与此对应，该单自由度结构的周期运动位移-速度相轨迹是相对平面原点对称的一条封闭曲线，如图 2所示。在稳定碰撞过程中可认为阻尼颗粒在碰撞前后的速度大小不发生变化，只是碰撞后的速度方向与碰撞前的速度方向相反[20]，且主体结构的位移是连续的，而速度发生突变。
图2 单自由度结构运动相轨迹
Fig.2 Motion phase trajectory of structure with SDOF
图2中的单自由度结构运动相轨迹表示在一个运动周期内相邻两次碰撞中结构的运动位移与速度的关系，其中D表示第一次碰撞前的时刻(t=0-)，A表示第一次碰撞后的时刻(t=0+)，B表示第二次碰撞前的时刻(t =(π/ω)-)，C表示第二次碰撞后的时刻(t =(π/ω)+)，b为第一次碰撞前单自由度结构的速度，a为第一次碰撞后单自由度结构的速度，xb为发生第一次碰撞时单自由度结构的位移。
将单自由度结构与阻尼颗粒的相对位移记作y=x1-x2，将阻尼颗粒在与腔体壁在第一次碰撞后的速度记作v，则可得到颗粒阻尼器-单自由度结构系统在一个周期内相邻两次碰撞的状态条件。
第一次碰撞的状态条件为：
第二次碰撞的状态条件为：
阻尼颗粒在相邻两次碰撞之间作匀变速直线运动，两次碰撞间运动颗粒的运动时间为π/ω，运动位移为 2xb+d，由此可得在一个周期内第一次碰撞后(t=0+)的速度为：
由于碰撞接触时间短且碰撞为弹性碰撞和正碰撞，可以用恢复系数e来表示碰撞前后主体结构和阻尼颗粒速度跳跃的关系，并根据第一次碰撞的状态条件对首次碰撞过程建立如下方程：
在阻尼颗粒和阻尼器腔体碰撞时，作用时间短，且不考虑摩擦力，因此碰撞过程动量守恒，依据第一次碰撞状态条件建立动量守恒方程为：
根据式(4)单自由度结构在简谐激励下的位移反应，可以得到在相邻两次碰撞之间的速度反应，再由第一次碰撞状态条件式(5)和第二次碰撞状态条件式(6)可建立如下方程：
式中，各参数的取值为：
通过对上述式(10)的求解，解得B1、B2的结果为：
式中：
其中：
单自由度结构与阻尼颗粒不发生碰撞时，在简谐激励下的响应幅值可以直接求得，即A已知，所以得到待定参数τ的三角函数为：
式中：
将求解得到的B1、B2、τ及本文中的相关参数代入式(4)即可得到颗粒阻尼器-单自由度结构系统中结构在简谐激励下某周期内的位移反应。可在此周期求得位移反应结果的基础上，进行颗粒阻尼器-单自由度结构在简谐激励下周期运动位移反应求解。
对上述求得的某周期首次碰撞位移反应的结果，可将首次碰撞之后和第二次碰撞之前的时间表示为第一个半运动周期，即在运动时间为0 ≤t ≤ π /ω单自由度结构的位移时程曲线为：
依据以上分析可将第i (i=2,3,4…)半周期内
的单自由度结构的位移随时间的表达式可表示为：
在发生碰撞时，结构的位移不会发生突变，只是单自由度结构会和阻尼颗粒之间发生动量交换，因此可根据碰撞前后位移相等和动量守恒求得B1(i)和B2(i)，通过上述的分析可列方程为：
式中，
x[( i- 1)π/ω]-为在第i个半周期内第一次碰撞前的位移，x[( i- 1)π/ω]+为在第i个半周期内第一次碰撞后的位移，[( i- 1)π/ω]-为在第i个半周期内第一次碰撞前的速度，[( i- 1)π/ω]+为在第i个半周期内第一次碰撞后的速度。
根据式(14)和式(15)得到第i个半周期内第一次碰撞前的速度和位移，最终解得：
式中：
值得指出的是：Masri理论[6－7]假设颗粒阻尼器-单自由度结构在简谐激励下存在稳态反应且周期内碰撞两次，同时也考虑了碰撞过程，在碰撞中主体结构的位移不发生改变，只是主体结构的速度和阻尼颗粒的速度会发生突变，但却忽略了阻尼颗粒与腔体中的摩擦力，这样就会导致在简谐荷载稳态下阻尼颗粒的速度大小不会发生改变，而且每次碰撞过程中耗散的能量和结构的能量也不会改变。本文在求解考虑摩擦效应的颗粒阻尼器力学模型时，是在Masri模型的基础上证明颗粒阻尼器-单自由度结构中阻尼颗粒与阻尼器腔体之间的摩擦为滚动摩擦，这样不仅能够反映结构系统能量分布的变化，更能反映结构系统在简谐激励下的能量值的变化，下文将通过对图2所示的结构运动相轨迹的数值模拟计算和单层钢框架的电磁振动台试验来检验本文模型的合理性和准确性。
3 力学模型动力响应验证
3.1 数值验证
为了验证颗粒阻尼器-单自由度结构系统在简谐激励下能否呈现出如图2所示的运动相轨迹，选取了其中两组研究参数：其中第一组参数为：m1=17.96 kg，k1=5400 N/m，ζ=0.02，μ=0.01，d=0.1 m，e=0.8，μf=0.8 mm，p0=1g，ω=2.52 Hz；第二组参数为：m1=17.96 kg，k1=5400 N/m，ζ=0.02，μ=0.04，d=0.1 m，e=0.8，μf=0.2 mm，p0=1.25 g，ω=3.06 Hz。其两组参数下的单自由度结构运动相轨迹曲线如图3所示，碰撞时位移是连续的而速度出现了突变，与图2所示假设的单自由度结构运动相轨迹一致，验证了之前假设的合理性和结果的正确性。此外，为了与Masri模型相比较，选取第一组参数条件下的能量变化和耗能分布情况进行分析，如图4所示。
图3 数值计算单自由度结构运动相轨迹
Fig.3 Numerical simulation of phase trajectory of SDOF
图4(a)是考虑摩擦效应模型的能量时程曲线，图 4(b)是Masri模型的能量时程曲线，图 4(c)为两种力学模型在稳态反应时半个周期内能量的分布情况。结果表明颗粒阻尼器在考虑摩擦效应之后，简谐激励下结构系统中动能值与碰撞耗能值和其分布均有所区别。考虑摩擦效应后，结构和颗粒之间克服滚动摩擦力矩所需的力在消耗颗粒阻尼器-单自由度结构系统能量的同时也减缓了阻尼颗粒的运动，阻尼颗粒与阻尼器腔体左右壁相碰时的速度大小也不一样。与Masri力学模型相比，考虑摩擦效应之后的阻尼颗粒对结构的碰撞调谐作用要相对小，消耗能量的机理也不相同。
图4 稳态下能量变化和耗能分布
Fig.4 Energy change and energy distribution under steady state
3.2 试验验证
为了验证考虑摩擦效应的颗粒阻尼器力学模型的合理性和精度，并与Masri力学模型进行比较，本文进行了单层钢框架的电磁振动台试验，该试验主体结构模型为单自由度钢框架，钢板的尺寸为500 mm×500 mm×5 mm；4根框架柱的横截面尺寸均为30 mm×5 mm，其高均为500 mm，间距为400 mm。阻尼器腔体沿结构振动方向的长度为370 mm，宽度和高度分别为300 mm和100 mm，阻尼器腔体采用4个螺栓固定在结构上部钢板顶面。钢框架结构整体布置图见图5。其中，钢框架的质量为17.96 kg，刚度为 5401 N/m；阻尼颗粒选为钢珠，附加 6%质量比的半径为10 mm钢珠，填充率为80%。
图5 试验模型
Fig.5 Model of test
对单层钢框架在电磁振动台上进行简谐激励试验，通过信号发生器产生正弦信号输入给功率放大器，放大后的正弦信号推动电磁振动台，沿结构振动方向对结构施加简谐荷载，并且确保结构在垂直于结构振动方向基本没有振动。对简谐激励在不同台面激励幅值和激励频率下分别进行试验，单自由度钢框架结构的试验结果和依据式(14)理论计算结果对比如图6所示，其中p为电磁振动台台面简谐激励幅值。在试验过程中，与纯单层钢框架相比，附加颗粒阻尼器的单层钢框架的位移和速度响应明显降低，阻尼颗粒与阻尼器腔体壁发生碰撞，且简谐激励幅值越大，碰撞越剧烈；在两次相邻碰撞之间，阻尼颗粒以滚动为主，阻尼颗粒的运动方向与单层钢框架的运动方向相反。
通过对图6的比较分析可知：在p0=1.47 g、ω=2.52 Hz条件下的简谐激励作用下结果对比显示试验结果和考虑摩擦效应的理论值比较接近且考虑摩擦效应的理论值偏大，误差为 10.9%，而 Masri理论值相比试验结果偏小，其误差高达28.9%。在p0=1.78 g、ω=2.52 Hz条件下的简谐激励作用下试验结果和考虑摩擦效应的理论值比较接近且考虑摩擦效应的理论值偏小，误差为4.3%，而Masri理论值相比试验结果也偏小，但其误差高达34.1%。在p0=1.78 g、ω=3.06 Hz条件下的简谐激励作用下试验结果和考虑摩擦效应的理论值比较接近且考虑摩擦效应的理论值偏大，误差为11.8%，而Masri理论值相比试验结果也偏大，其误差为23.8%，两种理论值均出现了与文[27]类似的碰撞周期性分岔现象。经分析可得，本文考虑摩擦效应的颗粒阻尼器力学模型能更加准确地描述附加颗粒阻尼结构的位移响应，其原因为：考虑摩擦效应之后，阻尼颗粒的运动将减缓，碰撞时的碰撞力也随之减小，即调谐作用减小，颗粒与主体结构之间的能量交换会减小，所以Masri模型在颗粒阻尼器效果时有一定的偏差，不应忽略摩擦力对颗粒阻尼器的影响。
图6 不同简谐激励下的位移时程
Fig.6 Displacement time history under harmonic excitation
通过上述的数值计算和试验验证可知：考虑摩擦效应的颗粒阻尼器-单自由度结构系统能够较合理的计算出附加颗粒阻尼器系统在简谐激励下的动力响应。为深入研究简谐激励和阻尼器本身参数对颗粒阻尼器减振性能的影响，将从影响机理的参数变化方面进行进一步分析。
4 参数分析
如前文所述，本文所建立的颗粒阻尼器-单自由度结构系统力学模型考虑了碰撞过程和颗粒与阻尼器腔体之间的滚动摩擦效应，而Masri模型并没有考虑颗粒与阻尼器腔体之间的摩擦效应。两种力学模型之间影响结构力学机理的相同因素是颗粒质量、激振幅值、激振频率和阻尼颗粒运动间隙，因此可通过对该四种参数进行影响分析来对本文所建立的力学模型和 Masri力学模型进行深入对比，其中影响参数为质量时的其它参数的取值为：m1=17.96 kg，k1=5400 N/m，ζ=0.02，d=0.3 m，e=0.8，μf=0.2 mm，p0=1 g，ω=2.48 Hz；影响参数为简谐激励幅值时的其它参数的取值为：m1=17.96 kg，k1=5400 N/m，ζ=0.02，μ=0.01，d=0.75 m，e=0.8，μf=0.2 mm，ω=2.20 Hz；影响参数为简谐激励频率时的其他参数的取值为：m1=17.96 kg，k1=5400 N/m，ζ=0.02，μ=0.04，d=0.3 m，e=0.25，μf=0.2 mm，p0=0.7 g；影响参数为颗粒运动间隙时的其它参数的取值为：m1=17.96 kg，k1=5400 N/m，ζ=0.02，μ=0.02，e=0.8，μf=0.2 mm，p0=1 g，ω=2.20 Hz。相关结果图7所示，其中图7(d)中横坐标为颗粒半径(r)的倍数。其中减震率为减震前位移峰值与减震后位移峰值的差值除以减震前位移峰值。
图7从不同角度展示了结构减震率随影响参数的变化曲线的变化趋势，与文[21]的模拟结果基本一致，验证了本文所构建模型的准确性。由图7(a)可知在简谐激励强度和其它参数不变时两种模型的减震率均随颗粒质量的增加先增加后降低，但是本文力学模型的减振率均低于Masri力学模型的结果，这是因为考虑了阻尼颗粒的滚动摩擦效应而导致其运动减缓，与阻尼器腔体壁发生碰撞的速度变小，颗粒与腔体壁之间的能量交换会减小。且因为在质量比较大时克服滚动摩擦力矩所需的力也增大，所以两种力学模型的差异会随质量比的增大越明显。由图7(b)可知在颗粒质量、简谐激励频率和其它参数不变时，结构的减震率随简谐激励幅值的增加而增加，最后趋于平缓，并且摩擦碰撞力学模型的减振率略低于Masri力学模型的结果，但两者对颗粒阻尼器减振性能评价的差异很小。这是因为随着简谐激励幅值的增加，结构和颗粒在稳态时的动力反应都会增加，而当阻尼颗粒的质量不变时，颗粒与腔体壁之间克服滚动摩擦力矩所需的力是恒定的，随着简谐激励幅值的增加，颗粒与结构之间调谐作用占主导地位，因此两种力学模型之间差异并不明显。由图7(c)可知当简谐激励频率与结构的自振频率比小于1时，考虑摩擦效应力学模型的减振率略低于Masri力学模型的结果，而频率比大于范围1时，两种理论之间的差异很小，其原因和简写激励幅值对颗粒阻尼器减振性能的影响相同。由图7(d)可知两种模型的减震率均呈现随阻尼颗粒运动间隙的增大先增后减的趋势，且考虑摩擦效应力学模型的减振率偏低，其原因与颗粒质量对颗粒阻尼器减振性能的影响相同。
图7 结构减震率随影响参数的变化曲线
Fig.7 Curves of damping ratio with influence parameters
综合以上结果可知：如果将针对冲击耗能系统建立的力学模型直接应用于土木工程中颗粒阻尼器的性能评价，当激励频率与结构的自振频率比小于1时，将高估阻尼器的减振性能，而在考虑阻尼颗粒与腔体壁之间的滚动摩擦效应之后，颗粒阻尼器的减振效果均有所降低，更接近于真实情况。相比于Masri力学模型，本文建立的考虑摩擦效应力学模型能够充分考虑附加颗粒质量和颗粒运动间隙对阻尼器减振性能的影响。在低频低振幅的状态下，采用本文的力学模型去评价颗粒阻尼器的减振性能更加合理；当附加颗粒的质量不变时，在高频率比(ω/ωn＞1)和高振幅振动时采用本文的力学模型或Masri力学模型，两者的差异很小，表明高频率比和高振幅振动时阻尼颗粒与腔体之间的摩擦效应可以忽略。
5 结论
(1)本文建立了考虑摩擦效应的颗粒阻尼器力学模型，将颗粒和结构的振动过程划分为若干个非碰撞过程、碰撞过程，证明了在振动周期内阻尼颗粒和阻尼器腔体碰撞两次且任何一次碰撞期内阻尼颗粒和结构的相对运动趋势保持不变。
(2)得到了考虑摩擦效应的颗粒阻尼器力学模型在简谐激励下的解析解。理论分析与试验结果对比表明：考虑摩擦效应力学模型具有更高的精度。
(3)颗粒阻尼器力学模型在考虑摩擦效应之后，对质量比、激振幅值、激振频率和颗粒运动间隙进行了参数分析。数值分析结果表明：颗粒阻尼器考虑摩擦效应之后在评价质量比和颗粒运动间隙变化或是在低频低振幅时对其减振效果的影响更加合理，而是否考虑摩擦效应在评价高频率比(ω/ωn＞1)和高振幅振动对颗粒阻尼器减振效果的影响基本一致。
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